2012届高三第一轮复习数学阶段测试卷(9.26(1)
(完整word)2012届高三数学一轮复习综合试卷3
高考综合演练3、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分）1A . 21C.45.如图，若是长方体ABCD ABQQ 1被平面EFCH 截去几何体EFGHBQ 后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH// A 1 D 1 , 则下列结论中不正确的是（ ）-厂「\；A. EH//FGB. 四边形EFGH 是矩形> V F f | I1 •若集合 X (A) X 22X(B)，则A B 是X 2X (C) (D)yXy X Da 的图象，可能正确的是（D ）则a 1°丄3 n N a nA . 28B . 334.已知非零向量C.33D . 28|a|b ，若a +2b 与a -2b 互相垂直,1b 1等于(B )B . 2D . 46•二项式（’7x 3'2^°的展开式中所得的x 的多项式中，系数为有理数的项共有（）A 、4项B 5项C 、 6项D 7项7•将7个市三好学生名额分配给 5个不同的学校，其中甲、乙两校至少各有两个名额，则不 同的分配方案种数有（ ）&某班有50名学生，在一次考试中，统计数学平均成绩为 70分，方差为102,后来发现2 80分却记为50分，乙实得60分却记为90分，更正后平均 成绩5C .4W x33D .— 2 W x w 4 或 4 wx 212.已知随机变量2服从正态分布N(0,)若P( >2)=0.023，贝y P(-2 2(A)0.477 (B)0.628 (C)0.954 (D)0.977、填空题（本大题共 4个小题，每小题 4分，共16 分）Tn13.设｛an ｝是等比数列，公比q亠,sn 为｛an ｝的前n 项和•记A . 25B. 35C.60 D . 120名同学的成绩有误，甲实得 和方差分别为A . 70, 90B . 70, 114 C. 65, 90D . 65, 114X9.曲线y x 2在点 1, 1处的切线方程为（ (A )y 2x 1(B )y 2x 1 (C ) y 2x 3(D ) y 2x 210.函数 f(x)2sin x cosx 是( )（A ）最小正周期为 2 n 的奇函数(B ) 最小正周期为2n 的偶函数 （C ）最小正周期为n的奇函数 (D )最小正周期为n 的偶函数x11•设 232，且 1 sin 2x =5^x+cosx,则()A . 0 W x <n3B .--4 W x W17S n S 2n,nan 1N ・设Tn0)为数列｛Tn｝的最大项，则n°=14.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为 P ,PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形•若PF1 10，双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是15.已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是 ____________________ .16 .设极点与原点重合，极轴与X 轴正半轴重合.已知曲线C1的极坐标方程是：x 2 2coscos( ) m3，曲线C2参数方程为：y 2sin (9为参数)，若两曲线有公共点，则实数 m 的取值范围是三、解答题(本大题共6个小题，总分74分)u _ r 亿若向量 m W 3sin X,0)n (cos X, sin x)(0)，在函数b UT r一 X [0 — ]时 f (X )f(x) m (m n) t 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为4 '且当 '3 '的最大值为1。
2012届高考数学一轮复习测试题及答案(一)
第一章集合与简易逻辑课时训练1集合的概念与运算【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.(2010四川成都模拟，1)已知集合A={x||x2-4|≤1,x∈Z},则集合A的真子集个数为（）A.2个B.1个C.4个D.3个答案：D解析：A={x|3≤x2≤5,x∈Z}={2,-2},故A的真子集个数为22-1=3. 2.(2010江苏苏州一模，1)设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B等于（）A.{1}B.{0，1}C.{0，1，2，3}D.{0，1，2，3，4}答案：A解析：B={0，1}，A∩（B）={1}.3.(2010河南新乡一模，1)已知M={y|y=x2},N={y|x2+y2=2},则M∩N 等于（）A.{（1，1），（-1，1）}B.{1}C.［0，1］D.［0，2］答案：D解析：∵M=［0，+∞］，N=［-2，2］，∴M∩N=［0，2］.4.给定集合A、B，定义一种新运算：A*B={x|x∈A或x∈B,但x∉A ∩B},又已知A={0，1，2}，B={1，2，3}，则A*B等于（）A.{0}B.{3}C.{0，3}D.{0，1，2，3}答案：C解析：依题意x∈A∪B,但x∉A∩B,而A∪B={0，1，2，3}，A∩B={1，2}故A*B={0，3}.5.设M={0，1}，N={11-a,lga,2a,a},若M∩N={1}，则a值（）A.存在，且有两个值B.存在，但只有一个值C.不存在D.无法确定答案：C解析：若11-a=1,则a=10,lga=1,与集合元素互异性矛盾，同理知lga≠1;若2a=1,则a=0,此时lga无意义；若a=1,则lga=0,此时M∩N={0，1}.故不存在这样的a值.6.设集合M={x|x-m<0},N={y|y=a x-1,a>0且a≠1,x∈R},若M∩N=∅，则m的范围是（）A.m≥-1B.m>-1C.m≤-1D.m<-1答案：C解析：M={x|x<m},N={y|y>-1}，又M∩N=∅，则m≤-1.7.已知向量的集合M={a|a=λ1(1,0)+(1+λ12)(0,1)，λ1∈R},N={a|a=(1,6)+λ2(2,4)，λ2∈R},则M∩N等于（）A.{（-1，2）}B.{（-1，2），（3，10）}C.∅D.{(1,2),(-1,2)}答案：B解析：M={a |a =(λ1,λ12+1),λ1∈R }，N={a |a =(1+2λ2,6+4λ2),λ2∈R },设a ∈M ∩N,则⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧+=++=.1,11,3,461,21212122121λλλλλλλλ或即故a =（3，10）或（-1，2）.二、填空题（每小题5分，共15分）8.下列各式：①2006⊆{x|x ≤2007};②2007∈{x|x ≤2007};③{2007}{x|x ≤2007};④∅∈{x|x<2007},其中正确的是____________. 答案：②③解析：①应为2006∈{x|x ≤2007};④应为∅{x|x<2007}.9.设全集U={x|0<x<6,x ∈N },A={x|x 2-5x+q=0},B={x|x 2+px+12=0},(A)∪B={1,3,4,5},则集合A=_____________B=_______________. 答案：{2，3}{3，4}解析：U={1，2，3，4，5}，由2∉{1,3,4,5}知2∈A ，∴22-5×2+q=0即q=6.∴A={2,3},A={1,4,5},故3∈B ，∴p=-7,B={3,4}.10.已知集合A={-1，2}，B={x|mx+1=0},若A ∩B=B ，则所有实数m 的值组成的集合是_______.答案：{0，1，-21}解析：A ∩B=B ⇒B ⊆A,故B 为∅或{-1}或{2}.当B=∅时，m=0;当B={-1}时，m=1;当B={2}时，m=-21.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.(2010浙江杭州二中模拟，15)已知集合A={x|x 2-3x+2=0},集合B={x|x 2-ax+a-1=0},若A ∪B=A ，求实数a 的值.解析：A={x|x 2-3x+2=0}={1,2}，A ∪B=A ⇒B ⊆A ；B={x|x 2-ax+a-1=0}={x|(x-1)(x-a+1)=0}；则有a-1=2⇒a=3或a-1=1⇒a=2.故实数a 的值为2或3.12.设函数f(x)=log 2(2x-3)的定义域为集合M ，函数g(x)=)1)(3(--x x 的定义域为集合N.（1）求集合M 、N ；（2）求集合M ∩N ，M ∪N ，（N ）∩M.解析：(1)由2x-3>0得x>23,故M={x|x>23},由（x-3）(x-1)>0得x<1或x>3,故N={x|x<1或x>3}.(2)M ∩N={x|x>3}，M ∪N={x|x<1或x>23}. ∵N={x|1≤x ≤3},∴(N)∩M={x|23<x ≤3}.13.已知集合A={x|x 2-6x+8<0},B={x|(x-a)(x-3a)<0}.(1)若A B,求a 的取值范围；（2）若A ∩B=∅,求a 的取值范围；(3)若A ∩B={x|3<x<4},求a 的取值范围.解析：A={x|2<x<4},当a>0时，B={x|a<x<3a};当a=0时，B=∅;当a<0时，B={x|3a<x<a}.(1)若A B ，则a>0且⎩⎨⎧≥≤,43,2a a 即34≤a ≤2.(2)若A ∩B=∅，则a ≤0满足;当a>0时，则3a ≤2或a ≥4.∴a 的取值范围为a ≤32或a ≥4.(3)若A ∩B={x|3<x<4}，当a>0时,则a>3；当a ≤0时不满足.∴a 的取值范围是a>3.14.已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a ∈A ，则a a -+11∈A. (1)若a=2,求出A 中其他所有元素.（2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a ∈A,再求出A 中的所有元素.（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？请证明你的猜想（给出一条即可）.解析：（1）由2∈A,得2121-+=-3∈A. 又由-3∈A ，得21)3(1)3(1-=---+∈A. 再由-21∈A ，得31)21(1)21(1=---+∈A.而31∈A 时，311311-+=2∈A. 故A 中元素为2，-3，-21，31. （2）0不是A 的元素.若0∈A ，则0101-+=1∈A ，而当1∈A 时，aa -+11不存在，故0不是A 的元素.取a=3,可得A={3,-2,-21,31}. (3)猜想：①A 中没有元素-1，0，1；②A 中有4个元素，且每两个互为负倒数.证明：①由上题，0、1∉A ，若0∈A ，则由a a -+11=0,得a=-1. 而当aa -+11=-1时，a 不存在，故-1∉A,A 中不可能有元素-1，0，1. ②设a 1∈A,则a 1∈A ⇒a 2=1111a a -+∈A ⇒a 3=2211a a -+=-11a ∈A ⇒a 4=3311a a -+=1111+-a a ∈A ⇒a 5=4411a a -+=a 1∈A. 又由集合元素的互异性知，A 中最多只有4个元素：a 1,a 2,a 3,a 4,且a 1a 3=-1,a 2a 4=-1,显然a 1≠a 3,a 2≠a 4.若a 1=a 2,即a 1=1111a a -+，得a 12+1=0, 此方程无解；同理，若a 1=a 4,即a 1=1111a a +-,此方程也无实数解. 故a 1≠a 2,a 1≠a 4.∴A 中有4个元素.。
2012高三数学一轮复习阶段性测试题(6)：数列
