2016年高考数学理试题分类汇编：平面向量
专题07 平面向量 解析版(2016-2020)高考数学(理)真题分项详解
专题07 平面向量【2020年】1.（2020·新课标Ⅲ）已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ） A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 2.（2020·山东卷）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ） A. ()2,6- B. (6,2)- C. (2,4)- D. (4,6)-【答案】A 【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，3.（2020·北京卷）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 (1).5 (2). 1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-， 因此，()22215PD =-+=，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.4.（2020·天津卷）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】 (1). 16 (2). 132【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3332A ⎛ ⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则533,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,2DM x ⎛=- ⎝⎭，333,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()222533321134222222DM DN x x x x x ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 5.（2020·浙江卷）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______． 【答案】2829【解析】12|2|2e e -≤，124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 6.（2020·江苏卷）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185.当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.7.（2020·新课标Ⅱ）已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】2【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.8.（2020·新课标Ⅰ）设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=______________.【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=【2019年】1．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ．2．【2019年高考全国II 卷理数】已知AB →=(2,3)，AC →=(3，t )，BC →=1，则AB →·BC →= A ．−3 B ．−2 C ．2D ．3【答案】C【解析】由BC →=AC →—AB →=（1，t-3），211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．3．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，即22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C ．4．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________. 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．5．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B ，535(,)22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(23)3y x =-， 直线AE 的斜率为33-，其方程为33y x =-. 由3(23),333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-， 所以(3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.6．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【答案】3.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3ABAC=【2018年】1．【2018·全国I 卷 】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC -B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-. 故选A.2．【2018·全国II 卷 】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.3．（2018·浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A ．3−1 B ．3+1 C ．2 D ．2−3【答案】A【解析】设，则由得，由b 2−4e ·b +3=0得因此|a −b |的最小值为圆心到直线的距离23=32减去半径1，为选A.4．【2018·天津卷 】如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,AB BC AD CD BAD ⊥⊥∠=1,AB AD ==若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为A ．2116 B ．32C ．2516D ．3【答案】A【解析】连接AD ,取AD 中点为O ,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD △为等边三角形，3BD =. 设()01DE tDC t =≤≤AE BE ⋅ ()()()2232AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+ =233322t t -+ ()01t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最大值2116，故选A.5．【2018·北京卷 】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】222222699+63333-=+-=⇔⇔-++⋅=⋅+a a b a b a b a b a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b a ⊥b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C.6．【2018·全国III 卷 】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________． 【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12.7．【2018·上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________． 