几何中的计数问题(一)
七年级数学奥数《几何图形的计数问题》教学课件
=268(个)．
• 例6、(1)、图1－70(a)中有多少个三角形？ • (2)、图1－70(b)中又有多少个三角形？
• 解： • (1) 图1－70(a)中有6条直线．一般来说，每3条直
线能围成一个三角形，但是这3条直线如果相交 于同一点，那么，它们就不能围成三角形了． • 从6条直线中选3条， • 有 6 5 4 20 种选法(见说明)，
有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个)， • 所以最小的三角形不是21个而是24个． • 于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59(个)． • 图中共有三角形59×2=118(个)．
• 例5、图1－69中有多少个等腰直角三角形？
• 解：图1－69中有5×5+4×4=41个点．在每点标 一个数，它等于以这点为直角顶点的等腰直角三 角形的个数．因此，共有等腰直角三角形
• (1)、若点Pn在某个小三角形的内部，如图1－73(a)，则原 小三角形的三个顶点连同Pn将这个小三角形一分为三， 即增加了两个小三角形；
• (2)、若点Pn在某两个小三角形公共边上，如图1－73(b)．
• 则这两个小三角形的顶点连同点Pn将这两个小三角形分 别一分为二，即也增加了两个小三角形．
• 4个圆最多将平面分成8+6=14个部分．
• 5个圆最多将平面分成14+8=22个部分．
• 所以，5个圆最多将平面分成22个部分．
• 说明：用上面类似的方法，我们可 以计算出n个圆最多分平面的部分 数为：
• 2+1×2+2×2+…+(n-1)×2
四年级奥数.计数综合.几何计数
几何计数知识结构一、公式计算法几何计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个数，也包括数立体图形的个数。
图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。
三年级学习的线段、长方形和正方形的计数就属于公式计算法。
（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，那么线段总数是（n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1（2）如果一个长方形的长边上有n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的总数是（1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m）（3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总数是n2＋（n－1）2＋（n－2）2＋…＋32＋22＋12上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。
二、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．重难点（1）分类数图形。
（2）对应法数图形。
例题精讲一、分类数图形【例 1】下图的两个图形（实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【巩固】如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【例 2】图中有______个正方形．【巩固】数一数：图中共有________ 个正方形。
【例 3】 右图中三角形共有 个．【巩固】 数一数图中有_______个三角形．【例 4】 图中共有多少个三角形？CB A【巩固】 下图是由边长为1的小三角形拼成，其中边长为4的三角形有_____个。
【例 5】 如图，每个小正方形的面积都是l 平方厘米。
则在此图中最多可以画出__________个面积是4平方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。
小学奥林匹克数学 竞赛数学 五年级 第6讲-几何计数
第6讲几何计数【例1】导引拓展篇第1题如图，数一数，图中有多少个三角形？包含1个小三角形的有25个包含4个小三角形的有13个包含9个小三角形的有6个包含16个小三角形的有3个包含25个小三角形的有1个++++=所以共有个251363148按照顺序数出图形个数【例2】导引拓展篇第2题数一数，两个图形中分别有多少个三角形？包含1块的三角形有5个；包含2块的三角形有4个；包含3块的三角形有1个；包含4块的三角形有1个；没有5块和6块的三角形；包含7块的大三角形1个；因此所有三角形一共有++++=5411112【例2】导引拓展篇第2题数一数，两个图形中分别有多少个三角形？ 共有12个三角形 增加10个三角形 增加10个三角形因此原图中共有个三角形． B C BA DEF12101032++=【例3】导引拓展篇第3题数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．整个五边形被分成了11块由1块构成的三角形有10个；由2块构成的三角形是10个；由3块构成的三角形共10个；由5块构成的三角形有5个．共有10＋10＋10＋5＝35个三角形。
