高中数学人教a版选修1-2 第三章 数系的扩充与复数的引入 评11 含答案
最新整理高中数学人教A版选修1-2 第三章 数系的扩充与复数的引入 学业分层测评8 Word版含答案.doc
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．复数－2i的实部与虚部分别是()A．0,2 B．0,0C．0，－2 D．－2,0【解析】－2i的实部为0，虚部为－2.【答案】 C2．(2016·鹤岗高二检测)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()A．1 B．2C．－1或－2 D．1或2【解析】由{a2－3a＋2＝0，a－1≠0，得a＝2.【答案】 B3．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为() A．1 B．2C．3 D．4【解析】由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4.【答案】 D4．在下列命题中，正确命题的个数是()①两个复数不能比较大小；②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2；③若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i必为纯虚数．A．0 B．1C．2 D．3【解析】两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误；设z1＝a＋b i(a，b∈R，b≠0)，z2＝c＋d i(c，d∈R，且d≠0)，因为b＝d，所以z2＝c＋b i.当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②错误；③当a＝b≠0时，(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，(a－b)＋(a＋b)i ＝0是实数，故③错误，因此选A.【答案】 A5．下列命题中，正确命题的个数是()①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．0 B．1C．2D．3【解析】对于①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋y i的实部和虚部，故①是假命题；对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；对于③，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0，故③是假命题．【答案】 A5．已知复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)，则“a＝2”是“z为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解析】因为复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)为纯虚数⇔{a2－4＝0，a－3≠0⇔a＝±2, 所以“a＝2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件．【答案】 A二、填空题6．以3i－2的虚部为实部，以3i2＋2i的实部为虚部的复数是________．【解析】3i－2的虚部为3,3i2＋2i＝－3＋2i，实部为－3，故应填3－3i.【答案】3－3i7．若x是实数，y是纯虚数，且(2x－1)＋2i＝y，则x，y的值为________.【导学号：19220037】【解析】由(2x－1)＋2i＝y，得{2x－1＝0，＝y，∴x＝12，y＝2i.【答案】x＝12，y＝2i8．给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②满足x2＝－1的数x只有i；③形如b i(b∈R)的数不一定是纯虚数；④复数m＋n i的实部一定是m.其中正确说法的个数为________．【解析】③中，b＝0时，b i＝0不是纯虚数．故③正确；①中，复数分为实数与虚数两大类；②中，平方为－1的数是±i；④中，m，n不一定为实数，故①②④错误．【答案】 1三、解答题9．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m取什么值时：(1)复数z是零；(2)复数z是纯虚数．【解】(1)∵z是零，∴{m(m－1)＝0，m2＋2m－3＝0，解得m＝1.(2)∵z是纯虚数，∴{m(m－1)＝0，m2＋2m－3≠0，解得m＝0.综上，当m＝1时，z是零；当m＝0时，z是纯虚数．10．已知集合M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．【解】因为M∪P＝P，所以M⊆P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得{m2－2m＝－1，m2＋m－2＝0，解得m＝1；由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得{m2－2m＝0，m2＋m－2＝4，解得m＝2.综上可知，m＝1或m＝2.[能力提升]1．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是()A．－1或3 B．{a|a>3或a<－1}C．{a|a>－3或a<1} D．{a|a>3或a＝－1}【解析】由已知可以得到a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}．【答案】 B2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为()A.π4 B.π4或54πC．2kπ＋π4(k∈Z) D．kπ＋π4(k∈Z)【解析】由复数相等定义得{cos θ＝sin θ，θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝kπ＋π4(k∈Z)．【答案】 D3．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．【解析】∵log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，∴{log2(x2－3x－2)>1，2(x2＋2x＋1)＝0，∴{x2－3x－2>2，x2＋2x＋1＝1，∴{x>4或x<－1，x＝0或x＝－2.∴x＝－2.【答案】－24．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋k i＝0有实根x0，求x0以及实数k的值.【导学号：19220038】【解】x＝x0是方程的实根，代入方程并整理，得(x20＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.由复数相等的充要条件，得{x20＋kx0＋2＝0，x0＋k＝0，解得{x0＝2，k＝－22或{x0＝－2，k＝2 2.∴方程的实根为x0＝2或x0＝－2，相应的k值为k＝－22或k＝2 2.。
最新整理高中数学人教A版选修1-2 第三章 数系的扩充与复数的引入 学业分层测评10 Word版含答案.doc
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)的结果为( )A ．5－3iB ．3＋5iC ．7－8iD ．7－2i【解析】 (6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i＝7－8i.【答案】 C2．在复平面内，复数1＋i 和1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝( ) A. 2B ．2 C.10 D ．4【解析】 由复数减法运算的几何意义知，AB →对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i ，∴|AB →|＝2.【答案】 B3．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4【解析】 由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故{ b ＋4＝0，a ＋3＝0，－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4.【答案】 A4．(2016·石家庄高二检测)A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB 为直角三角形．【答案】 B5．设z ＝3－4i ，则复数z －|z |＋(1－i)在复平面内的对应点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵z ＝3－4i ，∴z －|z |＋(1－i)＝3－4i －32＋(－4)2＋1－i＝(3－5＋1)＋(－4－1)i ＝－1－5i.【答案】 C二、填空题6．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i ＋3－4i ＝_______________________.【导学号：19220046】【解析】 原式＝2＋7i －5＋13i ＋3－4i ＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i ＝16i.【答案】 16i7．z 为纯虚数且|z －1－i|＝1，则z ＝________.【解析】 设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，|z －1－i|＝|－1＋(b －1)i|＝1＋(b －1)2＝1，解得b ＝1，∴z ＝i.【答案】 i8．已知z 1＝2(1－i)，且|z |＝1，则|z －z 1|的最大值为________．【解析】 |z |＝1，即|OZ |＝1，∴满足|z |＝1的点Z 的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z 1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．故|z －z 1|的最大值为点Z 1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z －z 1|的最大值为22＋1.【答案】 22＋1三、解答题9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R )，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋b i.【解】 z 1－z 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0， 解得{ a ＝2，b ＝1， ∴z ＝2＋i.10．如图3-2-3，已知复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形ABCD 的三个顶点A ，B ，C ，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．图3-2-3【解】 法一：设正方形的第四个点D 对应的复数为 x ＋y i(x ，y ∈R )， ∴AD →＝OD →－OA →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋2i)＝(x －1)＋(y －2)i ，BC →＝OC →－OB →对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.∵AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －2)i ＝1－3i ，即{x－1＝1，y－2＝－3，解得{x＝2，y＝－1.故点D对应的复数为2－i.法二：∵点A与点C关于原点对称，∴原点O为正方形的中心，于是(－2＋i)＋(x＋y i)＝0，∴x＝2，y＝－1，故点D对应的复数为2－i.[能力提升]1．(2016·昆明高二检测)实数x，y满足z1＝y＋x i，z2＝y i－x，且z1－z2＝2，则xy的值是()A．1 B．2C．－2 D．－1【解析】z1－z2＝(y＋x i)－(－x＋y i)＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，∴{x＋y＝2，x－y＝0，∴x＝y＝1，∴xy＝1.【答案】 A2．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z －z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的()【导学号：19220047】A．内心B．垂心C．重心D．外心【解析】由已知z对应的点到z1，z2，z3对应的点A，B，C的距离相等．