【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a =b +2，或b =a +2； 且()()1,2,AE a BF b ==-，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-； ∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．8．【2018·江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为___________． 【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =【2017年】1．【2017·全国III 卷 】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 A ．3B ．22C ．5D ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ， 易得圆的半径5r =C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤21514z -≤+，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．2．【2017·全国II 卷 】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则3)A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以(3)PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，所以(2,2)PB PC x y +=--，22()22(3)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-2333)22-≥-，当3P 时，所求的最小值为32-，故选B ．3．【2017·北京卷 】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.4．【2017·全国I 卷 】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【答案】23【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=a b a a b b ， 所以|2|1223+==a b 方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为235．【2017·江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得72sin α=2cos α= 易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2222720210n m ⎧=⎪⎪-=⎪⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．6．【2017·天津卷】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，AE AC λ=-()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________．【答案】311【解析】由题可得1232cos 603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+， 则12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=． 7．【2017·山东卷 】已知12,e e 123-e e 与12λ+e e 的夹角为60︒，则实数λ的值是___________．【解析】∵221212112122)()λλλλ-⋅+=⋅-⋅-e e e e e e e ，12|2-==e ，12||λ+===e e ，cos60λ=︒=λ=． 8．【2017·浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【答案】4，【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b则++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是 【2016年】1.【2016高考山东理数】已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（ ） （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94【答案】B【解析】由43=m n ，可设3,4(0)k k k ==>m n ，又()t ⊥+n m n ， 所以22221()cos ,34(4)41603t t n n t t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+=+=n m n n m m n m n n , 所以4t =-，故选B.2.【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.3.【2016高考新课标3理数】已知向量1(2BA = ，31()2BC = ，则ABC ∠=（ ） (A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒【答案】A【解析】由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 4.【2016年高考北京理数】设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥，故是既不充分也不必要条件，故选D.5.【2016高考天津理数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ） （A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选 B.6.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA=DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是( ) （A ）434 （B ）494 （C ）37634+ （D ）372334+ 【答案】B【解析】甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-+++=∴∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222+1334x y BM ++∴=，它表示圆()2221x y -+=上的点()x y ，与点()1,33--的距离的平方的14，()()2222max149333144BM⎛⎫∴=++= ⎪⎝⎭，故选B.7.【2016高考新课标1卷】设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m = . 【答案】－2【解析】由222||||||+=+a b a b ,得⊥a b ,所以1120m ⨯+⨯=,解得2m =-.8.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（）， 2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（） 9.【2016高考浙江理数】已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤,则a ·b 的最大值是 ． 【答案】12【解析】221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12。
2016年全国各地高考数学试题及解答分类大全(平面向量)
