分析法在立体几何问题中应用 - 浙江省湖州中学
立体几何起始课教学过程与教学反思 浙江省湖州市第五中学 杨卫剑 一
立体几何起始课教学过程与教学反思浙江省湖州市第五中学杨卫剑一、教案描述引言课的主要任务是提示这门学科研究的对象、内容、解决问题的思想方法，它具有承前启后的作用，上好引言课，对学生学好这门学科有着十分重要的作用。
因此，应当重视引言课的教学，精心设计教学过程，使其上得生动、具体、有趣，避免抽象、空洞、乏味，从而有效地激发学生学习的积极性。
【教学目的】1、使学生了解立体几何研究的对象、内容；2、使学生初步理解立体几何中的主要数学思想方法（类比思想、转化思想、展开思想）；3、培养学生空间想象能力，初步建立空间概念。
【教学重点与难点】教学的重点是空间概念的建立及立体几何中的主要数学思想方法；难点是空间概念的建立。
【教具】学生每人准备六根长度相等的牙签或六根火柴；正方体、正四面体、圆柱、圆锥等模型；多媒体辅助教学。
【教学方法】引导、类比、对比、探索法。
【教学过程】（一）引入新课问题1、请同学们用六根长度相等的牙签（或火柴）搭正三角形，试试看，最多搭成几个正三角形？学生可能出现的情形：在桌子上摆，有的可能摆成两个正三角形而余下一根牙签；有的可能摆成塔形，塔底为三角形，出现四个正三角形。
学生兴趣很高，积极探索摆法。
最后通过实验、讨论得出：在桌面内最多只能搭两个正三角形，而在空间可搭成四个正三角形。
小结（师）：在平面内（桌面）最多只能搭成两个正三角形，而在空间可搭成四个正三角形。
同时，向学生展示正四面体模型，【设计目的】通过小实验，创设了学习情境，激发了学生学习的兴趣，一开始就把学生的视线由平面引导到了空间。
问题2、请同学们想一想，是否存在三条直线两两垂直？若存在，请举出实际生活中的例子。
学生可能出现的情形：有的用笔、直尺等演示；有的在教室四周观察，议论纷纷，有的说不存在，各抒已见，争论不休。
师：在两种不同意见的学生中各选一人，让学生陈述理由。
学生1：不存在。
因为若则。
学生2：存在。
如教室墙角处的三条直线两两互相垂直。
浙江省湖州中学
化学和数学的亲密接触——运用数学工具解决化学问题数例湖州中学化学组叶笑伟摘要：近年的化学高考试题中，加强了定量理性思维能力的考查，无论是分值还是难度都有所增加。
可见,将化学问题抽象成为数学问题，利用数学工具，通过计算和推理（结合化学知识），解决化学问题的能力是命题专家非常关注的。
因此，同学们在复习备考中要引起足够的重视。
本文笔者就排列组合、数列极限等数学知识在化学解题中的应用，和大家探讨如何将化学问题抽象成数学问题，在化学解题中用好数学工具。
关键词：化学解题；定量理性思维能力；排列组合；数列极限；函数我们知道化学科考试不仅是要测试考生对中学化学基础知识、基本技能的掌握情况，而且更是对所应具备的观察能力、实验能力、思维能力和自学能力的考查。
而在这诸多能力中，思维能力是核心，是人才结构中极为重要的组成部分。
“正是基于这种原因，作为选拔未来高级建设者的预备队伍的高考，从来都把考生思维能力的考查放在极为重要的地位上。
”（教育部考试中心，《高考化学能力考查与题型设计》）。
对于思维能力的考查，近年高考化学试题亮点在于关注学生推理能力和定量理性思维能力。
03年理综考试说明又明确提出“定量描述自然科学的现象和规律。
包括用数学知识处理物理问题、化学计算，以及用简单的图、表和数据描述生命活动的特征等方面”这一内容。
从化学科的角度看，“定量描述自然科学的现象和规律”就是要求把化学问题抽象为数学问题并利用数学工具、结合化学知识、通过计算和推理，解决化学问题。
搜集近几年考查定量理性思维能力的题目，笔者发现如排列组合、不等式、函数与曲线方程、极限、集合、立体几何等数学知识在化学解题中的应用尤为广泛。
