差分方程初步-PPT课件
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差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
差分方程初步-PPT精选文档
+…+an-1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解．
定理3(齐次线性差分方程通解结构定理) 如 果 y1(t),y2(t),…,yn(t) 是 齐 次 线 性 差 分 方 程 yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的n个线性无关 的特解,则方程 的通解为： yA(t)＝A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)，
三、 差分方程的解
定义4 如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…， yt+n)=0, 使 其 对 t=…,-2,-1,0,1,2,… 成 为 恒 等 式 , 则 称 yt=j(t) 为方程的解 .含有 n 个任意 ( 独立 ) 常数 C1,C2,…,Cn 的解
yt=j(t,C1,C2,…,Cn)
依此定义类推,有 D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1, D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2, ………………
类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分 D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt, D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1, ………………
其中A1，A2，…，An为n个任意(独立)常数．
微积分 第十一章 差分方程初步
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定义3′ 含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,…的函数方程,称为 (常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下标的最大差,称为 差分方程的阶．
n阶差分方程的一般形式为 F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0, （*） 其中 F 为 t,yt,yt+1,… ， yt+n 的已知函数 , 且 yt 和 yt+n 一定要在差 分方程中出现.
这里a0,a1,a2,…，an-1均为已知常数．
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特别值得注意的是： 只要保持差分方程中的时间滞后结构不变 ,无论对 t 提前或 推后一个相同的等间隔值,所得新方程与原方程是等价的,即二者 有相同的解.例如,方程 ayt+1-byt=0
与方程
都是相互等价的．
ayt+2-byt+1=0
基于差分方程的这一特征，在研究差分方程中，为了方便和 需要，我们经常随意地移动差分方程中的时间下标，只要保证方 程中所有时间下标均移动一个相同的整数值即可 由此可见，在差分以及差分方程的解的定义中，对t=0,1,2,… 恒成立时，对t=-1,-2,…也是成立的．为此，今后也就只需讨 论t=0,1,2,…的情形．
例如
yt +1 - yt = a(a为常数)就是一阶差分方程 .
由于在经济模型中，通常遇到的是后一种定义下的差分方程． 因此，今后我们将只讨论形如（*）式的差分方程．
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三、 差分方程的解
定义4 如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,使 其对t=…,-2,-1,0,1,2,…成为恒等式,则称yt=j(t)为方程的解.含有 n个任意(独立)常数C1,C2,…,Cn的解 yt=j(t,C1,C2,…,Cn) 称为 n 阶差分方程的通解 . 在通解中给任意常数 C1,C2,…,Cn 以确 定的值所得的解,称为n阶差分方程的特解.
经济数学 CH6 差分方程PPT精品文档29页
2020/4/16
8
蛛网模型
❖ 将需求曲线和供给曲线代 pt 入到均衡方程，得到：
❖ pt=(a+c)/b-(d/b)pt-1 ❖ 这是一个一阶非齐次线性
差分方程。
❖ 当价格不变时，供求达到 均衡。
