高二数学 上学期直线的方程 第一课时教案二
高二数学上 第七章 直线和圆的方程： 7.2直线的方程(一)教案
7.2 直线的方程一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，直线上一点和直线的斜率或直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程问题1：直线L过点(1,2) ,斜率为3，那么直线L上任一点满足什么条件？你能得出直线L的方程吗？问题2：假设直线L经过点P1(x1, y1), 且斜率为k，那么L的方程是什么？(一)点斜式直线l的斜率是k，并且经过点P1 (x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．练习1：课本第39~40页1，2(二)斜截式直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k ≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k 和b 的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y 轴上的截距．练习2：课本第40页 3例1、 求过点(2, -1)且倾斜角为直线x-3y+4=0 的倾斜角的2倍的直线方程。
高中数学 必修二 3.2.3 直线的一般式方程教案 新人教A版必修2
3.2.3 直线的一般式方程（一）导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题.思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.(1)斜率是1，经过点A （1，8）；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P 1（－1，6）、P 2（2，9）；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°.由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77y x +-=1、121696++=--x y 、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式.（二）推进新课、新知探究、提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线? ③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化?④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化? ⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零.结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-BC ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA ，在y 轴上的截距为-BC 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-A C ，表示一条与y 轴平行或重合的直线.结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式.注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.图1⑤列表说明如下： 0轴上的截距 例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程.解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6).化成一般式，得4x+3y-12=0.变式训练1.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线?（2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交?（3）系数满足什么条件时,只与x 轴相交?（4）系数满足什么条件时,是x 轴?（5）设P(x 0,y 0)为直线Ax+By+C=0上一点,证明这条直线的方程可以写成A(x-x 0)+B(y-y 0)=0.答案：（1）C=0；（2）A≠0且B≠0；（3）B=0且C≠0；（4）A=C=0且B≠0;（5）证明：∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上,∴Ax 0+By 0+C+0,C=-Ax 0-By 0.∴A(x -x 0)+B(y-y 0)=0.2.(2007上海高考,理2)若直线l 1:2x+my+1=0与l 2:y=3x-1平行,则m=____________.答案：-32例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ①移项，去系数得斜截式y=2x ＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6.即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.图2点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”.变式训练直线l 过点P(-6,3)，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程.答案：x+3y-3=0或x+2y=0.（四）知能训练课本本节练习1、２、３.（五）拓展提升求证：不论m 取何实数，直线(2m －1)x －(m+3)y －(m －11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系.解方程组⎩⎨⎧=--=-+,012,0113y x y x ,得⎩⎨⎧==3,2y x .∴直线恒过(2,3)点.（六）课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系；（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；（3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练.（七）作业习题3.2 A 组11.。
直线的方程(解析版)-2022-2023学年高二数学教材教案(人教A版2019选择性必修第一册)
2.2 直线的方程考纲要求 1．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）． 2．了解不同直线方程的特点和适用条件．知识解读 知识点①直线方程的5种形式名称 几何条件 方程 适用条件 点斜式 过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式过两点y －y 1y 2－y 1 ＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 纵、横截距x a ＋yb＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平面内所有直线知识点①线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.知识点①直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系知识点①特殊直线的方程1．直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1； 2．直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1；3．y 轴的方程为x ＝0； 4．x 轴的方程为y ＝0.