2015-2016学年江苏省泰州市民兴中学高二(上)数学期中试卷带解析答案
江苏省泰兴中学2015-2016学年高二10月阶段检测数学试题 含答案(1)
江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测一．填空题（共14题，每题5分，共70分；请将答案写在答题纸指定区域）1.命题“2,80x Q x∃∈-=”的否定是.2。
椭圆22110064x y +=上一点P 到椭圆左焦点的距离为7，则点P 到右焦点的距离为。
3.双曲线22221124x y m m-=+-的焦距为 .4.抛物线2y x =的准线方程为 。
5.“四边形四条边相等”是“四边形是正方形”的 条件.(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出一个填写）6。
已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为13y x =±,则该双曲线的离心率为 . 7.已知抛物线24xy =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为 。
8.在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A B C-的值是____________．9.已知0,1a a >≠，命题p ：函数log (1)ay x =+在（0，+∞)上单调递减，命题q ：曲线2(23)1y xa x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题,则实数a 的取值范围是 ．10。
已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线2AB 与直线 1B F 的交点恰在椭圆的右准线上,则椭圆的离心率为____ __。
11。
已知点(0,2)A ，抛物线22,(0)ypx p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM MF ⊥，则p ＝__________.12。
已知椭圆E ：22142x y +=,直线l 交椭圆于,A B 两点,若AB 的中点坐标为1(1,)2-，则l 的方程为 .13.已知直线10x y -+=上有两点,A B ,且2AB =,动点P 在抛物线22yx =上,则PAB ∆面积的最小值是。
2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷(带解析)
一、填空题（题型注释）1、设命题P：，则P为．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）2、若圆M的方程为，则圆M的参数方程为．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）3、若抛物线上一点M到焦点的距离为3，则点M到ｙ轴的距离为．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）4、已知是双曲线（）的一个焦点，则．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）5、设p：x<3，q：-1<x<3，则p是q成立的条件（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）6、已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）7、在极坐标系中，点到直线的距离为．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）8、若焦点在x轴上过点的椭圆焦距为2，则椭圆的标准方程为．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）9、若椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，则．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）10、若P为椭圆上的点，则的取值范围是．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）11、已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线，若点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）12、已知椭圆的左右焦点分别为，Ｃ上一点Ｐ满足，则的内切圆面积为．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）13、如图平面直角坐标系中，椭圆，分别是椭圆的左、右两个顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点．则．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）14、已知f(x)=m(x-３m)(x+m+3),g(x)=2x-４.若同时满足条件:①∀x∈R, f(x)<0或g(x)<0;②∃x∈(-∞,-4), f(x)g(x)<0,则m的取值范围是．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）二、解答题（题型注释）15、（本题满分14分）已知，命题，命题．（I）若命题为真命题，求实数的取值范围；（II）若命题为假命题，求实数的取值范围．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）16、（本题满分14分）已知直线经过点，且倾斜角为，圆M以为圆心，过极点．（I）求与M的极坐标方程；（II）判断与M的位置关系．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）17、（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程(φ为参数)，直线的参数方程(t为参数) ．（I）求C与的普通方程；（II）求过C的右焦点，且平行的直线方程．来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）18、（本题满分16分）设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为，点M在线段AB上，满足，直线OM的斜率为. （I）求E的离心率e；（II）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程.来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）19、（本题满分16分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆截得的线段的长为c，.（I）求直线FM的斜率；（II）求椭圆的方程；（III）设椭圆上动点P在x轴上方，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）20、（本题满分16分）已知直线为函数的图像，曲线C为二次函数的图像，直线与曲线C交于不同两点A,B（I）当时，求弦AB的长；（II）求线段AB中点的轨迹方程；（III）试利用抛物线的定义证明：曲线C为抛物线.来源：2015-2016学年江苏省泰州市姜堰区高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）参考答案1、2、3、24、5、必要不充分6、7、18、9、1或210、11、12、13、14、15、（I）;（II）.16、（I）与的极坐标方程分别为;;（II）与相切.17、（I）椭圆的方程:；直线的方程: ;（II）.18、（I）;（II）.19、（I）;（II）;（III）.20、（I）;（II）;（III）详见解析.【解析】1、试题分析：特称命题的否定为全程命题,所以:.考点：特称命题的否定.2、试题分析：由圆的方程,可知圆心,半径为2.所以圆的参数方程为: .考点：参数方程与普通方程间的互化.3、试题分析：由抛物线方程可知其准线为.由抛物线的定义可知点到准线的距离为3,所以点到轴的距离为.考点：抛物线的定义.4、试题分析：由题意可知，所以.考点：双曲线方程.5、试题分析：,是成立的必要不充分条件.考点：充分必要条件.6、试题分析：当焦点在轴时设双曲线方程为.依题意可得,此时双曲线方程为;当焦点在轴时设双曲线方程为.依题意可得,此方程无解.综上可得双曲线方程为.考点：双曲线的标准方程,简单几何性质.7、试题分析：将直线化为直角坐标方程为,即.将点化为直角坐标为即.则所求距离为.考点：1极坐标直角坐标间的互化;2点到线的距离公式.8、试题分析：由题意可设椭圆方程为.可知,焦点坐标为.由椭圆定义可得,所以.,所以椭圆方程为.考点：椭圆方程.9、试题分析：等轴双曲线的离心率为.所以椭圆的离心率.或,解得或.考点：椭圆,双曲线的简单几何性质.10、试题分析：依题意可得,,, , .即.考点：1参数方程;2三角函数求最值.11、试题分析：根据椭圆的对称性不妨取,点到直线的距离,,又,.,.考点：1椭圆的简单几何性质;2点到线的距离公式.12、试题分析：由椭圆方程可知,,即.由椭圆的定义可得.,..,.设的内切圆半径为,则,即,解得.所以的内切圆面积为.考点：1椭圆的简单几何性质;2椭圆的定义;3三角形内切圆.13、试题分析：由题意可知,在中,所以,所以直线的斜率.则直线的方程为.消去整理可得,解得或.可得.,在中, ,.考点：1椭圆的简单几何性质;2直线与圆的位置关系.14、试题分析：时;时.依题意可得当时,且存在使.当时显然不合题意舍;当时, 得或要使时,且存在使则有.综上可得.考点：1不等式;2转化思想.15、试题分析：（I）命题为真命题只需即可.（II）命题为假命题，则为假命题或q为假命题.为假命题时的取值集合与为真命题时的取值集合互补,从而由（I）可得为假命题时的范围. 为假命题此方程无根,即判别式小于0.试题解析：解：（I）由命题为真命题，，（II）由命题为假命题，所以为假命题或为假命题。
江苏省泰州中学高二数学上学期第二次质检试卷 文(含解
2015-2016学年江苏省泰州中学高二（上）第二次质检数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．2．复数的共轭复数是．3．若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a= ．4．命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是命题．（在“真”或“假”中选一个填空）5．用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为．6．曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是．7．如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）8．设x，y，z都是正数，则三个数的值说法正确的是．①都小于2 ②至少有一个不大于2 ③至少有一个不小于2 ④都大于2．9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为．10．若双曲线E： =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于．11．已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．12．一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．13．设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是．14．已知点A（1，1），B，C是抛物线y2=x上三点，若∠ABC=90°，则AC的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．16．已知复数z=+（a2﹣5a﹣6）i（a∈R），实数a取什么值时，z是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？17．