吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 二次函数(1)学案 理
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理科数学一轮复习教案--用样本估计总体
一、知识梳理：(必修3教材65-83) 1．作频率分布直方图的步骤：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）； （2）决定组距与组数； （3）将数据分组； （4）列频率分布表； （5）画频率分布直方图注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×组距频率=频率。
2．频率分布折线图和总体密度曲线折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图总体密度曲线：当样本容量足够大，分组越多，折线越接近于一条光滑的曲线，此光滑曲线为总体密度曲线。
3．用茎叶图刻画数据的两个优点, (1)所有数据都可以从数据中得到;(2)茎叶图便于记录和表示,能够展示数据的分布情况,但当样本数据较多或数据较大时,茎叶图的效果就不是很好了.4.平均数、众数、中位数、标准差和方差（1）、平均数：平均数是用来表示数据的平均水平。
一般用来表示，计算公式： （2）、众数：一组数据中出现次数最多的数。
（3）、中位数：将数据从小到大的顺序排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数。
若有偶数个数，则中间两个数的平均数是中位数。
（4）、标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，用来刻画数据的分散程度，一般用s 来表示，计算公式： ，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小。
（5）方差：方差是标准差的平方，它也可以用来刻画数据的分散程度，计算公式： 。
5．有样本频率分布估计总体分布通常分为两种情况：（1）、当总体中的个体取不同值很少时，其频率分布表由所取样本的不同值及其相应频率表示，就是相应的条形图；（2）、当总体中的个体不同值很多时，就用频率分布直方图来表示相应的样本的频率分布。
6、利用频率分布直方图来估计众数、中位数、平均数在频率分布直方图中，众数的估计值．．．．．．是其中最高矩形底边中点的横坐标；中位数．．．的左边和右边的直方图面积相等；平均数．．．的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。
吉林省东北师范大学附属中学高考数学第一轮复习 函数的图象(1)学案 理
导数与定积分应用（尖刀班）（1）一、 知识梳理：（阅读选修教材2-2第2页—第21页）1、 导数及有关概念：函数的平均变化率：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的物理意义和几何意义： 导数0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 即0()k f x ='， 要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-3.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．．，也可记作y '，即()f x '＝y '＝x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00 说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x ' 4.可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.5.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆ ()2求平均变化率x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； ()3取极限，得导数y '=()f x '=xy x ∆∆→∆0lim 6.几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=7.求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭8.复合函数的导数：（1）.（理科）设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'(2).复合函数的求导法则：（理科）复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数(3).复合函数求导的基本步骤：分解——求导——相乘——回代9.函数的单调性与导数的关系：利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:()1求()f x ';()2确定()f x '在(),a b 内符号;()3若()0f x '>在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是增函数；若()0f x '<在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是减函数①()0f x '>⇒()f x 为增函数（()0f x '<⇒()f x 为减函数）.②()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()f x '≥0在(),a b 上恒成立；()f x 在区间(),a b 上为减函数⇒()f x '≤0在(),a b 上恒成立.10.极值：极大值： 一般地，设函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x <，就说0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y 极大值0()f x =，0x 是极大值点.极小值：一般地，设函数()f x 在0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有0()()f x f x >就说0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y 极小值0()f x =，0x 是极小值点. 极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值. （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.判别0()f x 是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.求可导函数()f x 的极值的步骤:()1确定函数的定义区间，求导数)(x f '()2求方程()0f x '=的根()3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查)(x f '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么()f x 在这个根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点 .11.函数的最大值和最小值: 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：()1在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；()2函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．()3函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．()4函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：()1求)(x f 在(,)a b 内的极值；()2将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值12．定积分(理科)（1）概念设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑ni f 1＝(ξi )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：⎰ba dx x f )(，即⎰b a dx x f )(＝∑=∞→n i n f 1lim (ξi )△x 。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学
