2017届湖南省雅礼中学高三第七次月考理科数学试题及答案

湖南省雅礼中学2017届高三第七次月考数学理试题考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1、若集合{1234}A =，，，，{2478}{1,3,4,5,9}B C ==，，，，，则集合()A B C 等于（ D ） A. {2,4} B. {1,2,3,4} C. {2,4,7,8} D. {1,3,4} 2、复数i z +=31，i z -=12，则复数12z z 在复平面内对应的点位于（ A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、若向量(12)=，a ，(3,4)-b =，则()()⋅a b a +b 等于（ B ） A.20 B.(10,30)- C.54 D.(8,24)- 4、若3tan 4α=，且sin cot 0αα⋅<，则sin α等于（A ）A. 35-B.35C. 45-D. 455、已知命题01,:;25sin ,:2>++∈∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使R ，.01,:25sin ,:2>++∈∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使01,:;5sin ,:2>++∈∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使R ，.01,:;25sin ,:2>++∈∀=∈∃x x R x q x R x p 都有命题使给出下列结论：①命题“q p ∧”是真命题 ②命题“q p ⌝∧”是假命题 ③命题“q p ∨⌝”是真命题 ④命题“q p ⌝∨⌝”是假命题其中正确的是（ B ）A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③6. 分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道. 要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（C ）A. 34A 种B. 3133A A 种 C. 2343C A 种 D. 113433C C A 种7、设F 1，F 2是椭圆1649422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为 （ D ）A ．4B ．24C ．22D ． 68、若n xx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．1209、数列{}n a 满足2113,1()2n n n a a a a n N ++==-+∈，则122014111m a a a =+++ 的整数部分是（ ）BA. 0B. 1C. 2D. 310、在平面直角坐标系中，(){}(){}22,1,,4,0,340A x y x y B x y x y x y =+≤=≤≥-≥则()()(){}12121122,,,,,,P x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积为（ ）D A ．6 B ．6π+ C ．12π+D ．18π+二．填空题：共25分。

把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上。

11、 如图，O 的两条弦AB ，CD 相交于圆内一点P ，若PA PB =，2,8,4PC PD OP ===，则该圆的半径长为 ．答案：2412、曲线1C ：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）上的点到曲线2C：12112x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）上的点的最短离为 ． 答案：113、设,R x y ∈，且0xy ≠，则()222219x y xy ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为 答案：16 14、计算dx x 2402-⎰的结果是答案：π15、已知()2,3P -是函数ky x=图像上的点，Q 是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q 作直线，使其与双曲线k y x=只有一个公共点，且与x 轴、y 轴分别交于点C D 、，另一条直线362y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A B 、。

则（1）O 为坐标原点，三角形OCD 的面积为 （2）四边形ABCD 面积的最小值为 答案：（1）12 （2）4816、已知数列{}n a 共有9项，其中，191a a ==，且对每个{}1,2,...,8i ∈，均有112,1,2i i a a +⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭。

（1）记392128...a a a S a a a =+++，则S 的最小值为 （2）数列{}n a 的个数为 答案：（1）6；（2）491 解析：令()118i i ia b i a +=≤≤，则对每个符合条件的数列{}n a ，满足条件： 88191111i i i i i a a b a a +=====∏∏，且()12,1,182i b i ⎧⎫∈-≤≤⎨⎬⎩⎭反之，由符合上述条件的八项数列{}n b 可唯一确定一个符合题设条件的九项数列{}n a 。

0.01频率组距记符合条件的数列{}n b 的个数为N ，显然，()18i b i ≤≤中有2k 个12-，2k 个2，84k -个1，且k 的所有可能取值为0,1,2。

（1）对于三种情况，易知当2k =时，S 取到最小值6； （2）224486841491N C C C C =++=三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17、（本题满分12分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： (Ⅰ) 求第四小组的频率；(Ⅱ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求这两人的成绩在[80,90)内的人数的分布列及期望.【解】（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：41(0.0250.01520.010.005)100.3f =-+⨯++⨯=．…………………………….4分 (Ⅱ)设人数为x ，Ex=6622130=⨯+⨯+⨯． ……………………………12分18. (本小题满分12分) 已知函数)0(2sin 2)sin(3)(2>+-=ωωωm xx x f 的最小正周期为π3,当],0[π∈x 时，函数)(x f 的最小值为0.(Ⅰ)求函数)(x f 的表达式；(Ⅱ)在ABC 中，若A C A B B C f sin ),cos(cos sin 2,1)(2求且-+==的值. 【解】 （Ⅰ）.1)6sin(22)cos(12)sin(3)(m x m x x x f +-+=+-⋅-=πωωω……2分 依题意函数.32,32,3)(==ωπωππ解得即的最小正周期为x f所以.1)632sin(2)(m x x f +-+=π…………4分分所以依题意的最小值为所以时当6.1)632sin(2)(.0,.)(,1)632sin(21,656326,],0[ -π+==≤π+≤π≤π+≤ππ∈x x f m m x f x x x（Ⅱ）.1)632sin(,11)632sin(2)(=+∴=-+=ππC C C f22252,..863663622,,2sin cos cos(),212cos sin sin 0,sin 10210sin 1,sin .122Rt C C C ABC A B B B A C A A A A A A πππππππ<+<+==∆+==+--±∴--==<<∴=而所以解得分在中解得分分19、（本题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CD PD BC PB ⊥⊥,，且2=PA 。