椭圆C1： =1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．18．已知△ABC的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等．若，，成等差数列．（Ⅰ）比较与的大小，并证明你的结论．（Ⅱ）求证：B不可能是钝角．19．已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆的四个顶点的菱形面积为4，斜率为k1的直线l1与椭圆交于不同的两点A、B，其中A点坐标为（﹣a，0）．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，当k1=0时，求•的最大值；（3）设P为椭圆Γ上任意一点，又设过点C（a，0），且斜率为k2的直线l2与直线l1相交于点N，若﹣=4，求线段PN的最小值．20．已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．2015-2016学年江苏省泰州中学高二（上）第二次质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是∃x∈R，x2+x+1＜0 ．【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．2．复数的共轭复数是2+i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；规律型；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数，求出共轭复数即可．【解答】解：复数===2﹣i．复数的共轭复数为2+i．故答案为：2+i【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用，是基础题．3．若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a= ﹣1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==﹣ai+1，∵Z的实部与虚部相等，∴﹣a=1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，属于基础题．4．命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是假命题．（在“真”或“假”中选一个填空）【考点】四种命题．【专题】计算题；简易逻辑．【分析】写出命题的逆命题，再判断其真假即可．【解答】解：命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是如果ab=0，那么a=0，是假命题．故答案为：假．【点评】本题主要考查了逆命题的定义以及真假命题的判定，要求学生对基础知识牢固掌握．5．用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为a，b都不能被3整除．【考点】反证法的应用．【专题】证明题．【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面．再由命题：“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是：a，b都不能被3整除，从而得到答案．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定．命题：“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是：“a，b都不能被3整除”，故答案为 a，b都不能被3整除．【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题．6．曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是2x﹣y﹣1=0 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】求出导函数，令x=1求出切线的斜率；利用点斜式写出直线的方程．【解答】解：y′=2x当x=1得f′（1）=2所以切线方程为y﹣1=2（x﹣1）即2x﹣y﹣1=0故答案为2x﹣y﹣1=0【点评】本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率．7．如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的充分不必要条件．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得到答案．【解答】解：由p：x=2能推出q：x2=4，是充分条件，由q：x2=4推不出p：x=2，不是必要条件，故答案为：充分不必要条件．【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．8．设x，y，z都是正数，则三个数的值说法正确的是③．①都小于2 ②至少有一个不大于2 ③至少有一个不小于2 ④都大于2．【考点】不等式比较大小．【专题】应用题；转化思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据基本不等式得到x++y++z+≥2+2+2=6，问题得以解决．【解答】解：因为x，y，z都是正数，所以x++y++z+≥2+2+2=6，当且仅当x=y=1时取等号，故至少有一个不小于2，故答案为：③．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为y2=16x ．【考点】抛物线的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出直线3x﹣4y﹣12=0与x轴、y轴的交点分别为（4，0）、（0，﹣3），可得抛物线开口向右，由此设出抛物线的标准方程并解出焦参数p的值，即可得到所求抛物线的方程．【解答】解：∵直线3x﹣4y﹣12=0交x轴于点（4，0），交y轴于点（0，﹣3），∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下．①当抛物线的开口向右时，设抛物线方程为y2=2px（p＞0），∵=4，解得p=8，2p=16，∴此时抛物线的方程为y2=16x；故答案为：y2=16x．【点评】本题给出抛物线满足的条件，求抛物线的方程．着重考查了双曲线的标准方程与基本概念、抛物线的标准方程及其简单几何性质等知识，属于基础题．10．若双曲线E： =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于9 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设|PF2|=x，由双曲线的定义及性质得|x﹣3|=6，由此能求出|PF2|．【解答】解：设|PF2|=x，∵双曲线E： =1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，∴a=3，b=4．c=5，∴|x﹣3|=6，解得x=9或x=﹣3（舍）．∴|PF2|=9．故答案为：9．【点评】本题考查双曲线中线段长的求法，是基础题，解题时要注意双曲线定义及简单性质的合理运用．11．已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设C1的方程为y2﹣3x2=λ，利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程，即可求出C2的渐近线方程．【解答】解：设C1的方程为y2﹣3x2=λ，设Q（x，y），则P（x，2y），代入y2﹣3x2=λ，可得4y2﹣3x2=λ，∴C2的渐近线方程为4y2﹣3x2=0，即．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．12．一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x﹣）2+y2=．【考点】椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．【解答】解：一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），设圆的圆心（a，0），则，解得a=，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x﹣）2+y2=．故答案为：（x﹣）2+y2=．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．13．设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是[，1）．【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，则存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=ax ﹣a的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，∵存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，∴存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，∴当x=﹣时，[g（x）]min=g（﹣）=﹣2e．当x=0时，g（0）=﹣1，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过（1，0），斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1，且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得．∴a的取值范围是[，1）．故答案为：[，1）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．14．已知点A（1，1），B，C是抛物线y2=x上三点，若∠ABC=90°，则AC的最小值为 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出B，C的坐标，求出AB，BC的斜率，由斜率乘积等于﹣1求得B，C两点纵坐标间的关系，由两点间的距离公式得到|AC|，转化为B的纵坐标的函数，借助于基本不等式求最值．【解答】解：设B（），C（），则，，由∠ABC=90°，得k AB•k BC=﹣1，即（y1+1）（y2+y1）=﹣1，∴，，=，，∴|AC|====不妨设y1+1＞0，∵，当且仅当，即y1=0时上式等号成立，此时取最小值1，∴AC的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线垂直的条件，训练了利用基本不等式求最值，考查了计算能力，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】（1）分别求出关于p，q的不等式，从而得到答案；（2）通过讨论m的范围，结合集合之间的关系，从而得到答案．【解答】解：（1）m=4时，p：﹣3≤x≤1，q：﹣1≤x≤4，若p且q为真，则p为真，q为真，∴x的范围是：{x|﹣1≤x≤1}；（2）∵p：{x|﹣3≤x≤1}，若m≤﹣1，则q：{x|m≤x≤﹣1}，又p是q的必要不充分条件，即q⊂b，∴﹣3≤m≤﹣1，若m＞﹣1，则q：{x|﹣1≤x≤m}，∴﹣1＜m≤1，综上：m的范围是[﹣3，1]．【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了集合之间的关系，是一道基础题．16．已知复数z=+（a2﹣5a﹣6）i（a∈R），实数a取什么值时，z是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据复数的有关概念建立条件关系即可．【解答】解：（1）若复数是实数则，即，即a=6．（2）若复数是虚数，则，即，即a≠±1且a≠6．（3）若复数是纯虚数，则，即，此时无解．【点评】本题主要考查复数的有关概念，根据实部和虚部的对应关系是解决本题的关键．17．