复旦大学1999年高等代数考研试题

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高等代数考研真题第一章多项式

第一章多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。

2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。

（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式（x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。

4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。

证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。

6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。

7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。

1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四试题完整版附答案解析及评分标准

由格林公式，前一部分 I1
D
(b a)dxdy
2
a2 (b a) ,
„„1 分 „„3 分
1999 年 • 第 2 页
其中 D 为 L L1 所围成的半区域. 直接计算后一积分可得
I2
2a (bx)dx 2a2b .
0
„„4 分
从而
I
I1
I2
2
a2 (b
a)
2a2b
( 2
2)a2b
解：曲线 y y(x) 上在点 P(x, y) 处的切线方程为Y y y(x)( X x) .
它与 x 轴的交点为 (x y , 0) .由于 y(x) 0, y(0) 1 ，从而 y(x) 0 ， y
于是 S1
1 2
y
x (x
y) y
y2 2 y
.
又 S2
dz dx
f
xf Fx
.
由此解得 dz ( f xf )Fy xf F x
dx
Fy xf F z
( Fy x f Fz 0 ) .
„„5 分
（注：不写出条件 Fy x f Fz 0 不扣分）.
四、(本题满分 5 分)
求 I (ex sin y b(x y)) dx (ex cos y ax) dy ，其中 a, b 为正的常数， L 为从点 L
A(2a, 0) 沿曲线 y= 2ax x2 到点 O(0, 0) 的弧.
解一：添加从点 O(0, 0) 沿 y 0 到点 A(2a, 0) 的有向直线段 L1 ，
I (ex sin y b(x y))dx (ex cos y ax)dy L L1
(ex sin y b(x y))dx (ex cos y ax)dy L1

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《高等代数》考研真题详解1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中．（U ）[南京大学研]【答案】对查看答案【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2为有理数，故a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈Pab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有综上所述的P为数域．2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大学研]【答案】错查看答案【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且f ‴（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）．3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（）[南京大学研]【答案】对查看答案【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约．二、计算题1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研]解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则（1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4所以x＋2是f（x）的三种因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2．（2）若p≠4，则继续辗转相除，即当p＝－5时，有（f（x），f′（x））＝x－1即x－1是f（x）的二重因式，再用（x－1）2除f（x）得商式x＋8．故f（x）＝x3＋bx2－15x＋8＝（x－1）2（x＋8）这时f（x）的三个根为1，1，－8．2．假设f1（x）与f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，且x4＋x2＋1整除f1（x3）＋x4f2（x3），试求f1（x）与f2（x）的最大公因式．［上海交通大学研］解：设6次单位根分别为由于x6－1＝（x2）3－1＝（x2－1）（x4＋x2＋1），所以ε1，ε2，ε4，ε5是x4＋x2＋1的4个根.由于ε13＝ε53＝－1，且x4＋x2＋1∣f1（x3）＋x4f2（x3），所以，分别将ε1，ε5代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得从而f1（－1）＝f2（－1）＝0即x＋1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．同理，将ε2，ε4代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得f1（1）＝f2（1）＝0，即x －1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．所以（x－1）（x＋1）是f1（x）与f2（x）的一个公因式．又因为f1（x），f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，所以（f（x），g（x））＝x2－1名校考研真题第6章线性空间一、选择题1．下面哪一种变换是线性变换（）．[西北工业大学研]A．B．C．【答案】C查看答案【解析】不一定是线性变换，比如则也不是线性变换，比如给而不是唯一的．2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的值（）．[西北工业大学研] A．必相等B．可能相等亦可能不相等C．不相等【答案】B查看答案【解析】比如在中选三个向量组(I)：0(Ⅱ)(Ⅲ)．若选（I）（II），秩秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），从而否定C，故选B．二、填空题1．若则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是______维的．[中国人民大学研]【答案】2；4．查看答案【解析】在复数域上令；则是线性无关的．则此即证可由线性表出．在实数域上，令若，其中，则此即在R上线性关．可由线性表出，所以在实数域R上，有三、分析计算题1．设V是复数域上n维线性空间，V1和V2各为V的r1维和r2维子空间，试求之维数的一切可能值．[南京大学研]解：取的一组基，再取的一组基则＝秩。