题型讲解 题型一、求直线方程例1．已知直线l 的一个方向向量为n ＝(2,3)，若l 过点A (－4,3)，则直线l 的方程为( ) A ．y －3＝－32(x ＋4)B ．y ＋3＝32(x －4)C ．y －3＝32(x ＋4)D ．y ＋3＝－32(x －4)【答案】C【解析】方法一 因为直线l 的一个方向向量为n ＝(2,3)， 所以直线l 的斜率k ＝32，故直线l 的方程为y －3＝32(x ＋4)．方法二 设P (x ，y )是直线l 上的任意一点(不同于A )，则AP →＝(x ＋4，y －3)， 因为直线l 的一个方向向量为n ＝(2,3)， 所以3(x ＋4)－2(y －3)＝0， 即直线l 的方程为y －3＝32(x ＋4)．例2．根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)过点A (－5，－4)作直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5，求直线l 的方程． 【答案】见解析【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)由已知，l 的两截距不为0，设l 的方程为x a ＋yb＝1，则⎩⎨⎧－5a ＋－4b＝1，12|ab |＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝4.∴直线l 的方程为x 5－y 2＝1或x －52＋y4＝1，即2x －5y －10＝0或8x －5y ＋20＝0.例3．经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程为______________． 【答案】3x －y ＋6＝0【解析】由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，所以所求直线的斜率为 3. 又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0.例4．经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程为________________． 【答案】x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0【解析】∴当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0；∴当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.例5．已知∴ABC 的顶点A ()2，3 ，AC 、AB 边中线方程分别为x －3y ＝0、5x ＋6y －14＝0，求直线BC 的方程．【答案】x ＋4y ＝0【解析】由题意可知，点B 在直线x －3y ＝0上，设点B ()3b ，b ，则线段AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎫3b ＋22，b ＋32 ，易知点M 在直线5x ＋6y －14＝0上，则5()3b ＋2＋6()b ＋32 －14＝0，解得b ＝0，所以点B 的坐标为()0，0 ．点C 在直线5x ＋6y －14＝0上，可设点C ⎝⎛⎭⎫c ，14－5c 6 ，则线段AC 的中点为点N ⎝⎛⎭⎫c ＋22，32－5c 12 ，易知点N 在直线x －3y ＝0上，则c ＋22 －32－5c4 ＝0，解得c ＝4，所以点C 的坐标为()4，－1 ．直线BC 的斜率为k ＝－1－04－0＝－14 ，因此直线BC 的方程为y ＝－14 x ，即x ＋4y ＝0．例6．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －3y －2＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y －6＝0【答案】D【解析】设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k ′＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3，又点M (2,0)， 所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0. 题型二、直线方程的综合应用例1．(1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？ (2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？ 【答案】(1)a ＝－1 (2)a ＝38【解析】(1)∴l 1∴l 2，∴a 2－2＝－1， 又2a ≠2，解得a ＝－1.(2)∴l 1∴l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.例2．求证：不论m 为何值，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1总过第二象限． 【答案】见解析【解析】 证明：法一 直线l 的方程可化为y －3＝(m －1)(x ＋2)， ∴直线l 过定点(－2，3)，由于点(－2，3)在第二象限，故直线l 总过第二象限． 法二 直线l 的方程可化为m (x ＋2)－(x ＋y －1)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3. ∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2，3)． ∴点(－2，3)在第二象限，∴直线l 总过第二象限．例3．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当∴AOB 面积最小时，直线l 的方程为__________________． 【答案】x ＋2y －4＝0【解析】设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )，S ∴AOB ＝12(1－2k )·⎝⎛⎭⎫2－1k ＝12⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+k k 1)4(4≥12(4＋4)＝4，当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.例4．若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．(－∞，－2]∴[2，＋∞) C ．[－2,0)∴(0,2] D ．(－∞，＋∞)【答案】C【解析】令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∴(0,2]． 例5．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∴R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，∴AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． 【答案】见解析【解析】(1)证明 直线l 的方程可化为 k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线l 总经过定点(－2,1)． (2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <－2，1＋2k >1，解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程， 得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∴S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.达标训练 1．已知直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．