洛必达法则失效的种种情况及处理方法
使用洛必达法则应注意的问题
使用洛必达法则应注意的问题作者：尹丽高辉高胜哲来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》2014年第10期摘要：洛必达法则是求函数极限的一种简单方便的方法。
本文通过实例，对使用洛必达法则应注意的问题进行了分析。
关键词：洛必达法则；极限；等价无穷小；分析中图分类号：O171文献标识码：A文章编号：1671—1580（2014）10—0151—02洛必达法则是求函数极限的一种简单方便的方法，而求函数极限是高等数学的重要内容，也是研究微积分学的常用工具。
因此，正确灵活地使用洛必达法则，对学生学好高等数学这门课程，深入研究微积分学，都具有积极的意义。
本文通过实例，对使用洛必达法则应注意的问题进行了分析。
一、洛必达法则定理：设在某一极限过程中，函数f（x），g（x）满足条件：（1）limf（x）=0，limg（x）=0或limf（x）=∞，limg（x）=∞；（2）在该极限过程中，f′（x），g′（x）都存在且g′（x）≠0；（3）limf′（x）1g′（x）存在或为∞，则limf（x）1g（x）=limf′（x）1g′（x）法则当x→x0，x→x+0，x→x-0，x→∞，x→+∞，x→-∞时均成立。
二、正确理解洛必达法则使用的几个主要前提和结论1.求极限函数为010型，满足洛必达法则使用的前提，分子分母分别求导，得到limf′（x）1g′（x）的极限存在，可以使用洛必达法则的结论。
2.求极限函数为110型，不满足洛必达法则使用的前提，不适用洛必达法则。
3.求极限函数为∞1∞型，考虑用洛必达法则，分子分母分别求导，发现limf′（x）1g′（x）仍为∞1∞，继续使用洛必达法则，分子分母再次分别求导。
只要符合条件，洛必达法则可多次使用[1]。
三、使用洛必达法则可能遇到的问题例1[2]：limx→∞x+sinx1x错解：原式=limx→∞1+cosx11 ，极限不存在正解：原式=limx→∞x1x+sinx1x=1+limx→∞sinx1x=1分析：求极限函数为∞1∞型，使用洛必达法则，发现limf′（x）1g′（x）不存在，但不代表原式极限不存在。
洛必达法则的三个陷阱
洛必达法则的三个陷阱
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。
洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。
它的三个陷阱分别是：
1、求极限之前，先要检查是否满足0/0或∞／∞型构型，不然滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就无法用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，得从另外途径求极限，例如利用泰勒公式去求解。
2、洛必达法则是求未定式极限的有效工具，如果只用洛必达法则，往往计算比较繁琐，可以与其他方法相结合。
3、洛必达法则常用于求不定式极限，可以通过相应的变换转换成两种基本的不定式形式来求解。
洛必达法则三个条件
洛必达法则三个条件1. 洛必达法则啊，它有三个条件呢。
这就像三把钥匙，少了一把都打不开那扇特定的数学大门。
第一个条件是，在自变量趋于某值时，分子分母的极限都得是零或者无穷大。
比如说，求极限lim(x→0) (sinx)/x，当x 趋于0的时候，sinx趋于0，x也趋于0，这就符合第一个条件啦。
你看，这多像两个人同时走向一个神秘的起点，要一起满足这个特殊的开始条件呢。
2. 洛必达法则的第二个条件也很关键哦。
在这个极限趋近的过程中，分子分母得在那个值的去心邻域内可导。
啥叫去心邻域呢？就像给那个值周围画个圈，但是不包括那个值本身。
举个例子，像lim(x→1) (x² - 1)/(x - 1)，在x接近1的时候，分子分母在1的去心邻域内都是可导的。
这就好比一群小伙伴要去探险，在接近宝藏的那片区域得有特殊的能力（可导），这样才能继续探索下去呢。
3. 嘿，洛必达法则的第三个条件可不能忘。
分母的导数不能为零啊。
这就像一个规则，分母就像一个支撑的架子，要是这个架子的变化率（导数）为零了，那整个式子就乱套了。
就像lim(x→2) (x³ - 8)/(x - 2)²，分母的导数在x→2的时候不为零，这就符合第三个条件。
这就像一场比赛，分母这个“选手”得按照一定的规则来，不能有特殊的违规情况（导数为零）。
