2020届高三数学(人教B版)一轮复习恒成立问题——数形结合法学案

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2020届一轮复习人教B版欲证不等恒成立,结论再造是利器学案

【题型综述】利用导数解决不等式恒成立问题的策略：利用导数证明不等式，解决导数压轴题，谨记两点：（Ⅰ）利用常见结论，如：，()ln 1x x >+，等；（Ⅱ）利用同题上一问结论或既得结论．【典例指引】例1．已知217()ln ,()(0)22f x xg x x mx m ==++<，直线l 与函数(),()f x g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1．（I ）求直线l 的方程及m 的值；（II ）若()(1)'()()h x f x g x =+-其中g'(x)是g(x)的导函数，求函数()h x 的最大值．（III ）当0b a <<时，求证：()(2).2b af a b f a a-+-<∴当x=0时，()h x 取最大值，其最大值为2．（III ）()(2)ln()ln 2lnln(1).22a b b af a b f a a b a a a+-+-=+-==+ 0,0,10.22Q b a a b a b aa<<∴-<-<-∴-<< 证明，当(1,0)x ∈-时，ln(1),ln(1).22b a b ax x a a--+<∴+< ()(2).2b af a b f a a-∴+-<& 例2．设函数()()ln 1f x a x =+，()1xg x e =-，其中a ∈R ， 2.718e =…为自然对数的底数．（Ⅰ）当0x ≥时， ()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围；（Ⅱ）求证：1095200010001791<<(参考数据：ln1.10.095≈)．【思路引导】（1）先构造函数()()()()()1ln 10xH x g x f x e a x x =-=--+≥，再对其求导得到()()01x aH x e x x =-≥+'然后分1a ≤和1a >两种情形分类讨论进行分析求解：（2）借助（1）的结论，当1a =时，()1ln 1xe x >++对0x >恒成立，再令110x =，得到11010951ln1.1 1.0951000e >+≈>即10951000>；又由(Ⅰ)知，当1a >时，则()H x 在[)00x ，递减，在()0x +∞，递增，则()()000H x H <=，即()001ln 10x e a x --+<，又()00H x '=，即001x aex =+，令11011110a e =>，即0110x =，则110120001 1.1ln1.11791e <≈-，故有1095200010001791<<．点评：解答本题的第一问时，先构造函数()()()()()1ln 10xH x g x f x e a x x =-=--+≥，再对其求导得到()()01x aH x e x x =-≥+'然后分1a ≤和1a >两种情形分类讨论进行分析求解；证明本题的第二问时，充分借助（1）的结论及当1a =时， ()1ln 1xe x >++对0x >恒成立，令110x =，得到11010951ln1.1 1.0951000e >+≈>即10951000>；进而由(Ⅰ)知，当1a >时，则()H x 在[)00x ，递减，在()0x +∞，递增，则()()000H x H <=，即()001ln 10x e a x --+<，又()00H x '=，即001x ae x =+，令11011110a e =>，即0110x =，则110120001 1.1ln1.11791e <≈-，故有1095200010001791<<．从而使得问题巧妙获证．& 例3．设．（l ）若对一切恒成立，求的最大值；（2）是否存在正整数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．【思路引导】（1）即在时，，从而求的参数的范围，，所以函数，所以．（2）由（1）可知当时，即，取，，得，即．累加可证到．所以．（2）设，则，令得．在时，递减；在时，递增．∴最小值为，故，取，，得，即．&累加得．∴．故存在正整数，使得．当时，取，有，不符合．故．&。

2019-2020学年高三数学数列中的等式恒成立问题公开课复习学案.doc

2019-2020学年高三数学数列中的等式恒成立问题公开课复习学案目标：1）让学进一步掌握数列的基础知识和基本方法；2）让学生领悟数列中的等式恒成立问题，逐步学会解决此类问题，并适当作出一些简单的总结，力求提高学生解决综合问题的能力；3）让学生学会使用主元意识整理数学表达式，提高学生运算求解的数学能力.情境回顾：在江苏高考数学试卷中，经常借以恒成立的数学背景来考察学生对数列基础知识和基本方法的理解与应用.数列中恒成立问题一般分为两类：一类是与等式恒成立相关的问题；另类是与不等式相关的问题。

今天主要研究数列中等式恒成立的问题.这些问题虽然综合性较强，尤其对于我们文科班学生来说有一定的难度，但是我们千万不要慌张，明晰问题所蕴含的数学知识点、及该知识点所对应的基本方法，更要讲究规范性解题.问题中的基本分我们一定要拿足拿实，比如常见数列多想“基本量”就是一种很好的解题策略，这是我们今后解题法宝 .此外，此类数列数学问题还会更多地兼顾考查学生整理运算的数学能力，题目中众多的参量与变量让我们眼花缭乱、伤透脑筋，这也就是我们今天要突破的地方。