阶段性测试题六(数 列)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1．(文)(2011·北京朝阳区期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，则a 2等于( )A ．4B ．2C ．1D ．－2[答案] A[解析] S 1＝2a 1－2＝a 1，∴a 1＝2，S 2＝2a 2－2＝a 1＋a 2，∴a 2＝4.(理)(2011·江西南昌市调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴{S n n }是首项为a 1，公差为d2的等差数列，∵S 33－S 22＝1，∴d2＝1，∴d ＝2. 2．(2011·北京西城区期末)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3C.a n ＋1a nD.S n ＋1S n[答案] D[解析] 等比数列{a n }满足8a 2＋a 5＝0，即a 2(8＋q 3)＝0，∴q ＝－2，∴a 5a 3＝q 2＝4，a n ＋1a n＝q ＝－2，S 5S 3＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 3)1－q ＝1－q 51－q 3＝113，都是确定的数值，但S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－q n的值随n 的变化而变化，故选D.3．(文)(2011·巢湖质检)设数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋a n ＋1＝2，则a 2011的值为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－2[答案] C[解析] ∵a 1＝0，a n ＋a n ＋1＝2，∴a 2＝2，a 3＝0，a 4＝2，a 5＝0，…，即a 2k －1＝0，a 2k ＝2，∴a 2011＝0.(理)(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5 D.15[答案] A[分析] 根据数列满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)．由对数的运算法则，得出a n ＋1与a n 的关系，判断数列的类型，再结合a 2＋a 4＋a 6＝9得出a 5＋a 7＋a 9的值．[解析] 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)得，a n ＋1＝3a n ，∴数列{a n }是公比等于3的等比数列，∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝35， ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝－log 335＝－5.4．(2011·辽宁丹东四校联考)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为正偶数时，n 的值可以是( ) A ．1 B ．2 C ．5 D ．3或11[答案] D[解析] ∵{a n }与{b n }为等差数列，∴a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1，将选项代入检验知选D.5．(2011·安徽百校论坛联考)已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定[答案] C[解析] 由条件知，a ＋b ＝2A ，ab ＝G 2，∴A ＝a ＋b2≥ab ＝G >0，∴AG ≥G 2，即AG ≥ab ，故选C.6．(2011·潍坊一中期末)各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A.1－52B.5＋12C.5－12D.5＋12或5－12[答案] C[解析] ∵a 2，12a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1，∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2＝a 1q ＋a 1，∴q 2－q －1＝0，∵q >0，∴q ＝5＋12. ∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q＝5－12，故选C.7．(文)(2011·四川资阳模拟)数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －49，当该数列的前n 项和S n达到最小时，n 等于( )A ．24B ．25C ．26D ．27[答案] A[解析] 解法1：a 1＝－47，d ＝2，∴S n ＝－47n ＋n (n －1)2×2＝n 2－48n ＝(n －24)2－576，故选A.解法2：由a n ＝2n －49≤0得n ≤24.5，∵n ∈Z ，∴n ≤24，故选A.(理)(2011·山东实验中学期末)已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( )A ．11B ．19C ．20D ．21 [答案] B[解析] ∵S n 有最大值，∴a 1>0，d <0，∵a 11a 10<－1，∴a 11<0，a 10>0，∴a 10＋a 11<0， ∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0，又S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0，故选B.8．(文)(2011湖北荆门市调研)数列{a n }是等差数列，公差d ≠0，且a 2046＋a 1978－a 22012＝0，{b n }是等比数列，且b 2012＝a 2012，则b 2010·b 2014＝( )A ．0B ．1C ．4D ．8[答案] C[解析] ∵a 2046＋a 1978＝2a 2012，∴2a 2012－a 22012＝0， ∴a 2012＝0或2，∵{b n }是等比数列，b 2012＝a 2012，∴b 2012＝2， ∴b 2010·b 2014＝b 22012＝4.(理)(2011·豫南九校联考)设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝( )A ．1033B ．1034C ．2057D ．2058[答案] A[解析] a n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 29＝(1＋1)＋(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(29＋1)＝10＋1×(210－1)2－1＝210＋9＝1033.9．(2011·重庆南开中学期末)已知各项均为正数的等比数列{a n }的首项a 1＝3，前三项的和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．33B ．72C ．84D ．189[答案] C[解析] ∵a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，∴q 2＋q －6＝0，∵a n >0，∴q >0，∴q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝(a 1＋a 2＋a 3)·q 2＝84，故选C.10．(2011·四川广元诊断)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2011，则m ＝( )A ．1004B ．1005C ．1006D ．1007 [答案] C[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13a 1＋3×22d ＝a 1＋4d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2， ∵a m ＝a 1＋(m －1)d ＝1＋2(m －1)＝2m －1＝2011，∴m ＝1006，故选C.11．(2011·辽宁铁岭六校联考)设{a n }是由正数组成的等差数列，{b n }是由正数组成的等比数列，且a 1＝b 1，a 2003＝b 2003，则( )A ．a 1002>b 1002B ．a 1002＝b 1002C ．a 1002≥b 1002D ．a 1002≤b 1002[答案] C[解析] a 1002＝a 1＋a 20032≥2a 1a 20032＝b 1b 2003＝b 1002，故选C.12．(2011·蚌埠二中质检)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝6n －4，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，则在数列{a n }的前100项中与数列{b n }中相同的项有( )A ．50项B ．34项C ．6项D ．5项[答案] D[解析] a 1＝2＝b 1，a 2＝8＝b 3，a 3＝14，a 4＝20，a 5＝26，a 6＝32＝b 5，又b 10＝210＝1024>a 100，b 9＝512，令6n －4＝512，则n ＝86，∴a 86＝b 9，b 8＝256，令6n －4＝256，∵n ∈Z ，∴无解，b 7＝128，令6n －4＝128，则n ＝22，∴a 22＝b 7，b 6＝64＝6n －4无解，综上知，数列{a n }的前100项中与{b n }相同的项有5项．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2011·四川广元诊断)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝1－1a n，a 1＝2，记数列{a n }的前n 项之积为P n ，则P 2011＝________.[答案] 2[解析] a 1＝2，a 2＝1－12＝12，a 3＝1－2＝－1，a 4＝1－(－1)＝2，∴{a n }的周期为3，且a 1a 2a 3＝－1，∴P 2011＝(a 1a 2a 3)670·a 2011＝(－1)670·a 1＝2.14．(2011·湖北荆门调研)秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．[答案] 255[解析] ∵a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，∴n 为奇数时，a n ＋2＝a n ，n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，即数列{a n }的奇数项为常数列，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列．故这30天入院治疗流感人数共有15＋(15×2＋15×142×2)＝255人．15．(2011·辽宁沈阳二中检测)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 3＋a 10a 1＋a 8＝________.[答案] 3－2 2[解析] ∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，设数列{a n }公比为q ，则a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∵a 1≠0，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝－1±2，∵a n >0，∴q ＝2－1，∴a 3＋a 10a 1＋a 8＝q 2＝3－2 2. 16．(文)(2011·浙江宁波八校联考)在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a ＋b ＋c 的值为________．[答案] 22[解析] 由横行成等差数列知，6下边为3，从纵列成等比数列及所有公比相等知，公比q ＝2，∴b ＝2×2＝4由横行等差知c 下边为4＋62＝5，故c ＝5×2＝10，由纵列公比为2知a ＝1×23＝8，∴a ＋b ＋c ＝22.(理)(2011·华安、连城、永安、泉港、漳平、龙海六校联考)有一个数阵排列如下：则第20行从左至右第10个数字为________． [答案] 426[解析] 第1斜行有一个数字，第2斜行有2个数字，…第n 斜行有n 个数字，第20行从左向右数第10个数字在第29斜行，为倒数第10个数字，∵29×(29＋1)2＝435，∴第20行从左向右数第10个数字为435－9＝426.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)(2011·四川广元诊断)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝3－b n .