§3 恒磁场的环路定理1.0(11物本)
2-3.磁场的环路和高斯定理doc
§2-3安培环路定理一，环路定理定理的表述如下：在磁场中沿任一闭合回路 ，的环量为：—— （3—1)几点说明：（1） 公式中的电流I 是与积分回路套合的电流的代数和。
与积分回路方向成右手关系的的电流为正，反之为负。
图中321I I I I -+=。
所谓套合必是闭合电流。
（2）的积分结果与积分回路L 的形状 和方位无关，也与L 外的电流无关。
(3)积分号下的是处的总磁感应强度，它由L 内外所有的电流共同产生.定理的证明首先考察单个电流回路L 1的磁场,并在场中沿任一闭路L 2作积分：221212102)]ˆ4([212l d r r l Id l d B L L L⋅⨯=⋅⎰⎰⎰πμ 。
式中、2l d 每移动一步乘该处的與2l d不动，乘以L 1每移动、,I 1B在2l d 处的的结果是一样的。
我们就利用这一观点来求出的结果。
为此先利用矢量运算公式：=⋅⨯=⋅⎰⎰⎰1221212012ˆ)(4212r r l d l d I l d B L L Lπμ21221120ˆ)(412r r l d l d ILL⋅⨯-⎰⎰πμ 由图看出，S d l d l d=⨯-12是L 1上的1l d 移动2l d -的距离时扫过一个面积元：而式括号中被积函数的内容正好是对2l d所张的立体角。
即：ωd r r S d r r l d l d =⋅=⋅⨯-221212212112ˆˆ)(式中1l d沿L 1移动一周的积分，则等价于整个回路L 1移动的过程中所扫过的带状面积对2l d（P 点）所张的立体角即 2122112ˆ)(1r r l d l d d L⋅⨯-=Ω⎰而沿L 2的环路积分（2l d 沿L 2移动一周）等价于2l d（P 点）不动，令 L 1回路整体平行自身在沿L 2的方向移动一周的过程中，所扫过的面积对P 点所张的立体角与的乘积。
即：Ω=Ω=⋅⎰⎰πμπμ4400222I d Il d B LL上式中的数值有两种可能：当L 1与L 2套合时，P 点在L 1扫过的封闭曲面以内。
磁场的环路定律环路积分与磁场的关系
磁场的环路定律环路积分与磁场的关系磁场是物质周围产生磁力的区域，它是物理学中的重要概念之一。
为了更好地理解和描述磁场的特性，科学家们提出了磁场的环路定律和环路积分与磁场的关系。
本文将从以下几个方面来探讨这一问题。
1. 磁场的环路定律磁场的环路定律是描述磁场特性的一个基本定律。
它指出，一个闭合的环路内，磁感应强度B的环路积分等于穿过该环路的电流I乘以真空中的磁导率μ0。
数学表达式为：∮B∙dl = μ0I其中，∮B∙dl代表磁场矢量B沿闭合环路的环路积分，I表示通过闭合环路的电流，μ0是真空的磁导率。
该定律表明，磁场的环路积分与通过环路的电流之间存在着密切的关系。
2. 环路积分与磁场的关系环路积分与磁场的关系可以通过磁感应强度B在环路上的分布情况来解释。
当磁感应强度B在整个环路上的分布是均匀的时候，磁场的环路积分等于B乘以环路的周长。
即：∮B∙dl = B∙l其中，B表示磁感应强度，l代表环路的周长。
这意味着，磁感应强度在环路上的分布越均匀，环路积分的值越容易计算。
然而，当磁感应强度B在环路上的分布不均匀时，计算环路积分的方法则需要更为复杂。
这时，我们可以将环路划分成无穷小的小段，每一小段上的磁感应强度可以看作是均匀的。
然后，对每一小段进行环路积分，并将所有小段的积分结果相加，即可得到整个环路的积分值。
这种方法被称为积分法。
3. 环路积分的应用环路积分在磁场研究中有着广泛的应用。
它可以被用来计算闭合回路中的磁场强度、磁通量以及电流的大小等。
通过对闭合回路进行环路积分，我们可以得到各种有用的信息，进而帮助解决一系列与磁场相关的实际问题。
比如，在电力工程中，我们可以通过对线圈或电流回路进行环路积分，来计算出磁场强度。
这有助于我们评估电力设备的性能，并优化电路的设计。
另外，环路积分还可以用于计算闭合回路内的磁通量，并根据安培定律推导出感应电动势的大小。
