第六讲：几何计数问题(一)检测
几何计数问题的探究
第 ２类 ： 与 ＡＡ Ｂ Ｆ形状 有 某些相 似 的三角 形 有
５个 ；
第 ３类 ： 与 ＡＡ Ｂ Ｇ形状 有某 些相 似 的三角 形有
ｌ Ｏ个 ； 第 ４类 ： 与 ＡＡ Ｃ Ｄ 形状 有某些 相 似 的三 角 形有 ５个 ；
例 ３ 请 你 数一 下 图 ３中有几 个三 角形 ？ 分析 别计 数 ： 第 １类 ： 与 ＡＡ Ｂ Ｅ形 状有 某些 相似 的三 角形 有
５个 ；
按照 三 角形 的形 状 ， 将 三角形 分 ６类 分
（ １ ） 以 为 左 端点 的线 段 有 Ａ Ｂ， Ａ Ｃ， Ａ Ｄ， ， Ａ Ｆ共 ５条 ；
一
因此 ， 图中 的三角 形共 有 ３ ５个．
评注
本 例所 采用 的分类 讨 论 方 法是 ： （ ４） 按
般地 ， 如果 一条 线 段 上有 ｎ个 点 （ 包 括 ２个
照 图形 的形 状分 类 ； 也 可 以说 是 （ ５ ） 按 照 图形 所 处 的位 置 分类 ． ２ 分解 转化 此法 即把复 杂 的 图形 分解 为 常见 的基本 图形 ， 或者 将 陌生 的 问题 通 过 找对 应 将 之 转 化 为 我 们 熟
分析 别 计数 ：
可 按 照面 积 的大小 ， 将正 方形 分 ５类 分
（ １ ） 边 长 为 １的正方 形 的个数 是 ６× ４＝ ２ ４ ； （ ２ ） 边 长为 ２的正方 形 的个数 是 ５× ３＝１ ５ ；
（ ３ ） 边 长为 ３的正方 形 的个数 是 ４× ２＝ ８ ； （ ４ ） 边长 为 ４的正方 形 的个数 是 ３×１ ＝３ ．
小学六年级奥数几何计数问题专项强化训练(中难度)
小学六年级奥数几何计数问题专项强化训练（中难度）例题1：在一个正方形的边长为5cm的区域内，用红、蓝两种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求两种颜色的砖头必须完全分开铺，且不能有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？解析：首先我们知道正方形边长为5cm，正方形砖头的边长可以为1cm、2cm、3cm、4cm或5cm。
由于两种颜色的砖头必须完全分开铺，且不能有重叠部分，所以我们可以分别计算每种颜色砖头的铺法数量，然后相乘得到总的铺法数量。
对于红色砖头的铺法数量，我们可以考虑从左上角开始铺设。
当砖头的边长为1cm时，只有一种铺法。
当砖头的边长为2cm时，有两种铺法，水平或垂直放置。
当砖头的边长为3cm时，有三种铺法，水平放置、垂直放置或者斜放。
同理，当砖头的边长为4cm时，有四种铺法，水平放置、垂直放置、斜放或者两个合并一起放置。
当砖头的边长为5cm时，只有一种铺法，即整个正方形都用红色砖头铺满。
因此，红色砖头的铺法数量为1 + 2 + 3 + 4 + 1 = 11种。
同理，蓝色砖头的铺法数量也为11种。
总的铺法数量为11 * 11 = 121种。
专项练习应用题：1. 在一个正方形的边长为6cm的区域内，用红、蓝、黄三种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求三种颜色的砖头必须完全分开铺，且不能有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？2. 在一个正方形的边长为8cm的区域内，用红、蓝两种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求两种颜色的砖头必须完全分开铺，且不能有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？3. 在一个正方形的边长为10cm的区域内，用红、蓝、绿三种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求三种颜色的砖头必须完全分开铺，且不能有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？4. 在一个正方形的边长为7cm的区域内，用红、蓝两种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求两种颜色的砖头必须完全分开铺，但可以有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？5. 在一个正方形的边长为9cm的区域内，用红、蓝、绿三种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求三种颜色的砖头必须完全分开铺，但可以有重叠部分，那么一共有多少种不同的铺法？6. 有一条长度为10cm的线段，若将其分成三段长度相等的线段，那么一共有多少种不同的分法？7. 有一条长度为12cm的线段，若将其分成四段长度相等的线段，那么一共有多少种不同的分法？8. 有一条长度为15cm的线段，若将其分成五段长度相等的线段，那么一共有多少种不同的分法？9. 有一条长度为8cm的线段，若将其分成两段长度为整数的线段，且这两段线段的长度之差为1cm，那么一共有多少种不同的分法？