绍兴市2010年高考数学复习优质 直线过定点问题(1)复习课课件 新人教A版
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高一数学直线复习课[原创]人教版名师课件
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当直线与X轴平行或重合时,规定 倾斜角为00
直线的倾斜角α的取值范围是0≤α＜π
1、直线的斜率：
倾斜角不是900的直线，它的倾斜 角的正切叫做这条直线的斜率，记作 k=tan.
2、过两点的直线斜率公式：
经过两点P1(x1 , y1 ) ，P2(x2 , y2 )的直 线的斜率公式为：
y y
K= 2
当直线L1和L2有斜截式方程 Y=K1X+b1，Y=K2X+b2时，L1||L2的 充要条件是:
K1=K2且b1≠b2
点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0 的距离
d
A
x0
B
y 0
C
A2 B2
两条平行线AX+BY+C1=0 与AX+BY+C2=0的距离
d
c1 c2 A2 B2
《直线》复习课
学习目标
知识体系 应用举例
课外作业
1、熟记几个重要的基本公式。 2、理解有向线段、定比分点等概念。 3、掌握本单元的知识点的应用。
有向线段
直线的倾斜角与斜率 点斜式方程 两点式方程 一般式方程
有向 直线 和有 向线 段
两点 间的 距离
线段 的定 比分 点
两条直线的位置关系
平行
垂直
例1：考察直线L1：MX+8Y+M－10=0， L2：X+2MY－4=0，
根据下列条件分别求M：
（1）L1⊥L2 ；（2） L1∥L2 ；（3） L1与L2重合。
例2：求平行于直线X－Y－2=0并且与它
的距离为2 2 的直线的方程。
联立两直线方程的方程组的解即为 交点坐标
直线的倾斜角α的取值范围是0≤α＜π
1、直线的斜率：
倾斜角不是900的直线，它的倾斜 角的正切叫做这条直线的斜率，记作 k=tan.
2、过两点的直线斜率公式：
经过两点P1(x1 , y1 ) ，P2(x2 , y2 )的直 线的斜率公式为：
y y
K= 2
当直线L1和L2有斜截式方程 Y=K1X+b1，Y=K2X+b2时，L1||L2的 充要条件是:
K1=K2且b1≠b2
点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0 的距离
d
A
x0
B
y 0
C
A2 B2
两条平行线AX+BY+C1=0 与AX+BY+C2=0的距离
d
c1 c2 A2 B2
《直线》复习课
学习目标
知识体系 应用举例
课外作业
1、熟记几个重要的基本公式。 2、理解有向线段、定比分点等概念。 3、掌握本单元的知识点的应用。
有向线段
直线的倾斜角与斜率 点斜式方程 两点式方程 一般式方程
有向 直线 和有 向线 段
两点 间的 距离
线段 的定 比分 点
两条直线的位置关系
平行
垂直
例1：考察直线L1：MX+8Y+M－10=0， L2：X+2MY－4=0，
根据下列条件分别求M：
（1）L1⊥L2 ；（2） L1∥L2 ；（3） L1与L2重合。
例2：求平行于直线X－Y－2=0并且与它
的距离为2 2 的直线的方程。
联立两直线方程的方程组的解即为 交点坐标
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第9章 解析几何 第2课时 圆锥曲线中的定点(或定值)问题
(3y1+6-x1-x2)(y-y2)-(y1-y2)(x-x2)=0.
将 x=0,y=-2 代入上式,整理得 12-2(x1+x2)+3y1y2+6(y1+y2)-x1y2-x2y1=0.(*)
6(+2)
因为 x1+x2=
2
4+3
3(+4)
,x1x2=
2
4+3
,
-8-16
所以 y1+y2=k(x1-1)-2+k(x2-1)-2=
在椭圆上,即 9
2
9(1- 1 )
9
( 1 +3)2
∴
联立
=
2
1- 2
9
2
( 2 -3)
9
+
( 2 -3)2
,
22
2
1 =1, 9
+ 22 =1,
,整理得 4x1x2-15(x1+x2)+36=0,
= + ,
2
=
22
+ 2 = 1,
得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,
+ 4
则点 M
将
= 1,
= 1,
2 6
1,3
2 6
y=- 代入
3
解得
,N
=
2 6
1,
3
2
y= x-2,得
3
2 6或
3
= 1,
=
2 6
- 3 ,
.
x=3- 6,则点 T 3-
2 6
6,3
.