椭圆C1： =1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）据题意得：又a2=b2+c2，解出a，b即可得到椭圆方程；（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程，解出A点坐标，即可得到AB方程．【解答】解：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解得，所以椭圆方程为．（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程得，消去y0并整理得：，所以或．当时，；当时，y0无解．所以直线AB的方程为．【点评】本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查抛物线方程的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．18．已知△ABC的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等．若，，成等差数列．（Ⅰ）比较与的大小，并证明你的结论．（Ⅱ）求证：B不可能是钝角．【考点】反证法与放缩法；不等式比较大小．【专题】综合题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）由条件可得=+＞2，可得＜．（2）由条件得到b2＜ac，利用基本不等式变形，可得出cosB的范围，利用余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，根据B为三角形的内角，即可求出B的范围．【解答】（Ⅰ）解：∵△ABC的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等，，，成等差数列，∴=+＞2．∴b2＜ac，∴＜．（Ⅱ）证明：∵b2＜ac，∴cosB=＞，∴B∈[0，]，∴B不可能是钝角．【点评】此题考查了余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及性质是解本题的关键，属于中档题．19．已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆的四个顶点的菱形面积为4，斜率为k1的直线l1与椭圆交于不同的两点A、B，其中A点坐标为（﹣a，0）．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，当k1=0时，求•的最大值；（3）设P为椭圆Γ上任意一点，又设过点C（a，0），且斜率为k2的直线l2与直线l1相交于点N，若﹣=4，求线段PN的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆的离心率结合菱形面积求得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）设l1：y=k1（x+2），代入，利用根与系数关系得到AB的中点坐标，求出AB的垂直平分线方程，得到M的坐标，利用向量数量积公式得到数量积关于k1的关系，换元后利用基本不等式求得•的最大值；（3）设l2：y=k2（x﹣2），联立y=k1（x+2），得N的坐标，由﹣=4，得4k1k2=k2﹣5k1，进一步得到∴=3．说明点N在直线x+y=3上运动，求出和x+y=3平行且与相切的直线方程，由两点间的距离公式得答案．【解答】解：（1）由e==，得3a2=4c2，再由c2=a2﹣b2，解得a=2b．由题意可知×2a×2b=4，即ab=2．解方程组，得a=2，b=1．∴椭圆的方程为；（2）设l1：y=k1（x+2），代入得，．解得：x=﹣2或x=，则B（，），∴AB的中点为（），∵k1≠0，则AB的垂直平分线方程为．设M（0，y0），令x=0，得．则=（﹣2，﹣y0）•（x B，y B﹣y0）==．令，则．故当t=，即时，取最大值；（3）设l2：y=k2（x﹣2），联立y=k1（x+2），得N（），由﹣=4，得4k1k2=k2﹣5k1，∴=3．故点N在直线x+y=3上运动，设与x+y=3平行的直线为y=﹣x+b，代入，得5x2﹣8bx+4b2﹣4=0，由△=0，得b=．则PN的最小值为y=﹣x+与x+y=3的距离，等于．【点评】本题是直线与圆锥曲线的综合题，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常用直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．20．已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】创新题型；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，把函数f（x）求导得到g（x）再对g（x）求导，得到其导函数的零点，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数g（x）的单调期间；（Ⅱ）由f（x）的导函数等于0把a用含有x的代数式表示，然后构造函数φ（x）=x2，由函数零点存在定理得到x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），利用导数求得a0∈（0，1），然后进一步利用导数说明当a=a0时，若x∈（1，+∞），有f（x）≥0，即可得到存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．【解答】解：（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），g（x）=，∴．当0＜a＜时，g（x）在上单调递增，在区间上单调递减；当a时，g（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）由=0，解得，令φ（x）=x2，则φ（1）=1＞0，φ（e）=．故存在x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由知，函数u（x）在（1，+∞）上单调递增．∴．即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=φ（x0）=0．由（Ⅰ）知，f′（x）在（1，+∞）上单调递增，故当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，从而f（x）＞f（x0）=0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而f（x）＞f（x0）=0．∴当x∈（1，+∞）时，f（x）≥0．综上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．【点评】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，是压轴题．。
2016-2017学年江苏省泰州二中高二上学期期中数学试卷与解析
2016-2017学年江苏省泰州二中高二（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是．2．（5分）已知函数f（x）=x2+e x，则f'（1）=．3．（5分）“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的条件．（从“充分必要”，“充分不必要”，“必要不分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）4．（5分）如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f（4）+f′（4）的值为．5．（5分）抛物线x2+y=0的焦点坐标为．6．（5分）椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=．7．（5分）已知曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为．8．（5分）双曲线x2﹣=1的离心率是，渐近线方程是．9．（5分）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为．10．（5分）已知函数f（x）=x2﹣8lnx，若对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，则a的取值范围为．二、解答题（本大题共11小题.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11．（4分）求函数y=cos（2x﹣1）+的导数．12．（4分）已知方程=1表示椭圆，求k的取值范围．13．（8分）已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点到渐近线的距离为，并且以椭圆的焦点为顶点．求该双曲线的标准方程．14．（8分）已知p：﹣2≤≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数m的取值范围．15．（8分）倾斜角的直线l过抛物线y2=4x焦点，且与抛物线相交于A、B两点．（1）求直线l的方程．（2）求线段AB长．16．（10分）已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，（1）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0有三个不同的实数根，求m的取值范围．18．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积．19．（14分）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？20．（15分）若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为2，又OA⊥OB，求a，b的值．21．（15分）已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年江苏省泰州二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是∀x＜﹣1，x2＜1．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是∀x＜﹣1，x2＜1；故答案为：∀x＜﹣1，x2＜1．2．（5分）已知函数f（x）=x2+e x，则f'（1）=2+e．【解答】解：函数的导数f′（x）=2x+e x，则f′（1）=2+e，故答案为：2+e．3．（5分）“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件．（从“充分必要”，“充分不必要”，“必要不分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）【解答】解：∵a与b都是偶数⇒a+b是偶数为真命题，但a+b是偶数时，a与b都是偶数不一定成立，故a+b是偶数⇒a与b都是偶数为假命题故“a与b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．4．（5分）如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f（4）+f′（4）的值为 5.5．【解答】解：如图可知f（4）=5，f'（4）的几何意义是表示在x=4处切线的斜率，故，故f（4）+f'（4）=5.5．故答案为：5.55．（5分）抛物线x2+y=0的焦点坐标为（0，﹣）．【解答】解：∵抛物线x2+y=0，即x2=﹣y，∴p=，=，∴焦点坐标是（0，﹣），故答案为：（0，﹣）．6．（5分）椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=1．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，则c==2，解得k=1．故答案为：1．7．（5分）已知曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为6x﹣6y+3﹣π=0．【解答】解：曲线y=x+sinx的导数为y′=cosx+，可得曲线y=x+sinx，在x=处的切线斜率为=1，切点为（，），可得曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为y﹣=x﹣，即为6x﹣6y+3﹣π=0，故答案为：6x﹣6y+3﹣π=0．