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复旦大学中国古代文学研究中心③324哲学综合知识④425形式逻辑基础1993-1994，1996③311语言学基础知识1996-1999④402古代汉语和现代汉语基础1996-1999③312文史知识1996-1997④403古籍校读1996-1997③338文学理论④801中国古代文学西方哲学史1994-1998西方哲学史（从古希腊到现代）2005中国古代与现代文学1996-1999，2002、2004-2005中国现当代文学1999中外文学与文艺理论1995-1998、2000、2003-2005写作1996-2002，2004-2005语文与写作1997中国语言文学系③313写作1996-2002、2004-2005④405中外文学与文艺理论1995-1998、2000、2003-2005③311语言学基础知识1996-1999④402古代汉语和现代汉语基础1996-1999③312文史知识1996，1997、④406目录版本学1996，1997④404中国古代与现代文学1996-1999，2002、2004-2005④802电影史与电影理论美学与文艺学1996-1999、2002理论语言学1996-1999中国古代文学史1996-1999语文与写作1997外国语言文学学院②207二外俄语208二外日语1994-1996,1998209二外德语1994-1995210二外法语1994-1996③314基础英语1995-1999④407英美文学史1995-1998408语言学理论1995-1998新闻学院③320新闻传播学基础2003-2005④414新闻实务2003-2004新闻实务模拟试题和答案18套（36元）④813传播实务2004（2004有答案）③340营销学2004④804广告与公关实务2004③339传媒与社会2004④803广播电视艺术2004新闻传播学实务2003新闻传播理论2003新闻业务1996-1998新闻传播业务1999-2000，2002新闻与传播理论1999，2001-2002新闻理论与中国新闻史1995-1998中外新闻事业史1999-2000，2002新闻传播学基础（单考生）2004历史学系③321史学概论1994-2000世界近现代史1996-1999世界上古史中古史1999世界古代中世纪史1995-1997中国古代史1995-1997、1999中国近现代史1996-1999古代汉语1992，1994，1996经济学院④420经济学综合基础2003-2005（2003-2005均有答案）经济学1993-2002（均有答案）④421西方经济学④401金融学基础（金融联考）2002-2005（均有答案）④421微观经济学1996-2001（A）-2001（B）-2002，2004（均有答案）世界经济1999-2000，2002（均有答案）世界经济概论1996-1998（均有答案）货币银行学1998-2002（1998有两份，国际金融和货币银行学专业各一份）货币银行学与国际金融1998金融学1999-2001综合考试（金融学专业）1999-2002当代中国经济1999管理学院④446经济与管理综合知识④420经济学综合基础2003-2005（2003-均有答案）经济学1993-2002（均有答案）④447概率论与数理统计1998-2004④421西方经济学③330高等数学1998④448线性规划1995-1998④449管理科学导论（运筹学）1994-1995-1999，2001-2002821运营管理④822数据结构与数据库管理444企业管理综合理论与知识2003-2005（2003-2005有答案）企业管理综合理论与知识模拟试题和答案18套（36元）④445会计学1995-2003（2001-2003有答案）④823东方管理与应用经济④825经济、管理和市场营销学基础④824财务金融综合知识微观经济学1996-2001（A）-2001（B）-2002，2004（均有答案）世界经济1999-2000，2002（均有答案）世界经济概论1996-1998（均有答案）企业经营管理1995-2002（1995-2002有答案）数据结构与操作系统1990-2004应用概率统计1999-2000概率统计1998企业管理2005（有答案）！哲学系③324哲学综合知识2004-2005④422马克思主义哲学原著1993-1994，1996④423中国哲学史1994，1996④424外国哲学史2000、2005④425形式逻辑基础1993-1994，1996④426西方伦理思想史④427宗教学原理④428科学技术哲学西方哲学史（从古希腊到现代）2005西方哲学史1994-1998国际关系与公共事务学院③325政治学原理1996-2005（1996-2004有答案）④429西方政治思想史1999-2004④430马克思主义原著选读1993-1994，1996④432国际关系1996-2005433行政学1997-2005（2002-2005有答案）当代中国政治制度1996-2005世界经济1999-2000，2002（均有答案）行政管理学1996-2002（均有答案）世界经济概论1996-1999（1996-1998有答案）世界经济与政治1996-2002，2004-2005数学研究所③331数学分析1996-2001④450代数与几何常微分方程1995-2001高等代数1996-2001数学物理方程1995-1997、1999-2001概率统计（数量经济专业）1998应用概率统计1999-2000应用概率2002物理学系③332量子力学1996-2004④451普通物理1996-2004固体物