又 = ,所以点 H(5-2
将 x=0,y=-2 代入上式,整理得 12-2(x1+x2)+3y1y2+6(y1+y2)-x1y2-x2y1=0.(*)
6(+2)
因为 x1+x2=
2
4+3
3(+4)
,x1x2=
2
4+3
,
-8-16
所以 y1+y2=k(x1-1)-2+k(x2-1)-2=
在椭圆上,即 9
2
9(1- 1 )
9
( 1 +3)2
∴
联立
=
2
1- 2
9
2
( 2 -3)
9
+
( 2 -3)2
,
22
2
1 =1, 9
+ 22 =1,
,整理得 4x1x2-15(x1+x2)+36=0,
= + ,
2
=
22
+ 2 = 1,
得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,
+ 4
则点 M
将
= 1,
= 1,
2 6
1,3
2 6
y=- 代入
3
解得
,N
=
2 6
1,
3
2
y= x-2,得
3
2 6或
3
= 1,
=
2 6
- 3 ,
.
x=3- 6,则点 T 3-
2 6
6,3
.
又 = ,所以点 H(5-2
浙江省绍兴市2010年高考数学复习优质课件：直线与抛物线 新人教版
L1
D
A
解：
设抛物线的方程为
y2=2px(p>0)
EO
F
x
C
B
探命究题1：：M过(a定，点0)（(a非>0焦)是点抛）物的线直y2线=2与px抛(p物>0) 对线称相轴交上一述定结点论，是过否M成的立一？条直线与抛物 线交于A、B两点，通过点A和抛物线顶点 的直线交直线x=-a与点C，
结论 ①直线BC平行于抛物线的对称轴
两 方 程 联 立
y x y2 4
b x
-
-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-
-
-
-
-
-得y 2
4
y
4b
0
y1 y2 4 y1 y2 4b,代入（*）
解得a 1
因此存在点M（- 1，2）满足题意
例 题2. 已知抛物线C：y x2的焦点为F ,动点P 在直线y x 2上运动，过点P作 抛物线C的两条切线PA, PB, 且 与 抛 物 线 分 别 相 切 于A、B两 点. （） 求APB的 重 心G的 轨 迹 方 程. （ ）证明: AFP BFP
例题1． （选修2-1 p 70 例5）过抛物线焦点的一条直线 与它交于A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线 交准线于点C， 求证：直线BC平行于抛物线的对称轴。
y
L1
解：
设抛物线的方程为
y2=2px(p>0)
A
EO
F
x
C
B
例题1． （选修2-1 p 70 例5）过抛物线焦点的一条直线 与它交于A、B两点，通过点A和抛物线顶点的直线 交准线于点C，
直线与抛物线 的综合问题
2009年考试说明
圆锥曲线部分
高考复习课件学科会公开课：动直线与定点问题
[类题通法]
定点问题的常见解法
(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线 系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于 定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求 定点；
(2)从特殊Βιβλιοθήκη 置入手，找出定点，再证明该点适合题意．
• 从2015年高考对圆锥曲线解答题的考 查不难发现，经典题型仍占主导地位 ，如直线与圆锥曲线的综合问题、最 值与取值范围问题、定值与定点问题 、对称问题．对这些经典题型，只需 准确把握其解题规律，并能灵活运用 即可快速解决．
[必备知识]
由直线方程确定定点， 若得到了直线方 程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过 定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式： y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
高三数学 点与直线直线与直线复习课件 人教大纲版
k 2 或 k 1
，而
tan
4
y
k1 3
1 1k 3
C
故所求直线方程为
A
x 2y 5 0 或 2x y 10 00
Bx
例4：⑴已知一条直线过P（1，2）点，且与
直线 x y 6 0 的夹角为 4 ，
求这条直线方程。
