N1样本空间与随机事件FF
概率论 随机试验与样本空间
考试有技巧，学习无捷径。 平时的学习要注重知识点的掌握，踏踏实实，这 才是方法中的方法。 古人云：“梅花香自苦寒来” “书山有路勤为径”。 相信自己，你会成为河南理工大的传说！
概率论与数理统计
第1章 概率论基础
1.1 随机试验与样本空间 2.2 随机事件及其概率 3.3 古典概型与几何概型 3.4 条件概率与乘法公式 3.5 全概率世纪30年代，前苏联的数学家柯尔莫戈洛夫 以勒贝格的测度论为基础，给出了概率论的公理化体系， 影响颇大。 柯 尔 莫 戈 洛 夫
【概率论简史】
我国的概率论研究起步较晚，从1957年开始，先驱者 是许宝騄先生。1957年暑期许老师在北大举办了一个概率 统计的讲习班，从此，我国对概率统计的研究有了较大的 发展，现在概率与数理统计是数学系各专业的必修课之一 ，也是工科，经济类学科学生的公共课。
许宝騄先生
王梓坤 院士
陈木法 院士
彭 实 戈 院 士
严加安 院士 马 志 明 院 士
关于数理统计 统计学的英文词 statistics 源出于拉丁文，是由 status（状态、国家）和statista（政治家）衍化而来 的,可见起源很早并和国家事务的管理需求有关。
在中国，周朝就设有统计官员18名，5个层次，5个级 别，其官职叫“司书”，东北师范大学校长史宁中先生请该 校历史教授考证：司书就是做统计的官员。
贝叶斯
皮尔逊
现代数理统计作为一门独立学科的奠基人是英国的数 学家费希尔(R.A.Fisher) 1946年，瑞典数学家克拉默(H.Cramer)发表了《统计 学的数学方法》，系统总结了数理统计的发展，标志着现 代数理统计学的成熟。
费希尔
克拉默
图是10马克的德国纸币，纸币上的这个人就是高斯。 而纸币上印有一个函数表达式、还画一个曲线的，这个 函数曲线是正态随机变量的概率密度函数曲线，正态分 布又叫“高斯分布”。没有高斯和正态分布，统计就没 有今天的辉煌。
19-20 第10章 10.1.1 有限样本空间与随机事件
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【例2】 指出下列试验的样本空间： (1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小 球； (2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差． [思路探究] 根据题意，按照一定的顺序列举试验的样本空 间．
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2．从数字1,2,3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω
＝
.
{12,13,23} [从数字1,2,3中任取两个数字，共有3个结果：12, 13, 23，
所以Ω＝{12,13,23}．]
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3．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事
件：
①“在这200件产品中任意选9件，全部是一级品”；
第十章 概 率
10.1 随机事件与概率 10.1.1 有限样本空间与随机事件
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学习目标
核心素养
1.结合具体实例，理解样本点和 有限样本空间的含义．(重点) 2．理解随机事件与样本点的关 系．(重点、难点)
1.通过对随机事件、必然事件、 不可能事件概念的学习，培养学 生数学抽象素养． 2. 通过写出试验的样本空间，培 养学生数学建模素养.
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(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； (6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会 出现．
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[解] (1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随 机事件．
(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件． (3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法 生存，所以是不可能事件． (4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机 事件．
1-2节 样本空间和随机事件
A ( B C ) ( A B) ( A C ),
(4)德 摩根律 : A B A B, A B A B.
(对偶律)
A A,
i 1 i i 1 i
样本空间的元素由试验的目的所确定.
二、随机事件
随机事件 在一次试验中可能发生也可能不发
生的结果称为随机事件, 简称事件.事件常用A、
B、C表示. 随机事件是由样本空间的某些样本点构成的. 例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6 点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
空集 和样本空间S都是样本空间S的子集, 在每次试验中 必不发生,称 为不可能事件; S 必发生,称 S为必然事件. 为叙述方便,把不可能事件和必然事件都包括 在随机事件中.
三、事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B, Ak (k 1,2,) 是 S 的子集.
个事件,称此事件为事件 A与事件B的积事
件. 记作 A I B或AB 显然 A I B {e | e A且e B}.
A AB
B
S
图示:事件A与B 的积事件.
积事件具有如下性质：
(1)若A B, 则A B A; B A, 则A B B.
(2) A B A; A B B.
