7-2位移法基本未知量和基本结构
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位移法基本未知量数目的确定和基本结构
1结构的结点位移独立结点线位移独立结点角位移¾确定未知量总原则：在原结构的结点上逐渐增加附加约束，直到能将结构拆成具有已知形常数和载常数的单跨梁为止。
未知量个数要最少。
7-3 位移法基本未知量数目的确定和基本结构三类单根杆件2由于在同一刚结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个刚结点只有一个独立的角位移未知量。
一.独立的结点角位移未知量F PEI=常数l 2l2l基本结构1Z结点角位移未知量注意1：铰处弯矩为零,故铰处角位移不作为基本未知量(因为非独立量)。
3独立的结点角位移未知量4为简化计算，在确定独立的结点线位移未知量数目时，作如下假定：1.略去受弯直杆的轴向变形；2.弯曲直杆在受弯前、后其投影长度保持不变。
这样每一受弯直杆就相当于一个约束，从而减少了独立的结点线位移数目。
确定独立的结点线位移未知量数目时，在一般情况下每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。
二.独立的结点线位移未知量5例P原结构基本结构单跨超静定梁的组合体Z 1Z 2Z 3在原结构的结点上逐渐增加附加约束，直到能将结构拆成具有已知形常数和载常数的单跨梁系为止。
独立的结点线位移未知量6独立的结点线位移未知量原结构增加附加约束单跨梁系原结构增加附加约束单跨梁系原结构增加附加约束单跨梁系10例4原结构增加附加约束单跨梁系Aiii30M ABCD ql q例原结构增加附加约束单跨梁系1124位移法的基本未知量与超静定次数无关确定独立的结点线位移数目: 铰化法12使此铰结体系成为几何不变，所需添加的最少支座链杆数目就是原结构独立的结点线位移数目。
铰结体系13原结构铰结体系基本结构例54例614注意2：静定部分可由平衡条件求出其内力,故该部分结点处的角位移和线位移不需作为基本未知量。
15考虑轴向变形的链杆受弯曲杆EA≠∞独立的结点线位移数目为216例确定两结构的位移法基本未知量。
1712考虑轴向变形的链杆具有无限刚性杆件的结构18注意3：弯曲刚度无穷大杆件两端的转角不作为未知量考虑。
结构力学位移法
FP
M BC -3iZ1
A
M BA M BC 0
1 Z1 56i FPl
3 M BA 56 FPl 当附加约束产生实际位移时，建立附加约束的
平衡方程，求解附加约束的位移，进而根据形
常数和载常数绘出各杆的内力图。
25
平衡方程法
以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力-位移(转 角-位移)关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同 作用下的受力 将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别, 建立和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨梁力-位移关 系可得原结构受力
B 结点位移状态的一
致性。
18
P
A θA
C
θA
实现位移状态可分两步完成
1）在可动结点上附加约束， 限制其位移，在荷载作用下， 附加约束上产生附加约束力；
B 分析：
2）在附加约束上施加外力， 使结构发生与原结构一致的结 点位移。
1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及 位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；
2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上 的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。
19
位移法基本思路
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
C
βA
Z1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A θA
Z1P
q ql2/12
q
ql2/12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
C
C
Z1P
ql 2 Z1P - 12
l
EI=常数
B l
Z1=0
A A
26
2.典型方程法
图示各杆长度为 l ,EI 等于常数,分布集度q,
结构力学 7.位移法
也称“先拆后搭”
§7-1 位移法的基本概念
2 位移法计算刚架的基本思路
（1）基本未知量——A 和。
（2）建立位移法基本方程 ■刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。 ■杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。
