3.1探索勾股定理(2)
鲁教版(五四制)七年级上册3.1探索勾股定理(二) 优质教案
课题鲁教版七年级数学（上）第三章 1.探索勾股定理（二）作者及工作单位教材分析《探索勾股定理》是鲁教版七年级上册第三章第一节，本节有二课时，本课是第二课时，主要内容是探索勾股定理的证明。
勾股定理是直角三角形三边之间的一种美妙关系，将数与形密切联系起来，在几何学中占有非常重要的位置。
同时勾股定理在生产、生活中也有很大的用途。
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要的结论，它有着广泛的应用，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
同时在勾股定理的探索中，让学生发展合情推理能力，为以后的学习打下基础。
因为勾股定理的出现，使数学从单一的纯计算进入了几何图形的证明，所以为了让学生感受数形结合这一数学思想，让学生亲自动手，互相协作，因此引入了“等积法”证明勾股定理。
学情分析学生经历了一年的初中学习，具备了一定的归纳、总结、类比、转化以及数学表达的能力，对现实生活中的数学知识充满了强烈的好奇心与探究欲，并能在老师的指导下通过小组成员间的互助合作，发表自己的见解。
另外，在学本节课时，通过前置知识的学习，学生对直角三角形有了初步的认识，并能从直观把握直角三角形的一些特征，为此在授课时要抓住学生的这些特点，激发学生学习数学的兴趣，建立他们的自信心，为学生空间观念的发展、数学活动经验的积累、个性的发挥提供机会。
教学目标知识与技能：1. 掌握勾股定理，初步理解割补拼接的面积证法.通过动手实践理解勾股定理的证明过程。
2. 能利用勾股定理进行简单的几何计算 过程与方法：通过实践、猜想、拼图、证明等操作深刻感受数学知识的发生发展过程 情感、态度、价值观：通过对勾股定理的历史介绍及交流，让学生体会它的文化价值，提高学习数学的兴趣和信心。
教学重点和难点重点：掌握勾股定理的内容及其初步应用 难点：勾股定理的证明教学过程教学环节教师活动学生活动和预设学生活动 设计意图一、 设情景问题， 引入课题1.名言激趣：数学是上帝用来书写宇宙的文字。
探索勾股定理（2）(课件）
A.1 C.12
B.2 D.13
课堂练习
3.用四个边长均为a,b,c的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列 结论中正确的是 ( A )
A.c2=a2+b2 B.c2=a2+2ab+b2 C.c2=a2-2ab+b2 D.c2=(a+b)2
课堂练习
4.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直 角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积 是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边 为b,则a4+b4的值为 ( D )
新知讲解
想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的?
把大正方形分割成四个边长为a,b,c的直角三角形和一个小正方形.
新知讲解
请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来.
所有三角形的面积都是 1 ab
2
正方形的面积分别是b2，a2，（a+b）2
新知讲解
请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来.
所有三角形的面积都是 1 ab
2
正方形的面积分别是b2，a2，（a-b）2
新知讲解
下图中正方形ABCD的面积分别是多少? 图1中正方形ABCD的面积是（a+b）2 又可以表示为：c2+2ab
图2中正方形ABCD的面积是（a-b）2 又可以表示为：c2-2ab
新知讲解
你能利用下图验证勾股定理吗?
图中正方形ABCD的面积是（a+b）2 又可以表示为：c2+2ab ∴a2+b2=c2
A.35 B.43 C.89 D.97
拓展提高
5.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.
七年级数学上册 第三章 1 探索勾股定理(第2课时)课件
【变式备选】一路灯坏了，需要换一个新的，灯要安在12.5 m 高的灯柱顶端，电工师傅取来13 m高的梯子，如果梯子底部离灯 柱底端5 m远，顶端搭在灯柱上，那么电工师傅_____将新灯安 装上去.(填“能”或“不能”)(假设此人身高加臂长共1.9 m) 【解析】设梯子顶端距地面垂直距离为x m，由勾股定理得 x2=132-52=122，因此x=12. 因为12+1.9=13.9＞12.5， 所以电工师傅能将新灯安装上去. 答案：能
4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5， BC=12，点P是BC边上的动点，则AP长度 的取值范围是_________. 【解析】当点P与点C重合时， AP的长度最短，AP=AC=5； 当点P与点B重合时，AP的长度最长. 因为AB2=AC2+BC2=52+122=169， 所以AB=13，即此时AP的最大长度为13. 综合上述，AP长度的取值范围是5≤AP≤13. 答案：5≤AP≤13
【跟踪训练】
1.小明想知道学校旗杆(垂直地面)的高，他发现旗杆上的绳子垂
到地面还多了1 m，当他把绳子拉直后，发现绳子下端拉开5 m，
且下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )
(A)6 m
(B)8 m
(C)10 m
(D)12 m
【解析】选D.设旗杆AB的高为x m， 则绳子AC的长为(x+1) m，在Rt△ABC中， AB2+BC2=AC2，所以x2+52=(x+1)2， 解得x=12，所以AB=12，所以旗杆的高是12 m.
