第1章立体几何初步第2课时圆柱、圆锥、圆台、球同步练习(必修2
高一数学必修2同步训练 1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球一、选择题:1.下列命题中错误的是( )A.圆柱的底面是圆,轴截面为矩形.B.圆柱的任两条母线所在的直线平行.C.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大一个.D.圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线.2.充满气的汽车内胎可由下面哪一个图形绕对称轴旋转生成( )3.图示最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截得的图形可能是( )4.下列命题中的真命题是（）A.以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；D.圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径.5.过球面上两点可以作的大圆个数是（）A．1个 B．1个或无数个 C．2个 D．2个或无数个6.直线绕一条与其有一个交点但不垂直的固定直线转动可以形成( )A.平面B.曲面C.直线D.锥面二、填空题:7．圆柱的底面周长为Q,轴截面面积为P,则圆柱的高为 .8.将一个边长分别是2m和5m、两邻边夹角为60O的平行四边形，绕其5m边上的高所在直线旋转一周形成的几何体是 .9.在半径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为1200,若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为m(精确到0.1m).10.将下列几何体按结构分类填空:集装箱油罐排球羽毛球橄榄球氢原子魔方金字塔;三棱镜滤纸卷成的漏斗量筒量杯十字架.(1)具有棱柱结构特征的有 ; (2)具的棱锥结构特征的有 ;(3)具有圆柱结构特征的有 ; (4)具的圆锥结构特征的有 ;(5)具有棱台结构特征的有 ; (6)具的圆台结构特征的有 ;(7)具有棱台结构特征的有 ; (8)具的圆台结构特征的有 ;(9)其它的有 .二、解答题:11．一个圆锥的母线长为10,底面半径为6,求圆锥的轴截面面积.12.一个圆台的母线长为10,上、下底面的面积分别为4π，64π,求圆台的高.13.如图所示,将阴影部分图形,绕图示直线旋转一周,请说出所得几何体的结构.14.已知圆锥的底面半径为r,高为h,正方体ABCD-A1B I C l D1内接于圆锥,求这个正方体的棱长.15.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是1:4,母线长10cm , 求圆锥的母线长.拓展创新——练能力16.一个圆台的上底面半径、母线长、下底面半径的比为1：2:2,求母线与下底面的夹角.17.已知圆台上、下底面半径的比是1:4,母线长为9cm,母线与轴的夹角为30O,求圆台中截面(过高的中点且平行底面的截面)的面积.18.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面半径的比是λ,截去圆锥的母线长是l O,求圆台的母线长.参考答案:1. 若上、下底面上的两点，不是同一母线上的两点，则两点的连线就不是母线.故选D.2. 由内胎的结构知，选C3. 截面(2)(3)的外轮廓是整个的矩形，所以是错的.故排除（A ）(B);截面（4）圆锥的轮廓是抛物线而不是三角形，所以是错的.故选D. 4.C 5. 过球面上两点可以作的大圆个数是1个或无数个,故应选B. 6. 锥面，故选D.7. 设底面半径为r,高为h,则2πr=Q,2r ·h=p.∴h=Q p π. 8. 由旋转体的定义得几何体是圆台. 9.∴O ≈17.3.10. ⑴11.l r 高h =22610-=8. ∴S 轴截面=21×12×8＝48 ∴圆锥轴截面面积为48 .12. ∵上、下底面的面积分别为4π，64π,∴上、下底面的半径分别为2，8.∵圆台的母线长为10, ∴圆台的高为22)28(10--=6 . 13. 所得几何体是圆锥挖去一个球的简单几何体.14. 如图所示, 过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示，设圆锥内接正方体的棱长为x ,则在轴截面中,正方体的对角面A 1ACC 1的一组邻边的长分别为x 和2x .∵11VAC ∆∽VMN ∆ , ∴12h x x r h h-==-, 22rh rx =-, ∴x = . 15. 设圆锥的母线长为l ,圆台上、下底半径为,r R ,∵10l l l R -=, ∴1014l l -=, ∴40()3l cm =,即圆锥的母线长为40()3cm . 16. ∵圆台的上底面半径、母线长、下底面半径的比为1：2:2∴设圆台的上底面半径、母线长、下底面半径分别为x,2x,2x. 母线与下底面的夹角为θ. ∴cos θ=2122=-x x x , ∴θ=3π 17. 如图所示,设圆台上、下底面半径分别为,4x x ,则半径差为3x ,∵母线与轴的夹角为300, 圆台的母线长为9cm ,∴932x = , 即32x =. ∴圆台的中截面的半径为45531522224x x r x +===⨯=. ∴22225225()1616S r cm πππ==⨯=中 18. 如图所示,设圆台的母线长为l,截得圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x ,λx ,根据相似三角形的性质得:λλ1==+x x l l l O O .∴l =l 0(λ-1).。
人教版2019版高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.3圆柱圆锥圆台和球练习新人教B版必修2
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球1.在日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是( B )(A)一个棱柱中挖去一个棱柱(B)一个棱柱中挖去一个圆柱(C)一个圆柱中挖去一个棱锥(D)一个棱台中挖去一个圆柱解析:一个六棱柱挖去一个等高的圆柱,选B.2.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( C )(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:设圆锥底面半径为r,母线长为l,依条件则有2πr=πl,如图,所以=,即∠ASO=30°,因此圆锥顶角为60°.3.一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面可能的图形是( C )(A)①③(B)②④(C)①②③(D)②③④解析:当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体的体对角线时得②,当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①,但无论如何都不能截出④.4.若圆柱的轴截面是一个正方形,其面积为4S,则它的一个底面面积是( C )(A)4S (B)4πS (C)πS (D)2πS解析:因为圆柱的轴截面的一边是底面直径,另一邻边为圆柱的高,所以应满足=2r(r 为底面圆半径),所以r=,故底面面积为πS.5.已知A,B,C是球O上的三点,AB=10,AC=6,BC=8,球O的半径等于13,则球心O到△ABC 所在小圆的距离为.解析:因为AB=10,AC=6,BC=8,所以△ABC为直角三角形且AB为点A,B,C所在小圆O1的直径,所以r=5,如图,所以d2=R2-r2=132-52=122,所以d=12.答案:126.水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是.