同济大学微积分第三版课件第三章第六节
同济大讲义学微积分第三版课件第三章第六节
0
lim
x tet2dt
x0
0
xex2
0
2 xet2dt
lim 0
2ex2 lim
2.
x0 x
x0 1
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理2 如果函数 f Ca,b, 函数F x 是 f x 的一个
原函数, 则
b
a
f
xdx
FbFa.
⑵
证 因F x 与x x f xdx都是 f x 的原函数, a
值得提出的是: 该问题是否具有一般意义, 即: 若函
数 f x 存在原函数F x , 那么函数 f x 在区间 a , b 上 的定积分是否可以表达为它的原函数在区间 a , b 上的
增量, 即:
abfxdxFbFa,
在第三目中我们将详细讨论这个问题. 首先我们讨论积分上限函数及其导数.
x
x
f
t dt
x f x x f x .
注意到, 当xx,xa就是定理1的形式.
例2 设 Fx x2sint2dt,求F x . x
解 由求导公式得
Fx2xsinx4 1 sinx.
2x
例3
求由
yetdt
x
costdt0确定的隐函数
y
对x
0
0
的导数.
解 方程两边对 x 求导, 则有
则
x F x Ca x b , ⑶
在上式中, 令 x a, 则有
aFaC,
又由于 aaafxdx0,可得CFa,代入⑶
式, 则有
axfxdxFxFa,
在上式中令 x b , 则有
abfxdxFbFa.
定理2建立了定积分与原函数之间的关系, 同时又为定 积分的计算提供了方法.
同济大学(高等数学)_第三篇_常微分方程
第三篇 常微分方程第六章 常微分方程函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中有重要意义．但是在许多问题中，常常不能直接找出这种函数关系，但却能根据问题所处的环境，建立起这些变量和它们的导数（或微分）之间的方程，这样的方程称为微分方程．在本章中，主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法．第一节 微分方程的概念下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念．1．1 引例引例1 一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点),(y x P 处的切线斜率为x 2，求这条曲线方程．解 设所求曲线方程为()y f x =，且曲线上任意一点的坐标为),(y x ．根据题意以及导数的几何意义得x dxdy2=. 两边同时积分得2y x c =+ （c 为任意常数）．又因为曲线通过（1，2）点，把1x =，2y =代入上式，得1=c ．故所求曲线方程为21y x =+．引例2 将温度为C ο100的物体放入温度为C ο0的介质中冷却，依照冷却定律，冷却的速度与温度T 成正比，求物体的温度T 与时间t 之间的函数关系．解 依照冷却定律，冷却方程为kt dtdT-= （k 为比例常数）， 所求函数关系满足0t =，100T =．以上我们仅以几何、物理上引出关于变量之间微分方程的关系． 下面我们介绍有关微分方程基本概念．1.2 微分方程的基本概念定义1 含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程．在微分方程中，若未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．若未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程．例如 下列微分方程中，（1） 13=-'x y ； （2）sin 0dy y xdx +=； （3）21()20y y x'''++= （4）22221u ux y∂∂+=∂∂； （5）cos 3dy y x dx +=． 都是微分方程，其中（1）、（2）、（3）、（5）是常微分方程，（4）是偏微分方程．本课程只讨论常微分方程．定义2 微分方程中含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶． 在上例中，（1）、（2）、（5）是一阶常微分方程，（3）是二阶常微分方程． 一般地，n 阶微分方程记为：0) , , , ,()(='n y y y x F ．定义3 若将()y f x =代入微分方程中使之恒成立，则称()y f x =是微分方程的解（也称显式解）；若将0),(=y x ϕ代入微分方程中使之恒成立，则称关系式0),(=y x ϕ是微分方程的隐式解．定义4 微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解．引例1中，积分后得到C x y +=2为微分方程的通解，由于通解中含有任意常数，所以它不能完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数，为此，要根据实际问题，提出确定通解中的常数的条件．设微分方程中未知函数)(x y y =，如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是00y y x x ==；如果微分方程是二阶的确定任意常数的条件是00y y x x ==，10y y x x ='=，上述这些条件叫做初始条件．定义 5 求解微分方程),(y x f y ='满足初始条件00y y x x ==的特解问题称为一阶微分方程的初值问题．记作⎪⎩⎪⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x ．例1 验证at c at c x sin cos 21+=是微分方程02=+''x a x的解．解 at c at c x sin cos 21+=的一阶导数x '和二阶导数x ''分别是at a c at a c x cos sin 21+-='，at a c at a c x sin cos 2221--='' ()at c at c a sin cos 212+-=．把x '和x ''代入微分方程中，()++-at c at c a sin cos 212()0sin cos 212≡+at c at c a ．因此，at c at c x sin cos 21+=是微分方程的解．如果1c 、2c 是任意常数，则解at c at c x sin cos 21+=是二阶微分方程02=+''x a x 的通解．例2 已知xe x C C y -+=)(21是微分方程0222=++y dxdydx y d 的通解，求满足初始条件40==x y ，20-='=x y 的特解．解 由题意得x x e x C C C e x C C y ----='+=')(])[(21221，把40==x y ，20-='=x y 分别代入得⎩⎨⎧-=-=24121C C C , 即⎩⎨⎧==2421C C ， 于是微分方程的特解为x e x y -+=)24(．习题 6-11．指出下列各微分方程的阶数．（1）d d 0x y y x +=； （2）2()20x y y xy ''-+=；（3）2y yy y x '''+-= ； （4）2()y y y x y ''''''+=+；(5)352cos y y y y ''''-=-； (6)22x y dxdy+=； （7）022=++C Q dt dQ R dt Q d L ； （8）θρθρ2sin =+d d ．2. 验证下列函数是所给的微分方程的解．（1）sin ,cos xy xy y x x '=+=； （2）,20x y e y y y '''=-+=； （3）2221,1y x y x y xy x'=-=++ ； （4）2221,(1)2y x y y x y x '=+=-++．3．验证函数1xy Ce x -=+-是微分方程y y x '+=的解，并求满足初始条件02x y==的特解．4．写出下列条件确定的曲线)(x y y =所能满足的微分方程． （1）曲线在任一点),(y x M 处的切线斜率等于该点纵坐标的3倍． （2）曲线在任一点),(y x M 处的切线斜率与该点横坐标成正比．5．英国人口统计学家马尔萨斯(Malthus)在担任牧师期间，查看了当地教堂100多年来的人口出生统计资料，发现了如下现象：人口出生率是一个常数．在1798年，他发表了《人口原理》一书，其中提出了著名的Malthus 人口模型．他假定条件如下：在人口的自然增长过程中，人口增长率与人口总数成正比．