分类
割 (补)
图形
描述
把正方形ABCD分割成4个直角三
角形和一个正方形，则 c2= _4_×___12_a_b_+_(_b_-_a_)_2_， 即c2=_a_2_+_b_2_.
3_1勾股定理的教案
§3．1勾股定理——直角三角形三边的关系一、教学目标：1.知识目标：经历勾股定理的探索，理解并掌握勾股定理，能够使用勾股定理解决简单问题；2.水平目标：通过观察分析，大胆猜测，以及逐层深入的探索过程,发展学生的合情推理水平,体会数形结合的思想方法;3.情感目标：通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国和热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感。
二、教学重点、难点：教学重点：勾股定理的探索与使用教学难点：用面积法探索勾股定理三、教具准备：三角板，刻度尺和计算器.四、教学过程：(一)情景导入：和学生共同欣赏一组润扬大桥的图片,揭示斜拉桥的结构特征,由计算拉索的长这个实际问题导入新课.(二)探索新知：1.观察一张希腊邮票,2.画一画、量一量：以四人为一个实验小组,的直角三角形,根据所度量的结果,的长度a、b、c之间的关系并相互交流3.实验探究：4.试一试：(见课本P49的试一试)通过计算归纳计算图中正方形面积的方法,并归纳探究结果.(三)探索成果展示：勾股定理：假如直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么222b a c +=. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
(四)议一议： (1)勾股定理告诉我们什么了?(2)勾股定理又会给我们以什么协助? 归纳勾股定理的作用及变式结论.三、练一练：1、求以下图中字母所表示的正方形的面积.(题目见投影)2.例：在直角三角形ABC 中,∠C=90°,(1)已知： a=5,b=12, 求c;(2)已知： b=6,c=10 ,求a.解：(略)3.如下图,在斜拉桥的结构图中,若桥面以上索塔AB 的高为50m,拉索与桥面的链接点C 距离索塔30m,试求出这条拉索AC 的长(精确到1m).四、讨论交流:假如一个直角三角形的两边长分别是3cm 和4cm,那么这个直角三角形的 周长是多少厘米?五、课堂小结:谈一谈通过这节课的 学习你有什么收获与体会？六、作业布置：。
八年级数学探索勾股定理进阶(二)(综合)(含答案)
探索勾股定理进阶（二）（综合）一、单选题(共10道，每道10分)1.在直角三角形中，两边长分别为3和4，则最长边的长度为( )A.5B.4C.3D.5或4答案：D解题思路：由于题中没有说明哪条是直角边哪条是斜边，所以需要分类讨论：①当4是直角边时，设斜边长为x，则，此时最长边为5；②当4为斜边时，此时最长边为4．故选D试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论2.若直角三角形的三边长分别为6，10，m，则m2的值为( )A.8B.64C.136或64D.136或100答案：C解题思路：由于题中没有说明哪条是直角边哪条是斜边，所以需要分类讨论：①10是直角边时，②10是斜边时，，所以的值为136或64故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论3.在△ABC中，AB=26，AC=25，BC边上的高AD=24，则另一边BC等于( )A.3或17B.3C.2或18D.17答案：A解题思路：由题意，有如下两种情况，△ABC为锐角三角形或钝角三角形①如图，△ABC为锐角三角形∵AD⊥BC∴在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=26，AD=24由勾股定理得，BD=10同理，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=24，AC=25由勾股定理得，CD=7∴BC=BD+CD=10+7=17②如图，△ABC为钝角三角形∵AD⊥BC∴在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=26，AD=24由勾股定理得，BD=10同理，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=24，AC=25由勾股定理得，CD=7∴BC=BD-CD=10-7=3综上，BC的长为3或17故选A试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论4.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，则△ABC的面积为( )A.84B.24C.24或84D.42或84答案：C解题思路：分情况讨论：（1）△ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=15，AD=12由勾股定理得，，∴BD=9在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=13，AD=12由勾股定理得，，∴CD=5△ABC的面积为；（2）△ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到，△ABC的面积为．故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论5.在△ABC中，AB=20，AC=13，BC边上的高AD=12，则△ABC的周长为( )A.54B.48C.44或48D.44或54答案：D解题思路：分情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，高AD在△ABC内部．