解析:5个球心组成一个正四棱锥,这个正四棱锥的底面边长为4R,侧棱长为3R,求得它的高为R,所以小球的球心到水平桌面α的距离是3R.答案:3R7.图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截面图形可能是( D )(A)(1)(2) (B)(1)(3) (C)(1)(4) (D)(1)(5)解析:当截面不过旋转轴时,截面图形是(5),当截面过旋转轴时,截面图形是(1).故选D.8.(2017·山西忻州一中高一测试)一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm,若两底面圆心的连线长为12 cm,则这个圆台的母线长为 cm.解析:如图,过点A作AC⊥OB,交OB于点C.在Rt△ABC中,AC=12 cm,BC=8-3=5(cm).所以AB==13(cm).答案:139.湖水结冰时, 一个球被冻在冰面上,取出后(未弄破冰)在冰面上留下一个直径为24 cm,深8 cm的空穴,则该球的半径为cm.解析:设球的半径为R,根据题意知截面圆的半径r=12 cm,球心与截面圆的距离为d=R-8.由截面的性质得r2+d2=R2,即122+(R-8)2=R2,从而可得R=13 cm.答案:1310.圆锥母线长为8,底面半径为2,A为底面圆周上一点,从A出发将绳子绕圆锥侧面一周后,再回到A,则绳长最短为.解析:如图所示,将圆锥沿过A点的母线展开,设A点展开后另一点为A′点,则绳子最短长度为线段AA′的长度.因为底面半径为2,所以弧长=2π×2=4π.因为展开图对应的扇形半径R=8,所以圆心角α==,所以AA′==8.答案:811.从一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于圆柱底面的平面去截它,求所得截面的面积.解:截面为一个圆环,圆环的大圆半径为R,小圆半径为l.所以截面圆环的面积为πR2-πl2=π(R2-l2).。
《圆柱、圆锥、圆台和球》同步练习2(人教B版必修2)
【目标要求】1.理解球的概念， 理解球面距离的概念，弄清地球的经度与纬度的概念。
2.理解圆柱、圆锥、圆台的概念【巩固教材——稳扎马步】1. 过球面上两点可以作的大圆个数是 ( )A ．1个B ．1个或无数个C ．2个D ．2个或无数个2. 下列四个命题中正确的是( )A ．当平面到球心的距离小于球半径时，球面与平面的交线总是一个圆．B ．过球面上两点只能作一个球的大圆．C ．过空间四个点总能做一个球．D ．球面上两点间的最短球面距离等于过这两点作一个平面与球面的交线圆上两点间的劣孤长．3.下列命题正确的是 ( )A.以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴、旋转所得的几何体是圆锥B.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线C.圆锥的轴截面是所有过母线的截面中面积最大的D.圆台的所有平行于底面的截面都是圆4.圆柱的高为5cm ，底面半径为6cm,则这个圆柱的截面的对角线长位（ ）A.12B. 13C. 14D. 16【重难突破——重拳出击】5.在北纬60°处有A 、B 两点，它们的经度相差180°，若地球的半径为R ，则它们的球面距离是( ) A.3Rπ B. R π C. R 22 D. R 26.已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，且距离为1，那么这个球的半径是( )A.2B.3C.4D.无解7、圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，从A 绕柱面到另一端C 最矩距离是 ( ) A.42+π B.4 C.122+π D.228.正三棱台的上、下底面边长及高，分别为1、2、2，则它的斜高是（ ） A.339 B.313 C.67 D.637 9.圆锥的轴截面是正三角形，则它的底面积与侧面积之比为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．1∶4D ．1∶310.设圆台的上下底面半径分别为10和15，母线长为30，则它的侧面展开图扇环中，两个相对顶点间的距离是( )A ．60B ．90C ．D ．11.设圆柱和圆锥的底面半径都是r,?高是h,?若要使圆柱侧面积小于圆锥侧面积,则有( )A.不存在这种可能?B.h＜h?D.h r12. ?把地球看成球体,它上面有两个城市位于同一经度圈上,它们的纬度分别是北纬22°和40°,?则它们的地面距离等于地球半径的( )A. 12B.13C.12πD.10π【巩固提高——登峰揽月】13.高为8cm，底面半径为5cm的圆柱内，一个平行于圆柱的轴的截面是正方形，求截面到轴的距离.14.半径为5的球内有一个截面，它与球心的距离为3，求这个截面圆周的长.【课外拓展——超越自我】15.若地球半径为6370km，求1）地球经线的长。
最新人教版高中数学必修2课时同步测题(全册 共236页 附解析)
最新人教版高中数学必修2课时同步测题（全册共236页附解析）目录1.1 空间几何体的结构1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图1.2.3 空间几何体的直观图1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3.2 球的体积和表面积章末复习课第一单元评估验收卷(一)第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定2.3.2 平面与平面垂直的判定2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质章末复习课第二单元评估验收卷(二)第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．答案：D2．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．一定不是棱柱、棱锥解析：根据棱柱、棱锥、棱台的特征，一定不是棱柱、棱锥．答案：D3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：A、B、C、中底面多边形的边数与侧面数不相等．答案：D4．由5个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是()A．三棱柱B．三棱台C．三棱锥D．四棱锥解析：根据棱台的定义可判断知道多面体为三棱台．答案：B5．某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)()解析：其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的相邻面在展开在图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻，又相同的图案是盒子相对的面，展开后绝不能相邻．答案：A二、填空题6.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．解析：折叠后，各面均为三角形，且点B、C、D重合为一点，因此该多面体为三棱锥(四面体)．答案：三棱锥(四面体)7．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.解析：由题设，该棱柱为五棱柱，共5条侧棱．所以每条侧棱的长为605＝12(cm)．答案：128．①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．其中正确说法的个数为________．解析：①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②正确；③不正确，当两个平行的正方形完全相等时，一定不是棱台．答案：29．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．解：图①是以ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．