2016年全国各地高考数学试题及解答分类大全（平面向量）一、选择题1. （2016北京理）设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】D考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积.【名师点睛】由向量数量积的定义θcos ||||⋅⋅=⋅(θ为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.2.（2016全国Ⅱ理）已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】试题分析：向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.考点： 平面向量的坐标运算、数量积.【名师点睛】已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)：结论 几何表示 坐标表示模 |a |＝a·a |a |＝x 21＋y 21夹角cos θ＝a·b |a||b|cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件a·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝03.（2016全国Ⅲ文、理）已知向量13(2BA = ,31(),2BC = 则ABC ∠=（ ）(A)300(B) 450(C) 600(D)1200【答案】A考点：向量夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有||=a a a ·，·cos a b a bθ=，·0a b a b ⇔⊥＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．4.（2016山东理）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（ ）（A ）4 （B ）–4 （C ）94 （D ）–94【答案】B【解析】试题分析：由43m n =，可设3,4(0)m k n k k ==>，又()n tm n ⊥+，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+=所以4t =-，故选B.考点：平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从()n tm n ⊥+出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.5.（2016四川文、理）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA=DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是 （A ）434 （B ）494（C ）37634+ （D ）37334+【答案】B 【解析】考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出120ADC ADB BDC ∠=∠=∠=︒，且2DA DB DC ===，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出,,,A B C D 坐标，同时动点P 的轨迹是圆，()(2221334x y BM +++=，因此可用圆的性质得出最值．6.（2016天津文、理）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ） （A ）85- （B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选B.考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．二、填空1.（2016北京文）已知向量=(1,3),(3,1)=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________. 【答案】30考点：平面向量数量积【名师点睛】由向量数量积的定义θcos ||||⋅⋅=⋅b a b a (θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.2.（2016全国Ⅰ文）设向量a =(x ,x +1),b =(1,2),且a ⊥b ,则x = _______ . 【答案】23-【解析】试题分析：由题意, 20,2(1)0,.3x x x ⋅=++=∴=-a b 考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ,则1122x y x y ⋅=+a b .3. （2016江苏） 如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为2222436444AO BC FO BC BA CA --⋅===,22414FO BCBF CF -⋅==-, 因此22513,BC 82FO ==，22224167448EO BC FO BC BE CE --⋅===考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线向量问题，利用向量加法与减法的平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论：2244AO BCBA CA -⋅=4.（2016全国Ⅰ理）设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m = . 【答案】2-【解析】试题分析：由222||||||+=+a b a b ,得⊥a b ,所以1120m ⨯+⨯=,解得2m =-. 考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ,则1122x y x y ⋅=+a b .5.（2016全国Ⅱ文）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________. 【答案】6-【解析】试题分析：因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-． 考点：平面向量的坐标运算 ，平行向量.【名师点睛】如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.6.（2016山东文）已知向量1,-()()16,-4a b ==，．若()a tab ⊥+，则实数t 的值为________．【答案】5-【解析】试题分析：()()()()6,4,6,41,12100ta b t t ta b a t t t +=+--+⋅=+--⋅-=+=，解得5t =-考点：平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从()a tab ⊥+出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.7.（2016上海理）在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则⋅的取值范围是 .【答案】[0,1【解析】试题分析：由题意得知21x y -=表示以原点为圆心，半径为1的上半圆. 设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA =, (cos ,sin 1)BP αα=+所以πcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=+++∈++⋅BP BA 的范围为[0,12]+.考点：1.平面向量的数量积；2.三角函数的图象和性质；3.数形结合的思想.【名师点睛】本题解答利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到BA BP ⋅的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.8. （2016上海文） 如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线21y x 上一个动点，则OP BA的取值范围是 .【答案】[2]-【解析】试题分析：由题意，设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，则(cos ,sin )OP αα=，又(1,1)BA =, 所以cos sin 2)[2]4OP BA αααπ⋅=+=+∈-.