3. 和事件
“事件 A与事件B至少有一个发生”也是 一 个事件, 称此事件为事件 A 与事件B的和事件. 记作A B，显然A B {e | e A或e B}.
B A
S
1.2样本空间、随机事件
二、随机事件的概念
1. 基本概念
随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的随 机事件, 简称事件.
每次实验中, 当且仅当这一子集中的一个样本 点出现时, 称这一事件发生.
由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件.
样本空间 S包含所有的样本 , 它点是S自身的 子集, 在每次实验中它总是发生的, S称为必然事 件.
A S
某种产品的合格与否是由该产品的长度与直
径是否合格所决定, 因此 “产品不合格”是“长
不合格”与“直径不度合格”的并.
n
推广 称 A k为 n个事 A 1,A 2 件 , ,A n的和事 k1
件, 称 A k为可列 A 1,A 个 2, 的 事和 件 . 事件 k1
3 . 事 A B x x 件 A 且 x B , 称为事件A
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模 型, 也可以作为产品检验中合格与不合格的模型, 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型.
课堂练习
写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的 总件数.
所以在具体问题的研究 中, 描述随机现象的第一步 就是建立样本空间.
对立事件与互斥事件的区别
A、B 互斥
A、B 对立
A
BS
AB
互斥
A
B A S
A B S 且 A B
对立
事件间的运算规律 设A,B,C为事,件 则有
(1)交换律 AB BA; AB BA.
(2)结合律 A(BC) (AB)C; A(BC) (AB)C.
(3)分配律 A(BC) (A B ) (A C ); A(BC) (A B ) (A C ).
有限样本空间和随机事件教学设计,教学反思与点评(续)
有限样本空间和随机事件教学设计,教学反思与点评(续)
教学反思和点评是教师在为学生提供有效学习环境的重要组成部分，教学反思有助于教师审视课堂管理的活动，以及在实施教学的过程中发现的可能存在的问题。
有限样本空间和随机事件教学设计作为一种新的教学方法，也需要教师的进一步反思和点评。
首先，教师需要反思和点评有限样本空间和随机事件所采用的教学方法，特别是要考虑学生的能力和经验。
此外，反思和点评也应考虑学生在学习过程中的学习表现情况以及教学活动的执行过程。
仅仅重点关注课程目标是不够的，教师需要及时地反思和评估学生在接受教学活动后是否理解所学知识，学习是否有效。
另外，教师还需要反思和点评有限样本空间和随机事件教学的相关课程内容，确保有助于学生学习的活动和资源得到充分的利用。
同时，要考虑教学活动的分配是否是有效的，能否根据学生的不同能力水平进行调整和优化。
通过反思和点评有限样本空间和随机事件教学，教师可以及时发现和改进教学活动中存在的问题，进而有效地帮助学生学习并达到教学目标。
只有教师对有限样本空间和随机事件教学设计中存在的问题有所了解，才能进行有效的教学反思和点评，为学生的有效学习提供有力的支持。
概率_随机事件的概率.板块一.事件及样本空间.学生版
版块一：事件及样本空间1．必然现象与随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．2．试验：我们把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把观察结果或实验的结果称为试验的结果．一次试验是指事件的条件实现一次．在同样的条件下重复进行试验时，始终不会发生的结果，称为不可能事件； 在每次试验中一定会发生的结果，称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件． 通常用大写英文字母A B C ，，，来表示随机事件，简称为事件．3．基本事件：在一次试验中，可以用来描绘其它事件的，不能再分的最简单的随机事件，称为基本事件．它包含所有可能发生的基本结果．所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用Ω表示．版块二：随机事件的概率计算1．如果事件A B ，同时发生，我们记作A B ，简记为AB ； 2．一般地，对于两个事件A B ，，如果有()()()P AB P A P B =，就称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立．当事件A 与B 独立时，事件A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的． 3．概率的统计定义一般地，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率mn，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记为()P A ．从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率()P A 满足：0()1P A ≤≤． 当A 是必然事件时，()1P A =，当A 是不可能事件时，()0P A =． 4．互斥事件与事件的并互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件． 由事件A 和事件B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或A B ，都发生）所构成的事件C ，称为事件A 与B 的并（或和），记作C A B =． 若C A B =，则若C 发生，则A 、B 中至少有一个发生，事件A B 是由事件A 或B 所包含的基本事件组成的集合． 