人教版高数选修2-2第3讲：函数的单调性与导数(学生版)—东直门仉长娜

导数与函数的单调性
一、函数的单调性与导数：
1． 函数的导数与函数的单调性的关系：
我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数342
+-=x x y 的图像可以看到：
在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即/y >0时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y
<0时，函数y=f(x) 在区间（∞-，2）内为减函数
定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/
y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/
y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数 2．利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数；
(3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间．
类型一：函数的单调性与导数：
例1确定函数f (x )=2x 3－6x 2
+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数
例2当x ＞0时，证明不等式：1+2x ＜e 2
x ．
y =f (x )=x 2－4x +3 切线的斜率 f ′(x )
(2，+∞) 增函数 正 ＞0 (－∞，2)
减函数
负
＜0
3
2
1
f x () = x 2-4⋅x ()+3
x
O
y
B A
21f x () = 2⋅x 3-6⋅x 2()+7
x O y
例3已知函数y =x
+x
1
，试讨论出此函数的单调区间。

练习：
1．求下列函数的单调区间(1)y =
x x 2+ (2)y =9
2-x x
(3)y =x +x
1.函数f(x)=
21
++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0<a<21 B.a<-1或a>21 C.a>2
1 D.a>-2
2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0,1)上单调，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥0
B ．a <－4
C ．a ≥0或a ≤－4
D ．a >0或a <－4
3．函数f (x )＝x ＋9
x
的单调区间为________．
4 函数3
2x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________
5．确定下列函数的单调区间:(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3 6．函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________．
7．已知y ＝1
3
x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数，则b 的范围为________．
8已知函数32
()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x ．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间．
9.已知函数f(x)=x 3
-2
1
x 2
+bx+c.(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b 的取值范围; 12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a 的取值范围.
13．已知函数 2
3
2()4()3
f x x ax x x R =+-
∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围． ;;
14.已知函数d ax bx x x f +++=2
3)(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，)1(-f ）处的切线方程076=+-y x ，（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）求函数)(x f y =的单调区间。

15．已知函数f (x )＝2x －b
(x －1)2
，求导函数f ′(x )，并确定f (x )的单调区间．
-2
2-1
1
f x () = x+
1x
x
O
y
基础巩固
一、选择题
1．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－1]和[0,1] B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1]
D ．(－∞，－1]和[1，＋∞)
2．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2
D ．a ≤1
3
3．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )> 0，则x <0时( )
A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0
B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0
C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0
D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0
4．(2013·武汉市实验中学高二期末)设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m >4
3
，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )
6．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F (x )＝f (x )
e x
是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )
A ．f (2)>e 2f (0)，f (2012)>e 2012f (0)
B ．f (2)<e 2f (0)，f (2012)>e 2012f (0)
C ．f (2)<e 2f (0)，f (2012)<e 2012f (0)
D ．f (2)>e 2f (0)，f (2012)<e 2012f (0)
二、填空题
7．函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为________．
8．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．
9．(2014·郑州网校期中联考)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范
围是__________________．
三、解答题
10．(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a 、b ∈R )的图象过点P (1,2)，且在点P 处的切线斜率为8.
(1)求a 、b 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间．
能力提升
一、选择题
11．(2012·天津理，4)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
12．(2014·北京西城区期末)已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0，使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数的个数是( )
①f (x )＝x 2，②f (x )＝e －
x ，③f (x )＝ln x ，④f (x )＝tan x ，⑤f (x )＝x ＋1x
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
13．(2014·天门市调研)已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，其导函数记为f ′(x )，若对于任意实数x ，有f (x )>f ′(x )，且y ＝f (x )－1为奇函数，则不等式f (x )<e x 的解集为( )
A ．(－∞，0)
B ．(0，＋∞)
C ．(－∞，e 4)
D ．(e 4，＋∞)
14．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图(1)所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )
二、填空题
15．(2014·衡阳六校联考)在区间[－a，a](a>0)内图象不间断的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，函数g(x)＝e x·f(x)，且g(0)·g(a)<0，又当0<x<a时，有f′(x)＋f(x)>0，则函数f(x)在区间[－a，a]内零点的个数是________．
三、解答题
16．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．
(1)求a、b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
17．(2014·山师附中学分认定考试)已知函数f(x)＝a ln x＋2a2
x＋x(a>0)．若函数y＝f(x)在点(1，f(1))
处的切线与直线x－2y＝0垂直．
(1)求实数a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
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