三角函数与构图

中考专题复习----锐角三角函数
一、三角函数与构图： 1．已知tan ∠A=
2
3
，则sin ∠A=______，cos ∠A=______.（用两种方法）
小结：已知任一锐角的三角函数，可以求另两三角函数值． 2．如图，若AB=AC ，tan ∠B=2，则tan ∠A=_____，1
cos
2
A ∠=______．
小结：①面积法、勾股定理；②已知等腰三角形任一一个角（锐角）的三角函数值，就能求出其它三角函数值以及顶角半角的三角函数值． 3．①请求出tan15º，tan22.5º，sin18º． ②已知tan2α=2，则tan α=______．
小结：半角模型的构图及黄金分割． 4．若tan α=
12，tan β=13
，（α、β为锐角）则 tan （αβ+）=_______， tan （αβ-）=_______．
小结：45º角的分割与正切函数（可以利用网格构图），
C
B A
45°
A
C
30°
A
B
C
E
D
C
B
A
β
αD C
B A β
α
三角函数的和差；
5．已知tanα=1
2
，求tan2α，
1
tan
2
α
小结：角度的倍分问题解题途径．[当堂练习]
如图，若sin∠
，tan∠CAD=
1
3
，求tan∠DAB的值．
二、圆与三角函数：
1．如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，BC为⊙O的直径，PB=1，PC=4，求tan∠C．
2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于E点，
5
4
CE
DE
=，弧AC=弧BC，求tan∠B．
D
C B
A
C
B
3．如图，已知⊙O 中，弦AB=AC ，CD 为直径，CD 交AB 于E 点，
3
=7
DE CE ，求sin ∠A ．
4．如图，AB 为⊙O 的直径，AB=6，CA 、CD 为⊙O 的切线，CA=4，求tan ∠B ．
小结：线段比转化为弦与半径之比，构造‘A 型’或‘X 型’平截．
【当堂练习】1．如图，PA 切⊙O 于A 点，PC 为其一条过圆心的割线交⊙O 于B 、C 两点，PA=4，PC=8，则tan ∠C=______． 2．如图，点A 为⊙O 上一点，PC 为其一条过圆心的割线交⊙O 于B 、C 两点，且PA=6，PB=4，BC=5，则tan ∠C=______．
3．如图，PA 切⊙O 于A 点，PC 为其一条过圆心的割线交⊙O 于B 、C 两点，CB=6，PA=4，则tan ∠C=______．
4．如图，已知⊙O 中，PCD 、PAB 为⊙O 的两条割线，AB 为⊙O 的直径，PA=AO ，PC=CD ，求tan ∠COA ．
小结：已知一圆，其切线与过圆心的直线相交组成的三角形，可求其三角函数值．
B
C
P
[课堂检测]如图，AB 是⊙O 的直径，延长AB 至P ，使得PB=OB ，BD ⊥弦BC ，垂足为B ，交PC 于点D ，设∠PCB=α，∠POC=β，则tan ∠α·tan 2
β
=______.
A.
12 B. 1
3
C.2
D.
作业：
1．如图，已知DP ⊥AP ，DC ⊥PC ，PC=PA ，若tan ∠D=
4
3
,求tan ∠B ．
2．已知二次函数y=x 2-4x+3与x 轴和y 轴分别交于点B 和点C ，点D 在BC 上，点P 二次函数y=x 2-4x+3的图像上，且DP ⊥BC ，且DP=2CD ，点P 的坐标为 ；
3． 如图，⊙O 中，∠DBC=60º，AB 为直径，CD 、AB 交于E 点，DE=2CE ，求cos ∠ABD.
A
4．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连接CE ，求sin ∠ACE 的值.
5．如图中，AB 是圆的直径，CD 是平行于AB 的弦，且AC 和BD 相交于E ，∠AED =α，△CDE
和△ABE 的面积之比是（ ） A.cosα B.sinα C.cos²α D.sin²α E.1-sinα
6．tan67°30'的值是（ ）
A. 1
B.2
1-
D.1
2
7． 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sin A =5
13
，tan B =2，AB =29cm ，则S △ABC = .
8．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB =AC ，点P 是AB 的中点，连接P A 、PB 、PC . （1）如图①，若∠BPC =60°
，求证：AC . （2）如图②，若24
sin 25
BPC ∠=
，求tan PAB ∠的值.
9．如图，P A 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E 交P A 、PB 于C 、D ，若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长等于3r ，则tan ∠APB 的值是（ ）
A. B.
125
C.
D.
B
E D C A
P C B
A
O
10．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（3，0），点B 为y 轴正半轴上一点，点C 是第一象限内一点，且2AC =，设tan ∠BOC =m ，则m 的取值范围是 .
11．如图，已知E 是矩形ABCD 的AD 边上一点，点G 与点C 关于直线BE 对称，CG 与BE 交于点F ，DE =EF . （1）求证：BE =BC ； （2）若
1
2
AB AE =，求tan ∠G 的值.
12．如图，P A 为⊙O 的切线，A 为切点.过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C ，交⊙O 于点B ，延长BO
与⊙O
交于点D ，与P A 的延长线交于点E . （1）求证：PB 为⊙O 的切线； （2）若tan ∠ABE =1
2
，求sin E 的值.
13．已知F 为⊙O 内接正方形ABCD 边BC 的中点，AF 交⊙O 于E ，则tan ∠EBC
＝ ．
F
E G D
C B A
D E
C
A
O B
P
14．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1，长为2的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC=_______.
15．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC＝2．设tan∠BOC＝m，则m的取值范围是__________．
16．如图，等边△ABC的边长为8，D、E两点分别从顶点B、C出发沿BC、CA以1个单位，
2个单位的速度向C、A运动，DE的垂直平分线交BC于F点，某一时刻tan∠CDE=
2
3
,则此时线段AF的长度为______.
17．如图，⊙O的半径为R，BP、BC为的两条弦，CE⊥BP于E．若BC＝R
3
6
2
，则tan∠P 的值为（）
A．
2
2
B．2
2C．2D．2
4
18．如图，CD为△ABC的中线，且CD⊥AC，O为BC边上一点，以O为圆心，OC长为半径作⊙O．若⊙O与AB恰好相切于点D，则tanB＝（）
A．
3
1
B．
4
2
C．
8
3
D．
2
1
F
E
D
B
A
A
B
C
D
M
N
19．如图，AC 是⊙O 的直径，OE ⊥AC 交弦AB 于E ．若BC ＝4，S △AOE ＝5，则sin ∠BOE 的值为（ ）
A ．5
3
B ．
5
4 C ．
4
3 D ．
2
1 20．如图，P A 、PB 与⊙O 相切于A 、B 两点，C 为优弧AB 上一点．若tan ∠ACB ＝2，则sin ∠APB 的值为（ ）
A ．53
B ．5
4
C ．125
D ．55
21．如图，点D 为定线段AB 上一动点，以BD 为直径作半圆O ，过A 作半圆O 的切线，切点
为C ，连CD ，当(AC －AD )取最大值时，tan ∠ACD ＝（ ）
A ．3
1
B ．
2
1 C ．
2
2 D ．
3
3
22.如图，在△ABC 中，AB=AC=10，点D 是边BC 上一动点（不与点B 、C 重合），∠ADE=∠B=α，DE 交AC 于E 点，且cos α=
4
5
，则线段CE 的最大值为_______.
课后收获：
人不光是靠他生来就拥有一切，而是靠他从学习中所得到的一切来造就自己．-----歌德
A
B
C
D
E。