图②是以ABCD和A1B1C1D1为底面的棱柱．其图形如图所示．B级能力提升1.如图所示，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定解析：如图所示，倾斜小角度后，因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，所以有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)因此呈棱柱形状．答案：A2．一个正方体的六个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，下图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是________．解析：由图知，标字母C的平面与标有A、B、D、E的面相邻，则与D面相对的面为E面，或B面，若B面与D面相对，则A面与B面相对，这时图②不可能，故只能与D面相对的面上字母为B.答案：B3.如图所示，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到点M的最短路程．解：若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱②六棱锥③正方体④球体⑤四面体A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④解析：圆柱、球体是旋转体，其余均为多面体．答案：D2．如图所示的简单组合体的结构特征是()A．由两个四棱锥组合成的B．由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C．由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D．由一个四棱锥和一个四棱台组合成的解析：这个8面体是由两个四棱锥组合而成．答案：A3．下图是由哪个平面图形旋转得到的()解析：图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．答案：A4．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为()解析：截面图形应为图C所示的圆环面．答案：C5．用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是()A．2 B．2πC.2π或4πD.π2或π4解析：如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝2π.所以选C.答案：C二、填空题6．等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________．解析：结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥．答案：圆锥7．给出下列说法：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是____________(填序号)．解析：由旋转体的形成与几何特征可知①③错误，②④正确．答案：②④8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是__________．答案：圆柱三、解答题9．如图所示的物体是运动器材——空竹，你能描述它的几何特征吗？解：此几何体是由两个大圆柱、两个小圆柱和两个小圆台组合而成的．10．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长．解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得l－12 l＝25，所以l＝20 cm.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.B级能力提升1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所有形成的几何为一个球体挖出一个圆柱．答案：B2．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为__________cm2.解析：如图所示，过球心O作轴截面，设截面圆的圆心为O1，其半径为r.由球的性质，OO1⊥CD.在Rt△OO1C中，R＝OC＝5，OO1＝4，则O1C＝3，所以截面圆的面积S＝π·r2＝π·O1C2＝9π.答案：9π3．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，即为蚂蚁爬行的最短距离．因为AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π.所以AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋（2π）2＝21＋π2，所以蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图A级基础巩固一、选择题1．以下关于投影的叙述不正确的是()A．手影就是一种投影B．中心投影的投影线相交于点光源C．斜投影的投影线不平行D．正投影的投影线和投影面垂直解析：平行投影的投影线互相平行，分为正投影和斜投影两种，故C错．2．如图所示，水平放置的圆柱形物体的三视图是()答案：A3．如图，在直角三角形ABC，∠ACB＝90°，△ABC绕边AB 所在直线旋转一周形成的几何体的正视图为()解析：由题意，该几何体是两个同底的圆锥组成的简单组合体，且上部分圆锥比底部圆锥高，所以正视图应为选项B.答案：B4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱解析：球的三视图都是圆；三棱锥的三视图都是全等的三角形；正方体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故几何体不可能是圆柱．5.一个四棱锥S-ABCD，底面是正方形，各侧棱长相等，如图所示，其正视图是一等腰三角形，其腰长与图中等长的线段是()A．AB B．SBC．BC D．SE解析：正视图的投影面应是过点E与底面ABCD垂直的平面，所以侧棱SB在投影面上的投影为线段SE.答案：D二、填空题6．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是________(填序号)．①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥解析：在各自的三视图中，①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．所以满足仅有两个视图相同的是②④.答案：②④7．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中满足条件的序号是________．答案：②③8．下图中的三视图表示的几何体是________．解析：根据三视图的生成可知，该几何体为三棱柱．答案：三棱柱三、解答题9．根据三视图(如图所示)想象物体原形，指出其结构特征，并画出物体的实物草图．解：由俯视图知，该几何体的底面是一直角梯形；由正视图知，该几何体是一四棱锥，且有一侧棱与底面垂直．所以该几何体如图所示．10．画出图中3个图形的指定视图．解：如图所示．B级能力提升1．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物图是()答案：A2．已知正三棱锥V-ABC的正视图、俯视图如图所示，它的侧棱VA＝2，底面的边AC＝3，则由该三棱锥得到的侧视图的面积为________．解析：正三棱锥V-ABC的侧视图不是一个等腰三角形，而是一个以一条侧棱、该侧棱所对面的斜高和底面正三角形的一条高构成的三角形，如侧视图所示(其中VF是斜高)，由所给数据知原几何体的高为3，且CF＝3 2.