所以z对应的点为△ABC的外心．【答案】 D3．已知|z|＝2，则|z＋3－4i|的最大值是________．【解析】由|z|＝2知复数z对应的点在圆x2＋y2＝4上，圆心为O(0,0)，半径r＝2.而|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|表示复数z对应的点与M(－3,4)之间的距离，由于|OM|＝5，所以|z＋3－4i|的最大值为|OM|＋r＝5＋2＝7.【答案】74．在复平面内，A，B，C三点分别对应复数1,2＋i，－1＋2i.(1)求AB →，AC →，BC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状．【解】 (1)∵A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.∴OA →，OB →，OC →对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i(O 为坐标原点)， ∴OA →＝(1,0)，OB →＝(2,1)，OC →＝(－1,2)．∴AB →＝OB →－OA →＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2,2)，BC →＝OC →－OB →＝(－3,1)．即AB →对应的复数为1＋i ，AC →对应的复数为－2＋2i ，BC →对应的复数为－3＋i.(2)∵|AB →|＝1＋1＝2，|AC →|＝(－2)2＋22＝8，|BC →|＝(－3)2＋1＝10，∴|AB →|2＋|AC →|2＝10＝|BC →|2.又∵|AB →|≠|AC →|，∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形.。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-2习题：第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1 含解析
3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义课时过关·能力提升基础巩固1(6-2i)-(3i +1)等于( )A.3-3iB.5-5iC.7+iD.5+5i-2i)-(3i +1)=(6-1)+(-2-3)i =5-5i,故选B .2如图,在复平面内,复数z 1,z 2对应的向量分别是OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|z1+z2|=( )A .2B .3C .2√2D.3√31=-2-i,z 2=i,z 1+z 2=-2.故选A .3若z 1=2+i,z 2=3+a i(a ∈R ),且z 1+z 2所对应的点在实轴上,则a 的值为( )A.3B.2C.1D.-11+z 2=2+i +3+a i =(2+3)+(1+a )i =5+(1+a )i .∵z 1+z 2所对应的点在实轴上,∴1+a=0.∴a=-1.4已知z 1=3-4i,z 2=-5+2i,z 1,z 2对应的点分别为P 1,P 2,则P 2P 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为( )A.-8+6iB.8-6iC.8+6iD.-2-2i,知P 2P 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为z 1-z 2=(3-4i)-(-5+2i)=(3+5)+(-4-2)i =8-6i,故选B .5若P ,A ,B ,C 四点分别对应复数z ,z 1,z 2,z 3,且|z-z 1|=|z-z 2|=|z-z 3|,则点P 为△ABC 的( )A.内心B.外心C.重心D.垂心|z-z 0|的几何意义可知,动点P 到三角形三顶点的距离相等,故P 为△ABC 的外心.6如图,在平行四边形OABC 中,各顶点对应的复数分别为z O =0,z A =2+a 2i,zB =−2a +3i,zC =−b +ai,a,b ∈R ,则a-b 的值为 .,知OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴-2a+3i =(2+a 2i)+(−b +ai)=(2−b)+32ai.根据复数相等的充要条件,得{-2a =2-b ,3=32a .解得{a =2,b =6.∴a −b =−4.47已知z 1=m 2-3m+m 2i,z 2=4+(5m+6)i(m ∈R ),若z 1-z 2=0,则m= .z 1-z 2=(m 2-3m+m 2i)-[4+(5m+6)i]=(m 2-3m-4)+(m 2-5m-6)i =0,∴{m 2-3m -4=0,m 2-5m -6=0,∴m =−1.18已知z 是复数,|z|=3,且z+3i 是纯虚数,则z= .z=a+b i(a ,b ∈R ),则a+b i +3i =a+(b+3)i 是纯虚数,∴a=0,b+3≠0.又|z|=3,∴b=3,∴z=3i .9若|z-1|=1,试说明复数z 对应点的轨迹..,知|z-1|=1表示复数z 对应的点到点(1,0)的距离为1,故复数z 对应点的轨迹是以点(1,0)为圆心,以1为半径的圆.10已知复平面内的点A ,B 对应的复数分别是z 1=sin 2θ+i,z 2=-cos 2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π),设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是z.(1)求复数z;(2)若复数z对应的点P在直线y=12x上,求θ的值.∵点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,∴点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ),∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−cos2θ,cos 2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)=(-1,-2sin2θ).∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i.(2)由(1)知点P的坐标是(-1,-2sin2θ),代入y=12x,得-2sin2θ=−12,即sin2θ=14,∴sin θ=±12.又θ∈(0,π),∴sin θ=12,∴θ=π6或5π6.能力提升1若|z-1|=|z+1|,则复数z对应的点在()A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限|z-1|=|z+1|,∴点Z到(1,0)和(-1,0)的距离相等,∴点Z在以(1,0)和(-1,0)为端点的线段的垂直平分线上,即在虚轴上.2已知z=cos π4+isin π4,i为虚数单位,则平面内到点C(1,2)的距离等于|z|的点的轨迹是()A.以点(0,0)为圆心,1为半径的圆B.以点C为圆心,1为半径的圆C.满足方程x2+y2=1的曲线D.满足(x-1)2+(y-2)2=12的曲线|z|=√cos2π4+sin2π4=1,∴平面内到点C(1,2)的距离等于|z|的点的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2=1,表示以点C为圆心,1为半径的圆.★3若复数z=x+y i(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为()A.2B.4C.4√2D.16|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+y i|,∴x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,∴2x+4y=2x+22y≥2√2x+2y=2√23=4√2,当且仅当x=2y=32时,2x+4y取得最小值4√2.4设实数x,y,θ满足以下关系:x+y i=(3+5cos θ)+(-4+5sin θ)i,则x2+y2的最大值是.x+y i=(3+5cos θ)+(-4+5sin θ)i,∴x2+y2=(3+5cos θ)2+(-4+5sin θ)2=50+30cos θ-40sin θ=50+50cos(θ+φ),其中sin φ=45,cos φ=35.∴(x2+y2)max=50+50=100.5若对n个复数a1,a2,…,a n,存在n个不全为零的实数k1,k2,…,k n,使得k1a1+k2a2+…+k n a n=0成立,则称a1,a2,…,a n为线性相关.依此规定,能使a1=1,a2=1-i,a3=2+2i三个复数线性相关的实数k1,k2,k3的值依次可取.(写出一组数值即可,不必考虑所有情况),在新定义下,k1a1+k2a2+k3a3=0,即k1+k2(1-i)+k3(2+2i)=0,即(k1+k2+2k3)+(-k2+2k3)i=0,故-k2+2k3=0,则k2=2k3.又实部之和为k1+k2+2k3=0,∴k1=-k2-2k3=-4k3,∴k1=-4k3,k2=2k3,令k3取任意一个非零值就可以得到一组值.4,2,1(答案不唯一)6已知|z|=2,则|z+3-4i|的最大值是.|z|=2知复数z对应的点在圆x2+y2=4上,圆心为O(0,0),半径r=2.而|z+3-4i|=|z-(-3+4i)|表示复数z对应的点与M(-3,4)之间的距离,由于|OM|=5,所以|z+3-4i|的最大值为|OM|+r=5+2=7.7已知复数z1=1-2i和z2=4+3i分别对应复平面内的A,B两点.求:(1)A,B两点间的距离;(2)线段AB的垂直平分线方程的复数形式,并化为实数表示的一般形式.因为|z2-z1|=|(4+3i)-(1-2i)|=|3+5i|=√34,所以A,B两点间的距离为√34.(2)线段AB的垂直平分线上任一点Z到A,B两点的距离相等,设点Z对应的复数为z,由复数模的几何意义,知|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|.设z=x+y i(x,y∈R),代入上式,得|(x-1)+(y+2)i|=|(x-4)+(y-3)i|,即(x-1)2+(y+2)2=(x-4)2+(y-3)2.整理上式可得线段AB的垂直平分线的方程为3x+5y-10=0.所以线段AB的垂直平分线方程的复数形式为|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|,实数表示的一般形式为3x+5y-10=0.★8在△ABC中,角A,B,C所对的边的长度分别为a,b,c,设复数z=cos A+isin A,且满足|z+1|=1.(1)求复数z;(2)求b-cacos(60°+C)的值.(1)问,把复数z+1的模转化为它对应的复数的模,从而求出角A,进而求出复数z;第(2)问,利用正弦定理把边转化为角,再进行三角恒等变换即可求解.∵z=cos A+isin A,∴z+1=1+cos A+isin A.∴|z+1|=√(1+cosA)2+sin2A=√2+2cosA.∵|z+1|=1,∴2+2cos A=1.∴cos A=−1 2 .∵角A是△ABC的一个内角,∴A=120°.∴sin A=√3 2 .∴复数z=−12+√32i.(2)由正弦定理,得a=2R·sin A,b=2R·sin B,c=2R·sin C(其中R为△ABC外接圆的半径),∴原式=sinB-sinC sinA·cos(60°+C).∵B=180°-A-C=60°-C,∴原式=sin(60°-C)-sinCsin120°·cos(60°+C)=√32cosC-32sinC√32·=cosC-√3sinCcos(60°+C)=2cos(60°+C)cos(60°+C)=2,即b-cacos(60°+C)的值为2.。
高中数学人教A版选修1-2练习：第3章 数系的扩充与复数的引入