（Ⅰ）求证：⊥PA 平面ABCD ；（Ⅱ）若F 为线段BC 的中点，E 为PD 中点.求点D 到平面EAF 的距离.FEDCABP19．（Ⅰ）证明：∵底面ABCD 为正方形， ∴AB BC ⊥，又PB BC ⊥， ∴⊥BC 平面PAB ，∴PA BC ⊥. ………………3分 同理PA CD ⊥， ………………5分 ∴⊥PA 平面ABCD ．（Ⅱ）解：建立如图的空间直角坐标系A - 则，，，)000(A ，，，)022(C (002)P ，，.∵F 为BC 中点，∴).012(，，F同理，(011).E ，， 设n ),,(c b a =为平面EAF 则n AE ⊥，n AF ⊥．又(0,1,1)AP =，),0,1,2(=AF 0,20.b c a b +=⎧∴⎨+=⎩令,1=a 则2,2b c =-=.得n (1,2,2)=-． (10)分又),0,2,0(=∴点D 到平面EAF 的距离43AD ⋅==n n. …………12分20、（本题满分13分）容器A 内装有6升质量分数为20%的盐水溶液，容器B 内装有4升质量分数为5%的盐水溶液，先将A 内的盐水倒1升进入B 内，再将B 内的盐水倒1升进入A 内，称为一次操作；这样反复操作n 次，,A B 容器内的盐水的质量分数分别为,n n a b ，（I ）问至少操作多少次，,A B 两容器内的盐水浓度之差小于1%？（取lg2=0.3010，lg3=0.4771） （Ⅱ）求n n a b 、的表达式。

解：（1）509)515252(61,252)201451(5111=⨯+==⨯+=a b ；……… 2分30426)5(61,54111n n n n n n n n b a b a a b a b +=+=+=+++；………………… 4分 32}{),(3211=-∴-=-∴++q b a b a b a n n n n n n 是的等比数列， 7.52lg 3lg 1101log 1,1001)32(101321≈-=>-∴<⨯=-∴-n b a n n n ，7≥∴n ，故至少操作7次； (7)分（2）n n n n n n n b b b b b )32(1003],4)32(101[51111⨯=-∴+⨯+=+-+ …… 9分)()()(123121--++-+-+=∴n n n b b b b b b b b 2123222927[()()](),25100333100350n n -=+⨯+++=-⨯+ ………… 11分而1112127()().10325350n n n n a b --=+⨯=⨯+ ………………… 13分21、（本题满分13分）设直线:(1)(0)l y k x k =+≠与椭圆2223(0)x y a a +=>相交于,A B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点.（I ）证明：2223.3k a k >+； （Ⅱ）若OAB CB AC ∆=求,2的面积取得最大值时的椭圆方程． 【解】（1）证明：由 (1)y k x =+得1 1.x y k=-将11x y k=-代入2223x y a +=消去x 得 22236(1)30.y y a k k +-+-= ① ………………………… 3分 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点得2223634(1)(3)0,a k k∆=-+->整理得223(1)3a k +>，即2223.3k a k >+ ………5分 （2）解：设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得12263ky y k +=+ ∵2,AC CB =而点(1,0)C -, ∴1122(1,)2(1,)x y x y ---=+得122y y =-代入上式，得226.3ky k-=+ ……………8分 于是，△OAB 的面积||23||||21221y y y OC S =-⋅=29||32k k =≤=+--------10分其中，上式取等号的条件是23,k =即k = ……………………11分由226.3ky k-=+可得2y =将2k y =2k y ==215.a =∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是22315.x y +=--------------13分22、（本题满分13分）已知函数()()()21ln ,02f x xg x ax bx a ==+≠（I ）若2a =-时，函数()()()h x f x g x =-在其定义域上是增函数，求b 的取值范围；（II ）在（I ）的结论下，设函数()[]2,0,ln 2x x x e be x ϕ=+∈，求函数()x ϕ的最小值；（III ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 的图象2C 交于点,P Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交12,C C 于点,M N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.解：（I ）依题意：.ln )(2bx x x x h -+=()h x 在（0,+∞）上是增函数， 1()20h x x b x'∴=+-≥对x ∈（0,+∞）恒成立，…………2分12.10,则2b x xx x x∴≤+>+≥(].22,∞-∴的取值范围为b…………4分（II ）设].2,1[,,2∈+==t bt t y e t x 则函数化为,]2,1[222,12.4)2(22上为增函数在函数时即当y ，b bb b t y ≤≤-≤-∴-+= 当t=1时，y m I n =b+1；…………6分,]2,1[4,22;42,24,2212min 上是减函数在函数时即当时当时即当y ，b bb ，y b t b b -≤≥--=-=-<<-<-< 当t=2时，y m I n =4+2b…………8分.4)(,24.1)(,222,2b x b b x b --<<-+≤≤-的最小值为时当的最小值为时当综上所述ϕϕ当)(,4x b ϕ时-≤的最小值为.24b +…………8分（III ）设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且则点M 、N 的横坐标为.221x x x +=C 1在点M 处的切线斜率为.2|1212121x x xk x x x +==+=C 2在点N 处的切线斜率为.2)(|212221b x x a b ax k x x x ++=+=+=…………9分 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则.21k k =,lnln ln )2()2()(2)()(2.2)(212121212122212212221122121x x x x y y bx x abx x a x x b x x a x x x x b x x a x x =-=-=+-+=-+-=+-++=+则即……………10分.1)1(2)(2ln 1212211212x x x x x x x x x x +-=+-=∴设,1,1)1(2ln ,112>+-=>=u uu u x x u 则 ……………… ① …………11分[).1)1(2ln ,0)1()(,,1)(.0)(,1.)1()1()1(41)(.1,1)1(2ln )(222+->=>+∞>'∴>+-=+-='>+--=u u u r u r u r u r u u u u u u u r u u u u u r 则故上单调递增在所以则令 这与①矛盾，假设不成立.故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. …………13分。