现在我们就一起来研究一些江苏数学卷中的数列中等式恒成立问题.典型例题一、利用等式恒成立研究数列性质.例题1.（2005江苏）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且对于任意*N n ∈，B An S n S n n n +=+--+)25()85(1都成立，其中A.B 为常数 ⑴求A 与B 的值；⑵证明：数列{}n a 为等差数列.练习．（2009江西）各项均为正数的数列{}n a ，54,2121==a a ，且对满足m n p q +=+的任意正整数,,,m n p q 都有.(1)(1)(1)(1)p q m n m n p q a a a a a a a a ++=++++求证：数列1{}1n n a a -+为等比数列.总结：1.局部服从整体（特殊与一般）;2围绕目标，从知识的源头寻求解题的切入口.二、利用等式恒成立研究数列中相关参数问题例题2.（2004江苏）设无穷等差数列}{n a 的前n 项和为n S .求所有的无穷等差数列}{n a ，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S=成立.练习. 设无穷等差数列}{n a ，11=a ，前n 项和与其后面n 2项和的比对任意的正整数n 都是一个常数，求出所有的等差数列}{n a 的通项公式.总结：1.常见数列“基本量”——)(,1q d a ；2.数学整理（分清参量与变量），抓好主元.例题3.（2013江苏）设}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和.记cn nS b n n +=2,*N n ∈,其中c 为实数.若}{n b 是等差数列,证明:0=c .练习. 数列}{n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足)1(2n n n T -=，问是否存在常数a ，使关于n 的))(()(221a S a S a S n n n --=-++方程有无穷多个正整数解？如果存在，求出a 的值，如果不存在，请说明理由.总结：注重细节，规范解题课堂总结：1.解题三看(看知识，看方法，看规范)；2.处理数列等式问题要把握好“特殊”法使用的局限性；“一般”法中整理过程要注意参变量的主元整理意识.课后作业1．（2011江苏）．设M 为部分正整数组成的集合，数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，已知对任意的整数k M ∈，当整数n k >时，2()n k n k n k S S S S +-+=+都成立.（（1）设2{1},2M a ==，求5a 的值；（2）设{3,4}M =，求数列{}n a 的通项公式（可不选做）.2.（2009北京）已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与ji a a 两数中至少有一个属于A .证明：11a =，且1211112n n na a a a a a a ---+++=+++.3.已知等差数列}{n a ，公差0≠d ，任意*N n ∈，n n S S 2为非零常数，探究1a 与d 的关系．4.（(2014扬州一模)设正项等差数列}{n a 的前n 项和是n S ，且数列}{n S 也是等差数列，求nn a S 10+的最小值.5.在公差为d （d ≠0）的等差数列｛a n ｝和公比为q 的等比数列｛b n ｝中，若a 1=b 1=1，a 2＝b 2，a 6＝b 3 ，是否存在常数a ，b ，使得对于一切自然数n ，都有a n =log a b n ＋b 成立？若存在，求出a 和b ；若不存在，说明理由.6. (2014苏州零模).设数列}{n a 满足14221+-+=+n n a a n n ，（1）若31=a 时，问是否存在为常数）c b a c bn an n f ,,()(2++=，使数列)}({n f a n +成等比数列；（2）若n a 是一个等差数列}{n b 的前n 项和，求首项1a 的值与数列}{n b 的通项公式.说明：在江苏高考数学试卷中数列中恒成立问题出现的频率比较高，这一类题学生感觉有点陌生，没有函数恒成立问题来的熟悉，这是因为我们平时教学中对此类问题关注不高，没有系统地归纳总结.事实上数列恒成问题就是函数恒成问题，只不过是定义在正整数集上的，其间糅合了数列的基础知识，这也是高考侧重考查的地方，恒成立只是问题的背景，其核心是考查学生对数列基础知识和基本方法的理解和应用，尤其是常见数列“基本量”的思想，以及基本公式能否快速正确的选择，特殊与一般的辩证地运用.另外，高考也借此侧重考查学生数学整理运算的能力，能否从繁杂的数学表达式中看到有用的结构和规律，多元整理运算的主元意识能否自觉运用，这可能也是学生痛心之处，需要我们多加关注，帮助学生在此有所突破.这一堂课主要讲解数列中等式恒成立的两个方面的：利用数列等式恒成研究数列的性质；利用数列等式恒成立研究与数列相关的参数.其后一节课我们将准备研究数列中不等式恒成立求参量的范围问题，其间涉及到求与数列相关的最值问题，适当与函数最值的求法进行比较.以下是下一节课可能需要关注的两个方面和选编的几个问题：一、利用函数最值思想1.已知数列}{n a 的通项公式132236--=n n a n ，对任意*,N m n ∈，λ<-m n a a 恒成立，求实数λ的范围. 变1：已知数列}{n a 的通项公式k n n a n --=219，且9a a n ≤，求k 的范围.变2：已知数列}{n a 的通项公式n n n a )109)(12(-=，且λ≤n a ，求λ的范围。

2020届一轮复习人教B版欲证不等恒成立，目标调整依形式学案

【题型综述】利用导数解决不等式恒成立问题的策略：准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.【典例指引】例1．已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；（Ⅱ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞，2)(-≥bx x f 恒成立，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）当20e y x <<<且e x ≠时，试比较xyx y ln 1ln 1--与的大小．令)1ln()(+=x e x g x，则只要证明)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，又∵)1(ln 11)1ln()(2+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+='x x x e x g x ，显然函数11)1ln()(+-+=x x x h 在),1(+∞-e 上单调递增． ∴011)(>->ex h ，即0)(>'x g ， ∴)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，即)1ln()1ln(+>+y e x e yx ，∴当1->>e y x 时，有)1ln()1ln(++>-y x eyx ．例2．已知函数()21(0)2f x ax x c a =++≠.若函数()f x 满足下列条件： ①()10f -=；②对一切实数x ，不等式()21122f x x ≤+恒成立.(Ⅰ)求函数()f x 的表达式；(Ⅱ)若21f t at ≤-+2（x ）对[]1,1x ∀∈-，[]1,1a ∀∈-恒成立，求实数t 的取值范围；(Ⅲ)求证：()()()*1112()122nn N f f f n n ++⋅⋅⋅+>∈+.(Ⅲ)证明：因为()2221(1)44n n n f n +++==，所以()214(1)f n n =+ 要证不等式()()()*1112()122nn N f f f n n ++⋅⋅⋅+>∈+成立，即证22211123(1)24nn n +++>++. 因为21111(1)(1)(2)12n n n n n >=-+++++， & 所以22211111111123(1)233412n n n +++>-+-++-+++112224nn n =-=++.所以()()()*1112()122n n N f f f n n ++⋅⋅⋅+>∈+成立例3．已知函数()()21ln 2f x x x x ax a R =--∈，在定义域内有两个不同的极值点1212,().x x x x < （I ）求a 的取值范围；（II ）求证：122.x x e +>【答案】(1) 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭;(2)详见解析. &【思路引导】(1) 函数()()21ln 2f xx x x ax a R =--∈，在定义域内有两个不同的极值点1212,()x x x x <，令()()ln ,g x f x x ax '==-即()()12g x 00,x ,x ,∞=+在上有两个不同根对()g x 求导，按照a 0≤和a 0>分类判断单调性及极限，求出函数的极值，确定a 的范围;(2)证明122x x e +>，即证122x x a+>，()1121212121222121x x 2x x lnx lnx {a x x (x x 0)x x x x lnx lnx ln a ln a =--∴=∴+>>>=--即证，()212121212x x lnx lnx (x x 0)x x -->>>+即证，构造函数()()2x 1h x lnx (x 1),x 1-=->+求导判断单调性求出函数的最值，即可证明不等式成立.（II ）由题意及（I ）可知，即证122x x ,a+>()()112121212122212121212121x x 2x x lnx lnx {x x (x x 0),x x x x lnx lnx 2x x x x (x x 0)x x ln a a ln a ln ln =--∴=∴+>>>=---->>>+即证即证()()()()()()()()()()()()2222x 1x 114(1),h 0,x 1x x 1x x 12x 12x 11,10,(1),x 1x 1h x lnx x x h x lnx h x h lnx x --=->=-=>+++--∴=-+∞∴>=∴>>++'设则在上单增21x x 1,.x =>令则原不等式成立例4．已知函数()22ln ax bf x x x-=-的图象在1x =处的切线过点()0,22a -， ,R ab ∈.（1）若85a b +=，求函数()f x 的极值点；（2）设()1212,x x x x ≠是函数()f x 的两个极值点，若111ex <<，证明： ()()211f x f x -<.（提示2e 7.40≈）【思路引导】（1）求导()222ax x bf x x-+'=，则()12f a b '=+-.又()1f a b =-，曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,22a -利用斜率相等()22210a b a a b ---=+--，可得a b =，又85a b +=，可得45a b ==，则()22520f x x x =-+='，可得函数()f x 的极值点（2）由题12,x x 是方程()2220ax x a f x x '-+==的两个根，则121x x =， 12121221x a x x x ==++，由111e x <<，可得2111x x =>， 0a >，∴()1f x 是函数()f x 的极大值， ()2f x 是函数()f x 的极小值，∴要证()()211f x f x -<，只需()()121f x f x -<，计算整理可得()()12f x f x -= 221121114ln 12x x x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，令21t x =，则211e t <<，设()11ln 12t h t t t -=-+，利用导数讨论函数()h t 的性质即可得证。