第三章 3.1 3.1.1A 级 基础巩固一、选择题1．全集I ＝{复数}，集合M ＝{有理数}，N ＝{虚数}，则(∁I M )∩(∁I N )＝( D ) A ．{复数} B ．{实数} C ．{有理数}D ．{无理数}[解析] ∁I M ＝{无理数、虚数}，∁I N ＝{实数}，∴(∁I M )∩(∁I N )＝{无理数}． 2．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( D ) A ．－2 B ．23C ．－23D ．2[解析] 由题意得2＋(－b )＝0，∴b ＝2.3．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( A ) A ．2－2i B ．2＋i C ．－5＋5iD ．5＋5i [解析] 复数2i －5的虚部为2，复数5i ＋2i 2＝－2＋5i ，∴其实部为－2，故选A ． 4．复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( D ) A ．0或－1 B ．0 C ．1D ．－1[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0m ≠0，∴m ＝－1，故选D ．5．适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x 、y 的值为( A ) A ．x ＝0且y ＝3 B ．x ＝0且y ＝－3 C ．x ＝5且y ＝3D ．x ＝3且y ＝0[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3，故选A ．6．复数z ＝a 2＋b 2＋(a ＋|a |)i(a 、b ∈R )为实数的充要条件是( D ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠bD ．a ≤0[解析] 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0， 故a ≤0. 二、填空题7．如果x －1＋y i 与i －3x 为相等复数，x 、y 为实数，则x ＝ 14 ，y ＝__1__.[解析] 由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3xy ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14y ＝1.8．给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是 2＋3，0.618，i 2 . [解析] 2＋3，0.618，i 2为实数，5i ＋4，2i 为虚数． 三、解答题9．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )．试求实数a 分别为什么值时，z 分别为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[分析] 按复数a ＋b i(a 、b ∈R )是实数，纯虚数和虚数的充要条件求解． [解析] (1)当z 为实数时，则有a 2－5a －6＝0① 且a 2－7a ＋6a 2－1有意义②解①得a ＝－1且a ＝6， 解②得a ≠±1，∴a ＝6，即a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则有a 2－5a －6≠0③ 且a 2－7a ＋6a 2－1有意义④解③得a ≠－1且a ≠6， 解④得a ≠±1， ∴a ≠±1且a ≠6，∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6a 2－1＝0，此方程组无解，∴不存在实数a 使z 为纯虚数．B 级 素养提升一、选择题1．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( C ) A ．1， 3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3D ．0，(1＋3)i[解析] (1＋3)i 可看作0＋(1＋3)i ＝a ＋b i ， 所以实部a ＝0，虚部b ＝1＋ 3.2．若(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是纯虚数，则实数m 的值为( B ) A ．－1 B ．4 C ．－1或4D ．不存在[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＝0m 2－5m －6≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或4m ≠－1或m ≠6，∴m ＝4. 3．若a 、b ∈R, 且a >b ，那么( D ) A ．a i>b i B ．a ＋i>b ＋i C ．a i 2>b i 2D ．b i 2>a i 2[解析] ∵i 2＝－1，a >b ，∴a i 2<b i 2，故选D ． 4．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( C ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4D ．0或－4[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2－a 2＝4a ，解得a ＝－4.二、填空题5．若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i<0，则实数m 的值等于__－3__.[解析] ∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0m ＋1<0，∴m ＝－3.6．已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝__－1__.[解析] ∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m <0，∴m ＝－1.三、解答题7．若不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值. [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0m 2<10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝3m ＝3或m ＝1|m |<10，∴当m ＝3时，原不等式成立．C 级 能力提高1．(2016·天津)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为__2__.[解析] (1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝a ，1－b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以ab ＝2.2．设z ＝log 12(m －1)＋ilog 2(5－m )(m ∈R ).(1)若z 是虚数，求m 的取值范围； (2)若z 是纯虚数，求m 的值．[解析] 分清复数的实部与虚部，直接根据复数为虚数、纯虚数的条件列式求解． (1)若z 是虚数，则其虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m －1>05－m >05－m ≠1，解得1<m <5，且m ≠4.(2)若z 是纯虚数，则其实部log 12(m －1)＝0，虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝15－m >05－m ≠1，解得m ＝2.第三章 3.1 3.1.2A 级 基础巩固一、选择题1．复数z ＝－2＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] 复数z 在复平面内对应的点为(－2,1)，位于第二象限． 2．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( C )A ．0B ．－3C ．－3iD ．3[解析] 复数的实部为0，虚部为－3，所以对应的复数为－3i. 3．复数z ＝1＋(2－sin θ)i 在复平面内对应的点所在的象限为( A ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵1>0,2－sin θ>0， ∴复数对应的点在第一象限．4．复数z 与它的模相等的充要条件是( D ) A ．z 为纯虚数 B ．z 是实数 C ．z 是正实数D ．z 是非负实数 [解析] ∵z ＝|z |，∴z 为实数且z ≥0.5．已知复数z ＝(m －3)＋(m －1)i 的模等于2，则实数m 的值为( A ) A ．1或3 B ．1 C ．3D ．2 [解析] 依题意可得(m －3)2＋(m －1)2＝2，解得m ＝1或3，故选A ． 6．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模为( B ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[解析] |z |＝(1＋cos α)2＋sin 2 α＝2＋2cos α＝4cos 2 α2＝2|cos α2|.∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，∴2|cos α2|＝－2cos α2，故选B ．二、填空题7．(2016·广西南宁高二检测)设复数z ＝1＋2i ，则|z |[解析] |z |＝12＋22＝ 5.8．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内的对应点在第三象限，则实数x 的取值范围是__(1,2)__.[解析] 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5<0x －2<0，解得1<x <2. 三、解答题9．如果复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.[解析] ∵z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＞04m 2－8m ＋3＞0，解得m ＜－1－52或m ＞32，即实数m 的取值范围是m ＜－1－52或m ＞32.B 级 素养提升一、选择题1．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( A ) A ．－45<x <2B ．x <2C ．x >－45D ．x <－45或x >2[解析] 由条件知，(x －1)2＋(2x －1)2<10， ∴5x 2－6x －8<0，∴－45<x <2.2．设复数z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论中正确的是( C ) A ．复数z 对应的点在第一象限 B ．复数z 一定不是纯虚数 C ．复数z 对应的点在实轴上方 D ．复数z 一定是实数[解析] ∵2t 2＋5t －3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，∴方程有两根，2t 2＋5t －3的值可正可负，∴A 、B 不正确． 又t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0， ∴D 不正确，∴C 正确．3．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( D ) A ．1 B ．2 C ． 5D ．3[解析] |z |＝2，复数z 对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上，|z －i|表示圆上的点到(0,1)的距离，最大为2＋1＝3.4．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.∴复数z 对应的点(sin 2，cos 2)位于第四象限．二、填空题5．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是__5__.[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i. 由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝32x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4.∴x ＋y ＝5. 6．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为 12 .[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0， ∴tan θ＝12.7．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝__12__.[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12. 三、解答题8．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在复平面的第几象限内？复数z 的对应点的轨迹是什么曲线？[解析] a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3， －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1.由实部大于0，虚部小于0可知，复数z 的对应点在复平面的第四象限内． 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)． 消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)．