一、善用排列组合思想，化繁为简排列在数学中的概念是这样的：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一点的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
组合在数学中的概念是这样的：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
浙江省数学高考立体几何试题的剖析和思考
２ ０ １ ３ 年浙江省数学 高考理科试 题第 ２ Ｏ题是
Ｍ Ｄ且 ２ Ｐ Ｏ＝Ｍ Ｄ， 故Ｑ Ｆ Ｏ Ｐ为平行 四边 形， Ｐ Ｑ∥ Ｏ Ｆ ， 因此 Ｐ ９ ∥平面 Ｂ Ｃ Ｄ ．
・
２ ２・
中学教研 （ 数 学）
解法 １ 如图 ５ ， 作
出 二 面 角 的 平 面 角 鹏 Ｃ， 求 出 二 面 角 的平
力（ 即“ 亲其师， 悟其道 ” ） ， 从而提高学生研究 问题 的能 力 （ 这 远 比学 生 多 做 几 个 题 目要 “ 划 算 得 多” ） ， 这是我们数学教学要不懈努力 的目标．
参 考 文 献
研而生疑 ， 疑而生思 ， 思而后得． 剖析高考试题
背 后 的本 质 （ 背景 或题 源 ） 是破 除题 海 最 “ 给力 ” 的 武器 ， 高考 试 题 的本质 正是 在思 维 的层 层 深人 中揭
对一类 高考试题本质 的追溯 ［ Ｊ ］ ． 中学 数 学教 学参考 ： 上 旬， ２ ０ １ ３ （ ６ ） ： ｌ 一 ３ ．
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浙江 省 数 学 高考 立体 几 何试 题 的 剖析 和 思 考
◆章 显联 应 国刚
１ 阅卷概 况
（ 鲁迅 中学 浙江绍兴 ３ １ ２ ０ ０ ０ ）
（ ２ ） 若二面角 Ｃ ． Ｂ Ｍ － Ｄ的大小为６ Ｏ 。 ， 求Ｚ ＿ Ｂ Ｄ Ｃ 的大小 ．
３ 试题 剖 析
分配到的题是理科卷第 ２ ０题 （ 立体几何试题 ） ． 若
３ ． １ 第（ １ ） 小题 解 析
２位阅卷者给出的分数相差 ２分 以上 ， 则需组长或 副组长等 ３— ４位教师 仲裁 ， ２位 阅卷者给 出的分
第 ８期
章 显联 ， 等： 浙江省数 学高考 立体几何试题 的剖析和 思考
立体几何中的一个“四角”定理
z， 则〔 )P = x sec a ,RP = x tan a ， 〔 p 二 x sec
1一 cost a 一 。 os2# 一 cost Y+ 2cos a cos 床osy 推论 2 设 〔 )A , OB , OC 是不共面的三条射 线， 艺BOC 二 a , 艺C OA = #, 乙AOB = Y， 直线 OA 与平面 BOC 所在的角为 S ， 则 1一 cost a 一 cost# 一 cost Y+ 2cosacos#cosY sin&=
ao. 则 二 面 角 M-AB- N 的 取 值 范 围 是 〔 要， 司 . 一 “ . ‘ ”一 一 产 ’ ‘- - - - 一 一 ’” ‘ 一 犷 、 ~ ’ “~ ~ ‘2 ’ 刁 ’
M 所成的角为 S ， 利用图 1 ， 过点 Q 作平面M 的垂 线 ( 设垂足为 S) ， 可知 S 在直线 PR 上， 由此易证 sins = sin角inO ( 4) 联立 ( 1) , (4) 二式 ， 消去 e ,t 得
据此， 可获立几中关 于 ( 任意 ) 四面体的一个 优美的体积公式 : 推论3 设四面体立 于一个 顶点处 的三条棱 长分别为 a ,b, 。 且三个面
积公式 为
V =
月 ,RQ = x tan 尽 余弦定理分别用于 △POQ, , L PRQ ， 得 PQ2 = (x seca)2+ (x sec 角2 一 2x seca x