2020届高三数学一轮复习第四讲数形结合思想

第四讲数形结合思想一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1， x ≤0，x 12， x >0.若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：方法一：因为f (x 0)>1，当x ≤0时，2－x 0－1>1,2－x 0>2，－ x 0>1，∴x 0<－1；当x 0>0时，x 012>1，∴x 0>1.综上，x 0的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．方法二：首先画出函数y ＝f (x )与y ＝1的图象(如图)，解方程f (x )＝1，得x ＝－1，或x ＝1.由图中易得f (x 0)>1时，所对应x 0的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析： f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＝x ＋22－4，x ≥0，4x －x 2＝－x －22＋4，x <0，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a <1. 答案：C3．方程sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝14x 的实数解的个数是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．以上均不对解析：分别作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4和y ＝14x 的图象如图：由图象知方程的实数解有3个．答案：B4．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3,4]时，f (x )＝x －2，则( )A ．f (sin 12)<f (cos 12)B ．f (sin π3)>f (cos π3)C ．f (sin 1)<f (cos 1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32解析：由f (x )＝f (x ＋2)知T ＝2为f (x )的一个周期，设x ∈[－1,0]，知x ＋4∈[3,4]，f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4－2＝x ＋2，画出函数f (x )的图象，如图所示：sin 12<cos 12⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12；sin π3>cos π3⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3； sin 1>cos 1⇒f (sin 1)<f (cos 1)； sin 32>cos 32⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32.答案：C5．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是 ( )A ．1B ．2 C. 2 D.22解析：因数思形，以形助数，从向量的几何意义上来寻求问题的解决途径， ∵(a －c )·(b －c )＝0，∴(a －c )⊥(b －c )．如上图所示，AC ⊥BC ，又已知OA ⊥OB ，∴O ，A ，C ，B 四点共圆，当且仅当OC 为圆的直径时，|c |最大，且最大值为 2. 答案：C 二、填空题 6．函数f (θ)＝sin θ2＋cos θ的最大值为________．解析：sin θ2＋cos θ可以与两点连线的斜率联系起来，它实际上是点P (cos θ，sin θ)与点A (－2，0)连线的斜率，而点P (cos θ，sin θ)在单位圆上移动，问题变为：求单位圆上的点与A (－2，0)连线斜率的最大值．如右图，显然，当P 点移动到B 点(此时，AB 与圆相切)时，AP 的斜率最大，最大值为tan ∠BAO ＝|OB ||AB |＝1.答案：17．y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6，x ≥－2－6－3x ，x <－2，若不等式f (x )≥2x －m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：在平面直角坐标系中作出函数y ＝2x －m 及y ＝f (x )的图象(如图)，由于不等式f (x )≥2x －m 恒成立，所以函数y ＝2x －m 的图象应总在函数y ＝f (x )的图象的下方，因此，当x ＝－2时，y ＝－4－m ≤0，所以m ≥－4, 所以m 的取值范围是[－4，＋∞)．答案：[－4，＋∞) 三、解答题8．不等式x 2＋|2x －4|≥p 对所有x 都成立，求实数p 的最大值．解：构造函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－x 22＋p2，解不等式f (x )≥g (x )，即确定使函数y ＝f (x )的图象在函数y ＝g (x )“上方”的点的横坐标x 的取值范围，而本题是已知这个范围对一切x 成立，求p 的最大值．如图，y ＝－x 22＋p 2的图象可以由y ＝－x 22的图象的顶点在y 轴上下移动而得，满足题目条件的解应为y ＝|x －2|的图象在y ＝－x 22＋p2的图象上方的极端情况．⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 22＋p 2，y ＝|x －2|x <2，只有一解．∴－x 22＋p2＝2－x ，即x 2－2x －(p －4)＝0，Δ＝4＋4(p －4)＝0，p ＝3.即p 的最大值为3.9．已知A (1,1)为椭圆x 29＋y 25＝1内一点，F 1为椭圆左焦点，p 为椭圆上一动点，求|PF 1|＋|PA |的最大值和最小值．解：由x 29＋y 25＝1可知a ＝3，b ＝5，c ＝2，左焦点F 1(－2,0)，右焦点F 2(2,0)．由椭圆定义，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝6－|PF 2|，∴|PF 1|＋|PA |＝6－|PF 2|＋|PA |＝6＋|PA |－|PF 2|.如图，由||PA |－|PF 2||≤|AF 2|＝－2－12＋0－12＝2，知－2≤|PA |－|PF 2|≤ 2.当P 在AF 2的延长线上的P 2处时，取右“＝”；当P 在AF 2的反向延长线的P 1处时，取左“＝”，即|PA |－|PF 2|的最大、最小值分别为2，－ 2. 于是|PF 1|＋|PA |的最大值是6＋2，最小值是6－ 2.10．已知实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤4x ≥0，且z ＝y ＋3x ＋1，求z 的取值范围．解：由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆域x 2＋y 2＝4的右半域(含边界)，z ＝y ＋3x ＋1可改写为y ＋3＝z (x ＋1)，把z 看作参数，则此方程表示过定点P (－1，－3)，斜率为z 的直线系．那么所求问题的几何意义是：求过半圆域x 2＋y 2≤4(x ≥0)内或边界上任一点与点P (－1，－3)的直线斜率的最大、最小值．由图可知，过点P 和点A (0, 2)的直线斜率最大，z max ＝2－－30－－1＝5.求z 的最小值的方法一：过点P 向半圆作切线，切线的斜率最小．设切点为B (a ，b )，则过B 点的切线方程为ax ＋by ＝4.又B 在半圆周上，P 在切线上，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4－a －3b ＝4，(又a >0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2＋365b ＝－6－65因此z min ＝26－33.求z 的最小值的方法二：z ＝y ＋3x ＋1变形为zx －y ＋z －3＝0. 由直线PB 与半圆相切，得|z －3|z 2＋1＝2，解得z ＝－3±263，又z >0，∴z min ＝－3＋263.综上可知z 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤26－33，5.。