t 表示时间（变量），x 表示人口总数（依赖于时间变化），k 表示人口增长率与人口总数之间的比例常数，试用微分方程表达上述条件． 6．一棵小树刚栽下去的时候生长缓慢， 渐渐地， 小树长高了并且长得越来越快， 几年之后， 绿荫底下已经可乘凉了； 但长到某一高度后， 它的生长速度趋于稳定， 然后再慢慢降下来． 如果假设树的生长速度既与目前的高度成正比， 又与最大高度和目前高度之差成正比，试用微分方程来描述这一过程．（设树生长的最大高度为H (m), 在t (年)时的高度为),(t h 0>k 的是比例常数）第二节 可分离变量微分方程本节我们讨论的是一阶微分方程),(y x f y ='的解法．2.1 可分离变量微分方程 引例 微分方程y x e dxdy-=，显然不能直接用积分法求解，但是适当地变形： dx e dy e x y =，此时，方程右边是只含x 的函数的微分，方程左边是只含y 的函数的微分，对上式积分，得⎰⎰=dx e dy e xy ，即C e e x y +=（C 为任意常数）．这就是微分方程的通解．一般地，一阶微分方程),(y x f y ='，如果能变形为dx x f dy y g )()(=的形式，则方程),(y x f y ='称为可分离变量的微分方程．此处，)(),(y g x f 为连续函数．根据以上所述，解可分离变量的微分方程),(y x f y ='的步骤如下： 第一步：分离变量，将方程写成dx x f dy y g )()(=的形式； 第二步：两端积分：⎰⎰=dx x f dy y g )()(；第三步：求得微分方程的通解C x F y G +=)()(，其中)(),(x F y G 分别为)(),(x f y g 的原函数．例1 求微分方程2dyxy dx=的通解． 解 将方程分离变量，得到dyy=xdx 2， 两边积分，即得12||ln C x y += ，即2112x C C x e e ey ±=±=+．由于1Ce ±是任意非零常数，又0=y 也是方程的解，故原方程的通解为2x Ce y =（C 为任意常数）． 注：变量分离过程中，常将微分方程变形，有时会产生“失解”的现象：⎰⎰=dx x f y g dy)()()0)(()()(≠+=→y g C x F y G ．如果存在0y ，使得0)(0=y g 满足微分方程，且包含在通解中，可与通解合并C x F y G +=)()(．如果0y 不包含在通解中，求解微分方程时，必须补上，和通解一起共同构成微分方程的解． 例2 求微分方程110dy y y dx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的解． 解 将方程分离变量，得到110dy dx y y =⎛⎫- ⎪⎝⎭，两边积分:110dy dx y y =⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰⎰，得1ln10yx C y=+-，整理得方程的通解是xcey -+=110（1ce c -±=为任意非零常数）． 由于1010y y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得01=y ，102=y 也是方程的解． 另外，10=y 包含在通解中，0=y 不含在通解中，故原方程的解为xce y -+=110（c 为任意常数）和0=y ．例3 镭的衰变有如下规律：镭的衰变速率与它的现存量)(t M M =成正比．当0=t 时，0M M =．求镭的存量与时间t 的函数关系．解 由题意得)0(,>-=k kM dtdM． 满足初始条件00|M M t ==．此微分方程为变量分离方程，变量分离，得kdt MdM-=， 积分，得C kt M ln ln +-=，即ktCe M -=．将初始条件00|M M t ==代入上式，得0M C =，故镭的衰变规律为kt e M M -=0．2.2 齐次方程如果一阶微分方程中，有些方程不能直接分离变量，但可以通过适当的变量代换，化为可分离变量的微分方程，齐次微分方程就是其中一种．如果),(y x f y ='可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y dx dy ϕ， 的形式，则称此方程为齐次方程．例如 微分方程0)(22=-+xydy dx y x 可化为xyy x dx dy 22+=， 即等号右边分子、分母同除以2x ，得xy x y dxdy 21⎪⎭⎫⎝⎛+=， 故此方程为齐次方程．齐次方程的解法：令xyu =，则ux y =，u x u y +'='，代入齐次方程 )(u dxdu u ϕ=+，即xdxu u du =-)(ϕ，为变量分离方程． 例4 求微分方程xyx y y tan +='的通解． 解 令xyu =，则ux y =，u x u y +'='，代入上式，得 u u u x u tan +='+，化简，分离变量，得dx xdu u u 1sin cos =，积分，得C x u ln ln sin ln +=，即Cx u =sin ．把xyu =回代，得原方程的通解 Cx xy=sin． 思考：如何观察一阶微分方程是齐次的？mm k k m k m m mm k k m k m m yb y x b y x b x b y a y x a y x a x a dx dy ++++++++++=---- 110110， 特点：分式中分子与分母的各项中x 与y 的幂次之和无一例外的“整齐”——m 次，则该微分方程是齐次方程．例5 求微分方程0)(22=-+xydy dx y x 的通解． 解 原方程可化为xy x y dxdy 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=， 令xyu =，则ux y =，u x u y +'='，代入上式，得 uu u x u 21+='+， 化简，分离变量，得dx xudu 1=， 积分，整理，得C x u +=||ln 22，把xyu =回代，得原方程的通解 ()C x x y +=||ln 222．习题6-21．求下列微分方程的通解．（1）(ln )0x x y y '-=； （2）sin d 2cos d x y y x x =； （3）ln xy y y '=； （4）(1)d (1)d 0y x x y ++-=；(5)y y x dx dy +=21 ； (6)(0).dy x y x dx+=< ；(7) 21y y e dx dy x += ； (8) yt ty y dt dy 321++=．2．求下列微分方程在初始条件下的特解． （1）0(1),1x x x e yy e y ='+==； （2）2d (1)d ,1x y x x y y==-=；（3）42,1x y y y===； (4)2cos dyy x dx=,10==x y ．3．求下列齐次方程的通解或特解． （1）02222=---'x y y y x ；（2）0ln=-'xyy y x ； （3）0)(22=++-dy y x x ydx ；(4) 0cos 3)cos 3sin2(=-+dy xyx dx x y y x y x ； （5）02)3(22=--xydx dy y x ，10==x y ；（6）x y y y x 2)2(-='+，21==x y ． 4．作适当的变量代换，求下列微分方程的通解 （1）2)(y x dxdy+=； （2）0)(22=-+xydy dx y x ； （3）13dy x y dx x y -+=+- ； （4）2)(1y x dx dy +=． 5．已知放射性物质镭的衰变速度与该时刻现有存镭量成正比．由经验材料得知，镭经过1600年后，只剩余原始量的一半．试求镭的质量与时间的函数关系．6．假设设备在每一时刻由于磨损而价值损耗的速度与它的实际价格成正比．已知最初价格为0R ，试求t 年后的价格()R t ．7．由物理学知道，物体冷却的速率与当时物体的温度和周围环境温度之差成正比．现在把100℃的沸水注入杯中，放在室温为20℃的环境中冷却，5min 中后测得水温为60℃.求水温x （℃）与时间t （min ）之间的函数关系．8．探照灯的聚光镜的镜面是一张旋转曲面，它的形状由xOy 坐标面上的一条曲线L 绕x 轴旋转而成．按聚光镜性能的要求，在其旋转轴（x 轴）上一点O 处发出的一切光线，经它反射后都与旋转轴（x 轴）平行．求曲线L 的方程．第3节 一阶线性微分方程3．1 一阶线性齐次微分方程形如)(=+y x P dx dy（6-3-1） 的方程，叫做一阶线性齐次微分方程．