人教A版高中数学必修二课件1.3.2球的体积和表面积(共21张PPT)
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高中数学人教A版必修二1.3.2《球的体积和表面积》ppt课件
《考向标》P18－ P20
编后语
果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
研读教材P23 思考部分 1. 球的体积与表面积公式；
2. 完成P27例4的证明，体会公式的运用； “圆柱的底面直径与高都等于球的直径， 求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ；
3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积。”
3. 自我检测：P28 练习 T1，T2
例1：已知⊙O1是半径为R的球O的小圆，且⊙O1的
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
人教A版高中数学必修二1.3.2球的体积与表面积课件
4 3
R3
32
3
结论（1）长方体的外接球的球心是体对角线的交点，半
径是体对角线的一半
（2）设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则对角线长为 a2 b2 c2
3.一个球与它的外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的
体积之比为（ ）
A
A
(A)2∶5 (B)1∶2
(C)2∶3 (D)4∶9
R
O
B O1
C2
O
A2
O
B
令上下两个截面圆的圆心分别为C1 、C2，半径分别为r1、r2
由 r12 5 得r12 5，由 r22 8 得r22 8
在RtOC1A1中,OC1
R2 r12
R2 5
B1 B2
在RtOC2 A2中,OC2 R2 r22 R2 8
C1 C2
A1 A2
OC1 OC2 2, R2 5 R2 8 1
R2 2R 2 R3.
V球
2 3 V圆柱
（2） S球 4 R2，
S圆柱侧 2 R 2R 4 R2
S球 S圆柱侧
练一练
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是__1_: 2___2. 4.若两球体积之比是1:8，则其表面积之比是__1_:_4__.
球的表面积是大 圆面积的4倍
R
例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的 2 ，
(2) 球的表面积等于圆柱的侧面3 积。
分析：由题可得：球内切于圆柱
作圆柱的轴截面（如图）
人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)
3
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
高中数学人教版必修二：1.3.2《球的体积与表面积》课件
D1
C1
A1
B1
表面积为 4 ( 3 a) 2 3 a 2 2
典例展示
由三视图求几何体的体积和表面积 2r
例5.（2015年新课标I）圆柱被一 个平面截去一部分后与半球(半 径为r)组成一个几何体，该几何 体三视图中的正视图和俯视图如 r 图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则r=（ ） （ A） 1 （ B） 2 （ C） 4 （ D） 8
正视图
侧视图
1 （ A） 8 1 （ C） 6
1 （B） 7 1 （ D） 5
俯视图
【解析】由三视图得，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，截去四面体 A A1B1D1，如图所示， 设正方体棱长为 a 则 VA A B D
1 1 1
D1
C1
A1
B1
【答案】D
1 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 5
2 V球 = V柱 3
与球组合的组合体的表面积和体积
两个几何体相切: 一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.
典例展示
例3.求棱长为
a 的正方体的内切球的体积和表面积.
D1 A1 C1
分析：正方体的中心为球的球心， 正方体的棱长为球的直径。
【解析】正方体的内切球的直径为
4 3 所以球的体积为 a . 3
1 3 5 3 故剩余几何体体积为 a a a 6 6
3
1 1 3 1 3 a a 3 2 6
一、基本知识
柱体、锥体、台体、球的表 面积 展开图
圆柱 S 2r (r l ) 圆台S (r2 r 2 rl rl )
圆锥 S r (r l )
高一数学人教A版必修2课件：1.3.2 球的体积和表面积
首页
探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测
课前预习案
课堂探究案
球的表面积和体积 4√2 【例1】 △ABC的三个顶点在球O的表面上,且AB= ,AC=2, BC=6.球心O与BC中点的连线长为4.求球的表面积与体积. 思路分析:由三边长知△ABC是直角三角形,斜边中点为△ABC 解:因为 AB=4√2,AC=2,BC=6, 外接圆圆心 ,所以可求球半径. 所以 AB2+AC2=BC2,即△ABC 为直角三角形.
= × π×33+ ×π×32×4=30π.
