高考数学文科试题解析(北京卷)
普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(北京卷,解析版)
普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（北京卷，解析版）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1） 已知全集U=R ，集合{}21P x x =∣≤，那么UP =(A)(,1-∞-) (B)(1,+∞) (C)（-1，1) (D)()()11-∞,-,+∞【答案】D【解析】：2111x x ≤⇒-≤≤，UP =()()11-∞,-,+∞，故选D（2）复数212i i-=+ (A)i (B )i - (C)4355i -- (D)4355i -+ 【答案】A【解析】：22i 2(i 2)(12i)2242(1)2412i (12i)(12i)1414(1)i i i i ii i ---------+====++----，选A 。
（3）如果1122log log 0x y <<，那么（A ）1y x << (B)1x y << (C)1x y << (D)1y x << 【答案】D【解析】：1122log log x y x y <⇒>，12log 01y y <⇒>，即1y x <<故选D（4）若p 是真命题，q 是假命题，则（A ）p q ∧是真命题 (B)p q ∨是假命题 (C)p ⌝是真命题 (D)q ⌝是真命题 【答案】D 【解析】：或（∨）一真必真，且（∧）一假必假，非（⌝）真假相反，故选D （5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(A)32(B)16+162 (C)48 (D)16322+【答案】B 【解析】：由三视图可知几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，则四棱锥的斜高为22，表面积2142244161622⨯⨯⨯+=+故选B 。
（6）执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值为(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 【答案】C【解析】执行三次循环，12S A =≤=成立，112p =+=，1131122S P =+=+=，322S A =≤=成立，213p =+=，3131112236S P =+=+=，1126S A =≤=成立，314p =+= 1111112566412S p =+=+=，25212S A =≤=不成立，输出4p =，故选C （7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。
年北京高考文科数学试题及答案解析
2０１7年北京市高考文科数学试卷逐题解析数 学(文)(北京卷）本试卷共５页,１5０分。
考试时长120分钟。
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第一部分(选择题 共4０分)一、选择题1. 已知全集U R =,集合{|2A x x =<-或2}x >，则U C A = A ．()2,2-ﻩ B. ()(),22,-∞-+∞ﻩＣ. []2,2- D. (][),22,-∞-+∞【答案】C 【解析】{|2A x x =<-或}()()2=,22,x >-∞+∞,[]2,2U C A ∴=-，故选C .2. 若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限,则实数a 的取值范围是 ﻩＡ. (),1-∞ B ． (),1-∞-C ． ()1,+∞ﻩ D. ()1,+-∞【答案】B【解析】(1)()1(1)i a i a a i -+=++-在第二象限.1010a a +<⎧∴⎨->⎩得1a <-.故选B . ﻬ3. 执行如图所示的程序框图,输出的s 值为 ﻩ A. 2ﻩ B. 32C ． 53ﻩD .85【答案】C【解析】0,1k S ==. 3k <成立,1k =,2S =21=. 3k <成立,2k =,2+13S =22=. 3k <成立,3k =,3+152S =332=. 3k <不成立,输出5S 3=.故选C .4.若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则2x y +的最大值为A ． 1ﻩ B. 3ﻩ C. 5ﻩ D. 9 【答案】D【解析】设2z x y =+，则122z y x =-+,当该直线过()3,3时，z 最大. ∴当3,3x y ==时，z 取得最大值9,故选D .5.已知函数1()3()3xxf x =-,则()f xＡ． 是偶函数，且在R 上是增函数 B. 是奇函数，且在R 上是增函数 Ｃ. 是偶函数,且在R 上是减函数 D. 是奇函数，且在R 上是减函数 【答案】B【解析】11()3()()3()33xx x x f x f x ---=-=-=- 且定义域为R .()f x ∴为奇函数．3x y =在R 上单调递增，1()3xy =在R 上单调递减1()3xy ∴=-在R 上单调递增.1()3()3x x f x ∴=-在R 上单调递增,故选B .6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ． 60 Ｂ． 30 Ｃ． 20 D. 10【答案】D【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如下:S ABC -113541032S ABCV -∴=⨯⨯⨯⨯=,故选D ．7．设,m n 为非零向量，则“存在负数λ,使得m n λ= ”是“0m n ⋅<”的A. 充分而不必要条件ﻩB. 必要而不充分条件C. 充分必要条件ﻩD. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】存在负数λ，使得m n λ=,且,m n 为非零向量.∴m 与n 方向相反. ∴||||cos ||||0m n m n m n π⋅=⋅⋅=-⋅<∴“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的充分条件.若0m n ⋅<,则||||cos 0m n m n θ⋅=⋅⋅<，则cos 0θ<.∴(,]2πθπ∈，∴m 与n 不一定反向．∴不一定存在负数λ,使m n λ=．故选A8.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与MN最接近的是 (参考数据：lg30.48≈） ﻩA ． 3310ﻩﻩＢ. 5310C. 7310ﻩD. 9310【答案】D【解析】3613M ≈,8010N ≈，36180310M N ≈,两边取对数36136180803lg lg lg3lg10361lg3809310M N ≈=-=⨯-≈ 9310MN∴≈ 第二部分(非选择题 共１10分)二、填空题共6小题，每小题５分，共３0分。
2021年高考北京卷文数试题解析(精编版)(解析版)
绝密★本科目考试启用前本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
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第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则UA =（A ）(2,2)- （B ）(,2)(2,)-∞-+∞（C ）[2,2]-（D ）(,2][2,)-∞-+∞【答案】C 【解析】试题分析：因为{2A x x =<-或2}x >，所以{}22UA x x =-≤≤，故选C.【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.（2）若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（A ）(,1)-∞ （B ）(,1)-∞- （C ）(1,)+∞（D ）(1,)-+∞【答案】B【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋b i(a，b∈R ) 平面向量OZ.（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）2 （B）3 2（C）53（D）85【答案】C【考点】程序框图【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.（4）若,x y满足3,2,,xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y+的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5（D ）9【答案】D 【解析】试题分析：如图，画出可行域，2z x y =+表示斜率为12-的一组平行线，当2z x y =+过点()3,3C 时，目标函数取得最大值 max 3239z =+⨯=，故选D.【考点】线性规划【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义.求目标函数的最值的一般步骤为：一画、二移、三求．常见的目标函数类型有：（1）截距型：形如z ax by =+.求这类目标函数的最值时常将函数z ax by =+转化为直线的斜截式：a z y xb b =-+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值；（2）距离型：形如 ()()22z x a y b =-+-；（3）斜率型：形如y b z x a-=-，而本题属于截距形式. （5）已知函数1()3()3xx f x =-，则()f x（A ）是偶函数，且在R 上是增函数 （B ）是奇函数，且在R 上是增函数 （C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是减函数【答案】B【考点】函数的性质【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）60 （B ）30 （C ）20（D ）10【答案】D 【解析】试题分析：该几何体是如下图所示的三棱锥P ABC -.由图中数据可得该几何体的体积是115341032V =⨯⨯⨯⨯=，故选D. 【考点】三视图，几何体的体积【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面三角形的外面，否则中间的那条线就不会是虚线. （7）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m =λn ”是“m ·n <0”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【考点】向量，充分必要条件【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若,p q q p ⇒≠>，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若p q ⇔，那么p ，q 互为充要条件；若,p q q p ≠>≠>，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知:,p x A ∈:q x B ∈,若A B ≠⊂，那么p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若A B =，那么p ，q 互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p 是q 条件的判断，转化为q ⌝是p ⌝条件的判断.