y ＝－12xC ．x ＋2＝0D ．y －1＝0【答案】C【解析】由于直线l 过点(－2,1)，且倾斜角是π2，则直线l 的方程为x ＝－2，即x ＋2＝0.2．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A ．33B ．3C ．－3D ．－33【答案】A【解析】设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.3．直线mx －y ＋2m ＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(2,1) C ．(1，－2) D ．(1,2)【答案】A【解析】mx －y ＋2m ＋1＝0，即m (x ＋2)－y ＋1＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，－y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，故定点坐标为(－2,1)．4．已知函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，当x ＜0时，f (x )＞1，方程y ＝ax ＋1a表示的直线是( )【答案】C【解析】因为x ＜0时，a x ＞1，所以0＜a ＜1. 则直线y ＝ax ＋1a 的斜率0＜a ＜1，在y 轴上的截距1a ＞1.5．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )【答案】B【解析】直线l 1：y ＝－ax －b ，直线l 2：y ＝－bx －a ．当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，故B 符合．经验证其他均不符合．6．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0，0)，M (－1，3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( ) A ．3x －y －6＝0 B ．3x ＋y ＋6＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y －6＝0【答案】C【解析】因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C ．7．已知直线l 与两条直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，那么直线l 的斜率是( ) A ．23B ．32C ．－23D ．－32【答案】C【解析】设P (a ，1)，Q (b ，b －7)，则⎩⎨⎧a ＋b2＝1，1＋b －72＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4， 所以P (－2，1)，Q (4，－3)，所以直线l 的斜率k ＝1－（－3）－2－4 ＝－23，故选C ． 8．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1【答案】A【解析】将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得到的直线为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.9．已知过点A (－5，m －2)和B (－2m,3)的直线与直线x ＋3y ＋2＝0平行，则m 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．10 D ．－10 【答案】A 【解析】∴k AB ＝m －2－3－5－－2m ，直线x ＋3y ＋2＝0的斜率为k ＝－13，∴m －5－5＋2m＝－13，解得m ＝4.10．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab >0，bc <0 B ．ab >0，bc >0 C ．ab <0，bc >0 D ．ab <0，bc <0 【答案】A【解析】由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限， 所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －cb .易知－a b <0且－cb>0，故ab >0，bc <0.11．(多选)若直线过点A (1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．2x －y ＝0D ．x －y －1＝0【答案】ABC【解析】当直线经过原点时，斜率为k ＝2－01－0＝2，所求的直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x ±y ＝a ，把点A (1,2)代入可得1－2＝a 或1＋2＝a ，求得a ＝－1或a ＝3，故所求的直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. 综上知，所求的直线方程为2x －y ＝0，x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.12．(多选)垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是( ) A ．4 B ．－4 C ．3 D ．－3 【答案】CD【解析】设直线方程是4x ＋3y ＋d ＝0，分别令x ＝0和y ＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－d 3，－d 4，所以6＝12×⎪⎪⎪⎪－d 3×⎪⎪⎪⎪－d 4＝d 224.所以d ＝±12，则直线在x 轴上的截距为3或－3.13．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是 ． 【答案】3【解析】直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，∴动点P (x ，y )在直线AB 上，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取最大值3.14．直线l 过点(－2,2)且与x 轴，y 轴分别交于点(a,0)，(0，b )，若|a |＝|b |，则直线l 的方程为 ．【答案】x ＋y ＝0或x －y ＋4＝0【解析】若a ＝b ＝0，则直线l 过点(0,0)与(－2,2)， 直线l 的斜率k ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0. 若a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，此时，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.15．设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，若直线l 的斜率为－1，则k ＝________；若直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，则k ＝________. 【答案】5 1【解析】因为直线l 的斜率存在，所以直线l 的方程可化为y ＝－2k －3x ＋2，由题意得－2k －3＝－1，解得k＝5.直线l 的方程可化为x k －3＋y2＝1，由题意得k －3＋2＝0，解得k ＝1.16．已知点M 是直线l ：y ＝3x ＋3与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，则所得到的直线l ′的方程为________．【答案】x ＝－3或y ＝33(x ＋3) 【解析】在y ＝3x ＋3中，令y ＝0，得x ＝－3，即M (－3，0)．因为直线l 的斜率为3，所以其倾斜角为60°.