§7 – 2 等截面直杆的刚度方程 正负号规定
结点转角 A 、 B 、弦转角（ = / l ) 和杆端弯矩M AB
0
0
6
5ql
3ql
3l / 8
8
8
9ql2 / 128
（↑） （↑）
2ql
ql
7
5
10
（↑） （↑）
8
9ql
11ql
40
40
（↑） （↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
9
10
5FPl / 32
11
12
固端剪力
FQAB
FQBA
FPb(3l 2 b2 ) 2l 3
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
（1）B端为固定支座 B 0
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
（2）B端为铰支座 MBA 0
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
M AB
3i A
3i
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
24
25
26
27
固端剪力
§7-1 位移法的基本概念
2 位移法计算刚架的基本思路
（1）基本未知量——A 和。
（2）建立位移法基本方程 ■刚架拆成杆件，得出杆件的刚度方程。 ■杆件合成刚架，利用刚架平衡条件，建立位移法基本方程。
§7 – 2 等截面直杆的刚度方程 正负号规定
结点转角 A 、 B 、弦转角（ = / l ) 和杆端弯矩M AB
0
0
6
5ql
3ql
3l / 8
8
8
9ql2 / 128
（↑） （↑）
2ql
ql
7
5
10
（↑） （↑）
8
9ql
11ql
40
40
（↑） （↑）
§7-2 等截面杆件的刚度方程
表1：载常数表（续）
序号 计算图及挠度图
弯矩图及固端弯矩
9
10
5FPl / 32
11
12
固端剪力
FQAB
FQBA
FPb(3l 2 b2 ) 2l 3
M AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
（1）B端为固定支座 B 0
FQ AB FQ BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
（2）B端为铰支座 MBA 0
M AB
4i A
6i
l
M BA
2i A
6i
l
M AB
3i A
3i
l
§7-2 等截面杆件的刚度方程
M AB
24
25
26
27
固端剪力
位移法的基本未知量
D G E H
①
A
③
B
C
F
I
C
F
②
I
b)
“铰化结点” D
A B E
d)
G H A
基本未知量
Z1 Z7 Z2 B C D E Z3 G Z4 H I Z6 Z5
C
F
I
F
n = ny+nl = 4+3 =7
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4、两点说明
(1)当刚架中有需要考虑轴向变形（EA ）的二力杆时
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1
1 B
1
FP A D
D
Z2
C B
Z3 C
B
C
C
A D Z1
B
2
F E
G
Z4
G
F E
G
nY= 4
A Z6 D F E
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Z5 B C
G
3、结点独立线位移数
(1)简化条件
不考虑由于轴向变形引起的杆件的伸缩（同力法 ）， 也不考虑由于弯曲变形而引起的杆件两端的接近。 因此，可认为这样的受弯直杆两端之间的距离在变 形后仍保持不变，且结点线位移的弧线可用垂直于 杆件的切线来代替。
8.3 位移法的基本未知量
一、位移法的基本未知量 位移法选取结点的独立位移，包括结点的独立角位移 和独立线位移，作为其基本未知量，并用广义位移符 号Zi表示。 二、确定位移法的基本未知量的数目 1、位移法基本未知量的总数目 位移法基本未知量的总数目（记作n）等于结点的独 立角位移数（记作ny）与独立线位移数（记作nl）之 和，即 n n y nl
①
A
③
B
C
F
I
C
F
②
I
b)
“铰化结点” D
A B E
d)
G H A
基本未知量
Z1 Z7 Z2 B C D E Z3 G Z4 H I Z6 Z5
C
F
I
F
n = ny+nl = 4+3 =7
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4、两点说明
(1)当刚架中有需要考虑轴向变形（EA ）的二力杆时
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1
1 B
1
FP A D
D
Z2
C B
Z3 C
B
C
C
A D Z1
B
2
F E
G
Z4
G
F E
G
nY= 4
A Z6 D F E
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Z5 B C
