用二分法求方程的近似解修改版
用二分法求方程的近似解(82)
4.判断是否达到精确度 ：
即若 a ，b 则 得到零点近似值a(或b）；
否则重复步骤2～4．
2021/4/22
10
例1. 求函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内的零点（精
确度为0.01）.
解：画出y=lnx及y=6-2x的图象，观察图象得，
区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符号
f(2)<0，f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
f(2.5)<0，f(3)>0
2.75 f(2.75)>0
（2.5，2.75）
f(2.5)<0，f(2.75)>0
2.625 f(2.625)>0
（2.5，2.625） f(2.5)<0，f(2.625)>0 2.562 5 f(2.562 5)<0
f(2.531 25)<0, f(2.539 062 5)>0
2.562 5 2.531 25
f(2.562 5)>0 f(2.531 25)<0
2.546 875 f(2.546 875)>0
2.539 062 5 f(2.539 062 5)>0
2021/4/22
12
注意精确度
由于 2.539 062 5 2.531 25 0.007 812 5 0.01
x0 (0.656 25,0.687 5) 0.687 5 0.656 25 0.031 25 0.1
所以近似零点可取为0.6875.
2021/4/22
24
2. （2012·郑州高一检测）下列函数的图象与x轴均有交
用二分法求方程的近似解改后
取 1, 2 区间的中点x1 1.5, f 1.5 0.33,因为
f 1 f 1.5 0所以x0 1,1.5 .
取（1，1.5）的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87，因为 f(1.25)· f(1.5)<0，所以x0∈（1.25，1.5） 同理可得， x0∈（1.375，1.5）， x0∈（1.375，1.4375），由于 |1.375-1.4375|=0.0625< 0.1 所以，原方程的近似解可取为1.4375
(精确度为0.01)
区间
（2，3） （2.5，3） （2.5，2.75） （2.5，2.625） （2.5，2.5625） （2.53125，2.5625） （2.53125，2.546875） （2.53125，2.5390625）
中点的值
2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 2.546875 2.5390625 2.53515625
给定精确度 ,用二分法求函数 f x 零点近似 值的步骤如下:
;
c（此时零点 x0 a, c
（3）若 f c f b 0 ，则令 a c （此时零点 x0 4.判断是否达到精确度 近似值 a（或
c, b
：即若 a b ，则得到零点
b）；否则重复2～4.
对半分，逐步逼近
游戏规则： 给出一件商品，请你猜出 它的准确价格，我们给的提示 只有“高了”和“低了”。给出的商 品价格在100 ~ 200之间的整数， 如果你能在规定的次数之内猜中 价格，这件商品就是你的了。
游戏： “看商品猜价格”，请同学们猜一 下下面这部科学计算器(120～200元间)的 价格。要求:误差小于1元 合作探究：你猜这件商品的价格，是如何 想的？在误差范围内如何做才能以最快的 速度猜中？
用二分法求方程的近似解(带练习)
4.5.2用二分法求方程的近似解1．二分法的概念对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0．(2)求区间(a，b)的中点__c__．(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则__c__就是函数的零点；②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)<0(此时零点x0∈(c，b))，则令a＝c.(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．以上步骤可借助口诀记忆：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为()A．4，4 B．3，4C．5，4 D．4，3D解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点个数为3，故选D.2．若函数f(x)在(1，2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分( )A ．5次B ．6次C ．7次D ．8次C 解析：设对区间(1，2)至少二等分n 次，初始区间长为1. 第1次二等分后区间长为12；第2次二等分后区间长为122；第3次二等分后区间长为123；…第n 次二等分后区间长为12n .根据题意，得12n ＜0.01，∴n ＞log 2100. ∵6＜log 2100＜7， ∴n ≥7.故对区间(1，2)至少二等分7次．【例1】下面关于二分法的叙述中，正确的是( ) A ．用二分法可求所有函数零点的近似值B ．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C ．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D ．只能用二分法求函数的零点B 解析：用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A 错误；二分法是一种程序化的运算，可以在计算机上完成，故选项C 错误；求函数的零点的方法还有方程法、函数图象法等，故选项D 错误．故选B.运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数的零点．1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是()A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解A解析：使用二分法必须满足二分法的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．2．已知下列四个函数图象，其中能用二分法求出函数零点的是()A解析：由二分法的定义与原理知A选项正确.【例2】利用二分法求方程x2－x－1＝0的近似解(精确度为0.3)．解：令f(x)＝x2－x－1，由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，故可取区间(1，2)作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：零点所在区间中点的值中点函数值(1，2) 1.5 －0.25(1.5，2) 1.75 0.312 5(1.5，1.75) 1.625 0.015 625∵|1.75－1.5|＝0.25＜0.3，∴方程x2－x－1＝0的近似解可取1.5或1.75.二分法的步骤证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点．