4. 洛必达法则的这三个条件啊，就像拼图的三块，缺了任何一块都拼不出完整的画面。
第一个条件里分子分母极限的那种共同趋向（零或者无穷大），就像是两个舞者同时迈着相同的步伐走向舞台中央。
比如lim(x→0) (tanx)/x，x趋于0时，tanx和x都走向那个神秘的零的状态。
你要是只看到一个舞者在动，另一个不动，那就不符合这个法则的第一个条件啦。
这是不是很神奇呢？5. 再看第二个条件，在自变量趋近的去心邻域内可导。
这就像在一片神秘的森林里，只有在特定的小区域内有特殊的能力（可导）才能继续前进。
为什么高考不允许用洛必达法则
为什么高考不允许用洛必达法则
高考不允许使用洛必达法则的原因有以下几个方面：
1.高考考察的是基础知识和运算能力。
洛必达法则是微积分中的一种计算方法，属于高等数学的内容。
高考是以中学数学为考试内容，不要求考生掌握高等数学知识。
考试要求考生对基础知识的理解和掌握，以及简单的运算能力。
2.时间限制。
高考是一个严格限时的考试，考生需要在有限的时间内完成一定数量的题目。
如果允许使用洛必达法则，会增加考生计算的复杂性和时间消耗，导致考试时间不够用，影响其他题目的完成。
3.考察能力综合性。
高考除了考察基础知识和运算能力，还涉及到对知识的灵活运用和解决问题的能力的考察。
使用洛必达法则可以在一些情况下简化计算，但也容易让考生陷入机械套用公式的局限中，无法真正理解问题的本质和解决问题的思路。
4.高考考察的是学生对基础知识的理解和掌握。
洛必达法则是微积分中的一种计算方法，需要基于对微积分基本概念的理解和掌握才能正确应用。
高考的目标是考察学生对于中学数学的基本概念和方法的理解和掌握程度，不是考察学生是否能应用高等数学的方法。
5.高考公平性。
高考是一个公平竞争的考试，考生应该在公平的条件下进行考试。
如果允许使用洛必达法则，那些在课外拓展学习中有机会接触过高等数学知识的学生就会在计算上得到额外的优势，而大部分学生在中学阶段很难接触到这些知识。
综上所述，高考不允许使用洛必达法则是因为考察的是基础知识和运算能力，考试时间有限，需要考察能力综合性，要考察学生对基础知识的理解和掌握，以及保持考试的公平性。
洛必达法则应用条件
洛必达法则应用条件
洛必达法则是一个数学原理，用于判断极限存在与否。
在应用洛必达法则时，需要满足以下条件：
1. 极限形式为“0/0”或“∞/∞”：洛必达法则只适用于这两种形式的极限。
如果极限形式不是这两种情况，无法使用该法则。
2. 函数可导：洛必达法则要求函数在极限点附近是可导的。
如果函数在这个区间内不可导，无法使用该法则。
3. 适用于函数的极限点：洛必达法则只适用于函数在某个特定点的极限。
如果需要计算函数在无穷远点的极限，不能使用该法则。
4. 对于一元函数，考虑自变量趋近于某个点的情况：洛必达法则适用于一元函数的极限计算。
当自变量趋近于某个点时，可使用该法则判断极限存在与否。
5. 满足洛必达法则的条件：为使用洛必达法则，我们需要对函数的分子和分母分别求导，并检查导函数的极限是否存在。
如果导函数的极限存在，并且极限值不为零，则可以使用洛必达法则计算原函数的极限值。
总结起来，洛必达法则的应用条件包括极限形式为“0/0”或“∞/∞”，函数可导，考虑特定点附近的情况，对函数的分子和分母分别求导且导函数的极限存在且不为零。
使用洛必达法则可以解决一些复杂的极限问题，但在应用时需要谨慎判断条件是否满足，并注意计算的准确性。
洛必达法则的使用分析
达法则的条件充分不必要 ;同时随时观察分子分母是否是00型或 ∞∞型 ,不是
0 型或 0
∞∞型的极限 ,切勿使用洛必达法则.
例 1 lim x + sinx x→ + ∞x - sinx
∞∞型
= lim 1 + cosx (不存在 ) . x→ + ∞1 - cosx
这个例子中分子分母为
∞ ∞,
例 2 lim x→ + ∞
x 1 + x2
∞∞型
= lim x→ + ∞ (
( x) ′ = lim 1 + x2 ) ′ x→ + ∞
2
1 2x 1 + x2
= lim x→ + ∞
1 + x2 x
∞∞型
( = lim
x→ + ∞
1 + x2 ) ′ ( x) ′
2x
= lim 2 x→ + ∞
在高等数学中洛必达法则是利用柯西中值定理推导出
的一个重要结论 ,是求不定式
0 0
型或
∞∞型极限的简单而有
效的法则 ,是与高等数学有关的各种考试的考点. 因此 , 我
们有必要对洛必达法则的使用进行全方位的分析思考.
