差分方程
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差分方程模型的基本概念
预测经济趋势
通过建立差分方程模型，可以对 未来的经济趋势进行预测，帮助 决策者制定相应的经济政策。
评估经济政策
差分方程模型可以用来评估不同 经济政策的实施效果，为政策制 定者提供参考依据。
在物理学中的应用
描述振动现象
差分方程模型可以用来描述物体的振动规律，如弹簧振荡、单摆 等。
预Байду номын сангаас波动传播
在声学和波动理论中，差分方程模型可以用来描述波动传播的规 律，如声波、电磁波等。
可以采用动态模型来反映数据的变化趋势，减少时间滞后的影 响。
可以利用大数据技术来处理大规模的数据集，提高模型的预测 精度和稳定性。
可以尝试优化参数估计方法，例如采用全局优化算法或贝叶斯 推断等方法，以提高参数估计的准确性和稳定性。
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确定差分关系
根据时间序列数据的特性，确定合适的差分关系，以描述数据的变化规律。差分关系通常表示为变量在不同时间 点的变化量或变化率。
建立差分方程模型
根据变量和参数建立模型
根据确定的变量和参数，建立差分方程模型，以描述变量的变化规律。
验证模型的适用性
建立差分方程模型后，需要验证模型的适用性，确保模型能够准确描述实际问题的变化规律。
Python
使用Python的数值计算库，如NumPy和 SciPy，求解差分方程。
Mathematica
使用Mathematica的符号计算和数值计算功 能求解差分方程。
04 差分方程模型的应用
在经济学中的应用
描述经济周期
差分方程模型可以用来描述经济 活动的周期性变化，如经济增长、 通货膨胀、就业率等的时间序列 数据。
差分方程
练习 18 证明：若 a>1，对任意的 >0,>0，若 ≠ ，则按上述法构造的数列{ }满足
.
这样，我们得到了计算 的一个方法： 1． 给定 （作为误差控制），任取初始值 ，
令 n=1;
2． 若
，
则终止计算，输出结果；否则 ，令 n ：=n+1，转
第3步；
3． 令，转第2步.
练习 19 对 a=1.5,10,12345，用上述方法求 .
由 ，得
.
从而可将原来的非齐次线性差分方程化为齐次线性差分方程.
如果方程（8.5）的平衡值不存在，可以将方程（8.5）中所有的 n 换为 n+1，得到
（8.6）
方 程（ 8.6 ）和（ 8.5 ）相 减 得
.
于是可将原来的非齐次线性差
分方程化为高一阶的齐次线性差分方程.
练习17 分别求差分方程 及 的通解.
能 够 使 国 民 经 济 处 于 一 种 良 性 循 环 之 中 。如 何 配 各 部 分 投 资 的 比 例 ，才 能 使 国 民 经 济
处于稳定状态呢？这就是本节要讨论的问题。
我们首先给出一些假设条件：
1． 国民收入用于消费、再生产投资和公共设施建设三部分。
2． 记 分别为第
k 个周期的国民收入水平和消费水平。的值与前一个周期的国民收入成正比例。即
定理8。1 若数列的通项是关于 n 的 k
次多项式，则 k 阶差分数列为非零数列，k+1阶差分数列为0。
练习3 证明定
理8。1。
定理8。2 若{Xn}的 k 阶插分为非零常数列，则{Xn}是 n 的 k 次多
项式，
练习4 根据差分的性质证明定理8。2
例2。求∑i3
差分方程简介
日期:
差分方程简介
汇报人：
contents
目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
差分方程简介
汇报人：
contents
目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
差分方程
yt t ( n) t (t 1)(t 2) (t n 1) ，则
( n)
yt (t 1)
.
t
( n)
(t 1)t (t 1) (t 1 n 1)
t (t 1) (t n 2)(t n 1)
( n 1)
称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地， 一阶常系数线性非齐次差分方程.
1．一阶常系数线性齐次差分方程的通解 一阶常系数线性齐次差分方程的通解可用迭代法求得.