(精确度为0.1)证明：∵函数f(x)＝2x＋3x－6，∴f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0.∴f(x)在区间(1，2)内有零点．又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点．设该零点为x0，则x0∈(1，2)，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1，1.5)．取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1，1.25)．取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125，1.25)．取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5，1.25)．∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴可取x0＝1.25，则该函数的零点近似解为1.25.探究题1某方程在区间D＝(2，4)内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得的近似值的精确度达到0.1，则应将区间D等分的次数至少是________次．5解析：第一次等分，则根在区间(2，3)内或(3，4)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，3)内，第二次等分，则根在区间(2，2.5)内或(2.5，3)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.5)内，第三次等分，则根在区间(2，2.25)内或(2.25，2.5)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.25)内，第四次等分，则根在区间(2，2.125)内或(2.125，2.25)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.125)内，第五次等分，则根在区间(2，2.062 5)内或(2.062 5，2.125)内，此时精确度ε<0.1.满足题目要求，故至少要等分5次.探究题2在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6C解析：已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又0.68＝12×(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．1．根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．2．区分好“精确度”与“精确到”．3．现实生活中，有很多问题可以用二分法来解决，例如线路断路、地下管道的堵塞、水管的泄漏等．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量轻一点)，现在只有一台天平，应用适当的方法最多称几次就可以发现这枚假币？将26枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那13枚金币里面；将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任意拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则轻的那一枚是假币．依据上述分析，最多称4次就可以发现这枚假币．用二分法求方程的近似解练习(30分钟60分)1.(5分)定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当fa＋b2＝0时，函数f(x)的零点是() A．(a，b)外的点B.a＋b2C．区间a，a＋b2或a＋b2，b内的任意一个实数D．x＝a或bB解析：由fa＋b2＝0知a＋b2是零点，且在(a，b)内．2．(5分)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如表所示．x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.51.562 5f(x) －0.871 6 －0.578 8 －0.281 30.021 01 0.328 43 0.641 15则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为()A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.3C解析：由题意可知f(x)为增函数．由f(1.375)•f(1.437 5)＜0，可知方程2x＋3x＝7的近似解可取为1.4.故选C.3．(5分)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下．f(1)≈－2 f(1.5)≈0.625 f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是()A．1.25 B．1.375 C．1.42 D．1.5C解析：由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.406 25，1.437 5)之间，且1.437 5－1.406 25<0.05.结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.4.(5分)用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值时，先取区间中点c＝32，则下一个含根的区间是32，2．5.(5分)某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确到0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在后面的过程中，他用二分法又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断，方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．1．5，1.75，1.875，1.812 5解析：第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5)．6.(5分)利用计算器，列出部分自变量和函数值的对应值如表：x －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8 －0.6 －0.4 －0.2 0y＝2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 30.659 8 0.757 9 0.870 6 1y＝x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)(a在表格中第一行里的数据中取值)，则a 的值为________．