第2讲 函数、基本初等函数的图象与性质【高考考情解读】 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式考查，且常与新定义问题相结合，难度较大．1． 函数的概念及其表示两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数． 2． 函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |.3． 指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． 4． 熟记对数式的五个运算公式log a (MN )＝log a M ＋log a N ；log a M N ＝log a M －log a N ；log a M n ＝n log a M ；a log a N ＝N ；log a N ＝log b Nlog b a (a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0)．考点一 函数及其表示例1 (1)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )ln x的定义域是________．答案 (0,1)解析 由函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]得，函数g (x )有意义的条件为0≤2x ≤2且x >0，x ≠1，故x ∈(0,1)．(2)设函数y ＝f (x )在R 上有定义，对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M ，M ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (f M (0))的值为________． 答案 1解析 由题意，令f (x )＝2－x 2＝1，得x ＝±1， 因此当x ≤－1或x ≥1时，f M (x )＝2－x 2； 当－1<x <1时，f M (x )＝1，所以f M (0)＝1，f M (f M (0))＝f M (1)＝2－12＝1.(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可，函数f (g (x ))的定义域应由不等式a ≤g (x )≤b 解出． ②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义． (2)求函数值时应注意形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．(1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f (x ＋3)，x <4，则f (log 23)＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．答案 (1)24 (2)(－1，2－1) 解析 (1)f (log 23)＝f (log 23＋3) ＝f (log 224)＝2log 224＝24.(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2＋1是增函数； 当x <0时f (x )＝1，因此由题设f (1－x 2)>f (2x )得，⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2>02x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0.解之得－1<x <0或0≤x <2－1.故所求实数x 的取值范围是(－1，2－1)． 考点二 函数的性质例2 (1)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 f ′(x )＝3x 2＋1>0，∴f (x )为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知， f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝－x －2<0g (2)＝3x －2<0，∴－2<x <23.(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于________． 答案 －14解析 根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t )＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14.函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·天津改编)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x ＋a ，若f (x )在R 上是单调函数，则实数a 的最小值是________． 答案 (1)⎣⎡⎦⎤12，2 (2)－1解析 (1)由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a .∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )．∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)． 又因f (x )在[0，＋∞)上递增． ∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1， ∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.(2)依题意得f (0)＝0.当x >0时，f (x )>e 0＋a ＝a ＋1. 若函数f (x )在R 上是单调函数，则有a ＋1≥0，a ≥－1， 因此实数a 的最小值是－1. 考点三 函数的图象例3 形如y ＝b|x |－a(a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |图象的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 4解析 由题意知，当a ＝1，b ＝1时， y ＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1(x ≥0且x ≠1)，－1x ＋1(x <0且x ≠－1)，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系． (2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是________． 答案 [－2,0]解析 函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，∴a ≥－2. 综上所述：－2≤a ≤0.考点四 基本初等函数的图象及性质例4 (1)若函数f (x )＝212log ,0,log (),0,x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知a ＝ 3.42log5，b ＝ 3.64log5，c ＝0.33log15（），则a 、b 、c 大小关系为________． 答案 (1)(－1,0)∪(1，＋∞) (2)a >c >b解析 (1)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )． 方法二 对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0，故－1<a <0或a >1. (2)∵a ＝ 3.42log5，b ＝ 3.64log5，c ＝0.33log 15（）＝5log 3313， 根据y ＝a x 且a ＝5，知y 是增函数． 又∵log 23.4>log 3313>1,0<log 43.6<1，∴5log 23.4>(15)log 30.3>5log 43.6，即a >c >b.(1)指数函数、对数函数、幂函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力． (2)比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较．(1)(2012·天津)已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为________．(2)使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________． 答案 (1)c <b <a (2)(－1,0) 解析 (1)利用中间值判断大小．b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ， c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ， 故c <b <a .(2)作出函数y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log 2(－x )及y ＝log 2x 的图象关于 y 轴对称，观察图象(如图所示)知，－1<x <0，即x ∈(－1,0)．也可把原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧－x >0，－x <2x ＋1后作图．1． 判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题． (3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2． 函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3． 函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a .(2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4． 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．5． 指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较．6． 解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．1． 关于x 的方程e x ln x ＝1的实根个数是________．答案 1解析 由原方程可得ln x ＝e －x .设y 1＝ln x ，y 2＝e －x ，两函数的图象如图所示：两曲线有且只有一个交点，所以方程有唯一解．2． 定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )<－1的解集是________________．