设 y0 已知，将 t 0,1,2, 代入方程
yt 1 Pyt 中，得
3
y1 Py0
y2 Py1 P y0
2
如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好 等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解.
定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均 为一次，则称该差分方程为线性差分方程. 其一般形式为
yt n a1 (t ) yt n 1 an1(t ) yt 1 an (t ) yt f (t )
2．一阶常系数线性非齐次差分方程的通解
定理 设
yt
为齐次方程的通解，
yt 为非齐次方程的一个
*
特解，则
yt yt yt* 为非齐次方程的通解.
y t 1 P y t 0
* * 证明 由题设，有 yt 1 Pyt f (t ) ，及
将这两式相加得 ( y t 1 yt*1 ) P ( y t yt* ) f (t ) ，即
1 3 yt 3( )t 在初始条件 2 2
y0 5
解 这里
1 3 P , C 3, b 2 2
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
差分方程
y 3 ay2 a (ay1 ) a 3 y 0 y x a y0
x
y x ka x
当 a 1 时通解为 y x k
k 为任意常数
例 求 y x 1 4 y x 0 满 足 y 0 1 的 特 解 解：通解为 y k 4 ,
x
y0 k4 x
x0
例 y x sin x, 求y x
解：y x sin(x 1) sin x
性质：
(1) ky x ky x ( 2 ) y x z x y x z x ( k为 常 数)
( 3 ) y x z x y x 1 z x z x y x y x z x y x y x z x ( 4 ) z z x z x 1 x
一 差分 定义：
设 函 数 y f ( x ), 记 y x f ( x ) , 当 x {0,1,2,3, , n }时, y x 的 值 可 以 排 成 一 列 数y 0 , y1 , , y n , ,
称差y x y x 1 y x 为函数 y f ( x ) 的(向前)一阶差分
y * 1 ( x 1) A( x 1) 2 B( x 1) C x
代 入 方 程
2x 2
y * 1 y * x 3 ( A A) x 2 (3 A B B) x(3 A 2B C C ) ( A B C ) x x
y 0 1, y1 1, y 2 y 0 y1 , , y x 2 y x y x 1 ,
y x 2 y x y x 1 所以定解问题为 y 0 1, y1 1
高考数学中的差分方程及相关概念
高考数学中的差分方程及相关概念在高中数学中，我们学习了许多数学知识，其中差分方程是一个比较重要的概念，在高考中也经常出现。
那么差分方程是什么？有什么用处呢？一、什么是差分方程差分方程，也叫离散微积分方程，是指用有限差分代替导数的微分方程，其本质是一种递推式。
差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n], y[n-1], ... , y[n-k])，其中y[n]是第n个离散点的函数值，y[n-k]是第n-k个离散点的函数值。
差分方程是一种离散的动态系统，可以用来描述各种离散事件的演化。
它广泛应用于数学、物理、工程、经济等领域中各种动态系统的建模与分析。
二、差分方程的分类根据差分方程的阶数及系数对n的依赖关系，差分方程可以分为以下几类：1.一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为y[n+1] = ay[n] + b，其中a和b 是常数。
这种差分方程的解可以用递推公式y[n] = ay[n-1] + b求得。
2.二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为y[n+2] + ay[n+1] + by[n] = f[n]，其中a、b是常数，f[n]是已知函数。
这种差分方程的解可以用特征根法或借助于已知解求得通解。
3.非线性差分方程非线性差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n])，其中f(y[n])是非线性函数。
这种差分方程的解一般需要运用迭代法或数值解法求解。
三、差分方程的应用差分方程是一种用来描述具有离散状态的系统演化的工具，它在许多领域中都有着广泛的应用，例如：1.物理学差分方程在物理学中应用广泛，例如：在天体物理学中，用差分方程描述行星运动的轨迹、研究宇宙星系的演化等；在量子力学中，用差分方程描述粒子的运动状态等。