所以复数z 的对应点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．C 级 能力提高1．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？ [解析] 解法一：|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ →的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此，满足条件的点Z 的集合是以原点O 为原点，以5为半径的圆． 解法二：设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2. ∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25， ∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．2．已知复数z ＝(m 2＋m －6)＋(m 2＋m －2)i ，证明对一切实数m ，该复数z 所对应的点不可能位于第四象限.[解析] 设z ＝(m 2＋m －6)＋(m 2＋m －2)i 对应的点Z (m 2＋m －6，m 2＋m －2)位于第四象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －6>0，m 2＋m －2<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m >2或m <－3，－2<m <1.显然此不等式组无解，因此对一切实数m ， 该复数所对应的点不可能位于第四象限．第三章 3.2 3.2.1A 级 基础巩固一、选择题1．计算(3＋2i)－(1－i)的结果是( C ) A ．2＋i B ．4＋3i C ．2＋3iD ．3＋2i[解析] (3＋2i)－(1－i)＝3＋2i －1＋i ＝2＋3i.2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( B ) A ．－2 B ．4 C ．3D ．－4[解析] z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ， 所以z 的虚部是4.3．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3D ．－2－i [解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i) ＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1， ∴a ＋b i ＝－2－i.4．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( C ) A ．18＋10i B ．18－10i C ．－10＋18iD ．10－18i[解析] ∵z ＝11－20i ， ∴1－2i －z ＝1－2i －11＋20i ＝－10＋18i.5．设f (z )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( D ) A ．10 B ．5 5 C ． 2D ．5 2 [解析] ∵z 1－z 2＝5＋5i ， ∴f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.6．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝( D ) A ．－34＋iB ．34－iC ．－34－iD ．34＋i[解析] 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )， 则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i ，因此有⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34y ＝1，故z ＝34＋i ，故选D ．二、填空题7．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝__－1__.[解析] z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1. 8．在复平面内，O 是原点，OA →、OC →、AB →对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ，那么BC →对应的复数为__4－4i__.[解析] B C →＝OC →－OB →＝OC →－(OA →＋AB →) ＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i) ＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i. 三、解答题9．已知平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点.(1)求AD →对应的复数； (2)求DB →对应的复数．[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得AD →，DB →对应的复数，先求出向量P A →、PB →对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB 的面积．[解析] (1)由于ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，于是AD →＝AC →－AB →，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即AD →对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB →＝AB →－AD →，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 即DB →对应的复数是5.B 级 素养提升一、选择题1．复数(3m ＋m i)－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是( A ) A ．m <23B ．m <1C ．23<m <1D ．m >1[解析] (3m ＋m i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2<0m －1<0，∴m <23.2．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( A )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4[解析] 由题意可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0a ＋3＝04－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4.3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →、OB →对应的复数分别是3＋i 、－1＋3i ，则CD →对应的复数是( D )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i[解析] 依题意有CD →＝BA →＝OA →－OB →， 而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ， 即CD →对应的复数为4－2i. 故选D ．4．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是( C ) A ．115B ．3iC ．115＋3iD ．115＋23i[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ， ∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝5y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115y ＝3. ∴z ＝115＋3i ，故选C ．二、填空题5．(2016·济南高二检测)设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝__4__.[解析] x 1－i ＋y 1－2i＝x (1＋i )2＋y (1＋2i )5＝(x 2＋y 5)＋(x 2＋2y5)i ，而51－3i＝5(1＋3i )10＝12＋32i ，所以x 2＋y 5＝12且x 2＋2y 5＝32，解得x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝__－1＋10i__. [解析] ∵z 1＋z 2＝(x ＋2i)＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ，又z 1＋z 2＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝52－y ＝－6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝8.∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 7．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a 、b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝__3__.[解析] z 1－z 2＝[32a ＋(a ＋1)i]－[－33b ＋(b ＋2)i]＝(32a ＋33b )＋(a ＋1－b －2)i ＝43，∴⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，∴a ＋b ＝3.三、解答题8．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x 、y ∈R )，设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，求z 1、z 2.[解析] z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又因为z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1. 所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.C 级 能力提高1．(2016·青岛高二检测)已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i .(1)求复数z .(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．[解析] (1)z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i ＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i.(2)把z ＝1＋i 代入z 2＋az ＋b ＝1－i ，得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.2．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C 、D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．[解析] (1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， ∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. 又OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. ∵AD →＝BC →，∴向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)． 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝0. ∴点D 对应的复数为5. (2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝210.∴sin B ＝7210.∴S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7，∴平行四边形ABCD 的面积为7.