①求数列{a n }和{b n }的通项公式；②设c n ＝14a n ·13b n ，求数列{c n }的前n 项和R n 的表达式．[解析] ①由题意得a n ＝S n －S n －1＝4n －4(n ≥2) 而n ＝1时a 1＝S 1＝0也符合上式 ∴a n ＝4n －4(n ∈N ＋)又∵b n ＝T n －T n －1＝b n －1－b n ， ∴b n b n －1＝12∴{b n }是公比为12的等比数列，而b 1＝T 1＝3－b 1，∴b 1＝32，∴b n ＝32⎝⎛⎭⎫12n －1＝3·⎝⎛⎭⎫12n (n ∈N ＋)． ②C n ＝14a n ·13b n ＝14(4n －4)×13×3⎝⎛⎭⎫12n＝(n －1)⎝⎛⎭⎫12n，∴R n ＝C 1＋C 2＋C 3＋…＋C n＝⎝⎛⎭⎫122＋2·⎝⎛⎭⎫123＋3·⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ∴12R n ＝⎝⎛⎭⎫123＋2·⎝⎛⎭⎫124＋…＋(n －2)⎝⎛⎭⎫12n ＋(n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1 ∴12R n ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1， ∴R n ＝1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫12n.18．(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ＋q (p ，q ∈R )，n ∈N *.(1)求q 的值；(2)若a 3＝8，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和． [解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝p －2＋q ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn 2－2n ＋q －p (n －1)2＋2(n －1)－q ＝2pn －p －2 ∵{a n }是等差数列，∴p －2＋q ＝2p －q －2，∴q ＝0. (2)∵a 3＝8，a 3＝6p －p －2，∴6p －p －2＝8，∴p ＝2， ∴a n ＝4n －4，又a n ＝4log 2b n ，得b n ＝2n －1，故{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列．所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1－2n )1－2＝2n－1.19．(本小题满分12分)(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知数列{b n }前n 项和为S n ，且b 1＝1，b n ＋1＝13S n .(1)求b 2，b 3，b 4的值； (2)求{b n }的通项公式；(3)求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 的值．[解析] (1)b 2＝13S 1＝13b 1＝13，b 3＝13S 2＝13(b 1＋b 2)＝49，b 4＝13S 3＝13(b 1＋b 2＋b 3)＝1627.(2)⎩⎨⎧b n ＋1＝13S n ①b n＝13Sn －1②①－②解b n ＋1－b n ＝13b n ，∴b n ＋1＝43b n ，∵b 2＝13，∴b n ＝13·⎝⎛⎭⎫43n －2(n ≥2)∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)13·⎝⎛⎭⎫43n －2(n ≥2).(3)b 2，b 4，b 6…b 2n 是首项为13，公比⎝⎛⎭⎫432的等比数列， ∴b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝13[1－(43)2n ]1－⎝⎛⎭⎫432＝37[(43)2n －1]． 20．(本小题满分12分)(2011·湖南长沙一中月考)已知f (x )＝m x (m 为常数，m >0且m ≠1)．设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )…(n ∈N )是首项为m 2，公比为m 的等比数列．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)若b n ＝a n f (a n )，且数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ；(3)若c n ＝f (a n )lg f (a n )，问是否存在m ，使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由题意f (a n )＝m 2·m n －1，即ma n ＝m n ＋1.∴a n ＝n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由题意b n ＝a n f (a n )＝(n ＋1)·m n ＋1，当m ＝2时，b n ＝(n ＋1)·2n ＋1，∴S n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n ＋1)·2n ＋1①①式两端同乘以2得，2S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2②②－①并整理得，S n ＝－2·22－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22－(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22－22(1－2n )1－2＋(n ＋1)·2n ＋2＝－22＋22(1－2n )＋(n ＋1)·2n ＋2＝2n ＋2·n .(3)由题意c n ＝f (a n )·lg f (a n )＝m n ＋1·lg m n ＋1＝(n ＋1)·m n ＋1·lg m ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *成立，即(n ＋1)·m n ＋1·lg m <(n ＋2)·m n ＋2·lg m ，对一切n ∈N *成立，①当m >1时，lg m >0，所以n ＋1<m (n ＋2)对一切n ∈N *恒成立； ②当0<m <1时，lg m <0，所以n ＋1n ＋2>m 对一切n ∈N *成立，因为n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2的最小值为23，所以0<m <23.综上，当0<m <23或m >1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项．21．(本小题满分12分)(2011·烟台调研)将函数f (x )＝sin 14x ·sin 14(x ＋2π)·sin 12(x ＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a n }(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式． [解析] (1)化简f (x )＝sin 14x ·sin 14(x ＋2π)·sin 12(x ＋3π)＝sin x 4cos x 4·⎝⎛⎭⎫－cos x 2＝－14sin x 其极值点为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，它在(0，＋∞)内的全部极值点构成以π2为首项，π为公差的等差数列，a n ＝π2＋(n －1)·π＝2n －12π(n ∈N *)．(2)b n ＝2n a n ＝π2(2n －1)·2n∴T n ＝π2[1·2＋3·22＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ]2T n ＝π2[1·22＋3·23＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1]相减得，－T n ＝π2[1·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n －(2n －1)·2n ＋1]∴T n ＝π[(2n －3)·2n ＋3]．22．(本小题满分12分)(文)(2011·重庆南开中学期末)已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＋a n n ＋1＝8a n ＋1－a n(n ∈N *)，设b n ＝1a n ，S n ＝b 21＋b 22＋…＋b 2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n <14.[解析] (1)∵a n ＋1＋a n n ＋1＝8a n ＋1－a n，∴a 2n ＋1－a 2n ＝8(n ＋1)，∴a 2n ＝(a 2n －a 2n －1)＋(a 2n －1－a 2n －2)＋…＋(a 22－a 21)＋a 21＝8[n ＋(n －1)＋…＋2]＋9＝(2n ＋1)2，∴a n ＝2n ＋1. (2)b 2n＝1a 2n＝1(2n ＋1)2<14n (n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ∴S n <14[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝14(1－1n ＋1)<14.(理)(2011·四川资阳模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1，求数列{b n }的通项公式；(3)令c n ＝a n b n4(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ，知a 1＝2满足该式 ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1(n ≥1)①∴a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1②②－①得，b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)， 故b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *)．(3)c n ＝a n b n 4＝n (3n ＋1)＝n ·3n ＋n ， ∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n )＋(1＋2＋…＋n ) 令H n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ，① 则3H n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1② ①－②得，－2H n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ×3n ＋1＝3(1－3n )1－3－n ×3n ＋1 ∴H n ＝(2n －1)×3n ＋1＋34， ∴数列{c n }的前n 项和T n ＝(2n －1)×3n ＋1＋34＋n (n ＋1)2.。
2012届高考数学一轮复习测试题及答案(九)