若直线l 绕点M 逆时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为90°，此时直线l ′的斜率不存在，故其方程为x ＝－3；若直线l 绕点M 顺时针旋转30°，则得到的直线l ′的倾斜角为30°，此时直线l ′的斜率为tan 30°＝33，故其方程为y ＝33(x ＋3)． 17．已知三角形的顶点坐标是A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，试求这个三角形的三条边所在直线的斜截式方程． 【答案】见解析【解析】 直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－（－5）＝－38，又过点A (－5，0)，∴直线AB 的点斜式方程为y ＝－38(x＋5)，即所求边AB 所在直线的斜截式方程为y ＝－38x －158.同理，直线BC 的方程为y －2＝－53x ，即y ＝－53x ＋2.直线AC 的方程为y －2＝25x ，即y ＝25x ＋2.∴边AB ，BC ，AC 所在直线的斜截式方程分别为y ＝－38x －158，y ＝－53x ＋2，y ＝25x ＋2.18．(1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？ 【答案】(1)m 的值为2或－3 (2)a ＝1或a ＝－1 【解】 法一 (1)由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：∴当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ∴当m ≠0时，l 1∴l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. (2)由题意知，直线l 1∴l 2.∴若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直． ∴若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．∴若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1∴l 2时，k 1·k 2＝－1， 即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1∴l 2. 法二 (1)令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∴l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∴l 2. ∴m 的值为2或－3. (2)由题意知直线l 1∴l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意．故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1∴l 2. 19．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∴R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设∴AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程． 【答案】见解析【解析】(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2，1)． (2)直线l 的方程可化为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1， 要使直线l 不经过第四象限，则k ≥0， 1＋2k ≥0，故k 的取值范围是k ≥0．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，且k >0，所以A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0 ，B (0，1＋2k )，故S ＝12 |OA ||OB |＝12 ×1＋2k k ×(1＋2k )＝12 ⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12 ×(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时取等号，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0．课后提升1．(多选)已知直线x sin α＋y cos α＋1＝0(α∴R )，则下列命题正确的是( ) A ．直线的倾斜角是π－αB ．无论α如何变化，直线不过原点C ．直线的斜率一定存在D ．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 【答案】BD【解析】根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∴R ，所以A 不正确；当x ＝y ＝0时，x sin α＋y cos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B 正确；当α＝π2时，直线斜率不存在，C 不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪1－sin α·⎪⎪⎪⎪1－cos α＝1|sin 2α|≥1，所以D 正确．2．(多空题)直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∴R )恒过定点________，P (1,1)到该直线的距离的最大值为________． 【答案】(－2,3)13【解析】直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∴R )即λ(y －3)＋x ＋2＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝0x ＋2＝0，解得x ＝－2，y ＝3.所以直线l 恒过定点Q (－2,3)，P (1,1)到该直线的距离最大值为|PQ |＝32＋22＝13.3．(多空题)已知两直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4(0<a <2)与两坐标轴的正半轴围成四边形．求当a ＝______时，围成的四边形面积的最小值是____． 【答案】12 154【解析】两直线l 1：a (x －2)＝2(y －2)，l 2：2(x －2)＝－a 2(y －2)，都过点C (2,2)，如图．设它们的斜率分别为k 1和k 2，则k 1＝a 2∴(0,1)，k 2＝－2a 2∴⎝⎛⎭⎫－∞，－12.∴直线l 1与y 轴的交点A 的坐标为(0,2－a )，直线l 2与x 轴的交点B 的坐标为(2＋a 2,0)．∴S 四边形OACB ＝S ∴OAC ＋S ∴OCB ＝12(2－a )×2＋12×(2＋a 2)×2＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154. ∴当a ＝12时，四边形OACB 的面积最小，其值为154. 4．如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．【答案】(3＋3)x －2y －3－3＝0 【解析】由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.5．如图所示，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪，但∴EF A 内部为文物保护区，不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？【答案】见解析【解析】如图所示，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)， ∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1.易知当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，且一个顶点在线段EF 上时，可使草坪面积最大，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ∴BC 于点Q ，PR ∴CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )， 又m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)， ∴n ＝20－23m ，∴S ＝(100－m )⎝⎛⎭⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)，∴当m ＝5时，S 有最大值，此时|EP ||PF |＝5，∴当矩形草坪的两邻边在BC ，CD 上，一个顶点P 在线段EF 上，且|EP |＝5|PF |时，草坪面积最大．。