8．（5分）双曲线x2﹣=1的离心率是2，渐近线方程是y=．【解答】解：双曲线x2﹣=1中，a=1，b=，c=2，∴e==2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2，y=．9．（5分）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为3．【解答】解：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4﹣=，离心率e=，再由椭圆的第二定义得=e=，∴点P到右准线的距离d=3，故答案为：3．10．（5分）已知函数f（x）=x2﹣8lnx，若对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，则a的取值范围为0≤a≤1．【解答】解：∵对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，∴f（x）在（a，a+1）单调递减函数，∵f（x）=x2﹣8lnx，∴f′（x）=2x﹣∵函数f（x）是单调递减函数，∴f′（x）=2x﹣≤0在（a，a+1）上恒成立∴（0，2]⊇（a，a+1）∴0≤a≤1，故答案为：0≤a≤1．二、解答题（本大题共11小题.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11．（4分）求函数y=cos（2x﹣1）+的导数．【解答】解：函数的导数y′=﹣2sin（2x﹣1）﹣2•=﹣2sin（2x﹣1）﹣．12．（4分）已知方程=1表示椭圆，求k的取值范围．【解答】解：根据题意，若方程=1表示椭圆，必有，解可得2＜k＜4且k≠3，即k的取值范围是（2，3）∪（3，4）；故k的取值范围是（2，3）∪（3，4）．13．（8分）已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点到渐近线的距离为，并且以椭圆的焦点为顶点．求该双曲线的标准方程．【解答】解：椭圆的焦点坐标为（±2，0），为双曲线的顶点，双曲线的焦点到渐近线的距离为，∴=b=，∴a==，∴该双曲线的标准方程为=1．14．（8分）已知p：﹣2≤≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由：﹣2≤≤2得﹣6≤x﹣4≤6，即﹣2≤x≤10，由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），得[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，即，即，解得m≥9．15．（8分）倾斜角的直线l过抛物线y2=4x焦点，且与抛物线相交于A、B两点．（1）求直线l的方程．（2）求线段AB长．【解答】解：（1）根据抛物线y2=4x方程得：焦点坐标F（1，0），直线AB的斜率为k=tan45°=1，由直线方程的点斜式方程，设AB：y=x﹣1，（2）将直线方程代入到抛物线方程中，得：（x﹣1）2=4x，整理得：x2﹣6x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=6，x1•x2=1，所以弦长|AB|=|x1﹣x2|=•=8．16．（10分）已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，也就是1﹣a≥0，解得a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]；命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与命题q必然一真一假，当命题p为真，命题q为假时，，∴﹣2＜a＜1，当命题p为假，命题q为真时，，∴a＞1，综上：a＞1或﹣2＜a＜1．17．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，（1）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0有三个不同的实数根，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵f′（x）=3x2﹣3，设切点坐标为（t，t3﹣3t），则切线方程为y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t），∵切线过点P（2，﹣6），∴﹣6﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（2﹣t），化简得t3﹣3t2=0，∴t=0或t=3．∴切线的方程：3x+y=0或24x﹣y﹣54=0．（2）由f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0，得x=1或x=﹣1．当x＜﹣1或x＞1时，f'（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0，所以在（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）上f（x）单调递增，在[﹣1，1]上f（x）单调递减，在R上f（x）的极大值为f （﹣1）=2，在R上f（x）的极小值为f（1）=﹣2．函数方程f（x）=m在R上有三个不同的实数根，即直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点，由f（x）的大致图象可知，当m＜﹣2或m＞2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象没有交点；当m=﹣2或m=2时，y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有两个交点；当﹣2＜m＜2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点．因此实数m的取值范围是﹣2＜m＜2．18．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N，∴，解得b2=，a2=4．∴椭圆方程为：=1．（2）设l1方程为y+1=k（x+1），联立，消去y得（1+3k2）x2+6k（k﹣1）x+3（k﹣1）2﹣4=0．∵P（﹣1，1），解得M（，）．当k≠0时，用﹣代替k，得N（，），将k=1代入，得M（﹣2，0），N（1，1），∵P（﹣1，﹣1），∴PM=，PN=2，∴△PMN的面积为=2．19．（14分）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【解答】解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．所以当x＜10时，V′＞0，当10＜x＜36时，V′＜0，当x＞36时，V′＞0，所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，所以当x=10，V有最大值V（10）=19600故答案为当高为10，最大容积为19600．20．（15分）若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为2，又OA⊥OB，求a，b的值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）．联立，得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0．∴=，=1﹣=．∴M（，）．∵k OM=2，∴a=2b．①∵OA⊥OB，∴=﹣1．∴x1x2+y1y2=0．∵x1x2=，y1y2=（1﹣x1）（1﹣x2），∴y1y2=1﹣（x1+x2）+x1x2=1﹣+=．∴=0．∴a+b=2．②由①②得a=，b=．21．（15分）已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵，g（x）=x+lnx，∴，其定义域为（0，+∞），∴．∵x=1是函数h（x）的极值点，∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．∵a＞0，∴．经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，∴；（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．当x∈[1，e]时，．∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．∴[g（x）]max=g（e）=e+1．∵，且x∈[1，e]，a＞0．①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是增函数，∴．由1+a2≥e+1，得a≥，又0＜a＜1，∴a不合题意；②当1≤a≤e时，若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．∴[f（x）]min=f（a）=2a．由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；③当a＞e且x∈[1，e]时，，∴函数在[1，e]上是减函数．∴．由≥e+1，得a≥，又a＞e，∴a＞e；综上所述：a的取值范围为．。
2015-2016年江苏省泰州中学高三(上)期中数学试卷及参考答案
一．填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．请把答案直接填写在 答题卡相应位置上． 1． （5 分） 设全集 U=R， 若集合 A={1， 2， 3， 4}， B={x|2≤x≤3}， 则 A∩B= 2． （5 分）sin20°cos10°+cos20°sin10°= ． 条件． （填充分不必 ．
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（φ 为参数） ，以 O 为极
（1）设 M（x，y）是圆 C 上的动点，求 m=3x+4y 的取值范围； （2）求圆 C 的极坐标方程． 23．班上有四位同学申请 A，B，C 三所大学的自主招生，若每位同学只能申请 其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的． （1）求恰有 2 人申请 A 大学或 B 大学的概率； （2）求申请 C 大学的人数 X 的分布列与数学期望 E（X） ． 24．已知数列{an}满足 Sn，cn=Sn﹣2n+2ln（n+1） （1）令 ，证明：对任意正整数 n，|sin（bnθ）|≤bn|sinθ| ，记数列{an}的前 n 项和为
11． （5 分）已知方程 x3﹣ax+2=0（a 为实数）有且仅有一个实根，则 a 的取值范 围是 ．
12． （5 分）已知数列{an}满足 an+1=qan+2q﹣2（q 为常数） ，若 a3，a4，a5∈{﹣5， ﹣2平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，点 E，F 分别 在线段 BC， DC 上运动， 设 ， 则 的最小值是 ．
（1）求数列{cn﹣bn}的通项公式； （2）若数列{an}和{bn+cn}都是常数项，求实数 a 的值； （3）若数列{an}是公比为 a 的等比数列，记数列{bn}和{cn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，记 Mn=2Sn+1﹣Tn，求 Mn＜ 对任意 n∈N*恒成立的 a 的取值范围． 20． （16 分）设 f（x）=x2lnx，g（x）=ax3﹣x2． （1）求函数 f（x）的最小值； （2）若存在 x∈（0，+∞） ，使 f（x）＞g（x） ，求实数 a 的取值范围； （3）若使方程 f（x）﹣g（x）=0 在 x∈[e ，en]（其中 e=2.7…为自然对数的
2015高二(上)期中数学试卷答案