（参考数据：lg3≈0.48） （A ）1033 （B ）1053 （C ）1073（D ）1093【答案】D【考点】对数运算【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(北京卷)(含解析)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1、（2020•北京）已知集合A={x|-1<x<2}，B={x|x>1}，则AUB=（ ） A. （-1，1） B. （1，2） C. （-1，+∞） D. （1，+∞） 【答案】C【解析】【解答】因为{}{}12,1,A x x B x x =-<<=> 所以{}1,A B x x =>-U 故答案为：C.【分析】本题考查了集合的并运算，根据集合A 和B 直接求出交集即可. 2、（2020•北京）已知复数z=2+i ，则·z z =（ ）【答案】D【解析】【解答】根据2z i =+，得2z i =-， 所以(2)(2)415z z i i ⋅=+⋅-=+=， 故答案为：D.【分析】根据z 得到其共轭，结合复数的乘法运算即可求解.3、（2020•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）A. 12y x = B. y=2-xC.12log y x = D. 1y x= 【答案】A【解析】【解答】A ：12y x =为幂函数，102α=>，所以该函数在()0,+∞上单调递增； B:指数函数x x1y 22-⎛⎫== ⎪⎝⎭，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减； C ：对数函数12log y x =，其底数大于0小于1，故在()0,+∞上单调递减； D ：反比例函数1y x=，其k=1>0，故在()0,+∞上单调递减； 故答案为：A.【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数及反比例函数的单调性逐一判断即可. 4、（2020•北京）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【解答】k=1，s=1， s=2212312⨯=⨯-，k<3,故执行循环体k=1+1=2，2222322s ⨯==⨯-； 此时k=2<3，故继续执行循环体k=3，2222322s ⨯==⨯-，此时k=3，结束循环，输出s=2. 故答案为：B.【分析】根据程序框图，依次执行循环体，直到k=3时结束循环，输出s=2即可.5、（2020•北京）已知双曲线2221x y a-=（a>05a=（ ）6 B. 4 C. 2 D. 12【答案】D【解析】【解答】双曲线的离心率215c a e a a+===， 故2251,a a =+解得211,42a a ==， 故答案为：D.【分析】根据双曲线的标准方程，表示离心率，解方程，即可求出a 的值.6、（2020•北京）设函数f （x ）=cosx+bsinx （b 为常数），则“b=0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】【解答】若b=0，则()cos f x x =为偶函数， 若()cos sin f x x b x =+为偶函数，则()()()cos sin cos sin ()cos sin f x x b x x b x f x x b x -=-+-=-==+， 所以2sin 0,b x =B=0,综上，b=0是f （x ）为偶函数的充要条件. 故答案为：C.【分析】根据偶函数的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性，即可确定充分、必要性. 7、（2020•北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=125lg 2E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1，2）.己知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 10-10.1【答案】A【解析】【解答】解：设太阳的亮度为1E ,天狼星的亮度为2E ， 根据题意1251.45(26.7)lg 2E E ---=, 故122g25.2510.15E l E =⨯=， 所以10.11210E E =； 故答案为：A.【分析】根据已知，结合指数式与对数式的转化即可求出相应的比值.8、（2020•北京）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β 【答案】B【解析】【解答】设圆心为O ，根据,APB β∠=可知AB 所对圆心角2,AOB β∠=故扇形AOB 的面积为22242πββπ⋅⋅=，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，故阴影部分面积最大值4,AOB PAB S S S β=-+V V 而2sin 22cos 4sin cos 2AOB S ββββ⨯⨯==V ，()2sin 222cos 4sin 4sin cos 2PABS βββββ⨯⨯+==+V ，故阴影部分面积最大值444sin ,AOB PAB S S S βββ=-+=+V V 故答案为：B.【分析】根据圆周角得到圆心角，由题意，要使阴影部分面积最大，则P 到AB 的距离最大，此时PO 与AB 垂直，结合三角函数的定义，表示相应三角形的面积，即可求出阴影部分面积的最大值. 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分，9、（2020•北京）已知向量a r =（-4.3），b r =（6，m ），且a b ⊥r r，则m= . 【答案】8【解析】【解答】根据两向量垂直，则数量积为0，得()4630,m -⨯+= 解得m=8. 故答案为8.【分析】根据两向量垂直，数量积为0，结合平面向量的数量积运算即可求解.10、（2020•北京）若x ，y 满足214310x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪-+≥⎩.则y-x 的最小值为 ，最大值为 . 【答案】-3|1【解析】【解答】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线，可知在经过（2,-1）时取最小值-3，过（2，3）时取最大值1. 故答案为-3；1.【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值和最小值. 11、（2020•北京）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l.则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 .【答案】()2214x y -+=【解析】【解答】由题意，抛物线的焦点坐标F （1,0），准线方程：x=-1， 焦点F 到准线l 的距离为2， 故圆心为（1,0），半径为2， 所以圆的方程为()2214x y -+=；故答案为()2214x y -+=.【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，即可得到圆心和半径，写出圆的标准方程即可. 12、（2020•北京）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 .【答案】40【解析】【解答】根据三视图，可知正方体体积31464V ==，去掉的四棱柱体积()22424242V +⨯=⨯=，故该几何体的体积V=64-24=40. 故答案为40.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，求出相应的体积即可.13、（2020•北京）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： . 【答案】若②③，则①【解析】【解答】若l α⊥，则l 垂直于α内任意一条直线， 若m αP ，则l m ⊥； 故答案为若②③，则①.14、（2020•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 . 【答案】130|15【解析】【解答】①草莓和西瓜各一盒，总价60+80=140元， 140>120，故顾客可少付10元，此时需要支付140-10=130元；②要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可， 根据题意，买草莓两盒，消费最低，此时消费120元， 故实际付款（120-x ）元，此时李明得到()12080%x -⨯， 故()12080%1200.7x -⨯≥⨯，解得15x ≤； 故最大值为15. 故答案为①130；②15.【分析】①根据已知，直接计算即可；②根据题意，要保证每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则最低消费满足条件即可，因此选最低消费求解，即可求出相应的最大值. 三、解答题共6小题，共80分.15、（2020•北京）在△ABC 中，a=3，b-c=2，cosB=-12. （I ）求b ，c 的值：（II ）求sin （B+C ）的值.【答案】解：（I ）根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 故()22129232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯-⎪⎝⎭，解得c=5，B=7；（II ）根据1cos 2B =-，得sin 2B =，根据正弦定理，sin sin b cB C=，5sin 2C=，解得sin 14C =，所以11cos 14C =，所以()111sin sin cos cos sin 21421414B c BC B C ⎛⎫+=+=+-⨯=⎪⎝⎭【解析】【分析】（I ）根据余弦定理，解方程即可求出c 和b ；（II ）根据同角三角函数的平方关系，求出sinB ，结合正弦定理，求出sinC 和cosC ，即可依据两角和的正弦公式，求出sin （B+C ）.16、（2020•北京）设{a n }是等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列.（I ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值. 【答案】解：（I ）根据三者成等比数列， 可知()()()23248106a a a +=++，故()()()2102810101036d d d -++=-++-++， 解得d=2，故()1021212n a n n =-+-=-； （Ⅱ）由（I ）知()210212112n n n S n n -+-⋅==-，该二次函数开口向上，对称轴为n=5.5， 故n=5或6时，n S 取最小值-30.