答案 (－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫0，12 解析 由已知条件可知，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－log 2(－x )． 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )<－1， 即为log 2x <－1，解得0<x <12；当x ∈(－∞，0)时，f (x )<－1， 即为－log 2(－x )<－1，解得x <－2.所以f (x )<－1的解集为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫0，12. 3． 定义域为R 的偶函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2x 2＋12x －18，若函数y ＝f (x )与函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)上至少有三个交点，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，33解析 ∵f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，∴令x ＝－3得f (1)＝0， ∴f (x ＋2)＝f (x )，周期T ＝2.x ∈[0,1]时，f (x )＝f (x ＋2)＝－2(x －1)2. 根据函数f (x )的奇偶性与周期性画出图象．要使y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)上至少有三个交点，只须满足⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1log a 3>－2，解得0<a <33.(推荐时间：40分钟)1． 已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值等于________． 答案 －lg 2解析 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )． 又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )， 所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )． 所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2， f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 2． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的________条件．答案 充分不必要解析 当c ＝－1时，易知f (x )在R 上递增；反之，若f (x )在R 上递增，则需有1＋c ≤0，即c ≤－1. 所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．3． (2013·课标全国Ⅱ改编)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a 、b 、c 的大小关系为_______．答案 a >b >c解析 设a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，显然a >b >c . 4． 设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝________.答案 {x |x <0或x >4}解析 由于函数f (x )是偶函数，因此有f (|x |)＝f (x )，不等式f (x －2)>0，即f (|x －2|)>0， f (|x －2|)＝2|x －2|－4>0，|x －2|>2，即x －2<－2或x －2>2，由此解得x <0或x >4. 于是有{x |f (x －2)>0}＝{x |x <0或x >4}．5． 设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．答案 －1解析 因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.6． 设函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≤2解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x <a ，如图，作出函数图象，当a 变化时， 易得a 的取值范围为a ≤2.7． 已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4(a ，b ∈R )，且f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝________.答案 3解析 lg(log 210)＝－lg(lg 2)， f (－x )＝a sin(－x )＋b 3－x ＋4 ＝－(a sin x ＋b 3x )＋4.又f [lg(log 210)]＝5，∴f [lg(lg 2)]＝4－5＋4＝3.8． 设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10解析 因为f (x )的周期为2， 所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43.整理，得a ＝－23(b ＋1)．①又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4. 所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.9． 直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．答案 1<a <54解析 y ＝x 2－|x |＋a 是偶函数，图象如图所示． 由图象可知直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点需 满足a －14<1<a ，∴1<a <54.10．已知实数a ，b 满足等式⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有________．(填序号) 答案 ③④解析 函数y 1＝⎝⎛⎭⎫12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫13x 的图象如图所示． 由⎝⎛⎭⎫12a ＝⎝⎛⎭⎫13b得，a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立．11．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x ≥0)，ax 2＋bx (x <0)，给出下列结论：①f (f (1))＝1；②函数y ＝f (x )有三个零点； ③f (x )的递增区间是[1，＋∞)；④直线x ＝1是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ⑤函数y ＝f (x ＋1)＋2图象的对称中心是点(1,2)．其中，正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)． 答案 ①②解析 因为f (x )是奇函数， 所以x <0时，f (－x )＝x 2＋2x ， 即f (x )＝－x 2－2x .可求得a ＝－1，b ＝－2.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ≥0，－x 2－2x ， x <0. ①f (f (1))＝f (－1)＝－f (1)＝1，①正确；②易知f (x )的三个零点是－2,0,2，②正确；③当x ∈(－∞，－1]时，f (x )也单调递增，③错误；④由奇函数图象的特点知，题中的函数f (x )无对称轴，④错误；⑤奇函数f (x )图象关于原点对称，故函数y ＝f (x ＋1)＋2图象的对称中心应是点(－1,2)，⑤错误．故填①②.12．给出下列四个函数：①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x 2；④y ＝x .当0<x 1<x 2<1时，使f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2恒成立的函数的序号是________． 答案 ②④解析 由题意知满足条件的图象形状为：故符合图象形状的函数为y ＝log 2x ，y ＝x .[本题考查函数的凸凹性]13．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.则所有正确命题的序号为________．答案 ①②④解析 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8. 故正确命题的序号为①②④.14．已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 作出函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象，如图所示．直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m ≤0时，直线y ＝mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点；当m >0时，直线y ＝mx 始终与函数y ＝2－⎝⎛⎭⎫13x (x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f (x )的图象有三个公共点，必须使直线y ＝mx 与函数y ＝12x 2＋1 (x >0)的图象有两个公共点，即方程mx ＝12x 2＋1在x >0时有两个不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0的判别式Δ＝4m 2－4×2>0，解得m > 2.故所求实数m 的取值范围是(2，＋∞)．。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学二轮专题复习 函数与方程及函数的应用教案 文