故侧视图的面积为S＝12×32×3＝334.答案：33 43．如图所示的是某两个几何体的三视图，试判断这两个几何体的形状．解：①由俯视图知该几何体为多面体，结合正视图和侧视图知，几何体应为正六棱锥．②由几何体的三视图知该几何体的底面是圆，相交的一部分是一个与底面同圆心的圆，正视图和侧视图是由两个全等的等腰梯形组成的．故该几何体是两个圆台的组合体．第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.3 空间几何体的直观图A级基础巩固一、选择题1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形解析：由直观图的性质知B正确．答案：B2．利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()解析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.答案：C3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是()解析：直观图中正方形的对角线为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有A项满足条件，故A正确．答案：A4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm解析：因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直，现在距离为5 cm，而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变，仍为5 cm.答案：D5．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的()A.24B．2倍 C.22 D.2倍解析：底不变，只研究高的情况即可，此结论应识记．答案：A二、填空题6．如图所示，△A′B′C′是△ABC的水平放置的直观图，A′B′∥y轴，则△ABC是________三角形．解析：由于A′B′∥y轴，所以在原图中AB∥y轴，故△ABC为直角三角形．答案：直角7．已知△ABC的直观图如图所示，则△ABC的面积为________．解析：△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝6，所以S＝12×3×6＝9.答案：98．如图所示，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是_______．解析：在原图中AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°，所以AB＝62＋82＝10.答案：10三、解答题9．如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形ABC，且AB＝BC＝1，试画出它的原图形．解：(1)在如图所示的图形中画相应的x轴、y轴，使∠xOy＝90°(O与A′重合)；(2)在x轴上取C′，使A′C′＝AC，在y轴上取B′，使A′B′＝2AB；(3)连接B′C′，则△A′B′C′就是原图形．10．画出底面是正方形、侧棱均相等的四棱锥的直观图(棱锥的高不做具体要求)．解：画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(135°)，∠xOz＝90°，如图．(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出底面正方形的直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图．B级能力提升1．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A′B′C′，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能解析：如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC 是钝角三角形．答案：C2.如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是________．解析：因为O′B＝1，所以O′A′＝2，所以在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2 2.所以S△AOB＝12×1×22＝ 2.答案：23．如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．解：根据三视图可以想象出这个几何体是六棱台．(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画两底面，由三视图知该几何体为六棱台，用斜二测画法画出底面正六边形ABCDEF，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中的相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x与O′y′画出底面正六边形A′B′C′D′E′F′.(3)成图．连接A′A，B′B，C′C，D′D，E′E，F′F，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.第一章空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积A级基础巩固一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A ．4倍B ．3倍 C.2倍D ．2倍解析：设轴截面正三角形的边长为2a ，所以S 底＝πa 2，S 侧＝πa ·2a ＝2πa 2，因此S 侧＝2S 底． 答案：D2.如图所示，ABC A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34解析：因为V C A ′B ′C ′＝13V 柱＝13，所以V C AA ′B ′B ＝1－13＝23.答案：C3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积为( )A ．3πB ．33πC ．6πD ．9π解析：由于圆锥的轴截面是等边三角形，所以2r ＝l ， 又S 轴＝12×l 2×sin 60°＝34l 2＝3，所以l ＝2，r ＝1.所以S圆锥表＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.故选A.答案：A4.(2015·课标全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米约有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛解析：由l＝14×2πr＝8得圆锥底面的半径r＝16π≈163，所以米堆的体积V＝14×13πr2h＝14×2569×5＝3209(立方尺)，所以堆放的米有3209÷1.62≈22(斛)．答案：B5.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的一三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为()A．1∶ 2 B．1∶ 3C．2∶ 2 D．3∶ 6解析：棱锥B′ ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的边长为1，则B′C＝2，S△B′AC＝3 2.三棱锥的表面积S 锥＝4×32＝23，又正方体的表面积S 正＝6. 因此S 锥∶S 正＝23∶6＝1∶ 3. 答案：B 二、填空题6．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积为________．