1 3
答案:C
明目标、知重点
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探究一 探究二 探究三 思想方法 当堂检测
课前预习案
课堂探究案
与球有关的组合体 √3 【例3】各棱长均为 的四面体内有一内切球,求该球的体积. 思路分析:等体积法→内切球的半径→球的体积 解:
明目标、知重点 如图,在四面体 S-ABC中,取底面△ABC的中心为O ,连接SO ,O A,
课前预习案
课堂探究案
解法一: 作正方体对角面的截面,如图所示,设半球的半径为 R,正方体的 棱长为 a,那么 CC'=a,OC= 即a + 从而 V 因此 V
明目标、知重点
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课堂探究案
变式训练1 若两球的表面积之差为48π,它们的半径之和为6,则 两球的体积之差的绝对值为 .
解析:设两个球的半径分别为 R,r(R>r), 4π������ 2 -4π������ 2 = 48π, 则由题意得 ������ + ������ = 6, ������ = 4, (������ + ������)(������-������) = 12, ������-������ = 2, 即 整理得 解得 ������ = 2. ������ + ������ = 6, ������ + ������ = 6, 故两球的体积之差的绝对值为
人教A版高中数学必修二课件1-3-2球的体积和表面积(共43张PPT)
[解析] 设球半径为 R，则圆台高 h＝2R，设圆台母 线长为 l，上、下底面半径分别为 r1、r2，
∵OD⊥CD，OE⊥BC，OA⊥AB，且 OD＝OE＝OA， ∴∠DCO＝∠ECO，∠EBO＝∠ABO， ∴∠ECO＋∠EBO＝12(∠EOD＋∠EBA)
＝12×180°＝90°，∴∠BOC 为直角． 在 Rt△BOC 中，r1r2＝R2，r1＋r2＝l① 依题意得，πl(4rπ1＋R2r2)＝34② 将①代入②得，(r14＋Rr22)2＝34⇔ (r1＋r2)2＝136R2③
*2.球的截面的性质 (1)用一个平面去截球，截面是圆面； (2)球心和截面圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 以及截面的 半径 r，有下面的关系：r＝ R2－d2. 3．球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆， 球面被不经过球心的平面所截得的圆叫做小圆．
[例1] 一个球的体积为36πcm3，则此球的表面积为 ________．
[答案] 4π2 [解析] 本题是卷起问题，考察圆柱侧面展开与体积， 可以AB为底面周长，BC为高卷起，也可以BC为底面周长， AB为高卷起，最大值为4π2.
4．轴截面为正方形的圆柱称作等边圆柱、一个等边圆 柱内装上一个最大的球，则球的3
[解析] 由条件知，圆柱的底面直径、高和球的直径相
高中数学课件
灿若寒星整理制作
1．3.2 球的体积和表面积
阅读教材 P27～28 回答 1．半径为 R 的球的表面积为 4πR2，体积为43πR3. 2．一个球的表面积为 24π，那么它的体积为 8 6π.
3．(1)球的半径增大为原来的2倍，则球体积是原来的 倍．8
(2)一个球的球大圆面积增为原来的100倍，那么体积 为原来的倍．1000
∵OD⊥CD，OE⊥BC，OA⊥AB，且 OD＝OE＝OA， ∴∠DCO＝∠ECO，∠EBO＝∠ABO， ∴∠ECO＋∠EBO＝12(∠EOD＋∠EBA)
＝12×180°＝90°，∴∠BOC 为直角． 在 Rt△BOC 中，r1r2＝R2，r1＋r2＝l① 依题意得，πl(4rπ1＋R2r2)＝34② 将①代入②得，(r14＋Rr22)2＝34⇔ (r1＋r2)2＝136R2③
*2.球的截面的性质 (1)用一个平面去截球，截面是圆面； (2)球心和截面圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离 d 与球的半径 R 以及截面的 半径 r，有下面的关系：r＝ R2－d2. 3．球面被经过球心的平面所截得的圆叫做大圆， 球面被不经过球心的平面所截得的圆叫做小圆．
[例1] 一个球的体积为36πcm3，则此球的表面积为 ________．
[答案] 4π2 [解析] 本题是卷起问题，考察圆柱侧面展开与体积， 可以AB为底面周长，BC为高卷起，也可以BC为底面周长， AB为高卷起，最大值为4π2.
4．轴截面为正方形的圆柱称作等边圆柱、一个等边圆 柱内装上一个最大的球，则球的3
[解析] 由条件知，圆柱的底面直径、高和球的直径相
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1．3.2 球的体积和表面积
阅读教材 P27～28 回答 1．半径为 R 的球的表面积为 4πR2，体积为43πR3. 2．一个球的表面积为 24π，那么它的体积为 8 6π.
