圆周角定理及推论知识点与练习

圆周角定理及推论知识点与练习
1、圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

特别提示：证明圆周角定理时，可以分以下三种情况进行分类讨论：
①圆心在圆周角外
②圆心在圆周角上
③圆心在圆周角内
特别提示：圆周角定理的证明分三种情况，利用三角形外角和定理证明。

2、推论：
①圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半；
②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。

③半圆（直径）所对的圆周角是直角。

90°的圆周角所对的弦是直径。

注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个，同一条弦所对的圆周角的度数有两个，一个是所对的劣弧度数，另一个是所对的优弧度数。

3、应用
（1）运用圆周角定理及推论时，注意在同圆或等圆中；
（2）运用此定理要善于从弧到角或从角到弧的转化，常用弧相等来证角相等；
（3）在圆中常添加直角所对的弦或构造直径所对的圆周角为直角有关的辅助线，利用直角三角形解决有关的计算问题。

例：⊙O 半径OA ⊥OB ，弦AC ⊥BD 于E 。

求证：AD ∥BC
证明：∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90º
∵AB ⋂=AB ⋂，∴∠C=∠D=2
1∠AOB=45º ∵AC ⊥BD ，∴∠AED=90º, ∴∠EAD=∠AED －∠D=45º
∴∠C=∠EAD, ∴AD ∥BC
练习
一、选择题
1、在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )
A.30°
B.30°或150°
C.60°
D.60°或120°
2、如图1，BD 是⊙C 的直径，弦AC 与BD 相交于点，则下列结论一定成立的是（）
Ａ．ABD ACD ∠=∠ Ｂ．ABD AOD ∠=∠Ｃ．AOD AED ∠=∠ Ｄ．ABD BDC ∠=∠
图5
A P C
B
O 3. 如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角70DCE ∠=，则BOD ∠=（）
Ａ．35 Ｂ．70 Ｃ．110 Ｄ．140 º
4. 如图3，A C B 、、是⊙O 上三点，若40AOC ∠=，则ABC ∠的度数是 （ ）
Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．40 Ｄ．80
5. 如图4，⊙O 中弧AB 的度数为60，AC 是O 圆的直径，那么BOC ∠等于（ ）
A ．150
B ．130
C ．120
D ．60
6. 如图5，圆心角∠AOB=120︒，P 是AB ⋂
上任一点（不与A ，B 重合），点C 在AP 的延长线上，则∠BPC 等于（
）
A.45︒
B.60︒
C.75︒
D.85︒
二、填空题
1、如图1，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 、E 均在⊙O 上，则∠1+∠2= 。

2、如图2，A 、B 、C 为⊙O 上的三点，∠ABO=65°，∠BCA= 。

3、如图3，∠ADB=90°，∠C=30°，则∠ABD= 。

4、如图4，在O 中，50BOC OC AB ∠=，∥．则BDC ∠的度数为 。

5、如图5，AB 为O 圆的直径，点为其半圆上任意一点（不含、），点Q 为另一半圆上一定
点，若POA ∠为度，PQB ∠为度．则与的函数关系是 ．
4.如图6,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=____
5.如图7,AB 是⊙O 的直径, BC BD =,∠A=25°,则∠BOD 的度数为________.
6.如图8,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.
Ａ Ｃ
Ｂ Ｏ
A
O
B
C
Ｏ Ａ Ｄ Ｅ Ｃ Ｂ Ｅ Ａ Ｄ Ｃ Ｏ Ｂ 图4 图3 图2 图1
Ａ Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｏ
图4
C B
A O D C
B A
O E
D C
B A
O
图5 图6 图7 图8
三、解答题
1、如图1,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC 的长.
2、如图2,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC 的长.
3、如图3，以⊙O 的直径BC 为一边作等边⊿ABC,交⊙O 于D 、E.求证：BD=DE=EC.
30
D C
B A O D C
B A
O
图1 图2 图3
y x Ｏ Ａ Ｑ
Ｂ Ｐ。