方程（6-3-1）是可分离变量的微分方程，分离变量，得dx x P ydy)(-=， 两端积分，得⎰-=dx x P y )(ln ，整理，得⎰=-dx x p Ce y )( （1ce C ±=），其中0=y 也是方程的解． 一阶线性齐次微分方程的通解为⎰=-dxx p Ce y )( （C 为任意的常数）．3．2 一阶线性非齐次微分方程 方程（6-3-2） 且0)(≠x Q 则方程（6-3-2）叫做一阶线性非齐次微分方程．现在我们用常数变易法来求一阶线性非齐次微分方程的通解．这个方法是把（6-3-1）的通解中的C 换成x 的未知函数)(x c ，即作变换⎰=-dxx p e x c y )()(， （6-3-3）于是⎰-⎰'=--dx x p dx x p e x P x c e x c dxdy)()()()()(． （6-3-4） 将（6-3-3）和（6-3-4）代入（6-3-2）得)()()()()()()()()(x Q e x c x P e x P x c e x c dxx p dx x p dx x p =⎰+⎰-⎰'---，两端积分得C dx e x Q x c dxx p +⎰=⎰)()()(，)()(x Q y x P dxdy =+代入（6-3-3）得方程（6-3-2）的通解))(()()(C dx e x Q e y dxx p dx x p +⎰⎰=⎰-． （6-3-5） 上述方法求一阶线性非齐次微分方程通解的步骤，可以总结为： （1）先求对应的齐次方程的通解；（2）将齐次方程通解中的常数C 变换为待定函数()C x ，代入原方程，求出()C x ， 得到非齐次方程的通解． 这种方法称为常数变易法．例1 求微分方程x e y y x =+'的通解．解 原方程即 xe y x y x=+'1，这是一阶线性非齐次微分方程，其中xe x Q x x P x==)(,1)(，（I ）：常数变易法先求原方程对应的齐次方程10y y x'+=的通解.分离变量得d d y xy x=-， 两边积分，得 1ln ln ln ln Cy C x x=+=，（为了方便计算记C C ln =） 故 C y x=， 将上式中的任意常数C 变换成函数()C x ，即设原来的非齐次微分方程的通解为()C x y x=， 则 2()()xC x C x y x '-'=，将y 和y '代入原方程，得22()()()xxC x C x C x e x x x'-+=， 整理得 ()xC x e '=，两边积分，得 ()xC x e C =+，故原方程的通解为 1()xy e C x=+， （II ）：公式法将)(),(x Q x P 代入公式（6-3-5），得][11⎰+⎰⎰=-C dx e xe e y dxx x dxx )(1⎰+=C dx e x x )(1C e xx +=．例 2 求微分方程cos cos y y x x '+=满足初始条件01x y==下的特解.解 这是一阶线性非齐次微分方程，其中()cos ,()cos P x x Q x x ==套用公式（6-3-5），得cos d cos d [(cos )d ]x x x xy e x e x C -⎰⎰=+⎰sin sin [(cos )d ]x x e x e x C -=+⎰sin sin (dsin )x x e e x C -=+⎰sin sin ()xx ee C -=+ 把初始条件01x y==代入上式，得0C =，故所求的特解是 1y =． 例3 求微分方程22yx ydx dy -=， 的通解．解 上述微分方程可改写为yy x dy dx 22-=， 即y yx dy dx -=-2， 为关于未知函数x 的微分方程，其中yy P 2)(-=，y y Q -=)(，套用公式（6-3-5），得).ln ()1())((2222C y y C dy yy C dy ey ex dyy dyy +-=+-=+⎰-⎰=⎰⎰-3．3贝努利方程 方程n y x Q y x P dxdy)()(=+ （1,0≠n ）（6-3-6） 叫做贝努利方程．这个方程不是线性方程，但可以通过变量代换化为线性方程．事实上，对于上式两端同除以ny ，得 )()(1x Q y x P dxdyy n n=+-- （6-3-7） 令nyz -=1，那么dxdyy n dx dz n--=)1(， 用（n -1）乘方程（6-3-7），得)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-=-+， 求出方程的通解后，以ny-1代z 得贝努利方程的通解．例4 求方程2)(ln y x xydx dy =+ 的通解．解 以2y 除以方程两端，得x y xdx dy y ln 112=+--， 令1-=y z ，则上述方程成为.ln 1x z xdx dz -=-， 它的通解为])(ln 21[2x C x z -=，以1-y 代z ，解得方程的通解为1])(ln 21[2=-x C yx ．习题 6-31．求出下列微分方程的通解． （1）x xy dxdy42=+ ； （2）232++=+'x x y y x ； （3）x e x y y sin cos -=+' ； （4）22cos x y xy e x '-=； （5）22(1)1y y x x '-=++ ； （6）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ．2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解． （1）xxx y dx dy sin =+，1==πx y ； （2）10,2x xy y y ='-== ；（3）0cos ,0y y x y='-==； （4）42,1x y y y=== ；（5）0(1),1xxx e yy e y='+== ； （6）2d (1)d ,1x y x x y y ==-=；3.求解下列贝努利方程的通解． （1）23ty ty dt dy =-； （2）5tx x dtdx=-； （3）4)21(3131y x y dx dy -=-； （4）2(cos sin )dyy y x x dx+=-． 4.一容器内盛盐水100L ，含盐50g 现以L g c /21=的盐水注入容器内，其流量为m in /31L =φ．设注入盐水与原有盐水被搅拌成均匀的混合液，同时，此混合液有以流量为m in /22L =φ流出．试求容器内的含盐量与时间t 的函数关系．5.设有一质量为m 的质点作直线运动．从速度为零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为1k ）的力作用于它，此外还受到与速度成正比（比例系数为2k ）的阻力．求质点运动的速度与时间的函数关系．第4节 可降阶的高阶微分方程4.1 )()(x f y n =型微分方程微分方程)()(x f y n =的右端仅含有自变量x ，可以对微分方程两边积分，得到一个1-n 阶的微分方程，1)1()(C dx x f y n +=⎰- 同理可得()，21)2()(C dx x C dx x f y n ++=⎰⎰- 依次继续进行，积分n 次，便得方程)()(x f y n =的含有n 个任意常数的通解． 例1 求微分方程x ey xcos 2-='' 的通解．解 对所给方程接连积分两次，得C x e y x +-='sin 212，22cos 41C Cx x e y x +++=，记C C =1，原方程的通解22cos 41C Cx x e y x +++=．例2 求方程0)3()4(=-y xy的通解．解 设),(x P y ='''代入方程,得)0(0≠=-'P P P x ， 解线性方程得x C P 1=1(C 为任意常数)， 即x C y 1='''，两端积分得22121C x C y +=''，32316C x C x Cy ++='，再积分得到方程的通解为432241224C x C x C x C y +++=， 其中)4,3,2,1(=i C i 为任意常数.例3 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动．设力F 仅是时间t 的函数:F =F (t )． 在开始时刻t =0时F (0)=0F ，随着时间t 的增大，此力F 均匀地减小，直到t =T 时，0)(=T F ．如果开始时质点位于原点，且初速度为零， 求这质点的运动规律． 解 设)(t x x =表示在时刻t 时质点的位置， 根据牛顿第二定律， 质点运动的微分方程为)(22t F dtx d m =． 由题设， 力)(t F 随t 增大而均匀地减小，且t =0时， F (0)=0F ，所以kt F t F -=0)(； 又当t =T 时，F (T )=0，从而)1()(0Tt F t F -=．