理1996-1999-2001电动力学1996-2001热力学与统计物理1996-1997、1999、2001传热学1999现代物理所③332量子力学1996-2004④451普通物理1996-2004固体物理1996-1999-2001电动力学1996-2001热力学与统计物理1996-1997，1999，2001信息科学与工程学院③332量子力学1996-2004④451普通物理1996-2004④452电磁场和电磁波1998-1999805光学④453电路与系统基础④817电子线路与集成电路设计④818半导体器件原理1994-1997、1999④454电子学基础(模拟、数字和微波技术)2000④455数据结构与操作系统1990-1999-2000-2001-2004③333数学分析与线性代数1990-1999，2001-2004电子线路（模拟和数字）1996-1998-2000固体物理1996-1999-2001计算机原理1994-1997、1999编译原理1990-1999-2002离散数学1999计算机图示学1992-1999-2002计算机组织与结构1990-1999-2002电磁场理论和微波技术1997-1998电路和信号理论1999电子线路1999化学系④334物理化学（含结构化学）1994-2004（2002-2003有答案）④456有机化学1994-1995，1997-2004（2003-2004有答案，但不完整）457无机化学和分析化学1998-2000，2003-2004（1998—2004有答案）③336生物化学1996，1998-2005④465细胞生物学1994，1997-2002-2004332量子力学1996-2004④451普通物理1996-2004生命科学学院③335生态学1995—1998④462植物学1994—1997③334物理化学（含结构化学）1994-2004（2002-2003有答案）④456有机化学1994-1995，1997-2004（2003-2004有答案，但不完整）③352药学综合④482有机化学(医)④463动物学1995、1997—1998③336生物化学1996，1998-2005④464微生物学1999337生理学④465细胞生物学1994，1997-2002-2004④466遗传学和细胞生物学345进化生物学④819生物统计学820生物信息学遗传学1999、2001-2002遗传学和细胞学2003生物综合2001法学院③326法学概论1996-2005④434法理学1999-2000，2003-2005435中外法制史④436宪法与行政法学2000④437刑法学④438民商法学2005④439诉讼法学2005④806环境法④440国际法及冲突法1999，2002，2003③398专业基础课(含刑法、民法)④498综合基础课(含法理、宪法和中国法制史)民法学1996-1997-2002中国法制史1995-1999-2000外国法制史1995-1996-1999、2001外国宪法1995-1998行政法学1997，1998，2002商法学1999-2000，2002国际法1995-1997，1999-2000，2003-2005力学与工程科学系④461理论力学1995-1999、2002-2004（2002有答案）④459材料科学基础④460高分子材料化学与物理807材料科学与工程材料力学1999、2002答案：2002材料科学系459材料科学基础460高分子材料化学与物理807材料科学与工程451普通物理1996-2004有机化学1994-1995，1997-2004光源与照明工程系③332量子力学1996-2004④451普通物理1996-2004人口研究所④420经济学综合基础③327社会统计学1995—1998441社会学概论1995-1998、2000、2005357卫生管理综合808社会保障479卫生统计学351卫生综合经济学综合基础2003-2005（2003-2005均有答案，2005为回忆版）经济学1993-2002（均有答案）社会科学基础部③325政治学原理1996-2005（1996-2004有答案）④431马克思主义理论与中国社会主义建设④809中共党史分析测试中心③334物理化学（含结构化学）1994-2004（2002-2004有答案）④456有机化学1994-1995，1997-2004（2003-2004有答案，但不完整）457无机化学和分析化学1998-2000，2003-2004（1998—2004有答案）历史地理研究中心③323中国历史地理1996—1997、1999④417中国古代史1995-1997、1999419中国自然地理1999高分子科学系③334物理化学（含结构化学）1994-2004（2002-2004有答案）④456有机化学1994-1995，1997-2004（2003-2004有答案，但不完整）457无机化学和分析化学1998-2000，2003-2004（1998—2004有答案）458高分子化学与物理1994-1998③336生物化学1996，1998-2005④465细胞生物学1994，1997-2002—2004社会发展与公共政策学院（社会学系）④327社会统计学1995—1998441社会学概论1995-1998、2000、2005④442社会工作概论③328文化人类学2005高等教育研究所③329中国教育史1999-2001-2003-2004（均有答案）④443教育学1999-2001-2003-2004（2003有答案）343经济学2004环境科学与工程系④467环境科学综合知识2003—2004④811环境工程综合知识基础环境学1995-1999（1998有答案）环境化学1999