高中高二数学教案范文：直线的方程2篇
高中高二数学教案范文：直线的方程高中高二数学教案范文：直线的方程精选2篇（一）教案标题：直线的方程适用年级：高中高二教学目标：1.了解直线的定义和性质；2.学习如何确定直线的方程；3.掌握常见直线方程的求解方法；4.能应用直线方程解决实际问题。
教学重点：1.直线的斜率概念和计算方法；2.直线的截距概念和计算方法；3.应用直线的方程解决实际问题。
教学难点：1.理解和运用直线斜率的概念和计算方法；2.理解和运用直线截距的概念和计算方法。
教学准备：1.教学投影仪或白板；2.直线方程的相关练习册；3.实际问题的例题。
教学过程：Step 1：引入新知1.引导学生回顾中学阶段学过的直线相关知识，例如直线的特征和方向等。
2.通过图片展示和实际例子引导学生了解直线的斜率和截距的概念。
Step 2：直线斜率的计算1.引导学生回顾直线斜率的定义和计算方法。
2.通过具体的直线方程示例讲解斜率的计算步骤和方法。
3.提供一些练习题让学生独立计算直线斜率，并进行讲解和订正。
Step 3：直线截距的计算1.引导学生回顾直线截距的定义和计算方法。
2.通过具体的直线方程示例讲解截距的计算步骤和方法。
3.提供一些练习题让学生独立计算直线截距，并进行讲解和订正。
Step 4：确定直线方程1.综合斜率和截距的概念和计算方法，讲解如何确定直线方程。
2.通过具体例子展示直线方程的求解过程，并进行课堂讲解和操练。
Step 5：应用实例1.提供一些实际问题，例如几何问题、物理问题等，让学生运用所学知识解决问题。
2.引导学生分析问题、列出方程、计算并给出解答。
3.讲解实例中的解题思路和方法，并与学生进行讨论和分享。
Step 6：巩固练习1.提供一些练习题让学生巩固直线方程的求解方法。
2.鼓励学生独立完成练习并进行批改和订正。
3.针对学生常犯错误或难以理解的地方进行重点讲解和指导。
Step 7：课堂总结1.概括和总结本节课所学的直线方程的知识要点。
高二数学教案 必修2 直线的方程点斜式(斜截式)
高二数学教案 必修2 直线的方程——点斜式(斜截式) 班级 姓名 教学目标：1.通过本课掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程；了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；2.能通过待定系数（直线上的一个点的坐标11(,)x y 及斜率k ，或者直线的斜率k 及在y 轴上的截距b ）求直线方程；3.牢记斜率不存在时的直线方程，即1x x =．【问题导思】1．若直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，设点P (x ，y )是直线l 上不同于点P 0的任意一点，那么x ，y 应满足什么关系？【提示】 y －y 0＝k (x －x 0)．2．经过点P 0(x 0，y 0)且斜率不存在的直线l 如何表示？【提示】 x ＝x 0.求直线的方程，其实就是研究直线上任意一点(,)P x y 的坐标x 和y 之间的关系．直线l 经过点111(,)P x y ，当直线斜率不存在时，直线方程为1x x =；当斜率为k 时，直线方程为11()y y k x x -=-，该方程叫做直线的点斜式方程.例1：已知一条直线经过点1(2,3)P -，斜率为2，求这条直线的方程．【解】∵直线经过点1(2,3)P -，且斜率为2，代入点斜式，得：)2(23+=-x y ，即07=+-y x ．点评:已知直线上一点的坐标和直线的斜率，可直接利用斜截式写出直线方程．例2：直线l 斜率为k ，与y 轴的交点是(0,)P b ，求直线l 的方程．【解】代入直线的点斜式，得：(0)y b k x -=-，即y kx b =+．点评:方程y kx b =+叫做直线的斜截式方程，其中b 叫做直线在y 轴上的截距．（1）直线l 与x 轴交点(,0)a ，与y 轴交点(0,)b ，称a 为直线l 在x 轴上的截距，称b 为直线l 在y 轴上的截距（截距可以大于0，也可以等于或小于0）；（2）方程由直线l 斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定，叫做直线方程的斜截式．练习：1. 写出下列直线的点斜式方程：（1）经过点(2,1)A -， 12)y x +-；（2）经过点(B ，倾斜角为30； 2y x -； （3）经过点(0,3)C ，倾斜角是0;30y -=； （4）经过点D (5,6)，与x 轴垂直． x ＝5.2．写出下列直线的斜截式方程：（1y 轴上的截距是3-； 3y x =-；（2）斜率是3-，与x 轴交点坐标为(2,0)． 36y x =-+．3. 方程(2)y k x =-表示()A 通过点(2,0)-的所有直线 ()B y 轴上的截距是-2k()C 通过点(2,0)且不垂直于x 轴的直线 ()D 通过点(2,0)且除去x 轴的直线例3：（1）求直线2)y x =-的倾斜角；（2）求直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程．【解】（1）设直线2)y x =-的倾斜角为α，则tan α=[0,180)α∈， ∴120α=；（2）∴所求的直线的倾斜角为1203090-=，且经过点(2,0)，所以，所求的直线方程为2x =．例4：在同一坐标作出下列两组直线 ，分别说出这两组直线有什么共同特征？（1）2y =，2y x =+，2y x =-+，32y x =+，32y x =-+；（2）2y x =，21y x =+，21y x =-，24y x =+，24y x =-【解】图略；（1）这些直线在y 轴上的截距都为2，它们的图象经过同一点(0,2)；（2）这些直线的斜率都为2，它们的图象平行．思考题：已知直线l 经过点P (－1，－2)，在y 轴上的截距的取值范围为[2,6]，求此直线斜率的取值范围．法一 设直线l 的斜率为k ，由于这条直线过点P (－1，－2)，所以，它的点斜式方程是y －(－2)＝k [x －(－1)]，可化为斜截式方程是y ＝kx ＋k －2，所以直线l 在y 轴上的截距为k －2.由已知得2≤k －2≤6，所以4≤k ≤8.所以直线l 斜率的取值范围为[4,8]．法二 设直线l 的斜截式方程为y ＝kx ＋b ，由于点P (－1，－2)在直线l 上，所以－2＝k (－1)＋b ，即k ＝b ＋2.又因为b ∈[2,6]，所以k ∈[4,8]．后记高二数学学案 必修2 直线的方程——点斜式(斜截式) 班级 姓名 学习目标：1.通过本课掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程；了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；2.能通过待定系数（直线上的一个点的坐标11(,)x y 及斜率k ，或者直线的斜率k 及在y 轴上的截距b ）求直线方程；3.牢记斜率不存在时的直线方程，即1x x =．【问题导思】1．