⑵直线 l1 过点A（5，0），l2 过点B（0,1），
l1 // l2 ，且 l1 与 l2 、点与直线
1、点Px0 , y0 在直线上Ax By C 0
Ax0 By0 C 0
2、点Px0 , y0 到直线 l : Ax By C 0
的距离 d Ax0 By0 C
A2 B2
二、两条直线的位置关系：平行、相交、重合
设
即3x 4 y 5 2 0 3 3 8
4 4
方程为 3x 4y 21 0
例3：已知等腰直角三角形斜边所在方程为， x 3y 6 0 直角顶点坐标为（3，4）
求两条直角边所在的直线方程。
解：斜边所在直线的斜率为 1 ，设直角
3
k 边所在直线的斜率为
直角边与斜边夹角为2 4
求 l1 与 l2 的方程。
解：⑴设所求直线斜率为 k
，则由
1 k 1 k
tan 4
1
k 0, y 2当k不存在时，x 1
夹角也为 4
故直线方程为 x 1 或 y 2
⑵设斜率 k 为，则l1 : y kx 5,l2 : y 1 kx
l1 与 l2
之间的距离为5
1 5k 1 k2
⑵（方法一）设所求直线方程为，x 2y c 0
2x 3y 5 0 由 7x 15y 1 0
得交点 26 , 37 代入x 2 y c 0得c 4
，而
tan
4
y
k1 3
1 1k 3
C
故所求直线方程为
A
x 2y 5 0 或 2x y 10 00
Bx
例4：⑴已知一条直线过P（1，2）点，且与
直线 x y 6 0 的夹角为 4 ，
求这条直线方程。
⑵直线 l1 过点A（5，0），l2 过点B（0,1），
l1 // l2 ，且 l1 与 l2 、点与直线
1、点Px0 , y0 在直线上Ax By C 0
Ax0 By0 C 0
2、点Px0 , y0 到直线 l : Ax By C 0
的距离 d Ax0 By0 C
A2 B2
二、两条直线的位置关系：平行、相交、重合
设
即3x 4 y 5 2 0 3 3 8
4 4
方程为 3x 4y 21 0
例3：已知等腰直角三角形斜边所在方程为， x 3y 6 0 直角顶点坐标为（3，4）
求两条直角边所在的直线方程。
解：斜边所在直线的斜率为 1 ，设直角
3
k 边所在直线的斜率为
直角边与斜边夹角为2 4
求 l1 与 l2 的方程。
解：⑴设所求直线斜率为 k
，则由
1 k 1 k
tan 4
1
k 0, y 2当k不存在时，x 1
夹角也为 4
故直线方程为 x 1 或 y 2
⑵设斜率 k 为，则l1 : y kx 5,l2 : y 1 kx
l1 与 l2
之间的距离为5
1 5k 1 k2
⑵（方法一）设所求直线方程为，x 2y c 0
2x 3y 5 0 由 7x 15y 1 0
得交点 26 , 37 代入x 2 y c 0得c 4
直线的方程直线的点斜式方程 课件(共47页) 2024-2025学年人教A版高中数学选择性必修一
课前预习
知识点二 直线的斜截式方程
纵坐标
1.我们把直线与轴的交点 0, 的_________叫作直线在轴上的截距.
2.直线的斜截式方程：如果斜率为的直线过点0 0, ,这时0是直线与轴的
= +
交点，代入直线的点斜式方程，得 − = − 0 ，即___________②.
直线经过点0 0 , 0 ,且斜率为.设 , 是直线上不同于点0 的任意一点，
因为直线的斜率为,由斜率公式得 =
−0
− 0 = − 0
，即__________________①.
−0
（1）方程①由直线上一个定点 0 , 0 及该直线的斜率确定，我们把它叫作直
课中探究
π
（3） −5, −1 ， = ．
6
π
解： 直线的倾斜角 = ，则直线的斜率
6
3
故直线的点斜式方程为 + 1 = ( + 5).
3
=
3
，又直线经过点
3
−5, −1 ，
课中探究
变式（1）
过点 0,1 ，且以 = −1,2 为方向向量的直线方程为(
A. = −2 + 1
[解析] 已知直线的斜截式方程，则两条直线的斜率都存在，因此
1 ⊥ 2 ⇔ 1 2 = −1.
（4）直线 = 在轴上的截距为，在轴上的截距为0.( × )
[解析] 直线 = 在轴上的截距为,在轴上的截距不存在.
课中探究
探究点一 直线的点斜式方程
例1
已知直线经过点且倾斜角为 ，斜率为，求直线的点斜式方程．
1 = tan 2 =
2tan
1−tan2
定点、定线问题-高考数学复习课件
1234
(2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之 和为1，问：直线l是否过定点？证明你的结论.