第三章 3.2 3.2.2A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·重庆八中高二检测)复数z 满足z i －1＝i 则z 的共轭复数为( A ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1＋iD ．－1－i[解析] z ＝1＋i i ＝i (1＋i )i 2＝i －1－1＝1－i.2．(2016·山东滕州市高二检测)已知i 为虚数单位，则(1＋i 1－i )2＝( B )A ．1B ．－1C ．iD ．－i [解析] (1＋i 1－i )2＝2i－2i＝－1.3．(2016·湖南衡阳三中检测)已知i 为虚数单位．若复数－3i(a ＋i)(a ∈R )的实部与虚部相等，则a ＝( A )A ．－1B ．－2C ．1D ．2[解析] －3i(a ＋i)＝－3a i ＋3， ∴－3a ＝3，∴a ＝－1.4．(2015·全国卷Ⅱ文)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( D )A ．－4B ．－3C ．3D ．4 [解析] ∵2＋a i1＋i ＝3＋i ，∴2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ， ∴a ＝4，选D ．5．(2017·北京文，2)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( B )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞) [解析] ∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ， 又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1. 故选B ．6．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( B ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝6a 2＋b 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝±1，即z ＝3±i. 二、填空题7．(2016·广西南宁高二检测)计算：(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2＝__－1＋4i__. [解析] (1＋i)(1－i)＋(1＋2i)2 ＝1－i 2＋1＋4i ＋4i 2 ＝1＋1＋1＋4i －4 ＝－1＋4i.8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，那么z ＝__2＋i__. [解析] (1＋2i)·z ＝4＋3i ，z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )5＝2－i ，∴z ＝2＋i.三、解答题 9．计算：(1)(－12＋32i)(2－i)(3＋i)；(2)(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i ).[解析] (1)(－12＋32i)(2－i)(3＋i)＝(－12＋32i)(7－i)＝3－72＋73＋12i.(2)(2＋2i )2(4＋5i )(5－4i )(1－i )＝4i (4＋5i )5－4－9i＝－20＋16i 1－9i＝－4(5－4i )(1＋9i )82＝－4(41＋41i )82＝－2－2i.B 级 素养提升一、选择题1．设复数z 满足1－z1＋z ＝i ，则|1＋z |＝( C )A ．0B ．1C ． 2D ．2[解析] ∵1－z1＋z＝i ，∴z ＝1－i 1＋i ，∴z ＋1＝1－i 1＋i ＋1＝21＋i ＝1－i ，∴|z ＋1|＝ 2.2．若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x 、y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( D ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5 [解析] 由x i ＋y i 2＝3＋4i ，知x ＝4，y ＝－3，则x ＋y i 的模为x 2＋y 2＝5. 3．若复数(m 2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m 的值是( B )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2[解析] (m 2＋i)(1＋m i)＝m 2＋i ＋m 3i ＋m i 2＝(m 2－m )＋(m 3＋1)i. ∵(m 2＋1)(1＋m i)为实数， ∴m 3＋1＝0， ∴m ＝－1.故选B ．4．(2016·全国卷Ⅱ文2)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( C ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2iD ．3－2i[解析] 易知z ＝3－2i ，所以z ＝3＋2i. 二、填空题5．(2015·江苏)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z [解析] 方法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，从而⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝32ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1故|z |＝a 2＋b 2＝ 5.方法二：因为z 2＝3＋4i ，所以|z 2|＝|z |2＝|3＋4i|＝9＋16＝5，所以|z |＝ 5. 6．(2015·重庆理)设复数a ＋b i(a 、b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝__3__. [解析] 由题易得a 2＋b 2＝3，故a 2＋b 2＝3. (a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3.7．(2017·浙江，12)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝__5__，ab ＝__2__.[解析] (a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2.解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 三、解答题 8.m1＋i＝1－n i ，(m 、n ∈R ，i 是虚数单位)，求m 、n 的值. [解析] ∵m1＋i ＝1－n i ，∴m (1－i )2＝1－n i ， ∴m －m i ＝2－2n i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2－m ＝－2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝1. C 级 能力提高1．已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝ 1－32i .[解析] ∵z 0＝3＋2i ， ∴z ·z 0＝3z ＋2i z ＝3z ＋z 0， ∴2i·z ＝z 0.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ∴2i(a ＋b i)＝3＋2i ，即－2b ＋2a i ＝3＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝3，2a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－32，∴z ＝1－32i.2．已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z . [解析] 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z －＝a －b i(a ，b ∈R )， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-2习题：第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 含解析
3.2.2复数代数形式的乘除运算课时过关·能力提升基础巩固1已知复数z,“z+z=0”是“z为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件z=0时,满足z+z=0,此时z为实数;而当z为纯虚数时,z+z=0,所以“z+z=0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件.故选B.2已知复数z=2-i,则z·z的值为()A.5B.√5C.3D.√3·z=(2−i)·(2+i)=22-i2=4-(-1)=5,故选A.3复数i1-2i(i为虚数单位)的虚部是()A.15iB.−15C.−15iD.15.4已知a+2ii=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b等于()A.-1B.1C.2D.3a+2ii=b+i,∴a+2i=−1+bi.∴a=-1,b=2.∴a+b=1.5若复数z=1+i(i为虚数单位),z是z的共轭复数,则z2+z2的虚部为()A.0B.-1C.1D.-2z=1+i,所以z=1−i.而z2=(1+i)2=2i,z2=(1−i)2=−2i,所以z2+z2=0,故选A.6已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+i=2-b i,则(a+b i)2=()A.3-4iB.3+4iC.4-3iD.4+3ia+i =2-b i,∴a+b i =2-i .即(a+b i)2=(2-i)2=4-4i -1=3-4i .7设复数z 满足z (2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则z 的模为 .z (2-3i)=6+4i,得z =6+4i 2-3i =(6+4i )(2+3i )(2-3i )(2+3i )=2i,故|z|=2.8已知z =-3-i 1+2i ,则z4= .z =-3-i 1+2i =(-3-i )(1-2i )5=−1+i, ∴z 4=[(-1+i)2]2=(-2i)2=-4.49计算下列各题:(1)(1+i )71-i +(1-i )71+i −(3-4i )(2+2i )34+3i ; (2)1i (√2+√2i)5+(11+i )4+(1+i 1-i)7; (3)(-√32-12i)12+(2+2i 1-3i8; (4)(1+i 1-i )6√2+√3i 3-2i.,对于复数的运算,除了应用四则运算法则之外,对于一些简单的算式要熟记其结果,计算过程可以简化.原式=[(1+i)2]31+i 1-i +[(1−i)2]3·1-i 1+i −8(3-4i )(1+i )2(1+i )(3-4i )i=(2i)3·i +(-2i)3·(-i)−8·2i (1+i )i =8+8-16-16i =-16i .(2)1i (√2+√2i)5+(11+i )4+(1+i 1-i)7 =-i·(√2)5·[(1+i)2]2·(1+i)+[1(1+i )2]2+i7 =16√2(−1+i)−14−i =−(16√2+14)+(16√2−1)i.(3)(-√32-12i)12+(1-√3i8=(-i)12·(-√32-12i)12+(12-√32i 8=(-12+√32i)12+[(1+i )2]4·(12-√32i )[(12-√32i )3]3=[(-12+√32i)3]4+(−8+8√3i)=1-8+8√3i =−7+8√3i.(4)方法一:原式=[(1+i )22]6(√2+√3i √3+√2i (√3)2+(√2)2 =i 6+√6+2i+3i -√65=−1+i.方法二(技巧解法):原式=[(1+i )22]6(√2+√3i (3-2i )i =i 6(√2+√3i √2+√3i=−1+i. 10设复数z 满足|z|=1,且(3+4i)·z 是纯虚数,求z.,设z=a+b i(a ,b ∈R ),利用已知条件建立关于a ,b 的方程组,求解即可.z=a+b i(a ,b ∈R ).由|z|=1,得√a 2+b 2=1.由题意,得(3+4i)·z=(3+4i)(a+b i)=3a-4b+(4a+3b )i 是纯虚数,则{3a -4b =0,4a +3b ≠0.由{√a 2+b 2=1,3a -4b =0,4a +3b ≠0,解得{a =45,b =35或{a =-45,b =-35. 则z =45+35i 或z=−45−35i. 故z =45−35i 或z =−45+35i. 