考点：1.平面向量的数量积；2.三角函数的图象和性质；3.数形结合的思想.【名师点睛】本题解答利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到OP BA 的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.9．（2016浙江文）已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2， a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______． 7【解析】试题分析：由已知得,60a b <>=︒，不妨取(1,0)a =，(1,3)b =，设(cos ,sin )e αα=，则cos cos 3a e b e ααα⋅+⋅=++cos cos 3ααα≤++2cos 3sin αα=，取等号时cos α与sin α同号．所以2cos 3sin 2cos 3αααα+=+23777αα=+ 7sin()αθ=+，（其中3sin 77θθ==，取θ为锐角）． 7)7αθ+≤易知当2παθ+=时，sin()αθ+取最大值1，此时α为锐角，sin ,cos αα同为正，因此上述不等式中等号能同时取到．故所求最大值为7． 考点：平面向量的数量积和模.【思路点睛】先设a ，b 和e 的坐标，再将a e b e ⋅+⋅转化为三角函数，进而用辅助角公式将三角函数进行化简，最后用三角函数的性质可得三角函数的最大值，进而可得a e b e ⋅+⋅的最大值．10.（2016浙江理） 已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤6 ,则a ·b 的最大值是 ． 【答案】12考点：平面向量的数量积．【易错点睛】在6a b +≤两边同时平方，转化为2226a b a b ++⋅≤的过程中，很容易忘记右边6进行平方而导致错误．。
高考数学(理)真题专题汇编：平面向量
高考数学（理）真题专题汇编：平面向量一、选择题1.【来源】2019年高考真题——理科数学（北京卷）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅱ） 已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A ．－3 B ．－2C ．2D ．33.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ） 已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64.【来源】2018年高考真题——理科数学（天津卷）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅AE BE 的最小值为(A) 2116(B) 32(C) 2516(D) 35.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷II ） 已知向量a ，b 满足|a |=1，a ·b =－1，则a ·(2a －b )= A ．4B ．3C ．2D ．06.【来源】2018年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ） 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=A.43AB －41ACB. 41AB －43AC C. 43AB ＋41AC D. 41AB ＋43AC7.【来源】2016年高考真题——理科数学（天津卷）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ）（A ）85-（B ）81（C ）41（D ）8118.【来源】2017年高考真题——数学（浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1=OB OA ⋅，I 2=OC OB ⋅，I 3=OD OC ⋅，则A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3 ＜I 2C ．I 3＜I 1＜I 2D ． I 2＜I 1＜I 39.【来源】2017年高考真题——理科数学（全国Ⅲ卷）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3B ．22C 5D ．210.【来源】2017年高考真题——理科数学（全国Ⅱ卷）已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则)(PC PB PA +⋅的最小值是（ ）A.-2B.23-C. 43-D.-111.【来源】2016年高考真题——理科数学（新课标Ⅱ卷）12.【来源】2014高考真题理科数学（福建卷）在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e二、填空题13.【来源】2019年高考真题——数学（浙江卷）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.14.【来源】2019年高考真题——理科数学（天津卷）在四边形ABCD 中，,23,5,30ADBC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅= . 15.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅲ）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若25=-c a b ，则cos ,<>=a c ___________. 16.【来源】2019年高考真题——理科数学（全国卷Ⅰ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．17.【来源】2019年高考真题——数学（江苏卷）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.18.【来源】2018年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________． 19.【来源】2018年高考真题——数学（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ． 20.【来源】2017年高考真题——数学（浙江卷）已知向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，则|a +b |+|a －b |的最小值是________，最大值是_______．21.【来源】2017年高考真题——数学（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，A （－12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上，若20≤⋅PB PA ，则点P 的横坐标的取值范围是 .22.【来源】2017年高考真题——数学（江苏卷）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°。
2016年高考数学文真题分类汇编：平面向量 Word版含标准答案