【解析】【分析】（I ）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出d ，即可求出n a ；（Ⅱ）由（1），求出n S ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值.17、（2020•北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用（I ）估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；（II ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率； （III ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B 的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，结合（II ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【答案】解：（I ）据估计，100人中上个月A 、B 两种支付方式都使用的人数为100-5-27-3-24-1=40人，故该校学生中上个月A 、B 两种支付方式都使用的人数为400人；（II ）该校学生上个月仅使用B 支付的共25人，其中支付金额大于2000的有一人，故概率为125； （III ）不能确定人数有变化，因为在抽取样本时，每个个体被抽到法机会是均等的，也许抽取的样本恰为上个月支付抄过2000的个体，因此不能从抽取的一个个体来确定本月的情况有变化. 【解析】【分析】（I ）根据题意，结合支付方式的分类直接计算，再根据样本估计总体即可； （II ）根据古典概型，求出基本事件总数和符合题意的基本事件数，即可求出相应的概率； （III ）从统计的角度，对事件发生的不确定性进行分析即可.18、（2020•北京）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由. 【答案】（Ⅰ）证明：因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥， 又因为PA ABCD ⊥平面，所以BD PA ⊥，而PA AC A =I ， 故BD PAC ⊥平面；（Ⅱ）因为60ABC ∠=︒,所以60ADC ∠=︒，故ADC V 为等边三角形， 而E 为CD 的中点，故AE CD ⊥,所以AE AB ⊥, 又因为PA ABCD ⊥平面，所以AB PA ⊥, 因为PA AE A =I ，所以AB PAE ⊥平面,又因为AB PAB ⊂平面，所以PAB PAE ⊥平面平面； （Ⅲ）存在这样的F ，当F 为PB 的中点时，CF PAE P 平面；取AB 的中点G ，连接CF 、CG 和FG ，因为G 为AB 中点，所以AE 与GC 平行且相等，故四边形AGCE 为平行四边形，所以AE GC P ,故GC PAE P 平面 在三角形BAP 中，F 、G 分别为BP 、BA 的中点，所以FG PA P , 故FG PAE P 平面,因为GC 和FG 均在平面CFG 内，且GC FG G =I , 所以CGF PAE P 平面平面，故CF PAE P 平面.【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可； （Ⅱ）根据面面垂直的判定定理，证明直线与平面垂直，即可得到面面垂直；（Ⅲ）根据面面平行的判定定理，证明面面平行，即可说明两平面没有公共点，因此，一个平面内任意一条直线与另一平面均无公共点，即可说明线面平行.19、（2020•北京）已知椭圆C ：22221x y a b+=的右焦点为（1.0），且经过点A （0，1）.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设O 为原点，直线l ：y=kx+t （t ≠±1）与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，|OM|·|ON|=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】解：（I ）根据焦点为（1,0），可知c=1， 根据椭圆经过（0,1）可知b=1，故2222a b c =+=，所以椭圆的方程为2212x y +=； （II ）设()()1122,,,P x y Q x y ， 则直线111:1y AP y x x -=+，直线221:1y AQ y x x -=+， 解得1212,0,,011x x M N y y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,故()1212121212111x x x x OM ON y y y y y y ⋅=⋅=---++， 将直线y=kx+t 与椭圆方程联立， 得()222124220kxktx t +++-=，故2121222422,1212kt t x x x x k k --+==++，所以22221212228282,1212k t t k t k t y y y y k k+-++==++， 故()2121t OM ON t +⋅==-，解得t=0，故直线方程为y=kx ，一定经过原点（0,0）.【解析】【分析】（I ）根据焦点坐标和A 点坐标，求出a 和b ，即可得到椭圆的标准方程； （II ）设出P 和Q 的坐标，表示出M 和N 的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示OM 与ON ，根据2OM ON ⋅=，解得t=0，即可确定直线恒过定点（0,0）. 20、（2020•北京）已知函数f （x ）=14x 3-x 2+x. （I ）求曲线y=f （x ）的斜率为1的切线方程； （II ）当x ∈[-2，4]时，求证：x-6≤f （x ）≤x ；（Ⅲ）设F （x ）=|f （x ）-（x+a ）|（a ∈R ），记F （x ）在区间[-2，4]上的最大值为M （a ）.当M （a ）最小时，求a 的值. 【答案】解（I ）()23'214f x x x =-+，令()'1f x =， 则1280,3x x ==， 因为()8800,327f f ⎛⎫==⎪⎝⎭， 故斜率为1的直线为y=x 或88273y x -=-， 整理得，斜率为1的直线方程为x-y=0或64027x y --=； （II ）构造函数g （x ）=f （x ）-x+6， 则()23'24g x x x =-，令()'0g x =，则1280,3x x ==， 故g （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故g （x ）的最小值为g （-2）或83g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而g （-2）=0，8980327g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故()min (2)0g x g =-=⎡⎤⎣⎦， 所以()0g x ≥，故在[-2,4]上，()6x f x -≤； 构造函数h （x ）=f （x ）-x ， 则()23'24h x x x =-，令()'0h x =，则1280,3x x ==， 故h （x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故h （x ）的最大值为h （0）或h （4），因为h （0）=0，h （4）=0，所以()0h x ≤，故在[-2,4]上，()f x x ≤， 综上在[-2,4]上，()6x f x x -≤≤；（Ⅲ）令()()()3214x f x x a x x a ϕ=-+=--， 则()23'24x x x ϕ=-，令()'0x ϕ=，则1280,3x x ==， 故ϕ（x ）在[-2,0]上单调递增，在80,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在8,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以ϕ（x ）的最小值为ϕ（-2）=-6-a 或864327a ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 最大值为ϕ（0）=-a 或ϕ（4）=12-a ，故()()F x x ϕ=其最大值()12,36,3a a M a a a -≤⎧=⎨+>⎩， 故当a=3时，M （a ）有最小值9.【解析】【分析】（I ）求导数，根据导数的几何意义，结合斜率为1，求出切点坐标，利用点斜式，即可求出相应的切线方程；（II ）构造函数，要证()6x f x x -≤≤，只需要证在[-2,4]上6()0f x x g x -≥+=（）和()()0h x f x x =-≤即可，求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数极值即可证明；（Ⅲ）求导数，利用导数确定函数单调性，求出函数的最值，确定M （a ）的表达式，即可求出M （a ）取最小值时相应的a 值.。
2019年全国高考文科数学试题及解析-北京卷
2019年全国高考文科数学试题及解析-北京卷数学〔文〕〔北京卷〕本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将【答案】答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。
第一部分〔选择题共40分〕【一】选择题共8小题，每题5分，共40分。
在每题列出旳四个选项中，选出符合题目要求旳一项。
〔1〕集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，那么A B =〔A 〕{|2<<5}x x 〔B 〕{|<45}x x x >或 〔C 〕{|2<<3}x x 〔D 〕{|<25}x x x >或 〔2〕复数12i =2i+- 〔A 〕i 〔B 〕1+i 〔C 〕i -〔D 〕1i -〔3〕执行如下图旳程序框图，输出旳s 值为〔A 〕8〔B 〕9〔C 〕27〔D 〕36〔4〕以下函数中，在区间(1,1)-上为减函数旳是〔A 〕11y x=-〔B 〕cos y x =〔C 〕ln(1)y x =+〔D 〕2x y -= 〔5〕圆〔x +1〕2+y 2=2旳圆心到直线y =x +3旳距离为〔A 〕1〔B 〕2〔C 〔D 〕〔6〕从甲、乙等5名学生中随机选出2人，那么甲被选中旳概率为〔A 〕15〔B 〕25〔C 〕825〔D 〕925〔7〕A 〔2，5〕，B 〔4，1〕.假设点P 〔x ，y 〕在线段AB 上，那么2x −y 旳最大值为 〔A 〕−1〔B 〕3〔C 〕7〔D 〕8〔8〕某学校运动会旳立定跳远和30秒跳绳两个单项竞赛分成预赛和决赛两个时期.下表为在这10名学生中，进入立定跳远决赛旳有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛旳有6人，那么〔A 〕2号学生进入30秒跳绳决赛〔B 〕5号学生进入30秒跳绳决赛〔C 〕8号学生进入30秒跳绳决赛〔D 〕9号学生进入30秒跳绳决赛第二部分〔非选择题共110分〕【二】填空题〔共6小题，每题5分，共30分〕〔9〕向量=a b ，那么a 与b 夹角旳大小为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏. 〔10〕函数()(2)1x f x x x =≥-旳最大值为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏. 〔11〕某四棱柱旳三视图如下图，那么该四棱柱旳体积为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.(12)双曲线22221x y a b-=〔a ＞0，b ＞0〕旳一条渐近线为2x +y =0〕，那么a =﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏；b =﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.