能力提升1复数z 满足(1+i)z=|√3−i|,则z =( )A .1+iB .1-iC.-1-iD.-1+iz=21+i=1−i,所以z=1+i.故选A.2若复数2-bi1+2i(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b等于()A.√2B.23C.−23D.22-bi1+2i=(2-bi)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=(2-2b)+(-b-4)i5的实部与虚部互为相反数,∴2-2b=b+4.∴b=−23.★3定义:复数b+a i是z=a+b i(a,b∈R)的转置复数,记为z'=b+a i;复数a-b i是z=a+b i(a,b∈R)的共轭复数,记为z= a−bi.给出下列命题:①z'=iz;②z′+z'=0;③z′1·z'2=z1z2.其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3=i(a−bi)=b+ai=z′,①正确;z′+z'=(a−bi)′+b+ai=-b+a i+b-a i=0,②正确;设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R).z'1·z'2=(a1+b1i)'·(a2+b2i)'=(b1+a1i)·(b2+a2i)=(b1b2-a1a2)+(b1a2+a1b2)i.z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i=(a1a2-b1b2)-(b1a2+a1b2)i,所以z'1·z'2≠z1z2,③错,故选C.4设z2=z1-iz1(其中z1表示z1的共轭复数),已知z2的实部是−1,则z2的虚部为.z1=a+b i(a,b∈R),则z2=z1-iz1=a+bi−i(a−bi)=(a−b)−(a−b)i.因为z2的实部是-1,即a-b=-1,所以z2的虚部为1.5已知复数z=(1-i)2+1+3i,若z2+az+b=1-i,a,b∈R,则实数对(a,b)为.z=(1-i)2+1+3i=-2i+1+3i=1+i,∴由z2+az+b=1-i得(1+i)2+a(1+i)+b=1-i.∴2i+a+a i+b=1-i.∴{a +b =1,2+a =-1.∴{a =-3,b =4. 故实数对(a ,b )为(-3,4).-3,4)6若z =√21-i ,则z100+z50+1的值是 .=√21-i =1+i 2则z 100+z 50+1=(1+i 2)100+(1+i 2)50+1=(2i 2)50+(2i 2)25+1=i50+i25+1=i2+i +1=i.7设a ,b 互为共轭复数,且(a+b )2-3ab i =4-6i,求a 和b..给出等式求复数,通常设所求的复数为a=x+y i,b=x-y i(x ,y ∈R ),利用复数相等的充要条件,列出方程组求x ,y 即可.a=x+y i,则b=x-y i(x ,y ∈R ).由条件,得(x+y i +x-y i)2-3(x+y i)(x-y i)i =4-6i,即4x 2-3(x 2+y 2)i =4-6i .由复数相等的充要条件,得{4x 2=4,3(x 2+y 2)=6.解得{x =±1,y =±1. ∴{x =1,y =1或{x =1,y =-1或{x =-1,y =1或{x =-1,y =-1.∴{a =1+i ,b =1-i 或{a =1-i ,b =1+i 或{a =-1+i ,b =-1-i或{a =-1-i ,b =-1+i . ★8已知1+i 是关于x 的方程x 2+bx+c=0的一个根(b ,c 为实数).(1)求b ,c 的值;(2)试说明1-i 也是方程的根吗?∵1+i 是关于x 的方程x 2+bx+c=0的一个根,∴(1+i)2+b (1+i)+c=0,即(b+c )+(2+b )i =0.∴{b +c =0,2+b =0,解得{b =-2,c =2.(2)由(1)得方程为x 2-2x+2=0.把1-i 代入方程左边得(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,故1-i 也是方程的一个根.。
高中选修1-2导学案 第三章 数系的扩充与复数的引入(含答案)
第三章 数系的扩充与复数的引入§3.1 数系的扩充和复数的概念【学习目标】1.实数系的总结，复数定义，通过实例分析复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.2.理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量【学习过程】1. ：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）2 .判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）：（1）2340x x --=（2）2450x x ++=（3）2210x x ++=（4）210x +=3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。
讨论：若给方程210x +=一个解i ，则这个解i 要满足什么条件？i 是否在实数集中？实数a 与i 相乘、相加的结果应如何？4请对实数系进行分类1.复数的概念： ①定义复数：复数代数形式实部虚部虚数单位复数集例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论：复数的代数形式中规定,a b R ∈，,a b 取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？③定义虚数：,(0)a bi b +≠叫做虚数，,(0)bi b ≠叫做纯虚数。
④数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b5.复数与复平面内的点一一对应① 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？ （分析复数的代数形式，因为它是由实部a 和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标）结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。
②复平面：以x 轴为实轴，y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。
2017-2018学年高二数学人教A版选修1-2教师用书：第3章
3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念1．了解数系的扩充过程.2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．(重点)3．掌握复数的代数形式、分类等有关概念并能够进行简单应用．(难点、易混点)教材整理1 复数的有关概念及复数相等的充要条件阅读教材P50～P51“思考”以上内容，完成下列问题．1．复数(1)定义：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a 叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．2．复数集(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．(2)表示：通常用大写字母C表示．3．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，则a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d，a＋b i＝0⇔a＝b＝0.1．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2【解析】 2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 【答案】 D2．已知(2m －5n )＋3i ＝3n －(m ＋5)i ，m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________.【解析】 由复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2m －5n ＝3n ，3＝－m ＋，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－8，n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.【答案】 －10 教材整理2 复数的分类阅读教材P 51“思考”以下至“例”题以上内容，完成下列问题． 1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数b ＝，虚数b⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0，b ≠0，非纯虚数a ≠0，b ≠0.2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：图311判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数．( ) (3)两个虚数不能比较大小．( )【解析】 (1)错误．若b ＝0，则z ＝a ＋b i 为实数． (2)错误．当a ＝－1时，(a ＋1)i 不是纯虚数． (3)正确．【答案】 (1)× (2)× (3)√(1)①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．0 B．1C．2 D．3(2)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3【精彩点拨】首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部．【自主解答】(1)①由于x，y∈C，所以x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题．③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题．(2)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；对于③，2i＝0＋2i, 其实部是0，所以③为真命题．【答案】(1)A (2)B正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答.1．(1)给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是________． (2)给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根．则其中正确命题的个数为________． 【解析】 (1)2＋3，0.618，i 2为实数，5i ＋4，2i 为虚数．(2)因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错；故答案为1.【答案】 (1)2＋3，0.618，i 2 (2)1已知复数z ＝a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【精彩点拨】 根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的充要条件列方程(不等式)组求解．【自主解答】 (1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝6，a ≠±1，∴当a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，∴当a ≠±1且a ≠6时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，a 2－7a ＋6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，a ＝6或a ＝1，∴不存在实数a 使z 为纯虚数．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式等式或不等式组，求解参数时，注意考虑问题要全面.2．已知m ∈R ，复数z ＝m m ＋m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？(2)z 为虚数？(3)z 为纯虚数？ 【解】 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m m ＋m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.(1)12z 1＝z 2，实数x ＝________，y ＝________.