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=20，AD=12由勾股定理得，，∴BD=16在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=13，AD=12由勾股定理得，，∴CD=5即可得，故可得△ABC的周长为；（2）当△ABC为钝角三角形时，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD=16，CD=5即可得，故可得△ABC的周长为．故选D试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E．若AC=6，AB=10，则DE 的长为( )A.2B.3C.4D.5答案：B解题思路：由题意知，△ACD≌△AED所以AE=AC=6，BE=4在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10由勾股定理得，BC=8设DE=CD=x，则BD=8-x在Rt△BDE中，∠BED=90°由勾股定理得，解得，则DE=3故选B试题难度：三颗星知识点：勾股定理实际应用——需设表达7.如图，已知∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，BC=4，CD=，则AC的长为( )A.1B.2C.3D.4答案：C解题思路：如图，过点D作DE⊥AB交AB于点E由题意知，△ACD≌△AED所以DE=CD=，BD=在Rt△BDE中，，即解得，设AE=AC=x，则AB=2+x在Rt△ABC中，∠C=90°由勾股定理得，解得，则AC=3故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理实际应用——需设表达8.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，则BM的长为( )A. B.2C. D.答案：D解题思路：如图，连接MC由题意知，△AMN≌△CMN设BM=x，则AM=CM=4-x在Rt△BMC中，∠B=90°由勾股定理得，解得，则BM=故选D试题难度：三颗星知识点：勾股定理实际应用——需设表达9.如图，在△ABC中，∠C=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC=3，AB=5，则DE的长为( )A.2B.C. D.答案：C解题思路：如图，连接AE，由题意知，△ADE≌△BDE 设AE=BE=x，则CE=4-x在Rt△ACE中，∠C=90°由勾股定理得，解得，即AE=BE在Rt△BDE中，∠BDE=90°由勾股定理得，即解得，DE=故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理实际应用——需设表达10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D为BC延长线上一点，当△ABD为等腰三角形时，CD的长为( )A.1或4B.或1C.或1或4D.或1或4答案：C解题思路：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4由勾股定理可得，AB=5当△ABD为等腰三角形时，需要分情况讨论：①如图，AB为腰，AB=AD1，此时点A在BD1的垂直平分线上，CD1=BC=4②如图，AB为腰，AB=BD2，此时BD2=AB=5，CD2=BD2-BC=1③如图，AB为底，AD3=BD3，此时点D3在AB的垂直平分线上，设CD3=x，AD3=BD3=4-x由勾股定理可得，，解得，所以CD3故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论。
教学设计(勾股定理)
课题：3.1.勾股定理课型：新授课教者：罗阳中学姜冬教学目标：1.知识目标：（1）经历勾股定理的探索过程，了解勾股定理的多种证明方法。
（2）会运用勾股定理解决计算直角三角形简单问题和实际的应用。
2.过程与方法：通过学生实际操作、亲身体验，培养学生数学推理、数形结合、综合运用能力，进一步体会数学与生活实际的紧密联系。
3.情感态度和价值观：（1）感受数学的严谨性以及数学结论的正确性。
（2）学会和他人合作。
教学重点：探索和证明勾股定理，并能进行简单的应用。
教学难点：探索勾股定理证明过程。
教学过程：学派和宗教团体 ── 毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。
邮票上的图案是对勾股定理的说明（图1）。
希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里。
图1 图2 勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．活动（二）勾股定理的证明 勾股圆方图图 3 图4赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。
最早对勾股定理进行证明的，问题①：同学们，你能在刚才网格纸上的两个直角三角形画出类似的图形吗？（学生展示成果：例如图2） 问题②：同学们，你发现正方形的面积之间的数量关系吗？（小组讨论交流--小组代表发言--小组归纳结论）学生归纳结论： 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．教师引导学生将“上面的面积转化成三角形边长的平方”，归纳勾股定理的内容：问题③：同学们，你能用手中的四个全等三角形拼成一个大正方形吗？学生课前准备的在互联网上百度搜集的资料进行展示，通过画图动手实践，老师提出问题，学生小组讨论交流，总结归纳勾股定理的内容，让学生感受从特殊到一般的数学变化过程和数学转化的思想。
设计问题由浅入深，循序渐进，最终掌握主要知识。
给学生一个开放性的问题，用课前准备好的四个全等直角三角形拼一大正方形，学生方法会有很多，选出代表性强的例子，让学生完成勾股定理的一种证明方法。
八年级数学上册教学课件《探索勾股定理(第2课时)》
答：飞机每小时飞行540km.