高中数学一轮复习见解通过数形结合练习提高解题能力

94神州教育高中数学一轮复习见解——通过数形结合练习提高解题能力陈志城福建永春第一中学摘要：在高中数学第一轮复习当中，其不仅是帮助学生回顾以往所学习过的知识，而且更为重要的是扎实基础，提高学生的解题能力。

经过第一轮的复习发现，在高中三年中所学习数学知识和遇到的数学问题，其中大多数都可以利用数学结合的思想解决，因此在高中数学复习过程中可以通过数形结合练习来提高学生自身的数学问题解题能力。

本文就针对通过高中数学一轮复习以后的见解，对通过数形结合练习提高解题能力进行探讨，以此来了解如何通过数学结合来提高学生解题能力。

关键词：高中数学；数形结合；解题能力前言：数形结合是高中数学解题过程中非常重要的思想，但是在学生学习过程中有些学生却没有灵活应用该思想进行问题的解决，所以在复习过程中为了提高学生自身的解题能力，提高学生数学成绩，应当对数形结合这一方法进行强化练习。

在进行强化练习的过程中需要先转变教学理念和学习方式，然后通过强化练习培养学生数形结合意识、提高数形相互表征观察力，从而促使学生更好的解决数学问题。

一、转变教学理念与学习方式要想在高中数学复习中使用数形结合来解决数学问题，应当更改传统教学理念与学习方式。

根据新课标的要求，数形结合在解题教学上不能够只看重结果、忽略过程，而是重视数形结合本身所具有重要的教育价值，促使数形结合在学生后续的数学学习当中展现自己所具有的生命力，从而提高学生自身的解题能力。

新课标中倡导学生在学习上要主动，并敢于探索学习方式，但是要想实现这一学习方式，则需要从教学中进行转变，让学生能够有效找出“数”和“形”两者之间转化的结合点[1]。

例如，利用计算机等多媒体本身所具有的优势，自己动手绘制函数图像，然后让学生通过观察找到其本身所具有的重要特点，然后再和其他学生进行研究和交流，找出函数图像所有的特点，再函数代数与图像一一对应，如此便能够有效找到“数”和“形”之间的结合点。

利用数形结合的方法不仅能够有效降低数学问题的难度，而且还能够让学生主动探索和学习，通过分析问题、找出问题特点，将“数”和“形”完美的结合在一起，利用“形”解决“数”的问题，这在一定程度上便能够获得更为理想的解题效果，进而提高学生自身在数学问题上的解题能力。

高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题17 恒成立问题——数形结合法-人教版高三全册数学试题