(13)在△ABC 中，23A π∠=，，那么b c =﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏. (14)某网店统计了连续三天售出商品旳种类情况：第一天售出19种商品，翌日售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出旳商品有3种，后两天都售出旳商品有4种，那么该网店①第一天售出但翌日未售出旳商品有﹏﹏﹏﹏﹏﹏种；②这三天售出旳商品最少有﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏种.【三】解答题〔共6题，共80分.解承诺写出文字说明，演算步骤或证明过程〕 〔15〕〔本小题13分〕{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4.〔Ⅰ〕求{a n }旳通项公式；〔Ⅱ〕设c n =a n +b n ，求数列{c n }旳前n 项和.〔16〕〔本小题13分〕函数f 〔x 〕=2sin ωx cos ωx +cos2ωx 〔ω>0〕旳最小正周期为π.〔Ⅰ〕求ω旳值；〔Ⅱ〕求f 〔x 〕旳单调递增区间.〔17〕〔本小题13分〕某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米旳部分按4元/立方米收费，超出w 立方米旳部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月旳用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：〔I 〕假如w 为整数，那么依照此次调查，为使80%以上居民在该月旳用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？〔II 〕假设同组中旳每个数据用该组区间旳右端点值代替，当w=3时，可能该市居民该月旳人均水费.〔18〕〔本小题14分〕如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥〔I 〕求证：DC PAC ⊥平面；〔II 〕求证：PAB PAC ⊥平面平面；(III)设点E 为AB 旳中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA CEF ⊥平面?说明理由.〔19〕〔本小题14分〕椭圆C ：22221x y a b+=过点A 〔2,0〕，B 〔0,1〕两点. 〔I 〕求椭圆C 旳方程及离心率；〔II 〕设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 旳面积为定值.〔20〕〔本小题13分〕设函数()32.f x x ax bx c =+++ 〔I 〕求曲线().y f x =在点()()0,0f 处旳切线方程；〔II 〕设4a b ==，假设函数()f x 有三个不同零点，求c 旳取值范围；〔III 〕求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点旳必要而不充分条件.。
2019年北京市高考数学试卷(文科)(解析版)
2019年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题1. 已知集合A={x|−1<x<2},B={x|x>1}，则A∪B=( )A.(−1,1)B.(1,2)C.(−1,+∞)D.(1,+∞)2. 已知复数z=2+i，则z⋅z¯=()A.√3B.√5C.3D.53. 下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A.y=x 12 B.y=2−x C.y=log12x D.y=1x4. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A.1B.2C.3D.45. 已知双曲线x2a2−y2=1(a>0)的离心率是√5，则a=()A.√6B.4C.2D.126. 设函数f(x)=cos x+b sin x（b为常数），则“b=0”是“f(x)为偶函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足m2−m1=52lg E1E2，其中星等为m k的星的亮度为E k(k=1,2).已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10−10.18. 如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β+4cosβB.4β+4sinβC.2β+2cosβD.2β+2sinβ二、填空题9. 已知向量a→=(−4,3),b→=(6,m)，且a→⊥b→，则m=________.10. 若x，y满足{x≤2,y≥−1,4x−3y+1≥0,则y−x的最小值为________,最大值为________.11. 设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_______.12. 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示. 如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________.13. 已知l，m是平面α外的两条不同直线. 给出下列三个论断：①l⊥m；②m//α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒，为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付______元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_______.三、解答题15. 在△ABC中，a=3，b−c=2，cos B=−12.(1)求b，c的值；(2)求sin(B+C)的值.16. 设{a n}是等差数列，a1=−10，且a2+10,a3+8, a4+6成等比数列.(1)求{a n}的通项公式；(2)记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值.17. 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元.结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由. 18. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若∠ABC=60∘，求证：平面PAB⊥平面PAE；(3)棱PB上是否存在点F，使得CF//平面PAE？说明理由.19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程；(2)设O为原点，直线l：y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|⋅|ON|=2，求证：直线l经过定点.20. 已知函数f(x)=14x3−x2+x.(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程；(2)当x∈[−2，4]时，求证：x−6≤f(x)≤x；(3)设F(x)=|f(x)−(x+a)|(a∈R)，记F(x)在区间[−2，4]上的最大值为M(a). 当M(a)最小值时，求a的值.参考答案与试题解析2019年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题 1.【答案】 C【考点】 并集及其运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：A ={x|−1<x <2},B ={x|x >1}，2\},由图可知A ∪B ={x|x >−1}. 故选C. 2.【答案】 D【考点】 共轭复数复数代数形式的乘除运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：z =2+i ，z ¯=2−i ，则 z ⋅z ¯=(2+i)(2−i) =4−i 2 =4+1 =5. 故选D . 3.【答案】 A【考点】函数单调性的判断与证明 【解析】 此题暂无解析【解答】解：由题意可知，要求函数在(0,+∞)上为增函数， A ：y =x 12=√x 在(0,+∞)为增函数； B:y =2−x =(12)x在(0,+∞)为减函数； C ：y =log 12x 底数为12，在(0,+∞)为减函数；D:y =1x 在(0,+∞)为减函数. 故选A . 4.【答案】 B【考点】 程序框图 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意可知：k =1，s =1，s =2⋅123⋅1−2=2，第一步：k =2，s =2⋅223⋅2−2=2， 第二步：k =3，s =2⋅223⋅2−2=2， 输出值s =2， 故选B . 5. 【答案】 D【考点】双曲线的离心率 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由x 2a 2−y 2=1可知b 2=1，c 2=a 2+b 2=a 2+1， e =ca =√5， 即√c 2a 2=√a 2+1a 2=√1+1a 2=√5，解得a=12，故选D.6.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：证明充分条件：因为当b=0时，f(x)=cos x,x∈R. 所以f(x)为偶函数，则充分条件成立.证明必要条件：因为f(x)=cos x+b sin x，而f(−x)=cos(−x)+b sin(−x)=cos x−b sin x，因为f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)，则cos x−b sin x=cos x+b sin x，所以b=0，则必要条件成立.所以“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.故选C.7.【答案】A【考点】对数的运算性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，太阳的亮度为E1，天狼星的亮度为E2，所以m2−m1=52lg E1E2，且m2=−1.45，m1=−26.7，所以lg E1E2=10.1,即E1E2=1010.1，所以太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1. 故选A.8. 【答案】B【考点】三角形的面积公式扇形面积公式【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，由圆的几何性质可知，∠AOB=2β，∴∠AOP+∠BOP=2π−2β，S阴影=S△AOP+S△BOP+S扇形AOB=2sin∠AOP+2sin∠BOP+4π⋅2β2π=2(sin∠AOP+sin∠BOP)+4β，∵∠APB=β，∴S扇形AOB与|AB|为定值，当P在AB垂直平分线上，即∠AOP=∠BOP=π−β时，取得阴影部分面积的最大值，即4β+4sinβ，故选B.二、填空题9.