【例3】导引拓展篇第3题数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．加上虚线就加上6个三角形变成35个三角形原图共有35－6＝29个三角形【例3】导引拓展篇第3题AB C增加了一条线段AC以AB为边增加三角形有4个，以BC为边增加三角形有2个，以AC为边增加三角形有6个，共增加12个共有35＋12＝47个三角形数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．【例4】导引拓展篇第4题数一数，图中有多少个三角形？两个部分中各有35个三角形第一种有10个第二种有5个原图中共有35×2＋10＋5＝85个三角形【例5】导引拓展篇第5题数一数图中共有多少个长方形？（正方形是特殊长方形）由1块组成的长方形共有7个由2块组成的长方形共有4个由3块组成的长方形共有2个由4块组成的长方形有1个由5块组成的长方形有1个由6块组成的长方形有1个由7块组成的长方形有1个图中共有长方形7＋4＋2＋1＋1＋1＋1＝17个【例6】导引拓展篇第5题如图所示的一个大菱形，那么图中共能数出多少个菱形？设最小的菱形边长为1边长为1的菱形共有4×4=16个边长为2的菱形共有3×3=9个边长为3的菱形共有2×2=4个边长为4的菱形有1×1=1个菱形共有16+9+4+1=30个2212＋（⋅⋅⋅⋅⋅⋅）1-nn＋＋【例7】导引拓展篇第7题这是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形．请问：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）包含黑点的长方形有多少个？(1)从5条横线中取2条横线共有种方法从10条竖线中取2条竖线共有中方法图中共有长方形 22510450C C ⨯=(2)黑点上面有2条横线，下面有3条横线所以有2×3=6种取法左边有6条竖线，右边有4条竖线 所以又4×6=24种取法 共有6×24=144个含黑点的长方形 21n 21m C C ++⨯m ×n 个网格中有 个长方形【例8】导引拓展篇第8题数一数，图中共有多少个长方形？左边阴影一共有长方形个 右方阴影一共有长方形个 被重复计算有个 图中一共包含长方形90+63-18=135个224690C C ⨯=227363C C ⨯=224318C C ⨯=【例9】导引拓展篇第9题图中共有多少个平行四边形？尖朝右、尖朝左和尖朝上三种最小的平行四边形有6个两个小平行四边形拼成的有6个三个小平行四边形拼成的有2个四个小平行四边形拼成的有1个共15个有15×3=45个平行四边形【例10】导引拓展篇第10题18个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形．数一数，图中共有多少个梯形？左上右下的斜线、左下右上的斜线和竖线三种左上右下：6×3+4=22个梯形左下右上： 6×3+4=22个梯形竖线梯形：5×2+2=12个所以共有22+22+12=56个梯形【例11】导引拓展篇第11题木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？三角形由不在同一直线的三点组的 从12个点中任意选择3个点有 共线三点组共有12+8=20个 所以共有220-20=200个三角形220C 312【例12】导引拓展篇第12题方格纸上放了20枚棋子，以棋子为顶点，可以连出多少正方形？最小方格有9个小正方形小正方形个数有4个小正方形个数有2个小正方形个数有4个小正方形个数有2个一共有9+4+2+4+2=21个【例13】导引拓展篇第13题图中，共有多少个不同的曲边形？中间是1个五角星，边上是5个小块1个小块：5+5=10个曲边型2个小块： 3个小块: 4个小块: 5个小块:1个共有10+10+10+5+1=36个曲边型10C 25=10C 35=5C 45=【例14】导引拓展篇第14题一个2×3的网格中，每个小正方形的面积都是1．那么以格点为顶点，可以连成多少个面积为1的三角形？底是2高是1、底是1高是2底是2高是1： 底是1高是2： 底是1高是2又是底是2高是1：直角三角形重复 重复直角三角形为1×2直角三角形1×2的长方形中由4个这样的直角三角形 重复共有4×7=28种面积为1的三角形共有：50+48-28=70种4×2 +4×2×2 +4×2 +9×2 =50种 3×4×2 +2×3×4 =48种本讲知识点汇总一、按照顺序数出图形个数二、m ×n 的方格中长方形的个数为 三、正方形以及菱形的个数为 四、可以通过对称或者图形相似简化计数过程21n 21m C C ++⨯22211-n n ＋＋）＋（⋅⋅⋅⋅⋅⋅下节课见！。
小学奥数经典专题点拨：几何图形计数
几何图形的计数【点与线的计数】例1如图5.45，每相邻的三个圆点组成一个小三角形，问：图中是这样的小三解形个数多还是圆点的个数多？（全国第二届“华杯赛”决赛试题）讲析：可用“分组对应法”来计数。
将每一排三角形个数与它的下行线进行对应比较。