第3讲函数与方程及函数的应用【高考考情解读】 1.本讲主要考查函数的零点，常以分式、绝对值不等式、对数式、三角函数为载体；考查确定零点的个数、存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围；函数的实际应用常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题.2.函数的零点主要是以填空题的形式考查，以基础知识为主，而函数的实际应用则主要以解答题的形式出现，属中、高档题．1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.考点一 函数的零点例1 (1)已知函数f(x)＝logax ＋x －b (a>0，且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n ，n ＋1)，n ∈N*，则n ＝________.(2)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln x －x2＋，2x ＋，的零点个数是________．答案 (1)2 (2)3解析 (1)∵2<a<3，∴f(x)＝logax ＋x －b 为定义域上的单调函数．f(2)＝loga2＋2－b ，f(3)＝loga3＋3－b.∵lg 2<lg a<lg 3，∴lg 2lg 3<lg 2lg a<1. 又∵b>3，∴－b<－3，∴2－b<－1，∴loga2＋2－b<0，即f(2)<0.∵1<lg 3lg a <lg 3lg 2，3<b<4，∴－1<3－b<0， ∴loga3＋3－b>0，∴f(3)>0，即f(2)·f(3)<0.由x0∈(n ，n ＋1)，n ∈N*知，n ＝2.(2)依题意，当x>0时，在同一个直角坐标系中分别作出y ＝ln x 和y ＝x2－2x ＝(x －1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x≤0时，作出y ＝2x ＋1的图象，可知它和x 轴有一个交点．综合知，函数y ＝f(x)有三个零点．(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y ＝f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标．(1)(2012·天津改编)函数f(x)＝2x ＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．(2)已知函数f(x)＝ax ＋x －b 的零点x0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z)，其中常数a 、b 满足2a ＝3,3b ＝2，则n ＝________. 答案 (1)1 (2)－1解析 (1)因为f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，所以函数f(x)＝2x ＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．(2)f(x)＝ax ＋x －b 的零点x0就是方程ax ＝－x ＋b 的根．设y1＝ax ，y2＝－x ＋b ，故x0就是两函数交点的横坐标，如图，当x ＝－1时，y1＝1a＝log32<y2＝1＋b ＝1＋log32， ∴－1<x0<0，∴n ＝－1.考点二 与函数有关的自定义问题例2 若对于定义在R 上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x ＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立，则称f(x)是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：①f(x)＝0是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；②f(x)＝x 是“λ－伴随函数”；③f(x)＝x2是“λ－伴随函数”；④“12－伴随函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是________．先理解新定义“λ－伴随函数”的意义，然后对给出的函数逐一用定义检验，从而判断所给命题的正确性．答案 1解析 对于①，若f(x)＝c≠0，取λ＝－1，则f(x －1)－f(x)＝c －c ＝0，即f(x)＝c≠0是一个“λ－伴随函数”，故①不正确．对于②，若f(x)＝x 是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)＋λx ＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故②不正确．对于③，若f(x)＝x2是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)2＋λx2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故③不正确．对于④，若f(x)是“12－伴随函数”， 则f(x ＋12)＋12f(x)＝0，取x ＝0， 则f(12)＋12f(0)＝0， 若f(0)，f(12)任意一个为0，函数f(x)有零点； 若f(0)，f(12)均不为0， 则f(0)，f(12)异号，由零点存在性定理， 知f(x)在(0，12)内存在零点x0， 所以④正确．函数的创新命题是高考命题的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本题中的“λ－伴随函数”，要求在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决，即检验f(x ＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数都成立．若平面直角坐标系内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f(x)的图象上；②P ，Q 关于y 轴对称，则称点对(P ，Q)是函数f(x)的图象上的一个“镜像点对”(点对(P ，Q)与点对(Q ，P)看作同一个“镜像点对”)．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ ，，则f(x)的图象上的“镜像点对”有________对．答案 3解析 依题意，设点P(x0，y0)，Q(－x0，y0)(其中x0>0)，若点对(P ，Q)是函数f(x)的图象上的一个“镜像点对”，则有⎩⎪⎨⎪⎧ y0＝log3x0，y0＝－＝cos πx0，所以log3x0＝cos πx0，即x0是方程log3x ＝cos πx 的根．在同一个直角坐标系中画出函数y ＝log3x 与y ＝cos πx 的图象，可知这两个图象共有3个交点，即函数f(x)的图象的“镜像点对”共有3对．考点三 函数模型及其应用例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝|x x2＋1－a|＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12]，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a)． (1)令t ＝x x2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围； (2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？(1)分x ＝0和x≠0两种情况，当x≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f(x)转化成g(t)＝|t －a|＋2a ＋23，再把函数g(t)写成分段函数后求M(a)． 解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号)， ∴t ＝x x2＋1＝1x ＋1x∈(0，12]，即t 的取值范围是[0，12]． (2)当a ∈[0，12]时，记g(t)＝|t －a|＋2a ＋23， 则g(t)＝⎩⎨⎧－t ＋3a ＋23，0≤t≤a ，t ＋a ＋23，a<t≤12. ∵g(t)在[0，a]上单调递减，在(a ，12]上单调递增， 且g(0)＝3a ＋23，g(12)＝a ＋76， g(0)－g(12)＝2(a －14)． 故M(a)＝⎩⎨⎧ 12，0≤a≤14，，14<a≤12. 即M(a)＝⎩⎨⎧ a ＋76，0≤a≤14，3a ＋23，14<a≤12.当0≤a≤14时，M(a)＝a ＋76<2显然成立； 由⎩⎨⎧ 3a ＋23≤2，14<a≤12，得14<a≤49， ∴当且仅当0≤a≤49时，M(a)≤2. 故当0≤a≤49时不超标，当49<a≤12时超标．(1)解答函数应用题的关键将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等．(2)对函数模型求最值的常用方法单调性法、基本不等式法及导数法．(3)本题中的函数与方程思想：①在求t 的范围时，把t 看作是x 的函数，在求M(a)时，把综合放射性污染指数看作是t 的函数．