【答案】8【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积的坐标表达式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵a→=(−4,3),b→=(6,m)且a→⊥b→，∴a→⋅b→=−24+3m=0，∴m=8，故答案为：8.10.【答案】−3,1【考点】求线性目标函数的最值简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】解：可行域为图中阴影部分，如图所示，设y−x=z，所以y=x+z，所以当直线y=x+z过A(2, 3)时，得到z max=3−2=1;当直线y=x+z过C(2,−1)时，得到z min=−1−2=−3,故答案为：−3；1.11.【答案】(x−1)2+y2=4【考点】抛物线的性质直线与圆的位置关系圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，∴焦点F(1,0)，准线l为x=−1.∵F为圆心，l与圆相切，∴圆的半径为2，∴所求圆的方程为：(x−1)2+y2=4. 故答案为：(x−1)2+y2=4.12.【答案】40【考点】由三视图求体积（组合型）柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：由三视图得该几何体如图所示，∴ 该几何体的体积为V=4×4×2+12×2×2×4=40. 故答案为：40.13.【答案】②③⇒①【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：设m在α中的投影为m′，∵ m//α，l⊥α，m′⊂α，∴ l⊥m′，m//m′，∴ l⊥m.即②③⇒①.故答案为：②③⇒①.14.【答案】130,15【考点】不等式的概念与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：①买草莓和西瓜共：60+80=140元，∵140元>120元即总价达到120元，∴顾客少付x元即少付10元，∴需要支付140−10=130元.②设促销前总价为m元.当m<120时，李明得到0.8m元，一定大于0.7m元，此时x为0元；当m≥120时，李明得到0.8(m−x)元，促销前总价的七折0.7m元. ∴0.7m≤0.8(m−x)，∴x≤18m对于m≥120恒成立，∴x≤15，∴x最大值为15.故答案为：130；15.三、解答题15.【答案】解：(1)在△ABC中，∵b2=a2+c2−2ac cos B，∴b2=9+c2+3c，又∵b−c=2，∴(c+2)2=9+c2+3c，∴c=5，b=7.(2)∵cos B=−12，B∈(π2, π)，∴sin B=√1−cos2B=√32,∵asin A =bsin B,∴sin A=ab⋅sin B=√32×37=3√314,又∵A+B+C=π，B+C=π−A，∴sin(B+C)=sin(π−A)=sin A=3√314.【考点】诱导公式余弦定理正弦定理同角三角函数基本关系的运用三角函数值的符号【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在△ABC中，∵b2=a2+c2−2ac cos B，∴b2=9+c2+3c，又∵b−c=2，∴(c+2)2=9+c2+3c，∴c=5，b=7.(2)∵cos B=−12，B∈(π2, π)，∴sin B=√1−cos2B=√32,∵asin A=bsin B,∴sin A=ab⋅sin B=√32×37=3√314,又∵A+B+C=π，B+C=π−A，∴sin(B+C)=sin(π−A)=sin A=3√314.16.【答案】解：(1)∵a2+10,a3+8,a4+6成等比数列，∴(a2+10)⋅(a4+6)=(a3+8)2，∵{a n}是等差数列，且a1=−10，设数列{a n}的公差为d，∴(−10+d+10)⋅(−10+3d+6)=(−10+2d+8)2，化简得d2−4d+4=0，解得d=2，∴a n=−10+2(n−1)=2n−12.(2)S n=na1+n(n−1)d2=−10n+2n(n−1)2=n2−11n，设f(x)=x2−11x，则f(x)的对称轴为x=112=5.5，∵n∈N∗，∴当n=5或n=6时，S n取得最小值−30. 【考点】等比数列的性质等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵a2+10,a3+8,a4+6成等比数列，∴(a2+10)⋅(a4+6)=(a3+8)2，∵{a n}是等差数列，且a1=−10，设数列{a n}的公差为d，∴(−10+d+10)⋅(−10+3d+6)=(−10+2d+8)2，化简得d2−4d+4=0，解得d=2，∴a n=−10+2(n−1)=2n−12.(2)S n=na1+n(n−1)d2=−10n+2n(n−1)2=n2−11n，设f(x)=x2−11x，则f(x)的对称轴为x=112=5.5，∵n∈N∗，∴当n=5或n=6时，S n取得最小值−30.17.【答案】解：(1)根据题意，在抽取的100人中，仅使用A支付方式的有27+3=30人，仅使用B支付方式的有24+1=25人, A，B两种支付方式都不使用的有5人，则A，B两种支付方式都使用的有：100−30−25−5=40人.则该校学生中，A，B两种支付方式都使用的人数为1000×40100=400人.(2)设事件A：在样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生月支付金额大于2000元.已知样本中仅使用B的学生有25人，在样本中仅使用B的学生中，月支付金额大于2000元的有1人，则P(A)=125.(3)不能.根据(2)的结果，在仅使用B支付方式的学生中随机抽取1人，月支付金额大于2000元的概率为4%.概率表现的是事件发生的可能性，而本月的抽取情况为随机事件，仅抽取1次不能认为样本中仅使用B的学生中月支付金额大于2000元的人数有变化. 【考点】统计表概率的应用用样本的频率分布估计总体分布【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)根据题意，在抽取的100人中，仅使用A支付方式的有27+3=30人，仅使用B支付方式的有24+1=25人,A，B两种支付方式都不使用的有5人，则A，B两种支付方式都使用的有：100−30−25−5=40人.则该校学生中，A，B两种支付方式都使用的人数为1000×40100=400人.(2)设事件A：在样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生月支付金额大于2000元.已知样本中仅使用B的学生有25人，在样本中仅使用B的学生中，月支付金额大于2000元的有1人，则P(A)=125.(3)不能.根据(2)的结果，在仅使用B支付方式的学生中随机抽取1人，月支付金额大于2000元的概率为4%.概率表现的是事件发生的可能性，而本月的抽取情况为随机事件，仅抽取1次不能认为样本中仅使用B 的学生中月支付金额大于2000元的人数有变化. 18.【答案】(1)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， ∴ PA ⊥BD ，又在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，即PA ⊥BD ，AC ⊥BD ，PA ∩AC =A , PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， ∴ BD ⊥平面PAC .(2)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，且AE ⊂平面ABCD ， ∴ PA ⊥AE ，又在菱形ABCD 中，∠ABC =60∘， 即∠ADC =60∘，∴ △ACD 为等边三角形，且E 为CD 的中点, ∴ AE ⊥CD ， 又∵ AB//CD , ∴ AE ⊥AB ，即AE ⊥PA ，AE ⊥AB ，PA ∩AB =A ， PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴ AE ⊥平面PAB ，且AE ⊂平面PAE ， ∴ 平面PAB ⊥平面PAE .(3)解：假设棱PB 上存在点F ，且F 为PB 的中点， 使CF//平面PAE ，取PA 中点M ，连接ME ，MF ，FC ，如图，∵ M ，F 分别为PA ，PB 的中点， ∴ MF//AB ，MF =12AB , ∵ 底面ABCD 为菱形， ∴ CE//AB ，CE =12AB ,∴ CE//MF ，且CE =MF ,∴ 四边形CEMF 为平行四边形， ∴ CF//ME ，∵ CF ⊄平面PAE ，ME ⊂平面PAE ， ∴ CF//平面PAE ，∴ 假设成立，即PB 上存在一点F ，且F 为PB 的中点， 使CF//平面PAE . 【考点】平面与平面垂直的判定 直线与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， ∴ PA ⊥BD ，又在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，即PA ⊥BD ，AC ⊥BD ，PA ∩AC =A , PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， ∴ BD ⊥平面PAC .(2)证明：∵ PA ⊥平面ABCD ，且AE ⊂平面ABCD ， ∴ PA ⊥AE ，又在菱形ABCD 中，∠ABC =60∘， 即∠ADC =60∘，∴ △ACD 为等边三角形，且E 为CD 的中点, ∴ AE ⊥CD ， 又∵ AB//CD , ∴ AE ⊥AB ，即AE ⊥PA ，AE ⊥AB ，PA ∩AB =A ， PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴ AE ⊥平面PAB ，且AE ⊂平面PAE ， ∴ 平面PAB ⊥平面PAE .(3)解：假设棱PB 上存在点F ，且F 为PB 的中点， 使CF//平面PAE ，取PA 中点M ，连接ME ，MF ，FC ，如图，∵ M ，F 分别为PA ，PB 的中点， ∴ MF//AB ，MF =12AB , ∵ 底面ABCD 为菱形，∴ CE//AB ，CE =12AB ,∴ CE//MF ，且CE =MF ,∴ 四边形CEMF 为平行四边形， ∴ CF//ME ，∵ CF ⊄平面PAE ，ME ⊂平面PAE ， ∴ CF//平面PAE ， ∴ 假设成立，即PB 上存在一点F ，且F 为PB 的中点， 使CF//平面PAE . 19. 【答案】解：(1)由题意可得{c =1,1b 2=1,a 2=b 2+c 2,所以{a 2=2,b 2=1,所以x 22+y 2=1. (2)由{y =kx +t,x 2+2y 2=2,得(2k 2+1)x 2+4ktx +2t 2−2=0. 易知Δ>0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)， 由韦达定理得， x 1+x 2=−4kt 2k 2+1,x 1x 2=2t 2−22k 2+1，k AP =y 1−1x 1，所以直线AP 为y =y 1−1x 1x +1.令y =0，得x =−x 1y 1−1，所以M (−x 1y1−1,0). 同理k AQ =y 2−1x 2，所以直线AQ 为y =y 2−1x 2x +1.令y =0，得x =−x 2y2−1.所以N (−x 2y2−1,0).所以|OM|⋅|ON|=|−x 1y 1−1|⋅|−x 2y 2−1|=|x 1x 2(y 1−1)(y 2−1)|.