第一排三角形有1个，其下行线有2点；第二排三角形有3个，其下行线有3点；第三排三角形有5个，其下行线有4点；以后每排三角形个数都比它的下行线上的点多。
所以是小三角形个数多。
例2直线m上有4个点，直线n上有5个点。
以这些点为顶点可以组成多少个三角形？（如图5.46）（哈尔滨市第十一届小学数学竞赛试题）讲析：本题只要数出各直线上有多少条线段，问题就好解决了。
直线n 上有5个点，这5点共可以组成4＋3＋3++2＋1＋1==10（条）线段。
以这些线段分别为底边，m 上的点为顶点，共可以组成4×1×100=40（个）三角形。
同理，m 上4个点可以组成6条线段。
以它们为底边，以n 上的点为顶点可以组成6×5×5==30（个）三角形。
所以，一共可以组成70个三角形。
【长方形与三角形的计数】例1图5.47中的正方形被分成9个相同的小正方形，个相同的小正方形，它们一共有它们一共有16个顶点，个顶点，以其中不在一条直线上的以其中不在一条直线上的3点为顶点，点为顶点，可以构成三角形。
可以构成三角形。
可以构成三角形。
在这些在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？（全国第三届“华杯赛”复赛试题）为3的三角形，或者高为2，底为3的三角形，都符合要求。
①底边长为2，高为3的三角形有2×4×4×4×4×4==32（个）； ②高为2，底边长为3的三角形有8×2×2==16（个）。
所以，包括图中阴影部分三角形共有48个。
例2 图5.48中共有_中共有_______个三角形。
小学奥数-几何计数-专题
知识框架图7 计数综合 7-8 几何计数1.掌握计数常用方法；2。
熟记一些计数公式及其推导方法； 3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等,并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数,若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循,但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n （n-1）+2;n 个三角形将平面最多分成3n （n-1)+2部分;n 个四边形将平面最多分成4n （n —1）+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．教学目标知识要点几何计数二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点（包括两个端点）(或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+（n-1）+…+2+1条数角:数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形:可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连,可构成一个三角形，共有15个三角形,同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的,对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段,则图中共有长方形（平行四边形）mn个．例题精讲【例 1】下图的两个图形(实线）是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍,那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？(4级）【例 2】用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形。
例谈与几何图形有关的计数问题
例谈与几何图形有关的计数问题山东省郓城第一中学（274700） 李迎春［摘 要］与几何图形有关的计数问题，一般以几何图形为载体，考查两个计数原理、排列与组合知识的应用，题目新颖独特，体现了在知识交汇处命题的特点。
文章结合几个典型例题，归纳总结这一类问题的求解策略，以帮助学生突破难点，提高学生解决问题的综合能力，发展学生的数学核心素养。
［关键词］几何图形；计数问题；排列；组合［中图分类号］G633.6［文献标识码］A［文章编号］ 1674-6058（2024）02-0028-03在各类数学考试中，与几何图形有关的计数问题频频出现。
这类问题一般以几何图形为载体，考查两个计数原理、排列与组合知识的应用，题目新颖独特，体现了在知识交汇处命题的特点。
这类问题该如何破解？本文结合具体例题进行分类解析。
一、“位置关系”问题“位置关系”问题是指结合几何图形的某种特征，利用两个计数原理、排列与组合知识加以计数的一类计算问题，通常是计算图形中含有多少对异面直线、含有多少个三角形、含有多少个平面等。
［例1］（1）若把两条异面直线叫作“一双”，则在一个正方体的十二条棱中可以构成异面直线（ ）。