4. 总结磁场的环路定律和环路积分与磁场的关系是研究磁场特性的重要内容。
推导稳恒磁场中的安培环路定理
推导稳恒磁场中的安培环路定理磁场的环路定理：在稳恒磁场中，磁感强度H沿任何。
在稳恒磁场中，磁感应强度B沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流的代数和乘以磁导率。
这个结论称为安培环路定理（Ampere circuital theorem）。
安培环路定理可以由毕奥萨伐尔定律导出。
它反映了稳恒磁场的磁感应线和载流导线相互套连的性质。
稳恒磁场的安培环路定理是在稳恒磁场中，磁感应强度B沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流的代数和乘以磁导率。
安培环路定理可以由毕奥－萨伐尔定律导出。
它反映了稳恒磁场的磁感应线和载流导线相互套连的性质。
安培定律可由毕奥-萨伐尔定律和磁场的叠加性证明。
在静磁学中，安培定律的角色与高斯定律在静电学的角色类似。
当系统组态具有适当的对称性时，可以利用这对称性，使用安培定律来便利地计算磁场。
例如，当计算一条直线的载流导线或一个无限长螺线管的磁场时，可以采用圆柱坐标系来匹配系统的圆柱对称性。
静电场环路定理：在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于0。
与静电场力作功和路径无关是一致的，这种力场也叫保守力场或势场。
安培环路定理定义：在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度沿任何闭合回路L的线积分，等于穿过这回路的所有电流强度代数和的μ0倍。
符号规定：穿过回路L的电流方向与L的环绕方向服从右手关系时I为正，否则为负。
安培环路定理反映了磁场的基本规律。
和静电场的环路定理相比较，稳恒磁场中B 的环流，说明稳恒磁场的性质和静电场不同，静电场是保守场，稳恒磁场是非保守场。
安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立。
稳恒磁场的安培环路定理公式
稳恒磁场的安培环路定理公式稳恒磁场的安培环路定理公式揭示了电流在磁场中所受到的力和磁感应强度之间的关系。
这个定理在物理学中扮演着重要的角色。
本文将以通俗易懂的方式介绍这个定理的公式以及其背后的物理原理，希望能够给读者带来指导意义。
安培环路定理的公式是通过一条封闭的路径来描述电流在磁场中所受到的力的总和。
这个路径被称为安培环路，通常采用一个简单的闭合曲线来表示。
具体而言，公式可以表达为：$\sum\overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \mu_0 \cdotI_{enc}$，其中$\sum \overrightarrow{B} \cdot\overrightarrow{dl}$表示安培环路上磁感应强度与微小路径元素的内积之和，$\mu_0$是真空中的磁导率，$I_{enc}$表示通过安培环路所围成的面积的电流。
从这个公式可以看出，磁感应强度与路径元素之间的内积是电流所受到的力的量度。
如果磁感应强度和路径元素之间的内积为正值，那么电流将受到一个向内的力；反之，如果内积为负值，电流将受到一个向外的力。
这里需要注意的是，安培环路定理只对稳恒磁场成立，也就是说磁场的强度和方向在空间中不发生变化。
安培环路定理的公式可以通过一个具体的例子来更加生动地说明。
假设有一根直导线通有电流$I$，而周围存在一个磁场$\overrightarrow{B}$。
我们可以通过一个半径为$r$的圆形安培环路来观察这个过程。
根据公式，我们可以计算出磁感应强度在安培环路上的线积分。
在这个例子中，由于磁场的方向与路径元素的方向相同，内积将永远为正值。
因此，电流在环路上将受到一个向内的力。
这个力的大小可以由公式计算得出。