3．(1)球的半径增大为原来的2倍，则球体积是原来的 倍．8
(2)一个球的球大圆面积增为原来的100倍，那么体积 为原来的倍．1000
人教A版高中数学必修二：1.3.2《球的体积与表面积》ppt课件
答案：1，100π 2，C
3 3 12 R 3,
我不习惯带伞，嫌烦，嫌多余。衣衫 湿透， 犹如落 汤鸡一 般，时 常引发 感冒， 大人叱 责，同 学嘲笑 ，自己 依然我 行我素 。工作 之后， 也不带 伞。对 雨季来 与不来 ，也并 不在乎 ，你要 来就来 吧，我 以不变 应万变 ，这雨 砸在头 上也不 会砸出 窟窿来 ，也就 更加淡 然视之 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一个长方体的各顶点均在同一球的球面上 ，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3，则此球的表面积为___________ 。 答案：14π
已知三棱锥S—ABC的各顶点都在一个半径为r的球面 上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC= 2r ,则球 的体积与三棱锥体积之比是（ ） A.π B.2π C.3π D.4π
答案：D
作业精选 巩固提高
• 1.若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面 积是9π，则球的表面积是____________. • 2.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表 面积是其余两个球的表面积之和的（ ） • A.1倍 B.2倍 C.倍 D.倍 • 3.有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一 个半径为R的内切球，然后将容器注满水，现把球 从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆 锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为 多少？
谢谢下载！
课堂小结
• 1.球的表面积和体积公式。 • 2.与球有关的接、切问题是近几年高考的热 点之一，常以选择题或填空题的形式出现， 属于低档题。
1.3.2
球的体积与表面积
人类的家－－地球
探索火星的航天飞船
未来的家－－火星
怎样求球的体积和表面积？
球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成 平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？
3 3 12 R 3,
我不习惯带伞，嫌烦，嫌多余。衣衫 湿透， 犹如落 汤鸡一 般，时 常引发 感冒， 大人叱 责，同 学嘲笑 ，自己 依然我 行我素 。工作 之后， 也不带 伞。对 雨季来 与不来 ，也并 不在乎 ，你要 来就来 吧，我 以不变 应万变 ，这雨 砸在头 上也不 会砸出 窟窿来 ，也就 更加淡 然视之 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一个长方体的各顶点均在同一球的球面上 ，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3，则此球的表面积为___________ 。 答案：14π
已知三棱锥S—ABC的各顶点都在一个半径为r的球面 上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC= 2r ,则球 的体积与三棱锥体积之比是（ ） A.π B.2π C.3π D.4π
答案：D
作业精选 巩固提高
• 1.若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面 积是9π，则球的表面积是____________. • 2.三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表 面积是其余两个球的表面积之和的（ ） • A.1倍 B.2倍 C.倍 D.倍 • 3.有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一 个半径为R的内切球，然后将容器注满水，现把球 从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆 锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为 多少？
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课堂小结
• 1.球的表面积和体积公式。 • 2.与球有关的接、切问题是近几年高考的热 点之一，常以选择题或填空题的形式出现， 属于低档题。
1.3.2
球的体积与表面积
人类的家－－地球
探索火星的航天飞船
未来的家－－火星
怎样求球的体积和表面积？
球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成 平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？
高中数学必修二人教A版课件：1.3.2 球的体积和表面积
解析:计算得 V 甲= 1 πa3, 6
S 甲=4πa2, V 乙= 1 πa3,
6 S 乙=πa2, 所以 V 甲=V 乙,且 S 甲>S 乙.故选 C.
题型二 与球相关的“切”“接”问题 【思考】 1.若半径为R的球内接一长、宽、高分别为a、b、c的长方体,则球半径R与a、 b、c有何关系?
提示:长方体的对角线为球的直径,即 2R= a2 b2 c2 .
解析:由题意知当三棱锥的三条侧棱两两垂直时, 其体积最大.
设球的半径为 r,则 1 × 1 r2·r=36, 32
解得 r=6, 所以球 O 的表面积 S=4πr2=144π, 选 C.