coso) , ( 1) 式也成立， 因而当 a E (0 ， 二 )、 月 任C o, 1一 。 osea 一 cos2p 一 cost Y+ 2cos a cosgcosY n〕 时， ( 1) 式成立. 事实上， 在如 图 2 所示 的四面体 中， 底面 于是， 对于文首考题， 只需在 ( 1) 式中令 a = 450, Y妻 45。 对任意 RE 【 。 ， 司 都成立， 可得 ， OBC 上的高 h = a sin民由推论 2 及体积公式 V cosy = cos450coso+ sin450sin床ose 簇 cos450 一 李 ， sina . * 立 得 . 0 cos450( 1 一 co确 = co t 4 50t a n
刍议立体几何中常见的轨迹问题
复习参考中’7欺7(2008年第10期高中版)37刍议立体几何中常见的轨迹问题313000浙江省湖州市第一中学黄加卫立体几何中的轨迹问题是以空间直线与平面的位置关系为依托，研究平面解析几何中一类点的轨迹．这类题型在历年高考卷中“闪亮登场”，成为高考命题的一个创新点．并且这类题型往往是客观题，其立意新颖、构思巧妙，注重多元联系和多元应用，集知识的交汇性、综合性，方法的灵活性，能力的迁移性于一体，极富思考性和挑战性，因此学生求解起来颇感困难，考试时经常弃而不答，令人惋惜!本文试通过实例来展示立体几何中轨迹问题的常用类型．1直线型轨迹问题例1(2008年北京)如图l，动点P在正方体A B C D—A l B。
C。
D。
的对角线B D。
上．过点P作垂直于平面BB．D．D的直线，与正方体表面相交于M，M设B P=石。
M N=Y，则函数Y=以石)的图象大致是()A图1 BC分析由题意可知，M N／／A C，如图2，过P，N分别作PE上B D于点E，N F上BC于点，，连接EF，易知四边形EFN P为平行四边形，故EF=P N=1÷M N A EF L B D．千是A B E F D图2是等腰直角三角形．不妨设正方体的棱长为1，由于△8PE'一A BD,D,可得址争舭脚E萼，于是，，=学--x(O一务同理孚<膏≤万时，得)，=一学茹+2厄(拿<算≤厕，J警一龟赫I-筝+2凰字<茸≤园．～丛A B公座∑C D分析如图3，过P分别作PH上平面B C D，PE上B C，P，上A B于日，E，，，则尸_日=PF．如图4，在平面A B C内，以B为原点，BC所在直线为并轴建立直角坐标系，设A(口，b)，P(石，Y)，故k：bx—ay=0．图3图4．，器=si n￡删圳定值)'筹吨38十。
7擞．7(2008年第10期高中版)复习参考化简整理得如一(o±k／口2+b2)Y=0，因为直线缸一(a—k／口2+62)Y=0的斜率大于L旦，所以动点P的轨迹在A A B C内的图形是一条线口段．又由于I PFI<I PEI，故选D．点评直线型轨迹问题包含轨迹为直线、线段、射线以及折线等问题类型．解题的关键往往在于求出所涉及的函数表达式，另外，通过空间想象，再利用客观题的特点去剖析问题也常起到意想不到的功效．2圆型轨迹问题例3(2004年天津)如图5，定点A和日都在平面a内，定点P每a，PB上a，C是a内异于A和B的动点且P C上A C．那么动点C在平面a内的轨迹是()图5A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点分析‘．’PC．LA C且PC在a内的射影为B C，．‘．B C_LA C，即／_A C B=90。
高中数学解题技巧之立体几何图像分析
高中数学解题技巧之立体几何图像分析在高中数学中，立体几何是一个重要的知识点，涉及到空间几何图形的性质和计算。
解决立体几何题目的关键是分析图像，掌握一些解题技巧。
本文将介绍一些常见的立体几何图像分析方法，帮助高中学生更好地解决相关题目。
一、立体几何图像分析的基本步骤解决立体几何题目的第一步是分析图像，理解几何图形的性质和关系。