②在确定综合放射性污染指数是否超标时，用到了方程的思想．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y ＝mf(x)，其中f(x)＝⎩⎨⎧ x216＋2，0<x≤4，x ＋142x －2，x>4，当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为m ＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放药剂质量为m ，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．解 (1)由题意，得当药剂质量m ＝4时，y ＝⎩⎨⎧x24＋，2x ＋28x －1当0<x≤4时x24＋8≥4，显然符合题意． 当x>4时2x ＋28x －1≥4，解得4<x≤16. 综上0<x≤16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天．(2)由y ＝m·f(x)＝⎩⎨⎧ mx216＋，＋2x －2，得 当0<x≤4时，y ＝mx216＋2m 在区间(0,4]上单调递增，即2m<y≤3m ； 当x>4时，y′＝－30m －<0，∴函数在区间(4,7]上单调递减，即7m 4≤y<3m ， 综上知，7m 4≤y≤3m ， 为使4≤y≤10恒成立，只要7m 4≥4且3m≤10即可， 即167≤m≤103. 所以应该投放的药剂量m 的最小值为167.1． 函数与方程(1)函数f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有根⇔函数f(x)的图象与x 轴有交点．(2)函数f(x)的零点存在性定理如果函数f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数f(x)在区间(a ，b)内有零点，即存在c ∈(a ，b)，使f(c)＝0.①如果函数f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间[a ，b]上是一个单调函数，那么当f(a)·f(b)<0时，函数f(x)在区间(a ，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b)，使f(c)＝0.②如果函数f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)>0，那么，函数f(x)在区间(a ，b)内不一定没有零点．③如果函数f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f(x)在区间(a ，b)内有零点时不一定有f(a)·f(b)<0，也可能有f(a)·f(b)>0.2． 函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决．3． 应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.1． 已知函数f(x)＝(13)x －log2x ，实数a ，b ，c 满足f(a)·f(b)·f(c)<0(0<a<b<c)，若实数x0为方程f(x)＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是________．(填序号)①x0<b ；②x0>b ；③x0<c ；④x0>c.答案 ④解析 函数f(x)＝(13)x －log2x 在其定义域(0，＋∞)上是减函数，∵0<a<b<c ，∴f(a)>f(b)>f(c)．又∵f(a)f(b)f(c)<0，则f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0，或者f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0.若f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0，则x0<a ，若f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0，则b<x0<c ，故x0>c 不可能成立，故填④.2． 若f(x)＋1＝1＋，当x ∈[0,1]时，f(x)＝x ，若在区间(－1,1]内，g(x)＝f(x)－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是________．答案 (0，12] 解析 设x ∈(－1,0)，则x ＋1∈(0,1)，∴f(x)＝1＋－1＝1x ＋1－1， ∴画出f(x)在(－1,1]上的图象(如下图)，g(x)＝f(x)－mx －m 在(－1,1]上有两个零点，即f(x)＝m(x ＋1)有两个不同根，即y ＝f(x)与y ＝m(x ＋1)有两个不同交点．如上图，当过(－1,0)的直线处于l 与x 轴之间时，满足题意，则0<m≤12.(推荐时间：60分钟)一、填空题1． 若函数f(x)＝x2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax －1的零点是________．答案 －12，－13解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝032－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6. ∴g(x)＝－6x2－5x －1的零点为－12，－13. 2． 函数f(x)＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0,3)解析 因为f′(x)＝2xln 2＋2x2>0， 所以f(x)是增函数，由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a －3)<0，解之得0<a<3.3． (2013·天津改编)函数f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零点个数为________．答案 2解析 当0<x<1时，f(x)＝2xlog0.5x －1，令f(x)＝0，则log0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x由y ＝log0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f(x)在(0,1)上有一个零点．当x>1时，f(x)＝－2xlog0.5x －1＝2xlog2x －1，令f(x)＝0得log2x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，由y ＝log2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点，故有2个零点．4． 根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝⎩⎨⎧c x ，x<A ，c A ，x≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是________． 答案 60,16解析 因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A＝15， ① 所以必有4<A ，且c 4＝c 2＝30， ②联立①②解得c ＝60，A ＝16.5． 若存在a ∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a －2)x －2>0成立，则实数x 的取值范围________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x<－1或x>23 解析 由ax2＋(a －2)x －2>0得(x2＋x)a －2(x ＋1)>0.令f(a)＝(x2＋x)a －2(x ＋1)．方法一 (补集法)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ ，即⎩⎪⎨⎪⎧x2－x －2≤0，3x2＋x －2≤0， 解得－1≤x≤23， 所以所求范围为该集合的补集，即为x<－1或x>23. 方法二 (直接法)由题意得f(1)>0或f(3)>0，解得．6． 若关于x 的方程4cos x －cos2x ＋m －3＝0恒有实数解，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,8]解析 设cos x ＝t ∈[－1,1]，则t2－4t ＋3－m ＝0，得m ＝t2－4t ＋3在[－1,1]上是单调递减的，所以m ∈[0,8]．7． 设定义域为R 的函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x|，x>0，－x2－2x ，x≤0，则关于x 的函数y ＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为________．答案 7解析 由y ＝2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝12或f(x)＝1，如图画出f(x)的图象，由f(x)＝12知有4个根， 由f(x)＝1知有3个根，故共有7个零点．8． 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，3x ，x≤0，且关于x 的方程f(x)＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 画出函数y ＝f(x)与y ＝a －x 的图象，如图所示，所以a>1.9． (2013·辽宁改编)已知函数f(x)＝x2－2(a ＋2)x ＋a2，g(x)＝－x2＋2(a －2)x －a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p ，q}表示p ，q 中的较大值，min{p ，q}表示p ，q 中的较小值)．