探究新知
1.1 探索勾股定理
素养考点 2 利用勾股定理解答面积问题
例 等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm， A
求这个三角形的面积.
cb a
=4×12ab+c2 =c2+2ab， 所以a2+b2+2ab=c2+2ab，
所以a2+b2=c2 .
探究新知
1.1 探索勾股定理
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2+b2
a
=c2.
证明：因为 S梯形=12(a+b)(a+b)
b
c
=12(a2+b2+2ab)
拼图 验证
应用
思路 步骤
1.1 探索勾股定理 首先通过拼图找出面积之间的相等关系， 再由面积之间的相等关系结合图形进行 代数变形即可推导出勾股定理．
拼出图形 写出图形面积的表达式 找出相等关系 恒等变形 导出勾股定理
课后作业
作业 内容
1.1 探索勾股定理
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
A．
B．
C．
D．
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
1．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚( C ) A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m
课堂检测
基础巩固题
3.1探索勾股定理(2)-2024-2025学年第一学期数学鲁教七年级(上册)课件
美国总统证法：
D
c b
A
a
C
c a
b
B
例题 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞
到一个男孩头顶上方4 km处，过了20秒，飞机距
生 活
离这个男孩头顶5 km，求飞机飞行的速度.
中
勾
股
定
理 的
20 s后
应
C
B
用
4 km
A
拓展练习
生
活 中
1.如图是某沿江地区交通平面图，为了
勾 股
加快经济发展，该地区拟修建一条连接
(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度
是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是
1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比
1
？
，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任 何线段都可用整数或整数之比表示的基础上的几何学面临被推翻
图1
图2
b
a
a
c
1.如图，你能表示大正方形的面
c
b
积吗？能用两种方法表示吗？
（1） (a b)2
c
b
c
a
（2） c 2 4 1 ab
2
a 图1 b
2. (a b)2 么？
与
c 2 4 1 ab 2
有什么关系？为什
你能验证勾股定理了吗？
验证方法一
b
a
a
c
c b c2 1 ab 4 (a b)2 2
c c
∴ a²+b²=c²
b
a
a 图1 b
方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问
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c
=a2+b2 所以a2+b2=c2
a
b
2 ( a + b ) 大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 c2 +4•ab/2 b a b c c a a2+2ab+b2 = c2 +2ab 所以a2+b2=c2 c 因为(a+b)2 = c2 +4•ab/2 a
b
c a
b
你能用此图证明勾有股定理吗？
2002年国际数学家大会会标
勾股定理（gou-gutheorem)
直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方. 如果直角三角形两直角边分别为 a、b,斜边为c，那么
a b c
2 2
2
a
c
b
大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 ab÷2×4-(ba )2
4 +(ba)2 =2ab+b2-2ab+a2
练习
4. 如图所示是某机械零件的平面图,尺寸如 图所示, 求两孔中心A, B之间的距离.(单位: 毫米)
24
A 60
B
C 25
80
再见
c a b
例题解析
例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一 个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距 离这个男孩5000米，飞机每小时飞行多少千米？
C
4000
B
4000
A
练习
1. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南 方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是 40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小 红和小颖家的距离为 （ C ） A. 600米 B. 800米 C. 1000米 D 不能确定 2. 直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么 斜边上的高是 （ D） A. 6厘米 B. 8厘米
在西方，希腊数学家欧几里德 (Euclid, 是公 元前三百年左右的人)在编著《几何原本》时， 认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他 就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就 流传开了.
毕达哥拉斯(Pythagoras)是古希腊数学家， 他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多 年.相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的证 明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此， 又有“百牛定理”之称.
C. 80/13厘米
D. 60/13厘米
练习
3. 等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三 角形的面积 解：设这个三角形为ABC， 高为AD，设BD为x，则AB为 （16-x）， 由勾股定理得：
A
8
x2+82=(16-x)2
即x2+64=256-32x+x2
B
x
D
C
所以 x=6 所以 S∆ABC=BC•AD/2=2 •6 •8/2=48
鲁教版七上
证明勾股定理及应用
学习方法报 数学周刊
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读一读
我国数学家华罗庚曾经建议，要探知其他星 球上有没有“人”，我们可以发射下面的图形， 如果他们是“文明人”，必定认识这种“语 言”.
在中国古代大约是战国时期西汉的数学著 作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对 话.商高说：“…故折矩，勾广三，股修四， 经隅五 . ”商高这段话的意思就是说：当直角 三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长 边）时，径隅（就是弦）则为5. 以后人们就简 单地把这个事实说成“勾三股四弦五”.故称 之为“勾股定理”或“商高定理”.