解析：由正视图可知，该圆台的上、下底面圆的半径分别为1，2，其高为2，所以其母线长l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－222＋22＝5， 所以S 侧＝π(1＋2)×5＝35π. 答案：35π7．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________．解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π×22×3－13π×22×3＝8π.答案：8π8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且底面梯形的周长为4＋ 2.则S侧＝8＋22，S底＝2×（1＋2）2×1＝3.故S表＝S侧＋S底＝11＋2 2.答案：11＋22三、解答题9．已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积．解：设圆柱的底面半径为R，高为h，当圆柱的底面周长为2π时，h＝4π，由2πR＝2π，得R＝1，所以V圆柱＝πR2h＝4π2.当圆柱的底面周长为4π时，h＝2π，由2πR＝4π，得R＝2，所以V圆柱＝πR2h＝4π·2π＝8π2.所以圆柱的体积为4π2或8π2.10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．解：由三视图知直观图如图所示，则高AA′＝2 cm，底面高B′D′＝23cm ，所以底面边长A ′B ′＝23×23＝4(cm)．一个底面的面积为12×23×4＝43(cm 2)．所以表面积S ＝2×43＋4×2×3＝24＋83(cm 2)， V ＝43×2＝83(cm 3)．所以表面积为(24＋83)cm 2，体积为83(cm 3)．B 级 能力提升1.某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是( )A.203π B.103π C ．6πD.163π 解析：该几何体的上方是以2为底面圆的半径，高为2的圆锥的一半，下方是以2为底面圆的半径，高为1的圆柱的一半，其体积为V ＝π×22×12＋12×13π×22×2＝2π＋43π＝103π.答案：B2．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为__________．解析：底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π×52×4＋π×22×8＝196π3.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π·r 2×4＋π·r 2×8＝28π3r 2＝196π3，解得r ＝7.答案：73．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体． V 四棱柱＝23＝8，V 四棱锥＝13×22×2＝83.故几何体的体积V ＝V 四棱柱＋V 四棱锥＝8＋83 ＝323(cm 3)．第一章 空间几何体 1.3 空间几体的表面积与体积 1.3.2 球的体积和表面积A 级 基础巩固一、选择题1．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的( )A ．3倍B ．3 3 倍C ．9倍D ．9 3 倍解析：由V ′＝27 V ，得R ′＝3R ，R ′R＝3则球的表面积比S ′∶S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R ′R 2＝9. 答案：C2．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R 解析：设圆柱的高为h ，则πR 2h ＝3×43πR 3，所以h ＝4R . 答案：D3．如图所示，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12 D.92π＋18解析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V＝43π⎝⎛⎭⎪⎫323＋3×3×2＝92π＋18.答案：D4．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2解析：设该球的半径为R，所以(2R)2＝(2a)2＋a2＋a2＝6a2，即4R2＝6a2.所以球的表面积为S＝4πR2＝6πa2.答案：B5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是()A．4π＋24 B．4π＋32C．22πD．12π解析：由三视图可知，该几何体上部分为半径为1的球，下部分为底边长为2，高为3的正四棱柱，几何体的表面积为4π＋32.答案：B二、填空题6．将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm ，则钢球的半径是________．解析：圆柱形玻璃容器中水面升高4cm ，则钢球的体积为V ＝π×32×4＝36π，即有43πR 3＝36π，所以R ＝3.答案：3 cm7．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．解析：由题意设两球半径分别为R 、r (R ＞r )，则：⎩⎪⎨⎪⎧4πR 2－4πr 2＝48π2πR ＋2πr ＝12π即⎩⎪⎨⎪⎧R 2－r 2＝12R ＋r ＝6.，所以R －r ＝2. 答案：28．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知几何体为组合体，上方是半径为1的球，下方是长方体，其底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，故其体积V ＝43×π×13＋2×2×4＝16＋4π3. 答案：16＋4π3三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 因为圆柱的体积V 圆柱＝πr 2l ＝π×12×3＝3π，又两个半球的体积2V 半球＝43πr 3＝43π， 因此组合体的体积V ＝3π＋43π＝133π. 10．如图，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm ，瓶里所装的水深为8 cm ，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm ，求钢球的半径．解：设球的半径为R ，由题意可得43πR 3＝π×32×0.5， 解得：R ＝1.5 (cm)，所以所求球的半径为1.5 cm.B 级 能力提升1．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A.8π3B.82π3 C ．82π D.32π3解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R ，则R 2＝12＋12＝2，所以R ＝2，V ＝43πR 3＝82π3.答案：B2．边长为42的正方形ABCD 的四个顶点在半径为5的球O 的表面上，则四棱锥O -ABCD 的体积是________．解析：因为正方形ABCD 外接圆的半径r ＝（42）2＋（42）22＝4.又因为球的半径为5， 所以球心O 到平面ABCD 的距离d ＝R 2－r 2＝3，所以V O ABCD ＝13×(42)3×3＝32. 答案：323．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱)的表面积分别是S 1，S 2，S 3，试比较它们的大小．解：设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，等边圆柱的底面半径为r ，则S 1＝6a 2，S 2＝4πR 2，S 3＝6πr 2.