中学部2015-2016学年第一学期高二年级期中测试数 学 学 科 试 题 参 考 答 案（第一部分 满分100分） 一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)1. 10x y --=2.2y x =3.28y x = 4.相离5.2e +6.47. 55(2,)(,3)228.{0}二、解答题 (本大题共4小题，共计60分) 9. （本小题满分14分）解（1）53BC k =-，BC 边所在直线在y 轴上的截距为2， BC 边所在直线方程为52,53603y x x y =-++-=（2）25AC k =，AC 边上的高的斜率为52k =-，AC 边上的高的直线的方程为53(3)2y x +=--，即5290x y +-=10. （本小题满分14分）解（1）右焦点2(3,0)F ，对应右准线253x =.右焦点到对应准线的距离为163. （2）椭圆的离心率为35e =,根据第二定义, 231616535PF ed ==⋅=, 根据第一定义12163421055PF a PF =-=-=,点P 到左焦点1F 的距离为345. 11. （本小题满分16分）解（1）17 (2)能切点坐标(2(2,)33k k k Z ππππ+-∈或 12. （本小题满分16分）解：（1）设圆C 方程为,022=++++F Ey Dx y x则0443206480F D E F D F ⎧=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解得D= —8，E=F=0.所以圆C ：2280.x y x +-= （2）圆C ：22(4)16.x y -+=圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，:0l x =符合题意；当斜率存在时，设直线:0,l y kx kx y =+-+=即因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线距离为4，4,k ==解得所以直线:120.l y x x =++-=即故所求直线0,120.l x x =-=为或（第二部分满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分)13.20x y -= 14. 22(1)(3)25x y -+-= 15.4259()122f x x x =-+ 16. 25/2. 17.011x -≤≤ 18．.6 四、解答题 (本大题共2小题，共计30分) 19. (本题满分14分)解：（1）由抛物线2:C y x =得x y 2='，02|0x y x x ='∴= 切线l 的方程为)(2000x x x y y -=- 其中200x y = 令,0=x 得20x y -=；令,0=y 得20x x =；所以)0,2(0x A ，),0(20x B - 22400174x AB x =+=得到2004,2x x ==±,点P 的坐标为(2,4)±（2）设圆心E 的坐标为),0(b ，由题知1-=⋅l PE k k ，即12000-=⋅-x x by ，所以210-=-b y ；由||||PA PE =得20202020)2()(y x b y x +=-+整理得0134020=--y y解得10=y 或410-=y （舍去） 所以23=b ，圆E 的圆心E 的坐标为)23,0(，半径=r =||PE 25)(2020=-+b y x 圆E 的方程为45)23(22=-+y x20. (本题满分16分)解(1)①由已知得c a =，22411a b +=，222a b c =+，联立解得228,2a b ==. 椭圆M 的方程为22182x y +=. ②直线AB 的斜率为定值12由已知直线1:1(2)PA y k x -=-代入椭圆M 的方程消去y 并整理得22111(2)[(14)(288)]0x k x k k -+++-=所以2112188214A k k x k --=+,从而2112144114A k k y k --+=+同理2222288214B k k x k --=+,2222244114B k k y k --+=+因为120k k +=所以121222124()(41)(14)(14)A B k k k k y y k k ---==++121222128()(41)(14)(14)A B k k k k x x k k ---=++12A B ABA B y y k x x -==-为定值 (2) 解法一：12TBC S BC t =⋅=△直线TB 方程为：11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x 22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭到:TC 30x ty t --=的距离d ==直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+，所以=所以S 所以k 令21212t m +=>，则2213k m m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”， 所以k 的最大值为43．解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得F x =1sin 21sin 2TBC TEFTB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T F x x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅-- 22824436t tt t t t t t =⋅=+-++令21212t m +=>，则22192413k m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为43．18解。
江苏省泰兴中学2015-2016学年高二12月阶段检测数学试题 含答案
江苏省泰兴中学高二数学阶段性检测一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在相应位置上．1．已知z 是复数，i 是虚数单位，若i zi +=1，则z = ▲ ． 2．命题“,sin 1R θθ∀∈≤"的否定是 ▲ ．3．已知直线l 过直线02=+-y x 和012=++y x 的交点，且与直线023=+-y x 垂直,则直线l 的方程为 ▲ ．4．已知平面上定点21,F F 及动点M ．命题甲:“02||||21>=-a MF MF (a 为常数）"；命题乙：“M 点轨迹是以21,F F 为焦点的双曲线”．则甲是乙的 ▲ 条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)5．函数y ＝错误!＋2ln x 的单调减区间为 ▲ ．6．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 ▲ 。
7．与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且经过点()32,3-的双曲线方程为错误!．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 在抛物线上,若PF ＝2，则点P 到抛物线顶点O 的距离是 ▲ ． 9．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式2()3(2)ln f x x xf x'=++，则=)2('f ▲ ．10．若x 轴是曲线()ln 3f x x kx =-+的一条切线,则k = ▲ ． 11．设函数)()(2R a e axx f x ∈+=有且仅有两个极值点)(,2121x x x x <，则实数a 的取值范围是▲，________．为长12．ABC ∆中，1tan 3A =，4B π=．若椭圆E 以AB轴，且过点C ，则椭圆E 的离心率是▲ ． 点O13．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且ππ,,124α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 ▲ ． 14。
2016届江苏省泰州中学上学期高三(上)期中数学试卷(解析版)
2015-2016学年江苏省泰州中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B={2，3}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；定义法；集合．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．sin20°cos10°+cos20°sin10°=．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°=，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题．3．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】定义法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，则（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键．4．方程log2（3x+2）=1+log2（x+2）的解为2．【考点】对数的运算性质．【专题】方程思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数运算法则化简求解方程的解即可．【解答】解：方程log2（3x+2）=1+log2（x+2），可得log2（3x+2）=log2（2x+4），可得3x+2=2x+4，解得x=2，经检验可知x=2是方程的解．故答案为：2．【点评】本题考查对数方程的解法，注意方程根的检验．5．已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则a6的值等于32．【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8=a1a4，解得a1，a4．再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8=a1a4，解得a1=1，a4=8．∴q3=8，解得q=2．∴a6=25=32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．曲线y=2x﹣lnx在点（1，2）处的切线方程是x﹣y+1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即可．【解答】解：由函数y=2x﹣lnx知y′=2﹣，把x=1代入y′得到切线的斜率k=2﹣=1则切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0【点评】考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程．7．设函数，则f（f（﹣1））的值是﹣16．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数求解函数值即可．【解答】解：函数，则f（f（﹣1））=f（1+3）=f（4）=﹣24=﹣16．故答案为：﹣16．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．8．设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于6．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，就是2π的整数倍，容易得到结果．【解答】解：∵y=f（x）的图象向右平移个单位长度后所得：y=cosω（x﹣）=cos（ωx﹣）；∵函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，就是2π的整数倍，所以=2kπ所以ω=6k，k∈Z；ω＞0∴ω的最小值等于：6．故答案为：6．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．9．已知sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则cos2α的值为．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】由0°＜α＜90°，则﹣45°＜α﹣45°＜45°，求得cos（α﹣45°），再由α=（α﹣45°）+45°，求出余弦，再由二倍角的余弦公式，代入数据，即可得到．