若直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，设点P (x ，y )是直线l 上不同于点P 0的任意一点，那么x ，y 应满足什么关系？2．经过点P 0(x 0，y 0)且斜率不存在的直线l 如何表示？例1：已知一条直线经过点1(2,3)P -，斜率为2，求这条直线的方程．例2：直线l 斜率为k ，与y 轴的交点是(0,)P b ，求直线l 的方程．练习：1. 写出下列直线的点斜式方程：（1）经过点(2,1)A - （2）经过点(B ，倾斜角为30；（3）经过点(0,3)C ，倾斜角是0； （4）经过点D (5,6)，与x 轴垂直．2．写出下列直线的斜截式方程：（1y 轴上的截距是3-； （2）斜率是3-，与x 轴交点坐标为(2,0)．3. 方程(2)y k x =-表示①通过点(2,0)-的所有直线 ②y 轴上的截距是-2k③通过点(2,0)且不垂直于x 轴的直线 ④通过点(2,0)且除去x 轴的直线例3：（1）求直线2)y x =-的倾斜角；（2）求直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程．例4：在同一坐标作出下列两组直线 ，分别说出这两组直线有什么共同特征？（1）2y =，2y x =+，2y x =-+，32y x =+，32y x =-+；（2）2y x =，21y x =+，21y x =-，24y x =+，24y x =-思考题：已知直线l 经过点P (－1，－2)，在y 轴上的截距的取值范围为[2,6]，求此直线斜率的取值范围．高二数学作业 必修2 直线的方程——点斜式(斜截式) 班级 姓名1．已知直线的倾斜角为45°，在y 轴上的截距为2，则此直线方程为________．2．过点P (－2,0)，且斜率为3的直线的方程是________．3．直线x ＋y ＋1＝0的倾斜角与其在y 轴上的截距分别是________．4．斜率与直线y ＝32x 的斜率相等，且过点(－4,3)的直线的点斜式方程是________． 5．直线236x y -=在x 轴、y 轴上的截距分别是6．（1）经过点(2,4)P ，且倾斜角为60的直线方程是 ；（2）倾斜角为150，在y 轴上的截距为2-的直线方程是 ．7．若ABC ∆在第一象限，(1,1),(5,1)A B ，且点C 在直线AB 的下方，60,45CAB B ∠=∠=，则直线AC 的方程是 ，直线BC 的方程是 ．8．直线22(252)(4)50a a x a y a -+--+=的倾斜角为45，则a 的值为9．直线0Ax By C ++=通过第二、三、四象限，则系数,,A B C 需满足条件10．将直线l ：y ＝－3(x －2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转60°得到直线l ′，则直线l ′的方程为________．11．已知直线l 经过点(2,1)，且它的倾斜角是直线1l ：2y +的一半，求直线l 的方程．12．设直线0ax by c ++=经过点(1,1)和(3,5)-，求::a b c ．13．将直线1l ：20x y -=绕着它上面的一点按逆时针方向旋转15得直线2l ，求2l 的方程．14．已知直线l 的斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程．15．已知直线12y x b =+与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，如果AOB ∆的面积（O 为坐标原点）不大于1，求b 的范围是。
高二数学教案 必修2 直线的方程两点式 (截距式)
高二数学教案 必修2 直线方程——两点式（截距式） 班级 姓名 教学目标（1）掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况；（2）能够根据条件选择恰当的方法求直线的方程；（3）能认识到等截距的多解性，并能很好的解决相关问题。
复习提问：上一节课，我们学习了直线的哪些表达式？创设问题情境，引出问题情境。
过两定点的直线方程该如何求解？已知直线l 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，如何求l 的方程．先求直线l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1，再利用点斜式方程求解，得出y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)． 已知直线过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则其方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 (x 1≠x 2且y 1≠y 2)，称为直线的两点式方程．【精典范例】例1：已知直线l 与x 轴的交点(,0)a ，与y 轴的交点(0,)b ，其中0,0a b ≠≠，求直线l 的方程．【解】∵l 经过两点(,0)a ，(0,)b ，代入两点式得：000y x a b a --=--，即1x y a b+=． 点评:（1）以上方程是由直线在x 轴与y 轴上的截距确定，叫做直线方程的截距式；（2）截距式方程适用范围是0,0a b ≠≠．（3）当直线l 过原点时，在x 轴与y 轴上的截距都为0.例2：三角形的顶点是(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，求这个三角形三边所在直线方程．点评:过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的直线能写成两点式的条件是12x x ≠且12y y ≠，如果没有这个条件，就必须分类讨论，这点容易被忽略；只有当直线在坐标轴上的截距都不为零时，才可以用直线方程的截距式． 练习：1.直线324x y -=的截距式方程为1423x y +=-.2．根据下列条件，求直线的方程：（1）过点(3,4)A 和(3,2)B -；3x =； （2）在x 轴上、y 轴上的截距分别是2，3-；123x y -=；（3）过点(1,4)A -，且在x 轴上的截距为3．30x y +-=．3.求经过点(3,4)-且在两坐标轴上截距相等的直线方程是430x y +=10x y ++=或例3：求经过点(4,3)-且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程．分析： 涉及直线在坐标轴上的截距时，可选择直线方程的截距式．【解】设直线在x 轴与y 轴上的截距分别为,a b ，①当0,0a b ≠≠时，设直线方程为1x y a b +=， ∵直线经过点(4,3)-，∴431a b-=， ∵||||a b =，∴11a b =⎧⎨=⎩或77a b =⎧⎨=-⎩，∴直线方程为 10x y +-=或70x y --=；②当0a b ==时，则直线经过原点及(4,3)-，∴直线方程为 340x y +=，综上，所求直线方程为10x y +-=或70x y --=或340x y +=．点评:题设中涉及到了直线在两坐标轴上的截距，因此可考虑用截距式，但应注意到截距能否为零，这是应用截距式求直线方程最易出错和疏忽的地方．例4：直线l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程． 分析：根据题意，直线l 在两坐标轴上截距都大于零，因此可以用截距式方程．【解】由题意，直线l 在两坐标轴上截距都大于零， 故可设直线方程为1x y a b+=(0,0)a b >>， 由已知得：122||3ab a b ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得14a b =⎧⎨=⎩或41a b =⎧⎨=⎩或14a b =-⎧⎨=-⎩（舍）或41a b =-⎧⎨=-⎩（舍） ∴直线方程为14x y +=或14y x +=． 练习：求过点(2,1)P -，在x 轴和y 轴上的截距分别为,a b ，且满足3a b =的直线方程．答案：分截距为零、不为零两种情况讨论，可得所求直线方程为310x y ++=或12y x =-．后记：高二数学学案 必修2 直线方程——两点式（截距式） 班级 姓名 我的学习目标（1）掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况；（2）能够根据条件选择恰当的方法求直线的方程；（3）能认识到等截距的多解性，并能很好的解决相关问题。