专题17 恒成立问题——数形结合法【热点聚焦与扩展】不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.1、函数的不等关系与图象特征：（1）若x D ∀∈，均有()()()f x g x f x <⇔的图象始终在()g x 的下方（2）若x D ∀∈，均有()()()f x g x f x >⇔的图象始终在()g x 的上方2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数3、要了解所求参数在图象中扮演的角色，如斜率，截距等4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图（2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义（3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征【经典例题】例1．【2018届浙江省金华十校4月模拟】若对任意的，存在实数，使恒成立，则实数的最大值为__________．【答案】9 【解析】若对任意的，恒成立，可得：恒成立，令，，原问题等价于：，结合对勾函数的性质分类讨论：(1)当时，，，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；(2)当时，，，原问题等价于存在实数满足：，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；当时，，原问题等价于存在实数满足：，故，解得：，则此时；综上可得：实数的最大值为.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.例2.【2018届一轮训练】已知log12 (x＋y＋4)<log12(3x＋y－2)，若x－y≤λ恒成立，则λ的取值范围是______________．【答案】[10，＋∞)点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.例3．已知函数在上不单调，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】已知函数定义域为，，，令，图象如图，∵函数在上不单调，∴区间在零点1或3的两侧，或，解得或.即实数的取值范围是.点睛：利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想例4．【2018届二轮训练】对于0≤m≤4的任意m ，不等式x 2＋mx>4x ＋m －3恒成立，则x 的取值范围是________________．【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】不等式可化为m(x －1)＋x 2－4x ＋3>0在0≤m≤4时恒成立．令f(m)＝m(x －1)＋x 2－4x ＋3.结合二次函数的图象得()()00{ 40f f >>⇒22430{ 10x x x >>－＋－ ⇒13{11x x x x -或或即x<－1或x>3.故答案为：(－∞，－1)∪(3，＋∞)例5.已知不等式()21log a x x -<在()1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是_________ 【答案】12a <≤可得：1log 22a a ≤⇒≤，综上可得：12a <≤.【名师点睛】（1）通过常系数函数图象和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围.（2）学会观察图象时要抓住图象特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的2x =）. （3）处理好边界值是否能够取到的问题.例6.若不等式log sin 2(0,1)a x x a a >>≠对于任意的0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________【答案】,14a π⎛⎫∈⎪⎝⎭【解析】本题选择数形结合，可先作出sin 2y x =在0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的图象，a 扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a <<，观察图象进一步可得只需4x π=时，log sin 2a x x ≥，即log sin 21444aa πππ>⋅=⇒>，所以,14a π⎛⎫∈⎪⎝⎭例7. 已知函数()21f x x mx =+-，若对任意的[],1x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是_____________【答案】2,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【名师点睛】本题也可以用最值法求解：若()0f x <，则()max 0f x <，而()f x 是开口向上的抛物线，最大值只能在边界处产生，所以()()010f m f m <⎧⎪⎨+<⎪⎩，再解出m 的范围即可.例8.已知函数()22,1{ log ,1x x f x x x <=≥若直线y m =与函数()f x 的图象只有一个交点,则实数m 的取值范围是________.m+1m【答案】0m =或[2,m ∈+∞）【解析】作出函数f(x)的图象如图,例9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2221232f x x a x a a =-+-- ，若()(),1x R f x f x ∀∈-≤，则实数a 的取值范围是_____________【答案】6666⎡-⎢⎣⎦【解析】()f x 是奇函数且在0x >时是分段函数（以22,2a a 为界），且形式比较复杂，恒成立的不等式()()1f x f x -≤较难转化为具体的不等式，所以不优先考虑参变分离或是最值法.从数形结合的角度来看，一方面()f x 的图象比较容易作出，另一方面()1f x -可看作是()f x 的图象向右平移一个单位所得，相当于也有具体的图象.所以考虑利用图象寻找a 满足的条件.先将()f x 写为分段函数形式：()2222223,2,2,0x a x a f x a a x a x x a ⎧-≥⎪=-≤<⎨⎪-<<⎩，作出正半轴图象后再根据奇函数特点，关于原点对称作出x 负半轴图象.()()1f x f x -≤恒成立，意味着()f x 的图象向右平移一个单位后，其图象恒在()f x 的下方.通过观察可得在平移一个单位至少要平移26a 个长度，所以可得：2666166a a ≤⇒-≤≤ 答案：66,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 例10【2018届河南省高三4月考试】已知函数.（1）若在处取得极值，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）上恒成立，时再分两种情况讨论可得时，在上恒成立，当时，根据二次函数的性质可得不满足题意，进而可得结果. 试题解析：（1），∵在处取到极值， ∴，即，∴.经检验，时，在处取到极小值. （2），令，①当时，，在上单调递减.又∵，∴时，，不满足在上恒成立.时，，单调递增，∴.又∵，∴，故不满足题意.③当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，，∴，在上单调递减.又∵，∴时，，故不满足题意.综上所述，.【精选精练】1．【2018届东莞市高三毕业班第二次综合考试】已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围为( )A. B.C. D.【答案】C2.若函数有极大值点和极小值点，则导函数的大致图象可能为（）A. B.C. D.【答案】C则导函数在区间上为正数，在区间上为负数，在区间上为正数；观察所给的函数图象可知，只有C 选项符合题意. 本题选择C 选项. 3．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】二次函数的对称轴为；∵该函数在上是增函数；∴，∴，∴实数的取值范围是，故选B.4. 若||2p ≤,不等式212x px p x ++>+恒成立,则x 的取值范围是______【答案】1132x +<-或1132x -+> 【解析】思路：本题中已知p 的范围求x 的范围，故构造函数时可看作关于p 的函数，恒成立不等式变形为 ()2210x p x x -+-+>,设()()()22122f x x p x x p =-+-+-≤≤,即关于p 的一次函数，由图象可得：无论直线方向如何，若要()0f x >，只需在端点处函数值均大于0即可，即()()2020f f >⎧⎪⎨->⎪⎩,解得：1132x +<-或1132x -+> 答案：113x +<113x -+> 【名师点睛】（1）对于不等式，每个字母的地位平等，在构造函数时哪个字母的范围已知，则以该字母作为自变量构造函数.（2）线段的图象特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧.（3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与端点同侧.5.设a R ∈，若0x >时均有()21110a x x ax ⎡⎤----≥⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则a =_________【答案】32a =32a =答案：32a =6.【2018届二轮训练】当实数x ，y 满足240{10 1x y x y y +-≤--≤≥时，ax ＋y≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】要使平面区域在直线4y ax =-+的下方，则只要B 在直线上或直线下方即可，即214a +≤，得302a <≤，综上32a ≤，所以实数a 的取值范围是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.7．【2018届二轮训练】已知函数f 1(x)＝|x －1|，f 2(x)＝13x ＋1，g(x)＝()()122f x f x +＋()()122f x f x -，若a ，b∈[－1,5]，且当x 1，x 2∈[a，b]时，()()1212g x g x x x --＞0恒成立，则b －a 的最大值为________．【答案】5 【解析】[]15a b ∈-，，，且[]()()1212120g x g x x x a b a b x x -∈∴-，，，＜，＞恒成立， g x ∴（）在区间[]a b ，上单调第增，∵函数()()()()121212111322f x f x f x f x f x x f x x g x -+=-=+=+（），（），（），()][()[]121035{03f x x g x f x x ⎡⎤∈-⋃⎣⎦∴=∈，，，（），，当[10x ∈-，）时， 1g x x =-（），单调减；当[]10313x g x x ∈=+，时，（），单调增；当[]35x ∈，时， 1g x x =-（），单调递增． 05a b b a ∴==-，．的最大值为505-=．故答案为5.8．【2018届吉林省长春市高三监测（三）】已知函数，若，则实数的取值范围是___________. 【答案】9．【2018届吉林省长春市高三监测（三）】已知函数，若，则实数的取值范围是___________. 【答案】【解析】当，当，故.故答案为：10．当1x >时，不等式11x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值是__________．【答案】3【解析】令()1(1)1f x x x x =+>-，则由题意可知()min f x a ≥， ∵1x >， ∴()()11111113111f x x x x x x x =+=-++≥-⋅=---，当且仅当111x x -=-，即2x =时，等号成立， ∴()min 3f x =，从而3a ≤．故实数a 的最大值是3．故答案为：3. 另法：()1111f x x x =-++-的图象即函数()1f x x x=+的图象向右、向上均平移1单位得到，结合图象可得解.11．【2018届宁夏银川高三4月模拟】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出以下命题：①当时，；②函数有个零点；③若关于的方程有解，则实数的取值范围是；④对恒成立，其中，正确命题的序号是__________．【答案】①④若方程有解，则，且对恒成立，故③错误，④正确.故答案为①④.12．函数的定义域为（为实数）.（1）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；（2）若在定义域上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用单调性的定义，根据函数在定义域上是减函数，可得不等式恒成立，从而可求的取值范围；（2）利用分离参数思想原题意等价于恒成立，∵，∴函数在上单调减，∴时，函数取得最小值，即.。