第三章数列 课时训练16数列的概念【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟. 一、选择题（每小题6分，共42分）1.数列3，7，13，21，31，…的一个通项公式为（） A.4n-1B.n 3-n 2+n+2 C.n 2+n+1D.n(n-1)(n+2) 【答案】C【解析】令n=3,排除A 、B 、D.2.数列{a n }中，a 1=2,a 2=5,a n+1=a n+2+a n ,则a 6等于（） A.-3B.-4C.-5D.2 【答案】A【解析】a 3=a 2-a 1=3,a 4=a 3-a 2=-2,a 5=a 4-a 3=-5,a 6=a 5-a 4=-3. 3.数列24,17,810,35b a b a -+,…中，有序数对（a,b ）可以是（） A.（21，-5）B.（16，-1） C.（-211,241）D.（211,241-） 【答案】C【解析】通项公式为)2(1)1(2+++n n n ,故⎩⎨⎧=-=+.26,15b a b a∴a=241,b=-211.4.数列{a n }中，a 1=1，对所有的n ≥2且n ∈N *,都有a 1a 2…a n =n 2,则a 3+a 5等于（） A.925B.1625C.1661D.1531 【答案】C【解析】当n ≥2时，a n =221212)1(-=-n n a a a n n ， 故a 3+a 5=166145232222=+.5.数列{a n }的前n 项和为S n =4n 2-n+2,则该数列的通项公式为() A.a n =8n+5(n ∈N *)B.a n =⎩⎨⎧∈≥-=),2(58)1(5*N n n n nC.a n =8n+5(n ≥2)D.a n =8n+5(n ≥1) 【答案】B【解析】a 1=S 1=4×12-1+2=5,排除A 、C 、D.6.若数列{a n }前8项的值各异且a n+8=a n 对任意n ∈N *都成立，则下列数列中可取遍{a n }前8项值的数列为() A.{a 2k+1}B.{a 3k+1}C.{a 4k+1}D.{a 6k+1} 【答案】B【解析】∵2k+1,4k+1,6k+1只能取奇数，又周期为8，故排除A 、C 、D.选B.7.(2010全国大联考,12)一个机器猫每秒钟前进或后退1步，程序设计人员让机器猫以每前进3步后再后退2步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长，令P （n ）表示第n 秒时机器猫所在的位置的坐标，且P(0)=0，那么下列结论中错误的是()A.P （3）=3B.P （5）=1C.P （101）=21D.P （103）＜P(104) 【答案】D【解析】易知A 、B 正确，又机器猫每5秒钟实际向前进一步，故P （101）=P （5×20+1）=21,P （103）=P （20×5+3）=23,P(104)=P(20×5+3+1)=23-1=22,故选D.二、填空题（每小题5分，共15分） 8.已知a 1=1,a n =1+11-n a (n ≥2,n ∈N *),则a 5=________________.【答案】58【解析】a 2=1+11=2,a 3=23,a 4=35,a 5=58.9.(2010北京西城区模拟，14)定义运算符号：“Ⅱ”，这个符号表示若干个数相乘.例如：可将1×2×3×…×n 记作∏=ni i 1(n ∈N *).记T n =∏=ni i a 1,其中a i 为数列{a n }(n ∈N *)中的第i 项. (1)若a n =2n-1，则T 4=__________________； （2）若T n =n 3(n ∈N *),则a n =______________. 【答案】(1)105(2)n=1时，a 1=1;n ≥2时，a n =（1-n n）2 【解析】(1)a n =2n-1⇒a 1=1,a 2=3,a 3=5,a 4=7. ∴T 4=1×3×5×7=105.(2)T n =n 2,当n ≥2时，2221)1()1(-=-=-n n n n T T n n =a n .当n=1时，a 1=T 1=1.∴当n=1时，a 1=1;当n ≥2时，a n =（1-n n）2. 10.将正偶数按下表排成5列那么2006应在_________行,第____________列. 【答案】262【解析】因2006=2×1003=2×4×25+2×3. 故2006应第26行，由于是偶数行，故应在第2列.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分） 11.已知数列{a n }的通项公式为a n =41n 2-6131217+n ,问21是否为数列{a n }中的项？【解析】依题意，实际上要判断关于n 的方程21=41n 2-6131217+n 是否有正整数解.解方程得：n=4或n=35(舍)， ∴21是数列{a n }中的第四项.12.已知下面各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式. (1)S n =2n 2-3n ；(2)S n =3n -2.【解析】(1)当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n 2-3n-［2(n-1)2-3(n-1)］=4n-5. 当n=1时，a 1=S 1=-1满足上式，∴a n =4n-5.(2)当n ≥2时，a n =S n -S n-1=(3n -2)-(3n-1-2)=2×3n-1, 当n=1时，a 1=S 1=3-2=1,∴a n =⎩⎨⎧≥⨯=-).2(32),1(.11n n n 13.写出满足下列条件的数列的前5项，并归纳出通项公式. (1)a 1=0,a n+1=a n +(2n-1)(n ∈N *); (2)a 1=1,a n+1=nna a +22(n ∈N *). 【解析】(1)a 1=0,a 2=1,a 3=4,a 4=9,a 5=16,a n =(n-1)2. (2)a 1=1,a 2=32,a 3=21,a 4=52,a 5=31,a n =12+n . 14.设f(x)=log 2x-log x 4(0＜x ＜1),数列{a n }的通项满足f(na 2)=2n(n ∈N *),问：{a n }有没有最小的项？若有求出，若没有请说明理由. 【解析】∵f(na 2)=log 2na 2-log na 24=2n,∴a n -na 2=2n, 即a n 2-2na n -2=0, 解得：a n =n ±22+n . 又∵0＜x ＜1,∴0＜na 2＜1,∴a n ＜0，故a n =n-22+n .∴2)1()1(2212)1()1(122)1()1(2222221++++++=++++++=+-++-+=+n n n n n n n n n n n n a a n n ＜1.而a n＜0，∴a n+1＞a n,故数列{a n}是递增数列，其最小的项是a1=1-3.。
2012高三数学一轮复习阶段性测试题(2)：函数1(2021年整理)
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阶段性测试题二(函数)本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分.考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
）1．(文）(2011·山东日照调研）函数f（x）＝ln(x＋1）－错误!(x〉0)的零点所在的大致区间是( ）A．(0，1）B．(1,2)C．（2，e) D．(3，4）[答案] B[解析] f(1）＝ln2－2<0，f（2)＝ln3－1〉0，又y＝ln（x＋1)是增函数，y＝－错误!在（0,＋∞)上也是增函数，∴f(x）在(0,＋∞）上是增函数，∴f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点．(理）（2011·宁夏银川一中检测）已知a是f（x）＝2x－log错误!x的零点，若0<x0〈a,则f(x0）的值满足（)A．f(x0)＝0 B．f(x0）〈0C．f(x0)>0 D．f（x0)的符号不确定［答案] B[解析］∵函数f（x)＝2x＋log2x在（0，＋∞）上单调递增，且这个函数有零点，∴这个零点是唯一的，根据函数的单调递增性知，在(0，a）上这个函数的函数值小于零，即f(x0）〈0.[点评］在定义域上单调的函数如果有零点，则只能有唯一的零点,并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间,在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零．2．（文)(2011·辽宁丹东四校联考)若关于x的方程log错误!x＝错误!在区间（0，1）上有解，则实数m的取值范围是（)A．(0，1) B．(1，2)C．（－∞，1)∪(2,＋∞）D．(－∞，0）∪(1，＋∞)[答案] A[分析］要使方程有解,只要错误!在函数y＝log错误!x(0〈x〈1）的值域内，即错误!>0.［解析] ∵x∈(0,1)，∴log错误!x〉0，∴错误!〉0,∴0<m<1。
2012届高三数学一轮复习阶段性测试题10(北师大版))
阶段性测试题十(算法初步)理阶段性测试题十(算法初步、框图)文本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2010·天津卷)阅读右边的程序框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写()A．i<3？B．i<4?C．i<5? D．i<6?[答案] D[解析]第一步：i＝1，S＝2；第二步：S＝1，i＝3；第三步：S＝－2，i＝5；第四步：S＝－7，i＝7；输出S的值为－7，故选D.2．(2011·西安模拟)以下程序中，输出时A的值是输入时A的值的()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍[答案] D[解析]输入A，A＝A＋A＝2A，A＝2]3．(2011·临川一模)下面的程序框图给出了计算数列{a n}的前8项和S的算法，算法执行完毕后，输出的S为()A．8 B．63C．92 D．129[答案] C[解析]程序框图是计算S＝1＋2＋4＋7＋11＋16＋22＋29＝92，∴输出的S为92，故选C.4．(2009·福建6)阅读下图所示的流程图，运行相应的程序，输出的结果是()A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] D[解析] 本小题主要考查流程图等基础知识．由程序框图易知输出的结果是4，故选D. 5．(2011·宣城调研)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a ＋2b,2b ＋c,2c ＋3d,4d ，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为( )A ．4,6,1,7B ．7,6,1,4C ．6,4,1,7D ．1,6,4,7 [答案] C[解析] 因加密规则可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝142b ＋c ＝92c ＋3d ＝234d ＝28⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝4c ＝1d ＝7故明文为6,4,1,7.6．(理)(2010·凤阳一模)如图，如果执行下边的流程图，那么输出的C ＝________.A ．3B ．5C ．8D ．13 [答案] B[解析] 此程序共执行了三次循环，最后输出的C 的值为5. (文)要表示直线与圆的位置关系最好用下列哪种框图来表示( ) A ．流程图B ．程序框图C ．结构图D ．统筹图[答案] C[解析] 直线与圆有三种位置关系：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离，它们三者是并列关系，都从属与直线与圆的位置关系，故宜用结构图表示．7．如图所示的程序框图输出的结果是( )A.34B.45C.56D.67[答案] C[解析] i ＝1≤4满足，执行第一次循环后，A ＝23，i ＝2；i ＝2≤4满足，执行第二次循环后，A ＝34，i ＝3；i ＝3≤4满足，执行第三次循环后，A ＝45，i ＝4；i ＝4≤4满足，执行第四次循环后，A ＝56，i ＝5；i ＝5≤4不满足，跳出循环，输出A ＝56. 8．(2011·吴旗模拟)下面是一个算法的程框图，当输入的x 值为3时，输出y 的结果恰好是13，则(1)处的关系式是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝3－xC ．y ＝3xD ．y ＝x 13[答案] C[解析] 当输入x 值为3时，得3－2＝1，则1－2＝－1，因为3－1＝13.故选C.9．