❖ p*=(a+c)/b-(d/b)p* ❖ 均衡价格p*=(a+c)/(b+d)
p*
Pt-1
当(d/b)>1时，模型 是发散的；反之则是 收敛的。
a≠-1
yt
A(a)t
c ,a1 1a
假设t 0时，yt
y0,得到Ay0
c 1a
yt
(y0
c )(a)t 1a
c ,a1 1a
a=-1 y t A ( a )t c t A c t,a 1
假 设 t0时 ， yt y0,得 到 Ay0 yt y0ct,a1
2020/4/16
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练习
❖ 求解一阶线性差分方程：
❖ 一阶差分： △yt=yt+1-yt ❖ 二阶差分：
❖ △2yt= △ (△ yt) = △(yt+1-yt)= (yt+2-yt+1)- (yt+1-yt)
2020/4/16
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❖ 一阶差分方程：yt+1=f(yt) ❖ 例子：一阶线性差分方程
❖ △yt=2→yt+1-yt=2 ❖ △yt=yt → yt+1-yt=yt →yt+1=2yt ❖ 一阶线性差分方程一般形式：
如果f(y*) 1，那么均衡点是稳定的。 如果f(y*) 1，那么均衡点是不稳定的。 如果f(y*) 1，无法判断。
f(y*)dyt1 dyt
第4讲 差分方程方法(new)PPT课件
它的平衡点 x* 0 是稳定的充要条件是 A 的所有特
征根都有 i 1(i 1,2,, n) 。
对于一阶线性常系数非齐次差分方程组
x(k 1) Ax(k) B(k 0,1,2,)
的情况同样给出。
11
2020年11月23日
二 差分方程的平衡点及其稳定性
3.二阶线性常系数差分方程的平衡点
二阶线性常系数齐次差分方程的一般形式为
则 x* 也是一阶线性差分方程 xk1 f (x*)(xk x*) f (x*)
的平衡点. 故平衡点 x* 稳定的充要条件是 f (x* ) 1 。
2020年11月23日
三 连续模型的差分方法
1. 微分的差分方法
问题：已知 f (x) 在点 xk 处的函数值 f (xk )(k 0,1,, n 1) ，且 a x0 x1 xn1 b，试求函数的导数值 f (xk )(k 1,2,, n) 。
二 差分方程的平衡点及其稳定性
4.一阶非线性差分方程的平衡点
一阶非线性差分方程的一般形式为
xk1 f (xk ),k 0,1,2,
其中 f 为已知函数，其平衡点定义为方程 x f (x) 的解 x* 。
事实上：将 f (xk ) 在 x* 处作一阶的台勒展开有
xk1 f (x* )( xk x* ) f (x* )
, n)
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2020年11月23日
三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
问题：已知 f (x) 在点 xk 处的函数值 f (xk )(k 0,1,, n) ，
b
且在[a,b]上可积，试求 f (x) 在[a,b] 上的积分值 f (x)dx 。 a
对应代数方程:
k a1k1 a2k2 ak 0
征根都有 i 1(i 1,2,, n) 。
对于一阶线性常系数非齐次差分方程组
x(k 1) Ax(k) B(k 0,1,2,)
的情况同样给出。
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2020年11月23日
二 差分方程的平衡点及其稳定性
3.二阶线性常系数差分方程的平衡点
二阶线性常系数齐次差分方程的一般形式为
则 x* 也是一阶线性差分方程 xk1 f (x*)(xk x*) f (x*)
的平衡点. 故平衡点 x* 稳定的充要条件是 f (x* ) 1 。
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三 连续模型的差分方法
1. 微分的差分方法
问题：已知 f (x) 在点 xk 处的函数值 f (xk )(k 0,1,, n 1) ，且 a x0 x1 xn1 b，试求函数的导数值 f (xk )(k 1,2,, n) 。
二 差分方程的平衡点及其稳定性
4.一阶非线性差分方程的平衡点
一阶非线性差分方程的一般形式为
xk1 f (xk ),k 0,1,2,
其中 f 为已知函数，其平衡点定义为方程 x f (x) 的解 x* 。
事实上：将 f (xk ) 在 x* 处作一阶的台勒展开有
xk1 f (x* )( xk x* ) f (x* )
, n)
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三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