2020届高考数学一轮复习人教B版三角恒等变换与解三角形学案Word版1

[核心提炼]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. (1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝__________．(2)若tan(α－π4)＝16，则tan α＝________．(3)(2019·洛阳第一次统考)若sin(π3－α)＝14，则cos(π3＋2α)＝________．【答案】 (1)31010 (2)75 (3)－78【解析】 (1)因为α∈(0，π2)，tan α＝2，所以sin α＝255，cos α＝55，所以cos(α－π4)＝cosαcos π4＋sin αsin π4＝22×(255＋55)＝31010.(2)因为tan(α－π4)＝16，所以tan α＝tan[(α－π4)＋π4]＝tan （α－π4）＋tan π41－tan （α－π4）tan π4＝16＋11－16×1＝75.(3)依题意得cos(π3＋2α)＝－cos[π－(π3＋2α)]＝－cos [2(π3－α)]＝2sin 2(π3－α)－1＝2×(14)2－1＝－78.三角恒等变换的“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．【对点训练】1．计算cos 10°－3cos （－100°）1－sin 10°＝________(用数字作答)．【答案】： 2 【解析】：cos 10°－3cos （－100°）1－sin 10°＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝cos 10°＋3sin 10°2sin 40°＝2sin （10°＋30°）2sin 40°＝ 2.2．(2019·合肥模拟)若α∈(0，π2)，cos(π4－α)＝22cos 2α，则sin 2α＝________．【答案】：1516正、余弦定理在解三角形中的应用考向1 求解三角形中的角 1．正弦定理及其变形在△ABC 中，asin A＝bsin B＝csin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a 2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等．(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】：(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.解三角形的创新交汇问题[核心提炼]以三角恒等变换、正、余弦定理为解题工具，常与三角函数、向量、不等式等交汇命题，且三种题型均可能出现．(2019洛阳第一次统考)如图，平面四边形ABDC 中，∠CAD ＝∠BAD ＝30°. (1)若∠ABC ＝75°，AB ＝10，且AC ∥BD ，求CD 的长； (2)若BC ＝10，求AC ＋AB 的取值范围．【解析】 (1)由已知，易得∠ACB ＝45°，在△ABC 中，10sin 45°＝CBsin 60°⇒BC ＝5 6.因为AC ∥BD ，所以∠ADB ＝∠CAD ＝30°，∠CBD ＝∠ACB ＝45°，在△ABD 中，∠ADB ＝30°＝∠BAD ，所以DB ＝AB ＝10.在△BCD 中，CD ＝CB 2＋DB 2－2CB ·DB cos 45°＝510－4 3. (2)AC ＋AB >BC ＝10，cos 60°＝AB 2＋AC 2－1002AB ·AC⇒(AB ＋AC )2－100＝3AB ·AC ，而AB ·AC ≤(AB ＋AC2)2，所以（AB ＋AC ）2－1003≤(AB ＋AC 2)2，解得AB ＋AC ≤20，故AB ＋AC 的取值范围为(10，20]．与解三角形有关的交汇问题的关注点(1)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化．(2)结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式．【对点训练】(2017·高考山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a .【解析】：因为AB →·AC →＝－6，所以bc cos A ＝－6，又S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6，因此tan A ＝－1，又0<A <π，所以A ＝3π4.又b ＝3，所以c ＝2 2.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝29，所以a ＝29.正、余弦定理的实际应用[核心提炼]解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．(2018·惠州第三次调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________．【答案】3－1【解析】由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin 30°＝DB sin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，又25sin 45°＝252（3－1）sin （90°＋θ），即25sin 45°＝252（3－1）cos θ，得到cos θ＝3－1.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A 、B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a 、b .(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a 、b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a 、b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a 、b 、c ，可应用余弦定理求A 、B 、C . 【对点训练】(2019·福州综合质量检测)如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236. 【答案】：22.6课时作业 [基础达标]1．(2019·陕西质量检测(一))已知角α的终边过点P (4，－3)，则cos(α＋π4)的值为( )A ．－7210B ．7210C ．－210D.210【答案】B【解析】.由于角α的终边过点P (4，－3)，则cos α＝442＋（－3）2＝45，sin α＝－342＋（－3）2＝－35，故cos(α＋π4)＝cos αcos π4－sin αsin π4，即cos(α＋π4)＝45×22－(－35)×22＝7210，选B.2．(2019·广西三市第一次联考)已知x ∈(0，π)，且cos(2x －π2)＝sin 2x ，则tan(x －π4)等于( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3【答案】A【解析】：选A.由cos(2x －π2)＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，因为x ∈(0，π)，所以tan x ＝2，所以tan(x －π4)＝tan x －11＋tan x ＝13. 3．(2019·张掖第一次诊断考试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 为( )A.74 B ．34 C.73D.13【答案】A【解析】.由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ，得b ＝2a ，因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，所以sin B ＝1－（34）2＝74.4．(2019·云南第一次统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2B＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积 S △ABC ＝( ) A.32 B ．3 C. 6 D ．6【答案】B【解析】：选B.由sin 2B ＝2sin A sin C 及正弦定理，得b 2＝2ac ①，又B ＝π2，所以a 2＋c 2＝b 2②，联立①②解得a ＝c ＝6，所以S △ABC ＝12×6×6＝3，故选B.5．(2018·长沙模拟)△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．6sin(A ＋π3)＋3B ．6sin(A ＋π6)＋3C ．23sin(A ＋π3)＋3D ．23sin(A ＋π6)＋3【答案】C6．设△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2sin C ＝4sin A ，(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)，则△ABC 的面积为________．【答案】：32【解析：由a 2sin C ＝4sin A 得ac ＝4，由(ca ＋cb )(sin A －sin B )＝sin C (27－c 2)得(a ＋b )(a －b )＝27－c 2，即a 2＋c 2－b 2＝27，所以cos B ＝74，则sin B ＝34，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝32. 7．(2019·洛阳第一次统考)在△ABC 中，B ＝30°，AC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，若∠ACD 为锐角，△ACD 的面积为4，则BC ＝________．【答案】：4【解析】：依题意得S △ACD ＝12CD ·AC ·sin ∠ACD ＝25·sin ∠ACD ＝4，则sin ∠ACD ＝25.又∠ACD 是锐角，因此cos ∠ACD ＝1－sin 2∠ACD ＝15.在△ACD 中，AD ＝CD 2＋AC 2－2CD ·AC ·cos ∠ACD ＝4，ADsin ∠ACD ＝CDsin A，sin A ＝CD ·sin ∠ACD AD ＝15.在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，BC ＝AC ·sin Asin B ＝4.8．(2019·宝鸡质量检测(一))如图，在Rt △ABC 中，两条直角边分别为AB ，BC ，且AB ＝23，BC ＝2，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.若∠APB ＝150°，则tan ∠PBA ＝________．【答案】：34【解析】：设∠PBA ＝α，在Rt △BCP 中，PB ＝2cos(π2－α)＝2sin α，在△PAB 中，AB sin ∠APB＝PBsin ∠PAB ，即23sin 150°＝2sin αsin （30°－α），所以4sin α＝3cos α，所以tan α＝34.9．(2019·西安八校联考)已知△ABC 内接于单位圆，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos A ＝c cosB ＋b cosC .(1)求cos A 的值；(2)若b 2＋c 2＝4，求△ABC 的面积．【解析】：(1)因为2a cos A ＝c cos B ＋b cos C ，所以2sin A ·cos A ＝sin C cos B ＋sin B cos C ，即2sin A ·cos A ＝sin(B ＋C )＝sin A . 又0＜A ＜π，所以sin A ≠0. 所以2cos A ＝1，cos A ＝12.(2)由(1)知cos A ＝12，所以sin A ＝32. 因为asin A ＝2，所以a ＝2sin A ＝ 3.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得bc ＝b 2＋c 2－a 2＝4－3＝1，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×32＝34.10．(2019·陕西质量检测(一))在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知2a cos 2C2＋2c cos 2 A 2＝52b . (1)求证：2(a ＋c )＝3b ； (2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .【解析】：(1)证明：由已知得，a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b .在△ABC 中，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，则a cos C ＋c cos A ＝b . 所以a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)因为cos B ＝14，所以sin B ＝154.因为S ＝12ac sin B ＝158ac ＝15，所以ac ＝8.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，2(a ＋c )＝3b ，所以b 2＝9b 24－16×(1＋14)．所以b ＝4.[能力提升]1．(2019·云南第一次统考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝b cos C ＋c sin B ，且△ABC 的面积为1＋2，则b 的最小值为( ) A ．2 B ．3 C. 2 D. 3【答案】A【解析】由a ＝b cos C ＋c sin B 及正弦定理，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即sin(B ＋C )＝sin B cosC ＋sin C sin B ，得sin C cos B ＝sin C sin B ，又sin C ≠0，所以tan B ＝1.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由S △ABC ＝12ac sin B ＝1＋2，得ac ＝22＋4.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ≥2ac －2ac ＝(2－2)(4＋22)＝4，当且仅当a ＝c 时等号成立，所以b ≥2，b 的最小值为2，故选A.2．(2017·高考山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sinB (1＋2cosC )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A【答案】A【解析】由题意可知sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )，即2sin B cos C ＝sin A cos C ，又cosC ≠0，故2sin B ＝sin A ，由正弦定理可知a ＝2b .3．(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x )． (1)求f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，S △ABC ＝334，c ＝7，求△ABC 的周长．【解析】：(1)f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋32sin 2x ＝12＋sin(2x＋π6)．当sin(2x ＋π6)＝－1时，f (x )取得最小值－12.(2)f (C )＝12＋sin(2C ＋π6)＝1，所以sin(2C ＋π6)＝12，因为C ∈(0，π)，2C ＋π6∈(π6，13π6)，所以C ＝π3.S △ABC ＝12ab sin C ＝334，所以ab ＝3，又a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，所以(a ＋b )2＝16，即a ＋b ＝4，所以a ＋b ＋c ＝4＋7，故△ABC 的周长为4＋7.4．(2019·湖南五市十校联考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD ＝1292，求△ABC 的面积．【解析】：(1)a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0，由正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin B ＋sin C ，即sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin(A ＋C )＋sin C ，又sin C ≠0，所以化简得3sin A －cos A ＝1，所以sin(A －30°)＝12.在△ABC 中，0°<A <180°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°.。