高中高二数学教案范文：直线的方程
高中高二数学教案范文：直线的方程一、教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握直线方程的概念，理解直线的斜率与截距的意义，能够熟练地求出直线的方程。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生合作学习的精神，树立学生勇于探究、积极进取的信念。
二、教学重点与难点1.教学重点：直线方程的概念，直线方程的求法。
2.教学难点：直线方程的斜截式、两点式、点斜式之间的转化。
三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾直线的一般式方程：Ax+By+C=0（A、B不同时为0）。
（2）提问：在平面直角坐标系中，如何表示一条直线？2.探究直线方程的概念（1）引导学生通过观察，发现直线上的点都满足某个方程。
（2）讲解直线方程的定义：在平面直角坐标系中，一条直线上的所有点都满足的方程，叫做这条直线的方程。
（3）举例说明：如直线y=2x+1，直线上的点（1，3）、（2，5）都满足方程y=2x+1。
3.探究直线方程的求法（1）讲解直线方程的斜截式：y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
（2）引导学生通过观察，发现斜率k是直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值，即k=(y2-y1)/(x2-x1)。
（3）讲解直线方程的两点式：y-y1=k(x-x1)，其中(x1，y1)是直线上的一点，k是直线的斜率。
（4）讲解直线方程的点斜式：y-y1=k(x-x1)，其中(x1，y1)是直线上的一点，k是直线的斜率。
（5）举例说明：如直线y=2x+1，斜率k=2，截距b=1。
4.练习巩固（1）让学生独立完成教材上的练习题，巩固直线方程的概念和求法。
（2）教师选取部分题目进行讲解，纠正学生的错误。
5.小结（2）强调直线方程的斜截式、两点式、点斜式之间的转化。
6.作业布置（1）教材上的练习题。
（2）补充练习题：已知直线上的两点A（1，2）和B（3，4），求直线的方程。
四、教学反思本节课通过引导学生观察、分析、归纳，使学生掌握了直线方程的概念和求法。
陕西省西安市高新第一中学北师大版高中数学必修二2.1.2 直线的方程教案
【教学案例】直线的方程（一）（西安高新一中）（一）教学分析1．学生起点分析：（1）学生已经具备的知识：点的坐标，直线的y截距，直线的倾斜角，直线的斜率，两点确定一条直线，（2）学生活动的经验基础：学生在初中甚至是在小学就基本掌握了过两点作一条直线，如何过直线外一点作一条直线的的平行线，其中最重要的体验就是要确定过该点的直线的倾斜方向，意识到确定直线需要的2个要素。
2．教学任务分析：（1）通过本节的学习，学生要明确确定直线的因素——经过的一个点和直线的方向。
（2）有了直线的点斜式方程，就可逐一探求出直线方程的其他形式。
探求过程本身并没有多少难度，但过程中体现出的思想方法却很有必要挖掘。
从点斜式到斜截式，是从一般到特殊的思维过程，用到了演绎思想；从点斜式到两点式，是从一般到一般的逻辑推理，依靠直线的斜率来过渡，体现了转化思想；从两点式到截距式，又是从一般到特殊的思维过程，再一次用到演绎思想。
（3）两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率．因而在教学中要突出点斜式方程。
（二）教学过程1．问题提出：方案一：我们知道，点的代数表示形式是坐标，那么点动成线，直线的代数表示形式会有吗？如果有，应该是什么？我们来探究。
方案二：一次函数的一般形式为y = kx + b，其图像为一条直线。
当一次项系数k> 0时，函数单调递增，图像呈上升趋势，是一条逐渐上升的直线；当一次项系数k< 0时，函数单调递减，图像呈下降趋势，是一条逐渐下降的直线；当一次项系数k = 0时，函数为常数函数，图像是一条与y轴垂直的直线。
问题提出：①从集合的角度看，直线可以看成什么？②在平面直角坐标系中，点的代数形式是什么？③一次函数的图像是怎么描绘出来的？④一次函数的解析式可以看成什么？⑤在平面直角坐标系中，直线的代数形式是什么？⑥从直线的代数形式上看，确定直线的因素是什么？⑦这些因素的几何意义你知道吗？是什么？⑧在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何因素是什么？⑨从对上面问题的解答中，你能抽象出与直线有着直接关系的数学概念吗？分别有哪些？你能对它们进行叙述或定义吗？⑩在平面直角坐标系中，所有直线都可以写成一次函数的解析式吗？问题解答：①可以看成点的集合。
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高二数学 上学期直线的方程教案二：第一课时
●教学目标
(一)教学知识点
1.直线方程的点斜式.
2.横、纵截距.
3.直线方程的斜截式.
(二)能力训练要求
1.理解直线方程的点斜式的形式特点和适用范围.
2.了解求直线方程的一般思路.
3.了解直线方程的斜截式的形式特点及适用范围. (三)德育渗透目标
1.认识事物之间的普遍联系和相互转化.
2.能够用联系的观点看问题. ●教学重点
直线方程的点斜式 ●教学难点
点斜式推导过程的理解 ●教学方法
学导式
引导学生理解推导直线方程的点斜式的过程，认识到点斜式直线方程实质的斜率公式的变形，并由此了解到求直线方程的一般思路.而对于直线方程的斜截式的获得，要使学生认识到斜截式为点斜式的特殊情形.也就是在已知直线的斜率与直线在y 轴上的截距时而得到的.
●教具准备
投影片四张
第一张：点斜式的推导过程(记作§7.2.1 A) 第二张：点斜式的形式特点(记作§7.2.1 B) 第三张：本节例题(记作§7.2.1 C ）
第四张：斜截式的形式特点(记作§7.2.1 D) ●教学过程 Ⅰ.课题导入
［师］上一节，我们进一步熟悉了直线斜率公式的应用，它也是我们继续学习推导直线方程的基础.
我们先来看下面的问题： 若直线l 经过点P 1（1，2），且斜率为1，求直线l 的方程.
分析：直线l 的方程也就是直线上任意一点所应满足的方程，设此动点为P (x ，y ），故所求直线为经过P 1P 的直线，由斜率公式得：k ＝
1
2
--x y ＝1（x ≠1） 整理变形为：y －2＝x －1
经验证：(1，2)点符合上式，并且直线l 上的每个点都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线上，所以此方程为所求直线方程.
［师］如果把上述求直线方程的过程推广到一般情形，即可得到直线方程的点斜式. Ⅱ.讲授新课
1.直线方程的点斜式
y －y 1＝k （x －x 1）
其中x 1，y 1为直线上一点坐标，k 为直线的斜率.
(给出幻灯片§7.2.1 A)
推导：若直线l 经过点P 1（x 1，y 1），且斜率为k ，求l 方程.
设点P (x ，y )是直线上不同于点P 1的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得k ＝
1
1
x x y y --(x ≠x 1）
可化为：y －y 1＝k （x －x 1） (给出幻灯片§7.2.1 B ）
［师］说明：(1)这个方程是由直线上一点和斜率确定的；
(2)当直线l 的倾斜角为0°时，直线方程为y ＝y 1；
(3)当直线倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程为x ＝x 1.
［师］接下来，我们通过例题来熟悉直线方程的点斜式.
2.例题讲练
［例1］一条直线经过点P 1（－2，3），倾斜角α＝４5°，求这条直线方程，并画出图象.