【为备S甲用;一例个1】直径64为个a直的径球都,记为其a4体的积球为,V记乙,它表们面的积体为积S乙之,和则为( V甲,)表面积之和 (A)V甲>V乙且S甲>S乙 (B)V甲<V乙且S甲<S乙 (C)V甲=V乙且S甲>S乙 (D)V甲=V乙且S甲=S乙
则有
x3
V
,
3x 2R,
解得 R= 3 3 V , 2
所以 S 球=4πR2=3π 3 V 2 ,即球的表面积为 3π 3 V 2 .
点击进入 课时作业
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
所以 AE=2 2 , 设球半径为 R,在 Rt△AEO 中, AE2+OE2=AO2, 即(2 2 )2+(6-R)2=R2,
解得 R= 11 , 3
则
S=4πR2=4π
112 3
=
484 9
π,
S 甲=4πa2, V 乙= 1 πa3,
6 S 乙=πa2, 所以 V 甲=V 乙,且 S 甲>S 乙.故选 C.
题型二 与球相关的“切”“接”问题 【思考】 1.若半径为R的球内接一长、宽、高分别为a、b、c的长方体,则球半径R与a、 b、c有何关系?
提示:长方体的对角线为球的直径,即 2R= a2 b2 c2 .
解析:由题意知当三棱锥的三条侧棱两两垂直时, 其体积最大.
设球的半径为 r,则 1 × 1 r2·r=36, 32
解得 r=6, 所以球 O 的表面积 S=4πr2=144π, 选 C.
【为备S甲用;一例个1】直径64为个a直的径球都,记为其a4体的积球为,V记乙,它表们面的积体为积S乙之,和则为( V甲,)表面积之和 (A)V甲>V乙且S甲>S乙 (B)V甲<V乙且S甲<S乙 (C)V甲=V乙且S甲>S乙 (D)V甲=V乙且S甲=S乙
则有
x3
V
,
3x 2R,
解得 R= 3 3 V , 2
所以 S 球=4πR2=3π 3 V 2 ,即球的表面积为 3π 3 V 2 .
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编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
所以 AE=2 2 , 设球半径为 R,在 Rt△AEO 中, AE2+OE2=AO2, 即(2 2 )2+(6-R)2=R2,
解得 R= 11 , 3
则
S=4πR2=4π
112 3
=
484 9
π,
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高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
第一章 空间几何体
1．3.2 球的体积和表面积
学习目标
学习导航
重点难点 重点：球的体积和表面积公式． 难点：有关球的组合体的求解．
新知初探思维启动
1．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝__4_π_R__2 _. 2设．球球的的半体径积为R，则球的体积V＝____43_π_R_3___.
跟踪训练
4．若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6， 求两球的体积之差．
解：设两个球的半径分别为 R，r(R>r)， 则由题意得4πR2 － 4πr2＝ 48π，
R＋ r＝ 6，
∴ R＋r R－r＝12， ∴R－r＝2， ∴R＝4，
R＋ r＝ 6，
R＋r＝6， r＝2.
＝1π( 3r)2·3r－4πr3＝5πr3.
3
33
将球取出后，设容器中水的深度为 h，则水面圆的半径为
3h，水的体积恒定，则容器内水的体积是 3
V′＝1π·( 3h)2·h＝1πh3.
33
9
由 V＝V′，得 h＝3 15r.
即这时容器中水的深度为3 15r.
【名师点评】 利用轴截面图求圆锥的高与底面半径的 关系，再利用水的体积不变列出关于高的方程，用方程 思想解题是高中数学的一个重点．
3
【解】 (1)∵直径为 6 cm，∴半径 R＝3 cm，
∴表面积 S 球＝4πR2＝36π(cm2)，
体积 V 球＝43πR3＝36π(cm3)．
(2)∵S 球＝4πR2＝64π，∴R2＝16，即 R＝4.
∴
V
球＝43πR3
＝43π×
43＝256π. 3
(3)∵V 球＝43πR3＝5030π，∴R3＝125，R＝5，
【方法感悟】
1．球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何 问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球 的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用 它来分析解决问题．如例2，例3. 2．球的组合体要注意区分是内切还是外接，是与面相 切，还是与棱相切．
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名师解题 正确解答有关球的表面积、体积问题
3πr3
∴该圆锥的体积和此球体积的比值为8 ＝ 9 .
