1.4.2.2正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、最值1

正弦函数和余弦函数的最小正周期都是2π.
注意: 1.定义是对定义域中的每一个x值来说的, 只有个别的x值满足:f ( x T ) f ( x ) 不能说T 是y f ( x )的周期. 例如 : sin(

4


2
) sin

4
,
但是 sin(

3


2
) sin

3
.
就是说 sin( x
y
1 -4 -3 -2 -
余弦曲 线
2 3
o
-1
4
5
6
x
（1）正弦、余弦函数的定义域都是R。 （2）正弦、余弦函数的值域都是[-1，1]。
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半 径的长度， 所以
sin x 1, 即 cos x 1
1 sin x 1 1 cos x 1
T 4
函数 性质
y= sinx
(k∈z)
y= cosx
(k∈z)
定义域 值域 最值及相应的 x 的集合
x∈ R
x∈ R
π x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2
周期为T=2π 奇函数
[-1,1]
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数

2
, 0)
对称轴： x k
诱导公式sin(x+2π ) =sinx,的几何意义．
y o X X X+2π X+2π x
正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的 能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函 数的规律性？
概 念
1.一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零的 常数T，使得定义域内的每一个x的值，都满 足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数 非零常数T叫做这个函数的周期 2.对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期 中存在一个最小的正数，那么这个最小的正 数就叫做f(x)的最小正周期。
-1
3 ( ,-1) 2
3 2
2
x
点，与x轴的交点 五点法—— 关键点：最高点、最低
仔细观察正弦、余弦函数的图象，并思考以下几个问题： y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？ （2）正弦、余弦函数的值域是什么？
R [-1，1]
正弦曲 线
思考：一个周期函数的周期有多少个？
三角函数的周期性: y
-2
y 4π
y=sinx(x∈R)
0
X
2
x
X+2π
4
自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的
o y x o 6π 12π 8π x
3.T是f(x)的周期，那么kT也一定是f(x)的周期. (k为非零整数)
例 求下列函数的周期： (1)y=3cosx,x∈R; (2)y=sin2x,x∈R;
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1

2
3
4
5
6
x
正弦函数y=sinx最值
（4）正弦、余弦函数的最值
y
1 -

2
-3

5 2
-2

3 2

o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x

2
2k , k Z时，y max 1
§1.4正弦余弦函数的性质
（1）定义域 （2）值 域
（3）奇偶性 （4）最值 （5）对称性 （6）周期性
五点画图法，作 y sin x, x [0,2 ]的图象
x sinx
0

2

3 2
2
0
y 1
1
( ,1)
2
0
-1
0
( ,0)
( 2 ,0)
2
(0,0) o
2


.
练习. 求下列函数的周期：
x (1) y sin 3 x, x R;(2) y cos ; 2 3 T T 6 3 x (3) y 3sin , x R;(4) y sin( x ); 4 10 T 2 T 8 (5) y cos(2 x ), x R; 3 T 1 (6) y 3 sin( x ), x R. 2 4
y
1
x

2
2k , k Z时，y min 1
余弦函数y=cosx的最值
-3

5 2
-2

3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x 2k , k Z时，y max 1
x 2k , k Z时，ymin 1
正弦函数的对称性
周期性 奇偶性
单调性
对称中心 对称轴
(kπ,0) x = kπ+
π
(kπ+ π 2 ,0) x = kπ
2
称为正弦、余弦函数的有界性。
仔细观察正弦、余弦函数的图象，并思考以下几个问题： y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
（3）正弦、余弦函数的奇偶性？
正弦曲 线
y
1 -4 -3 -2 -
余弦曲 线
2 3
o
-1
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y=sinx (xR) 图像关于原点对称
y
1 -3
5 2
-2

3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
y=sinx
（3）正弦、余弦函数的奇偶性
正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR)
y=sinx (xR) 是奇函数 定义域关于原点对称

2
不能对x在定义域内的每一个值使 ) sin x ,因此

2

2
不是y sin x的周期.
3.并不是所有的函数都有最小正周期,例如 2 (1)常值函数f ( x ) C (C为常数, x R )周期为任一实数 1. (当x为有理数时) (2) D( x ) ，周期为任一有理数。 0. (当x为无理数时) 它们都没有最小正周期.
1 (3) y 2sin( x ), x R 2 6 解(1) cos x 是以2π 为周期的周期函数.
cos( x 2 ) cos x, 3cos( x 2 ) 3cos x,
y 3cos x, x R的周期为2
例 求下列函数的周期： (1)y=3cosx,x∈R; (2)f(x)=sin2x,x∈R;
解(2)
(3)
1 1 2sin( x ) 2sin( x 2 ) 2 6 2 6 1 1 2sin( x ) 2sin ( x 4 ) 2 6 6 2
sin(2 x) sin(2 x 2 ) sin(2x) sin 2( x ) 即：f ( x) f ( x ) y sin 2 x 的周期为π .
1 (3) y 2sin( x ), x R 2 6
1 y 2sin( x ) 的周期为４π 2 6
归纳总结
一般地， 函数y A sin(x ), x R及函 数y A cos(x ), x R(其中A, , 为常 数, 且A 0, 0)的周期为: T 2
（5）正弦、余弦函数的对称性
y
1 -

2
-3

5 2
-2

3 2

o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
对称中心（ k ,0)
余弦函数的对称性
1 -3
5 2
对称轴： x பைடு நூலகம்k
y

2
-2

3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
对称中心（ k