2016年高考数学文试卷分类汇编平面向量一、选择题1、（2016年四川高考）已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足，则的最大值是 (A)443 (B) 449 (C)43637+ (D)433237+ 【答案】B2、（2016年天津高考）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC •u u u r u u u r 的值为（ ）（A ）85- （B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B3、（2016年全国III 卷高考）已知向量13(,)22BA =uu v ,31(,),22BC =uu u v 则ABC ∠= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200【答案】A二、填空题1、（2016年北京高考）已知向量=(1,3),(3,1)=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________.【答案】30.o2、（2016年江苏省高考）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=u u u r u u u r ，1BF CF ⋅=-u u u r u u u r ，则BE CE ⋅u u u r u u u r 的值是 ▲ .【答案】783、（2016年山东高考）已知向量a =(1,–1)，b =(6,–4)．若a ⊥(ta +b )，则实数t 的值为________．【答案】5-4、（2016年上海高考）如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线21y x =-上一个动点，则OP BA ×uu u r uu r 的取值范围是.【答案】[2]-5、（2016年全国I 卷高考）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =. 【答案】23- 6、（2016年全国II 卷高考）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.【答案】6-7、（2016年浙江高考）已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______．7。
2016—2020年新高考数学分类汇编平面向量
北京【2020北京卷13】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则|PD⃗⃗⃗⃗⃗ |= ；PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PD ⃗⃗⃗⃗⃗ = .1-【解析】根据题意作图，如下图所示，易知P 点是BC 中点，|PD⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22+12=√5，如图建立平面直角坐标系，PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1)，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1天津【2020天津卷15】如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°,AB =3，BC =6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ , AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数λ的值为_________，若M,N 是线段BC 上的动点，且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为_________．【答案】113,62【解析】利用数量积的定义，计算得到 33cos1202AD AB AD ⋅=-=⨯⨯o uuu r uu u r uuu r 利用极化恒等式，取MN 中点为O , 22222111[()()](4)444DM DN DM DN DM DN DO NM DO ⋅=+--=-=-uuu u r uuu r uuu u r uuu r uuu u r uuu r uuu r uuu r 14DO 为平行线间距离时，为最小值代入最小值为上海【2020上海卷12】已知a 1⃗⃗⃗⃗ ,a 2⃗⃗⃗⃗ ,b 1⃗⃗⃗ ,b 2⃗⃗⃗⃗ ,......,b k ⃗⃗⃗⃗ (k ∈N ∗ )是平面内两两互不相等的向量，满足|a 1⃗⃗⃗⃗ −a 2⃗⃗⃗⃗ |=1,且|a i ⃗⃗⃗ −b j ⃗⃗⃗ |∈{1,2}(其中i =1,2，j =1,2......,k ),则k 的最大值为___________.【答案】6【解析】根据平面向量模的几何意义，121a a -=表示1a ，2a 对应的终点间的距离为1；将j b 的起点平移到到i a 的终点处，则{}1,2i j a b -∈表示任意的j b 的终点到i a 的终点的距离都为1或2，因此可将转化为：以向量1a ，2a 的终点为圆心，1r =或2r =的作圆，则j b 的终点在圆的交点处，由图可知k 的最大值为6.浙江【2020浙江卷17】设12,e e u r u r 为单位向量，满足12|2|e e -≤u r u r 12a e e =+r u r u r ,123b e e =+r u r u r ，设,a b r r 的夹角为θ，则 cos 2θ的最小值为 ▲ .【答案】2928 ,233213【解析】设1e 与2e 夹角为α，则2cos 4142|2|21≤-+⇒≤-αe e ， 解得43cos ≥α，而αααθcos 610cos 22cos 44||||cos +⋅++=⋅=b a 化简得：ααθcos 610cos 222cos ++=， 所以2928cos 915834cos 35cos 44cos 2≥+-=++=θααθ，当且仅当43cos =α时，等号成立山东【2020山东7】已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 A.(-2，6) B.(-6，2) C.(-2.4) D.(-4，6)【答案】A【解析】：设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cosθ=2·|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cosθ，|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cosθ为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影，投影范围为：（-1，3），故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围为：（-2，6），故选A.海南【2020海南3】在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB⃗⃗⃗⃗⃗ = A ．2CD⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】C 【解析】()1,2CD CA CB =+所以2,CB CD CA =-故选.C。
【福建省】2016届高考数学(理科)-平面向量与复数-专题练习-答案
8． ka - b (k +1, k -1) ， (ka - b) b k +1+ k -1 2k 0 ， k 0 ．
9．
a - 2i (a - 2i)(1- 2i) a - 4 - 2a + 2 i 1+ 2i (1+ 2i(1- 2i)) 5 5
a 2i 1 2i
，因复数
a - 2i 1+ 2i
另解：由 | a + b | 2 ，又| c - (a + b) |1 ，可以在单位圆中解得 2 -1| c | 2 +1，故选 A．
6
．
MD MO + OD
，
NC NO + OC
，
所
以
M D( N +
C)
M( O + O ) D N + O
O
另解：以 O 为原点， AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 N(2, 0) 、 M (2, 0) 、 C(3, 3 3) 、
所以 k t2 1 (t2 4 t 3) 7 ，
t4
4
所以当 t
2
时，
k
t2 t
有最小值
7 4
．
4/4
4． z + iz 1+ i + i(1- i) 1- i + i +1 2 ，故选 C．
i
i
5 ． 设 a (1, 0) ， b (0,1) ， c (x, y) ， 则 (x -1)2 + ( y -1)2 1 。 设 x 1+ cos,
y 1+ sin ， 则
| c | x2 + y2 3 + 2 2 sin( + ) ，故 2 1| c | 2 1 ，故选 A． 4
(2016-2018)数学(理科)真题分类解析：专题12-平面向量(含答案)