安培环路定理不仅在理论上有重要意义，它还在实际中广泛应用。
例如，当我们需要设计电磁铁时，可以根据安培环路定理来确定所需的电流和磁感应强度，从而使电磁铁能够产生所需要的磁场。
稳恒磁场的安培环路定理
稳恒磁场的安培环路定理安培环路定理是电磁学中的一个重要定理，它描述了磁场的产生和磁场的作用。
在稳恒磁场中，安培环路定理可以用来计算磁场的强度和方向，为我们研究磁场的性质提供了重要的工具。
安培环路定理的基本原理是磁场的产生和磁场的作用是相互关联的。
在稳恒磁场中，磁场的产生是由电流所产生的磁场所引起的，而磁场的作用则是通过磁场对电流的作用来实现的。
因此，安培环路定理可以用来计算磁场的强度和方向，从而帮助我们更好地理解磁场的性质。
安培环路定理的表述是：在任意闭合路径上，磁场的线积分等于该路径所包围的电流的代数和的乘积。
这个定理的数学表达式为：∮B·dl=μ0I其中，B表示磁场的强度，l表示路径的长度，μ0表示真空中的磁导率，I表示路径所包围的电流的代数和。
这个定理的意义是，磁场的强度与路径所包围的电流的代数和成正比，与路径的形状无关。
这意味着，我们可以通过测量路径所包围的电流的代数和和路径的长度来计算磁场的强度和方向。
在实际应用中，安培环路定理可以用来计算磁场的强度和方向。
例如，在一个长直导线中，电流的方向是垂直于导线的方向，因此，磁场的方向是沿着导线的方向。
如果我们想要计算导线周围的磁场强度，我们可以选择一个圆形路径，使得路径的中心点位于导线的中心，然后测量路径所包围的电流的代数和和路径的长度，就可以计算出磁场的强度和方向。
在另一个例子中，我们可以考虑一个长直螺线管，它是由一根长直导线绕成的。
在这种情况下，磁场的方向是沿着螺线管的轴线方向，因此，我们可以选择一个圆形路径，使得路径的中心点位于螺线管的轴线上，然后测量路径所包围的电流的代数和和路径的长度，就可以计算出磁场的强度和方向。
安培环路定理是电磁学中的一个重要定理，它描述了磁场的产生和磁场的作用。
在稳恒磁场中，安培环路定理可以用来计算磁场的强度和方向，为我们研究磁场的性质提供了重要的工具。
通过应用安培环路定理，我们可以更好地理解磁场的性质，从而更好地应用磁场的知识。
磁场的环路定理
磁场的环路定理磁场的环路定理是电磁学中的基本原理之一，它指出了沿着任何一个封闭回路的磁场积分的大小等于该回路完整环绕的电流的代数和。
这个定理是非常有用的，因为它允许我们利用已知的电流分布来确定未知磁场的强度。
本文将探讨环路定理的定义、应用和数学表达式，以及它在现实生活中的一些例子。
一、环路定理的定义磁场的环路定理是一个基本原理，它是麦克斯韦电磁理论的核心。
该定理说明，沿着任何一个封闭回路的磁场积分的大小等于该回路完整环绕的电流的代数和。
这个定理可以使用一个简单的方程式来表示，如下所示：∮B*dL=μ0*I其中，∮B*dL代表了磁场的沿着封闭路径的环路积分，μ0是真空磁导率，I是该路径所环绕的电流。
这个公式非常重要，因为它允许我们利用已知的电流分布来确定未知的磁场强度。
总的来说，环路定理表明磁场和电流之间存在着直接关系，因此我们可以利用它来计算磁场和电流之间的相互影响。
二、环路定理的应用环路定理在实际中有很多应用。
在医学方面，例如，在磁共振成像（MRI）技术中，就使用了环路定理。
MRI技术基于磁共振的原理，该原理是将人体置于一个大型磁场中，磁场会通过人体的组织，然后测量与磁共振相关的信号。
用封闭环路积分可以测量磁共振产生的磁场，并且由于电流与磁场之间的直接关系，可以确定整个回路中的电流分布。
环路定理还可以应用于机械设计中，例如，在电机的设计过程中，我们可以通过环路定理来计算电机的磁场，从而确定电机的性能和输出功率。
同样的，环路定理也可以应用于发电机的设计过程中，因为发电机的基本原理是利用旋转的磁场产生电流。
通过环路定理的应用，可以优化发电机的设计，并提高其有效性和效率。
另一个应用环路定理的例子是地震预警。
在地震预警中，环路定理被用来计算测量站周围是否存在地震发生的电流异常。