于是质点运动的微分方程又写为)1(022T t mF dt x d -=，其初始条件为0|0==t x ，0|0==t dt dx ．把微分方程两边积分，得120)2(C Tt t m F dt dx +-=，再积分一次，得21320)621(C t C Tt t m F x ++-=， 由初始条件x |t =0=0，0|0==t dt dx ， 得021==C C ． 于是所求质点的运动规律为)621(320Tt t m F x -=，0≤t ≤T ．4.2 ),(y x f y '=''型微分方程方程),(y x f y '='' (6-4-1) 的右端不显含未知函数y ，如果我们设p y ='，则方程化为),(p x f p ='，这是关于p x ,的一阶方程，设),(p x f p ='的通解为p =ϕ(x ,C 1)，则),(1C x dxdyϕ=， .对它进行积分，原方程的通解为. 21),(C dx C x y +=⎰ϕ. 例4 求微分方程(1+x 2)y ''=2xy '满足初始条件y |x =0=1, y '|x =0=3的特解．解 所给方程是y ''=f (x , y ')型的． 设y '=p ， 代入方程并分离变量后， 有dx x x p dp 212+=． 两边积分，得ln|p |=ln(1+x 2)+C ，即p =y '=C 1(1+x 2) (C 1=±e C )．由条件y '|x =0=3，得C 1=3， 所以y '=3(1+x 2)．两边再积分，得y =x 3+3x +C 2．又由条件y |x =0=1，得C 2=1， 于是所求的特解为y =x 3+3x +1．4.3),(y y f y '=''型微分方程方程),(y y f y '='' (6-4-2)的右端不显含自变量x ，y '看作未知函数)(y p ，即令y '=p ，并利用复合函数的求导法则把方程化为dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==''． 原方程化为),(p y f dydpp=． 设方程),(p y f dydpp=的通解为y '=p =ϕ(y , C 1), 则原方程的通解为 21),(C x C y dy+=⎰ϕ．例5 求微分方程yy ''-y '2=0的通解．解 设y '=p ， 则dydppy =''，代入方程, 得 02=-p dydp yp． 在y ≠0、p ≠0时， 约去p 并分离变量， 得ydy p dp =， 两边积分得c y p ln ln ln +=，即p =C y 或y '=C y (C =±c )．再分离变量并两边积分, 便得原方程的通解为1ln ln c Cx y +=，即y =C 1e Cx (C 1=±c 1)．例6 求微分方程)(22y y y y '-'=''满足初始条件,1)0(=y 2)0(='y 的特解. 解 令,p y ='由,dydppy =''代入方程并化简得 )1(2-=p dydpy，上式为可分离变量的一阶微分方程，解得12+='=Cy y p ，再分离变量,得dx Cy dy=+12，由初始条件1)0(=y ，2)0(='y 得出1=C ， 从而得dx y dy=+21， 再两边积分,得1arctan C x y +=或)tan(1C x y +=，由1)0(=y 得出41arctan 1π==C ，从而所求特解为)4tan(π+=x y ．习题 6-41．求下列各微分方程的通解．（1）x x y sin +='' ； （2）0='+''y y x ；（3）y y y '+'=''3)( ； （4）3221yx d y d -= ；2.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解．（1）0,1,1113='=-=''==x x y y y y ； （2）0,0,002='==''==x x yy y e y ；（3） 0,111=''='=='''===x x x ax y y y e y ； （4）2,1,300='==''==x x y y y y ．3．设有一质量为m 的物体，在空中静止开始下落，如果空气阻力为cv R =（其中c 为常数，v 为物体运动的速度），试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系．第5节 二阶线性微分方程本节课，我们主要讨论二阶线性微分方程解的结构及其解法.5.1二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程的一般形式为y ''+P (x )y '+Q (x )y =f (x )，若方程右端f (x )≡0时，方程称为齐次的； 否则称为非齐次的.先讨论二阶齐次线性方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0，即0)()(22=++y x Q dx dyx P dxy d . 定理1 如果函数y 1(x )与y 2(x )是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0，的两个解， 那么y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x )，也是方程的解， 其中C 1、C 2是任意常数.证明 对y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x )求一阶导得[C 1y 1+C 2y 2]'=C 1 y 1'+C 2 y 2'， 再求二阶导得[C 1y 1+C 2y 2]''=C 1 y 1''+C 2 y 2''. 因为y 1与y 2是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0的解， 所以有y 1''+P (x )y 1'+Q (x )y 1=0及y 2''+P (x )y 2'+Q (x )y 2=0， 从而[C 1y 1+C 2y 2]''+P (x )[ C 1y 1+C 2y 2]'+Q (x )[ C 1y 1+C 2y 2]=C 1[y 1''+P (x )y 1'+Q (x )y 1]+C 2[y 2''+P (x )y 2'+Q (x )y 2]=0+0=0.这就证明了y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x )也是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0的解. 下面讨论函数的线性相关与线性无关：设y 1(x ), y 2(x ), ⋅ ⋅ ⋅ , y n (x )为定义在区间I 上的n 个函数. 如果存在n 个不全为零的常数k 1, k 2, ⋅ ⋅ ⋅ , k n , 使得当x ∈I 时有恒等式k 1y 1(x )+k 2y 2(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ + k n y n (x )≡0成立，那么称这n 个函数在区间I 上线性相关； 否则称为线性无关.对于两个函数， 它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数，如果比为常数，那么它们就线性相关，否则就线性无关.例如， 1-cos 2x ，sin 2x 在整个数轴上是线性相关的. 函数 x ，5x 2在任何区间(a , b )内是线性无关的.定理2 如果如果函数y 1(x )与y 2(x )是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =0的两个线性无关的解，那么y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x ) (C 1、C 2是任意常数)是方程的通解.例1 验证y 1=cos x 与y 2=sin x 是方程y ''+y =0的线性无关解，并写出其通解.解 因为y 1''+y 1=-cos x +cos x =0，y 2''+y 2=-sin x +sin x =0，所以y 1=cos x 与y 2=sin x 都是方程的解.由于x xx y y cot sin cos 21== 不恒为常数， 所以cos x 与sin x 在(-∞, +∞)内是线性无关的.因此y 1=cos x 与y 2=sin x 是方程y ''+y =0的线性无关解.方程的通解为y =C 1cos x +C 2sin x .