10. 有一条长度为11cm的线段，若将其分成三段长度为整数的线段，且这三段线段的长度之差为1cm，那么一共有多少种不同的分法？11. 有一条长度为14cm的线段，若将其分成四段长度为整数的线段，且这四段线段的长度之差为1cm，那么一共有多少种不同的分法？12. 在一个正方形的边长为4cm的区域内，用红、蓝两种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求两种颜色的砖头可以重叠铺，那么一共有多少种不同的铺法？13. 在一个正方形的边长为6cm的区域内，用红、蓝、黄三种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求三种颜色的砖头可以重叠铺，那么一共有多少种不同的铺法？14. 在一个正方形的边长为9cm的区域内，用红、蓝、绿三种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求三种颜色的砖头可以重叠铺，那么一共有多少种不同的铺法？15.在一个正方形的边长为5cm的区域内，用红、蓝、黄、绿四种颜色的正方形砖头铺满，每个颜色的砖头都可以使用任意多个，要求四种颜色的砖头可以重叠铺，那么一共有多少种不同的铺法？例题2：题目：在一个正方形格子图中，每个格子都填上了数字0或1，使得每行每列的数字和都为偶数。
几何图形中的计数问题
几何图形中的计数问题（临泉田家炳实验中学 安庆旺 236400）将两个计数原理（分类加法计数原理、分步计数原理）与几何图形相结合，解决几何图形中的计数问题。
这类问题是在知识的交汇点处设计问题，具有一定的综合性和灵活性，是高考和竞赛考试的热点问题。
能较好地考查学生对两个原理的理解与应用，同时也能考查学生的空间想象能力、转化问题能力、分析问题和解决问题的能力。
下面举例说明。
1 适当分类例1 （1998高中数学联赛）在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是（ ）)(A 57 )(B 49 )(C 43 )(D 37解析：按共线三点组的性质进行适当分类: ①两端都是正方体顶点的共线三点组有2827828=⨯=C 个； ②两端都是正方体各棱中点的共线三点组有182312=⨯个； ③两端都是正方体各个面的中心的共线三点组有3216=⨯个 且没有其他的共线三点组，所以共线三点组共有4932818=++个.例2 在图1的86⨯方格中,点A,则以这些直线为边,且过点A 的矩形共有多少个？解析：构成矩形需要两条水平的边和两条竖直的边，在本题中，可根据点A 所在的位置进行分成三类：①当点A 为所选矩形的顶点时，必选水平的边4n 和竖直的边3m ，再从另外的水平边123567,,,,,n n n n n n 任选一条，从另外的竖直边12456789,,,,,,,m m m m m m m m 任选一条，一共有116848C C ⋅=个矩形；②当点A 在水平的边上，且不为顶点时，水平的边4n 必选，而竖直的边3m 不选，否则，A 为顶点，n6n5n4n3n2n1再从另外的水平边123567,,,,,n n n n n n 任选一条，从另外的竖直边12,m m 任选一条，456789,,,,,m m m m m m 任选一条，一共有11162672C C C ⋅⋅=个矩形； ③当点A 在竖直的边上，且不为顶点时，水平的边4n 不选，而竖直的边3m 必选，再从另外的水平边123,,n n n 任选一条，从567,,n n n 中任选一条，从竖直边12456789,,,,,,,m m m m m m m m 任选一条，一共有11133872C C C ⋅⋅=个矩形； 所以，以这些直线为边,且过点A 的矩形共有 487272192++=个。
小学奥数全国推荐四年级奥数通用学案附带练习题解析答案33几何计数(一)
年级四年级学科奥数版本通用版课程标题几何计数（一）在几何中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等。
这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的。
通常采用一种简单原始的计数方法——枚举法。
具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、无一遗漏，然后计算其总数。
我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点。
线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等图形最基本的元素。
因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的。
数线段：如果一条线段上有n＋1个点（包括两个端点）（或含有n条“基本线段”），那么这n＋1个点把这条线段一共分成的线段总数为n＋（n－1）＋…＋2＋1条。
数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边。