记H1(x)的最小值为A ，H2(x)的最大值为B ，则A －B ＝________.答案 －16解析 f(x)＝[x －(a ＋2)]2－4－4a ，g(x)＝－[x －(a －2)]2＋12－4a ，在同一坐标系内作f(x)与g(x)的图象(如图)．依题意知，函数H1(x)的图象(实线部分)，函数H2(x)的图象(虚线部分)．∴H1(x)的最小值A ＝f(a ＋2)＝－4－4a ，H2(x)的最大值B ＝g(a －2)＝12－4a ，因此A －B ＝(－4－4a)－(12－4a)＝－16.二、解答题10．(2012·陕西改编)设函数fn(x)＝xn ＋bx ＋c(n ∈N ＋，b ，c ∈R)．(1)设n≥2，b ＝1，c ＝－1，证明：fn(x)在区间⎝⎛⎭⎫12，1内存在唯一零点；(2)设n ＝2，若对任意x1，x2∈[－1,1]，有|f2(x1)－f2(x2)|≤4，求b 的取值范围．(1)证明 b ＝1，c ＝－1，n≥2时，fn(x)＝xn ＋x －1.∵fn ⎝⎛⎭⎫12fn(1)＝⎝⎛⎭⎫12n －12×1<0， ∴fn(x)在⎝⎛⎭⎫12，1内存在零点．又当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，f′n(x)＝nxn －1＋1>0，∴fn(x)在⎝⎛⎭⎫12，1上是单调递增的，∴fn(x)在⎝⎛⎭⎫12，1内存在唯一零点．(2)解 当n ＝2时，f2(x)＝x2＋bx ＋c.对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4. 据此分类讨论如下：①当⎪⎪⎪⎪b 2>1，即|b|>2时，M ＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|>4，与题设矛盾．②当－1≤－b 2<0，即0<b≤2时， M ＝f2(1)－f2⎝⎛⎭⎫－b 2＝⎝⎛⎭⎫b 2＋12≤4恒成立． ③当0≤－b 2≤1，即－2≤b≤0时， M ＝f2(－1)－f2⎝⎛⎭⎫－b 2＝⎝⎛⎭⎫b 2－12≤4恒成立． 综上可知，－2≤b≤2.。
吉林省东北师范大学附属中学高考数学一轮复习 函数与
"吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 函数与定积分应用（1）学案 理 "知识梳理：（阅读选修教材2-2第2页—第21页）1、 导数及有关概念：000000()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的物理意义和几何意义：3.导函数(导数):xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 00 导数与导函数4.可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.5.求函数()y f x =的导数的一般步骤：6.几种常见函数的导数：7.求导法则：8.复合函数的导数：9.函数的单调性与导数的关系：利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤: ()1求()f x ';()2确定()f x '在(),a b 内符号;()3若()0f x '>在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是增函数；若()0f x '<在(),a b 上恒成立，则()f x 在(),a b 上是减函数①()0f x '>⇒()f x 为增函数（()0f x '<⇒()f x 为减函数）.②()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()f x '≥0在(),a b 上恒成立；()f x 在区间(),a b 上为减函数⇒()f x '≤0在(),a b 上恒成立.10.极值：（1）判别0()f x 是极大、极小值的方法:（2）求可导函数()f x 的极值的步骤:()2函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．()3函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．()4函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.利用导数求函数的最值步骤:12．定积分(理科)（1）概念设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式I n ＝∑n i f1＝(ξi )△x （其中△x 为小区间长度），把n →∞即△x →0时，和式I n 的极限叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作：⎰ba dx x f )(，即⎰ba dx x f )(＝∑=∞→ni n f 1lim (ξi )△x 。
【全国百强校】吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理科数学一轮复习学案--空间几何体的三视图与直观图
一、知识梳理：（必修2教材第11页-第18页） 1、 中心投影与平行投影：2、三视图（1）正视图： （2）侧视图： （3）俯视图：三视图的排列规则： 画三视图的原则： 3、直观图:斜二测画法二、题型探究：探究一：空间几何体的三视图例1:一个几何体由几个相同的小正方体组合而成，它的主视图、左视图、俯视图如下图所示，则这个组合体包含的小正方体个数是 （ ）主视图 左视图 俯视图A 、7B 、6C 、5D 、4例2：已知ABC ∆的平面直观图'''C B A ∆是边长为a 的正三角形，那么原ABC ∆的面积为（ ） （A ）23a 2 （B ）243a （C ）226a （D ）26a例 3.【北京2014】7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠三、方法提升1、三视图是利用物体的三个正投影来表现空间几何体的方法，画几何体的三视图要注意：一个几何体的侧视图与正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边，能看见的轮廓线或棱用实线表示，不能看见的轮廓线或棱用虚线表示。
2、运用斜二测画法画图时应注意：已知图形和直观图中变量和不变量，不但要把一个立体图形画成直观图，还要会把一个直观图还原成一个立体图形。
四、反思感悟五、课时作业 （一）选择题1、如图E 、F 分别为正方体的面ADB 1A 1，面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的摄影可能是 （要求把可能的图的序号都填上）C 1A 1 CA (1) (2)俯视图侧视图正视图222222(3) (4)2、一个等腰直角三角形在一个平面内的正投影可能是⑴、等腰直角三角形 （2）、直角非等腰三角形 （3）、钝角三角形 （4）、锐角三角形 3、（2013青岛一模）如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）A．B. C ．D. 834.（2013上海闸北区）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（ ）A ．10πB ．11πC ．12πD ． 135.（2012泰安一模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的 体积等于（ ） (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D)126.（2012枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）俯视图正(主)视图 侧(左)视图A ．π3B ．π2C ．316πD ．以上都不对7.（2012番禺一模）一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（ ）．A ．12B ．C ．D ．68．(2012·广州模拟)已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号) .①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体.9．（2012新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( ) （A ）6 (B)9 (C)12 (D)18 二、填空题10．如图，直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图(2)(3)所示，则其侧视图的面积为 .11.(2009·温州模拟)把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥C－ABD ，其正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为.12．（北京理7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是 A ．8 B ．6C ．10D ．8【答案】C13.（安徽理6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ）48 （B ）32+8 （C ）48+8 （D ）80三、解答题14.已知正三棱锥V －ABC 的正视图和俯视图如图所示. (1)画出该三棱锥的侧视图和直观图. (2)求出侧视图的面积.15.如图是一个几何体的正视图和俯视图.(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积.16.(2009·广东高考)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示.墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积.。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高三数学(理科)第一轮高考总复习阶段测试卷(第31周)