以下是一些基本的分析步骤：1. 观察图形：仔细观察给定的立体几何图形，注意其中的特征和形状，包括边长、角度、面积等。
2. 找出关键信息：在题目中找出与图形有关的关键信息，例如给定的长度、角度、面积等。
3. 确定未知量：根据题目要求，确定需要求解的未知量，这将有助于我们选择合适的解题方法。
4. 运用几何性质：根据立体几何的基本性质，利用已知信息推导出未知信息。
例如，利用平行线的性质、相似三角形的性质等。
5. 运用几何公式：在解题过程中，需要熟练掌握立体几何的相关公式，例如体积公式、表面积公式等。
二、应用立体几何图像分析的例题为了更好地理解立体几何图像分析的方法，我们来看一些具体的例题。
例题1：一个正方体的棱长为a，求其体积和表面积。
解析：首先观察图形，我们知道正方体的六个面都是正方形，边长为a。
根据题目要求，我们需要求解正方体的体积和表面积。
体积的计算公式为V = a³，其中a为正方体的边长。
代入已知条件，可得V =a³。
表面积的计算公式为S = 6a²，其中a为正方体的边长。
代入已知条件，可得S = 6a²。
通过对图形的观察和应用几何公式，我们可以得出正方体的体积和表面积。
例题2：一个圆柱体的高为h，底面半径为r，求其体积和侧面积。
解析：观察图形，我们知道圆柱体的底面是一个圆，侧面是一个矩形，高为h，长为2πr。
体积的计算公式为V = πr²h，其中r为底面半径，h为高。
代入已知条件，可得V = πr²h。
侧面积的计算公式为S = 2πrh，其中r为底面半径，h为高。
浅析解析法在立体几何中的妙用
浅析解析法在立体几何中的妙用立体几何中的三视图可以有两种画法，即轴测图和解析图，这二者之间是相互关联的，只能是其中一个，而不可能有两个。
那么，解析几何为什么不能用轴测图呢？因为轴测图是一个封闭图形，它无法看到立体图形的每一个面，即不能全面反映立体图形的形状特征。
解析几何是在平面几何的基础上发展起来的一门学科，它主要研究平面图形经过旋转、平移、对称变换到平面后的性质。
通过将三视图与投影图相结合，找出各点的位置及线段的长度，这样就可以解决问题了。
如果采用轴测图，必须根据视图画出物体的实际大小再由物体的大小推算出物体的具体位置。
这样虽然我们在立体几何问题中计算简便了，但是我们忽略了一些比较重要的东西，比如三视图不同于轴测图，轴测图的任何一个视图都不能完整的表达出立体图形的特征，这是为什么呢？此外，在解决立体几何问题时，采用轴测图的视图进行分析，那么势必会使线段的数量增加很多，当分析问题的某些条件不符合要求时，其不足之处就更明显了。
比如当一条线段是直线时，用轴测图的视图，线段将变得弯曲，在画线段时必须加粗，而用解析图时，这条线段就不必再用加粗的方式表示了。
有些简单问题也可以直接用解析法分析，但是难度较大的就需要先用轴测图的视图进行分析，然后再利用解析法分析，这样才能最终得出正确答案。
所以，三视图相对于轴测图，是比较符合客观事实的。
4、三视图要正确。
解析三视图的画法，对于平面图形和空间图形来说，都是一致的。
只不过在画法上有些差别，轴测图和解析图是一般来讲不要求标准画法，所以轴测图的各个视图的长度、角度、大小等并没有统一的标准。
平面图形的三视图一般来讲都是正确的。
但解析图的各个视图与轴测图的各个视图要按照正规方法画，尽管轴测图和解析图都有一定的局限性，但是轴测图和解析图的缺陷不是普遍性的。
5、还应注意的是三视图也是相对的，是一个比较大的概念。
因为它不仅仅涉及空间几何，也牵扯到数学、物理等领域。
因此，学习解析几何的关键是抓住其内涵和本质，深刻认识到“解析几何”四个字的内涵，这样才能真正地认识和掌握它。
分析高中数学立体几何的解题技巧
分析高中数学立体几何的解题技巧高中数学的立体几何是数学学科中的一个重要部分，也是考试中必考的内容之一。