—2002（1999-2001有答案）环境生物学2000—2001（2000-2001有答案）微电子研究院④817电子线路与集成电路设计④818半导体器件原理1994-1997、1999电子线路（模拟和数字）1996-1998-2000计算机原理1994-1997、1999软件学院③333数学分析与线性代数1990-1999，2001-2004④812数据结构与计算机系统基础数据结构与操作系统1999-2000-2001-2004计算机组织与结构1999-2002文物与博物馆学系③322考古学通论1994、1999④815博物馆学概论826文物保护基础③346文物学基础④827文化遗产理论和管理中国古代史1995-1997、1999先进材料与技术研究院③332量子力学1996-2004④451普通物理1996-2004334物理化学（含结构化学）1994-2004（2002-2003有答案）④456有机化学1994-1995，1997-2004（2003-2004有答案）457无机化学和分析化学1998-2000，2003-2004（1998—2004有答案）458高分子化学与物理1994-1998-1999④459材料科学基础固体物理1996-1999-2001旅游学系④418旅游学旅游学概论1996-1997文献资源中心③341文献学④814图书馆学③342信息管理与计算机技术上海医学院(基础)④468生物化学(医)354生物综合2001352药学综合④469细胞生物学(医)356生物医工综合④470计算机应用基础④472组织胚胎学355检验综合353数学综合④816放射诊断学④473人体解剖学④471生理学(医)药学院③352药学综合④482有机化学(医)469细胞生物学(医)④483生物药剂学与药物动力学④485药用植物学④486分析化学④468生物化学(医)复旦大学医学院（2005年和2006年的专业目录没有这个学院）病理生理学1999内科学1999-2002遗传学2001-2002遗传学和细胞学2003内科学1999-2002、2004（博士题）外科学1999-2004（博士题）病理生理学2003（博士题）病理学2003-2004（博士题）解剖学2003（博士题）神经内科2003（博士题）妇产科2004（博士题）生物化学2004（博士题）诊断学2004（博士题）外科学1999-2001生理学1995、2003生物综合2001微生物学1999-2000细胞生物学1997-2001-2002病理学1995、1998、2000-2001、2004诊断学1997-1998、2001-2002耳鼻咽喉科学2004中山医院④472组织胚胎学④351卫生综合④473人体解剖学④475病理学1995、1998、2000-2001、2004 355检验综合④468生物化学(医)③360护理综合④476病理生理学1999④494肿瘤学④471生理学(医)④488诊断学1997-1998、2001-2002③358口腔综合④496口腔病理学④492中医学基础内科学1999—2000外科学1994、4997、2001肿瘤医院④475病理学1995、1998、2000-2001、2004④493妇产科学④494肿瘤学④477药理学307中医综合④492中医学基础儿科医院④476病理生理学1999金山医院④488诊断学1997-1998、2001-2002④475病理学1995、1998、2000-2001、2004④476病理生理学1999④494肿瘤学实验动物部③359畜牧兽医综合354生物综合2001④475病理学1995、1998、2000-2001、2004 468生物化学(医)④480营养与食品卫生学④471生理学(医)上海市肿瘤研究所③352药学综合354生物综合2001④468生物化学(医)④469细胞生物学(医)351卫生综合357卫生管理综合④479卫生统计学放射医学研究所④468生物化学(医)病理学1995、1998、2000-2001、2004生物综合2001上海市第一妇婴保健院④476病理生理学1999④468生物化学(医)护理学院③360护理综合④476病理生理学1999华山医院③356生物医工综合④487高等数学（医）④470计算机应用基础④468生物化学(医)355检验综合497微生物学(医)④473人体解剖学④491神经病学④474免疫学④475病理学1995、1998、2000-2001、2004④471生理学(医)③352药学综合④482有机化学(医)④476病理生理学1999④490外科学1994、1997、2001④488诊断学1997-1998、2001-2002③358口腔综合④828口腔解剖生理④492中医学基础④483生物药剂学与药物动力学④494肿瘤学④493妇产科学内科学1999—2000上海市第五人民医院④488诊断学④476病理生理学1999外科学1994、1997、2001诊断学1997-1998、2001-2002内科学1999—2000公共卫生学院③351卫生综合357卫生管理综合④479卫生统计学④481基础毒理学④468生物化学(医)眼耳鼻喉科医院④476病理生理学1999473人体解剖学上海市计划生育研究所③359畜牧兽医综合④475病理学1995、1998、2000-2001、2004468生物化学(医)354生物综合2001④469细胞生物学(医)③351卫生综合④479卫生统计学③352药学综合④482有机化学(医)④471生理学(医)文献信息中心③341文献学④814图书馆学③342信息管理与计算机技术华东医院④488诊断学④476病理生理学1999妇产科医院④468生物化学(医)本文档来源于布丁考研网（），全国最真实、最全面的考研真题及资料库。