阅读下列程序：x ＝input (“x ＝”)；if x<0y ＝－x ＋1；elseif x ＝0y ＝0； else y ＝x ＋1； end endprint (%io (2)，y )；则该程序对应的程序框图(如图)中，①、②两个判别框内要填写的内容分别是( ) A ．x >0 x <0 B ．x >0 x ＝0 C ．x <0 x ＝0 D ．x ≥0 x <0[答案] C[解析] 由题设可知：题中给出的是分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1 x<00 x ＝0x ＋1 x >0，求函数的函数值的程序对应的程序框①处的条件成立时，选用y ＝－x ＋1来求值，故值x <0；②处的条件成立时，选用y ＝0来求值，故填x ＝0.10．(2011·安徽安庆调研)执行如图所示的流程图，若输出的n ＝5，则输入整数p 的最小值是( )A ．3B ．7C ．15D ．31[分析] 本题在知识方面主要考查同学们对流程图结构的识别及等比数列求和的有关知识，在能力方面主要考查学生处理问题和分析问题的逻辑思维能力．处理此类问题时，一定要注意多写几步，从中观察得出答案．本题若将n ＝n ＋1与S ＝S ＋2n －1的位置调换一下，则情况又如何呢？同学们可以考虑一下．[答案] C[解析] 第一次循环后，S ＝0＋1＝1，n ＝2；第二次循环后S ＝0＋1＋2＝3，n ＝3 第三次循环后，S ＝0＋1＋2＋22＝7，n ＝4； 第四次循环后，S ＝0＋1＋2＋22＋23＝15，n ＝5； 所以只需使p ＝15，便可使得循环结束，输出n 的值为5.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(2010·江苏卷)下图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________．[答案] 63[解析] 本题主要考查程序框图的相关知识，求解的关键是确定循环的次数，再进行运算即可得到输出的结果．由算法流程图知，当n ＝1时，S ＝1＝21＝3；当n ＝2时，S ＝3＋22＝7；当n ＝3时，S ＝7＋23＝15；当n ＝4时，S ＝15＋24＝31；当n ＝5时，S ＝31＋25＝63>33，循环结束，故输出S 的值是63.12．(2011·江苏扬州模拟)给出一个算法： 输入x If x ≤0 Then f (x )←4x Else f (x )←2x End If End If 输出f (x )根据以上算法，可求得f (－1)＋f (2)＝________. [答案] 0[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≤0，2x ，x >0，∴f (－1)＋f (2)＝－4＋22＝0.13．(文)(2011·常州)根据下图：则“函数的应用”包括的主要内容有______________________． [答案] 函数与方程、函数模型及其应用(理)(2011·宜川一模)已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，(1≤n ≤4)a n －4，(n >4)，计算其前102项和的算法流程图如图所示，图中①，②应该填________，________.[答案] a n ＝a n －4 n ＝n ＋1[解析] 算法流程图中用的循环体中应有使循环结束的语句，故应有n ＝n ＋1，而n ＝n ＋1使原来的n 的值增加1，故应在求和后，所以应填在②中，而①应填给a n 赋值的语句a n ＝a n－4.14．(2010·广东卷)某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x 1，…，x 4(单位：吨)．根据下图所示的程度框图，若x 1，x 2，x 3，x 4分别为1,1.5,1.5,2，则输出的结果s 为__________.[答案] 32[解析] 本题考查了程序框图中循环结构的用法，注意S 与S 1不能混，S ＝1＋1.5＋1.5＋24＝32. 15．(2009·安徽)程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是________．[答案] 127[解析] 本题考查程序框图的基本知识．输入a ＝1，循环一次时，a ＝3，循环二次时，a ＝7，循环三次时，a ＝15，循环四次时，a ＝31，循环五次时，a ＝63，循环六次时，a ＝127，此时循环终止，输出127.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2011·合肥模拟)给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，要求把大于40的数找出来并输出，试画出该问题的程序框图．[分析] 题目给出了10个数字，将大于40的数找出来．解答本题先确定使用循环结构，再确定循环体．[解析] 程序框图如图所示：[点评]设计程序框图，首先由题意选择合适的结构，再确定本结构需要的条件．17．(本小题满分12分)(2011·九江质检)按有关规定，儿童乘火车，若身高不超过1.1m，则无需购票；若身高超过1.1m，但不超过1.4m，可买半票；若超过1.4m应买全票．试设计一个购票流程图．[解析]由题意画购票流程图如下：18．(本小题满分12分)(理)(2011·安阳调研)设计一个计算1×3×5×7×…×99的算法，并画出它的程序框图．[解析]算法：S1：S＝1；S2：i＝3；S3：S＝：S×i；S4：i＝i＋2；S5：如果i≤99，转到S3；S6：输出S.程序框图如右：(文)(2011·安阳调研)据有关人士预测，我国将逐步进入新一轮消费周期，其特点是：城镇居民消费热点主要为商品住房、小轿车、电子信息产品、新型食品，以及服务消费和文化消费；农村消费热点是住房、家电．试画出消费的结构图．[解析]19．(本小题满分12分)(2011·河南新乡模拟)春节到了，小刘的妈妈的糖果店里忙极了，请你帮她设计一个程序方便算账，已知果糖每千克16.8元，奶糖每千克32.6元，巧克力每千克41元．那么依次购买这三种糖果a、b、c千克，应收取多少元？[解析]程序：20．(本小题满分13分)到银行办理个人异地汇款(不超过100万)时，银行要收取一定的手续费．汇款额不超100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5000元，按汇款额的1%收取；超过5000元但不超过1000000元，一律收取50元手续费．设计算法求：当汇款额为x元时，银行收取的手续费y元，画出程序框图．[解析]程序框图：21．(本小题满分14分)(2011·西安高二期末测试)高三(1)班共50名同学参加数学竞赛，现已有这50名同学的竞赛分数，请设计一个将竞赛成绩优秀同学的平均分输出的算法(规定90分以上为优秀)，画出程序框图，并设计程序．[分析]本题由于涉及到50名同学的分数，因此可以使用循环结构控制输入分数，用条件结构来判断分数是否高于90分，同时统计高于90分的成绩的总和和人数，进而求平均分．[解析]程序框图如下：程序为：S＝0M＝0i＝1WHILE i<＝50 IPNPUT xIF x>90THENS＝S＋xM＝M＋1 END IFi＝i＋1 WENDP＝S/MPRINT PEND。
2012年高考数学一轮复习全册课时训练及各单元检测试卷[全套]
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解析 A＝{x|－a≤x≤a}，根据题意可知 1≤a＜2. 10．设集合 A＝{－1,0,1}，集合 B＝{0,1,2,3}，定义 A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}， 则 A*B 中元素的个数为________． 答案 10 解析 由题知，A∩B＝{0,1}，A∪B{－1,0,1,2,3}，所以满足题意的实数对有(0，－1)，
［精品］2012 年高考数学一轮复习全册课时训练及各单元检测试卷解析版［全套］
(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，共 10 个，即 A*B 中的元素 有 10 个． 11．设集合 A、B 都是 U＝{1,2,3,4}的子集，已知(∁UA)∩(∁UB)＝{2}，(∁UA)∩B＝{1}， 且 A∩B＝∅，则 A＝________. 答案 {3,4}
2x－1>0 2x－1<0 或 1－|x|<0 1－|x|>0
)
1 B．x>1 或－1<x< 2 1 D．x<－1 或 x> 2
1 1 x>2 x<2 ∴ 或 x>1或x<－1 －1<x<1 1 ∴x>1 或－1<x< ，故选 B. 2 7．(2011· 徐州质检)已知集合 M＝{x|x2－2008x－2009>0}，N＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若 M ∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]，则( A．a＝2009，b＝－2010 C．a＝2009，b＝2010 答案 D 解析 化简得 M＝{x|x<－1 或 x>2009}， 由 M∪N＝R，M∩N＝(2009,2010]可知 N＝{x|－1≤x≤2010}，即－1,2010 是方程 x2＋ ax＋b＝0 的两个根． 所以 b＝－1×2010＝－2010，－a＝－1＋2010，即 a＝－2009. 8．已知不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集为{x|－1<x<2}，则不等式 2x2＋bx＋a<0 的解集为 ( ) 1 A．{x|－1<x< } 2 C．{x|－2<x<1} 答案 A 解析 由题意知 x＝－1，x＝2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的根． 1 B．{x|x<－1 或 x> } 2 D．{x|x<－2 或 x>1} ) B．a＝－2009，b＝2010 D．a＝－2009，b＝－2010
2012届高三数学第一轮复习阶段性测试题---综合素质能力测试复习过程
阶段性测试题五(综合素质能力测试)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1．(2011·合肥质检)集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋1＝0，a ∈A }，则A ∩B ＝B 时a 的值是( ) A ．2 B ．2或3 C ．1或3 D ．1或2[答案] D[解析] 由A ∩B ＝B 知B ⊆A ，a ＝1时，B ＝{x |x 2－x ＋1＝0}＝∅⊆A ；a ＝2时，B ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}⊆A ；a ＝3时，B ＝{x |x 2－3x ＋1＝0}＝{3＋52，3－52}A ，故选D.2．(文)(2011·合肥质检)在复平面内，复数i3－i (i 是虚数单位)对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] B [解析] z ＝i 3－i ＝i 3＋i 3－－1＝－14＋34i 的对应点⎝⎛⎭⎫－14，34在第二象限．(理)(2011·蚌埠二中质检)如果复数2－bi1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A. 2B.23 C ．－23D ．2[答案] C [解析] ∵2－bi1＋2i ＝2－bi1－2i5＝2－2b 5＋－b －45i 的实部与虚部互为相反数，∴2－2b 5＋－b －45＝0，∴b ＝－23，故选C.3．(文)(2011·日照调研)若e 1，e 2是夹角为π3的单位向量，且a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2，则a ·b 等于( )A ．1B ．－4C ．－72D.72[答案] C[解析] e 1·e 2＝1×1×cos π3＝12，a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72，故选C. (理)(2011·河南豫州九校联考)若A 、B 是平面内的两个定点，点P 为该平面内动点，且满足向量AB →与AP →夹角为锐角θ，|PB →||AB →|＋P A →·AB →＝0，则点P 的轨迹是( )A ．直线(除去与直线AB 的交点) B ．圆(除去与直线AB 的交点)C ．