【答案】 9
43πr3 32
32
【名师点评】 有关几何体的外接球问题，明确接点的位 置，并作出合适的截面图，是确定有关元素间的数量关系 的关键．
跟踪训练
2．在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC 两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．
跟踪训练
3．将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球， 则该球的体积为( )
4π A. 3
2π B. 3
3π
π
C. 2
D.6
解析：选 A.由题意知，此球是正方体的内切球，根据其 几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可
得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是4×π×13＝4π.
3
3
例3 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角 形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面 恰好与球相切，然后取出球，求这时容器中水的深度．
【解】 如图，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据
切线性质知当球在容器内时水的深度为 3r，水面半径为 3
r，则容器内水的体积为 V＝V 圆锥－V 球
解：∵PA、PB、PC 两两垂直，PA＝PB＝PC＝a， ∴以 PA、PB、PC 为相邻三条棱可以构造正方体． 又∵P、A、B、C 四点是球面上四点， ∴球是正方体的外接，R＝ 23a，
∴V＝4πR3＝4π( 3a)3＝ 3πa3.
3 32
2
题型三 有关几何体的内切球
例4 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球 的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比．
【解】 设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l， 球的半径为 R，
1πr2·h＝4πR3
则由题意得3
3
，
r＝2R
∴1π(2R)2·h＝4πR3，∴ R＝h， r＝ 2h，
3
3
∴l＝ r2＋h2＝ 5h ，
两球的体积之差4π× 43－4π× 23＝4π(43－ 23 )＝224π.
3
3
3
3
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∴S 圆锥侧＝πrl＝π×2h× 5h＝2 5πh2，S 球＝4πR2＝4πh2，
∴S圆 锥侧＝2 S球
4π5hπ2h2＝
5 2
．
信息提炼 层层剖析 设出与已知条件相等关系中有关的量． 正确列出方程组，特别是圆锥与球的体积公式勿用错． 将R、r、l均用h表示． S圆锥侧与S球涉及字母较多，要认真计算．
做一做 已知一个球的体积为4π，则此球的表面积为________．
3 解析：设球的半径为 r，则由题意得4πr3＝4π，所以 r＝1，
33 则球的表面积 S＝4π×12＝4π.
答案：4π
典题例证技法归纳
【题型探究】 题型一 球的表面积、体积的简单计算
例1 (1)已知球的直径为 6 cm，求它的表面积和体积． (2)已知球的表面积为 64π，求它的体积． (3)已知球的体积为500π，求它的表面积．
∴S 球＝4πR2＝100π.
【名师点评】 确定一个球的条件是球心位置和球 的半径，已知球半径可以利用公式求它的表面积和 体积；反过来，已知体积或表面积也可以求其半径．
跟踪训练
1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表 面积之比为________． 解析：根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积 之比等于半径之比的立方，表面积之比等于半径之比的 平方． ∵两个球的体积之比为8∶27， ∴两个球的半径之比为2∶3， ∴两个球的表面积之比为4∶9. 答案：4∶9
题型二 有关几何体的外接球
例2 球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的 距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比 值为________．
【解析】 如图所示，设球半径为 r，则球心到该圆锥底
面的距离是r ，于是圆锥的底面半径为 2
高为32r.
r2－r 2＝ 3r， 22
该圆锥的体积为13×π×( 23r)2×32r＝38πr3，球体积为43πr3，
（金戈铁骑 整理制作）
第一章 空间几何体
1．3.2 球的体积和表面积
学习目标
学习导航
重点难点 重点：球的体积和表面积公式． 难点：有关球的组合体的求解．
新知初探思维启动
1．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝__4_π_R__2 _. 2设．球球的的半体径积为R，则球的体积V＝____43_π_R_3___.
跟踪训练
4．若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6， 求两球的体积之差．
解：设两个球的半径分别为 R，r(R>r)， 则由题意得4πR2 － 4πr2＝ 48π，
R＋ r＝ 6，
∴ R＋r R－r＝12， ∴R－r＝2， ∴R＝4，
R＋ r＝ 6，
R＋r＝6， r＝2.
＝1π( 3r)2·3r－4πr3＝5πr3.
3
33
将球取出后，设容器中水的深度为 h，则水面圆的半径为
3h，水的体积恒定，则容器内水的体积是 3
V′＝1π·( 3h)2·h＝1πh3.
33
9
由 V＝V′，得 h＝3 15r.