【解答】解：由于sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则﹣45°＜α﹣45°＜45°，则有cos（α﹣45°）==，则有cosα=cos（α﹣45°+45°）=cos（α﹣45°）cos45°﹣sin（α﹣45°）sin45°==，则cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=，故答案为：．【点评】本题考查三角函数的求值，考查两角和的余弦公式和二倍角的余弦公式，考查角的变换的方法，考查运算能力，属于中档题．10．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为15．【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理．【专题】综合题；压轴题．【分析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：15【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．11．已知方程x3﹣ax+2=0（a为实数）有且仅有一个实根，则a的取值范围是（﹣∞，3）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】方程x3﹣ax+2=0，即为a=x2+，由f（x）=x2+，可得导数及单调区间，可得极小值，由题意可得a的范围．【解答】解：方程x3﹣ax+2=0，即为a=x2+，由f（x）=x2+，导数f′（x）=2x﹣，可得f（x）在（1，+∞）单调递增，在（0，1）递减，在（﹣∞，0）递减，即有x=1处取得极小值3，有且仅有一个实根，则a＜3．故答案为：（﹣∞，3）．【点评】学会用导数及单调性处理根的存在与个数问题，极值是解决此问题的关键．是中档题．12．已知数列{a n}满足a n+1=qa n+2q﹣2（q为常数），若a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，则a1=﹣2或﹣或79．【考点】数列递推式．【专题】综合题；分类讨论；综合法；等差数列与等比数列．【分析】观察已知式子，移项变形为a n+1+2=q（a n+2），从而得到a n+2与a n+1+2的关系，分a n=﹣2和a n≠﹣2讨论，当a n≠﹣2时构造公比为q的等比数列{a n+2}，进而计算可得结论．【解答】解：∵a n+1=qa n+2q﹣2（q为常数，），∴a n+1+2=q（a n+2），n=1，2，…，下面对a n是否为2进行讨论：①当a n=﹣2时，显然有a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，此时a1=﹣2；②当a n≠﹣2时，{a n+2}为等比数列，又因为a3，a4，a5∈{﹣5，﹣2，﹣1，7}，所以a3+2，a4+2，a5+2∈{﹣3，0，1，9}，因为a n ≠﹣2，所以a n +2≠0，从而a 3+2=1，a 4+2=﹣3，a 5+2=9，q=﹣3或a 3+2=9，a 4+2=﹣3，a 5+2=1，q=﹣代入a n+1=qa n +2q ﹣2，可得到a 1=﹣，或a 1=79；综上所述，a 1=﹣2或﹣或79，故答案为：﹣2或﹣或79．【点评】本题考查数列的递推式，对数列递推式能否成功变形是解答本题的关键所在，要分类讨论思想在本体重的应用，否则容易漏解，注意解题方法的积累，属于难题．13．已知平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=1，∠DAB=60°，点E ，F 分别在线段BC ，DC上运动，设，则的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由题意画出图形，把都用含有的式子表示，展开后化为关于λ的函数，再利用基本不等式求最值． 【解答】解：如图，， ．∵AB=2，AD=1，∠DAB=60°，∴====．当且仅当，即时，上式等号成立．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，体现了数学转化思想方法，是中档题．14．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af （x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+b=0必有两个根t1、t2，则有两种情况：（1）t1=，且t2∈（1，），（2）t1∈（0，1]，t2∈（1，），符合题意，讨论求解．【解答】解：依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+b=0必有两个根t1、t2，则有两种情况符合题意：（1）t1=，且t2∈（1，），此时﹣a=t1+t2，则a∈（﹣，﹣）；（2）t1∈（0，1]，t2∈（1，），此时同理可得a∈（﹣，﹣1），综上可得a的范围是（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．故答案为：（﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）．【点评】本题考查了分段函数与复合函数的应用，属于难题．二、解答题：本大题共10小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图已知四边形AOCB中，||=5，=（5，0），点B位于第一象限，若△BOC为正三角形．（1）若cos∠AOB=，求A点坐标；（2）记向量与的夹角为θ，求cos2θ的值．【考点】平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义．【专题】平面向量及应用．【分析】（1）设∠AOB=α，cosα=，sinα=．可得：x A=，y A=．（2）B，计算.，．可得cosθ=．【解答】解：（1）设∠AOB=α，cosα=，sinα=．x A===．y A==5=．∴A．（2）B，=．=．∴=﹣=．=5，=5．∴cosθ==．∴cos2θ=2cos2θ﹣1=．【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．在等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1与a3﹣1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{bn}满足．求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项公式；（2）化简b n=2n﹣1+（﹣），运用分组求和和裂项相消求和，化简即可得到所求和．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，a2是a1与a3﹣1的等差中项，即有a1+a3﹣1=2a2，即为1+q2﹣1=2q，解得q=2，即有a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（2）=a n+=2n﹣1+（﹣），2+…+2n﹣1）+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）数列{b=+1﹣=2n﹣．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．17．如图，某市若规划一居民小区ABCD，AD=2千米，AB=1千米，∠A=90°，政府决定从该地块中划出一个直角三角形地块AEF建活动休闲区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为1千米，△AEF的面积为S．（1）①设AE=x，求S关于x的函数关系式；②设∠AEF=θ，求S关于θ的函数关系式；（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）①设AF=y，由勾股定理可得y=（由y＞0可得0＜x＜），即可得到S的解析式；②AF=xtanθ，EF=，由周长为1，解得x，即可得到S的解析式；（2）由①得S=（0＜x＜），设1﹣x=t（＜t＜1），则x=1﹣t，可得S==（3﹣2t﹣）运用基本不等式，可得最大值及x的值．【解答】解：（1）①设AF=y，由勾股定理可得x2+y2=（1﹣x﹣y）2，解得y=（由y＞0可得0＜x＜），可得S=xy=（0＜x＜）；②AF=xtanθ，EF=，由x+xtanθ+=1，可得x=，即有S=xy=（0＜θ＜）；（2）由①得S=（0＜x＜），设1﹣x=t（＜t＜1），则x=1﹣t，S==（3﹣2t﹣）≤（3﹣2）=，当且仅当2t=，即t=，即x=1﹣时，直角三角形地块AEF的面积S最大，且为．【点评】本题考查函数的最值的求法，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，同时考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．18．设函数f（x）=，（a＞0，b∈R）（1）当x≠0时，求证：f（x）=f（）；（2）若函数y=f（x），x∈[，2]的值域为[5，6]，求f（x）；（3）在（2）条件下，讨论函数g（x）=f（2x）﹣k（k∈R）的零点个数．【考点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）把f（x）中的x换上便可求出，整理之后便可得出f（x）=；（2）将f（x）变成，求导数，判断导数符号：x∈[）时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0，从而得出x=1时f（x）取到最小值5，并且f（）=f（2）=6，从而得到，这样即可解出a=2，b=1，从而得出f（x）=；（3）先求出g（x）=2（2x+2﹣x）+1﹣k，根据（2）便可判断g（x）的单调性，从而得出g （x）最小值为5﹣k，这样讨论5﹣k和0的关系即可得出g（x）零点的情况．【解答】解：（1）证明：；∴；（2），；∵，a＞0；∴时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0；∴x=1时f（x）取最小值6，即2a+b=5；∴f（）=6，或f（2）=6；∴；解得a=2，b=1；∴；（3）g（x）=2（2x+2﹣x）+1﹣k；y=2x为增函数；∴由（2）知，2x＜1，即x＜0时，g（x）单调递减，x＞0时，g（x）单调递增；∴x=0时，g（x）取到最小值5﹣k，x趋向正无穷和负无穷时，g（x）都趋向正无穷；∴①5﹣k＜0，即k＞5时，g（x）有两个零点；②5﹣k=0，即k=5时，g（x）有一个零点；③5﹣k＞0，即k＜5时，g（x）没有零点．【点评】考查已知f（x）求f[g（x）]的方法，根据导数符号判断函数的单调性及求函数在闭区间上的最值的方法，复合函数单调性的判断，以及函数零点的概念及零点个数的判断．19．设数列{a n}，{b n}，{c n}满足a1=a，b1=1，c1=3，对于任意n∈N*，有b n+1=，c n+1=．（1）求数列{c n﹣b n}的通项公式；（2）若数列{a n}和{b n+c n}都是常数项，求实数a的值；（3）若数列{a n}是公比为a的等比数列，记数列{b n}和{c n}的前n项和分别为S n和T n，记M n=2S n+1﹣T n，求M n＜对任意n∈N*恒成立的a的取值范围．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据条件建立方程关系即可求出求数列{c n﹣b n}的通项公式；（2）b1+c1=4，数列{a n}和{b n+c n}都是常数项，即有a n=a，b n+c n=4，即可得到a=2；（3）由等比数列的通项可得a n=a n，由M n=2b1+（2b2﹣c1）+（2b3﹣c2）+…+（2b n+1﹣c n）=2+a+a2+…+a n，由题意可得a≠0且a≠1，0＜|a|＜1．运用等比数列的求和公式和不等式恒成立思想，计算即可得到a的范围．【解答】解：（1）由于b n+1=，c n+1=．c n+1﹣b n+1=（b n﹣c n）=﹣（c n﹣b n），即数列{c n﹣b n}是首项为2，公比为﹣的等比数列，所以c n﹣b n=2（﹣）n﹣1；（2）b n+1+c n+1=（b n+c n）+a n，因为b1+c1=4，数列{a n}和{b n+c n}都是常数项，即有a n=a，b n+c n=4，即4=×4+a，解得a=2；（3）数列{a n}是公比为a的等比数列，即有a n=a n，由M n=2S n+1﹣T n=2（b1+b2+…+b n）﹣（c1+c2+…+c n）=2b1+（2b2﹣c1）+（2b3﹣c2）+…+（2b n+1﹣c n）=2+a+a2+…+a n，由题意可得a≠0且a≠1，0＜|a|＜1．