分析：此题可直接应用直线方程的点斜式，意在使学生逐步熟悉直线方程的点斜式. 解：这条直线经过点P 1（－2，3），斜率是k ＝tan ４5°＝1 代入点斜式方程，得
y －3＝x ＋2即x －y ＋5＝0 这就是所求直线方程. 图形如下：
［例2］一直线过点A （－1，－3），其倾斜角等于直线y ＝2x 的倾斜角的2倍，求直线l 的方程.
分析：此题已知所求直线上一点坐标，所以只要求得所求直线的斜率即可.根据已知条件，先求出直线y ＝2x 的倾斜角，再求出所求直线l 的倾斜角，进而求出斜率.
解：设所求直线的斜率为k ，直线y ＝2x 的倾斜角为α，则 tan α＝2，k ＝tan2k
∴k ＝tan2α＝34
2
12tan 1tan 22
22--=-x αα 代入点斜式；得
y －（－3）＝－
3
4
[x －（－1）]
即：４x ＋3y ＋13＝0.
评述：通过此题要求学生注意正切两倍角公式的正确运用. ［例3］已知直线的斜率为k ，与y 轴的交点是P （0，b ），求直线l 的方程. 解：将点P (0，b ），k 代入直线方程的点斜式得： y －b ＝k （x －0）即y ＝kx ＋b
［师］说明：(1)上述方程是由直线l 的斜率和它在y 轴上的截距确定的，叫做直线方程的斜截式.
(2)我们称b 为直线l 在y 轴上的截距.
(3)截距b 可以大于0，也可以等于或小于0.
［师］下面，我们通过课堂练习进一步熟悉直线方程的点斜式与斜截式. Ⅲ.课堂练习 课本P 39练习
1.写出下列直线的点斜式方程，并画出图形： (1)经过点A (2，5），斜率是4； (2)经过点B (3，－1)，斜率是2； (3)经过点C (－2，2），倾斜角是30°； (4)经过点D (0，3），倾斜角是0°；
(5)经过点E(４，－2），倾斜角是120°.
解：(1)由直线方程的点斜式得y －5＝４（x －2）即所求直线方程. (2)点斜式方程为y －（－1）＝2（x －3）即
y ＋1＝2（x －3)
(3)直线斜率k ＝tan30°＝
3
3 ∴点斜式方程为：y －2＝3
3
（x ＋2） (4)k ＝tan0°＝0 ∴点斜式方程为y －3＝0 (5)k ＝tan120°＝－3
∴点斜式方程为y －（－2）＝－3（x －４） 即y ＋2＝－3（x －４） 图形依次为：
（1） （2）
（3）
（4）
（5） 2.填空题
(1)已知直线的点斜式方程是y －2＝x －1，那么，直线的斜率是 ，倾斜角是 .
(2)已知直线的点斜式方程是y ＋2＝－3
3
（x ＋1），那么直线的斜率是 ，倾斜角是 .
答案：（1）1 45° (2)-3
3
150° 3.写出下列直线的斜截式方程，并画出图形： (1)斜率是
2
3
，在y 轴上的截距是－2. (2)倾斜角是135°，在y 轴上的截距是3. 解：(1)由斜截式得y ＝
2
3
x －2 (2)k ＝tan135°＝－1 由斜截式得：y ＝－x ＋3
图形依次为：
（1） （2） Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握直线方程的点斜式，了解直线方程的斜截式，并了解求解直线方程的一般思路.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P ４４习题7.2
1.根据下列条件写出直线的方程： (1)斜率是
3
3
，经过点A (8，－2）； (2)过点B (－2，0)，且与x 轴垂直； (3)斜率为－４，在y 轴上截距为7； (4)经过两点A （－1，８），B （４，－2）； (5)在y 轴上截距是2，且与x 轴平行. 解：(1)由点斜式得：
y ＋2＝
3
3
（x －８） 即3x －3y －８3－6＝0 (2)x ＝－2
(3)由斜截式得 y ＝－４x ＋7 即４x ＋y －7＝0 (4)k ＝
25
10
41)2(8-=-=----
由点斜式得y －８＝－2（x ＋1） 即2x ＋y －6＝0 (5)y ＝2.
2.已知直线的斜率k ＝2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P 3（－1，y 3）是这条直线上的三个点，求x 2和y
3.
解：将k ＝2，P 1（3，5）代入点斜式得
y －5＝2（x －3) 即2x －y －1＝0
将y ＝7代入直线方程得2x 2－7－1＝0 解得x 2＝４
将x ＝－1代入直线方程得
－2－y 3－1＝0 解得 y 3＝－3
.
3.一直线经过点A (2，－3），它的倾斜角等于直线y ＝3
1x 的倾斜角的2倍，求这条
直线的方程.
解：设所求直线斜率为k ，直线y ＝
3
1x 的倾斜角为α，则
tan α＝
3
1
∵α∈［0，π） ∴α＝30° 则2α＝60°，k ＝tan60°＝3 ∴由点斜式得
y ＋3＝3（x －2）
（二）1.预习内容：P ４0～４1 2.预习提纲：
（1）直线方程的两点式与截距式有何形式特点?适用范围是什么? （2）两点式与截距式有何联系? （3）两点式与点斜式有何联系? ●板书设计
学习资料 崩孞尛。