椭圆(除去与直线AB 的交点)D ．抛物线(除去与直线AB 的交点)[答案] D[解析] 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点为原点，建立平面直角坐标系，设A (－1,0)，则B (1,0)，设P (x ，y )，则PB →＝(1－x ，－y )，P A →＝(－1－x ，－y )，AB →＝(2,0)，∵|PB →|·|AB →|＋P A →·AB →＝0，∴21－x2＋－y2＋2(－1－x )＝0，化简得y 2＝4x ，故选D.4．(2011·黑龙江哈六中期末)为了了解甲，乙，丙三所学校高三数学模拟考试的情况，现采取分层抽样的方法从甲校的1260份，乙校的720份，丙校的900份模拟试卷中抽取试卷进行调研，如果从丙校抽取了50份，那么这次调研一共抽查的试卷份数为( )A ．150B ．160C ．200D ．230[答案] B[解析] 依据分层抽样的定义，抽样比为50900＝118，故这次调研一共抽查试卷(1260＋720＋900)×118＝160份．5．(文)(2011·福州市期末)设函数y ＝f (x )的定义域为实数集R ，对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f xf x kk f x >k ，给出函数f (x )＝－x 2＋2，若对于任意的x ∈(－∞，＋∞)，恒有f k (x )＝f (x )，则( )A ．k 的最大值为2B ．k 的最小值为2C ．k 的最大值为1D ．k 的最小值为1[答案] B[解析] ∵x ∈(－∞，＋∞)时，f (x )＝－x 2＋2≤2，且f k (x )＝f (x )恒成立，且当f (x )>k 时，f k (x )＝k ，故k 的最小值为2.(理)(2011·丰台区期末)用max{a ，b }表示a ，b 两个数中的最大数，设f (x )＝max{x 2，x }(x ≥14)，那么由函数y ＝f (x )的图象、x 轴、直线x ＝14和直线x ＝2所围成的封闭图形的面积是( )A.3512B.5924C.578D.9112[答案] A[解析] 如图，平面区域的面积为6．(2011·北京丰台区期末)下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[－2，12]内，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[14，2]C ．(－∞，0)∪[14，2]D ．(－∞，－1]∪[14，2][答案] D[解析] ∵x <0时，f (x )＝2x ∈(0,1)， 由0<2x ≤12得，x ≤－1；由⎩⎪⎨⎪⎧－2≤log 2x ≤12x >0得，14≤x ≤2，故选D.7．(文)(2011·潍坊一中期末)下列有关命题的说法错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x ∈R 使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0[答案] C[解析] 若p ∧q 为假命题，则p 、q 至少有一个为假命题，故C 错误． (理)(2011·巢湖质检)给出下列命题①设a ，b 为非零实数，则“a <b ”是“1a >1b”的充分不必要条件；②命题p ：垂直于同一条直线的两直线平行，命题q ：垂直于同一条直线的两平面平行，则命题p ∨q 为真命题；③命题“∀x ∈R ，sin x <1”的否定为“∃x 0∈R ，sin x 0>1”；④命题“若x ≥2且y ≥3，则x ＋y ≥5”的逆否命题为“若x ＋y <5，则x <2且y <3”， 其中真命题的个数是( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个[答案] D[解析] ①取a ＝－1，b ＝2满足a <b ，但1a >1b 不成立，∴①错；②取长方体交于同一顶点的三条棱所在直线知p 假，又q 真，∴p ∨q 为真命题，故②正确；③sin x <1的否定应为sin x ≥1，故③错；④“且”的否定应为“或”，故④错，因此选D.8．(文)(2011·陕西宝鸡质检)若将函数y ＝cos x －3sin x 的图象向左平移m (m >0)个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为( )A.π6B.π3 C.2π3 D.5π6 [答案] C[解析] y ＝cos x －3sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3左移m 个单位得y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3为偶函数，∴m ＋π3＝k π，k ∈Z .∵m >0，∴m 的最小值为2π3.(理)(2011·咸阳模拟)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向左平移π4个单位，再向上平移2个单位，则所得图像的函数解析式是( )A ．y ＝2＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4B ．y ＝2＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4C ．y ＝2＋sin2xD ．y ＝2＋cos2x [答案] A[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4――――――――→图象再向上平移π4个单位用x +π4代替xy ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π4―――――――→图象再向上平移2个单位用y －2代替y y －2＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π4，即得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4＋2，故选A.9．(2011·陕西咸阳模拟)如图所示的程序框图，其输出结果是( )A ．341B ．1364C ．1365D ．1366[答案] C[解析] 程序运行过程依次为：a ＝1，a ＝4×1＋1＝5，a <500满足→a ＝4×5＋1＝21，a <500仍满足→a ＝4×21＋1＝85，a <500满足→a ＝4×85＋1＝341，a <500满足→a ＝4×341＋1＝1365，a <500不满足→输出a 的值1365后结束，故选C.[点评] 要注意循环结束的条件和输出结果是什么．10．(文)(2011·山东淄博一中期末)如图为一个几何体的三视图，左视图和主视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为( )A.272 3 B ．12 3 C ．24 D ．24＋2 3[答案] D[解析] 由三视图知，该几何体是底面边长为332＝2，高为4的正三棱柱，故其全面积为3×(2×4)＋2×34×22＝24＋2 3. (理)(2011·山东日照调研)下图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于( )A ．34＋6 5B ．6＋65＋4 3C ．6＋63＋413D ．17＋6 5[答案] A[解析] 由三视图知，该四棱锥底面是一个矩形，两边长分别为6和2，有一个侧面P AD 与底面垂直，高为4，故其表面积S ＝6×2＋12×6×4＋2×⎝⎛⎭⎫12×2×42＋32＋12×6×42＋22＝34＋6 5.11．(2011·陕西宝鸡质检)双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.83B.38C.316D.163[答案] C[解析] 抛物线焦点F (1,0)为双曲线一个焦点， ∴m ＋n ＝1，又双曲线离心率为2，∴1＋nm＝4，解得⎩⎨⎧m ＝14n ＝34，∴mn ＝316.12．(文)(2011·广东高州市长坡中学期末)方程|x －2|＝log 2x 的解的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝|x －2|与y ＝log 2x 的图象可知两图象有两个交点，故选C.(理)(2011·山东实验中学期末)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ，②y ＝x ＋1x ，③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <10，x ＝1－1x，x >1中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．只有①[答案] C[解析] ①对于函数f (x )＝x －1x ，∵f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝－f (x )，∴①是“倒负”变换的函数，排除B ；②对于函数f (x )＝x ＋1x 有f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )不满足“倒负”变换，排除A ；对于③，当0<x <1时，1x >1，∵f (x )＝x ，∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＝－⎝⎛⎭⎫－1x ＝－f (x )；当x >1时，0<1x <1，∵f (x )＝－1x ，∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－x ＝－f (x )；当x ＝1时，1x＝1，∵f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (1)＝0＝－f (x )，∴③是满足“倒负”变换的函数，故选C.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．(2011·黑龙江哈六中期末)一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，不放回地抽取2张标签，则2张标签上的数字为相邻整数的概率为________(用分数表示)．[答案] 25[解析] (文)任取两张标签，所有可能取法有1,2；1,3；1,4；1,5；2,3；2,4；2,5；3,4；3,5；4,5；共10种，其中两数字相邻的有4种，∴所求概率p ＝410＝25.(理)从5张标签中，任取2张，有C 25＝10种取法，两张标签上的数字为相邻整数的取法有4种，∴概率p＝410＝25.14．(2011·浙江宁波八校联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝8上，ab的最大值为________．[答案] 1[解析]由条件知a>0，b>0，(a＋1)2＋(b＋1)2＝8，∴a2＋b2＋2a＋2b＝6，∴2ab＋4ab≤6，∵ab>0，∴0<ab≤1，等号在a＝b＝1时成立．[点评]作出图形可见，点(a，b)为⊙C在第一象限的一段弧，由对称性可知，当点(a，b)为直线y＝x 与⊙C的交点(1,1)时，ab取最大值1.15．(2011·重庆南开中学期末)已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2n－1，则当n≥2时，1a1＋1a2＋…＋1a n＝________.[答案]2－⎝⎛⎭⎫12n－1[解析]a1＝S1＝1，n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n－2n－1＝2n－1，∴a n＝2n－1(n∈N*)，∴1a n＝⎝⎛⎭⎫12n－1，∴1a1＋1a2＋…＋1a n＝1－12n1－12＝2－12n－1.16．(文)(2011·北京学普教育中心)设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l，使得对于任意x∈M(M⊆D)，有x＋l∈D，且f(x＋l)≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数．如果定义域为[－1，＋∞)的函数f(x)＝x2为[－1，＋∞)上的m高调函数，那么实数m的取值范围是________．