立体几何通常考察学生对空间思维能力和数学知识的理解和运用。
掌握好立体几何的解题技巧对于高中数学的学习非常关键。
下面将针对高中数学立体几何的解题技巧进行分析和总结。
一、建立数学模型在解决立体几何问题时，首先需要建立一个数学模型，把立体图形抽象成几何模型、二维平面上的图形，以便于进行数学推理。
建立数学模型有助于将立体几何问题转化为二维平面上的几何问题，从而方便进行分析和求解。
在建立数学模型的过程中，可以采用正投影的方法将立体图形映射到一个平面上，这样就可以得到一个相似的二维图形。
然后，根据投影的性质和所给条件进行分析和求解。
在求解的过程中，需要注意投影的相关性质和相似三角形等几何知识，巧妙地利用这些知识进行推导和计算，得出正确的结论。
二、熟练掌握立体几何图形的性质和定理熟练掌握立体几何图形的性质和定理是解决立体几何问题的基础。
在学习立体几何时，需要认真学习并掌握各种图形的性质和定理，例如立体的表面积和体积的计算公式、平行四边形的性质、正多面体的性质和各种立体图形的特点等。
只有掌握了这些基本知识，才能在解题过程中应用得当，准确分析问题并给出正确的解答。
三、善于运用投影、相似三角形和等高线等技巧四、重视图形推理和逻辑思维能力的训练解决立体几何问题需要依靠图形推理和逻辑思维能力。
在学习立体几何时，需要注重图形推理和逻辑推理能力的训练。
通过大量的练习和实例分析，培养学生对图形性质和推理方法的掌握，提高他们的逻辑思维能力。
只有训练了良好的逻辑思维能力，才能在解题时做到丝丝入扣，得出正确的结论。
五、灵活运用数学知识进行综合分析在解决立体几何问题时，需要灵活运用数学知识进行综合分析。
立体几何问题通常涉及到数学知识的多个方面，需要学生综合运用所学的知识进行分析和求解。
学生在解题时需要把所学的知识进行合理地组合和运用，不能局限于某一个方面的知识，应该全面考虑问题的各个方面，灵活运用数学知识进行分析。
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分析法在立体几何问题中应用
湖州中学 凌 红
立体几何在高中是一个难点，特别是添辅助线，让很多同学无从下手.虽然证明题的思路是非常明确的，比如要证明线面平行，只要在平面中找到一条直线与已知直线平行即可；要证明两条异面直线垂直，只要构造一个包含其中一条直线的平面与另一条直线垂直即可，但是如何去寻找所需要的直线与平面呢？幸好空间向量的引入，使得立体几何也可以转化成代数问题进行计算，不需要添加辅助线，只要能建立适当的空间直角坐标系，通过计算即可解决立体几何的问题.但事与愿违，那些没有数量关系的几何问题不可能利用空间向量来解决，因此如何添加辅助线的可操作性的方法便呼之欲出.接下来，利用分析法讨论两类问题：如何添加辅助线和建立适当空间直角坐标系.
一、分析法解决辅助线问题
例1 在正方体1111ABCD A BC D -中，求证：1B D ⊥平面1.ACD
分析：要证明1B D ⊥平面1ACD ，只要证明1B D 垂直于平面1ACD 内的两条相交直线.利用分析法，可以将1B D ⊥平面1ACD 看成是已知条件，则根据线面垂直的定义，有1B D 垂直于平面1ACD 内的所有直线，所以只要选取其中的两条来证明即可.接下来问题就转化成为证明1B D AC ⊥和11B D CD ⊥，即两条异面直线垂直，常用的方法就是构造线面垂直.先来证明1B D AC ⊥.利用分析法，1B D AC ⊥可以看成是已知条件，由于A C D 、、处于下底面，只要过D 有一条垂直垂直于AC 的直线即可，因为底面是一个正方形，故对角线互相垂直，所以只要连接BD ，就应有AC ⊥平面1BB D .这样问题就转化为证明AC ⊥平面1BB D .由于1,AC BD AC B B ⊥⊥，即可证明.然后同理可证11B D CD ⊥.证明过程略.