5．互斥事件的概率加法公式：若A 、B 是互斥事件，有()()()P A B P A P B =+ 若事件12nA A A ，，，两两互斥（彼此互斥），有1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++．知识内容板块一.事件及样本空间事件“12n A A A ”发生是指事件12n A A A ，，，中至少有一个发生． 6．互为对立事件不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ． 有()1()P A P A =-． <教师备案>1．概率中的“事件”是指“随机试验的结果”，与通常所说的事件不同．基本事件空间是指一次试验中所有可能发生的基本结果．有时我们提到事件或随机事件，也包含不可能事件和必然事件，将其作为随机事件的特例，需要根据情况作出判断．2．概率可以通过频率来“测量”，或者说是频率的一个近似，此处概率的定义叫做概率的统计定义．在实践中，很多时候采用这种方法求事件的概率． 随机事件的频率是指事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总是在某个常数附近摆，且随着试验次数的增加，摆动的幅度越来越小，这个常数叫做这个随机事件的概率．概率可以看成频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率． 3．基本事件一定是两两互斥的，它是互斥事件的特殊情形．主要方法：解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： 求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件 互斥事件独立事件 n 次独立重复试验，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B n P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复．解决此类问题的关键是会正确求解以下六种事件的概率（尤其是其中的（4）、（5）两种概率）： ⑴ 随机事件的概率，等可能性事件的概率； ⑵ 互斥事件有一个发生的概率； ⑶ 相互独立事件同时发生的概率；⑷ n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率；⑸ n 次独立重复试验中在第k 次才首次发生的概率； ⑹ 对立事件的概率．另外：要注意区分这样的语句：“至少有一个发生”，“至多有一个发生”，“恰好有一个发生”，“都发生”，“不都发生”，“都不发生”，“第k 次才发生”等．题型一 事件及样本空间典例分析【例1】 (2010安徽)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球．乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A ，表示由甲罐取出的球是红球．白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是 __ __（写出所有正确结论的编号）．① ()25P B =；②()15|11P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立； ④1A ，2A ，3A 两两互斥的事件；⑤()P B 的值不能确定，因为它与1A ，2A ，3A 中究竟哪一个发生有关．【例2】 下列事件：①同学甲竞选班长成功； ②两队球赛，强队胜利了；③一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同； ④若集合A B C ，，，满足A B B C ⊆⊆，，则A C ⊆；⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写上“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签； ⑥从1359，，，中任选两数相加，其和为偶数； 其中属于随机事件的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【例3】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：⑴六月天下雪；⑵同时掷两颗骰子，事件“点数之和不超过12”； ⑶太阳从西边升起；⑷当100x ≥时，事件“lg 2x ≥”； ⑸数列{}n a 是单调递增数列时，事件“20082009a a >”； ⑹骑车通过10个十字路口，均遇红灯．【例4】 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：⑴在标准大气压下且温度低于0C 时，冰融化； ⑵今天晚上下雨；⑶没有水分，种子发芽；⑷技术充分发达后，不需要任何能量的“永动机”将会出现； ⑸买彩票中一等奖；⑹若平面α平面m β=，n β∥，n α∥，则m n ∥．【例5】 将一颗骰子连续投掷两次，观察落地后的点数．⑴写出这个试验的基本事件空间和基本事件总数； ⑵“两次点数相同”这一事件包含了几个基本事件； ⑶“两次点数之和为6”这一事件包含了几个基本事件；⑷“两次点数之差为1”这一事件包含了几个基本事件．【例6】 一个口袋中有完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中任取2球，观察球的颜色．⑴写出这个试验的基本事件空间； ⑵求这个试验的基本事件总数；⑶“至少有1个白球”这一事件包含哪几个基本事件；【例7】 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x ，转盘②得到的数为y ，结果为()x y ，．⑴写出这个试验的基本事件空间； ⑵求这个试验的基本事件总数；⑶“5x y +=”这一事件包含哪几个基本事件？“3x <且1y >”呢？ ⑷“4xy =”这一事件包含哪几个基本事件？“x y =”呢？【例8】 在天气预报中，如果预报“明天的降水概率为85%”，这是指（ ）A ．明天该地区约有85%的地区降水，其它15%的地区不降水B ．明天该地区约有85%的时间降水，其它时间不降水C ．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不会降水D ．明天该地区降水的可能性为85%【例9】 同时掷两枚骰子，点数之和在2~12点间的事件是 事件，点数之和为12点的事件是 事件，点数之和小于2或大于12的事件是 事件，点数之差为6点的事件是 事件．。