复旦大学99考研题

复旦大学99考研题一. （6分）选择题. 分别从供选择的答案中选出一正确的填入"_____".1.支持多道程序系的操作系统在运行过程中,不断地选择新进程运行,来实现CPU的共享但其中,___不是引起操作系统选择新进程的直接原因.A 运行进程的时间片用完B 运行进程出错C 运行进程要等待某一事件发生 C 有新进程进入就绪状态2.在下述四段描述中,___是错误的.A.若进程1和进程2在临界段上互斥,那么当进程处于该临界段1时,它不能被进程2打断.B.虚拟存储管理中采用对换策略后,用户进程可使用的存储空间似乎增加了.C.拟存储管理中的颠簸现象是指用于页面置换的时间远多于执行程序的时间.D.进程可以由程序,数据和进程控制块描述.3.存放在磁盘上的文件,____.A.既可随机访问,又可顺序访问B. 只能随机访问C.只能顺序访问D.必须通过操作系统访问二. （16分）回答问题1.UNIX有节点i是文件内容的一部分,对吗? 请说明理由.2.交换扩充了主存,因此,交换也实现了虚拟存储器,对吗? 请说明理由.3.某进程被唤醒后,立即投入了执行,我们说该系统采用了抢先调度方式.对吗? 请说明理由.4.试述成组链表法的基本原理.5.试述请求页式存储管理的地址变换过程.6.试述线程的特点及其与进程的主要异同点三.（8分）下述程序是解决两个进程互斥访问临界区问题的一种方法.试从"互斥","有空即进","有限等待"等三各方面讨论它的正确性.如果它是正确的,则证明之;如果她不正确,请说明理由.program sample;var c1,c2:integer;procedeure p1;beginrepeatOther Section 1;repeatc1:=1-c2until c2<>0;critical sectionc1:=1until falseend;procedure p2;beginrepeatother sectionrepeatc2:=1-c1until c1<>0critical sectionc2:=1until falseend;beginc1:=1;c2:=1;cobeginp1;p2;coendend;四。