由2+＜对任意n∈N*恒成立，即有2+≤，解得﹣1＜a＜0或0＜a≤．故a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，]．【点评】本题主要考查数列的应用，等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式恒成立思想，考查学生的运算能力．20．设f（x）=x2lnx，g（x）=ax3﹣x2．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞g（x），求实数a的取值范围；（3）若使方程f（x）﹣g（x）=0在x∈[e，e n]（其中e=2.7…为自然对数的底数）上有解的最小a的值为a n，数列{a n}的前n项和为S n，求证：S n＜3．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；数列的求和．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，求得单调区间和极值，即可得到最小值；（2）由题意可得a＜在（0，+∞）成立，设h（x）=，求出导数，求得单调区间和极值，最大值，即可得到a的范围；（3）方程f（x）﹣g（x）=0，即为a=在x∈[e，e n]上有解，求得h（x）在x∈[e，e n]上的最小值，可得a n=（1+n）e﹣n，由错位相减法求得S n，再由不等式的性质即可得证．【解答】解：（1）f（x）=x2lnx的导数为f′（x）=2xlnx+x=x（1+2lnx），x＞0，当x ＞时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当0＜x ＜时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减．即有x=处取得极小值，也为最小值﹣；（2）存在x ∈（0，+∞），使f （x ）＞g （x ）， 即为a ＜在（0，+∞）成立，设h （x ）=，h ′（x ）==﹣，当x ＞1时，h ′（x ）＜0，h （x ）递减；当0＜x ＜1时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增． 即有x=1处取得极大值，也为最大值1， 则a ＜1，即a 的取值范围是（﹣∞，1）；（3）证明：方程f （x ）﹣g （x ）=0，即为a=在x ∈[e，e n ]上有解，由（2）可得h （x ）=在（e，1）递增，在（1，e n ]递减，由e＜e n ，可得x=e n 处取得最小值，且为（1+n ）e ﹣n ，前n 项和为S n =2e ﹣1+3e ﹣2+4e ﹣3+…+（1+n ）e ﹣n ， eS n =2e 0+3e ﹣1+4e ﹣2+…+（1+n ）e 1﹣n ， 相减可得，（e ﹣1）S n =2+e ﹣1+e ﹣2+e ﹣3+…+e 1﹣n ﹣（1+n ）e ﹣n =1+﹣﹣（1+n ）e ﹣n化简可得S n =﹣e ﹣n （+n+1）＜＜3．故S n ＜3成立．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，考查不等式（或方程）成立的条件，注意运用参数分离和构造函数，考查等比数列的求和公式及数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．21．设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换， （1）求M ﹣1；（2）求直线4x ﹣9y=1在M 2的作用下的新曲线的方程． 【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】对应思想；定义法；矩阵和变换． 【分析】（1）根据矩阵M ，求出它的逆矩阵M ﹣1；（2）根据题意，求出M 2以及对应M 2[]的表达式，写出对应新曲线方程． 【解答】解：（1）∵M=[]， ∴M ﹣1=[]； （2）∵M 2=[]，∴M2[]=[][]=[]=[]；又∵4x﹣9y=1，∴x′﹣y′=1，即所求新曲线的方程为x﹣y=1．【点评】本题考查了矩阵与逆矩阵的应用问题，也考查了矩阵变换的应用问题，是基础题．22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；（1）设M（x，y）是圆C上的动点，求m=3x+4y的取值范围；（2）求圆C的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）将参数方程代入m=3x+4y得到m关于参数φ得三角函数，利用正弦函数的性质得出m的最值；（2）先求出圆C的普通方程，再转化为极坐标方程．【解答】解：（1）m=3（1+cosφ）+4sinφ=3+3cosφ+4sinφ=3+5sin（φ+θ）（sinθ=，cosθ=）．∵﹣1≤sin（φ+θ）≤1，∴﹣2≤m≤8．即m的取值范围是[﹣2，8]．（2）圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0．∴圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程的转化，参数方程的应用，属于基础题．23．班上有四位同学申请A，B，C三所大学的自主招生，若每位同学只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A大学或B大学的概率；（2）求申请C大学的人数X的分布列与数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）记“恰有2人申请A大学或B大学”为事件M，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生中k次的概率计算公式能求出恰有2人申请A大学或B大学的概率．（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）记“恰有2人申请A大学或B大学”为事件M，则P（M）==，∴恰有2人申请A大学或B大学的概率为．（2）由题意X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），P（X=0）==，P （X=1）==，P （X=2）==，P （X=3）==，P （X=4）==，∴X 的分布列为： X 0 1 2 3 4PE （X ）=4×=．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．24．已知数列{a n }满足，记数列{a n }的前n 项和为S n ，c n =S n ﹣2n+2ln （n+1）（1）令，证明：对任意正整数n ，|sin （b n θ）|≤b n |sin θ|（2）证明数列{c n }是递减数列． 【考点】数列的求和．【专题】转化思想；构造法；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）由于，，可得b n+1==1+b n ，利用等差数列的通项公式可得b n =n ．对任意正整数n ，要证明|sin （b n θ）|≤b n |sin θ|，只要证明：|sinn θ|≤n|sin θ|，利用数学归纳法证明即可．（2）由（1）可得：，解得a n =2﹣．c n =S n ﹣2n+2ln （n+1），当n ≥2时，可得c n﹣c n ﹣1=2（ln﹣）．（n ≥2）．令1+=x ，．记f （x ）=lnx ﹣（x ﹣1），利用导数研究其单调性即可得出．【解答】证明：（1）∵，，∴b n+1====1+=1+b n ，∴b n+1﹣b n =1，∴数列{b n }是等差数列，首项b 1==1，公差为1．∴b n =1+（n ﹣1）=n ．对任意正整数n ，要证明|sin （b n θ）|≤b n |sin θ|，只要证明：|sinn θ|≤n|sin θ|，（*）． 下面利用数学归纳法证明： ①当n=1时，（*）成立． ②假设n=k 时，（*）成立，即|sink θ|≤k|sin θ|，则当n=k+1时，|sin （k+1）θ|=|sink θcos θ+cosk θsin θ|≤|sink θ||cos θ|+|cosk θ||sin θ|≤|sink θ|+|sin θ|≤（k+1）|sin θ|， 即n=k+1时，（*）成立．由①②可知：对任意正整数n ，|sin （b n θ）|≤b n |sin θ|．（2）由（1）可得：，解得a n =2﹣．c n =S n ﹣2n+2ln （n+1），当n ≥2时，c n ﹣1=S n ﹣1﹣2（n ﹣1）+2lnn ，∴c n ﹣c n ﹣1=a n ﹣2+2ln =﹣+2ln=2（ln﹣）．（n ≥2）．令1+=x ，．记f （x ）=lnx ﹣（x ﹣1），f ′（x ）=﹣1=＜0，∴f （x ）在上单调递减，∴f （x ）＜f （1）=0，∴ln﹣＜0．∴c n ﹣c n ﹣1＜0，即c n ＜c n ﹣1， ∴数列{c n }是递减数列．【点评】本题考查了数列的单调性、利用导数研究函数的单调性、数学归纳法、递推关系的应用、和差公式、不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
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2015-2016学年江苏省泰州市民兴中学高二（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上．）1．（5分）数据9.8，9.9，10，10.1，10.2的平均数为．2．（5分）函数y=x2+x在区间[1，2]上的平均变化率为．3．（5分）函数y=xe x的极小值为．4．（5分）如图是一个算法的伪代码，若输入x的值为1，则输出的x的值是．5．（5分）如图所示的流程图的运行结果是．6．（5分）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测，若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为件．7．（5分）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为．8．（5分）若焦点在x轴上过点的椭圆焦距为2，则椭圆的标准方程为．9．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.04，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为800，则中间一组（即第五组）的频数为．10．（5分）若函数y=ax+sinx在R上单调增，则a的最小值为．11．（5分）已知椭圆的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0，若点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是．12．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，C上一点P满足，则△PF1F2的内切圆面积为．13．（5分）如图平面直角坐标系xOy中，椭圆，A1，A2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆A1的半径为2，过点A2作圆A1的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆于点Q．则=．14．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定正确的有①，②，③，④f（）＞．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知椭圆方程C：+=1（I）求实数m的取值范围；（II）当m=6时，若椭圆的左右焦点分别为F 1，F2，直线l过椭圆的左焦点F1并且与椭圆C交于A，B两点，求△ABF2的周长．16．（14分）设函数（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最值．17．