随机事件与样本空间
随机事件与样本空间“随机事件”和“概率”是概率论中最基本的两个概念，“独立性”和“条件概率”是概率论中特有的概念。
一、随机事件的关系与运算[1]样本空间：由一个特定的随机试验所有可能发生的基本结果构成的一个集合，成为该实验的“样本空间”，以大写字母Ω表示；试验的每一个可能发生的基本结果称为“样本点”，用小写字母ω表示。
由Ω的一个样本点组成的单点集合称为“基本事件”；Ω的一个子集称为一个“随机事件”。
样本空间Ω和空集∅为两个特殊的子集，分别称为“必然事件”和“不可能事件”。
[2]事件的关系运算：[3] 事件的运算法则：❶A ∅⊂⊂Ω❷A B A A B ⋃⊃⊃- A A B ⊃ ❸A A ⋃∅= A ⋂∅=∅ ❹A A ⋃=Ω A A ⋂=∅ ❺A A == -Ω=∅-∅=Ω❻A A A ⋃= A A A = ()A B A A B A -⋃=⋃≠ ❼如果A B ⊃,则A B A ⋃=,A B B ⋂= ❽满足交换律：A B B A ⋃=⋃,AB BA =❾满足结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C= ❶⓿满足分配率：()A B C AB AC ⋃=⋃ ()()()A BC A B B C ⋃=⋃⋃ ❶❶= =二、随机事件的概率：[1]古典概型：设随机事件的样本空间Ω包含有有限个样本点（此模型称为古典概型），则事件A 发生的概率为： #()#A P A E n==Ω有利于事件A 的样本点数m实验的样本空间所含的样本点数 [2]几何定义： 设Ω是n R （n=1、2、3）中任何一个可度量的区域，从Ω中随机的选择一点，即Ω中任何一点都有相同的机会被选到，则相应的随机试验的样本空间就是Ω，假设事件A 是Ω中任何一个可度量的子集，则：()()()A P A μμ=Ω 此式定义的概率称为几何概率，符合上述假定模型的称为几何概型。
[3]统计定义：对一特定的实验，进行多次重复试验，实验的某一结果A ，即随机试验A ，在大量的重复试验中出现的频率的稳定值p 称为A 的概率。
概率论与数理统计—古典概型
2023/8/17
3
3.排列：从n个不同元素中（按不放回方式）取出m
(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中
取出m个元素的排列数，记为
Pnm n (n 1) (n m 1)
4.组合：从n个不同元素中（按不放回方式）取出m
(m≤n)个元素并成一组， 叫做从n个不同元素中取出m个
元素的组合数，记为
有m1种不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法，…… 在第n类中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
M m1 m2 mn
2.乘法原理：完成1件事，需要分成n个步骤. 做第1步
有m1种不同的方法, 做第2步有m2种不同的方法，…… 做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有
N m1 m2 mn
P( A) C9153 C52 0.1377 C15
100
2023/8/17
6
例3.袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中 取一只球，
(1)作放回抽样；(2)作不放回抽样
求第i(i=1,2,…,)人取到白球(记为事件B)的概率 （设k ≤ a+b）.
2023/8/17
7
Cnm
n (n
1)
(n m!
m
1)
2023/8/17
4
例1将. n只球随机地装入N个盒子中去，问每个盒子 至多装一只球的概率（设盒子容量不限,n≤N）. 解：设A为每个盒子至多装一只球， n只球随机地装入N个盒子共有 N N N N n 每个盒子至多装一只球，则第一只球共有N种装法，
第二只球有N-1种装法，……，第n只球有N-n+1 种，
故N(A)=NP((NA)-1)N…((NN-n+1)1N),n于(N是 n 1)
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世，享年2岁半。
概率妙语
随机非随意， 概率破玄机。 无序隐有序， 统计解迷离。
(严加安)
生活中最重要的问 题，绝大部分其实 只是概率问题。
(Laplace)
概率统计功能强大，适用于分析和处理不 确定性现象中隐藏的统计规律性。
教 材
参 考 书
参考书目
1. 盛骤等. 概率论与数理统计(第二版),北京：高等教育出版社, 2001. 2. 肖筱南编. 新编概率论与数理统计,北京：北京大学出版社, 2002. 3. 章昕等. 概率统计双博士课堂,北京：机械工业出版社，2003年8月. 4. 赵衡秀.概率论与数理统计全程学练考,沈阳:东北大学出版社,2003年3月. 5. 毛用才. 随机过程,西安：西安电子科技大学出版社,1999年3月. 6. 李欲奇. 随机过程,北京：国防科技大学出版社,2003年8月. 7. 何迎晖等.随机过程简明教程，上海：同济大学出版，2004年1月. 8. 张卓奎等. 随机过程，西安：西安电子科技大学出版社，2003年9月. 9. 汪荣鑫. 随机过程，西安：西安交通大学出版社，2003. 10. 刘嘉火昆. 应用随机过程，北京：科学出版社，2000.