高三数学理科周测卷[第31周] 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．下列四个命题中，全称命题是（ ）A ．有些实数是无理数B ．至少有一个整数不能被3整除C ．任意一个偶函数的图象都关于y 轴对称D ．存在一个三角形不是直角三角形 2．函数41lg)(+-=x x x f 的定义域为（ ）A ．{}14<<-x x B ．{}41>-<x x x 或 C ．{}1<x x D ．{}14>-<x x x 或3. 设全集U 是实数集R ，{}2|4M x x =>与{}|31N x x x =≥<或都是U 的子集（如下图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}|21x x -≤< B. {}|22x x -≤≤C ．{}|12x x <≤D ．{}|2x x <4．已知函数)31(12)(≤≤+=x x x f ，则 ( ) A ．)1(-x f =)20(22≤≤+x x B ．)1(-x f =)42(12≤≤+-x x C ．)1(-x f =)20(22≤≤-x x D ．)1(-x f =)42(12≤≤-x x5．设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则 （ ）A ．b c a <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b a c <<6．若函数)(x f 的唯一一个零点同时在区间（0，16）,（0，8）,（0，4）,（0，2）内，则下列结论中正确的是（ ）A ．)(x f 在区间（0，1）内一定有零点B ．)(x f 在区间[)16,2内没有零点C ．)(x f 在区间（0，1）或（1，2）内一定有零点D ．)(x f 在区间（1，16）内没有零点7．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，249n a n =-，则n S 取最小值时，n 的值为 ( ) A ．12 B ．13 C ．24 D ．258．“10≤<a ”是“关于x 的方程0122=++x ax 至少有一个负根”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知()f x 是R 上的偶函数，对任意∈x R , 都有(6)()(3)f x f x f +=+，且(1)2f =，则(2009)f 的值为( )A ．0B ．2-C ．2D ．2009 10．设βα、是方程0622=++-k kx x 的实根，则22)1()1(-+-βα的最小值是（ ）A ．494-B ． 8C ．18D ．14 11．已知函数12)(2++=x x x f ，若存在实数t ，当[]m x ,1∈时，x t x f ≤+)(恒成立，则实数m 的最大值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．312．函数()y f x =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式()()f x f x x<-+的解集为 （ ）A ．⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<<<-15520552x x x 或B ．⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<<-155551x x x 或C ．⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-550551x x x 或D ．⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-0552552x x x 且第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分）13．对于实数a (a ＞0且a ≠1), 函数f (x ) = a x －2－3的图象过定点 . 14．已知数列{}n a 满足nnn a a a a -+==+122,211(∈n N *)，则数列{}n a 的第4项是 . 15．若函数)log 2(log 221x y -=的值域是)0,(-∞，则它的定义域是 .16．关于函数xx x f 1lg )(2+=(0≠x ，∈x R ), 有下列命题：①)(x f 的图象关于y 轴对称；②)(x f 的最小值是2lg ；③)(x f 在)0,(-∞上是减函数，在),0(∞+上是增函数； ④)(x f 没有最大值．其中正确命题的序号是 .三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．(本题满分10分) 若函数()2af x x x=-在定义域(]1,0上是减函数，求实数a 的取值范围. 18．(本题满分12分) 已知函数()2x f x =，1()22x g x =+. （1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()0f x g x -=的x 的值.19．(本题满分12分) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n n S a =-(∈n N *)，令n nn a b 2=. （1）求证：数列{}n b 为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.20．(本题满分12分) 某渔业个体户今年年初用96万元购进一艘渔船用于捕捞，规定这艘渔船的使用年限至多为15年. 第一年各种费用之和为10万元，从第二年开始包括维修费用在内，每年所需费用之和都比上一年增加3万元. 该船每年捕捞的总收入为45万元.（1）该渔业个体户从今年起，第几年开始盈利（即总收入大于成本及所有费用的和）？ （2）在年平均利润达到最大时，该渔业个体户决定淘汰这艘渔船，并将船以10万元卖出，问：此时该渔业个体户获得的利润为多少万元？ （注：上述问题中所得的年限均取整数）21．(本题满分12分) 已知函数)(x f 的定义域为),0(+∞，对于任意正数a 、b ，都有p b f a f b a f -+=⋅)()()(，其中p 是常数，且0>p .1)2(-=p f ，当1>x 时，总有p x f <)(.（1）求)21()1(f f 及（写成关于p 的表达式）；（2）判断),0()(+∞在x f 上的单调性，并加以证明；（3）解关于x 的不等式 1)45(2+>+-p x x f .22．(本题满分12分) 已知函数)(1)(a x xa ax x f ≠--+=.（1）证明：对定义域内的所有x ，都有02)()2(=++-x f x a f .（2）当f (x )的定义域为[a +21, a +1]时，求证：f (x )的值域为[]2,3--. （3）设函数g(x ) = x 2+| (x －a ) f (x ) | , 若2321≤≤a ，求g(x )的最小值.理科数学参考答案一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分）1．C 2．D 3．A 4．D 5．B 6．B 7．C 8．A 9．C 10．B 11．C 12．A 二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分）13．)2,2(- 14．6 15．( 0, 2 ) 16．① ② ④三、解答题（本题共6小题, 共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解：（法一）任取12,(0,1]x x ∈且12x x <，由题意知12()()f x f x >， 所以121222a a x x x x ->-，即12212()0a ax x x x -+->，…………………… 4分 所以1212()(2)0a x x x x -+>，只需 1220ax x +<，即122a x x <-. 因为12,(0,1]x x ∈，所以12(0,1)x x ∈，122(2,0)x x -∈-，故2a ≤-.……………………10分 （法二）因为函数()2af x x x=-在定义域(]1,0上是减函数， 所以'220ay x=+≤在(0,1]上恒成立，所以22a x ≤-. 设2()2g x x =-，因为()g x 在(0,1]上的最小值为2-，所以2a ≤-.……………………10分 18．解：（1）11()2()222xxg x =+=+， 因为0x ≥，所以10()12x<≤，即2()3g x <≤，故()g x 的值域是(2,3].…………………5分（2）由()()0f x g x -=得12202xx --=， 当0≤x 时，显然不满足方程，即只有0x >满足12202xx --=，整理得2(2)2210x x -⋅-=，2(21)2x -=，故21x=10分因为20x>，所以21x=2log (1x =. ……………………12分 19．解：（1）因为22n n n S a =-(∈n N *)，则*2,n n N ≥∈时，11122n n n S a ---=-，此时，1n n n a S S -=-=11112222222n n n n n n n a a a a ------+=--， 即1122n n n a a --=+. ………………………………………… 4分 由1122a a =-得12a =. 由nn n a b 2=得1112a b ==.