－1或－0.8解析：令f(x)＝2x－x2，由表中的数据可得f(－1)<0，f(－0.6)>0，f(－0.8)<0, f(－0.4)>0，∴方程的根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内．∴a＝－1或a＝－0.8.7.(5分)用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度为0.001)时，如果选取初始区间是[1.4，1.5]，则达到精确度要求至少需要计算________次．7解析：设至少需要计算n次，则n满足0.12n<0.001，即2n>100，因为n∈N*，且27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次．8.(12分)以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．先求值，f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________．所以f(x)在区间________内存在零点x0，填表：区间中点m f(m)的符号区间长度解：f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为区间中点m f(m)的符号区间长度(1，2) 1.5 ＋ 1(1，1.5) 1.25 ＋0.5(1，1.25) 1.125 －0.25(1，125，1.25) 1.187 5 ＋0.125(1.125，1．187 5) 0.062 5因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，所以原方程的近似解可取为1.187 5.9.(13分)求方程x2－2x－1＝0的一个大于零的近似解(精确度为0.1)．解：设f(x)＝x2－2x－1，先画出函数图象的草图，如图所示.因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，所以在区间(2，3)上，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1，取2和3的中间数2.5，因为f(2.5)＝0.25>0，所以x1∈(2，2.5)，再取2与2.5的中间数2.25，因为f(2.25)＝－0.437 5<0，所以x1∈(2.25，2.5)，如此继续下去，得f(2.375)<0，f(2.437 5)>0，则x1∈(2.375，2.4375)，因为|2.437 5－2.375|＝0.062 5<0.1.所以此方程大于零的近似解为2.437 5.。
用二分法求方程的近似解47681
即f(2.5)·f(3) <0 则x0∈（2.5，3） 取2.5+3 =2.75 ，f(2.75) ≈0.512>0 即f(22.5)·f(2.75) <0 则x0∈（2.5，2.75） 方法
2020年1月30日星期四
取 2.5+2.75 =2.625 ，f(2.625) ≈0.215>0 2
即f(2.5)·f(2.625) <0 则x0∈（2.5，2.625）
2020年1月30日星期四
根基 对于在①区间[a,b]上连续不断且 f(a) ·f(b)＜０的函数 y=主f(x干) ，通过②不 断地把函数f(x)的零点所在的区间一分 为二，使区间的两个端点逼近零点，进 而③得到零点近似值。
终端 2020年1月30日星期四
概括利用二分法求函数 f ( x)零点的近似值的步骤
取 2.5+2.625 =2.5625 ，f(2.5625) ≈0.066>0 即f(2.5)·2f(2.5625) <0则x0∈（2.5，2.5625）
而|2.5-2.5625|=0.0625<0.1
所以我们可以取2.5作为方程lnx+2x-6=0 的近似值。
返回
2020年1月30日星期四
对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a) ·f(b)＜０的函数 y=f(x) ，通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二，使区间的两个端点逼近零点，进而 得到零点近似值。
2020年1月30日星期四
根基 对于在①区间[a,b]上连续不断且 f(a) ·f(b)＜０的函数 y=f(x) ，通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二，使区间的两个端点逼近零点，进而 得到零点近似值。
用二分法求方程的近似解47247
重复操作，逐步缩小零点所在区间的长度， 直到这个长度小于题目给定的精确度
取出最终得到的区间内的任意一个值作为所 求方程的近似解
2020/2/11
借助计算器或计算机，用二分法求 方程-x3-3x+5＝0在区间(1,2)内的近似 解(精确度0.1)。
2020/2/11
解：设函数f(x)= -x3-3x+5 ，
二分法求方程的近似解
2020/2/11
１、方程实根与对应函数零点之间的联系
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x) 的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
2020/2/11
2020/2/11
１、方程实根与对应函数零点之间的联系 方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)有零点
2020/2/11
２、函数零点所在区间的判定
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)＜０，那 么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即
存在c ∈（a,b），使得f(c)=0，这个 c 也
就是方程f(x)=0的根。
2020/2/11
也叫步长，是区间 两端点的距离的大小
而|2.5-2.5625|=0.0625<0.1
所以我们可以取2.5作为方程lnx+2x-6=0 的近似值。
返回
2020/2/11
对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a) ·f(b)＜０的函数 y=f(x) ，通过不断 地把函数f(x)的零点所在的区间一分为 二，使区间的两个端点逼近零点，进而 得到零点近似值。
由于f(2)≈－1.3069<0， f(3) ≈ 1.0986>0 即f(2)·f(3)<0， 所以函数在区间（2，3）内有零点x0 取2+3 =2.5 ，f(2.5) ≈-0.084<0
用二分法求方程的近似解
总结作业
茅盾中学 用二分法求方程的近似解
0.03
(2.5625,2.625)
新课讲解
茅盾中学 用二分法求方程的近似解
给定精确度 ,用二分法求函数f (x)零点近似值
的步骤 :
宇普西龙
1.确定区间[a,b], 验证f (a) f (b) 0;
2.求区间(a, b)的中点c;
3.计算f (c);
(1)若f (c) 0,则c就是函数的零点;
(2)若f (a) f (c) 0,则令b c(此时零点x0 (a, c)); (3)若f (c) f (b) 0,则令a c(此时零点x0 (c, b)); 4.判断是否达到精确度 :即若 | a b | ,则得到零点近似值a(或b);否
则重复2 4.