因为(y 1−1)(y 2−1)=y 1y 2−(y 1+y 2)+1， =(kx 1+t )(kx 2+t )−(kx 1+t +kx 2+t )+1， =k 2x 1x 2+kt (x 1+x 2)+t 2−k (x 1+x 2)−2t +1， =k 2x 1x 2+(kt −k)(x 1+x 2)+t 2−2t +1, 代入韦达定理，可得：上式=k 22t 2−22k 2+1+(kt−k)−4kt2k 2+1+t 2−2t +1，=t 2−2t+12k 2+1.因为t ≠±1,，所以|OM|⋅|ON|=|2t 2−2t 2−2t+1| =|2(t+1)t−1|=2.整理可得t =0， 所以y =kx .所以直线过定点(0，0).【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由题意可得{c =1,1b 2=1,a 2=b 2+c 2,所以{a 2=2,b 2=1,所以x 22+y 2=1. (2)由{y =kx +t,x 2+2y 2=2,得(2k 2+1)x 2+4ktx +2t 2−2=0. 易知Δ>0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)， 由韦达定理得，x 1+x 2=−4kt2k 2+1,x 1x 2=2t 2−22k 2+1， k AP =y 1−1x 1，所以直线AP 为y =y 1−1x 1x +1.令y =0，得x =−x 1y 1−1，所以M (−x 1y1−1,0). 同理k AQ =y 2−1x 2，所以直线AQ 为y =y 2−1x 2x +1.令y =0，得x =−x 2y 2−1.所以N (−x 2y 2−1,0). 所以|OM|⋅|ON|=|−x 1y 1−1|⋅|−x 2y2−1|=|x 1x 2(y 1−1)(y 2−1)|.因为(y 1−1)(y 2−1)=y 1y 2−(y 1+y 2)+1， =(kx 1+t )(kx 2+t )−(kx 1+t +kx 2+t )+1， =k 2x 1x 2+kt (x 1+x 2)+t 2−k (x 1+x 2)−2t +1， =k 2x 1x 2+(kt −k)(x 1+x 2)+t 2−2t +1, 代入韦达定理， 可得：上式=k 22t 2−22k 2+1+(kt −k)−4kt 2k 2+1+t 2−2t +1，=t 2−2t+12k 2+1.因为t ≠±1,，所以|OM|⋅|ON|=|2t 2−2t 2−2t+1| =|2(t+1)t−1|=2.整理可得t =0， 所以y =kx .所以直线过定点(0，0). 20. 【答案】(1)解：f ′(x)=34x 2−2x +1=1，∴ x 1=0，x 2=83，当x 1=0时，f(0)=0，切点(0，0)， ∴ x −y =0，当x 2=83时，f(83)=827，切点(83，827)， ∴ x −y −6427=0.综上，切线方程为x −y =0和x −y −6427=0.(2)证明：要证x −6≤f(x)≤x ，即证−6≤f(x)−x ≤0， 设g(x)=f(x)−x =14x 3−x 2，g ′(x)=34x 2−2x =0，解得x 1=0 ，x 2=83，g(x)，g ′(x)随x 的变化情况如下表：其中f(−2)=6，f(0)=0，f(83)=−6427，f(4)=0，∴ −6≤g(x)≤0， 即x −6≤f(x)≤x .(3)解：F(x)=|f(x)−(x +a)|=|g(x)−a|，x ∈[−2，4]， ∵ g(x)∈[−6，0]，∴ 当a ∈(−3，+∞)时，x =−2，M(a)=|−6−a|>3， 当a ∈(−∞，−3)时，x =0或4，M(a)=|0−a|>3， 当a =−3时，x =−2或0或4，M(a)=3， 所以当M(a)的最小值为3时，a =−3.第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 【考点】利用导数证明不等式利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性简单复合函数的导数【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：f ′(x)=34x 2−2x +1=1，∴ x 1=0，x 2=83，当x 1=0时，f(0)=0，切点(0，0)，∴ x −y =0，当x 2=83时，f(83)=827，切点(83，827)，∴ x −y −6427=0.综上，切线方程为x −y =0和x −y −6427=0.(2)证明：要证x −6≤f(x)≤x ，即证−6≤f(x)−x ≤0， 设g(x)=f(x)−x =14x 3−x 2，g ′(x)=34x 2−2x =0，解得x 1=0 ，x 2=83，g(x)，g ′(x)随x 的变化情况如下表：其中f(−2)=6，f(0)=0，f(83)=−6427，f(4)=0，∴ −6≤g(x)≤0，即x −6≤f(x)≤x .(3)解：F(x)=|f(x)−(x +a)|=|g(x)−a|，x ∈[−2，4]， ∵ g(x)∈[−6，0]，∴ 当a ∈(−3，+∞)时，x =−2，M(a)=|−6−a|>3， 当a ∈(−∞，−3)时，x =0或4，M(a)=|0−a|>3， 当a =−3时，x =−2或0或4，M(a)=3，所以当M(a)的最小值为3时，a =−3.。
高考文科数学北京卷解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(北京卷)第一部分(选择题 共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．(2013北京，文1)已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x ＜1}，则A ∩B ＝( )．A ．{0}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{－1,0,1} 答案：B解析：集合A 中的元素仅有－1,0,1三个数，集合B 中元素为大于等于－1且小于1的数，故集合A ，B 的公共元素为－1,0，故选B.2．(2013北京，文2)设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则( )．A ．ac ＞bcB ．11<a bC ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3 答案：D解析：A 选项中若c 小于等于0则不成立，B 选项中若a 为正数b 为负数则不成立，C 选项中若a ，b 均为负数则不成立，故选D.3．(2013北京，文3)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )．A ．1y x=B ．y ＝e －x C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg |x | 答案：C解析：A 选项为奇函数，B 选项为非奇非偶函数，D 选项虽为偶函数但在(0，＋∞)上是增函数，故选C.4．(2013北京，文4)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：A解析：i(2－i)＝1＋2i ，其在复平面上的对应点为(1,2)，该点位于第一象限，故选A. 5．(2013北京，文5)在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )．A ．15 B ．59C ．3D ．1答案：B解析：根据正弦定理，sin sin a b A B =，则sin B ＝b a sin A ＝515339⋅=，故选B. 6．(2013北京，文6)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )．A ．1B ．23C ．1321D ．610987 答案：C解析：i ＝0时，向下运行，将212213S S +=+赋值给S ，i 增加1变成1，经判断执行否，然后将21132121S S +=+赋值给S ，i 增加1变成2，经判断执行是，然后输出1321S =，故选C. 7．(2013北京，文7)双曲线x 2－2y m＝1的充分必要条件是( )． A ．m ＞12B ．m ≥1C ．m ＞1D ．m ＞2 答案：C解析：该双曲线离心率1e =m ＞1，故选C. 8．(2013北京，文8)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 答案：B解析：设正方体的棱长为a .建立空间直角坐标系，如图所示．则D (0,0,0)，D 1(0,0，a )，C 1(0，a ，a )，C (0，a,0)，B (a ，a,0)，B 1(a ，a ，a )，A (a,0,0)，A 1(a,0，a )，P 221,,333a a a ⎛⎫⎪⎝⎭，则|PB u u u r |3a =，|PD u u u r |a =，|1PD u u u u r |3a =，|1PC u u u u r |＝|1PA u u u r |a =，|PC uuu r |＝|PA u u u r |＝3a =，|1PB u u u r |=， 故共有4个不同取值，故选B.第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(2013北京，文9)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝__________；准线方程为__________．答案：2 x ＝－1解析：根据抛物线定义12p =，∴p ＝2，又准线方程为x ＝2p-＝－1，故填2，x ＝－1. 10．(2013北京，文10)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________．答案：3解析：由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为3，四棱锥的高为1，根据体积公式V＝13×3×3×1＝3，故该棱锥的体积为3.11．(2013北京，文11)若等比数列{a n}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝__________；前n项和S n＝__________.答案：22n＋1－2解析：根据等比数列的性质知a3＋a5＝q(a2＋a4)，∴q＝2，又a2＋a4＝a1q＋a1q3，故求得a1＝2，∴S n＝21212n(-)-＝2n＋1－2.12．(2013北京，文12)设D为不等式组0,20,30xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为__________．解析：区域D表示的平面部分如图阴影所示：根据数形结合知(1,0)到D 的距离最小值为(1,0)到直线2x －y ＝0=13．(2013北京，文13)函数f (x )＝12log ,1,2,1,x x x x ≥⎧⎪⎨⎪<⎩的值域为__________． 答案：(－∞，2)解析：当x ≥1时，1122log log 1x ≤，即12log 0x ≤，当x ＜1时，0＜2x ＜21，即0＜2x ＜2；故f (x )的值域为(－∞，2)．14．(2013北京，文14)已知点A (1，－1)，B (3,0)，C (2,1)．若平面区域D 由所有满足AP u u u r ＝λAB u u u r＋μAC u u u r(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P 组成，则D 的面积为__________．答案：3解析：AP u u u r ＝λAB u u u r ＋μAC u u u r ，AB u u u r＝(2,1)，AC u u u r ＝(1,2)．