解 设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2， 当直线l的斜率不存在时，A(x1，y1)，B(x1，－y1)， k1＋k2＝y1－x321－＋y11－32＝1，解得 x1＝－4，不符合题意； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由y3＝x2＋kx4＋y2m－，12＝0，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， x1＋x2＝3－＋84kkm2，x1x2＝43m＋2－4k122，
故 x1＋x2＝－164kk22＋＋294k，x1x2＝164kk22＋＋498k. 直线 AP：y＝x1y＋1 2(x＋2)， 令 x＝0，解得 yM＝x12＋y12，同理得 yN＝x22＋y22，
则 yM＋yN＝2y1(x(2x＋1＋2)2＋)(xy22＋(x12＋) 2) ＝2(kx1＋2k＋3)(x(2x＋1＋2)2＋)(x(k2＋x2＋2) 2k＋3)(x1＋2) ＝22kx1x2＋x1(x42k＋＋23()x(1x＋1＋x2x)2＋)＋4 8k＋12
联立直线 MA1 与直线 NA2 的方程并消去 y，得 xx＝＋ －－224＝4m4m812yy－m6221－m((xx112－1＋ －＋6222y))1y＝1＝m－y1y312，－my21(yy21－＋6yy21)＋2y1＝m·4m428－m·14－m4228－×14－m3226－my11＋2y1 所以 x＝－1，即点 P 在定直线 x＝－1 上.
题型一 定点问题
角度 1 直线过定点 例 1 (2024·惠州调研节选)已知椭圆 C：x42＋y32＝1，如图，椭
(2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之 和为1，问：直线l是否过定点？证明你的结论.
解 设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2， 当直线l的斜率不存在时，A(x1，y1)，B(x1，－y1)， k1＋k2＝y1－x321－＋y11－32＝1，解得 x1＝－4，不符合题意； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由y3＝x2＋kx4＋y2m－，12＝0，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， x1＋x2＝3－＋84kkm2，x1x2＝43m＋2－4k122，
故 x1＋x2＝－164kk22＋＋294k，x1x2＝164kk22＋＋498k. 直线 AP：y＝x1y＋1 2(x＋2)， 令 x＝0，解得 yM＝x12＋y12，同理得 yN＝x22＋y22，
则 yM＋yN＝2y1(x(2x＋1＋2)2＋)(xy22＋(x12＋) 2) ＝2(kx1＋2k＋3)(x(2x＋1＋2)2＋)(x(k2＋x2＋2) 2k＋3)(x1＋2) ＝22kx1x2＋x1(x42k＋＋23()x(1x＋1＋x2x)2＋)＋4 8k＋12
联立直线 MA1 与直线 NA2 的方程并消去 y，得 xx＝＋ －－224＝4m4m812yy－m6221－m((xx112－1＋ －＋6222y))1y＝1＝m－y1y312，－my21(yy21－＋6yy21)＋2y1＝m·4m428－m·14－m4228－×14－m3226－my11＋2y1 所以 x＝－1，即点 P 在定直线 x＝－1 上.
题型一 定点问题
角度 1 直线过定点 例 1 (2024·惠州调研节选)已知椭圆 C：x42＋y32＝1，如图，椭
高三数学总复习 直线的方程课件 文 新人教版
1 得 A(2－k，0)，B(0,1－2k)．
由|PA|·|PB|＝
(4＋4k2)(1＋k12)
＝
8＋4(k2＋k12)≥4.
当且仅当 k2＝k12，即 k＝±1 时，|PA|·|PB|取最小值．
又 k＜0，∴k＝－1，这时 l 的方程是 x＋y－3＝0.
方法二：设∠BAO＝θ(0＜θ＜π2 )，过 P 作 PE⊥x 轴于 E，
6
6
＝5＋(a－3)＋a－3≥5＋2 (a－3)·a－3
＝5＋2 6，
当且仅当 a－3＝a－6 3，即 a＝3＋ 6时，a＋b 取得最小值 5＋2 6，
此时 b＝2＋ 6，直线 l 的方程为 x ＋ y ＝1， 3＋ 6 2＋ 6
即(2＋ 6)x＋(3＋ 6)y－12－5 6＝0.
1．(2008 年全国Ⅰ高考)若直线ax＋yb＝1 通过点 M(cos α，sin α)，
方程的形式 y－y1＝k(x－x1)
y＝kx＋b
已知条件
局限性
(x1，y1)为直线上一定 点，k为斜率
不包括垂直于x轴的直线
k为斜率，b是直线在y
轴上的截距
不包括垂直于x轴的直线
两点式 截距式 一般式
(x1≠x2且y1≠y2)
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
(x1，y1)，(x2，y2)是 不包括垂直于x轴和y轴
【方法点评】 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则
(1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)或
记为：
(A2、B2、C2不为0)．
(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
(3)l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0(或
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G的轨迹方程.