推论1 如果y 1(x ), y 2(x ), ⋅ ⋅ ⋅, y n (x )是方程y (n )+a 1(x )y (n -1)+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1(x )y '+ a n (x )y =0的n 个线性无关的解， 那么， 此方程的通解为y =C 1y 1(x )+C 2y 2(x )+ ⋅ ⋅ ⋅ + C n y n (x ),其中C 1, C 2, ⋅ ⋅ ⋅, C n 为任意常数.定理3 设y *(x )是二阶非齐次线性方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =f (x )的一个特解，Y (x )是对应的齐次方程的通解, 那么y =Y (x )+y *(x )是二阶非齐次线性微分方程的通解.例如，Y =C 1cos x +C 2sin x 是齐次方程y ''+y =0的通解， y *=x 2-2是y ''+y =x 2 的一个特解， 因此y =C 1cos x +C 2sin x +x 2-2是方程y ''+y =x 2的通解.定理4 设非齐次线性微分方程 y ''+P (x )y '+Q (x )y =f (x )的右端f (x )几个函数之和， 如y ''+P (x )y '+Q (x )y =f 1(x )+ f 2(x )，而y 1*(x )与y 2*(x )分别是方程y ''+P (x )y '+Q (x )y =f 1(x )与y ''+P (x )y '+Q (x )y =f 2(x )的特解，那么y 1*(x )+y 2*(x )就是原方程的特解.5.2常系数齐次线性微分方程先讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法，再把二阶方程的解法推广到n 阶方程.方程y ''+py '+qy =0 (6-5-1)称为二阶常系数齐次线性微分方程， 其中p 、q 均为常数.如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解，那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.由定理2可知，要求二阶常系数线性齐次微分方程 (6-5-1)的通解，关键在于求出它的两个线性无关的特解.为此，我们分析一下方程 (6-5-1)有什么特点.容易看出，二阶常系数线性微分方程 (6-5-1)的左端是,,y y y '''分别乘以“适当”的常数后，可以合并成零，这就是说，适合于方程 (6-5-1)的函数y 必须与其一阶导数、二阶导数之间只差一个常数因子.而指数函数rx y e =（r 为常数）就是具有此特征的最简单的函数.因此可用函数rx y e =来试解（r 是待定常数）.将2,,rx rx rxy e y re y r e '''===代入方程 (6-5-1)得 2()0rx r pr q e ++=因为0rx e ≠，所以有20r pr q ++= (6-5-2)由此可见，只要r 是代数方程 (6-5-2)的根，那么rx y e =就是微分方程 (6-5-1)的解.于是微分方程 (6-5-1)的求解问题，就转化为求代数方程 (6-5-2)的根的问题.代数方程(6-5-2)称为微分方程(6-5-1)的特征方程.特征方程20r pr q ++=是一个一元二次代数方程，它的根有三种情况，因此微分方程(6-5-1)的解也有三种情况：由一元二次方程的求根公式，有1,2r =(1) 当240p q ->时，特征方程 (6-5-2)有两个不相等的实根1r 和2r ，则方程 (6-5-1)有两个线性无关的特解1212,r x r x y e y e ==.这是因为， 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解，又x r r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为x r x r e C e C y 2121+=(2) 当240p q -=时，特征方程(6-5-2)有两个相等的实根122p r r r ==-=，则方程(6-5-1)只得到一个特解1rx y e =，这时直接验证可知2rx y xe =是方程(6-5-)得另一个特解，且1y 与2y 线性无关，因此微分方程(6-5-1)的通解为 1212()rx rx rx y C e C xe C C x e =+=+(3) 当240p q -<时，特征方程(6-5-2)有一对共轭复根1,2r i αβ=±，其中,02p αβ=-=≠.则方程(6-5-1)有两个线性无关的复数形式的特解()()12,i x i x y e y e αβαβ+-==.而在实际问题中，常用的是实数形式的解，为了得到实数形式的解.我们先利用欧拉公式cos sin ixe x i x =+把12,y y 改写为()1(cos sin ),i x x y ee x i x αβαββ+==+ ()2(cos sin ),i x x y e e x i x αβαββ-==- 由本节定理1知，微分方程(6-5-1)的两个解的线性组合仍是它的解，因此实数函数1121()cos ,2x y y y e x αβ=+= 2121()sin ,2x y y y e x i αβ=-= 仍是微分方程(6-5-1)的解，且它们线性无关，因此方程(6-5-1)的通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+综上所述，求二阶常系数线性齐次微分方程(6-5-1)的通解的步骤如下：（1） 写出微分方程(6-5-1)的特征方程20r pr q ++=；（2） 求出特征方程的两个根1r ，2r ；（3） 根据两个根的不同情形，按下表写出微分方程(6-5-1)的通解：例1求微分方程y''-2y'-3y=0的通解.解所给微分方程的特征方程为r2-2r-3=0，即(r+1)(r-3)=0.其根r1=-1，r2=3是两个不相等的实根，因此所求通解为y=C1e-x+C2e3x.例2求方程y''+2y'+y=0满足初始条件y|x=0=4、y'|x=0=-2的特解.解所给方程的特征方程为r2+2r+1=0，即(r+1)2=0.其根r1=r2=-1是两个相等的实根，因此所给微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-x.将条件y|x=0=4代入通解，得C1=4，从而y=(4+C2x)e-x，将上式对x求导，得y'=(C2-4-C2x)e-x.再把条件y'|x=0=-2代入上式，得C2=2.于是所求特解为x=(4+2x)e-x.例3求微分方程y''-2y'+5y= 0的通解.解所给方程的特征方程为r2-2r+5=0.特征方程的根为r1=1+2i,r2=1-2i,是一对共轭复根，因此所求通解为y=e x(C1cos2x+C2sin2x).方程y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) +⋅⋅⋅+p n-1y'+p n y=0，称为n阶常系数齐次线性微分方程，其中p1,p2 ,⋅⋅⋅,p n-1,p n都是常数.二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式，可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.引入微分算子D , 及微分算子的n 次多项式：L (D)=D n +p 1D n -1+p 2 D n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ + p n -1D +p n ，则n 阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n +p 1D n -1+p 2 D n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ + p n -1D +p n )y =0或L (D)y =0.注：D 叫做微分算子D 0y =y , D y =y ', D 2y =y '', D 3y =y ''', ⋅ ⋅ ⋅,D n y =y (n ).分析： 令y =e rx ， 则L (D)y =L (D)e rx =(r n +p 1r n -1+p 2 r n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ + p n -1r +p n )e rx =L (r )e rx .