A. 12双B. 24双C. 36双D. 48双（2）从正方体ABCD-A′B′C′D′的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到不同的四面体的个数为。
（3）在如图1所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，则不同的取法种数为。
解析：（1）画出正方体，如图2所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除重复计算的棱，则共有异面直线12×42=24（双），故选B。
（2）从8个顶点中任取4个有C48种方法，从中去掉6个面和6个对角面，所以有C48-12=58个不同的四面体。
（3）求不同的取法种数可分为三类。
第一类，从四棱锥的每个侧面上除点P外的5个点中任取3个点，有4C35种取法；第二类，从每个对角面上除点P外的4个点中任取3个点，有2C34种取法；第三类，在过点P的侧棱中，每一条棱上的3个点和与这条棱成异面直线的底面棱的中点也共面，有4C12种取法。
几何中的计数问题(一)
几何中的计数问题(一)
一. 数线段
计数线段的方法:一般地,如果一条线段被分成n条”基本线段”,则这条线段上所有线段的总条数是:
1+2+3+4+5+……+n=(1+n)×n÷2
练习题:
1.下列图形中各有多少条线段?
(1) ( )条线段
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
(2) ( )条线段
A1 A2 A3 A4 ……A20 A21
2.线段 AB上除两端外有49个点,问这条线段上共有多少条线段?
3.图中一共有多少条线段?
( )条线段
二. 数角
数角的方法可以采用数线段的方法来数.就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和,这个和里面最大的加数是基本角的个数.
练习题：
1.下图中各有多少个锐角?
( )个锐角 ( )个锐角4. 2.下图中有多少个角?
有（）个角
三. 数三角形
计算三角形的总数等于从1开始的几个连续自然数的和。
其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数。
练习题：下图中各有多少个三角形
（）个三角形（）个三角形
（）个三角形（）个三角形
作业：
1.10个同学下象棋，每2人之间都要比赛一场，一共要比赛多少场？
2.下图中共有多少条线段？
3.一个圆上，在不同位置有7个点，以这7个点为端点，一共可以连成多少条线段？
4.下图中各有多少个三角形。
5.下图中包含“*”号的三角形有多少个？
*。
小学奥数- 几何计数(一)
7-8-1几何计数（一）教学目标1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．知识要点一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成212232)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．例题精讲模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A ）3(B )4(C )5(D )6【巩固】中心对称图形是：绕某一点旋转180°后能和原来的图形重合的图形，轴对称图形是：沿着一条直线对折后两部分完全重合的图形，图的4个图形中，既是中心对称图形又是的轴对称图形的有个。
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几何中的计数问题(一)
一. 数线段
计数线段的方法:一般地,如果一条线段被分成n条”基本线段”,则这条线段上所有线段的总条数是:
1+2+3+4+5+……+n=(1+n)×n÷2
练习题:
1.下列图形中各有多少条线段?
(1) ( )条线段
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
(2) ( )条线段
A1 A2 A3 A4 ……A20 A21
2.线段 AB上除两端外有49个点,问这条线段上共有多少条线段?
3.图中一共有多少条线段?
( )条线段
二. 数角
数角的方法可以采用数线段的方法来数.就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和,这个和里面最大的加数是基本角的个数.
练习题：
1.下图中各有多少个锐角?
( )个锐角 ( )个锐角4. 2.下图中有多少个角?
有（）个角
三. 数三角形
计算三角形的总数等于从1开始的几个连续自然数的和。
其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数。
练习题：下图中各有多少个三角形
（）个三角形（）个三角形
（）个三角形（）个三角形
作业：
1.10个同学下象棋，每2人之间都要比赛一场，一共要比赛多少场？
2.下图中共有多少条线段？
3.一个圆上，在不同位置有7个点，以这7个点为端点，一共可以连成多少条线段？
4.下图中各有多少个三角形。
5.下图中包含“*”号的三角形有多少个？
*。