k 1 k 1
事件的差
事件A发生而事件B不发生所构成事件称
为事件A与事件B的差事件，记为A-B． “长度合格但直径不合格‛是‚长度合格‛ 与‚直 径合格‛的差.
B A
B A
B S A-B
A A B B
B
S
互斥事件 事件A与B不能发生的事件称为事件A与事 件B是互斥的，或称它们互不相容。即AB=． 实例抛掷一枚硬币,“发生正面‛ 与‚发生反面‛是互不相容的 两个事件. “骰子出现1点‛ 互斥 ‚骰子出现2点‛
概率论与随机过程
Probability and Random Process
主讲教师：冯锋 联系电话：88166087 E-mail：fengf@ 工作单位：应用数学系
“未来哥‛借南非世界杯炒作成 名 在2010南非世来自 不远的将来，愿意了解的请进》的帖子，他自称来自 未来，并说出最终决赛将是荷兰对阵西班牙。于是， 荷兰和西班牙会师决赛的那天该帖立即火热，短时间 内就有上千万的点击率，‚未来哥‛成为网络神人被 膜拜，甚至连中央电视台有关世界杯的节目也播报了 这一事情。但是，当世界杯决赛结果一出，‚未来哥‛ 就从天上掉到了地下：他的预测全错了。
本学科历史ABC
16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些 问题；17世纪中叶，法国数学家B.帕斯卡、荷兰数学家 C. 惠更斯基于排列组合的方法，研究了较复杂的赌博 问题，解决了‚合理分配赌注问题‛(即得分问题). 对客观世界中随机现象的分析产生了概率论；使概 率论成为数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家 J. 伯努利；而概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建 立以后. 第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的 复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理 统计学等学科.
A
B
S
事件的和 事件A与事件B至少有一个发生的事件称 为事件A与事件B的和事件，记为AB或A+B．
某种产品的合格与否是由该产 品的长度与直径是否合格所决定, 因此‚产品不合格‛是‚ 长度不 合格‛与‚直径不合格‛的和事件.
n
B
A S
推广 称 Ak为n个事件A1 , A2 ,, An的和事件; 称 Ak为可列个事件A1 , A2 ,的和事件.
目前,概率统计理论进入其他自然科学领域的趋势还在 不断发展. 在社会科学领领域,特别是经济学中研究最优 决策和经济的稳定增长等问题,都大量采用《概率统计方 法》. 法国大数学家拉普拉斯(Laplace)曾说:“生活中最重 要的问题,其中绝大多数在实质上是概率的问题.” 英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞 美：‚概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某 种估计,那么我们就寸步难行,无所作为.” 随机现象无处不在，概率论是重要而实用的科学！
如此小概率的
事件竟然发生
了.因此,人们 有理由相信他 的确有神奇的 预测能力.
章鱼保罗，它生于英国，在 德 国 长 大 , 在 2008 欧 洲 杯 和 2010世界杯两届大赛中，预
测14次猜对 13次、成功率飙
升至 92%!2010 年 8 月 23 日章 鱼保罗成为英格兰 2018年世 界杯的申办大使。2010年当 地时间 10 月 25 晚间 ( 北京时 间 10 月 26 日上午 ) 章鱼保罗 在德国的奥博豪森水族馆去
面T出现的情况．
E8：将一枚硬币抛三次，观察正面
H、反面T 出现的情况．
E9：将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数．
二、样本空间
定义2：随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E
的样本空间, 记为S.样本空间的元素,即试验E 的每一个
结果e, 称为样本点.