数三角形：可用数线段的方法（对应法）数如图所示的三角形，因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形。
同样一边在BC 上构成的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形。
例1数出下图中有多少条线段。
A B CD分析与解：方法一：我们可以采用以线段左端点分类来数的方法。
以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的线段有：CD 1条。
所以，图中共有线段3＋2＋1＝6（条）。
方法二：把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有：AC、BD 2条；由3条基本线段构成的线段有：AD 1条。
所以，图中一共有3＋2＋1＝6（条）线段。
例2 数出下图中总共有多少个角。
分析与解：在∠AOB 内有三条角分线1OC 、2OC 、3OC ，∠AOB 被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB 内总共有多少个角呢？首先有OB C OC C OC C AOC 332211∠∠∠∠、、、这4个基本角，其次是由2个基本角组成的角有3个（即∠2AOC 、∠31OC C 、∠OB C 2），然后是由3个基本角组成的角有2个（即∠3AOC 、∠OB C 1），最后是由4个基本角组成的角有1个（即∠AOB ），所以∠AOB 内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）。
几何中的计数问题公式
几何中的计数问题公式几何中计数问题是许多研究者和学生们持续关注的一个重要领域。
这种类型的问题不仅困难，而且提供了令人兴奋的机会来解决一些基本的几何问题。
几何中计数问题的解决方法往往会涉及到一些公式，这些公式可以帮助我们解决特定的几何问题。
其中一种最经典的公式就是欧几里得的算数公式。
欧几里得的算数公式非常简单而实用，是一个通项公式，可以应用于任何正整数的数学问题。
该公式通过涉及到四个项目“n+1”，“n-1”，“n+2”和“n-2”，可以表达一个数字连续增加或减少的量。
公式如下：F(n)=F(n-1) + [2F(n-2)-F(n+1)]欧几里得的算数公式可以被用来解决几何中的计数问题。
例如，在一个二维平面上，欧几里得的算数公式可以用来计算边缘图形的内角总角度的总和。
另外，欧几里得的算数公式还可以用来解决几何中复杂情况的计数问题。
比如，假如存在一个多维地理位置的空间，欧几里得的算数公式可以用来计算该空间位置上任何点到其他离散点的距离平均值。
此外，几何中的计数问题还可以用另一个通项公式来解决，这就是帕累托的领数公式。
该公式用于解决具有两个参数的几何计数问题，其中，一个参数表示位置，另一个参数表示指数。
公式如下：F(k,n)= 2^(k-1)*(n-1)!帕累托的领数公式可以用来解决几何中的多项式计数问题。
例如，可以用它来计算一个多面体所有面的总数，或者找到一个多面体的体积。
此外，几何中的计数问题也可以用另一种非常常见的公式来解决，即伽马函数。
伽马函数可以用来表示一个几何形状内任意两点之间的距离。
其公式如下：F(n,m)= 2^(-n/2)*sqrt(n)*sqrt(m)伽马函数可以用来计算一个几何体内部任何两点之间的距离，它还可以用来计算该几何体的表面积。
因此，可以看出，几何中的计数问题是可以通过使用不同的公式来解决的。
欧几里得的算数公式、帕累托的领数公式和伽马函数都可以为我们提供帮助，在解决一些几何中的计数问题时可以使用它们。
六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练： 第六讲 几何图形的计数趣谈(无答案)全国通用
第六讲几何图形的计数趣谈一、常用的几个简单几何图形的计数公式1．数线段、三角形、（锐）角的公式数出图 6－1 中各条线段上线段的总条数。
图 6－1(a)中只有两个点 A、B、只有一条线段。
图6－1(b)中有 A、B、C 三个点，这三个点将线段 AC 分割成 AB、BC 两条小线段，这两条小线段连起来组成一条新线段 AC，所以图 6－1(b)中有三条线段算式为 2＋1＝3。
图6－1(c)中有 A、B、C、D 四个点，这四个点将线段 AD 分割成 AB、BC、CD 三条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成两条新线段 AC、BD，然后相邻的三条小线段连起来组成一条新线段 AD，所以图 6－1(c)中共有 6 条线段，算式为 3 ＋2＋1＝6。
图6－1(d)中在有A、B、C、D、E 五个点，这五个点将线段 AE 分割成AB、BC、CD、DE 四条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成三条新线段 AC、BD、CE；再将相邻的三条小线段连起来又组成两条新线段 AD、BE；最后相邻的四条小线段连起来又组成一条新线段 AE。
