变量与函数

函数，是中学最难学的概念，也是最难教的概念 之一，而核心进行教学，甚至也有一部分教师至对 函数概念的认识达不到一定的层次和深度。
而函数概念的教学又是课堂教学的焦点， 因此研究函数历史，可以加深教师函数概念产生的 来龙去脉的理解、对函数概念内涵与外延的理解， 只有这样，教师在教学中才能抓住函数概念的核心， 设计出有思维深度的课堂教学。
第一点，关于举例。 善于举例是我们数学教师的三大基本功之 一。 一节新课所设计的例子，应该有怎样的讲 究？例子应该是本质突出的例子，不要旁 支太多。 旁支太多，就像一间房子里挂满了装饰品， 有时候会把承重墙弄倒了……

例如书本给了4个例子。第一个汽车的例子， 它比刘翔的例子可能更科学一点；电影票的例 子；水中涟漪圆面积和半径的关系；矩形周长 固定面积和边长的关系。 新教材练习中也给了4个具体的例子。书本上 为什么举这些例子呢？这些例子都是能让学生 感受到它们有一个确定的对应关系。 这节课最重要的就是： 让学生感受到这种对应关系。
3

归纳抽象，形成定义
设计意图： 通过让学生自己归纳总结，让学生经历
批判和相互推翻的过程，最终由学生将关键点
串联起来，形成与现行初中函数定义很接近的
定义，完成对函数概念内涵的第四次完整认识。
4 运用史料，促进理解


例5 寄信： 一个信封上有两个地址“北京二中分校 马岳老师收” 以及“北京四中 武红梅老师收”，此时邮递员还能把 信发出去吗？（“一对多”不是函数） 设计意图：通过寄信这个实际问题，引出“一对一” 与“多对一”的概念，从而让学生进一步理解函数的 定义。

设计意图：通过探究常量和变量，为研究函数
的概念做铺垫。
2. 探索研究形成概念．

设计意图：
通过例2的姚明职业生涯技术统计表格和例3 的天气变化图象，让学生从对函数解析式的 理解过渡到函数概念是两个变量间互相依赖
关系的认识，完成对函数概念内涵的第二次
抽象认识。
概念是“悟”出来的。
通过出租车计费的例子，让学生从 函数概念的变量的依赖关系过渡到两个变量的 对应关系，完成对函数概念内涵的第三次抽象 认识”。

背景说明
四 在起始课教学中融入数学史，可以了解 课程内容在数学发展史中所处的地位和作用， 促使学生对学期或本单元学习内容必要性的认 识； 五 在数学名题教学中融入数学史，体会、 感悟数学思想和方法； 六 在方法教学中融入数学史，欣赏、学 习数学家的智能、思想和奋斗精神。

为什么要研究函数概念探究课


另外，初次接触这一概念时，一开始给 他强烈的正面的例子，有利于学生对概念本 质的认识。当然，仅此是不够的。还需要有 变式。但一开始一定要举大量的正面例子。 所以，这节课的反例是否需要出现值得商榷。
关于例子的选择 教材所选得是既有科学性， 又不过时。 （如选一个手机缴费，过几年缴费的情况完 全不同了，数据就不合适了） 我们教学时选择的余地就比较大，但必须是 科学的基本符合实际的。
4 学生主体地位突出

概念的探究其实是一堆与概念相关的事 例的共同本质、特征的归纳。在这个过程中， 发挥了学生的主动性，让学生来说，问题当 中包含有什么变化的量，问题之间有什么关 系，而且是从数学史得到了启发，设计了教 学。这种做法值得提倡。
5 课堂教学注重细节
在教学的过程中，当进行到数字游戏时，在 学生思考之前，教师给了学生一个的提醒： 大家要用刚才学过的函数定义来思考这个问 题，来解释这个问题。 这一点很重要。希望我们的老师，我们的数 学教学能始终如一的贯彻这件事。 这是我们数学教学的一种要诀。
括出现行初中课本中的函数概念。
这样让学生沿着数学家曾经探索函数概念 走过的路，经学生对概念的
发展、内涵与外延认识得更加深刻。同时，能
够极大地培养学生的批判精神和探索精神，增
强学生经得起打击、受得起挫折的顽强品质。
教学设计赏析

教学过程： 1. 例1设情境引出课题

函数的定义分为传统定义和近代定义，函数的 两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发 点不同，传统定义是从运动变化的观点出发， 而近代定义是从集合、映射的观点出发。
现行数学教科书上使用的“函数”一词是转译词

我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》 （1895年）一书时，把“function”译成函数的。 中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含” 的意思，李善兰给出的定义是：“凡式中含天， 为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个 字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义 的含义是：“凡是公式中含有变量 ，则该式子 叫做天的函数。”所以“函数”是指公式里含有 变量的意思。