因此如果r 是多项式L (r )的根， 则y =e rx 是微分方程L (D)y =0的解.n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程：L (r )=r n +p 1r n -1+p 2 r n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ + p n -1r +p n =0称为微分方程L (D)y =0的特征方程.根据特征方程的根，可以写出其对应的微分方程的解如下：（1） 单实根r 对应于一项： Ce rx ；（2） 一对单复根r 1, 2=α ±i β 对应于两项： e αx (C 1cos βx +C 2sin βx )；（3） k 重实根r 对应于k 项：e rx (C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k -1)；（4）一对k 重复根r 1, 2=α ±i β 对应于2k 项：e αx [(C 1+C 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +C k x k -1)cos βx +( D 1+D 2x + ⋅ ⋅ ⋅ +D k x k -1)sin βx ].这样就得到n 阶常系数齐次线性微分方程的通解.2211n n y C y C y C y +++=例4 求方程y (4)-2y '''+5y ''=0 的通解.解 这里的特征方程为r 4-2r 3+5r 2=0，即r 2(r 2-2r +5)=0.它的根是r 1=r 2=0和r 3, 4=1±2i .因此所给微分方程的通解为y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ).例5 求方程0444=+w dx wd β的通解， 其中β>0.解 这里的特征方程为 r 4+β 4=0. 它的根为)1(22,1i r ±=β, )1(24,3i r ±-=β. 因此所给微分方程的通解为)2sin 2cos (212x C x C e w x βββ+=)2sin 2cos (432 x C x C e x βββ++-.5.3常系数非齐次线性微分方程本节课着重讨论二阶常系数非齐次线性微分方程的解法.方程()y py qy f x '''++=，如果()f x 不恒为零，上述方程称为二阶常系数线性非齐次方程，其中p 、q 是常数.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和：y =Y (x )+ y *(x ).本节课只介绍方程右端)(x f 取如下两种常见形式时，求)(*x y 的方法.5.3.1 x m e x P x f λ)()(=型对于x m e x P x f λ)()(=型，其中λ是常数，)(x Pm 是x 的m 次多项式： 1011()......m m m m m P x a x a x a x a --=++++.当f (x )=P m (x )e λx 时， 可以猜想， 方程的特解也应具有这种形式.下面用待定系数法求微分方程()x m y py qy P x e λ'''++= （6-5-3）的一个特解.因为方程（6-5-3）的右端()f x 是多项式()m P x 与指数函数xe λ的乘积，而多项式与指数函数之积的导数仍为多项式与指数函数之积，联系到方程（6-5-3）左端的系数均为常数的特点，它的特解*y 也应该是多项式与指数函数之积.因此设*()x y Q x e λ=（其中()Q x 是x 的待定多项式）是方程（1）的特解.则有*[()()]x y e Q x Q x λλ''=+，*2[()2()()]x y e Q x Q x Q x λλλ'''''=++，将***,,y y y '''代入方程（6-5-3）并约去x e λ，得2()(2)()()()()m Q x p Q x p q Q x P x λλλ'''+++++= （6-5-4）（I ） 当λ不是特征方程20r pr q ++=的根时，即20p q λλ++≠，要使（6-5-4）式的两端恒等，()Q x 必须与()m P x 同次，因此可设()Q x 为另一个m 次多项式()m Q x ：1011()......m m m m m Q x b x b x b x b --=++++（其中(0,1,...,)i b i m =然后将所设特解*()x m y Q x e λ=代入方程（6-5-3），并通过比较两端x 的同次幂系数来确定(0,1,...,)i b i m =.（II ）当λ是特征方程20r pr q ++=的单根时，则必有20p q λλ++=而20p λ+≠，此时要使式（6-5-4）两端恒等，()Q x '必须是m 次多项式，从而()Q x 是1m +次多项式，因此可设()()m Q x xQ x =（其中()m Q x 为m 次待定多项式）.然后将所设特解*()x m y xQ x e λ=代入方程（6-5-3），并用与（I ）同样的方法确定()m Q x 的系数(0,1,...,)i b i m =.（III ） 当λ是特征方程20r pr q ++=的二重根时，则必有20p q λλ++=且20p λ+=，此时要使式 （6-5-4）两端恒等，()Q x ''必须是m 次多项式，从而()Q x 是2m +次多项式，因此可设2()()m Q x x Q x =（其中()m Q x 为m 次待定多项式）.然后将所设特解*2()x m y x Q x e λ=代入方程（6-5-3），并用与（I ）同样的方法确定()m Q x 的系数(0,1,...,)i b i m =.综上所述，我们有如下结论：二阶常系数线性齐次微分方程()x m y py qy P x e λ'''++=有如下形式的特解*()k x m y x Q x e λ=其中()m Q x 是与()m P x 同次（m 次）的多项式，而按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的二重根，k 分别取0，1或2.例1 求微分方程y ''-5y '+6y =xe 2x 的特解.解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e λx 型(其中P m (x )=x , λ=2).则与所给方程对应的齐次方程为y ''-5y '+6y =0，它的特征方程为r 2-5r +6=0.解得特征方程有两个实根r 1=2， r 2=3.由于λ=2是特征方程的单根， 所以应设方程的特解为y *=x (b 0x +b 1)e 2x ，把它代入所给方程， 得-2b 0x +2b 0-b 1=x .比较两端x 同次幂的系数，得⎩⎨⎧=-=-0212100b b b ，-2b 0=1， 2b 0-b 1=0. 由此求得210-=b ， b 1=-1. 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*--=. 例 2 求微分方程2544101y y y x x '''++=++的一个特解.解 因为方程右端2()31f x x =+，属于2()x P x eλ型，其中22()4101,0P x x x λ=++=，且0λ=不是特征方程2540r r ++=的根，所以可设特解为*2012y b x b x b =++因而有**0102,2y b x b y b '''=+=，将***,,y y y '''代入原方程并整理，得220010124(104)(254)4101b x b b x b b b x x +++++=++比较两端x 同次幂的系数，有0010124410402541b b b b b b =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩ 解之得01211,0,4b b b ===-所以原方程的特解为*214y x =-. 例 3 求微分方程3696x y y y xe-'''++=的通解.解 （1）先求对应齐次方程的通解 因为特征方程2690r r ++=有两个相等的实根123r r ==-，所以对应齐次方程的通解为312()x Y C C x e -=+.（2）求非齐次方程的一个特解因为方程右端3()6x f x xe -=，属于1()xP x e λ型，其中1()6P x x =，3λ=-，且3λ=-。
同济大学微积分第三版第六节省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
y Y y*
二阶非齐次线性微分方程⑴旳通解.