在地震之前，地壳的压力会产生电流，通过环路定理可以检测到这些电流变化，从而预测可能的地震发生。
三、环路定理的数学表达式环路定理的数学表达式是∮B*dL=μ0*I。
磁场环路定理.
从静电场的电场线是非闭合的，静电场的环流
是保守场 E E d l 0
→电势
磁感应线是闭合的，磁场是非保守场→无磁势
涡旋场 B d l 0
B d l ?
一、真空中稳恒磁场的安培环路定理 1. 定理的表述 ： 在真空中的恒定磁场内，磁感应强度 B 沿任 意闭合环路的线积分 —— B 的环流等于穿过 积分环路的所有传导电流的电流强度的代数和 的 0 倍。
L
3.多根导线穿过安培环路：
d 1 d 2 d 0 i
L L L
4.环路不在一个平面内，这时把 d 分解到平
行与导线的平面 d 和垂直于导线的平面d
i
L d L ( d + d )
B dl 0 NI
L
I1
I2 I I4 I3
L
L
图中 电流 都是 闭合 电流
B dl 0 I i
L i
B dl 0 I i
L i
0 ( I1 I 2 )
0 ( I I ) 2 0 I
③ 安培环路定律中的 B 是空间总磁感应强 度 ——空间所有电流都对 B 有贡献，但公式右 边只有环路内所包围的 I内 对 环流有贡献。
d d
L L
0 0 0
注意：Leabharlann ① 电流的正负由积分时，在环路上所取的绕 向决定——Ii 可正可负 ，电流方向与环路绕向 满足右手螺旋的电流为正，不满足的为负。不 穿过的对环流没有贡献。 ② 对电流的作和——仅对穿过环路 L 的电流 的电流强度作代数和。但如果一载流导体与积 分环路 N 次链套 ，则对环流有0NI 的贡献。
稳恒磁场的环路定理表达式
稳恒磁场的环路定理表达式稳恒磁场的环路定理是电磁学中的重要定理之一，它描述了磁场沿闭合回路的总磁通量等于该回路所包围的电流的代数和的一半。
这个定理的数学表达式如下：∮B·dl = μ₀I其中，∮B·dl代表磁场B沿闭合回路的环路积分，μ₀代表真空中的磁导率，I代表回路所包围的电流。
稳恒磁场的环路定理是基于对磁感应强度的定义和安培环路定理的推导而来的。
根据安培环路定理，磁感应强度B沿闭合回路的环路积分等于该回路所包围的电流的代数和。
但是，当磁场是一个稳恒磁场时，即磁场随时间不变，我们可以进一步推导出稳恒磁场的环路定理。
对于一个稳恒磁场，磁感应强度B是空间中的矢量场，可以表示为B = B·n，其中B是磁场的大小，n是磁场的方向。
当磁场是一个稳恒磁场时，磁感应强度B是一个常矢量，与时间无关。
根据磁场的定义，磁感应强度B是由电流所产生的。
因此，我们可以将磁感应强度B表示为B = μ₀I/(2πr)，其中r是距离电流所在位置的距离。
这个表达式描述了磁感应强度B随距离r的变化规律。
根据安培环路定理，磁感应强度B沿闭合回路的环路积分等于该回路所包围的电流的代数和。
因此，我们可以得到稳恒磁场的环路定理的表达式：∮B·dl = μ₀I这个表达式说明了磁场沿闭合回路的总磁通量等于该回路所包围的电流的代数和的一半。
换句话说，稳恒磁场的环路定理可以用来计算磁场沿闭合回路的总磁通量。
稳恒磁场的环路定理在电磁学中有着广泛的应用。
例如，在电动机和发电机中，稳恒磁场的环路定理可以用来计算磁场产生的磁通量，从而进一步分析电机的性能和特性。
在电磁感应中，稳恒磁场的环路定理可以用来计算感应电动势，并分析电磁感应现象的原理。
稳恒磁场的环路定理是电磁学中的重要定理之一，它描述了磁场沿闭合回路的总磁通量等于该回路所包围的电流的代数和的一半。
这个定理的数学表达式为∮B·dl = μ₀I。
稳恒磁场的环路定理在电磁学中有着广泛的应用，能够帮助我们分析和理解磁场的性质和行为。
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B
b
a
.........
B 0 nI 2
c
板上下两侧为均匀磁场
d
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典型例题分析