G
3、结点独立线位移数
(1)简化条件
不考虑由于轴向变形引起的杆件的伸缩（同力法 ）， 也不考虑由于弯曲变形而引起的杆件两端的接近。 因此，可认为这样的受弯直杆两端之间的距离在变 形后仍保持不变，且结点线位移的弧线可用垂直于 杆件的切线来代替。
8.3 位移法的基本未知量
一、位移法的基本未知量 位移法选取结点的独立位移，包括结点的独立角位移 和独立线位移，作为其基本未知量，并用广义位移符 号Zi表示。 二、确定位移法的基本未知量的数目 1、位移法基本未知量的总数目 位移法基本未知量的总数目（记作n）等于结点的独 立角位移数（记作ny）与独立线位移数（记作nl）之 和，即 n n y nl
位移法的基本结构及位移法方程
C D F1P C
b) M 1 图
D Z 1=1 k 11
c)
C
M图(kN· m)
D
(90) A -90 B C
F FQ CA = 45
(90) A EI 12 C EI 72 EI 12 D EI 72 k 11 B 225 A 135 B
D
F FQ DB=0
F1P
分别在MP图和 M 1 图中，截取两柱顶端以上部分为隔离体， F 0 如图8-17所示。由剪力平衡条件 ，得 x
Z
三、位移法方程
l/2 A Z1 FP l/2
l/2
FP l/2
C
F1=0
A
Z1 Z 1
C
Z1
EI =常数
l
FP F1=0 FP Z1 Z1 C A A Z 1Z Z1 Z1 1
F1P
P F1P
F
FP
C
C
A
A
C
EI =常数
B
l
B
B
B
B
B
c)
A
基本体系
F11 Z1
d)
F11 Z1 A Z1
C
锁住结点
M图
4i
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A
4i
C C EA =∞ D 例如，图8-16a所示刚架的基本未知量为结点 C、D D的水 平线位移Z1。在结点D加一附加支座链杆，就得到基本结构 EI EI （图8-16b）。其相应的基本体系如图8-16c所示，它的变形 和受力情况与原结构完全相同。 A B A B
k Z F 0 11 1 1P
这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其实质是平 衡条件 。 为了求出系数k11和自由项F1P，可利用表8-2和表8-1，在 基本结构上分别作出荷载作用下的弯矩图（MP图）和 Z1=1引起的弯矩图（ M 1 图）。
b) M 1 图
D Z 1=1 k 11
c)
C
M图(kN· m)
D
(90) A -90 B C
F FQ CA = 45
(90) A EI 12 C EI 72 EI 12 D EI 72 k 11 B 225 A 135 B
D
F FQ DB=0
F1P
分别在MP图和 M 1 图中，截取两柱顶端以上部分为隔离体， F 0 如图8-17所示。由剪力平衡条件 ，得 x
Z
三、位移法方程
l/2 A Z1 FP l/2
l/2
FP l/2
C
F1=0
A
Z1 Z 1
C
Z1
EI =常数
l
FP F1=0 FP Z1 Z1 C A A Z 1Z Z1 Z1 1
F1P
P F1P
F
FP
C
C
A
A
C
EI =常数
B
l
B
B
B
B
B
c)
A
基本体系
F11 Z1
d)
F11 Z1 A Z1
C
锁住结点
M图
4i
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A
4i
C C EA =∞ D 例如，图8-16a所示刚架的基本未知量为结点 C、D D的水 平线位移Z1。在结点D加一附加支座链杆，就得到基本结构 EI EI （图8-16b）。其相应的基本体系如图8-16c所示，它的变形 和受力情况与原结构完全相同。 A B A B
k Z F 0 11 1 1P
这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其实质是平 衡条件 。 为了求出系数k11和自由项F1P，可利用表8-2和表8-1，在 基本结构上分别作出荷载作用下的弯矩图（MP图）和 Z1=1引起的弯矩图（ M 1 图）。
结构力学第七章-位移法(一)
由 M B = 0 同理可得，
FQAB 6i 6i 12i F A B 2 FQAB l l l
结构力学 第七章 位移法
2015年9月12日星期六
§7-2 等截面直杆的转角位移方程
等截面直杆的转角位移方程：
一端固端一端铰支的等截面直杆：
B端角位移不独立。
C
B A
AB：一端固定一端定向滑动 BC：一端固定一端定向滑动 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D B A
AB：两端固定 BC：一端固定一端定向滑动 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D B A
AB：两端固定 BC：两端固定 BD：一端固定一端铰支
C
EI=c D EI=c B A
AB：两端固定 BC：一端固定一端定向滑动 BD：两端固定
R1 = 0 R2 = 0 R3 = 0