一 、洛必达法则及其解决极限的类型
11如果当 x→x0 时 , 函数 f ( x)与 g ( x)都是无穷小量 ,
利用一次洛必达法则后极
限虽然不存在 ,但原分式的极限却是存在的 :
1 + sinx
lim x + sinx = lim
x = 1.
x→ + ∞x - sinx
x→ + ∞
1-
洛必达法则5种常见错误
洛必达法则使用中的5种常见错误求极限是微积分中的一项非常基础和重要的工作。
在建立了极限的四则运算法则，反函数求导法则，以及复合函数极限运算法则和求导证明之后，对于普通的求极限问题，都可以通过上述法则来解决，但是对于形如：000,1,,0,,,00∞∞∞⋅∞−∞∞∞（其中后面3种可以通过A e A ln =进行转换）的7种未定型，上述法则往往显得力不从心，而有时只能是望尘莫及。
17世纪末期的法国数学家洛必达给出了一种十分有效的解决方案，我们称之为洛必达法则（L,Hospital Rule）。
虽然这个法则实际上是瑞士数学家约翰第一.伯努力在通信中告诉洛必达的。
在使用洛必达法则解题过程中，可能会遇到的一些常见误区和盲点。
本文的目的不是为了追求解题技巧，而是为了培养一种好的解题习惯。
以减少在用洛必达法则解题过程中可能出现的失误。
█失误一不预处理例1错误：−∞=−⋅⋅=′⋅′=+++→→→1(1lim )(lim lim 2101010x e e x xe x x x x x x 正确：+∞=′′⋅==+++→→→)1()1(lim 1lim lim 101010x x e x e xe x x x x xx █失误二急躁蛮干例：错解21126lim 2126lim 42633lim 34223lim 112212331==−=−−−=+−−+−→→→→x x x x x x x x x x x x x x 正确解：532126lim 42633lim 34223lim 12212331=−=−−−=+−−+−→→→x x x x x x x x x x x x x 例2：错解122sin cos cos cos lim cos sin sin lim sin cos lim 000==−++=++=−=→→→x x x x x e x x x x e x x x e x x x x x x 正确解：∞=++=−=→→xx x x e x x x e x x x x cos sin sin lim sin cos lim 00更好的解法：∞=+=−=−=→→→x x e x x e x x x e x x x x x x 2sin lim cos lim sin cos lim 0200经验：先考虑无穷小代换(与“0”结合)，后考虑洛必达法则上面的例子启发我们，在应用洛必达法则之前要进行预处理，以简化计算例3402220220)cos (sin sin lim cos sin sin lim )1(2sin 21cos 1lim2x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x −=⋅−=−−−→→→＝313sin lim cos sin lim 2030==−→→x x x x x x x x x █失误三对离散点列求导例4求n n n+∞→lim 错解：属于0∞型，先进行变形1lim lim lim 011lim ln lim ln 11======+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→e e e e n n nn n n n n n n n n n n 错误原因：n n n f =)(是离散的点列，是一系列孤立的点，连续都谈不上，更不用说可导。
洛必达法则失效的情况
洛必达法则失效的情况
洛必达法则是微积分中的基本法则之一。
它指出，当自变量趋近于某个特定值时，被
积函数趋近于一个固定的极限值。
然而，在某些情况下，洛必达法则并不适用，因为其基
本假设可能没有得到满足。
本文将讨论洛必达法则失效的情况。
1. 函数不连续
如果一个函数在某个点不连续，那么在该点使用洛必达法则就会失效。
在这种情况下，我们需要使用其他方法来计算该点的极限。
例如，考虑函数$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$。
当$x=0$时，该函数在$x=0$处不连续，
因为$f(0)$是一个未定义的形式。
因此，我们不能使用洛必达法则来计算$f(x)$在
$x=0$处的极限。
相反，我们需要使用泰勒级数来计算此处的极限。
2. 函数形式复杂
有时我们会遇到函数形式非常复杂的情况。
在这种情况下，使用洛必达法则并不方便，因为我们需要对分子和分母同时求导。
这样的计算可能很困难或耗时很长，尤其是当函数
的形式非常复杂时。
例如，考虑函数$f(x)=\frac{e^{x^2}\sin(\sqrt{x})}{x^3+1}$。
在这种情况下，使
用洛必达法则显然是不切实际的。
相反，我们可以考虑使用泰勒级数或长除法等技巧，来
计算该函数在某个特定点的极限。
3. 极限不存在
综上所述，洛必达法则是微积分中非常重要的基本法则之一，但它并不适用于所有情况。
在某些情况下，我们需要使用其他方法来计算函数的极限值。