所以图6－1(d)中共有 10 条线段。
算式为4＋3＋2＋1＝10。
图6－1(e)中有A、B、C、D、E、F 六个点，这六个点将线段分割成 AB、BC、CD、DE、EF 五条小线段；这五条小线段中的任意相邻两条小线段连起来又组成四条新线段AC、BD、CE、DF；然后将相邻三条小线段连在一起又组成三条新线段 AD、BE、CF；再将相邻四条小线段连起来又组成两条新线段 AE、BF；最后五条相邻小线段连起来又组成一条新线段 AF。
所以图6－1（e）中共有15 条线段。
算式为5＋4＋3＋2＋1＝15。
将上述几种情况一般化，如果某条线段上共有 n 个点（包括两个端点），那么这 n 个点将线段分割成 n－1 条小线段，这 n－1 条小线段中，任意相邻两条小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有 n－2 条。
第六讲几何图形的计数问题
第六讲几何图形的计数趣谈一、常用的几个简单几何图形的计数公式1．数线段、三角形、（锐）角的公式数出图6－1中各条线段上线段的总条数。
图6－1(a)中只有两个点A、B、只有一条线段。
图6－1(b)中有A、B、C三个点，这三个点将线段AC分割成AB、BC两条小线段，这两条小线段连起来组成一条新线段AC，所以图6－1(b)中有三条线段算式为2＋1＝3。
图6－1(c)中有A、B、C、D四个点，这四个点将线段AD分割成AB、BC、CD三条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成两条新线段AC、BD，然后相邻的三条小线段连起来组成一条新线段AD，所以图6－1(c)中共有6条线段，算式为3＋2＋1＝6。
图6－1(d)中在有A、B、C、D、E五个点，这五个点将线段AE分割成AB、BC、CD、DE四条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成三条新线段AC、BD、CE；再将相邻的三条小线段连起来又组成两条新线段AD、BE；最后相邻的四条小线段连起来又组成一条新线段AE。
所以图6－1(d)中共有10条线段。
算式为4＋3＋2＋1＝10。
图6－1(e)中有A、B、C、D、E、F六个点，这六个点将线段分割成AB、BC、CD、DE、EF五条小线段；这五条小线段中的任意相邻两条小线段连起来又组成四条新线段AC、BD、CE、DF；然后将相邻三条小线段连在一起又组成三条新线段AD、BE、CF；再将相邻四条小线段连起来又组成两条新线段AE、BF；最后五条相邻小线段连起来又组成一条新线段AF。
所以图6－1（e）中共有15条线段。
算式为5＋4＋3＋2＋1＝15。
将上述几种情况一般化，如果某条线段上共有n个点（包括两个端点），那么这n个点将线段分割成n－1条小线段，这n－1条小线段中，任意相邻两条小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－2条。
另外，这n－1条小线段中，任意三条相邻小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－3条。
dd05-春-04s-p06几何计数和图形剪拼
第六讲 几何计数和图形剪拼例 1 下列各图中，分别有几条线段？ 解：例 2、右图中各有多少个三角形？ 答：例 3、右图中有多少个锐角？ 答：例 4、数数右上图中有多少个长方形。
答：例 5、左图中有多少个平行四边形？右图中有多少个梯形？ 解：平行四边形： 梯形：例 6、数数右图中有多少个正方形。
答：总结： 数线段、三角形、角的公式： n＋(n-1)+(n-2)+……+2+1 数长方形、平行四边形、梯形的公式：(1+2+……＋n)×(1+2+……+m) 数正方形的公式：1×1+2×2+3×3+……+n×n= n ( n 1)( 2 n 1)6要明确公式中的 m，n 分别是什么含义，培养举一反三的能力，但切忌不管适用范围， ．．．．．．．． ． 乱用公式。
能利用公式的应用公式进行解决，不能应用公式的，要具体情况具体对待。
．．．．第 1 页 共 11 页 第六讲 几何计数和图形剪拼例 7、图中有多少个三角形？ 分析：右图中到底有多少个三角形，采用上面的办法不好解决， 为了计数的时候“不漏”，我们采用分类的办法解决。
解：例 8、下图中的正方形被分成 9 个相同的小正方形。
它们一共有 16 个顶点( 共同的顶点算一个)， 以其中不在同一条直线上的三个点为顶点， 可以构成三角形。
在这些三角形中，与阴影部分面积相等的有多少个？ 分析：为了方便起见，在图中标上字母，并假定每个小正方形的边 长为 1。
这样一来图中的阴影部分的面积是 3。
图中面积为 3 的三角形， 可以分两大类。
一类为底长为 2，高为 3；另一类为底长 3，高为 2。
先看底为 2， 高为 3 的三角形的个数是多少。
如果把底边选在 AD 上， 而在 AD 上有两条线段 AC、BD 的长为 2。
点 J、I、H、G 到线段 AD 的 距离为 3。
所以这时与阴影三角形面积相等的有三角形有 4× 个。