2.经济学差分方程在经济学中也有着广泛的应用，例如：在货币政策分析中，用差分方程描述货币供应量、利率与物价水平等的变化；在经济增长模型中，用差分方程描述经济增长的变化趋势等。
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其中a为已知常数，f(t)为已知函数。 f(t)≠0时称为一阶常系数 非齐次线性差分方程。
与微分方程类似，非齐次差分方程的求解是通过它对应 的齐次差分方程的解求得的。非齐次差分方程对应的常系数齐 次线性差分方程为
yt++ayt=0 t=0,1,2, … 下面先考虑齐次差分方程的求解。
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Δyt+1= yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)； Δyt+2= yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)；
……… 由此可以看出，函数的一阶差分为(函)数列形式。
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一阶差分表示函数的改变量，一阶微分(由于Δt=1，微分 就等于导数)可看作它的近似，相对于二阶导数，可定义二阶 差分。
一般地，可依次定义k阶差分：
k
k yt ( 1)i Cki ytki
i0
ytk
kytk1
(1)k
yt
2
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2、差分的性质
为讨论需要，下面介绍差分的性质，大家可把它们与导数
的相应结果作对比。
性质1 若a为常数，则Δa=0。
性质2(线性性质) 若a、b为常数，则有
Δ(ayt +bzt)=Δayt +Δbzt 性质3 Δ(yt zt)=ztΔyt +yt+1 Δzt =zt+1Δyt +yt Δzt
Ⅰ f(t)=Pm(t)=a0tm+a1tm-1+…+am 若a≠-1，则特解的形式为y*t =b0tm+b1tm-1+…+bm ； 若a=-1，则特解的形式为y*t =t(b0tm+b1tm-1+…+bm)。
例 求差分方程yt+1-2yt=t的通解。
练习 求差分方程yt+1-yt=2t的通解。 答案 yt=C+t2-t 。
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Ⅱ f(t)=Pm(t)bt=(a0tm+a1tm-1+…+am )bt，且b≠1 若a≠-b，则特解的形式为y*t =(b0tm+b1tm-1+…+bm )bt ； 若a=-b，则特解的形式为y*t =t(b0tm+b1tm-1+…+bm)bt；
例 求差分方程yt+1+yt=3t的通解。
通过逐次迭代的方法容易得到：
1. 齐次方程的解
定理 差分方程yt+1+ayt=0 t=0,1,2, …的通解为
yt=C(-a)t t=0,1,2, …
其中C为任意常数。 例如，差分方程2yt+1+yt=0的通解为
yt
C( 1)t 2
。
与微分方程的情况类似，有以下结果：
一阶常系数非齐次线性差分方程
yt+1+ayt=f(t) t=0,1,2, …
与微分方程的情况类似，差分方程的有关解的一些定义如 下:
定义 若将函数yt=f(t)代入差分方程使其成为恒等式，则称 函数yt=f(t)为此差分方程的解。对n阶差分方程，若它的解中含 有n个(独立的)任意常数，则称这样的解为n阶差分方程的通 解。
为确定具体的函数解，需要给出一些条件，这样的条件称 为定解条件。若定解条件是在某些初始时刻的函数值，则称这 样的条件为初始条件。满足定解条件的具体的解(不含任意常 数)称为差分方程的特解。
①
对应的齐次差分方程为
yt+1+ayt=0 t=0,1,2, …
②
定理 方程②的通解为yt=C(-a)t，若y*t为①的一个特解，则
①的通解为yt=C(-a)t + y*t 。
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2. 非齐次方程的解 yt+1+ayt=f(t) 下面对f(t)讨论，求非齐次方程的特解，从而求其通解。
练习
求差分方程 2 yt1
yt
3 2t
的通解。
0
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一、差分的概念及其性质 1、差分的概念 定义 设函数yt=f(t)的定义域为非负整数，其自变量t(通常
表示时 间)取非负整数得到数列： y0=f(0)，y1=f(1)，…，yt=f(t)，…