专题12 平面向量考纲解读明方向考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.平面向量的基本概念与线性运算①了解向量的实际背景;②理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;③理解向量的几何表示;④掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义掌握2015课标Ⅰ,7;2015陕西,7;2013四川,12选择题填空题★★☆2.向量的共线问题①掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义;②了解向量线性运算的性质及其几何意义掌握2015课标Ⅱ,13;2013陕西,3选择题填空题★★☆分析解读 1.从“方向”与“大小”两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用.4.向量的概念与运算是必考内容.5.本节在高考中主要考查平面向量的线性运算及其几何意义,分值约为5分,属中低档题.考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.平面向量基本定理了解平面向量的基本定理及其意义了解2017江苏,12;2015北京,13;2013北京,13选择题填空题★☆☆2.平面向量的坐标运算①掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;②会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;③理解用坐标表示的平面向量共线的条件掌握2016课标全国Ⅱ,3;2015江苏,6;2014陕西,13;2013重庆,10选择题填空题★★☆分析解读 1.理解平面向量基本定理的实质,理解基底的概念,会用给定的基底表示向量.2.掌握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点,分值约为5分,属中低档题.考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.数量积的定义(1)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义;②了解平面向量的数量积与向量投影理解2017浙江,10;2016天津,7;2015湖北,11;2014课标Ⅱ,3选择题填空题★★★2.平面向量的长度问题掌握2017课标全国Ⅰ,13;2017浙江,15;2016北京,4;2014浙江,8选择题填空题★★★3.平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用的关系;③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(2)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题;②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题掌握2017课标全国Ⅱ,12;2017山东,12;2016山东,8;2015重庆,6;2014重庆,4选择题填空题★★★分析解读 1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2−4e·b+3=0，则|a−b|的最小值是A. −1B. +1C. 2D. 2−【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.详解：设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.2．【2018年理数天津卷】如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，点在上，则，设，则：，即，据此可得：，且：，，由数量积的坐标运算法则可得：，整理可得：，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．3．【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果. 4．【2018年理新课标I卷】在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.5．【2018年理数全国卷II】已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘：6．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.7．【2018年全国卷Ⅲ理】已知向量，，．若，则________．【答案】【解析】分析：由两向量共线的坐标关系计算即可。
山东省2016届高三数学专题复习平面向量(真题复习)
2016高考数学真题汇编:平面向量定义运算：1.若向量(2,3),(4,7)BA CA ==，则BC = ( ).A (2,4)-- .B (2,4) .C (,)610 .D (,)-6-102.()()3,2,2,1-==b a ．若向量c 满足()a c +//b ，()b ac +⊥，则c =3.设向量()⎪⎭⎫⎝⎛==21,21,0,1b a , 则下列结论中正确的是（ ）A ．22=⋅b a C ．//a b D ．b a -与b 垂直 4.已知向量()()ba db a kc b a -=+===,,1,0,0,1，如果dc //，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 5.已知平面向量a =,1x （）,b =2,x x （－）， 则向量a+b（ ）A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线6.若向量c b a ,，满足//a b ，c a ⊥，则()=+⋅b a c 2 7.已知21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，2121,2e e k b e e a +=-=，若0=⋅b a ，则k 的值为8.已知,a b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题真命题是（ ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⇔32,01πθp 、 ⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⇔ππθ,321p⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⇔3,013πθp ⎥⎦⎤⎝⎛∈⇔ππθ,314pA ．41,p pB ．31,p pC ．32,p pD ．42,p p9.定义向量一种运算“⊗”如下：对任意的()()q p b n m a ,,,==，令np mq b a -=⊗，下面错误的是（ ）A ．若a 与b 共线，则0=⊗b aB ．a b b a ⊗=⊗C ．对任意的R λ∈，有()()b a b a ⊗=⊗λλ D.()()22b a b a ⋅+⊗10.一质点受力123,,F F F 处于平衡状态．21,F F 成060角，且1F ，2F 的大小为N N 4,2，则3F 的大小为11.已知向量,a b 满足,2=⋅b a12.若非零向量,a b )0=⋅+b b a ，则a 与b 的夹角为13.若向量,a b 满足2=a，1=b ，()1=+⋅b a a ，则向量a 与b 的夹角为14.已知向量,a b 夹角为045，且1,210a a b =-=，则_____b =15.直角坐标平面上三点()()()7,9,2,3,2,1C B A -，若F E ,为线段BC 的三等分点，则=⋅AF AE16.已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A B C ．D ．17.已知O 是边长为1的等边ABC ∆的中心，则()()OC OA OB OA +⋅+的值为 投影：18.设()()()5,4,,2,1,C b B a A 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同， 则a与b满足的关系式为（ ）A ．