例3 方程 y y 0 有通解Y C1 cos x C2 sin x,
而 y 1 x是方程 y y 1 x 旳特解，则该方程旳
2
2
通解是
Y
C1 cos x
C2 sin
x
1 2
x.
更一般旳结论是
假如 y1, y2 , yn 是非齐次线性微分方程 y(n) P1(x) y(n1) Pn1(x) y Pn (x) y f (x)
设有二阶线性微分方程
d2 y d x2
P(x)
d d
y x
Q(x)
y y2 (x) 是⑵式旳两个解，轻易验证
y C1 y1 C2 y2
⑶
也是⑵旳解，其中C1 , C2 是两个任意常数.
例1 设方程 y 5 y 6 y 0, 则轻易验证e2x , e3x
是方程旳两个解. 因而函数
由此得到方程旳通解为
y C1 ex C2 ln x ex .
三、二阶非齐次线性微分方程解旳构造
一般地，我们称方程⑵ 是非齐次线性微分方程⑴所 相应旳齐次线性微分方程. 犹如一阶线性微分方程旳 解，我们有下面解旳构造定理.
定理2 设 y*是方程⑴旳一种特解，Y C1 y1 C2 y2 是
定理3 设非齐次线性微分方程⑴旳右端 f (x) 是几种
函数之和，即
y P(x) y Q(x) y f1(x) f2 (x) fn (x)
而 yk* 是方程
y P(x) y Q(x) y fk (x)
旳特解，则函数 y1* y2* yn* 是原方程旳一种旳
特解.
例4 方程 y y ex 1 x. 2
同济版 高等数学(上册) 第三章课件1
f x dx F x C .
式, x 称为积分变量, F x 是 f x 的一个原函数.
不定积分的概念
其中 , 符号 称为 积分号 , 称 f x 为 被积函数 , f x dx 称为 被积表达
6
二、不定积分
第三章 一元函数积分学及其应用
由定义知, 求函数 f ( x) 的不定积分, 就是求 f ( x) 的全体原函数.在 f ( x )dx 中, 积分号 表示对函数 f ( x) 施行求原函数的运算, 故求
x4 dx ; 例6 求不定积分: (6) 2 1 x
分子部分加一项减一项后, 分解被积表达式
4 x4 x 2 1 x 2 1 1 x 1 1 1 2 d x = d x dx dx x 1 1 x2 2 1 x2 2 1 x 1 x x3 x arctanx C . = 3
9
二、不定积分
1 例3 求 dx ( x 1dx ). x 1 解 当 x 0 时, (ln x) ; x
第三章 一元函数积分学及其应用
1 1 (1) . 当 x 0 时, 即 x 0 时, [ln( x)] x x 1 1 故 ln x 为 在 (0, ) 上的一个原函数 , ln( x) 为 在 (, 0) 上的一个原函 x x 数. 故当 x 0 时, ln x 为 1 的一个原函数, 从而 x 1 x dx ln x C ( x 0) .
不定积分的运算实质上就是求导(求微分)函数积分学及其应用
按照定义, 一个函数的原函数或不定积分都有相应的定义区间. 为了简便起 见, 如无特别的说明, 今后就不再注明.
同济大学微积分ppt课件
4
集合的运算满足如下运算率：
交换率: A B B A, A B B A
结合率: 分配率:
A B C A B C,
A B C A B C
A B C A C B C, A B C A C B C.
11
T
T(X)
X Y
12
例 设 X 1,2,3,Y 2,4,6,8,
T
X Y,
x
2
x,
则T 是 X 到 Y 的映射.
例 设 X 1,1,Y ,,
X Y
T
x
tan
2
x
则T 是 X 到 Y 的映射.
13
2. 几类重要映射
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D, 数集 X D,
如果M 0,x X , 都有 f x M , 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
有界
O
x
M
O
x
M 无界
22
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
X Y,
T1
x
sin
x,
Y Z ,
T2
y
y2,
则复合映射T2 T1为
X Z,
T
x
(sin x)2.
17
三、一元函数
1.概念
微积分(第三版)课件：多元函数微积分
轴的直准线 C 上.所以 的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组 的坐标，n个实数
称为 中的一个点，也称该点 就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点 为
与
间的距离定义
第二节 多元函数
一、二元函数 二、二元函数的极限与连续 三、多元函数
第二节 多元函数
导言：多元函数是多元函数微积分学研究的 对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、 连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元 函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且 密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一 元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之 间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
（2）以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
（3）以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱 面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就 平行于哪一个坐标轴 .
区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及 其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个 以原点为圆心的圆盘D ，使 ，则称E为有界区域， 否则称E为无界区域.