由题意知，43πR 3＝a 3＝πr 2·2r ， 所以R ＝334πa ，r ＝312πa ， 所以S 2＝4π⎝⎛⎭⎪⎪⎫334πa 2＝4π·3916π2a 2＝336πa 2， S 3＝6π⎝⎛⎭⎪⎪⎫312πa 2＝6π·314π2a 2＝354πa 2， 所以S 2＜S 3.又6a 2＞3312πa 2＝354πa 2，即S 1＞S 3. 所以S 1，S 2，S 3的大小关系是S 2＜S 3＜S 1.章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点．2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视虚线的画法．4．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错．5．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．6．易混侧面积与表面积的概念.专题1空间几何体的三视图与直观图三视图是立体几何中的基本内容，能根据三视图识别其所表示的立体模型，并能根据三视图与直观图所提供的数据解决问题．主要考查形式：(1)由三视图中的部分视图确定其他视图；(2)由三视图还原几何体；(3)三视图中的相关量的计算．其中(3)是本章的难点，也是重点之一，解这类题的关键是准确地将三视图中的数据转化为几何体中的数据．[例1](1)若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为()A．2，23B．22，2C．4，2D．2，4(2)(2016·全国Ⅲ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A．18＋36 5 B．54＋18 5 C．90 D．81解析：(1)由三视图的画法规则知，正视图与俯视图长度一致，正视图与侧视图高度一致，俯视图与侧视图宽度一致．所以侧视图中2为正三棱柱的高，23为底面等边三角形的高，所以底面等边三角形边长为4.(2)由三视图可知，该几何体的底面是边长为3的正方形，高为6，侧棱长为35，则该几何体的表面积S＝2×32＋2×3×35＋2×3×6＝54＋18 5.故选B.答案：(1)D(2)B。
人教A版高中数学必修第二册强化练习题-第2课时-圆柱、圆锥、圆台与球
人教A版高中数学必修第二册第2课时 圆柱、圆锥、圆台与球基础过关练题组一 圆柱、圆锥、圆台1.(2024黑龙江大庆期中)下列命题中正确的是( )①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的截面;A.2.A.是A.6.) R,球冠的高是h,则球冠的面积S=2πRh.已知“中国天眼”的底的半径约为250 m,反射面面积(球冠面积)约为25万m2,则“中国天眼”的高度约为 m.参考数据:4-1≈0.52π题组三 简单组合体8.(2024福建福州期中)将一个等腰梯形绕它较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括 ( )A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱C.两个圆柱、一个圆台 D.一个圆柱、两个圆锥9.(2023辽宁沈阳模拟)刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角的大小用弧度制表示),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.正八面体(八个面均为正三角形,如图)的总曲率为( )A.2πB.4πC.6πD.8π能力提升练题组一 空间几何体的结构特征1.(多选题)(2024山东烟台莱阳一中月考)对如图所示的组合体的结构说法正确的是( )A.由一个长方体挖去一个四棱柱而成B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成C.由一个长方体挖去一个四棱台而成D.由一个长方体与两个四棱台组合而成2.(2024北京广渠门中学月考)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.下图是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .题组二 与旋转体表面展开图有关的问题3.(2024浙江绍兴期中)下图是一个圆柱形开口容器(下底面密封),其轴截面ABCD是边长为2的正方形.现有一只蚂蚁从外壁A处出发,沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到BC的中点P处,则它所爬过的最短路程为 .4.(2024广东佛山第一中学月考)如图,一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2,一小虫从圆锥底面圆上的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处,若该小虫爬行的最短路程为23,则圆锥底面圆的半径为 .题组三 旋转体中的计算问题5.(2024山东东营利津高级中学开学考试)如图,圆台OO1的侧面展开图扇环的圆心角为180°,SA=2,SB=4,则该圆台的高为( )A.1B.2C.3D.46.从一个底面半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥(以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆,下底面圆心为顶点)得到的几何体如图所示,现用一个平行于底面且与底面的距离为1的平面去截这个几何体,则截面面积为( )A.4π-4B.4πC.4π-2D.2π-27.(2024天津期中)圆锥的母线长为3,轴截面三角形的顶角为120°,用过圆锥顶点的平面截球答案与分层梯度式解析第2课时 圆柱、圆锥、圆台与球基础过关练1.C 2.D 3.D 5.C 6.A 8.D 9.B1.C 过圆锥顶点的截面为等腰三角形,且两腰长为母线长,设该等腰三角形的顶角为θ,圆锥的母线长为l,则截面三角形的面积为12l 2sin θ,显然当θ=π2时,面积最大,故当圆锥的轴截面三角形的顶角大于π2时,圆锥的轴截面面积不是最大的,故①错误;根据圆柱母线的定义可知②错误;根据圆台的定义知③正确.故选C.2.D 用一个不平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面可能为椭圆;用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面为圆;用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥,截面为等腰三角形.故选D.3.D 若4为底面周长,则高为2,此时圆柱的底面直径为4π,故轴截面面积为2×4π=8π;若2为底面周长,则高为4,此时圆柱的底面直径为2π,故轴截面面积为4×2π=8π.故选D.4.答案 12解析 如图,由题意可知,CD AB =14,BD=9,设原圆锥的母线长为l,根据相似三角形的性质可得ED EB =CD AB ,即l -9l =14,解得l=12,故原圆锥的母线长为12.5.C 圆柱的截面可能是矩形,圆锥的截面可能是三角形,圆台的截面可能是梯形,故选C.6.A 设截面圆的半径为r,则r=22-(3)2=1,所以球O 被平面α截得的截面面积为πr 2=π.故选A.7.答案 130解析 由题意得(R-h)2+2502=R 2,则2Rh=h 2+2502,故2πRh=πh 2+2502π=250 000,=250-1,所以h2=250000−2502ππ所以h=2504-1≈250×0.52=130(m).π8.D 从较短的底边的端点向另一底边作垂线,两条垂线把等腰梯形分成两个全等的直角三角形和一个矩形,故旋转后的几何体是由一个圆柱和两个圆锥组成的,如图所示.2.设解得a=2-1,即该半正多面体的棱长为23.解析 将圆柱侧面沿AD展开,如图,其中AB=π,AD=2,则问题转化为在CD上找一点Q,使AQ+PQ的值最小,作P关于CD的对称点E,连接AE,QE,CE,则QE=PQ,所以AQ+PQ=AQ+QE≥AE=π2+9.4.