高三数学一轮复习7---恒成立存在性问题.doc

高三数学一轮复习7---恒成立、存在性问题班级 _______ 姓名 _________ 学号1.已知函数/(x) = alnx + x 2 (a 为常数),若存在xe[l,e]，使/(x) <(a + 2)x 成立,则实数。

的取值范围是【分析】本题中，参数a 可以比较方便的用含x 的函数来表示，因此想到分离参数，转化为存在性问题，进而转化为最值问题.解法一：存在 xe [\,e]» 使 a\nx + x 2< (^ + 2)x ，即存在 xe [l,e]» 使 a(x -\nx) < x 2 -2x令r(x) = x-lnx 底[1,可，则厂(兀)=1 一丄》0，故心)在xe[l,e]单调递增，故心)> t(J) = 1 > 0，即 x-\nx> 0 在 XG [l,e]恒成立.r 2 -2x故存在使a>-——•x-\nxX 2 _2r令 /?(%)二: --- XG [1,幺]，即 a > /?(x)min ，下求 /z(x)在 xw [l.e]的最小值.x-lnx(x - In x)2令(p(x) = x+ 2-2\nx xw [1,幺]，2则(p\x) = \— — = 0，x = 2，x0(x)>O,x>2；(p\x) < 0,x< 2 故x = 2是函数°(x)的极小ffl 点，也是最小值点. ・・・ %(兀)間=仅2) =4-21n2>0,即x + 2-21nx>0在xe[l,e]恒成立• 故炉(兀)» 0在xw [l,e]恒成立••: h(x)在xw [1,幺]单调递增. ◎ min=/z(l) = —1• • a n —1【解题回顾】在木题求解中，有两个难点：(1)需意识到t(x) = x-\nx> 0在xe[\y e]恒成立；(2)在对触劝的讨论中，需对其部分分子^(x) = % + 2-21nx 进行在区间[1,刃的值域分析，得出 <p(x) = x+2 —21nx>0^xe[l,e]恒成立.进而得出 h\x) >0在兀w [l,e]恒成立.纵观本题，可以分离参数，转化为最值问题.但在对新函数最值的讨论中需要“步步为营、逐个击破”, 学生在求解过程中要思路清晰，以细求准.其实在对吐兀)的讨论中，得出“h\x)>o 在“ [1,可恒成立”这个结论还有一个办法，就是直接对力a) 定号•请看下面的解法：解法二：先按解法一的思路把问题转化为：存在xw[l,w],使_2x. x-\nx令 h(x)-x 2 -2x= -------- XG [1疋]，即a > ，下求/?(x)在XG [1,幺]的最小值. x-lnx(x-l)(x + 2-21nx) _ (x- l)x + 2(x-1)(1 - In x) (x-lnx)2(^-lnx)2xe [l,e]， x(x -1) > 0， 2(x 一 1)(1 -lnx) > 0 故力G) > 0在x G [1,e]恒成立.(下同解法一)…_ (2 — 2)(% - In %) - (x 2 - 2兀)(1 - _(兀 _ i )(兀 + 2 _ 2 In x)(X )= ' • “= —(x-lnx)2—h\x)- (2 兀—2)(兀—In x) — (%2 — 2x)(1—) x【解题回顾】上述解法显然要比“解法一”简单，但学生需在求解过程屮，敏感地意识到兀“1,可这个定义域对函数符号的确定有很大作用.因此想到对/『(兀)的分子各项作合理组合，从构造出使h*(x) > 0的因式组合.以上两种解法可以实施的前提是变量a可以比较方便的“分离”出来，用含兀的函数来表示，且可以确定新函数/z(x)是单调递增的.若变量d无法分离，或新函数加朗的单调性无法确定(加兀)存在极值点, 但又无法求出此极值点)，那“分离参数”这个方法在此就不合适了.为此，本题还提供一种对此类问题的一般性解法.类型二：分类讨论，逐一分析解法三：存在fl,e］，使兀彳-(a + 2)x + alnxS0，令g(兀)=x2 -(a + 2)x + alnx，即0 » g(x)inin，下求g(兀)在xe［1,e］的最小值.gS) = 2_(d + 2) +亠2疋-匕 + 2)兀 +。