同济高等数学(第六版)第三章PPT D3_2洛必达法则
2)
x 0 x100
lim
1
1 x2
e
1 解: 令t 2 , 则 x
原式 = lim t
t 50 t
e
t 50 lim t t e
(用洛必达法则)
lim
50 t 49 e
t
t
(继续用洛必达法则)
lim
50 ! e
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x 例4. 求 lim x (n 0 , 0) . x e (2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
n
x k x n x k 1
从而
由(1)
x n x k 1 xk x x x e e e k k 1 x x lim x lim x 0 x e x e xn lim x 0 x e
1 2t 2 1 t 1 原式 lim t 0 t2
lim
t 0
洛
(1 2 t )
1 2
(1 t ) 2t
1 2
洛
lim
t 0
(1 2t )
3 2
1 (1 t ) 2 2
3 2
1 4
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作业 P138 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),
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洛必达法则
推论1. 定理 1 中 x a 换为下列过程之一:
x a ,
f ( x) 推论 2. 若 lim F ( x) 理1条件, 则
x ,
同济大学微积分课件 PPT
以下例中函数的定义域均为实数集。
例3 符号函数 ysgnx,
1 x 0,
ysgnx来自0x 0,y
1 x 0.
ysgnx
O
x
4 321
例 取整函数 y x.
y
x -4 -3 -2 -1O -1 1 2 3 4 5
-2 -3 -4
2. 函数的几种特性
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D , 数集 X D,
a
b
x
半开半闭区间: a,bxaxb;
a
b
x
(a,b]xaxb;
a
b
x
无穷区间:
( , ) x x .
x
[a , ) xax
a
x
(a , ) xax
a
x
注意：无穷端不能写成闭的记号
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
邻域：
设a , 是实数，且 0, 则定义点 a 的 邻域为集合：
如果M 0,x X , 都有 f x M, 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
O
有界
x
M
O
x
M 无界
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
2
, 2
上无界.
y
y y tanx
y sin x
1
O
x
O
x
2
2
1
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
X Z,
T
x
T2[T1(x)]
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在上式中, 令 x a, 则有
aFaC,
又由于 aaafxdx0,可得CFa,代入⑶
式, 则有
axfxdxFxFa,
T2 v t d t , T1
但是, 这段路程又可视为位置函数 s t 在区间 T1,T2 上
的增量sT2sT1, 即
T2vtdt T1
sT2sT1,
又st vt, 即位移函数是速度函数的原函数, 所以上
述关系表示为速度函数 v t 在区间 T1,T2 上的定积分等 于v t 的原函数s t 在区间 T1,T2 上的增量.
第六节 微积分基本定理
本节要点
本节通过积分上限函数, 证明了连续函数的原函数的 存在性, 更进一步地得到微积分基本公式——牛顿—莱 伯尼茨公式
abfxdxFbFa,
其中Fx为 f x的一个原函数.
一、问题的提出
在上一节中, 我们看到: 物体在时间间隔 T1,T2 内经 过的路程为速度函数在区间 T1,T2 上的定积分
xx xxftdt, x a o a x xx b x
由此得到函数的增量
x x x
xxftdtxftdt
a
a
xx f tdt. x
由积分中值定理, 得
f x,
其中 介于 x 与 x x之间, 故 f , 又由于
lim 0
2ex2 lim
2.
x x
x0 1
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理2 如果函数 f Ca,b, 函数F x 是 f x 的一个
原函数, 则
b
a
f
x dx
FbFa.
⑵
证
因F
x
与 x
x
a
f xdx都是 f
x
的原函数,
则
x F x Ca x b , ⑶
解 为求极值, 先求函数 f x 的驻点. 因
fx x e x 2,fx 0 x 0 .
显然有: x 0 f x 0 ; x 0 f x 0 ,所以
x 0 是函数的极小值点. 又f 0 0, 故当 x 0 时 函数有极小值 f 0 0.
bx
这个函数称为积分上限函数或为变上限函数.
例如 fxx,x0,1, 则
x1x2 x0,1,
2
在下图中, 红色三角形面积 y
即为函数 f x x 在 0 , x 中
y=x
中的定积分, 可见它是变元 x
的函数, 面积函数为
sx 1 x2.
2
x
定理1证明了连续函数的原函数的存在性. 并且积分上
限函数
x
x
a
f
tdt
是 f x 的一个原函数.
例1 设Fx xet2dt, 求 F x . 0
解 由求导公式, 得
Fxex2,Fx2xex2.
定理1的更一般形式是：
定理 设函数 f t 在某区间 I 上连续, 函数x及x
f x 为连续函数, 故
x
limffx,
x0
所以,
limlimffx.
x x 0
x 0
此说明函数 x 可导, 且有x f x.
若 x a或 b, 则以上的极限分别改为 x0或
x0就得到 fa与 fb.
二、积分上限函数及其导数
设函数 fx C a ,b , x a ,b ,则 f x 在部分区间
a , x 上可积, 由此积分 y
x
a
f
t
d t
定义了区间 a , b 上的函数,
记为 x , 即
y f x
x
O ax
xa xftdt axb.
值得提出的是: 该问题是否具有一般意义, 即: 若函
数 f x 存在原函数F x , 那么函数 f x 在区间 a , b 上 的定积分是否可以表达为它的原函数在区间 a , b 上的
增量, 即:
abfxdxFbFa,
在第三目中我们将详细讨论这个问题. 首先我们讨论积分上限函数及其导数.
O
x1
x
定理1 如果函数 f Ca,b, 则积分上限函数
x
x
a
f
tdt
在 a , b 上可导, 并且其导函数为
xddxax f tdt f x a x b.
证 若 x a,b, 取 x 的增量 x 并 y y f x
使得 xxa,b, 则
是 a , b 上的可导函数, 且 a,bI,a,bI,则
x
x
f
t dt
x f x x f x .
注意到, 当 xx,xa就是定理1的形式.
例2 设 Fx x2sint2dt,求F x . x
例5 求 lim
x et2d t 2
0
.
x 0 x t e t 2 d t 0
解 原式是0 型. 由罗必达法则, 原式为 0
x e t2 d t 2
2 x et2dt ex2
l i m
x 0
0
lim
x tet2dt
x0
0
xex2
0
2 xet2dt
解 由求导公式得
Fx2xsinx4 1 sinx.
2x
例3
求由
yetdt
x
costdt0确定的隐函数
y
对x
0
0
的导数.
解 方程两边对 x 求导, 则有
eyycosx0,
即
y cos x . ey
例4 当 x 为何值时, 函数f x xtet2dt有极值？ 0