设P (x ，y )，则AP u u u r＝(x －1，y ＋1)．∴12,12,x y λμλμ-=+⎧⎨-=+⎩得23,323,3x y y x λμ--⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩∵1≤λ≤2,0≤μ≤1， 可得629,023,x y x y ≤-≤⎧⎨≤-≤⎩如图．可得A 1(3,0)，B 1(4,2)，C 1(6,3)， |A 1B 1|=，两直线距离d ==， ∴S ＝|A 1B 1|·d ＝3.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．(2013北京，文15)(本小题共13分)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，且f (α)，求α的值．解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝πsin 424x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为2.(2)因为f (α)＝2，所以πsin 414α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，所以4α＋π4∈9π17π,44⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以π5π442α+=.故9π16α=.16．(2013北京，文16)(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留时间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结果不要求证明)解：(1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是613.(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”．所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．17．(2013北京，文17)(本小题共14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A垂直于这两个平面的交线AD，所以P A⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD.所以CD ⊥平面P AD .所以CD ⊥PD . 因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点， 所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF . 所以CD ⊥平面BEF . 所以平面BEF ⊥平面PCD .18．(2013北京，文18)(本小题共13分)已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )． (1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切， 所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b ＝f (a )．解得a ＝0，b ＝f (0)＝1. (2)令f ′(x )＝0，得x ＝0. f (x )与f ′(x )所以函数f (x )在区间(＝1是f (x )的最小值． 当b ≤1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 最多只有一个交点； 当b ＞1时，f (－2b )＝f (2b )≥4b 2－2b －1＞4b －2b －1＞b ， f (0)＝1＜b ，所以存在x 1∈(－2b,0)，x 2∈(0,2b )，使得f (x 1)＝f (x 2)＝b .由于函数f(x)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b ＞1时曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．19．(2013北京，文19)(本小题共14分)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：24x ＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．解：(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A 1,2t ⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程得21144t +=，即t =.所以|AC |＝(2)假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由2244,x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x mk m k++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M 224,1414km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0，所以直线OB 的斜率为14k-. 因为k ·14k ⎛⎫-⎪⎝⎭≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．20．(2013北京，文20)(本小题共13分)给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1,2，…，n －1，该数列的前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3,4,7,1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1＞0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列； (3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1＞0.证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)因为a 1＞0，公比q ＞1， 所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1,2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1,2，…，n －1， d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q )q i －1. 因此d i ≠0且1i id q d +=(i ＝1,2，…，n －2)， 即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列． (3)设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差． 对1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d ＞0， 所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d ＞B i ＋d i ＝A i . 又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}， 所以a i ＋1＝A i ＋1＞A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列． 因此A i ＝a i (i ＝1,2，…，n －1)． 又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1＜a 1， 所以B 1＜a 1＜a 2＜…＜a n －1. 因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .因此对i ＝1,2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ，即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．。
高考北京卷文数试题解析(正式版)(解析版)
绝密★启用前本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）（1）已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则AB =（A ）{|2<<5}x x （B ）{|<45}x x x >或 （C ）{|2<<3}x x （D ）{|<25}x x x >或 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，(2,3)A B =，故选C.考点：集合交集 （2）复数12i=2i+-（A）i（B）1+i（C）i-（D）1i-【答案】A考点：复数运算（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）8（B）9（C）27（D）36【答案】B考点：程序框图（4）下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是（A）11yx=-（B）cosy x=（C）ln(1)y x=+（D）2xy-=【答案】D 【解析】试题分析：由12()2xx y -==在R 上单调递减可知D 符合题意，故选D. 考点：函数单调性（5）圆（x +1）2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为（A ）1（B ）2（C ）2（D ）22 【答案】C 【解析】试题分析：圆心坐标为(1,0)-，由点到直线的距离公式可知22d ==，故选C. 考点：直线与圆的位置关系（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（A ）15（B ）25（C ）825（D ）925【答案】B 【解析】试题分析：从5名学生中随机选出2人有10种选法，甲被选中的情况有4种，故所求概率为42105P ==，故选B. 考点：古典概型（7）已知A （2，5），B （4，1）.若点P （x ，y ）在线段AB 上，则2x −y 的最大值为（A ）−1（B ）3（C ）7（D ）8 【答案】C考点：函数最值（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远（单位：米）1.961.921.821.81.781.761.741.721.681.60 30秒跳绳（单位：次）63 a 75 60 63 72 70 a−1 b 65 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（A）2号学生进入30秒跳绳决赛（B）5号学生进入30秒跳绳决赛（C）8号学生进入30秒跳绳决赛（D）9号学生进入30秒跳绳决赛【答案】B【解析】试题分析：将确定的30秒跳绳成绩按从大到小的顺序排列，分别是3，6，7，10，1、5并列，4，其中，3，6，7号进入立定跳远的决赛，此时可确定3，6，7号进入30秒跳绳比赛决赛的名单，现还需3个编号为1~8的同学进入决赛，而1、5并列，2与8的成绩仅相隔1，故只能1，5进入30秒跳绳的决赛，故选B. 考点：统计第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）解析本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。
