(文理通用)江苏省2020高考数学二轮复习理科附加题第3讲计数原理与二项式定理练习

第3讲 计数原理与二项式定理
课后自测诊断——及时查漏补缺·备考不留死角
1．记⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项的系数为b m . (1)求b m 的表达式；
(2)若n ＝6，求展开式中的常数项；
(3)若b 3＝2b 4，求n .
解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式中第m 项为C m －1n ·(2x )n －m ＋1·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x m －1＝2n ＋1－m ·C m －1n ·x n ＋2－2m ， 所以b m ＝2n ＋1－m ·C m －1
n . (2)当n ＝6时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x r ＝26－r ·C r 6·x 6－2r . 依题意，6－2r ＝0，得r ＝3，
故展开式中的常数项为T 4＝23·C 36＝160.
(3)由(1)及已知b 3＝2b 4，得2n －2·C 2n ＝2·2n －3·C 3n ，从而C 2n ＝C 3n ，即n ＝5.
2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1.等式(x 2＋2x ＋2)10＝b 0＋b 1(x ＋1)＋b 2(x ＋1)2＋…
＋b 20(x ＋1)20
，其中b i (i ＝0,1,2，…，20)为实常数．
(1)求∑n ＝1
10b 2n 的值；
(2)求∑n ＝1
10
a n
b 2n 的值．
解：法一：(1)令x ＝－1，得b 0＝1，
令x ＝0，得b 0＋b 1＋b 2＋…＋b 20＝210
＝1 024，
令x ＝－2，得b 0－b 1＋b 2－b 3＋…－b 19＋b 20＝210＝1 024，
所以∑n ＝1
10b 2n ＝b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 20＝1 023.
(2)对等式两边求导，得
20(x ＋1)(x 2＋2x ＋2)9＝b 1＋2b 2(x ＋1)＋3b 3(x ＋1)2＋…＋20b 20(x ＋1)19
， 令x ＝0，得b 1＋2b 2＋…＋20b 20＝20×29＝10 240，
令x ＝－2，得b 1－2b 2＋3b 3－4b 4＋…＋19b 19－20b 20＝－20×29＝－10 240，
所以∑n ＝110nb 2n ＝12(2b 2＋4b 4＋6b 6＋…＋20b 20)＝5 120.
所以∑n ＝110a n b 2n ＝∑n ＝110 (n ＋1)b 2n ＝∑n ＝110nb 2n ＋∑n ＝1
10
b 2n ＝5 120＋1 023＝6 143.
法二：由二项式定理易知
(x 2＋2x ＋2)10＝[1＋(x ＋1)2]10
＝C 010＋C 110(x ＋1)2＋C 210(x ＋1)4＋…＋C 1010(x ＋1)20
＝b 0＋b 1(x ＋1)＋b 2(x ＋1)2＋…＋b 20(x ＋1)20，
比较可知b 2n ＝C n
10(n ＝1,2，…，10)．
(1)∑n ＝1
10b 2n ＝C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210
－1＝1 023. (2)因为a n ＝n ＋1,
所以∑n ＝110a n b 2n ＝∑n ＝110 (n ＋1)C n 10＝∑n ＝110n C n 10＋∑n ＝1
10
C n
10， 设T ＝∑n ＝1
10
n C n 10＝0·C 010＋1·C 110＋2·C 210＋…＋10·C 10
10，T 也可以写成 T ＝∑n ＝1
10
n C n
10＝0·C1010＋1·C910＋2·C810＋…＋10·C 010，
相加得2T ＝10·210，即T ＝5·210
，
所以∑n ＝110a n b 2n ＝∑n ＝110n C n 10＋∑n ＝1
10C n 10＝5·210＋210
－1＝6 143. 3．(1)阅读以下案例，利用此案例的想法化简C 03C 14＋C 13C 24＋C 23C 34＋C 33C 4
4.
【案例】考察恒等式(1＋x )5＝(1＋x )2(x ＋1)3左右两边x 2的系数． 因为右边(1＋x )2(x ＋1)3＝(C 02＋C 12x ＋C 22x 2)(C 03x 3＋C 13x 2＋C 23x ＋C 33)， 所以右边x 2的系数为C 02C 13＋C 12C 23＋C 22C 33，而左边x 2的系数为C 25， 所以C 02C 13＋C 12C 23＋C 22C 33＝C 25.
(2)求证：∑r ＝0
n (r ＋1)2(C r n )2－n 2C n －12n －2＝(n ＋1)C n
2n . 解：(1)考察恒等式(1＋x )7＝(1＋x )3(x ＋1)4左右两边x 3
的系数． 因为右边(1＋x )3(x ＋1)4＝(C 03＋C 13x ＋C 23x 2＋C 33x 3)·(C 04x 4＋C 14x 3＋C 24x 2＋C 34x ＋C 44)， 所以右边x 3的系数为C 03C 14＋C 13C 24＋C 23C 34＋C 33C 44，
而左边x 3的系数为C 37，
所以C 03C 14＋C 13C 24＋C 23C 34＋C 33C 44＝C 37.
(2)证明：由r C r n ＝r ·
n ！r ！(n －r )！＝n ·(n －1)！(r －1)！(n －r )！＝n C r －1n －1， 可得∑r ＝0n
(r ＋1)2(C r n
)2
＝∑r ＝0n (r C r n )2
＋∑r ＝0n 2r (C r n )2
＋∑r ＝0
n (C r n )2 ＝n 2∑r ＝1n (C r －1n －1)2
＋2n ∑r ＝1
n
C
r －1n －1·C r n ＋∑r ＝0n (C r n )2. 考察恒等式(1＋x )2n ＝(1＋x )n (x ＋1)n 左右两边x n 的系数．
因为右边(1＋x )n (x ＋1)n ＝(C 0n ＋C 1n x ＋…＋C n n x n )·(C 0n x n ＋C 1n x n －1＋…＋C n
n )， 所以右边x n 的系数为
C 0n C 0n ＋C 1n C 1n ＋…＋C n n C n
n ＝∑r ＝0
n (C r n )2
， 而左边的x n 的系数为C n
2n ，
所以∑r ＝0
n (C r n )2＝C n
2n . 同理可求得∑r ＝1
n
(C r －1n －1)2＝C n －1
2n －2. 考察恒等式(1＋x )
2n －1＝(1＋x )n －1(x ＋1)n 左右两边x n －1的系数． 因为右边(1＋x )
n －1(x ＋1)n ＝(C 0n －1＋C 1n －1x ＋…＋C n －1n －1x n －1)(C 0n x n ＋C 1n x n －1＋…＋C n n )， 所以右边x
n －1的系数为 C 0n －1C 1n ＋C 1n －1C 2n ＋…＋C
n －1n －1C n
n ＝∑r ＝1n C r －1n －1·C r n ， 而左边的x
n －1的系数为C n －12n －1， 所以∑r ＝1
n
C r －1n －1·C r n ＝C n －12n －1，
所以∑r ＝0
n
(r ＋1)2(C r n )2－n 2C n －1
2n －2 ＝n 2C n －12n －2＋2n C n －12n －1＋C n 2n －n 2C n －12n －2
＝2n C n －12n －1＋C n 2n
＝n (C n －12n －1＋C n －12n －1)＋C n 2n
＝n (C n －12n －1＋C n 2n －1)＋C n 2n
＝n C n 2n ＋C n 2n。