称yt+1-yt为函数yt的一阶差分，记为Δyt，即Δyt= yt+1-yt 。 由定义可知， Δyt= yt+1-yt=f(t+1)-f(t)；
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§7.6 差分方程初步 在经济与管理的实际问题中，经济数据大多是以等间隔 时间统计的。例如，国民收入、工农业总产值等按年统计， 产品产量、商品销售收入和利润等按月统计。由于这个原 因，在研究分析实际经济与管理问题时，各有关经济变量的 取值是离散变化的。描述各级经济变量之间变化规律的数学 模型是离散型的数学模型。差分方程就是一类最常见的离散 型数学模型。 这一节主要讨论差分方程的求解，重点是一阶常系数线 性差分方程的求解。我们首先介绍差分的概念。
定义 函数yt=f(t)一阶差分的差分称为其二阶差分，记为 Δ2yt= Δyt+1-Δyt =yt+2-2yt+1+yt 。
例如，对y=t2+2t，有Δyt = 2t 3 。Δ2yt = 2。 类似地，可以定义三阶差分：
Δ3yt= Δ2yt+1-Δ2yt = yt+3-3yt+2+3yt+1-yt 。
以下标定义的阶数与用Δ表示的最高阶数有时不统一，
经济学中常用到的是以下标表示的差分方程，因此，遇到用
Δ表示的差分方程时，常把它化为以下标表示的差分方程，
然后再确定其阶数。
例如 yt +5-yt +3yt +2=0是 3 阶差分方程。
Δ2yt +Δyt=0是
1阶差分方程。
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例如，可以验证，函数yt=-2t+C(C为任意常数)是差分方程 yt+1-yt=-2的通解。而满足初始条件y0=1的特解为 yt 1 2t 。
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三、一阶常系数线性差分方程 一般的的差分方程难以找到统一的方法，下面考虑一种特
殊的差分方程——一阶常系数线性差分方程。 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 yt+1+ayt=f(t) t=0,1,2, …
性质4 yt zt yt yt zt
zt
zt zt1
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二、差分方程的基本概念
含有未知函数的导数的方程为微分方程，类似地可定义差
分方程：
定义 含有自变量、未知函数及其差分的方程称为(常)
差分方程，出现在差分方程中的yi的下标的最大值与最小值之 差 (或用Δ表示时差分的最高阶数)称为差分方程的阶。
与微分方程类似，非齐次差分方程的求解是通过它对应 的齐次差分方程的解求得的。非齐次差分方程对应的常系数齐 次线性差分方程为
yt++ayt=0 t=0,1,2, … 下面先考虑齐次差分方程的求解。
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Δyt+1= yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)； Δyt+2= yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)；
……… 由此可以看出，函数的一阶差分为(函)数列形式。
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一阶差分表示函数的改变量，一阶微分(由于Δt=1，微分 就等于导数)可看作它的近似，相对于二阶导数，可定义二阶 差分。
一般地，可依次定义k阶差分：
k
k yt ( 1)i Cki ytki
i0
ytk
kytk1
(1)k
yt
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2、差分的性质
为讨论需要，下面介绍差分的性质，大家可把它们与导数
的相应结果作对比。
性质1 若a为常数，则Δa=0。
性质2(线性性质) 若a、b为常数，则有
Δ(ayt +bzt)=Δayt +Δbzt 性质3 Δ(yt zt)=ztΔyt +yt+1 Δzt =zt+1Δyt +yt Δzt
Ⅰ f(t)=Pm(t)=a0tm+a1tm-1+…+am 若a≠-1，则特解的形式为y*t =b0tm+b1tm-1+…+bm ； 若a=-1，则特解的形式为y*t =t(b0tm+b1tm-1+…+bm)。
例 求差分方程yt+1-2yt=t的通解。
练习 求差分方程yt+1-yt=2t的通解。 答案 yt=C+t2-t 。