答案 23解析 把圆锥侧面沿母线OP 展开成如图所示的扇形OPP',则PP'的长为小虫爬行的最短路线长,所以PP'=23,又OP=OP'=2,所以∠POP'=2π3,则由弧长公式得l PP '=2π3×2=4π3.设圆锥底面圆的半径为r,则2πr=4π3,解得r=23.5.C 在圆锥SO 1中,2π·O 1A=12×2π·SA=2π,所以O 1A=1,在圆锥SO 中,2π·OB=12×2π·SB=4π,所以OB=2,所以该圆台的高为AB 2-(OB -O 1A)2=(SB -SA )2-(OB -O 1A)2=(4-2)2-(2-1)2=3,故选C.6.C 截面应为圆面挖去一个正方形,且圆面的半径是2,面积为4π.设正四棱锥的底面正方形的边长为a,易知a=22,故正四棱锥的底面正方形的面积为(22)2=8,由棱锥中截面的性质,可得圆面中挖去的正方形与正四棱锥的底面正方形相似,设圆面中挖去的正方形的面积为S',正四棱锥的底面正方形的面积为S,则S 'S =S '8=14,所以S'=2,所以截面的面积为4π-2.故选C.7.答案 92解析 因为圆锥轴截面三角形的顶角为2π3,所以任意两条母线的夹角的范围是0,设截面三角形的顶角为θ,则过圆锥顶点的轴截面面积为12×32×sin θ=92sin θ,因为θ∈0,所以sin θ∈(0,1],.所以轴截面面积的最大值是928.答案 1或17解析 因为球O的两个平行截面的面积分别为19π和36π,所以这两个平行截面的半径分别为19和6,则球心到两个平行截面的距离分别为102-(19)2=9,102-62=8.当两个平行截面在球心O的同侧时,如图1所示,则这两个平行截面之间的距离为|O1O2|=9-8=1;当两个平行截面在球心O的两侧时,如图2所示,则这两个平行截面之间的距离为|O1O2|=9+8=17.故答案为1或17.。
人教B高中数学必修二课时跟踪检测：第一章 立体几何初步 含解析
第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.7柱、锥、台和球的体积课时跟踪检测[A组基础过关]1．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为()A．2 B．3C．4 D．6解析：由三视图可知三棱锥的直观图如图所示．其中AB为高，底面是直角三角形，V＝13AB×12BD×CD＝13×2×12×3×2＝2，故选A．答案：A2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．13＋π B．23＋πC．13＋2π D．23＋2π解析：由该几何体的三视图可知该几何体是由一个三棱锥和半个圆柱组合而成，由此可知该几何体的体积为13×12×2×1×1＋12π×12×2＝13＋π，故选A．答案：A3．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，那么该几何体的体积是()A．96 B．128C．140 D．152解析：由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，V＝S·h＝12×6×4×8＝96.答案：A4．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是()A．839B．439C．239D．439或839解析：当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a＝2 3，底面面积S＝34a2＝39，正三棱柱的高h＝4，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝439；同理，当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a′＝43，底面面积S′＝34a′2＝439，正三棱柱的高h′＝2，所以正三棱柱的体积V′＝S′h′＝839.所以正三棱柱的体积为439或839.答案：D5．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A．26B．23C．33D．23解析：以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是由两个全等的正四棱锥构成，正四棱锥的底面边长为1，高为22，∴V＝2×13×1×1×22＝23.故选B．答案：B6．已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为________．解析：由S侧＝πrl＝20π，l＝5得r＝4，∴圆锥的高h＝l2－r2＝3.∴圆锥的体积为V＝13πr2·h＝16π.答案：16π7．(2018·江苏卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．解析：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，且正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2，所以该多面体的体积为2×13×1×(2)2＝43.答案：438．已知某几何体的俯视图是边长分别为8和6的矩形，主视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积； (2)求该几何体的侧面积．解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V －ABCD .如图所示，(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥有两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝42，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h 2＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5，因此S 侧＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2.[B 组 技能提升]1．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A．18B．17C．16D．15解析：由三视图可知，正方体被平面截去三棱锥A1－AB1D1，设正方体的边长为a，V正＝a3，VA1－AB1D1＝13×12a2·a＝16a3，∴V A1－AB1D1V剩＝16a3a3－16a3＝15，故选D．答案：D2．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为3，则这个球的体积为() A．9π B．932πC．27π D．2732π解析：∵棱长为3的正方体的体对角线长为33，∴球半径为332，∴V＝43π⎝⎛⎭⎪⎫3233＝2732π.故选D．答案：D3．一个底面半径为R的圆柱形水桶中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球(水面漫过球)，水面高度恰好升高r，则Rr＝________.解析：由题知43πr3＝πR2·r，∴R r＝233.答案：23 34．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的主视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：由主视图知，三棱锥的高为1，底面是腰长为2，底边为23的等腰三角形，∴V＝13×12×23×1×1＝33.答案：3 35．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图在下面画出(单位：cm)．(1)在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．解：(1)如图．(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－13×⎝⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843.6．圆台的母线长为6 cm，它的轴截面等腰梯形的一条对角线与一腰垂直且与下底所成的角为30°，求该圆台的体积．解：如图，等腰梯形AA1B1B为圆台的轴截面，AA1＝6 cm，∠AA1B＝90°，∠ABA1＝30°，于是AB＝2AA1＝12 cm，由A1B1∥AB，得∠B1A1B＝∠A1BA＝30°，又∠A＝90°－30°＝60°，得∠A1BB1＝60°－30°＝30°，故△A1B1B为等腰三角形，∴A1B1＝B1B＝6 cm.又OO1·AB＝AA1·A1B得，OO1＝AA1·A1BAB＝6×6312＝33(cm)，由圆台的体积公式：V圆台＝13π·OO1·(A1O21＋A1O1·AO＋AO2)＝13·π·33·(32＋3×6＋62)＝633π(cm3)．。