[答案][2，＋∞)[解析]f(x)＝x2(x≥－1)的图象如图所示，要使得f(－1＋m)≥f(－1)＝1，应有m≥2；故x≥－1时，恒有f(x＋m)≥f(x)，只须m≥2即可．(理)(2011·四川资阳模拟)下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M ，如图①；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为(0,1)，在图形变化过程中，图①中线段AM 的长度对应于图③中的弧ADM 的长度，如图③.图③中直线AM 与x 轴交于点N (n,0)，则m 的象就是n ，记作f (m )＝n .给出下列命题：①f ⎝⎛⎭⎫14＝1；②f (x )是奇函数；③f (x )在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是________．(填出所有真命题的序号)[答案] ③[解析] 由m 的象是n 的定义知，f ⎝⎛⎭⎫14<0，故①假，随着m 的增大，点N 沿x 轴向右平移，故n 增大，∴③为真命题；由于m 是线段AM 的长度，故f (x )为非奇非偶函数，∴②假．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)(文)(2011·淄博一中期末)已知a ＝(cos x －sin x,2sin x )，b ＝(cos x ＋sin x ，3cos x )，若a ·b ＝1013，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π6，求sin2x 的值．[解析] ∵a ·b ＝cos 2x －sin 2x ＋23sin x cos x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝1013，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝513，∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π6，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，π2，∴cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝1213，∴sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6sin π6＝513·32－1213·12＝53－1226.(理)(2011·四川广元诊断)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(2a －c ，b )，n ＝(cos C ，cos B )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的最大值． [解析] (1)由题意知(2a －c )cos B ＝b cos C ， (2a －c )·a 2＋c 2－b 22ac ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ，∴a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴B ＝π3.(2)由(1)知a 2＋c 2－b 2＝ac ，b ＝3， ∴a 2＋c 2－ac ＝3，(a ＋c )2－3ac ＝3， (a ＋c )2－3·⎝⎛⎭⎫a ＋c 22≤3，14(a ＋c )2≤3， ∴a ＋c ≤23， 即a ＋c 的最大值为2 3.18．(本小题满分12分)(文)(2011·重庆南开中学期末)设函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋m ，g (x )＝ax .(1)若函数f (x )，g (x )在[1,2]上都是减函数，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝1时，设函数h (x )＝f (x )g (x )，若h (x )在(0，＋∞)内的最大值为－4，求实数m 的值． [解析] (1)∵f (x )，g (x )在[1,2]上都是减函数，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a >0，∴0<a ≤1. ∴实数a 的取值范围是(0,1]． (2)当a ＝1时，h (x )＝f (x )g (x )＝－x 2＋2x ＋m x ＝－x ＋m x ＋2；当m ≥0时，显然h (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴h (x )无最大值；当m <0时，h (x )＝－x ＋mx ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x ＋－m x ＋2 ≤－2－m ＋2.当且仅当x ＝－m 时，等号成立． ∴h (x )max ＝－2－m ＋2， ∴－2－m ＋2＝－4⇒m ＝－9.(理)(2011·黑龙江哈六中期末)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，g (x )＝a (x 2＋x )． (1)若a ＝12，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；(2)当a ≥1时，求证：f (x )≤g (x )．[解析] (1)a ＝12，F (x )＝ln x ＋2x －12(x 2＋x ) (x >0)F ′(x )＝1x －x ＋32＝2－2x 2＋3x 2x＝－2x ＋1x －22x，∵x >0，∴当0<x <2时，F ′(x )>0，当x >2时，F ′(x )<0，∴F (x )的增区间为(0,2)，减区间为(2，＋∞)． (2)令h (x )＝f (x )－g (x ) (x >0)则由h ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝1x ＋2－2ax －a＝－2x ＋1ax －1x＝0，解得x ＝1a，∵h (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上减，∴当x ＝1a 时，h (x )有最大值h ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a ＋2a －a ⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a ＝ln 1a ＋1a －1，∵a ≥1，∴ln 1a ≤0，1a－1≤0，∴h (x )≤h ⎝⎛⎭⎫1a ≤0，所以f (x )≤g (x )． 19．(本小题满分12分)(文)(2011·厦门期末)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求通项a n ；(2)令b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . [解析] (1)设数列{a n }的公关差为d ，则d ≠0， ∵a 1，a 2，a 4成等比数列，∴a 22＝a 1·a 4， ∴(a 1＋d )2＝a 1·(a 1＋3d )， 整理得：a 1＝d ， 又a 1＝1，∴d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝1＋(n －1)·1＝n . 即数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)可得b n ＝a n ＋2a n ＝n ＋2n ， ∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n ＋2n ) ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(21＋22＋23＋…＋2n ) ＝n n ＋12＋21－2n 1－2＝n n ＋12＋2(2n －1) ＝2n ＋1＋12n 2＋12n －2.故数列{b n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1＋12n 2＋12n －2.(理)(2011·河北冀州期末)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2a 2＝a 1＋a 3，数列{S n }是公差为d 的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式(用n ，d 表示)；(2)设c 为实数，对满足m ＋n ＝3k 且m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，不等式S m ＋S n >cS k 都成立，求c 的最大值．[解析] (1)由题意知：d >0，S n ＝S 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)d2a 2＝a 1＋a 3⇒3a 2＝S 3⇒3(S 2－S 1)＝S 3,3[(a 1＋d )2－a 1]2＝(a 1＋2d )2， 化简得：a 1－2a 1·d ＋d 2＝0，∴a 1＝d ，∴a 1＝d 2 S n ＝d ＋(n －1)d ＝nd ，S n ＝n 2d 2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2d 2－(n －1)2d 2＝(2n －1)d 2，适合n ＝1的情形． 故a n ＝(2n －1)d 2.(2)S m ＋S n >cS k ⇒m 2d 2＋n 2d 2>c ·k 2d 2⇒m 2＋n 2>c ·k 2，∴c <m 2＋n 2k2恒成立．又m ＋n ＝3k 且m ≠n,2(m 2＋n 2)>(m ＋n )2＝9k 2⇒m 2＋n 2k 2>92，故c ≤92，即c 的最大值为92.20．(本小题满分12分)(2011·山西太原调研)已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，它的一个顶点为M (0,1)，离心率e ＝63. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 的面积的最大值． [解析] (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝63解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3，②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由已知|m |1＋k 2＝32得， m 2＝34(k 2＋1)，把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程整理得， (3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0， ∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3m 2－13k 2＋1.当k ≠0时，|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 23k 2＋12－12m 2－13k 2＋1 ＝121＋k 23k 2＋1－m 23k 2＋12＝3k 2＋19k 2＋13k 2＋12＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4. 当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立，此时|AB |＝2.当k ＝0时，|AB |＝ 3.综上所述：|AB |max ＝2，此时△AOB 面积取最大值 S ＝12|AB |max ×32＝32. 21．(本小题满分12分)(文)一个多面体的三视图及直观图如图所示，M 、N 分别是A 1B 、B 1C 1的中点．(1)求证：MN ∥平面ACC 1A 1； (2)求证：MN ⊥平面A 1BC .[证明] 由题意，这个几何体是直三棱柱，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1.