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Ⅱ f(t)=Pm(t)bt=(a0tm+a1tm-1+…+am )bt，且b≠1 若a≠-b，则特解的形式为y*t =(b0tm+b1tm-1+…+bm )bt ； 若a=-b，则特解的形式为y*t =t(b0tm+b1tm-1+…+bm)bt；
例 求差分方程yt+1+yt=3t的通解。
通过逐次迭代的方法容易得到：
1. 齐次方程的解
定理 差分方程yt+1+ayt=0 t=0,1,2, …的通解为
yt=C(-a)t t=0,1,2, …
其中C为任意常数。 例如，差分方程2yt+1+yt=0的通解为
yt
C( 1)t 2
。
与微分方程的情况类似，有以下结果：
一阶常系数非齐次线性差分方程
yt+1+ayt=f(t) t=0,1,2, …
与微分方程的情况类似，差分方程的有关解的一些定义如 下:
定义 若将函数yt=f(t)代入差分方程使其成为恒等式，则称 函数yt=f(t)为此差分方程的解。对n阶差分方程，若它的解中含 有n个(独立的)任意常数，则称这样的解为n阶差分方程的通 解。
为确定具体的函数解，需要给出一些条件，这样的条件称 为定解条件。若定解条件是在某些初始时刻的函数值，则称这 样的条件为初始条件。满足定解条件的具体的解(不含任意常 数)称为差分方程的特解。
①
对应的齐次差分方程为
yt+1+ayt=0 t=0,1,2, …
②
定理 方程②的通解为yt=C(-a)t，若y*t为①的一个特解，则
①的通解为yt=C(-a)t + y*t 。
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2. 非齐次方程的解 yt+1+ayt=f(t) 下面对f(t)讨论，求非齐次方程的特解，从而求其通解。
练习
求差分方程 2 yt1
yt
3 2t
的通解。
0
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一、差分的概念及其性质 1、差分的概念 定义 设函数yt=f(t)的定义域为非负整数，其自变量t(通常
表示时 间)取非负整数得到数列： y0=f(0)，y1=f(1)，…，yt=f(t)，…
称yt+1-yt为函数yt的一阶差分，记为Δyt，即Δyt= yt+1-yt 。 由定义可知， Δyt= yt+1-yt=f(t+1)-f(t)；
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§7.6 差分方程初步 在经济与管理的实际问题中，经济数据大多是以等间隔 时间统计的。例如，国民收入、工农业总产值等按年统计， 产品产量、商品销售收入和利润等按月统计。由于这个原 因，在研究分析实际经济与管理问题时，各有关经济变量的 取值是离散变化的。描述各级经济变量之间变化规律的数学 模型是离散型的数学模型。差分方程就是一类最常见的离散 型数学模型。 这一节主要讨论差分方程的求解，重点是一阶常系数线 性差分方程的求解。我们首先介绍差分的概念。
定义 函数yt=f(t)一阶差分的差分称为其二阶差分，记为 Δ2yt= Δyt+1-Δyt =yt+2-2yt+1+yt 。
例如，对y=t2+2t，有Δyt = 2t 3 。Δ2yt = 2。 类似地，可以定义三阶差分：
Δ3yt= Δ2yt+1-Δ2yt = yt+3-3yt+2+3yt+1-yt 。
以下标定义的阶数与用Δ表示的最高阶数有时不统一，
经济学中常用到的是以下标表示的差分方程，因此，遇到用
Δ表示的差分方程时，常把它化为以下标表示的差分方程，
然后再确定其阶数。
例如 yt +5-yt +3yt +2=0是 3 阶差分方程。
Δ2yt +Δyt=0是
1阶差分方程。
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例如，可以验证，函数yt=-2t+C(C为任意常数)是差分方程 yt+1-yt=-2的通解。而满足初始条件y0=1的特解为 yt 1 2t 。
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三、一阶常系数线性差分方程 一般的的差分方程难以找到统一的方法，下面考虑一种特
殊的差分方程——一阶常系数线性差分方程。 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 yt+1+ayt=f(t) t=0,1,2, …
性质4 yt zt yt yt zt
zt
zt zt1
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二、差分方程的基本概念
含有未知函数的导数的方程为微分方程，类似地可定义差
分方程：
定义 含有自变量、未知函数及其差分的方程称为(常)
差分方程，出现在差分方程中的yi的下标的最大值与最小值之 差 (或用Δ表示时差分的最高阶数)称为差分方程的阶。