讨 论 如图，两块无限大载流导体薄板平行放置
通有相反方向的电流。
已知：导线中电流强度 I、单位长度导线匝数n
0 B 0 nI
I
dl
o
L
r
B
规定I* ：
统一为：
与 L 绕向成右旋关系 I * 0 与 L 绕向成左旋关系 I 0
L
B dl 0 I *
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一.安培环路定理
2）单无限长载流直导线 环路L：垂直于导线的平面内围绕电流的任意闭合路径
L
I
d
r
L
I
B
0 I
2r
dl
o
L
r
0 I d l 0 I L 2 r
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一.安培环路定理
b.电流与L绕行方向成左旋关系 0 I L B dl L 2r cos dl 0 I dl 0 I 2 r L 与回路绕行方向成右旋关系的电流 对环量的贡献为正，反之为负。
B
dl
0 I 0 I L B dl L B cos dl L 2 r rd 2
2
0
d 0 I
规定I*：与L 绕向成右旋关系 I 0 ，反之 I 0 * 统一为： B dl I 思考：环路与导线不垂直等式成立？ 0
.........
c
d
.........
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课堂小结分析
柱状电流情况
B
R2
R1
I
B
I
r I
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课堂小结分析
螺线管电流情况
...............
a
b
d
c
I
. . . .. . .. . . . . . . . . . . r . . R 1 . . . . R 2 . .. . .. . . . . ...
IM
典型例题分析
练习2： 环行载流螺线管
已知：I N
N
R1 R2
导线总匝数
分析对称性
磁感线分布如图 作积分回路如图 方向 右手螺旋
. . . . .
.
. . . .. . .. . . R1
.
.
r
R2 . . .
..
. . . . .
.. . . . ...
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I
典型例题分析
计算环量 B dl Bdl 2rB 利用安培环路定理求B . . . B dl 0 NI
0 NI B 2r 0 内 外
. . . .. . . . . . . . . R1
.
r
R2 . .
.
. .
N n 2R1
r
R
P
r R 时在圆柱面内做一圆周
L
I
L
B dl B L dl B 2 r 0
B0
dB
dB '
结 论 B
0 I 2r 0
xR xR
dI ' dI
P
二.环路定理的应用 讨 论
B d l Bdl 2 rB
长直载流圆柱面 已知：I、R
............... B
a
d
单 位 长 度 导 线 匝 数
b
I 温州大学物理与电子信息工程学院
c
典型例题分析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b c 0 计算环量 B dl a Bdl cos 0 b Bdl cos 2 d a c Bdl 0 cos d Bdl cos
求 B 的分布。
R2
R1
(1 ) r R 2 , B 0
0I ( 2 ) R1 r R2 , B 2 r ( 3 ) r R1 , B 0
I
r I
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典型例题分析
例题2: 无限大载流导体薄板 已知：导线中电流强度 I
I
分析对称性
单位长度导线匝数n
利用安培环路定理求B . . . . . . . . . . . . . . .