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微专题23 恒成立问题——数形结合法
一、基础知识：
1、函数的不等关系与图像特征：
（1）若x D ∀∈，均有()()()f x g x f x <⇔的图像始终在()g x 的下方（2）若x D ∀∈，均有()()()f x g x f x >⇔的图像始终在()g x 的上方
2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数
3、要了解所求参数在图像中扮演的角色，如斜率，截距等
4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图像，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）
5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备
6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图（2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义（3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征二、典型例题：
例1：已知不等式()2
1log a x x -<在()1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是_________ 思路：本题难于进行参变分离，考虑数形结合解决，先作出()2
1y x =-的图像，观察图像可得：若要使不等式成立，则log
a y x =的图像应在
()2
1y x =-的上方，所以应为单增的对数函数，即1a >，
另一方面，观察图像可得：若要保证在()1,2x ∈时不等式成立，只需保证在2x =时，()2
1log a x x -<即可，代入
2x =可得：1log 22a a ≤⇒≤，综上可得：12a <≤
答案：12a <≤
小炼有话说：（1）通过常系数函数图像和恒成立不等式判断出对数函数的单调性，进而缩小了参数讨论的取值范围。

（2）学会观察图像时要抓住图像特征并抓住符合条件的关键点（例如本题中的2x =）（3）处理好边界值是否能够取到的问题
例2：若不等式log sin 2(0,1)a x x a a >>≠对于任意的0,4x π⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
都成立，则实数a 的取值
范围是___________
思路：本题选择数形结合，可先作出sin 2y x =在0,
4x π⎛
⎤
∈ ⎥⎝
⎦
的图像，a 扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a <<，观察图像进一步可得只需4
x π=
时，
log sin 2a x x ≥，即l o g s i n 2144
4
a
a
π
π
π
>⋅=
⇒>，所以
,14a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
答案：,14a π⎛⎫∈
⎪⎝⎭
例3：若不等式21x x c +->对任意x R ∈恒成立，求c 的取值范围
思路：恒成立不等式变形为21x c x ->-，即2y x c =-的图像在1y x =-图像的上方即
可，先作出1y x =-的图像，对于2y x c =-，可看作y x =经过平移得到，而平移的距离与c 的取值有关。

通过观察图像，可得只需21c >，解得：1
2
c > 答案： 12
c >
小炼有话说：在本题中参数c 的作用是决定图像平移变换的程度，要抓住参数在图像中的作用，从而在数形结合中找到关于参数的范围要求
例4：若||2p ≤,不等式2
12x px p x ++>+恒成立,则x 的取值范围是______
思路：本题中已知p 的范围求x 的范围，故构造函数时可看作关于p 的函数，恒成立不等式变形为 ()2
210x p x x -+-+>,设()()()2
2122f x x p x x p =-+-+-≤≤,即关于p
的一次函数，由图像可得：无论直线方向如何，若要()0f x >，只需在端点处函数值均大于
0即可，即
()
()
20
20
f
f
>
⎧⎪
⎨
->
⎪⎩
,解得
：x<
或
x>
答案：
1
2
x
+
<-
或
1
2
x
-+
>
小炼有话说：（1）对于不等式，每个字母的地位平等，在构造函数时哪个字母的范围已知，则以该字母作为自变量构造函数。

（2）线段的图像特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧。

（3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与端点同侧
例5：已知函数()21
f x x mx
=+-，若对任意的[]
,1
x m m
∈+，都有()0
f x<成立，则实数m的取值范围是_____________
思路：恒成立的不等式为210
x mx
+-<，如果进行参变分离，虽可解决问题，但是因为x所在区间含参，m的取值将决定分离时不等号方
向是否改变，需要进行分类讨论，较为麻烦。

换一个角度观察到()
f x是开口向上的抛物线，
若要()0
f x<，只需端点处函数值小于零即可
（无论对称轴是否在区间内），所以只需
()
(
)
2
2
21022
3
1230
2
m
f m m
f m m m
m
⎧
-<<
⎪
⎧=-<
⎪⎪
⇒
⎨⎨
+=+<
⎪⎪
⎩-<<
⎪⎩
，
解得
2
m
⎛⎫
∈-
⎪
⎝⎭
答案：
2
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
小炼有话说：本题也可以用最值法求解：若()0
f x<，则()
max
f x<，而()
f x是开口向
上的抛物线，最大值只能在边界处产生，所以()()0
10
f m f m <⎧⎪⎨
+<⎪⎩，再解出m 的范围即可
例6：已知函数()()
1f x x a x =+，设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若
11,22A ⎡⎤
-⊆⎢⎥⎣⎦
，则实数a 的取值范围是_____________ 思路：首先理解条件11,22A ⎡⎤
-⊆⎢⎥⎣⎦，即11,22x ⎡⎤
∀∈-⎢⎥⎣⎦
时，不等式()()f x a f x +<恒成立，
可判断出函数()f x 为奇函数，故先作出0x >的图像，即2
y ax x =+，参数a 的符号决定开口方向与对称轴。

故分类讨论：当0a >时，2
y ax x =+单调递增，且()f x a +为()f x 向左平移a 个单位，
观察图像可得不存在满足条件的a ，当0a <时，2y ax x =+开口向下，且()f x a +为()f x 向右平移a 个单位，观察可得只需11
,22
x x =
=-，()()f x a f x +<，即可保证11,22x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，()f x a +的图像始终在()f x 的下方。

()()1212f a f x f
a f x ⎧⎛
⎫+< ⎪⎪⎪⎝
⎭∴⎨
⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝
⎭⎩
解得：
0a <<；当0a =时，代入验证不符题意。

答案：
102
a -<< 小炼有话说：（1）注意本题中“恒成立问题”的隐含标志：子集关系（2）注意函数奇偶性对作图的影响
（3）本题中参数a 扮演两个角色：① ()f x 二次项系数——决定抛物线开口，② 决定二次函数对称轴的位置； ③ 图像变换中决定平移的方向与幅度，所以要进行符号的分类讨论。

例7：已知函数()2
12ln 2f x a x ax x ⎛
⎫=-
-+ ⎪⎝
⎭
.当x ∈()1,+∞时，不等式()0f x <恒成立，则实数a 的取值范围是
________。