问题：已知 f (x) 在点 xk 处的函数值 f (xk )(k 0,1,, n) ，
b
且在[a,b]上可积，试求 f (x) 在[a,b] 上的积分值 f (x)dx 。 a
对应代数方程:
k a1k1 a2k2 ak 0
第一、二节差分方程的基本概念 一阶常系数线性差分方程
二阶线性常系数非齐次差分方程
2 yt + 3 − 3 yt + 2 + 4 yt +1 − 5 yt = 0
t t t t
三阶线性齐次差分方程
五.线性差分方程解的基本定理 线性差分方程解的基本定理 定理10.1 定理 如果 y1 ( t ), y2 ( t ),L , ym ( t ) 是齐次线性差分方程 的 m 个解 则它们的线性组合 个解,则它们的线性组合
2 2
解 ∆yt = f ( t + 1) − f ( t )
= [( t + 1) 2 + 2( t + 1)] − ( t 2 + 2t )
= 2t + 3
∆ yt = f ( t + 2) − 2 f ( t + 1) + f ( t )
2
= [( t + 2) + 2( t + 2)] − 2[( t + 1) + 2( t + 1)]
F ( t , y t , ∆y t , ∆2 y t , ∆3 y t , L , ∆n y t ) = 0
定义10.2 定义
含有自变量 t 和两个或两个以上
的函数值 yt , yt +1 ,L , yt + n的方程 称为差分方程 的方程,称为差分方程 称为差分方程. 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差, 出现在差分方程中的未知函数下标的最大差 称为差分方程的阶. 称为差分方程的阶
F ( t , yt , yt +1 , yt + 2 ,L , yt + n ) = 0
注 两个定义不完全等价 例如
∆ y t + ∆y t = 0
差分方程讲解
an+1 = 5an , an+2 = 3an ,
an+2 = 3an + n2 ,
an+2 −3an+1 + 4an = 0, an+2 − 3an+1 + 4an = 6,
§2 一阶线性差分方程
对于差分方程的研究主要是差分方程的求解(当 可以求解的时候)以及讨论解的性质. 能够给出解 析解的差分方程是为数很少的一部分, 大多数差 分方程是不能给出解析解的, 此时, 只能对其解的 性质给出一定的讨论, 讨论解的性质(解的变化趋 势, 是周期的还是非周期的或混沌的)有两种方法: 一是数值计算方法, 二是定性或定性定量结合的 方法.
−1 1 3 5 7 9
∆2an
2 2 2 2 2
§1 数列的差分
§2 一阶线性差分方程 一. 差分方程的基本概念 二. 齐次线性差分方程的解析解
§2 一阶线性差分方程
一. 差分方程的基本概念
定义2.1 差分方程是一种方程, 该方程表明数列 定义2.1 差分方程 中的任意项如何用前一项或几项来计算. 初始 条件是该数列的第一项. 出现在差分方程中的 条件 项的最大下标减去最小下标得到的数称为差分 差分 方程的阶. 方程的阶.
an+2 = 3an + n ,
2
2
an+1 = 5an ,
an+2 −3an+1 + 4an = 6,
an+1 = ( an ) , an+2 = ( an+1 )( an ) .
§2 一阶线性差分方程
定义2.2 定义2.2 如果差分方程中包含数列变量(即包含 an)的项不包含数列变量的乘积, 不包含数列变 量的幂, 也不包含数列变量的诸如指数, 对数或 三角函数在内的函数, 那么我们称该差分方程 是线性的 否则差分方程就是非线性的 注意这 线性的. 非线性的. 线性的 非线性的 种限制只适用于包含数列变量的项, 而不能用 于不包含数列变量的数列{an} = {1, 3, 6, 10, 15, 21, L}, 则有 {∆an} = {2, 3, 4, 5, 6, L} 以及 {∆2an} = {1, 1, 1, 1, 1, L}. 令 an = An2 + Bn + C,
差分方程
其中a为已知常数，f(t)为已知函数。 f(t)≠0时称为一阶常系数 非齐次线性差分方程。
与微分方程类似，非齐次差分方程的求解是通过它对应 的齐次差分方程的解求得的。非齐次差分方程对应的常系数齐 次线性差分方程为
yt++ayt=0 t=0,1,2, … 下面先考虑齐次差分方程的求解。
6
2020年4月11日星期六
Δyt+1= yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)； Δyt+2= yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)；
……… 由此可以看出，函数的一阶差分为(函)数列形式。
1
2020年4月11日星期六