全国名校高等代数考研真题汇编(含部分答案)

考生注意： 1.本试卷满分为 150 分，共计10道题，每题满分15 分，考试时间总计180 分钟；
2.答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。
一、设是阶单位矩阵，，证明的行列式等于 .
，矩阵满足
二、设是阶幕零矩阵满足
，
.证明所有的都相似于一个对角矩阵，
的特征值之和等于矩阵的秩.
3.南开大学高等代数考研真题 2012年南开大学804高等代数考研真题 2011年南开大学802高等代数考研真题
4.厦门大学 825高等代数考研真题 2014年厦门大学825高等代数考研真题 2013年厦门大学825高等代数考研真题 2012年厦门大学825高等代数考研真题 2011年厦门大学825高等代数考研真题
有
证明：
(1)
.
(2) 是的不变子空间，则也是的不变子空间.
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高等代数学答案02

n n n n n ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2 2 2 2 ¯ ( |ai | )( |bi | ) ≥ ( |ai ||bi |) = ( |ai bi |) ≥ | ai¯ bi |2 . i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
2. 例 2.65. 3. 例 2.66. 4. 例 2.69.
复习题二
3. 由 A 非异, 则 AA−1 = A−1 A = In , 故直接计算可得 Ak (A−1 )k = (A−1 )k Ak = In . 4. 两边左乘 A−1 ; 两边右乘 A−1 . 5. 沿着这一行 (列) 展开求方阵的行列式显然值为 0, 故为奇异阵. 6. 由 Am = O , 得 (In − A)(In + A + A2 + · · · + Am−1 ) = (In + A + A2 + · · · + Am−1 )(In − A) = In . 7. 由于 B (A + B )−1 A(A−1 + B −1 ) = In , 故 A−1 + B −1 奇异. 8. 由 A2 = In 可得 (A + In )(A − In ) = O . 又 In + A 非异, 故 A − In = O , 即 A = In . 9. 由 A2 = A 可得 A2 − A − 2In = −2In , 即 (A + In )(A − 2In ) = −2In , 故 A + In 非异. 10. 由 A2 − A − 3In = O 可得 (A + In )(A − 2In ) = In , 故 A − 2In 非异.
7 30. 例 2.24. 31. 例 2.25 (3). 32. 例 2.26. 33. 例 2.10 (1). 34. (1) 例 2.36; (2) 例 2.37. 35. 例 2.3. 36. 例 2.32. 37. 例 2.33. 38. 例 2.34. 39. 例 2.35. 40. 例 1.39. 41. 例 2.70 的直接推论. 42. 例 2.71. 43. (1) 例 2.57; (2)2.3.2 训练题解答题 9. 44. 2.3.2 训练题解答题 10. 45. 例 2.48. 46. 例 2.63. 47. 例 2.61. 48. 类似例 2.52, 作多项式 f (x) = a1 + a2 x + a3 x2 + · · · + an xn−1 , 令 ϵ1 , ϵ2 , · · · , ϵn 是 −1 的所有 n 次方根. 又令 V = ··· ··· ···

姚慕生,谢启鸿-高等代数学(第3版)答案(复旦绿皮书)