（14分）已知函数f（x）=x3+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a=0时，求曲线y=f（x）过点（1，f（1））处的切线方程．18．（16分）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．19．（16分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．20．（16分）设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，（Ⅰ）判断函数g（x）的奇偶性；（Ⅱ）证明函数g（x）在（0，+∞）上为减函数；（Ⅲ）求不等式f（x）＞0的解集．2015-2016学年江苏省泰州市民兴中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上．）1．（5分）数据9.8，9.9，10，10.1，10.2的平均数为10．【解答】解：数据9.8，9.9，10，10.1，10.2的平均数=（9.8+9.9+10+10.1+10.2）=10，故答案为：10；2．（5分）函数y=x2+x在区间[1，2]上的平均变化率为4．【解答】解：∵f（x）=x2+x，∴f（1）=2，f（2）=6，∴该函数在区间[1，2]上的平均变化率为=4，故答案为：4．3．（5分）函数y=xe x的极小值为．【解答】解：求导函数，可得y′=e x+xe x，令y′=0可得x=﹣1令y′＞0，可得x＞﹣1，令y′＜0，可得x＜﹣1∴函数在（﹣∞，﹣1）上单调减，在（﹣1，+∞）上单调增∴x=﹣1时，函数y=xe x取得极小值，极小值是．故答案为：．4．（5分）如图是一个算法的伪代码，若输入x的值为1，则输出的x的值是2．【解答】解：由已知中的程序语句可得：该程序的功能是计算并输出分段函数x=的值，∵x=1，∴x=3﹣1=2．故答案为：2．5．（5分）如图所示的流程图的运行结果是20．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=5×4的值，∵S=5×4=20，故答案为：20．6．（5分）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测，若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为1800件．【解答】解：∵样本容量为80，∴抽取的比例为=，又样本中有50件产品由甲设备生产，∴样本中30件产品由乙设备生产，∴乙设备生产的产品总数为30×60=1800．故答案为：1800．7．（5分）为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为25．【解答】解：由已知得：分段的间隔为：=25．故答案为：25．8．（5分）若焦点在x轴上过点的椭圆焦距为2，则椭圆的标准方程为+=1．【解答】解：设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，即有a2﹣b2=1，又椭圆过点，即有+=1，解方程可得a=2，b=，则椭圆方程为+=1．故答案为：+=1．9．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.04，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为800，则中间一组（即第五组）的频数为160．【解答】解：设公差为d，那么9个小长方形的面积分别为0.04，0.04+d，0.04+2d，0.04+3d，0.04+4d，0.04+3d，0.04+2d，0.04+d，0.04，而9个小长方形的面积和为1，可得0.36+16d=1，解得d=0.04，∴中间一组的频数为：800×（0.04+4d）=160．故答案为：160．10．（5分）若函数y=ax+sinx在R上单调增，则a的最小值为1．【解答】解：y′=a+cosx；∵y=ax+sinx在R上单调增；∴a+cosx≥0；∴a≥﹣cosx；﹣cosx的最大值为1；∴a≥1；即a的最小值为1．故答案为：1．11．（5分）已知椭圆的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0，若点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（0，] ．【解答】解：椭圆的短轴的一个端点为M（0，b），点M到直线l的距离不小于，即为≥，即有1≤b＜2，又a=2，c=，则e==∈（0，]．故答案为：（0，]．12．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，C上一点P满足，则△PF1F2的内切圆面积为4π．【解答】解：∵椭圆，∴a2=49，b2=24，可得c2=a2﹣b2=25，即a=7，c=5，设|PF1|=m，|PF2|=n，则有m+n=2a=14，m2+n2=（2c）2=100，可得2mn=96，即mn=48，∴|PF1|•|PF2|=48，∵PF1⊥PF2，得∠F1PF2=90°，∴△PF1F2的面积S=|PF1|•|PF2|=×48=24，由S=r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）=r•（2a+2c）=12r（r为内切圆的半径），由12r=24，解得r=2，则所求内切圆的面积为4π．故答案为：4π．13．（5分）如图平面直角坐标系xOy中，椭圆，A1，A2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆A1的半径为2，过点A2作圆A1的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆于点Q．则=．【解答】解：连结PO、PA1，可得△POA1是边长为2的等边三角形，∴∠PA1O=∠POA1=60°，可得直线PA1的斜率k1=tan60°=，直线PO的斜率k2=tan120°=﹣，因此直线PA1的方程为y=（x+2），直线PO的方程为y=﹣x，设P（m，n），联解PO、PA1的方程可得m=﹣1．∵圆A1与直线PA2相切于P点，∴PA2⊥PA1，可得∠PA2O=90°﹣∠PA1O=30°，直线PA2的斜率k=tan150°=﹣，因此直线PA2的方程为y=﹣（x﹣2），代入椭圆，消去y，得x2﹣x+=0，解之得x=2或x=．∵直线PA2交椭圆于A2（2，0）与Q点，∴设Q（s，t），可得s=．由此可得====．故答案为：．14．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定正确的有①③①，②，③，④f（）＞．【解答】解；∵f′（x）=，f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，x=时，f（）+1＞•k=1＞0，故①正确，②错误；当x=时，f（）+1＞×k=，即f（）＞﹣1=，故f（）＞，故③正确，④错误；故选：①③．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知椭圆方程C：+=1（I）求实数m的取值范围；（II）当m=6时，若椭圆的左右焦点分别为F1，F2，直线l过椭圆的左焦点F1并且与椭圆C交于A，B两点，求△ABF2的周长．【解答】解：（I）由题意可得，解得2＜m＜7，且m．（II）当m=6时，椭圆方程为=1，∴以a2=4，即a=2．则△ABF2周长L=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8．16．（14分）设函数（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最值．【解答】解：（I）定义域为（0，+∞）…（2分）得，令f'（x）=0，x=2所以f（x）的单调减区间为（0，2）单调增区间为（2，+∞）…（6分）（II）由（I），f（x）在[1，2]减，在[2，e]增，所以f（x）min=f（2）=2﹣4ln2…（9分）又f（1）=，…（11分）因为所以f（x）min=f（2）=2﹣4ln2，…（14分）17．（14分）已知函数f（x）=x3+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a=0时，求曲线y=f（x）过点（1，f（1））处的切线方程．【解答】解：（I）由函数f（x）=x3+lnx，f（1）=1，，f'（1）=4，所以在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即4x﹣y﹣3=0；（II）函数f（x）=x3，f'（x）=3x2，设过（1，1）的直线与曲线相切于（m，n），则切线方程为y﹣1=3m2（x﹣1），所以，得或，所求切线方程为3x﹣y﹣2=0，3x﹣4y+1=0．18．（16分）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A 的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．【解答】解：（I）∵点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，∴，∵A（a，0），B（0，b），∴=．∵，∴，a=b．∴=．（II）由（I）可得直线AB的方程为：=1，N．设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，∴，解得b=3，∴a=3．∴椭圆E的方程为：．19．（16分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵离心率为，∴==，∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），∵直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=，∴d2+=，即（）2+=，解得k=，即直线FM的斜率为；（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为：+=1，直线FM的方程为y=（x+c），联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣c，或x=c，∵点M在第一象限，∴M（c，c），∵|FM|=，∴=，解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2，即椭圆的方程为+=1；（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，∵F（﹣1，0），∴t=，即y=t（x+1）（x≠﹣1），联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，又∵直线FP的斜率大于，∴＞，6﹣2x2＞6（x+1）2，整理得：x（2x+3）＜0且x≠﹣1，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x≠0），联立方程组，消去y并整理，得m2=﹣．①当x∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，∴m=，∴m∈（，）；②当x∈（﹣1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，∴m=﹣，∴m∈（﹣∞，﹣）；综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．20．（16分）设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，（Ⅰ）判断函数g（x）的奇偶性；（Ⅱ）证明函数g（x）在（0，+∞）上为减函数；（Ⅲ）求不等式f（x）＞0的解集．【解答】解：（I）因为f（x）（x∈R）是奇函数，所以，所以g（x）是偶函数…（4分）（II）因为当x＞0时xf'（x）﹣f（x）＜0，所以，所以g（x）在（0，+∞）上为减函数…（8分）（III）由（I）f（﹣1）=0，g（﹣1）=g（1）=0，…（10分）x＞0时f（x）＞0等价于，即g（x）＞g（1），由（II）所以0＜x＜1，…（12分）x＜0时f（x）＞0等价于，即g（x）＞g（﹣1），由（I）（II）g（x）在（﹣∞，0）上为增函数，所以x＜﹣1．…（14分）综上不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）…（16分）。