这节课的重点是让学生理解函数的概念， 从而会判断两个变量是否构成函。为此，设计
了让学生探究函数概念的教学过程。
学生对于函数概念的探究，是围绕 着一条明线和一条暗线展开的。明线为两个变
量，暗线为函数概念在历史上的几次演变过程。
学生在探究函数概念的过程中，经历了三次函
数概念的扩张，并最终归纳、总结、抽象、概
一节以函数历史发展为主线的 函数概念探究课
背景说明
这节课是课题“数学史融入中学数学
课堂教学”的一节研究课。
该课题对数学史融入中学数学教
学案例的研究主要从六个方面进行：
背景说明
一 在概念教学中融入数学史，加深对概 念的了解和认识，同时激发学生学习的兴 趣； 二 在定理教学中融入数学史，可知定 理产生的过程，并且可以深化对定理的理 解； 三 在公式教学中融入数学史，可知公 式产生的过程和作用；

函的解释
辞海中的解释： 函有7种解释，其中第一个解释是包含、包容， 第5种解释是信件 大新华字典： 函 匣；封套。信件 如来函， 函授；包容；包含。 小新华字典： 函 匣； 古代送信使用的是木匣

“函数”的来历

函数是英文单词function的翻译，做此翻译者 最早为中国清朝数学家李善兰，出现于其著作 《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因 是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”， 也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化， 或者说一个量中包含另一个量。 此后这个名称一直沿用，当然这和现代数学用 集合定义的函数有一定区别。function这个单 词也更多用于表达“功能”“起作用”的意思。

设计意图 ：进行课堂教学反馈，组织和指导 学生从知识、方法、情感角度总结本节课的 收获，为后续学习打基础。
感言：对此课题的选择所想
1 课题切中要害 此概念重要！但难讲！可以说是初中数 学教学中最难的一个概念。（教材从11章移 到14章，最后移到19章） 数学教学最终是概念教学.如果概念教学 到位，然后我们在进行解题教学中不断引导 学生，要求学生，久而久之，学生在数学学 习中就能逐渐形成理性思维和逻辑思维。


讲诉“函”字的古意，……。 讲诉李善兰借用“函”字的古意翻译 “function”为函数的故事。

设计意图：通过查看“函”字的古意以及聆听 李善兰创用“函数”一词的故事，使学生在体 验中获得对“函数”一词由来的认识。
5 举例分析

深化定义
（1）数字游戏 （2）半圆问题
6 归纳反馈，布置作业

感悟：
善于举例——数学教师的基本功之一 追溯历史
追问为什么？
真诚地感谢您 参与我们的交流与研讨！ qq: 277524882

2 教学环节设计流畅
从大的环节可以分为两个： 第一个是定义探索的过程，即引导学生通 过独立思考来获得对概念本质的理解； 第二个环节，是用这个概念做一些判断.

3 数学史的合理融入 （亮点之处）
这节课的数学史设计是很合理的，如明线和暗 线。 一是函数概念研究过程的展示。函数经过两百 多年，最后才形成一个很严格的概念； 二是对函数概念从国外引入我国以后，把 “function”翻译成“函数”这到底是一个什 么样的过程？ 函确实是与信件有关，这样的解释是一个很 好的方式。即形象又合理。

回到定义去
这是给了学生一种思考方法。 为什么很多学生遇到问题没有思路？或者想出 来了，也是偶然，不是必然。 什么时候会是必然的？这是值得我们去思考的 一个问题。怎样去教，才能使我们的学生通过 三年的学习能够学会进行有逻辑的思考、有序 的思考？ 回到定义去，这是最重要的方向。

6 商榷的地方

函数(function)这一名词,是德国的数学家 莱布尼茨17世纪首先采用的.在最初,莱布尼茨
用函数一词表示变量x的幂,即x2,x3,….其后莱布
尼茨还用函数一词表示.
李善兰其人



李善兰（1811年－1882年,李善兰）字壬叔，号秋 纫，中国清朝数学家。浙江嘉兴海宁人。 为中国近代数学家的前驱，清代数学史上的杰出代表。 他著述较多，主要著作都汇集在《则古昔斋算学》内， 13种24卷，成为清代数学史上的又一杰出代表。 他一生翻译西方科技书籍甚多，将近代科学最主要 的几门知识从天文学到植物细胞学的最新成果介绍传 入中国，对促进近代科学的发展作出卓越贡献。 他从事数学教育十余年，其间审定了《同文馆算学 课艺》、《同文馆珠算金鍼》等数学教材，培养了一 大批数学人才，是中国近代数学教育的鼻祖。


（兵一中学生的问题——我的亲历）
第二点 追求齐全，效果会怎样？
这节课教师给的例子包含了图象法、列表法、 解析式等三种表示方法，还用到了“半圆的问 题”。 有学生能说出“画一条和y轴平行的直线”， 这是非常好的学生。这个问题当年很多高中生 都答不出来，因为这种关系是用坐标给出的， 解释起来不是那么容易旳。 但我们需不需在第一节课上就给出如此多的表 达形式，值得思考。