即这时容器中水的深度为3 15r.
【名师点评】 利用轴截面图求圆锥的高与底面半径的 关系，再利用水的体积不变列出关于高的方程，用方程 思想解题是高中数学的一个重点．
3
【解】 (1)∵直径为 6 cm，∴半径 R＝3 cm，
∴表面积 S 球＝4πR2＝36π(cm2)，
体积 V 球＝43πR3＝36π(cm3)．
(2)∵S 球＝4πR2＝64π，∴R2＝16，即 R＝4.
∴
V
球＝43πR3
＝43π×
43＝256π. 3
(3)∵V 球＝43πR3＝5030π，∴R3＝125，R＝5，
【方法感悟】
1．球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何 问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球 的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用 它来分析解决问题．如例2，例3. 2．球的组合体要注意区分是内切还是外接，是与面相 切，还是与棱相切．
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名师解题 正确解答有关球的表面积、体积问题
3πr3
∴该圆锥的体积和此球体积的比值为8 ＝ 9 .
【答案】 9
43πr3 32
32
【名师点评】 有关几何体的外接球问题，明确接点的位 置，并作出合适的截面图，是确定有关元素间的数量关系 的关键．
跟踪训练
2．在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC 两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．
跟踪训练
3．将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球， 则该球的体积为( )
4π A. 3
2π B. 3
3π
π
C. 2
D.6
解析：选 A.由题意知，此球是正方体的内切球，根据其 几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可
得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是4×π×13＝4π.
3
3
例3 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角 形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面 恰好与球相切，然后取出球，求这时容器中水的深度．
【解】 如图，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据
切线性质知当球在容器内时水的深度为 3r，水面半径为 3
r，则容器内水的体积为 V＝V 圆锥－V 球
解：∵PA、PB、PC 两两垂直，PA＝PB＝PC＝a， ∴以 PA、PB、PC 为相邻三条棱可以构造正方体． 又∵P、A、B、C 四点是球面上四点， ∴球是正方体的外接，R＝ 23a，
∴V＝4πR3＝4π( 3a)3＝ 3πa3.
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题型三 有关几何体的内切球
例4 若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球 的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比．
【解】 设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l， 球的半径为 R，
1πr2·h＝4πR3
则由题意得3
3
，
r＝2R
∴1π(2R)2·h＝4πR3，∴ R＝h， r＝ 2h，
3
3
∴l＝ r2＋h2＝ 5h ，
两球的体积之差4π× 43－4π× 23＝4π(43－ 23 )＝224π.
3
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∴S 圆锥侧＝πrl＝π×2h× 5h＝2 5πh2，S 球＝4πR2＝4πh2，
∴S圆 锥侧＝2 S球
4π5hπ2h2＝
5 2
．
信息提炼 层层剖析 设出与已知条件相等关系中有关的量． 正确列出方程组，特别是圆锥与球的体积公式勿用错． 将R、r、l均用h表示． S圆锥侧与S球涉及字母较多，要认真计算．
做一做 已知一个球的体积为4π，则此球的表面积为________．
3 解析：设球的半径为 r，则由题意得4πr3＝4π，所以 r＝1，
33 则球的表面积 S＝4π×12＝4π.
答案：4π
典题例证技法归纳
【题型探究】 题型一 球的表面积、体积的简单计算
例1 (1)已知球的直径为 6 cm，求它的表面积和体积． (2)已知球的表面积为 64π，求它的体积． (3)已知球的体积为500π，求它的表面积．
∴S 球＝4πR2＝100π.
【名师点评】 确定一个球的条件是球心位置和球 的半径，已知球半径可以利用公式求它的表面积和 体积；反过来，已知体积或表面积也可以求其半径．
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1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表 面积之比为________． 解析：根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积 之比等于半径之比的立方，表面积之比等于半径之比的 平方． ∵两个球的体积之比为8∶27， ∴两个球的半径之比为2∶3， ∴两个球的表面积之比为4∶9. 答案：4∶9
题型二 有关几何体的外接球
例2 球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的 距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比 值为________．
【解析】 如图所示，设球半径为 r，则球心到该圆锥底
面的距离是r ，于是圆锥的底面半径为 2
高为32r.
r2－r 2＝ 3r， 22
该圆锥的体积为13×π×( 23r)2×32r＝38πr3，球体积为43πr3，