苏教版必修2第1章第一节 空间几何体2 圆柱、圆锥、圆台和球(习题+解析)
苏教版必修2第1章第一节空间几何体2 圆柱、圆锥、圆台和球（习题+解析）①是圆柱，图④是圆锥，图⑦是圆台，图⑧是球，因此①④⑦⑧是旋转体。
2. ③ ① 解析：结合圆柱、圆锥的定义，结合选项可知，图①形成圆锥，图②形成球，图③形成圆柱，图④形成圆台。
3. ① 解析：由于该几何体由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱组合而成，故该几何体是由图①旋转而成的。
4. 20 解析：由题意可知，该圆柱的轴截面的面积为5×2×2＝20。
5. 2 解析：如图所示，设等边三角形ABC 为圆锥的轴截面，由题意易知，其母线长即为△ABC 的边长，且S △ABC ＝43AB 2，∴3＝43AB 2，∴AB ＝2。
6. ①⑤ 解析：由于截面平行于圆锥的轴，故只能是①⑤。
7. 解：如图（1）所示，①是矩形，旋转后形成圆柱，②、③是梯形，旋转后形成圆台。
所以旋转后形成的几何体如图（2）所示，通过观察可知，该组合体是由一个圆柱，两个圆台拼接而成的。
8. 解：圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延长AA 1交OO 1的延长线于S 。
在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SA 1O 1＝∠SAO ＝45°，所以SO ＝AO ＝3x ，SO 1＝A 1O 1＝x ，所以OO 1＝2x ，又21（6x ＋2x ）·2x ＝441，解得x ＝4221，所以圆台的高OO 1＝2221（cm ），母线长l ＝2OO 1＝21（cm ），两底面半径分别为4221cm 和4263cm 。
9. 解：作正方体的对角面如图所得截面，球心12O O 、在AC 上，过12O O 、分别作AD 、BC 的垂线交于E 、F 两点，易得1122,,AOO E CO O F AC CD AC AB == 设12,O E r O F R ==，由1,3AB CD AC === 得123,3,3()3==∴++AO r CO R r R r R。
高中数学必修2全册教案学案同步练习课堂巩固
第一章 立体几何初步一、知识结构二、重点难点重点：空间直线，平面的位置关系。
柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。
平行、垂直的定义，判定和性质。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
文字语言，图形语言和符号语言的转化。
平行，垂直判定与性质定理证明与应用。
第一课时 棱柱、棱锥、棱台【学习导航】知识网络学习要求 1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。
掌握它们的形成特点。
2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。
3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法4．了解多面体的概念和分类．【课堂互动】自学评价1．棱柱的定义：表示法：思考:棱柱的特点：.【答】2．棱锥的定义：表示法：思考:棱锥的特点：.【答】3．棱台的定义：表示法：思考:棱台的特点：.【答】4．多面体的定义：5．多面体的分类：⑴棱柱的分类⑵棱锥的分类⑶棱台的分类【精典范例】例1：设有三个命题：甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。
以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0 B. 1 C. 2 D. 3例2：画一个四棱柱和一个三棱台。
【解】四棱柱的作法：⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形；⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段；⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点互助参考７页例１⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去．互助参考７页例１点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得思维点拔：解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(2).灵活理解柱、锥、台的特点：例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。
反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？ 答：不能．点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2课时圆柱、圆锥、圆台、球
分层训练
1.半圆以它的直径为旋转轴, 旋转所成的曲面是( )
A.半球
B.球
C.球面
D.半球面
2.直角梯形以其较大的底边为旋转轴, 其余各边旋转所得的曲面的几何体可看作( )
A.一个棱柱叠加一个圆锥
B一个圆台叠加一个圆锥
C.一个圆柱叠加一个圆锥
D.一个圆柱挖去一圆锥
3.线段y=2x (0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是( )
A.圆锥
B.圆锥面
C.圆锥的底面
D.圆柱中挖去一个圆锥
4.给出下列命题:
(1)圆柱的任意两条母线互相平行;
(2)球上的点与球心距离都相等;
(3)圆锥被平行于底面的平面所截, 得到两个几何体, 其中一个仍然是圆锥, 另一个是圆
台.
其中正确命题的个数为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
5.在直角坐标系中有一个直角三角形OAB , 现将该三角形分别绕x轴, y轴各旋转一周, 得到两个几何体, 这两个几何体是同一种类型的几何体吗?
【解】
6.
【解】
拓展延伸
1.(1)任意一个圆柱去掉底面后，沿任意一条母线割开，将其侧面放在平面上展开，它
是什么样的平面图形？
(2)任意一个圆锥和圆台去掉底面后，沿任意一条母线割开，将其侧面放在平面上
展开，它是什么样的平面图形？
(3)球能展成平面图形吗？
2.(1)一个直角梯形绕它的较长底边旋转一周，所形成的几何体是由哪些简单
的几何体构成的？若绕它的较短底边呢？
(2)如图的几何体是由一个棱锥挖去一个圆柱构成的，试画出旋转一周能得
到这个几何体的平面图形？
节学习疑点：
第2课时圆柱、圆锥、圆台、球
1．C 2．C 3．B 4．C 5．不是，绕x轴旋转一周所得的几何体，为圆柱内挖去一个圆锥，绕y 轴旋转一周所得的几何体为圆锥。
6．一个圆柱内挖去一个圆锥
7．（1）矩形（2）扇形，扇环（3）不能
8．一个圆柱加一个圆锥（2）直角三角形内接矩形。