【名师简评】作为北京进入新课改后第一年高考的数学试题，我认为很好的完成了由老教材到新课改的过度，试题的命制在这方面做的很好.我的总体感觉：耳目一新。
1、风格亲切，考生不意外。
对这份题，考生可能感觉似曾相识，与此前的模拟练习很类似，可以说是练什么就考什么。
这也正说明出题人与教师、学生的目的是一致的，最终是让学生掌握基本知识，而不是找学生毛病。
2、平稳中有创新。
20个题严格依照考试说明的要求，考查主要知识、基本方法。
保持了北京卷的一贯特点：关注考生的探索意识和动手能力。
如第14、第20题等，情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求。
3、敢于探索，创新力度大。
尽管今年是北京新课程第一年高考，但试题并没有一味求稳，依据新课程的要求，大胆取舍，甚至一步到位，创新力度出乎多数人意料。
其中倒数第2题给人印象尤其深刻，题目新颖不落俗套，学生平时常用的方法不能解决了。
但问题不是偏了、怪了，而是回归到解析几何最本质的问题：代数方法研究几何问题。
4、难度比去年要高一点。
试卷梯度明显，入手容易，但真正完全解决，还需要学生有扎实的基础和顽强的意志。
考试后接触到一些水平不错的孩子，他们大都觉得这份试卷比平时的模拟练习难度要高，阅读量大，计算量大。
第Ⅰ卷（选择题共140分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
⑴集合，则=(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){1,2,3} (D){0,1,2,3}答案B【命题意图】本题考查集合的交集运用，在求解中要注意集合元素的特性【试题解析】集合,集合所以={0,1,2}⑵在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（A）4+8i (B)8+2i （C）2+4i (D)4+i答案C【命题意图】本题考查复平面的基本知识及中点坐标公式.求解此类问题要能够灵活准确的对复平面内的点的坐标与复数进行相互转化.【试题解析】两个复数对应的点的坐标分别为A(6,5),B(-2,3)，则其中点的坐标为C(2,4)，故其对应的复数为2+4i.⑶从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是（A） (B)（C） (D)答案D【命题意图】本题考查离散型随机变量的概率问题，在求解此类问题要求能够准备的确定基本事件空间的基本事件个数和所求事件所含的基本事件个数【试题解析】分别从两个集合中各取一个数，共有15中取法，其中满足b>a的有3种，所求事件的概率为⑷若a,b是非零向量，且，，则函数是（A）一次函数且是奇函数（B）一次函数但不是奇函数（C）二次函数且是偶函数（D）二次函数但不是偶函数答案A【命题意图】本题考查学生对平面向量的数量积运算和函数的奇偶性，在求解中要明确及有关向量模的运算【试题解析】，因为所以所以函数是一次函数且为奇函数（5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：答案C【命题意图】本题考查了几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义【试题解析】由正（主）视图可知去掉的长方体在正对视线的方向，从侧（左）视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C(6)给定函数①，②，③，④，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A）①②（B）②③（C）③④（D）①④答案B【命题意图】本题考查了函数的单调性，要注意各类函数中决定单调性的元素所满足的条件【试题解析】①是幕函数，其在（）第一象限内为增函数，故此项不符合要求，②中的函数是由函数向左平移一个单位而得到的，因原函数在（）内为减函数，故此项也不符合要求，③中的函数图像是由函数y=x-1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该图象符合要求，④中的函数为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不符合题意，所以选项B正确（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A）；（B）（C）（D）答案A【命题意图】本题考查了三角面积公式的应用和余弦定理的应用.【试题解析】四个等腰三角形的面积之和为在由余弦定理可得正方形的边长为，故正方形的面积为所求八边形的面积为（8）如图，正方体的棱长为2，动点E、F在棱上。
点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，则三棱锥P-EFQ的体积：（A）与x，y都有关；（B）与x，y都无关；（C）与x有关，与y无关；（D）与y有关，与x无关；答案C【命题意图】本题考查空间几何体的结构特征和棱锥的体积问题，同时也考查了学生的分析问题的能力以及空间想象能力【试题解析】三棱锥P-EFQ的体积与点P到面EFQ的距离和三角形EFQ的面积有关，由图可知，平面EFQ与平面是同一平面，故点P到面EFQ的距离既是点P到面的距离，且该距离既是点P到线段的距离，次距离与X有关，因EF的长度是1,点Q到EF的距离是线段的长度，该值为定值，综上所述，可以得知所求三棱锥的体积只与X有关，与Y无关。
第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分（9）已知函数右图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图，①处应填写；②处应填写。
答案【命题意图】本题考查了程序框图的基本知识和分段函数求值问题，同时也考查了识图能力。
【试题解析】由框架图可知只要满足①中的条件则对应的函数解析式为y=2-x,所以此处应当是X<2，则②应当是（10）在中。
若，，，则a= 。
答案1【命题意图】本题考查了应用正弦定理求解三角形的问题【试题解析】在中由正弦定理得，解得，因为b<c，角B为锐角，所以则，再由正弦定理可得a=1（11）若点p（m，3）到直线的距离为4，且点p在不等式＜3表示的平面区域内，则m= 。
答案-3【命题意图】本题考查点到线的距离问题和二元一次不等式表示的平面区域问题，和应用方程的思想进行解题的能力。
【试题解析】由题意可得，解得m=-3（12）从某小学随机抽取100名同学，将他们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。
由图中数据可知a= 。
若要从身高在[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为。
答案0.03 3【命题意图】本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1，同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体频率都是相等的，都等于样本容量/总体个数【试题解析】因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有解得a=0.03，由直方图可知三个区域内的学生总数为人，其中身高在[140,150]内的学生人数为10人，所以在身高在[140,150]范围内抽取的学生人数为人.（13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。
答案 ()【命题意图】本题考查了圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时对对曲线、椭圆的相应知识也进行了综合考查，考查了两类曲线中的元素之间的不同关系【试题解析】椭圆的焦点坐标为()，故双曲线中的c=4,且满足，得a=2，,所以双曲线的渐近线方程为（14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动。
设顶点p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是，则的最小正周期为；在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为。
说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。
沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。
答案 4【命题意图】本题是一道信息题，试题形式新颖，考查学生的分析问题能力，阅读能力，推理能力和应用知识解决问题的能力【试题解析】由题中信息可知无论正方形是沿X轴的正方形还是负方向滚动，再次使点P与x轴方向的路程是4，故其最小正周期为4，在正方形的翻滚过程中，函数y=f(x)的两个相邻点间点P的轨迹如图所示，故其与x轴所围成的图形面积为三、解答：本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）已知函数（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值解：（Ⅰ）=（Ⅱ）因为,所以，当时取最大值2；当时，去最小值-1。
【命题意图】本题考查基础知识、基本技能，且立意简单，考查目标明确，试题考查了三角函数求值、恒等变换和最值问题，恒等变换主要考查了二倍角的降幂公式，本题也考查了求解三角函数性质问题的通法“辅助角公式”【试题点评】三角函数问题是每年高考必考题型，关于此类问题的考查常常侧重于对基础知识、基本技能、通解的考查，且此类题型也常常会和向量、解三角形等知识综合考查，求解此类问题关键能够熟练的掌握三角函数的各个恒等变换公式和三角函数的各个性质，辅助角公式是求解三角函数性质的重要途径，要重视此公式（16）（本小题共13分）已知为等差数列，且，。
（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若等差数列满足，，求的前n项和公式解：（Ⅰ）设等差数列的公差。
因为所以解得所以（Ⅱ）设等比数列的公比为因为所以即=3所以的前项和公式为【命题意图】本题考查等差数列的求解项和等比数列的求和问题，本题很好的兼顾了对等差数列和等比数列的考查。
且考查的知识点和方法侧重于基础与典型【试题点评】数列问题每年必考内容，求解此类问题求通项与求和是其考查的主体方向，等差数列和等比数列是数列问题中常考类型，求解此类问题的关键是能够应用题中的条件准确的求出基本量，首项和公差、公比。
求解数列问题还要能够熟练的掌握各个数列的求和公式、求通项公式和其他的一些主要性质以及求解递推数列的通项、前n项和的方法。
（17）（本小题共13分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。
EF//AC，AB=,CE=EF=1（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G。
因为EF∥AG,且EF=1，AG=AG=1所以四边形AGEF为平行四边形所以AF∥EG因为EG平面BDE,AF平面BDE,所以AF∥平面BDE（Ⅱ）连接FG。