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复旦大学高等代数教材第二章答案
部分习题答案引用自白皮书的例题或训练题．
2.1
(
)(
1. (1) 3 0 ; (2) 3
−3 1
0
() (
2. (1) 1 5 ; (2) −2
21
−2
2.2
√) (
3 2 ; (3) 1
−12
8
1 1
)
6 √
;
52
(4)
00
0 0
3
−
5 2
1 3 −3
)(
1.6
1.
(−1)N(n,n−1,n−2,··· ,1)
=
(−1)
n(n−1) 2
.
2. 请读者自行验证.
3. 由行列式的性质 8 及定理 1.6.1, |A| = |A′| =
∑
a1k1 a2k2 · · · ankn .
(k1,k2,··· ,kn)∈Sn
4. 例 1.10.
5. 例 1.9.
6. 例 1.11.
(In − A)(In + A + A2 + · · · + Am−1) = (In + A + A2 + · · · + Am−1)(In − A) = In.
7. 由于 B(A + B)−1A(A−1 + B−1) = In, 故 A−1 + B−1 奇异. 8. 由 A2 = In 可得 (A + In)(A − In) = O. 又 In + A 非异, 故 A − In = O, 即 A = In. 9. 由 A2 = A 可得 A2 − A − 2In = −2In, 即 (A + In)(A − 2In) = −2In, 故 A + In 非异. 10. 由 A2 − A − 3In = O 可得 (A + In)(A − 2In) = In, 故 A − 2In 非异.

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复旦大学高等代数1999
一、概念题（不必写理由或计算过程）：（45分）
1．数域K 上n 阶反对称阵组成的K 上线性空间的维数是（）。

2．欧氏空间中r 个向量两两正交，它们是否线性无关（答是或否）——————。

3．欧氏空间中两个正交变换之和是否是正交变换（答是或否）——————。

4．上三角阵A 是正交阵，则A 必是——————阵。

5．欧氏空间上自共轭变换在标准正交基下的表示矩阵为——————阵。

6．已知8阶阵A 的不变因子为1，…，1；（1-λ）（12
+λ），（1-λ）2
2)1(+λ，写出A 的Jordan 标准型。

7．设φ是n 维线性变换，V 是否必是Ker φ和Im φ的直和？（）
8．已知V 是K 上小于4次的多项式全体组成的线性空间且3x ，x x +3，12
+x ，1+x 是V 的一组基，向量322
++x x 在这组基下的坐标（写成行向量形式）为：——————。

9．写出K 上4维列向量空间由下面矩阵决定的线性变换φ的一个2维不变子空间的基：（写在本题空白处）
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-03
150010014311
又，φ的核空间的维数为——————。

10.求1723
4
++-x x x 和132
3
+-x x 的最大公因子( ). 11.设dim V=n,dim U=m,σ是V 到U 的线性映射,若n>m,则σ( )
A.必不是单映射;
B.必是满映射;
C.必是单映射;
D.必不是满映射; 12.将n 阶方阵A 的j i 、行对换,再将j i 、列对换得矩阵B,则A 与B( ) A.必相似; B.不相似; C 无法判断;
13.设A 是n 阶实对称矩阵,A 的n 个顺序主子式都不小于零是A 为半正定阵的( ) A.充分条件; B 必要条件; C.充要条件; D.既非充分又非充要条件;
14.社φ是n 维线性空间上的线性变换,1λ… ,S λ是φ的全部不同特征值,1V 是1λ的特征子空间(i =1,2,…,s),则dim 1V +…+dim s V ( )c n (填≤,≥或=) 二．用初等变换法将下列二次型化为标准型并求出变换阵
yz xz xy y
x
z y x f 6223),,(2
2
-+--=
三．设多项式01
1)(a x a x a x f n n n
n +++=-- 是整系数多项式，0≠n a ,2≥n ,p 是素数．若
p 可以整除)1,,1,0(-=n i a i 但不能整除n a 且2
p 也不能整除0a ，求证:)(x f 是有理数域上的不可约的多项式．（１０分）
四．|,,C B A 是数域K 上n 阶矩阵且r (A)表示A 的秩，求证：
)()()()(B r BC r AB r ABC r -+≥（１０分）
五．设B A ,是n 阶正交阵且1det ,1det -==B A ，求证：B A +必是奇异阵．
六．设)(λg 是数域K 上线性空间V 上线性变换φ的最小多项式，)()()(λλλq p g =且
)(λp 和)(λq 都是K 上不可约多项式,求证：存在φ的不变子空间21,V V 使V 是1V 和2V 的直
和且φ作为1V 上的线性变换其最小多项式等于)(λp ,作为2V 上的线性变换其最小多项式等于)(λq ．（１５分）。