E1:抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
S1 {1, 2, 3, 4, 5, 6}. E2 :从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品
处理》； 4. 电子系统的设计,火箭卫星的研制及其发射都离不 开《可靠性估计》;
5. 处理通信问题,需要研究《信息论》； 6. 探讨太阳黑子的变化规律时,《时间序列分析》方 法非常有用; 7. 研究化学反应的时变率，要以《马尔可夫过程》 来描述; 8. 生物学中研究群体的增长问题时，提出了生灭型 《随机模型》，传染病流行问题要用到多变量非线性 《生灭过程》； 9. 许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维 修、病人候诊、存货控制、水库调度、购物排队、红绿 灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到的知 识就是《排队论》.
第一讲 样本空间与随机事件
随机试验
样本空间
随机事件 事件间的关系与运算
概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的 一门科学。 每次试验之前，根据现有条件能够判定它有一个 明确结果的现象称为确定性现象。 在一次试验中其结果呈现出不确定性，而在大量重 复试验中其结果又具有统计规律的现象称为随机现象。
作业：练习册10元/本
每周一上午交A318
辅导答疑
辅导书15/本
时间：周五下午4:30-6:00
地点：A318
内 容
第一章 概率论的基本概念
第二章
第三章
随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
第四章
第五章
随机变量的数字特征
大数定律及中心极限定理
第十章
第十一章 第十二章
随机过程的基本知识
马尔可夫链 平稳随机过程
本学科应用ABC
概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领
域、工农业生产和国民经济的各个部门中. 例如
1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与 《概率论》紧密相关； 2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应 用，均要用到《假设检验》；
3. 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》和《数据
事件间的运算率
设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律
A B B A, AB BA.
( 2) 结合律 ( A B ) C A ( B C ), ( AB )C A( BC ).
( 3) 分配律 ( A B ) C ( A C ) ( B C ) AC BC , A B C ( A C ) ( B C ) ( A C )( B C ).
两个特殊事件 必然事件 S；不可能事件.
四、事件间的关系与运算
设试验E的样本空间为S，而A,B,Ak (k=1,2,…）是 S 的子集．
包含关系 若事件A发生必然导致B发生,则称事件B 包含事件A,记作 B A或A B. 相等关系 若事件A包含事件B,而且事件B包含事件 A,则称事件A与事件B相等,记作A=B. 实例 ‚长度不合格‛必然导致 ‚产品不合格‛，所以‚产品 不合格‛包含‚长度不合格‛.
E1:抛掷一枚骰子,观察出现的点数. E2 :从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数. E3 : 记录某公共汽车站某日上午某 时刻的等车人数. E4：记录电话交换机一分钟内接 到用户的呼叫次数。
E5: 考察某地区10月份的平均气温.
E6 : 从一批灯泡中任取一只,测试 其寿命. E7 ：抛一枚硬币，观察正面H、反
“概率哥‛将‚未来哥‛拽回现 实！
就在‚未来哥‛被追捧时，另一位网友用概率方法揭示‚未来哥‛预言 荷兰和西班牙进决赛并不神奇，还针锋相对地说：‚哥来自现在，而且 所有的哥都应该来自现在‛。 这位网友分析：32强中最终会有2支队伍进入决赛，但是有些弱队是几乎 没有可能进决赛的，保守估计这样的队伍至少有16支，如果随机在剩下 的16支球队中选择2支，则猜中的概率是1/120。但是不难看出，‚未来哥‛ 选择的荷兰、西班牙应该是剩下的16支队伍中实力中上水平的，因此， 猜中的概率要比1/120稍大，姑且打个九折，即1/108，也就是猜中荷兰、 西班牙进决赛的概率近乎1/100。 该网友同时断言‚未来哥‛关于决赛比 分和进球人的预测不可能准：‚7月13日后，‘未来哥’将从人们的视野 中淡出，到时你们可以来膜拜我，我不会介意的。‛ 而决赛最后的结果说明，‚未来哥‛错了，而且他的错误果然被‚概率 哥‛料定。于是，人们惊呼：‚概率哥‛将‚未来哥‛拽回现实！
的件数.
S2 {HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }
记 H 正品, T 次品.
E3 : 记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.
S3 {0, 1, 2,}.
E4：记录电话交换机一分钟内接到用户的呼叫次数。
S4 {0, 1, 2,}.
A
B
S
对立事件 事件A与事件B两者中有仅有一个发生的 事件称为事件A与事件B为对立事件。即A B=，且A B=S.