…………………6分 当2≥n 时，1n n b b --=1122n n n n a a ---=21222211==---n n nn n a a ， 所以{}n b 是首项为1，公差为12的等差数列. ……………………8分 （2）由（1）知，111(1)22n n b n +=+-=，即 2n na =12n +， 所以{}n a 的通项公式为 1(1)2n n a n -=+⋅.……………………12分 20．解：（1）设从今年起，第n 年的盈利额为y 万元，则.96273239632)1(10452-+-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+-=n n n n n n y …………………………………3分由0>y 得01927332<+-n n ，∴.3643<<n 又∈n N *，且15≤n ，∴从今年起，第4年开始盈利. ………………………………………………6分 （2）年平均利润为.5.1227396232)9623(2732739623=+⨯-≤+-=+--=n n n n n n n y ……8分当且仅当nn 9623=，即8=n 时年平均利润最大，此时，该渔业个体户共盈利1101085.12=+⨯（万元）. (12)分21．解：（1）取a =b =1，则(1)2(1).(1)f f p f p =-=故.……………………2分又p f f f f -+=⨯=)21()2()212()1(，且1)2(-=p f .得：1)1()2()1()21(+=+--=+-=p p p p p f f f .……………………4分（2）设,021x x << 则])()([)()()()(112111212p x f x x f x f x x x f x f x f -+=-⋅=-1()f x -21()x f p x =- 由1,01221><<x x x x 可得，所以 p x xf <)(12，所以 0)()(12<-x f x f ，因此，),0()(+∞在x f 上是减函数. ………………………………………… 8分（3）由1)45(2+>+-p x x f 得 )21()45(2f x x f >+-，又因为),0()(+∞在x f 上是减函数，所以214502<+-<x x .由0452>+-x x 得 1<x 或4>x ；由21452<+-x x 得21152115+<<-x ， 因此，不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<<<-2115412115x x x 或.……………………12分 22．（1）证明：212122)()2(+--+++--+-=++-xa ax x a a a x a x f x a f 02211211=--++--+-=+--++-+-=ax a x a x x a x a a x a x x a ，∴ 结论成立. ……………………………………………………………… 4分 （2）证明：xa x a x a x f -+-=-+--=111)()(.当112,211,211,121-≤-≤--≤-≤---≤-≤--+≤≤+xa x a a x a a x a 时, 2113-≤-+-≤-xa , 即]2,3[)(--的值域为x f .…………………… 8分（3）解：)(|1|)(2a x a x x x g ≠-++=.当a x a x x x g a x a x -++=-++=≠-≥43)21(1)(,122时且； 当.45)21(1)(,122-+-=+--=-<a x a x x x g a x 时因为2321≤≤a ，所以21121≤-≤-a ，则函数)(x g 在),(),1[+∞-a a a 和上单调递增,在)1,(--∞a 上单调递减，因此，当1-=a x 时，g （x ）有最小值2)1(-a (12)分。
吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 函数的图象学案 理
"吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习函数的图象学案理 "知识梳理：函数的图象是函数的直观表达，形象地显示了函数的性质，借助函数的图象，我们可以方便地研究函数的性质，加深对函数的理解和认识，而且函数的图象是运用“数形结合”思想解决一些综合问题的有力工具，它一方面能启发我们发现解题思路，另一方面能够简化解题过程。
（一）、作图象作函数的图象通常有以下两种办法：（1）、描点法：其步骤①、②、③、④、⑤、连线。
（2）、图象的变换法：主要有以下四种形式：①、平移变化：(②、对称变换：主要有：③、伸缩变换：主要有：④、翻折变换：主要有：（二）、识图象对于给定的函数的图象，要能从图象的左右上下分布范围、变化趋势，来研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质；（三）、用图象函数的图象形象对显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题图径、获得问题结果的重要工具。
(2)若的图象关于直线x=m及x=n对称，则周期函数，2|m-n|是它的一个周期；(3)若的图象关于点（m，0）（n，0）对称，则周期函数，2|m-n|是它的一个周期。
二、题型探究探究一：应用函数的性质作函数的图象例1：作出下列函数的图象（1）、f(x)=|x+2|(x-1)（2）、 f(x)=|(3)、f(x)=(4)、f(x)=(5)、f(x)=sin|x|(6)、f(x)=|lnx|(7)、f(x)=ln|x+1|(8)、f(x)=||-3(9)、f(x)=(10)、f(x)=f(x)=(11)、f(x)=|x+1|+|x-1| f(x)= |x+1|-|x-1|(12)、f(x)=[x]([x]表示不超过x 的最大整数)探究二：利用数形结合的思想解题例2：【2014天津高考理第14题】已知函数()23f x x x =+，．若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________．例3：函数的图象和函数的图象的交点的个数是（）（A）、1 （B）、2 （C）、3 （D）、4例4：函数f(x)=lo() (a>0,a)的图象如图所示，则a，b满足的关系是（）（A）、（B）、（C）、（D）、例5：设函数y=f(x)的图象关于直线x=0及直线x=1对称，且x时，f(x)=，则=( )A、 B、 C、 D、例6：已知函数f(x)=,将y=f(x)的图象向左平移一个单位，再将图象所有的点横标坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=g(x)的图象.(1)、求y=g(x)的定义域；（2）、令F(x)= f(x-1)- g(x)，求F(x)值域。
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"吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习二次
函数(1)学案理 "
一、知识梳理
二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延．作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题．
同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础．因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了．
学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征．从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法．
1、二次函数解析式的三种形式
一般式：
顶点式：
零点式：
则有
2、二次函数的图象和性质
（1）、二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的对称轴是，顶点的坐标，因此对任意的实数x，都有。
当时，抛物线开中方向，在区间上是递增，在区间
上，是递减，因此抛物线在处，取得最小值。
当时，抛物线开中方向，在区间上是递增，在区间
上，是递减，因此抛物线在处，取得最大值。
（2）、二次函数的图象与x轴的位置关系：由判别式判定
3、二次函数，二次方程，二次不等式的关系
一般地，设二次函数，二次方程的根的差别式
，我们可以利用二次方程的根求出不等式
,或
,解集，它们的关系如下表：
==
)
,
二、题型探究
[探究一]二次函数的最值问题 例1：已知
求函数f(x)=
的最大值与最小值。
[探究二] 二次函数与一元二次方程
例2．若函数2
()24f x x ax a =+-+是偶函数，则函数()f x 的最小值为 ．
例3：【2014高考江苏卷第13题】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当
[)0,3x ∈时，21()22
f x x x =-+
，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 .
[探究三] 二次函数与导数
例4． 已知函数()f x 在R 上满足2
()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()
y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 .
例5.设函数2
()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为
21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 ．
[探究四] 二次函数与恒成立问题
例6.若函数2
()ln(21)f x ax ax =++的定义域为一切实数，则实数a 的取值范围是 ．
练习：若函数2()21
x
e f x ax ax =+-的定义域为一切实数，则实数a 的取值范围是
．。