一阶差分表示函数的改变量，一阶微分(由于Δt=1，微分 就等于导数)可看作它的近似，相对于二阶导数，可定义二阶 差分。
一般地，可依次定义k阶差分：
k
k yt ( 1)i Cki ytki
i0
ytk
kytk1
(1)k
yt
2
2020年4月11日星期六
2、差分的性质
为讨论需要，下面介绍差分的性质，大家可把它们与导数
的相应结果作对比。
性质1 若a为常数，则Δa=0。
性质2(线性性质) 若a、b为常数，则有
Δ(ayt +bzt)=Δayt +Δbzt 性质3 Δ(yt zt)=ztΔyt +yt+1 Δzt =zt+1Δyt +yt Δzt
Ⅰ f(t)=Pm(t)=a0tm+a1tm-1+…+am 若a≠-1，则特解的形式为y*t =b0tm+b1tm-1+…+bm ； 若a=-1，则特解的形式为y*t =t(b0tm+b1tm-1+…+bm)。
与微分方程类似，非齐次差分方程的求解是通过它对应 的齐次差分方程的解求得的。非齐次差分方程对应的常系数齐 次线性差分方程为
yt++ayt=0 t=0,1,2, … 下面先考虑齐次差分方程的求解。
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2020年4月11日星期六
Δyt+1= yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)； Δyt+2= yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)；
……… 由此可以看出，函数的一阶差分为(函)数列形式。
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2020年4月11日星期六
一阶差分表示函数的改变量，一阶微分(由于Δt=1，微分 就等于导数)可看作它的近似，相对于二阶导数，可定义二阶 差分。
一般地，可依次定义k阶差分：
k
k yt ( 1)i Cki ytki
i0
ytk
kytk1
(1)k
yt
2
2020年4月11日星期六
2、差分的性质
为讨论需要，下面介绍差分的性质，大家可把它们与导数
的相应结果作对比。
性质1 若a为常数，则Δa=0。
性质2(线性性质) 若a、b为常数，则有
Δ(ayt +bzt)=Δayt +Δbzt 性质3 Δ(yt zt)=ztΔyt +yt+1 Δzt =zt+1Δyt +yt Δzt
Ⅰ f(t)=Pm(t)=a0tm+a1tm-1+…+am 若a≠-1，则特解的形式为y*t =b0tm+b1tm-1+…+bm ； 若a=-1，则特解的形式为y*t =t(b0tm+b1tm-1+…+bm)。
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只要保持差分方程中的时间滞后结构不变 ,无论对 t提前或推后一个相同的等间隔值,所得新方程与原方程 是等价的,即二者有相同的解.例如,方程 ayt+1byt=0
与方程
ayt+2byt+1=0
都是相互等价的．
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四、 线性差分方程及其基本定理 形如 yt+n+a1(t)yt+n1+a2(t)yt+n2+…+an1(t)yt＋1+an(t)yt=f(t)
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二、一阶差分的性质
（1）若yt=C(C为常数),则Dyt=0; （2） 对于任意常数k,D(kyt)=kDyt; （3） D(yt+zt)=Dyt+Dzt． （ 4）
y zn y n n y n z n = zn zn+1 zn
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三、
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一般地,k阶差分(k为正整数)定义为
k k 1 D yt =D (D yt ) k 1 k 1 =D yt+1 D yt i = ( 1 )i C ky t+ki i=0 k
(k =1 ,2 ,3 , )
这里
k! C = i!(k i )!
i k
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如果ai(t)=ai(i=1,2,…,n)均为常数(an≠0),则有
yt+n+a1yt+n1+a2yt+n2+…+an1yt+1+anyt=f(t)，
yt+n+a1yt+n1+a2yt+n2+…+an1yt+1+anyt=0．
分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系 数齐次线性差分方程.