354=-b aB ．345=-b aC ．1454=+b aD ．1445=+b a19.设()3,4=a ，a 在b 上的投影为，b 在x 轴上的投影为214，则b = （ ） A ．(214)， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,2C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,2D ．(28)，几何意义：20.已知两个非零向量,a b 满则下面结论正确 （ ）.A a b ⊥ .B //a b .C =a b.D b a b a -=+21.设,a b是两个非零向量．正确的是（ ）.A λ，使得b a λ= .B 若b a ⊥.C b a ⊥ .D 若存在实数λ，使得b a λ=，则22.两非零向量b a ,b a +与b a -的夹角是 23.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=（ ）A ．8B ．4C ． 2D ．124. 已知非零向量b a ,b a +与b a -的夹角为________． 25.三角形ABC ∆的外接圆半径为1，圆心O ，已知0543=++OC OB OA ，则=⋅OC AB26.在四边形ABCD 中，113(1,1),||||AB DC BA BC BD BA BC ==⋅+⋅=⋅，则四边形的面积为27.给出下列命题中，① 非零向量 a b 、满足a b a b ==-，则与a a b +的夹角为030 ②已知非零向量则a ⋅b 0>是 a b 、的夹角为锐角的充要条件 ③ 将函数1-=x y 的图像按向量a =()0,1-平移，得到的图像对应的函数表达式为x y =④ 若()()0=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形.以上命题正确的是28.直线a y x =+与圆422=+y x 交于B A ,-+O 为坐标原点，则=a29.(1) 已知()()3,1,0,0P O ，将向量OP 按逆时针旋转4π后，得向量OQ ,则点Q 的坐标是(2) 已知()()5,12,0,0-P O ，将向量OP 按顺时针旋转3π后，得向量OQ ,则点Q 的坐标是（3）已知(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转34π后，得向量OQ ,则点Q 的坐标是 （ ）.A (- .B (- .C (2)-- .D (2)-30.设非零向量c b a ,,满足c b =+，则b a ,的夹角为（ ）A ．0150B ．0120C ．060D ．03031.（11山东理科）坐标系中两两不相同的四点，若()1312,A A A A R λλ=∈，()1412,A A A A R μμ=∈，且211=+μλ，则称43A A ，调和分割21A A ，，已知平面上的点D C ，调和分割点B A ，，则下面说法正确的是 （ ）A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．D C ，可能同时在线段AB 上 D ．D C 、不可能同时在线段AB 的延长线上32.平面上,,O A B 三点不共线，设,OA a OB b ==,则OAB ∆的面积等于 （ ） A ．222()a b a b -⋅ B ．222()a b a b +⋅ C ．222()a b a b -⋅D 222()a b a b +⋅33.设向量c b a ,,1，21-=⋅b a ，060,=--b c （ ）A ．2B ．3CD ．134.若c b a ,,均为单位向量，且0=⋅b a ，()()0≤-⋅-c b c a ，则b a +最大值为 （ ）A ．12-B ．1C ．2D ．2三点共线：35.（09山东）设P 是ABC ∆所在平面内的一点,BP BA BC 2=+，则（ ）A.0PA PB +=B.0PC PA +=C.0PB PC +=D.0PA PB PC ++=36.ABC ∆中，点D 在AB 上，b CB a CA ==,，BD =，则CD =（ ）A +B +C +D +37.在ABC ∆中，AN =，P 是BN 上的一点，若AB m AP +=，则实数=m38.O 是平面α上一点，点C B A ,,是平面α上不共线的三点， 平面α内的动点P 满足()AC AB OA OP ++=λ，若21=λ，则()PA PB PC ⋅+的值为 39.ABC ∆中，点D 在AB 上,CD 平分ACB ∠．若b CB =，a CA =2，则CD =（ ）A ．1233a b + B + C + D +40.ABC ∆中,AB 边上的高为CD ,若1,,=⋅==b a b CB a CA ，则AD = （ ）.A 4455b a - .B 3355b a - .C 2233b a - .D 1133b a- =CD（2）ABC ∆中，A A AB ∠=∠=,60,30的平分线AD 交边BC 于点D ，且AB AD λ+=，则AD 的 ABCP长为(3)如图,在ABC ∆中,O 为BC 中点,若1=AB ,3AC = 060=∠BAC ,则OA =________（4）ABC ∆中，D 在边AB 上,等差数列{}n a 中，20116,a a 满足CB a CA a CD 20116+=，求和=2016S41.若M 为ABC ∆边沿及内部一点，且满足AM +=ABM ∆与ABC ∆的面积之比42.ABC ∆中，D 在AB 上,CD 平分ACB ∠．若a CA b CB ==,，，1=CD + 三角形法则=+BC AB =-AC AB43.（1）若02=+⋅AB BC AB ，则ABC ∆必定是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形（2）在ABC ∆中，若CB CA BC BA AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2则ABC ∆是 （ ）A ．等边三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 44.在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，1,3==BD AB ，则=⋅AD AB45.（1）在ABC ∆中，2AB =，3AC =，D 是边BC 的中点，则BC AD ⋅（2）在ABC ∆中，P B AC AB ,30,20=∠==为BC 边中线上的任意一点，则=⋅BC CP46.在平行四边形ABCD 中，BD AP ⊥垂足为P ，且3=AP 则AC AP ⋅=47.在边长为1的正三角形ABC ∆中, 设CE CA BD BC 3,2==，则BE AD ⋅=________ 48.在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC =BD ，1AD =，则AC AD ⋅=49.ABC ∆为等边三角形,=2AB ,=AP AB λ，=(1)AQ AC λ-，若3=2BQ CP ⋅-，则=λ （ ）.A 12.B.C.D四心问题：50.已知P N O ,,在ABC ∆所在平面内，0=+NC NB ，且PCPA PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则点P N O ,,依次是ABC∆的（ ）A ．重心 外心 垂心B ．外心 垂心 重心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心51.O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足AP =，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心52.若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- (53). 1.O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心2.O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足AP =，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心3.