新课讲解
茅盾中学 用二分法求方程的近似解
例1、借助计算器或计算机,用二分法求方程x
3 lg x在(2,3)内的近似解(精确度0.1). 近似 值
区间
中点的值 中点的函数值
(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)
2.5 2.75 2.625
0.10 0.19 0.04
(2.5,2.625) 2.5625
A.(3,4) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
新课讲解
二分法 :
茅盾中学 用二分法求方程的近似解
对于区间[a,b]上连续不断且f (a) f (b) 0的函 数y f (x), 通过不断地把函数f (x)的零点所在 的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近 零点, 进而得到零点近似值的方法, 称之.
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§ 3.1.2 用二分法求方程近似解
复习引入 新课讲解 课堂小结 课后作业
用二分法求方程的近似解(精)
方程x2－2x－1＝0近似解的步骤：
（1）确定根所在的大致区间（a，b）；
（2）取该区间的中点(a+b)/2，
计算f（(a+b)/2）的值；
（3）根据函数值的符号，确定长度更小的
区间，然后依次进行；
（4）判断是否达到精确度的要求，确定
近似解．
概念形成
对于在区间（a，b）上连续不断、且 f（a）·f（b）<0的函数y＝f（x），通
用二分法求方程的近似解 黄红霞
提出问题
我们来研究这样一个方程：x3＋3x－1＝0。
你能说出这个方程的一个解所在的区间吗？ 为什么？
突出区间两个端点处的函数值异号。 你能否再把解所在的区间缩小一些？
我们先来研究第一个方程：
例1：利用计算器，求x2－2x－1＝0的
近似解（精确到0.1）。
过不断的把方程的解所在的区间一分为 二，使区间的两个端点逐步逼近近似解， 进而得到近似解的方法叫二分法．
例题讲解 ：
例2：借助计算器，用二分法求方程lgx＋
x－3＝0的近似解（精确到0.1）．
分析：首先要求学生判断方程根所在的区 间．分别画出函数y＝lgx和y＝3－x的图象， 在两个函数的图象的交点处，它们的函数值 相等．因此，这个点的横坐标就是方程lnx＝3 －x的解．由函数y＝lgx和y＝3－x的图象可以 发现，方程lgx＝3－x有惟一解，记为x0，并 且这个解在区间（2，3）内．（利 1、用二分法求0.84x＝0.5的近似解（精确到1） 2、试判别方程x3＋3x－1＝0在区间（0，1）
内是否有解。
课堂小结
二分法基本步骤
用二分法求方程的近似解(新)
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法教材分析本节课注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.●“二分法”是第一次进入高中教材，对教师来讲，教学内容是全新的，所体现算法的思想也是全新的，这就需要对“二分法”的本质和教材编写背景进行研究．●“二分法”体现了现代信息技术与数学课程的整合，教学中要探索如何将数学教学与信息技术紧密结合，既要恰当渗透算法思想，又要合理运用科学型计算器、各种数学教育技术平台组织教学，这就需要对教学手段进行研究．《课程标准》倡导改善学生的学习方式，既要有教师主导下的接受式学习，有要有学生自主探索、自主发现、自主创造的主动式学习，在“二分法”教学中能否实践如何改善学生的学习方式．学情分析通过本节课的学习，使学生在知识上学会用“二分法”求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系；在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板4.06中文版中的“绘制新函数”功能画出基本初等函数的图象，掌握Microsoft Excel 软件一些基本的操作.教学目标：1、知识与技能（1）通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法；（2）根据具体函数的图像，能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解。
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例、借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7的近似解（精确度0.1） 解：令f(x)=2x+3x-7，用计算器可作出此函数的
对应值表与图象
x -1 0 1 2 3 4 5 y -9.5 -6 -2 3 10 21 40
2.5
3
-
- + + f( 2 .5 ) 0 ,f( 2 .7 ) 5 0 2 .5 x 1 2 .5
2
2.5 2.75 3
-
- + + + f( 2 .5 ) 0 ,f( 2 .6) 2 0 5 2 .5 x 1 2 .6
2
2.5 2.75 3
由f(1)·f(2)<0可知，这个函数在（1,2）有零点x0. 计算f(1.5) ≈0.33,可知x0∈(1,1.5)… 同理可得x0∈(1. 375,1.5)， x0∈(1.375,1.4375) ∵|1.375-1.4375|=0.0625<0.1 ∴原方程的近似解可取为1.4375。
4
3
f x 2 = x + x -3 7
由图可知:f(2)<0,f(3)>0,因此在区间 (2,3)上有零点,
又可证f(x)在定义域(0,+∞）上是单调递增的， 故它仅有一零点。
8
6
f x = ln x +2 x -6
4
2
-5
0 23 5
10
15
-2
-4
-6
-8
问题:我们知道函数f(x)=lnx+2x-6在区 间（2，3）内有零点，你能否缩小函数 f(x)=lnx+2x-6零点所在的区间范围? 换句话说，你能否找到函数f(x)=lnx+2x-6 零点的精确值?