y
M
oA E
B
x
F
1. 直线过定点问题的一般求解方法
（1）建立直线方程 （2）利用已知条件，建立等量关系 （3）将所得关系式与直线方程联立后探求定点
2.圆锥曲线综合问题求解的基本思想方法
（1）合理设元 （2）构建恰当的关系式（将几何条件代数化） （3）灵活处理关系式（围绕目标）
课后思考：
② x A x B 时 当 k 1 ,则 ， lA :x B 4 综上l， AB恒过定4点 ， 0） （
y
A
o
B
求交点
解lO ： :y A k设 （ x k o ） lO :则 y B k 1 x 由 yy2k4xx得x： Ak42,yAk4
x 以 k 1代 k得xB ： 4k2,yB 4k
化 ① 由当 简 x两 Ay得 点 x1B时 k式 kl2（ ， AB可 x:y44得 ） kk4k44kx2k4k242 lAB过定点 4， （ 0）
y1 2 1 y2 6 2y1y20 y1y2 16 ②
由① b② 4代得 x入 myb
得 lA:B xmy4 lAB恒过定点 4， 0） （
y
A
o
B
设点 设而不求
解： A （ y 4 1 2， 设 y1 ） B （ y 4 2 2， y2 ） （ y1y2 ）
∵ O A OB
x OO A B 0即 y1 2 1 y2 2 6y1y20
y
A
o
B
直接 设直线方程
解 l A :x ： B m b ,A y （ 设 x 1 ,y 1 ） ,B （ x 2 ,y 2 ）
由 x y2 m 4xyb得y： 24my4b0
x
y1y24b ①
∵O A O BOAOB0
即 x1x2y1y20
又x1
y12 4
,x2
y22 4
，代入上式，得
1.本节课中所得各结论的逆命题 是否成立？ 2.本节课中所得各结论能否推广 到圆锥曲线中的椭圆？
作业: 山东07年高考（理）第21题
解：1） （若直 AB 斜 线率存在
y
A
设 l A :y B k b ( x k 0 )A （ ,x 1 ,y 1 ） ,B （ x 2 ,y 2 ）
o
B
x∵由 O yy y12 yk2O 4A x x4b kb 得 B O k① ： O 2y A 4 y0 B 即 4bx1 x 02y1y20
抛物线于A、B两点，当 k MA 1 时，
k MB
直线A B 仍过定点吗？
直线AB的斜率为定值
江西高考题：如图，M是抛物线上 y2 x 的一点，
动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.
(1)若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
(2)若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心
y1y2 16 （ 1） 当y1y20时， lAB : yy2yy11
xy12
y22
4 y12
即 y (y 1 y 2 ) y 1 y 2 4 x
44
又 y 1 y 2 1 l A 6 （ :y B 1 y 2 ） y 4 x 16 lAB过定点 4,0（ ）
（ 2 ） 当 y1y20时 lA:B ， x4过定 4， 0 ） 点 综上l， AB恒过定4点 ， 0） （
y
M
(x02p,y0)
o
x
A
B
y
M
MA⊥MB 即 kMAkMB 1
o
x
A
B
k Mk A M B( 0 )
变式2：过抛物线 y22px(p0)上任意定
点M(x0, y0)作直线MA、MB交抛物线于A、B两
点，当 kMk A M B( 0 )时，直线AB是
否恒过定点？
结论：过抛物线 y22px(p0)上任意定点
抛物线中的一类直线过定点问题
y2 2px
问 题：过抛物线 y2 4x 的顶点O作互相
垂直的两条直线OA、OB交抛物线于A，B两 点，试问：直线AB过定点吗？
y）
x
1 234
y
A
o
x
B
y
M
o
x
A
B
变式1：过抛物线 y22px(p0)上任意定 点M( x0, y0)作直线MA、MB交抛物线于A、B两 点，当MA⊥MB时，直线AB是否恒过定点？
M(x0, y0)作直线MA、MB交抛物线于A、B两点，
当
kMk A M B(时0 ，)直线AB恒过定
点
(x02p , . y0)
yM
yM
o
A
x
B
kMAkMB 1
o
x
A
k MA
B
1
k MB
变式3：过抛物线 y22px(p0)上任意定
点M( x 0 , y 0 ) ( y0 0 )作直线MA、MB交
又x1
y12 4
,x2
y22 4
（ y11 y2 ） 6 2y1y20 y1y2 16②
由①② b4 得 k代： y入 kx b
直接
lA:B y k x 4 k k （ x 4 ）
设直线方程 直线 AB 过定点 4， 0） （
（2）若直线 AB斜率不存在，
则 lA:Bx4亦过 4， 0） （ 综上l， AB恒过定4点 ， 0） （