R11 Z1
R21
R31
R12
R22 Z2
R32
R13
R23
R1P R33
R2P
P2
R3P
D EI=c A
E
F
D EI=c
E
F
D EI=c
E
F
P1
D EI=c A
E
F
B
C
A
B
C
A
B
C
B
C
(a)基本结构只发生 Z1
(b)基本结构只发生 Z 2
EI 1
B’ O
B
A’
EI
EI
EI
A EI
EI 1
不考虑杆件伸缩变形，AB 不能转动，无结点角位移
结构力学 第七章 位移法
结构力学第七章位移法
几何不变体系
10
§7-3 位移法基本结构与未知量数目
二 位移法基本结构 1 附加刚臂 控制结点转动 2 附加链杆 控制结点线位移
ΔC C θC
ΔD θD
D
基本结构
将原结构结点位移锁住，所得单跨梁的组合体
11
三 位移法基本结构与未知量数目
ΔC
ΔD
Z1
θD
C θC
D
Z2 Z3
基本结构
结点角位移的数目=刚结点的数目=附加刚臂的数目 独立结点线位移的数目=附加链杆的数目
B
15i 16
6
0(2)
位移法方程实质上平衡方程 33
2i
3i/2Z2=1
A
D
2i
k 21
FQ BA
FQ CD
3i 2
B
C k22
FQBA
FQCD
3i
i2
3i/2
k 22
i
3i 4
3i 16
15i 16
B i
0
FQ BA
3i 4
C FQCD i
3i 2
M1
3i 4
A
FQ CD
3i 16
3i/2
D 3i/4 26
4
B
C F2P
3kN/m 3kN/m
16
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
▪ 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
▪ 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
10
§7-3 位移法基本结构与未知量数目
二 位移法基本结构 1 附加刚臂 控制结点转动 2 附加链杆 控制结点线位移
ΔC C θC
ΔD θD
D
基本结构
将原结构结点位移锁住，所得单跨梁的组合体
11
三 位移法基本结构与未知量数目
ΔC
ΔD
Z1
θD
C θC
D
Z2 Z3
基本结构
结点角位移的数目=刚结点的数目=附加刚臂的数目 独立结点线位移的数目=附加链杆的数目
B
15i 16
6
0(2)
位移法方程实质上平衡方程 33
2i
3i/2Z2=1
A
D
2i
k 21
FQ BA
FQ CD
3i 2
B
C k22
FQBA
FQCD
3i
i2
3i/2
k 22
i
3i 4
3i 16
15i 16
B i
0
FQ BA
3i 4
C FQCD i
3i 2
M1
3i 4
A
FQ CD
3i 16
3i/2
D 3i/4 26
4
B
C F2P
3kN/m 3kN/m
16
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
▪ 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
▪ 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
位移法的基本结构及位移法方程
位移法方程
20kN/m
C
D
Z1
F1=0
k11 Z 1 F1P 0
A B
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a)
MP图(kN· m)
C D F1P C
b)M1图 (1/m)
D Z 1=1 k 11 C
c)
M图(kN· m)
D
(90) A -90 B C
F FQ CA = 45
1 F1P FP l 8
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k11 Z 1 F1P 0
将k11和F1P的值代入上式，解得
Z1 F1P FP l k11 64i
结果为正，表示Z1的方向与所设相同。结构的最后弯矩 可由叠加公式计算，即
M M 1 Z1 M P
8.4
位移法的基本结构及位移法方程
一、位移法的基本结构 位移法的基本结构就是通过增加附加约束（包括附加刚 臂和附加支座链杆）后，得到的三种基本超静定杆的综 合体。 所谓附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结 点和组合结点上，人为地加上的一个能阻止其角位移 (但并不阻止其线位移)的附加约束，用黑三角符号“ ” 表示。 所谓附加支座链杆，就是在每个可能发生独立线位移 的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止 其线位移的附加约束。
c) 基本体系 C
A Z1
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三、位移法方程
P l/2 l/2 l/2 FP lF /2
A A Z 1Z
1
C C Z1 Z
1
F1=0F1=0 FP Z1 Z1 A A Z1 Z Z1 Z1 1