复习内容2：
2、零点存在判定法则
如果函数y=f (x)在区间[a,b]上的图象是 连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0, 那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点， 即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是 方程f(x)=0的根.
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方法总结：取每次 “低了与高了”数的中 ［本质］将区点间一分为二，再经比较，按需 要求留下其中一个新的更小的区间．
) A．3 C．5
B．4 D．6
解析：选B.由求解方程近 似解的步骤可知需将区间等 分4次．
思考：对下列图象中的函数，能否用二
分法求函数零点的近似值？为什么？
y
y
o
x
o
x
1.下列函数中不能用二分法求零点的是（） A. f (x) 2x 3 B. f (x) ln x 2x 6 C. f (x) x2 2x 1 D. f (x) 2x 1
3.1.2 用二分法求方程的近似解
学习导航： 1.了解二分法是求方程近似解的常用方法； 2.掌握用二分法求函数零点近似值的步骤,
会求步骤要求较少的函数的零点的近似解。
复习内容1：
1、函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点 （zero point）
结论: 方程f (x) 0有实数根 函数y f(x)的图象与x轴有交点 函数y f(x)有零点
2
1
-2
012
-1
-2
-3
-4
-5
-6
4
6
二分法求方程近似解的口诀:
定区间，找中点， 中值计算两边看; 同号去，异号算， 零点落在异号间; 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
问题：利用我们猜价格的方 法，你能否找到函数 f(x)=lnx+2x-6零点的精确值?
小田 @
已知f(2)<0,f(3)>0，求方程f(x)=lnx+2x-6=0的近根似解
-
-
+ f( 2 .5 ) 0 ,f( 3 ) 0 2 .5 x 1 3
2
负正 负正 负正
0.029 0.010 0.001
二分法概念
y
a
0
b
x
对于在区间a,b上连续不断且 fafb0的函
数 yfx,通过不断地把函数 f x的零点所在的区
间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法.
1 2．已知f(x)＝ x －lnx在区间(1,2)内有 一个零点x0，若用二分法求x0的近似值( 精确度0.1)，则需要将区间等分的次数为(
给定精确度ε，用二分法求函数y=f(x)零点 近似值的步骤： 1、确定区间[a,b]（使f(a)·f(b)<0） 2、求区间（a,b）的中点c 3、计算f(c) (1)若f(c)=0，则c就是函数的零点, 计算终止。
(2)若f(a)·f(c)<0, 则零点x0∈ (a,c) ， 否则零点x0∈ (c,b)
[思路三]利用计算器算出一些函数值,再结合 函数的单调性. (最常用)
问题: 函数f(x)=lnx+2x-6有无零点?若 有,则有几个零点?试说明理由.
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表
x1 2
34
5
6
7
8
9
f(x) -4 -1.30 1.09 3.38 5.60 7.79 9.94 12.07 14.19
这种方法叫二分法，也叫对分法
［用途］它在查找电线、水管、气管等管道 线路故障中有广范应用．
问题: 函数f(x)=lnx+2x-6有无零点?若 有,则有几个零点?试说明理由.
[分析] [思路一]直接解方程lnx+2x-6=0; (不可行) [思路二]利用计算机作出函数f(x)=lnx+2x-6 的图象;
f(a) f(b) f(x1 )近 似值
负 正 -0.084
负 正 0.512
负 正 0.215 负 正 0.066 负 正 -0.009
（2.53125，2.5625） （2.53125，2.546875） （2.53125，2.5390625）
2.546875 2.5390625 2.53515625
如此下去，我们是否会得到方程lnx+2x-6=0的根？
假如此问题中，要求精确度为0.01，我们该将此 过程进行到哪里？如何确认已经达到要求呢？
区间（a，b)
(2 , 3)
(2.5 , 3)
(2.5 , 2.75) (2.5 , 2. 625) （2.5，2.5625）
中点x1的值
2.5
2.75
2.625 2.5625 2.53125