已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：APAC AB λ=+，则λ的值为（ ）A ．2B ．23C ．3D ．6 4.点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是（ ）A ．2B ．23 C ．45 D ．34 5.O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的 （ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6.C B A ,,是平面上不共线的三点，O 是ABC ∆的重心，动点P 满足⎪⎭⎫++=OC OP 231，则点P 一定为ABC∆的( )A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB 边的中点 7. 设,a b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =成立的充分不必要条件是 （ ）.A 2a b = .B //a b .C a b =- D ．//a b 且||||a b =8.在ABC ∆0=BC21,则ABC ∆为 三角形9.已知O 为ABC ∆的外接圆的圆心，满足AO m AC BCAB C B 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则m 等于 （ ）A. 1B.A sinC.A cosD. A tan10已知O 是ABC ∆所在平面内一点,D 为BC 边中点，且03=++OC OB OA ，OD AO λ=，=λ11.若()1,2,3,,i A i n AOB =⋅⋅⋅∆是所在的平面内的点，且i OA OB OA OB ⋅=⋅.给出下列说法：①12n OA OA OA OA ==⋅⋅⋅==； ②1OA 的最小值一定是OB ③点i A A ,在一条直线上④向量OA 及i OA 在向量OB 的方向上的投影必相等. 其中正确的个数是 （ ） A.1B.2C.3D.412.ABC ∆中，设BC AM AB AC ⋅=-222，那么动点M 的轨迹必通过ABC ∆的 （ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 54.矩形ABCD 中,2AB BC ==，E 为BC 中点,F 在CD 上,若2=⋅AF AB ,则BF AE ⋅的值是设,E F 分别是ABC Rt ∆的斜边BC 上的两个三等分点，已知3,6AB AC ==，则AE AF ⋅= ．55.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为0120.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈, 则x y +的最大值是_____，y x -的最大值是_____56.正方形ABCD 边长为1，E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为____，DC DE ⋅的最大值为57.平行四边形ABCD 中，060,1,2=∠==A AD AB ,M 在AB 边上，AB AM 31=，则=⋅DB DM58.直角梯形ABCD ，AD //BC ,090=∠ADC ,4,12===DC BC AD ，,P 是腰DC 上动点，+最小值59.(山东)已知向量AB 与AC 的夹角0120，2，若AC AB AP +=λ，且BC AP ⊥，则实数λ的值为60.B A ,是半径为1的圆O 上两点，且3π=∠AOB ．若点C 是圆O 上任意一点，则BCOA ⋅的取值范围为 ．61. 在边长为1的正ABC ∆中，D 为边BC 上一动点，则AD AB ⋅的取值范围是62.AB 是圆O 的直径,P 是圆弧AB 上的点,,M N 是直径AB 上关于O 对称的两点,且6,4AB MN ==,则PM PN ⋅=（ ）A ．13B ．7C ．5D ．363.在平行四边形ABCD 中,3π=A ，边AB 、AD 的长分别为1,2，若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD BC =AN AM ⋅的取值范围是 .64.ABC ∆中,090=A ,1AB =,2=AC ,,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈.若2BQ CP ⋅=-,=λ（ ）A ．13B ．23C ．43D ．265. 已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为0120，0a c b ++=，则a 与c 的夹角为66. 31，0=⋅OB OA ，6π=∠AOP ，若,OB OA t OP +=则实数t 等于 ( ) A.31 B.33 C.3 D.3 67.两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB y AC =+，则x = ，y =68.设c b a ,,是单位向量，且b a ⋅0=，则()()cb c a -⋅-的最小值为 （ ）A ．2- B2 C ．1- D．169（2015山东）已知菱形ABCD 的边长为060,=∠ABC a ,则=⋅CD BD （ ）（A ）223a - （B ）243a - （C ） 错误！未找到引用源。
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2016年高考数学理试题分类汇编
平面向量
一、选择题
1、（2016年北京高考）设a ，b 是向量，则“||||a b = ”是“||||a b a b +=- ”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】D
2、（2016年山东高考）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=
13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为
（A ）4
（B ）–4 （C ）94 （D ）–
94 【答案】B 3、（2016年四川高考）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ﹒DB =DB ﹒
DC =DC ﹒DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是
（A ）434 （B ）494 （C ）37634+ （D ）372334
+ 【答案】B
4、（2016年天津高考）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，
连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC 的值为（ ）
（A ）85-
（B ）81 （C ）41 （D ）811
【答案】B 5、（2016年全国II 高考）已知向量(1,)(3,2)a m a =- ，=，且()a b b ⊥ +，则m =（ ）
（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8
【答案】D
6、（2016年全国III 高考）已知向量13(,)22
BA =uu v ,31(,),22BC =uu u v 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200
【答案】A
二、填空题
1、（2016年上海高考）在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是 .
【答案】[0,12]+
2、（2016年上海高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是.
【答案】528
3、（2016年全国I 高考）设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = .
【答案】2-
4、（2016年浙江高考）已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤
6 ,则a ·b 的最大值是 ． 【答案】
12。