(2)已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．【精彩点拨】 (1)根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解； (2)设出方程的实数解，代入原式整理为a ＋b i ＝0(a ，b ∈R )的形式解决．【自主解答】 (1)由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝6.【答案】 －9 6 (2)设a 是原方程的实根， 则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ， 所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3m ＝0，所以m ＝112.【答案】112 －12应用复数相等的充要条件时，要注意：必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部的相等，虚部与虚部相等列方程组利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要.3．(1)适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x ，y 的值为( ) A ．x ＝0，且y ＝3 B ．x ＝0，且y ＝－3 C ．x ＝5，且y ＝3D ．x ＝3，且y ＝0(2)关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值为________．【解析】 (1)由复数相等的条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3.(2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.【答案】 (1)A (2)11或－715探究1 若a 【提示】 不成立．如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小． 探究2 若(a －2)＋b i>0，则实数a ，b 满足什么条件？ 【提示】 b ＝0，a >2.已知复数x 2－1＋(y ＋1)i 大于复数2x ＋3＋(y 2－1)i ，试求实数x ，y 的取值范围．【精彩点拨】 两复数若能比较大小，则两复数的虚部都为零．只需满足一复数的实部大于另一复数的实部．【自主解答】 因为x 2－1＋(y ＋1)i>2x ＋3＋(y 2－1)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝0，y 2－1＝0，x 2－1>2x ＋3，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1，x 2－2x －4>0，解不等式x 2－2x －4>0，得x >1＋5或x <1－ 5.所以实数x ，y 的取值范围分别是{x |x <1－5或x >1＋5}，{y |y ＝－1}．实数属于复数，但复数不一定是实数，因此实数的有些性质不适用于复数，如实数能比较大小，而复数中只有等与不等的关系，不能比较大小.只有当两个复数都是实数时才能比较大小.换言之，若两个复数能比较大小，则它们必为实数，即若a ＋b i>c ＋da ，b ，c ，d ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >c ，b ＝d ＝0.4．已知复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i>0，求实数x 的值． 【解】 ∵z >0，∴z ∈R .∴x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3. ∵z >0，∴3x －1－x >0.对于不等式3x －1－x >0，x ＝1适合，x ＝3不适合． ∴x ＝1.1．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32i 的虚部为( ) A ．2B ．－32C ．2－32D ．0【解析】 由复数定义知C 正确． 【答案】 C2．设集合A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，C ＝{复数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是( )A ．A ∪B ＝C B ．A ＝BC ．A ∩(∁S B )＝∅D ．(∁S A )∪(∁S B )＝C【解析】 集合A ，B ，C 的关系如图，可知只有(∁S A )∪(∁S B )＝C 正确．【答案】 D3．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( )【导学号：81092036】A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4【解析】 由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，∴a ＝－4. 【答案】 C4．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞0，求实数m 的值为________． 【解析】 ∵(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞0， ∴(m 2－1)＋(m 2－2m )i 是实数，且符号为正，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1＞0，解得m ＝2. 【答案】 25．若x ∈R ，试确定实数a 的值，使等式3x 2－a2x ＋(2x 2＋x )i ＝1＋10i 成立．【解】 由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x ＝1， ①2x 2＋x ＝10. ②由②得x ＝2或x ＝－52，分别代入①得a ＝11或a ＝－715.学业分层测评 (建议用时：45分钟)一、选择题1．复数－2i 的实部与虚部分别是( ) A ．0,2 B ．0,0 C ．0，－2D ．－2,0【解析】 －2i 的实部为0，虚部为－2. 【答案】 C2．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1或－2D ．1或2【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，得a ＝2.【答案】 B3．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且b ＋(a －2)i ＝1＋i ，则a ＋b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 由b ＋(a －2)i ＝1＋i ，得b ＝1，a ＝3，所以a ＋b ＝4. 【答案】 D4．在下列命题中，正确命题的个数是( ) ①两个复数不能比较大小；②若z 1和z 2都是虚数，且它们的虚部相等，则z 1＝z 2；③若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 必为纯虚数． A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误；设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R ，且d ≠0)，因为b ＝d ，所以z 2＝c ＋b i.当a ＝c 时，z 1＝z 2，当a ≠c 时，z 1≠z 2，故②错误；③当a ＝b ≠0时，(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数，当a ＝b ＝0时，(a －b )＋(a ＋b )i ＝0是实数，故③错误，因此选A.【答案】 A5．已知复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ，b ∈R )，则“a ＝2”是“z 为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 因为复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ，b ∈R )为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a －3≠0⇔a ＝±2, 所以“a ＝2”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件．【答案】 A 二、填空题6．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是________． 【解析】 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i ，实部为－3，故应填3－3i. 【答案】 3－3i7．若x 是实数，y 是纯虚数，且(2x －1)＋2i ＝y ，则x ，y 的值为________.【导学号：81092037】【解析】 由(2x －1)＋2i ＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝0，2i ＝y ，∴x ＝12，y ＝2i.【答案】 x ＝12，y ＝2i 8．给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②满足x 2＝－1的数x 只有i ；③形如b i(b ∈R )的数不一定是纯虚数；④复数m ＋n i 的实部一定是m .其中正确说法的个数为________．【解析】 ③中，b ＝0时，b i ＝0不是纯虚数．故③正确；①中，复数分为实数与虚数两大类；②中，平方为－1的数是±i；④中，m ，n 不一定为实数，故①②④错误．【答案】 1三、解答题9．已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i ，当实数m 取什么值时：(1)复数z 是零；(2)复数z 是纯虚数．【解】 (1)∵z 是零，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m m －＝0，m 2＋2m －3＝0， 解得m ＝1. (2)∵z 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m m －＝0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0.综上，当m ＝1时，z 是零；当m ＝0时，z 是纯虚数．10．已知集合M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．【解】 因为M ∪P ＝P ，所以M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知，m ＝1或m ＝2.1．已知复数z ＝a 2＋(2a ＋3)i(a ∈R )的实部大于虚部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1或3B ．{a |a >3或a <－1}C ．{a |a >－3或a <1}D ．{a |a >3或a ＝－1} 【解析】 由已知可以得到a 2>2a ＋3，即a 2－2a －3>0，解得a >3或a <－1，因此，实数a 的取值范围是{a |a >3或a <－1}．【答案】 B2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )A.π4B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z ) D ．k π＋π4(k ∈Z ) 【解析】 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z )． 【答案】 D3．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________．【解析】 ∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x 2－3x －，log 2x 2＋2x ＋＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >4或x <－1，x ＝0或x ＝－2.∴x ＝－2.【答案】 －24．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根x 0，求x 0以及实数k 的值.【导学号：81092038】【解】 x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理，得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧ x 0＝2，k ＝－22或⎩⎨⎧ x 0＝－2，k ＝2 2. ∴方程的实根为x 0＝2或x 0＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2。