其中A1，A2，…，An为n个任意(独立)常数．
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定理4(非齐次线性差分方程通解结构定理)
如果 y (t)是非齐次线性方程yt+n+a1(t)yt+n1+a2(t)yt+n2
+…+an1(t)yt ＋ 1+an(t)yt=f(t) 的一个特解 ,yA(t) 是其对应的
齐次线性方程yt+n+a1yt+n1 +a2yt+n2 +…+an1yt+1+anyt=0的 通解,那么,非齐次线性差分方程的通解为： y(t)=yA(t)+ y (t) 即
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定理1(齐次线性差分方程解的叠加原理) 若y1(t),y2(t),…,ym(t)是齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n1 +a2yt+n2+…+an1yt+1+anyt=0的m个特解(m≥2),则其线性
组合y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Amym(t)也是方程 的解,其中
称为n阶差分方程的通解.在通解中给任意常数 C1,C2,…,Cn 以确定的值所得的解 , 称为 n 阶差分方程的 特解.
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例如,函数yt=at+C(a为已知常数,C为任意常数)是差
分方程 yt+1yt=a 的通解 . 而函数 yt=at,yt=at1,…均是这个
差分方程的特解. 由差分方程的通解来确定它的特解,需要给出确定 特解的定解条件 .n 阶差分方程 F(t,yt,yt+1,… ， yt+n)=0 常 见的定解条件为初始条件. y0=a0, y1=a1，…,yn1=an1， 这里a0,a1,a2,…，an1均为已知常数．
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二、 差分方程
定义3 含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt, D2yt,…的 函数方程,称为常差分方程(简称差分方程);出现在差分 方程中的差分的最高阶数,称为差分方程的阶. n阶差分方程的一般形式为 F(t,yt, Dyt,…, Dnyt)=0, 其中F是t,yt, Dyt,…, Dnyt的已知函数,且Dnyt一定要在方
的差分方程,称为n阶非齐次线性差分方程.其中 a1(t),a2(t),…,an1(t),an(t) 和 f(t) 都 是 t 的 已 知 函 数 , 且 an(t)≠0,f(t)≠0.而形如
yt+n+a1(t)yt+n1+…＋an1(t)yt+1+an(t)yt=0 的差分方程,称为n阶齐次线性差分方程.其中 ai(t)(i=1,2,…，n)为t的已知函数,且an(t)≠0.
y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)+y (t)， 这里A1，A2,…,An为n个任意(独立)常数．
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第二节 一阶常系数线性差分方程第一节源自差分方程的基本概念返回
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一、 差分的概念
微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问
题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、
储蓄等都是时间序列, 自变量 x取值为0, 1, 2, , 数学
上把这种变量称为离散型变量. 通常用差商来描述因 变量对自变量的变化速度.
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三、 差分方程的解
定义4 如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…， yt+n)=0, 使 其 对 t=…,2,1,0,1,2,… 成 为 恒 等 式 , 则 称 yt=j(t) 为方程的解 .含有 n 个任意 ( 独立 ) 常数 C1,C2,…,Cn 的解
yt=j(t,C1,C2,…,Cn)
程中出现．
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定义3′ 含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,…的函数方 程,称为(常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下 标的最大差,称为差分方程的阶．
n阶差分方程的一般形式为
F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,
其中F为t,yt,yt+1,…，yt+n的已知函数,且yt和yt+n一定 要在差分方程中出现.
A1，A2，…，Am为任意常数． 定理2 n阶齐次线性差分方程yt+n+a1yt+n1 +a2yt+n2
+…+an1yt+1+anyt=0一定存在n个线性无关的特解．
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定理3(齐次线性差分方程通解结构定理) 如 果 y1(t),y2(t),…,yn(t) 是 齐 次 线 性 差 分 方 程 yt+n+a1yt+n1 +a2yt+n2 +…+an1yt+1+anyt=0的n个线性无关 的特解,则方程 的通解为： yA(t)＝A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)，