(1)由直三棱柱的性质知，四边形ABB 1A 1为矩形，对角线交点M 为A 1B 的中点， 又∵N 为B 1C 1的中点， ∴△AB 1C 1中，MN ∥AC 1.又∵AC 1⊂平面ACC 1A 1，MN ⊄平面ACC 1A 1. ∴MN ∥平面ACC 1A 1.(2)∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，交线为AC ，又AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又∵AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴BC ⊥AC 1. 在正方形ACC 1A 1中，AC 1⊥A 1C . 又BC ∩A 1C ＝C ，∴AC 1⊥平面A 1BC ， ∵MN ∥AC 1，∴MN ⊥平面A 1BC .[点评] 将几何体的三视图与线面平行垂直的位置关系判断融合在一起是立体几何新的命题方向．解答这类问题首先要通过其三视图确定几何体的形状和主要几何量，然后利用几何体的性质进行推理或计算．请再练习下题：已知四棱锥P －ABCD 的三视图如图，E 是侧棱PC 上的动点．(1)求四棱锥P －ABCD 的体积；(2)若点F 在线段BD 上，且DF ＝3BF ，则当PEEC 等于多少时，有EF ∥平面P AB ？并证明你的结论；(3)试证明P 、A 、B 、C 、D 五个点在同一球面上．[解析] (1)由四棱锥的三视图可知，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2. ∴V P －ABCD ＝13S 正方形ABCD ·PC ＝23.(2)当PE EC ＝13时，有EF ∥平面P AB . 连结CF 延长交AB 于G ，连结PG ，在正方形ABCD 中，DF ＝3BF . 由△BFG ∽△DFC 得，GF FC ＝BF DF ＝13.在△PCG 中，PE EC ＝13＝GFFC，∴EF ∥PG .又PG ⊂平面P AB ，EF ⊄平面P AB ， ∴EF ∥平面P AB . (3)证明：取P A 的中点O .在四棱锥P －ABCD 中，侧棱PC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形， 可知△PCA 、△PBA 、△PDA 均是直角三角形， 又O 为P A 中点，∴OA ＝OP ＝OB ＝OC ＝OD . ∴点P 、A 、B 、C 、D 在以点O 为球心的球面上．(理)(2011·湖南长沙一中期末)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到A 1点，过点A 1作A 1O ⊥平面BCD ，垂足O 恰好落在CD 上．(1)求证：BC ⊥A 1D ；(2)求直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值． [解析] (1)因为A 1O ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ， ∴BC ⊥A 1O ，因为BC ⊥CD ，A 1O ∩CD ＝O ，∴BC ⊥平面A 1CD . 因为A 1D ⊂平面A 1CD ，∴BC ⊥A 1D .(2)连结BO ，则∠A 1BO 是直线A 1B 与平面BCD 所成的角． 因为A 1D ⊥BC ，A 1D ⊥A 1B ，A 1B ∩BC ＝B ，∴A 1D ⊥平面A 1BC ，∵A 1C ⊂平面A 1BC ，∴A 1D ⊥A 1C . 在Rt △DA 1C 中，A 1D ＝3，CD ＝5，∴A 1C ＝4.根据S △A 1CD ＝12A 1D ·A 1C ＝12A 1O ·CD ，得到A 1O ＝125，在Rt △A 1OB 中，sin ∠A 1BO ＝A 1O A 1B ＝1255＝1225.所以直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值为1225.选做题(22至24题选做一题) 22．(本小题满分12分)几何证明选讲(2011·北京学普教育中心联考)如图，A 、B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，求DE 的长．[解析] 设CB ＝AD ＝x ，则由割线定理得：CA ·CD ＝CB ·CE ， 即4(4＋x )＝x (x ＋10)化简得x 2＋6x －16＝0，解得x ＝2或x ＝－8(舍去) 即CD ＝6，CE ＝12.因为CA 为直径，所以∠CBA ＝90°，即∠ABE ＝90°， 则由圆的内接四边形对角互补，得∠D ＝90°， 则CD 2＋DE 2＝CE 2， ∴62＋DE 2＝122，∴DE ＝6 3.23．(本小题满分12分)极坐标与参数方程(2011·辽宁省实验中学期末)已知直线l 经过点P ⎝⎛⎭⎫12，1，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． [解析] (1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12＋t cos π6y ＝1＋t sin π6即⎩⎨⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t (t 为参数)由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4得ρ＝cos θ＋sin θ，所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， ∴⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12. (2)把⎩⎨⎧x ＝12＋32t y ＝1＋12t 代入⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝12得t 2＋12t －14＝0，|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝14.故点P 到点A 、B 两点的距离之积为14.24．(本小题满分12分)不等式选讲(2011·大连市联考)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .(1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R )；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围．[解析] (1)不等式f (x )＋a －1>0， 即|x －2|＋a －1>0，当a ＝1时，解集为x ≠2，即(－∞，2)∪(2，＋∞)；当a >1时，解集为全体实数R ；当a <1时，∵|x －2|>1－a ，∴x －2>1－a 或x －2<a －1，∴x >3－a 或x <a ＋1， 故解集为(－∞，a ＋1)∪(3－a ，＋∞)．(2)f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．又对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，于是得m <5， 即m 的取值范围是(－∞，5)．。
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2012届高三第一轮复习数学阶段测试卷（9.26）
一、选择题（每小题5分，共10小题）
1、设集合P={1,2,3,4,5,6},Q={x ∈R|2≤x ≤6},那么下列结论正确的是( )
A.P ∩Q=P
B.P ∩Q Q
C.P ∪Q=Q
D.P ∩Q P
2、不等式021
≥--x
x 的解集为（ ） A 、[)0,1- B 、[)+∞-,1 C 、(]1,-∞- D 、(]()+∞⋃-∞-,01, 3、已知sin αcos 8
1=α,且)2,0(π
α∈，则sin α+cos α的值为（ ）
A.
25 B. -25 C. ±25 D. 2
3
4、在△ABC 中，“sin A =2
1
”是“A ＞60°”的（ ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要 5、下列函数在其定义域内为减函数的是 （ ）
A 、x y 1
= B 、522-+=x x y C 、x y -= D 、1=y
6、b a b a
∙=-=则),3,2(),1,2(=（ ）
A 、 2
B 、 0
C 、 5
D 、 1
7、若直线L 的方程为x+2y-1=0，则与它垂直且在y 轴上的截距为2的直线方程为（ ）
A ．x+2y-4=0
B ．2x+y-2=0
C ．x-2y+4=0
D ．2x-y+2=0 8、在正方体1111D C B A ABCD -中，直线AB 与C A 1所成角的余弦为 （ ）
A ．
33 B ．2
2
C ．
2
1 D ．0
9、已知数列{}n a 为递增等比数列，且64963=a a a ，14963=++a a a 则公比为（ ）
A ．2
1 B ．1 C ．
2 D ．4
10、1名老师和4名学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法
( )种。
A 108
B 72
C 36
D 24
二、填空题（每小题5分，共5小题）
11. 化简3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+=
12. 若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为______________ 13. 若0,0><b a ，且22=-a b ,则ab 的最小值为
14. 圆心在点C(-2, 1), 并过点A(2, -2 )的圆的方程为 15. 把一组数据分成5组，列出频率分布表，其中第1, 2, 3组的频率之和为0.61，第5组的频率
为0.12，那么第4组的频率为_________.
三、解答题（共6大题，共75分）
16、已知(1a =
，(3,b =- ，,a b
的夹角为θ
求（１）θ的大小 ； （２）(3)(2)a b a b +∙-
的值。
17、（1）已知1tan tan αα
，
是关于x 的方程22
30x kx k -+-=的两个实根，且παπ273<<，求
ααsin cos +的值.
（2）化简：)sin()
360cos()
810tan()450tan(1)900tan()540sin(00
000x x x x x x --⋅--⋅-- 18、已知直线4x + 3y = 10和2x －y = 10，（1）过两条直线的交点，且与直线4x －y + 5 = 0平行
的直线方程L 。
（2）求过两条直线的交点且与圆044222=++-+y x y x 相切的切线方程 19、某部门组织甲、乙两人破译一个密码，每人能否破译该密码相互独立．已知甲、乙各自独立
破译出该密码的概率分别为13、1
4
.
(1)求他们恰有一人破译出该密码的概率；(2)求他们破译出该密码的概率；
20、某电脑生产企业生产一品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台. 当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售a 台；根据市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分
率为x (01)x <<，那么月销售量减少的百分率为2
x .记销售价提高的百分率为x 时，电脑企业的月利润是y （元）.（1）写出月利润y （元）与x 的函数关系式；
（2）试确定笔记本电脑的销售价，使得电脑企业的月利润最大. 21、已知数列{}n a 满足*
12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈
（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （II ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）若数列{}n b 满足121
11
*44...4(1)(),n
n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列。