【专业资料】新版高中数学人教A版选修1-2习题：第三章 数系的扩充与复数的引入 检测 含解析
第三章检测(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a ,b ∈R ,则“a=b ”是“(a-b )+(a+b )i 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a-b )+(a+b )i 为纯虚数的充要条件是实数a ,b 满足{a -b =0,a +b ≠0,即a=b ,且a ≠-b ,也就是a=b ≠0.故选B .2.如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( )A.AB.BC.CD.Dz=a+b i(a ,b ∈R ),则其共轭复数为z =a −bi,所以表示z 与z 的两点关于x 轴对称. 故选B .3.设i 是虚数单位,若复数a −103-i(a ∈R )是纯虚数,则a 的值为( )A.-3B.-1C.1D.3,得a −103-i =a −10(3+i )(3-i )(3+i )=a −10(3+i )10=a −3−i,∵复数a −103-i 为纯虚数,∴a-3=0,即a=3.4.设z=1+i(i 是虚数单位),则2z +z2等于( ) A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+iz=1+i,∴2z +z2=21+i +(1+i)2=(1-i)+(1+2i -1)=1+i,故选D .5.设a ,b 为实数,若复数1+2ia+bi =1+i,则( )A.a=32,b=12B.a=3,b=1C.a=12,b=32D.a=1,b=31+2ia+bi=1+i,可得1+2i=(a-b)+(a+b)i.由两复数相等可以得到{a-b=1,a+b=2,解得{a=32,b=12,故选A.6.设i是虚数单位,复数i3+2i1+i=()A.-iB.iC.-1D.1=-i+2i(1-i)2=1.7.已知复数z=(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则有()A.a≠0B.a≠2C.a≠0,且a≠2D.a≠-1z为纯虚数,则{a2-a-2=0,|a-1|-1≠0,解得a=-1.而已知z不是纯虚数,所以a≠-1.故选D.8.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a>12”是“点M在第四象限”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,所以复数z在复平面内对应的点M的坐标为(a+2,1-2a),所以点M在第四象限的充要条件是a+2>0,且1-2a<0,解得a>12,故选C.9.投掷两枚骰子,得到其向上的点数分别为m和n,则复数(m+n i)(n-m i)为实数的概率为()A.13B.14C.16D.112(m+n i)(n-m i)=2mn+(n2-m2)i为实数,所以n2=m2.因为骰子的点数为正数,所以m=n,则可以取1,2,…,6,共6种可能.所以所求概率为66×6=16.故选C.10.复数z=(x-2)+y i(x ,y ∈R )在复平面内对应向量的模为2,则|z+2|的最大值为( ) A.2B.4C.6D.8|z|=2,所以√(x -2)2+y 2=2,即(x-2)2+y 2=4,故点(x ,y )在以(2,0)为圆心,2为半径的圆上, 而|z+2|=|x+y i |=√x 2+y 2,它表示点(x ,y )与原点的距离,结合图形(图略)易知|z+2|的最大值为4,故选B .二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.i 是虚数单位,计算1-2i2+i 的结果为 .i12.设复数z 满足i(z+1)=-3+2i(i 为虚数单位),则z 的实部是 .i(z+1)=-3+2i,∴z+1=-3+2ii=-2-3i-1=2+3i.∴z =1+3i.故z 的实部为1.13.设复数z 在对应法则f 的作用下和复数w =z ·i 对应,即f :z →w =z ·i,则当w=-1+2i 时,复数z= .f :z →w =z ·i,且w=-1+2i,∴z ·i =-1+2i,则z =2+i.∴z =2−i.-i14.在复平面内,若z=m 2(1+i)-m (4+i)-6i 所对应的点在第二象限,则实数m 的取值范围是 .z=m 2-4m+(m 2-m-6)i 所对应的点在第二象限,∴{m 2-4m <0,m 2-m -6>0,解得3<m<4.15.若关于x 的方程x 2+(2-i)x+(2m-4)i =0有实数根,则纯虚数m= .m=b i(b ∈R ,且b ≠0),方程的实根为x 0,则有x 02+(2−i)x0+(2bi −4)i =0,从而有(x 02+2x0−2b)−(x0+4)i =0.于是{x 0+4=0,x 02+2x 0-2b =0.解得{x 0=-4,b =4.于是m=4i .三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)已知复数z=(2+i)m 2−6m1-i−2(1−i),求实数m 取什么值时,复数z 是: (1)零; (2)虚数; (3)纯虚数;(4)复平面上第二、四象限平分线上的点对应的复数.z 化简整理为a+b i(a ,b ∈R )的代数形式,再根据复数的分类及其几何意义求解即可.m ∈R ,所以复数z=(2+i)m 2-3m (1+i)-2(1-i)=(2m 2-3m-2)+(m 2-3m+2)i .(1)当{2m 2-3m -2=0,m 2-3m +2=0,即m=2时,z 为零.(2)当m 2-3m+2≠0,即m ≠2,且m ≠1时,z 为虚数. (3)当{2m 2-3m -2=0,m 2-3m +2≠0,即m=−12时,z 为纯虚数.(4)当2m 2-3m-2=-(m 2-3m+2),即m=0或m=2时,z 是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数.17.(8分)设复数z 的共轭复数为z,已知(1+2i)z =4+3i, (1)求复数z z(2)求满足|z 1-1|=|z|的复数z 1对应的点的轨迹方程.)z =4+3i1+2i =(4+3i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=2−i.故z=2+i .z=2+i 2-i =3+4i 5=35+45i. (2)设z 1=x+y i(x ,y ∈R ),则|(x-1)+y i |=√5,故(x-1)2+y 2=5.即复数z 1对应的点的轨迹方程为(x-1)2+y 2=5. 18.(9分)已知z=1+i,a ,b 为实数. (1)若ω=z 2+3z −4,求|ω|;(2)若z 2+az+bz 2-z+1=1−i,求a,b 的值.∵ω=z 2+3z −4=(1+i)2+3(1−i)−4=−1−i,∴|ω|=√(-1)2+(-1)2=√2. (2)由条件z 2+az+b z 2-z+1=1−i,得(1+i )2+a (1+i )+b (1+i )2-(1+i )+1=1−i,即(a +b )+(a +2)ii=1−i,∴(a+b )+(a+2)i=1+i,∴{a +b =1,a +2=1,解得{a =-1,b =2.19.(10分)已知复数z 满足|z|=√2,z2的虚部为2,z 所对应的点在第一象限. (1)求z ;(2)若z ,z 2,z-z 2在复平面上对应的点分别为A ,B ,C ,求cos ∠ABC.设z=x+y i(x ,y ∈R ).∵|z|=√2,∴x2+y2=2.① 又z 2=(x+y i)2=x 2-y 2+2xy i, ∴2xy=2,∴xy=1.②由①②可解得{x =1,y =1或{x =-1,y =-1.∴z=1+i 或z=-1-i . 又x>0,y>0,∴z=1+i .(2)z 2=(1+i)2=2i,z-z 2=1+i-2i=1-i . 如图所示,∴A (1,1),B (0,2),C (1,-1),∴BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−3), ∴cos ∠ABC =BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√10=2√5=2√55. 20.(10分)已知复数z 1=cos α+isin α,z 2=cos β-isin β,且z 1+1z 2=12+√32i,求复数z1,z2.,再结合三角函数的知识求解.z 1+1z 2=12+√32i,得cos α+isin α+1cosβ-isinβ=12+√32i, ∴cos α+isin α+cos β+isin β=1+√3i, 即(cos α+cos β)+i(sin α+sin β)=1+√3i.∴{ cosα+cosβ=12,sinα+sinβ=√32.∴{cosα=12-cosβ,sinα=√32-sinβ.∴cos2α+sin2α=(12-cosβ)2+(√32-sinβ)2=1,整理,得cos β=1−√3sin β, ①将①代入sin2β+cos2β=1,可解得sin β=0或sin β=√32.当sin β=0时,cos β=1,cos α=−12,sin α=√32;当sin β=√32时,cos β=−12,cos α=1,sin α=0.∴z1=−12+√32i,z2=1或z1=1,z2=−12−√32i.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知复数z＝2－i，则z·z的值为( )
A．5 B. 5
C．3 D. 3
【解析】z·z＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A. 【答案】 A
2．i是虚数单位，复数
7＋i
3＋4i
＝( )
A．1－i B．－1＋i
C.17
25
＋
31
25
i D．－
17
7
＋
25
7
i
【解析】
7＋i
3＋4i
＝
(7＋i)(3－4i)
(3＋4i)(3－4i)
＝
25－25i
25
＝1－i，故选A.
【答案】 A
3．z1，z2是复数，且z21＋z22<0，则正确的是( ) A．z21<－z22
B．z1，z2中至少有一个是虚数
C．z1，z2中至少有一个是实数
D．z1，z2都不是实数
【解析】 取z 1＝1，z 2＝2i 满足z 21＋z 22<0，从而排除A 和D ；取z 1＝i ，z 2＝2i ，满足z 21＋z 22<0，排除C ，从而选B.
【答案】 B
4．若z ＋z ＝6，z ·z ＝10，则z ＝( )
A ．1±3i
B ．3±i
C ．3＋i
D ．3－i
【解析】 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z ＝a －bi ，
∴{ 2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i.
【答案】 B
5．已知复数z ＝3＋i
(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝(
) 【19220050】
A.1
4 B.1
2
C ．1
D ．2
【解析】 法一：z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i 1－3－23i ＝3＋i
－2(1＋3i ) ＝(3＋i )(1－3i )－2×4＝－34＋1
4i ，∴z ＝－3
4－1
4i.
∴z ·z ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛
⎭⎪⎪
⎫－34－14i
＝316＋116＝1
4.
法二：∵z ＝3＋i (1－
3i )2 ∴|z|＝|3＋i|
|1－3i|2＝24＝12. ∴z ·z ＝|z|2＝14
. 【答案】 A
二、填空题
6．若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R)，则x ＝________.
【解析】 由题意，得x ＋i ＝－1＋2i i ＝－i ＋2i 2i 2＝－i －2－1
＝2＋i ， 所以x ＝2.
【答案】 2
7．(2016·天津高二检测)复数52－i
的共轭复数是________． 【解析】 52－i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝5(2＋i )5
＝2＋i ，其共轭复数为2－i. 【答案】 2－i 8．复数2－2ai a ＋2i 的模为2，则实数a 的值是________．
【解析】 ⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪2－2ai a ＋2i ＝|2－2ai||a ＋2i|＝(2)2＋(－2a )2a 2＋22＝2，解得a ＝± 3. 【答案】 ± 3
三、解答题。