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洛必达法则失效的种种情况及处理方法
今天我在看XX 书时，看到这样一道题⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim
，说是不可以使用洛必达法则，我对照这本书上关于使用洛必达法则的条件，觉得还不太清楚，好像应该是符合条件的，谢谢你抽空给我指点一下。
洛必达法则是计算极限的一种最重要的方法，我们在使用它时，一定要注意到该法则是极限存在的充分条件，也就是说洛必达法则
)()(lim )()(lim
x g x f x g x f a x a x ''=→→的三个条件： （1）0)(lim =→x f a x （或∞），0)(lim =→x g a
x （或∞）； （2）)(x f 和)(x g 在a x =点的某个去心邻域内可导；
（3）A x g x f a x =''→)()(lim
（或∞）。
其中第三个条件尤其重要。
其实，洛必达法则的条件中前两条是一望即知的，所以我们在解题过程中可以不用去细说，而第三个是通过计算过程的尝试验证来加以说明的，由于验证结束，结论也出来了，也就更加没有细说的必要了。
所以在利用洛必达法则解题过程中，往往只用式子说话，不必用文字来啰嗦的。
而对于极限问题⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 来说，因为x x g x f x x sin lim )()(lim +∞→+∞→=''不存在（既不是某个常数，也不是无穷
大），而可知洛必达法则的第三个条件得不到验证。
此时，我们只能说洛必达法则对本问题无效，绝对不能因此而说本问题之极限不存在。
实际上，我们利用“将连续问题离散化”的方法来处理，可以断定这个极限是存在的。
【问题】求极限⎰+∞→x x x x x 0d sin 1lim 。
【解】对于任何足够大的正数x ，总存在正整数n ，使ππ)1(+<≤n x n ，也就是说总存在正整数n ，使r n x +=π，其中π<≤r 0。
这样+∞→x 就等价于∞→n ，所以
⎰⎰+∞→+∞→+=r n n x x x x r n x x x ππ00d sin 1lim d sin 1lim
⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰+∞→r n n n n x x x x r n ππππd sin d sin 1lim 0 ππππ22lim d sin d sin 1lim 00=++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∞→∞→⎰⎰r n R n t t x x n r n n r n ， 这里前面一项注意到了函数x sin 的周期为π，而后面一项作了令t n x +=π的换元处理。
最后注意到积分值R 的有界性（20<≤R ）。
如果把上述洛必达法则失效的情况称为第一种情况，则洛必达法则还有第二种失效的情况：第三个条件永远也无法验证。
【问题2】求极限（1）x x x 3
31lim +∞→；（2）x x x x x --+∞→+-e e e e lim 。
【分析与解】（1）这是∞∞
型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，尝试验证到第两次后可以得到
x x x x x x x x x 333232331lim )1(lim 1lim +=+=+∞→∞→∞→，
可知洛必达法则失效，处理的方法是
111lim 1lim 1lim 333333
3=+=+=+∞→∞→∞→x x x x x x x x 。
（2）的情况与（1）的情况完全类似，尝试用了两次“洛必达法则”后可以得到
x x x
x x x x x x x x x x x x --+∞→--+∞→--+∞→+-=-+=+-e e e e lim e e e e lim e e e e lim ，
可知洛必达法则失效，处理的方法是分子分母同乘x -e ，得到
1e 1e 1lim e e e e lim 22=-+=+---+∞→--+∞→x x
x x x x x x 。
【问题3】求极限10010e lim x x x -→。
【分析与解】这是00
型待定型，本题显然满足洛必达法则的前面两个条件，至于第三个条件，经过尝试，可知洛必达法则的第三个条件
10210?1001
0200e lim e lim x x x x x x -→-→=
完全不可能得到验证，因为分子分母分别求导后愈来愈复杂，这也说明了洛必达法则对本题无效。
正确有效的方法是作换元，令
21x t =
，这样就有 0e lim e lim 50
1001
02==+∞→-→t t x x t x 。
还有一种极限问题，原则上虽然也适合使用洛必达法则，但不具有实际可操作性，例在本博客“2008考研数学辅导系列之24（4月14日博文《泰勒公式的应用》）”一文中的
【例1】求极限)3(211ln 3)76(sin 6lim 2202x x x x x x x e x x +--+---→问题，当时曾经分析说：本题如果不用泰勒公式，直接用洛必达
法则，也能计算，但必须要用六次洛必达法则，而且导数越求越复杂，而用了泰勒公式就会方便得多了．。