B dl 0 nabI
B ab
02
B
0 nI 内 B 外 0
a
b
d
c
I
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典型例题分析
I j R 2
0 Ir B 2R 2
I
二.环路定理的应用
结 论 ●无限长载流圆柱导体
0 Ir 2R 2 B 0 I 2r
0 I 2R
B
r R r R
I
B
B
已知：I、R
0
R 温州大学物理与电子信息工程学院
r
二.环路定理的应用
练习1：同轴的两圆筒状导线通有等值反向的电流I ,
L
一.安培环路定理
3）单无限长载流直导线 环路L：垂直于导线的平面内不 包围电流的任意闭合路径 0 I 0 I B1 B2 2r1 2r2
I
L
B2
对一对线元来说 B1 dl1 B2 dl2
B1dl1 cos 1 B2 dl2 cos 2
R1、R2 R2 R1
.. . . . ... B 0
R1 R2
..
. . . . .
B 0 nI
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r
三. 课堂小结分析
1. 自觉应用基本步骤
分析对称性
平面电流情况
计算环量 代入环路定理
2. 掌握典型例题及其变例
I
b
a
磁感线如图
作积分回路如图
dB
b
a
.........
ab、cd与导体板等距
c
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d
典型例题分析
计算环量 b c B dl a Bdl cos 0 b Bdl cos 2 0 d a c Bdl cos 0 d Bdl cos 2 0 B ab B cd 利用安培环路定理求 B dl 0 n ab I
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一.安培环路定理
1. 定理证明
思考：静电场有环路定理 E d l 0
磁场的环路积分结果会如何呢？ B d l ?
Br
★ 以无限长直电流的磁场为例验证 1) 单无限长载流直导线 环路L：垂直于导线的平面内，以O 为圆心半径为 r 的圆周路径 a.当电流与L的绕行方向成右旋 L Br cos 0 d l B dl
I4
I1 I 2
I3
l
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一.安培环路定理
练习2：如图所示，移动电流I3,哪里物理量变化？
B dl 0 I i 0 ( I 2 I 3 )
?
改 变
?
不 变
I1 I 2 I4
I3
l
位置移动
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一.安培环路定理
0 Ir1d 0 Ir2 d 0 2 r1 2 r2
环路不包围电流：
I
r2
d
2
dl2
B 1 1
dl1
L
B dl 0
r 1
L
一.安培环路定理
单 电 流 情 况 1) 单无限长载流直导线 规定I*：与L绕向成右旋关系 I 0，反之 I 0 环路L：垂直于导线的平面内，以 O 为圆心半径为 r 的圆周 * B dl I 0
l
dI dB
B 2 r 0 I
B
0 I 2r
（L 内）
Ii
P
dI
二.环路定理的应用 B 的方向判断如下：
r
l
dS1
O
dB2
dB
P
dB1
dS 2
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二.环路定理的应用
例 求无限长圆柱面电流的磁场分布。 解 (2) 柱面内区域r<R
I1
I2
I3
B B1 B2 B3 + l B dl l B1 B2 B3 + dl B1 dl B2 dl B3 dl
l l l
l
* * 0+0 I 2 0 I 3
根据电流的对称性 分析磁场的对称性
I4
I1 I 2
I3
计算环量
l
B dl 选取积分回路 沿着磁感线 (L)
分区间代入公式
（L）
代入环路定理
B dl 0 I
（L内）
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二.环路定理的应用
例1 求无限长圆柱面电流的磁场分布。