评注：其实这个题，如果用三垂线定理，应该是比较容易想到连接BD ，因为BD 是1B D 在下表面内的射影。
但由于课改后，在必修2中对三垂线定理只字不提，增大了此类题目的难度.
类似地，《普通高中课程标准实验教科书》（人教版）数学必修2的73页上有这样一个探究题：如图，直四棱柱''''
A B C D ABCD -（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD 满足什么条件时，'''?AC B D ⊥ A B
C D 1A 1B 1C 1D
分析：连接''AC ，只要''''A C B D ⊥，就有'''AC B D ⊥.
例2 如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点.
求证：//SA 平面MDB .
分析：要证明//SA 平面MDB ，只要在平面MDB 中找到一条直线与SA 平行.利用分析法，可以将//SA 平面MDB 看成已知条件，根据线面平行的性质定理，过SA 的平面只要与平面MDB 相交，则SA 与交线平行.题目中包含SA 有两个平面只有平面SAB 和平面SAD ，而这两个平面与平面MDB 的交线在这个几何体的外面，不太好找.我们可以改变策略，在四棱锥中构作一个包含SA 的平面.根据确定平面的公理2的推论：一条直线和直线外一点可以唯一确定一个平面，我们选取点C ，连接AC 交BD 于O ，构作平面SAC ，它与平面MDB 的交线是OM ，故只要证明//SA OM .由于底面是平行四边形，M 是SC 的中点，易得//SA OM .证明过程略.
评注：由于线面平行的话，直线上所有点到平面的距离相等，而且垂直于同一个平面的两条直线平行，两条平行直线也可确定一个平面，有时也利用平行四边形构作平面.如下题.
在正方体1111ABCD A BC D -中，
M N 、分别是1A B AC 、上的点，1A M AN =. 求证：//MN 平面11BB C C .
二、分析法建立空间直角坐标系
利用空间向量解决立体几何问题有着无比的优越性，因此逐渐成为高考的热点之一.新课改也处处体现向量方法的重要性.在必修2的最后一章，介绍了空间直角坐标系，重点要求掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定，以及空间向量的模长，从而掌握空间向量的数量积来解决长度与角度的问题.而空间直角坐标系是将几何问题转化为代数问题的关键，所以如何建立空间直角坐标系就显得犹为重要.接下来，利用分析法谈谈建立空间直角坐标系的问题.
例3 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ，已知45ABC ∠= ，
2AB =
，BC =
SA SB ==（1） 求证：SA BC ⊥；
'B B
'
C D
S
A B
C
D M
（2） 求直线SD 与平面SAB 所成角的大小.
分析：要建立空间直角坐标系，最好有一个线面垂直.先来分析下底面，由于下底面是45ABC ∠= 的平
行四边形，且2AB =
，BC =故连接AC ，有ABC ∆是已CAB ∠为直角的等腰直角三角形.取BC 的中点为O ，连接AO ，则AO BC ⊥.利用分析法，将SA BC ⊥看成已知条件，所以应有BC ⊥平面SAO ，则S O B C ⊥.因为侧面SBC ⊥底面ABCD ，根据面面垂直的定义，有SO ⊥底面ABCD .故可取O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OB 所在的直线为y 轴，OS 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系.证明过程略.
附：分析法得到意想不到的结果
例4 设,,a b c 都为正数，求证：()()()abc a b c b c a c a b ≥+-+-+-.
分析：由于,,a b c 都为正数，当0,0,0a b c b c a c a b +->+->+->时，可以将,,a b c 看成是三角形的三边.由不等式的右边联想到海伦公式，有
2()()()()()1616()42
abc a b c abc a b c a b c b c a c a b a b c S r R ++++≥+-+-+-++== 得2R r ≥（其中,R r 分别为三角形的外接圆与内切圆的圆心） S
A
B
C
D。