差分方程方法分析
差分方程的解法分析及MATLAB实现(程序)
差分方程的解法分析及MATLAB 实现（程序）摘自：张登奇,彭仕玉.差分方程的解法分析及其MATLAB 实现[J]. 湖南理工学院学报.2014(03) 引言线性常系数差分方程是描述线性时不变离散时间系统的数学模型,求解差分方程是分析离散时间系统的重要内容.在《信号与系统》课程中介绍的求解方法主要有迭代法、时域经典法、双零法和变换域法[1].1 迭代法例1 已知离散系统的差分方程为)1(31)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y ,激励信号为)()43()(n u n x n =,初始状态为21)2(4)1(=-=-y y ，.求系统响应. 根据激励信号和初始状态,手工依次迭代可算出2459)1(,25)0(==y y . 利用MATLAB 中的filter 函数实现迭代过程的m 程序如下:clc;clear;format compact;a=[1,-3/4,1/8],b=[1,1/3,0], %输入差分方程系数向量,不足补0对齐n=0:10;xn=(3/4).^n, %输入激励信号zx=[0,0],zy=[4,12], %输入初始状态zi=filtic(b,a,zy,zx),%计算等效初始条件[yn,zf]=filter(b,a,xn,zi),%迭代计算输出和后段等效初始条件2 时域经典法用时域经典法求解差分方程:先求齐次解；再将激励信号代入方程右端化简得自由项,根据自由项形式求特解；然后根据边界条件求完全解[3].用时域经典法求解例1的基本步骤如下.（1）求齐次解.特征方程为081432=+-αα,可算出41 , 2121==αα.高阶特征根可用MATLAB 的roots 函数计算.齐次解为. 0 , )41()21()(21≥+=n C C n y n n h （2）求方程的特解.将)()43()(n u n x n =代入差分方程右端得自由项为 ⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅==-⋅+-1,)43(9130 ,1)1()43(31)()43(1n n n u n u n n n 当1≥n 时,特解可设为n p D n y )43()(=,代入差分方程求得213=D . （3）利用边界条件求完全解.当n =0时迭代求出25)0(=y ,当n ≥1时,完全解的形式为 ,)43(213 )41()21()(21n n n C C n y ⋅++=选择求完全解系数的边界条件可参考文[4]选)1(),0(-y y .根据边界条件求得35,31721=-=C C .注意完全解的表达式只适于特解成立的n 取值范围,其他点要用)(n δ及其延迟表示,如果其值符合表达式则可合并处理.差分方程的完全解为)(])43(213 )41(35)21(317[)1(])43(213 )41(35)21(317[)(25)(n u n u n n y n n n n n n ⋅+⋅+⋅-=-⋅+⋅+⋅-+=δ MATLAB 没有专用的差分方程求解函数,但可调用maple 符号运算工具箱中的rsolve 函数实现[5],格式为y=maple('rsolve({equs, inis},y(n))'),其中:equs 为差分方程表达式, inis 为边界条件,y(n)为差分方程中的输出函数式.rsolve 的其他格式可通过mhelp rsolve 命令了解.在MATLAB 中用时域经典法求解例1中的全响应和单位样值响应的程序如下.clc;clear;format compact;yn=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=(3/4)^n+1/3*(3/4)^(n-1),y(0)=5/2,y(-1)=4},y(n))'),hn=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=0,y(0)=1,y(1)=13/12},y(n))'),3 双零法根据双零响应的定义,按时域经典法的求解步骤可分别求出零输入响应和零状态响应.理解了双零法的求解原理和步骤,实际计算可调用rsolve 函数实现.yzi=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=0,y(-1)=4, y(-2)=12},y(n))'),yzs=maple('rsolve({y(n)-3/4*y(n-1)+1/8*y(n-2)=(3/4)^n+1/3*(3/4)^(n-1),y(0)=1,y(-1)=0},y(n))'),4 变换域法设差分方程的一般形式为)()(00r n x b k n y a r Mr k N k -=-∑∑==.对差分方程两边取单边z 变换,并利用z 变换的位移公式得])()([])()([1010m r m r r M r l k l k k N k z m x z X z b z l y z Y z a ---=-=---=-=∑∑∑∑+=+整理成)()()()()()(00z X z X z B z Y z Y z A +=+形式有. )(, )(110110M M N N z b z b b z B z a z a a z A ----+++=+++=. )()(, )()(110110∑∑∑∑=--=--=--=--==M r r m m r r N k k l l k k z m x b s X zl y a s Y可以看出,由差分方程可直接写出 )(z A 和 )(z B ,系统函数)(/)()(z A z B z H =,将系统函数进行逆z 变换可得单位样值响应.由差分方程的初始状态可算出 )(0z Y ,由激励信号的初始状态可算出 )(0z X ,将激励信号进行z 变换可得 )(z X ,求解z 域代数方程可得输出信号的象函数 , )()()()()()(00z A z Y z X z X z B z Y -+= 对输出象函数进行逆z 变换可得输出信号的原函数)(n y .利用z 变换求解差分方程各响应的步骤可归纳如下:（1）根据差分方程直接写出 )(z A 、 )(z B 和)(z H ,)(z H 的逆变换即为单位样值响应；（2）根据激励信号算出 )(z X ,如激励不是因果序列则还要算出前M 个初始状态值；（3）根据差分方程的初始状态 )(, ),2( ),1(N y y y -⋅⋅⋅--和激励信号的初始状态 )(, ),2( ),1(M x x x -⋅⋅⋅--算出 )(0z Y 和 )(0z X ；（4）在z 域求解代数方程)()()()()()(00z X z X z B z Y z Y z A +=+得输出象函数 )(z Y , )(z Y 的逆变换即为全响应；（5）分析响应象函数的极点来源及在z 平面中的位置,确定自由响应与强迫响应,或瞬态响应与稳态响应；（6）根据零输入响应和零状态响应的定义,在z 域求解双零响应的象函数,对双零响应的象函数进行逆z 变换,得零输入响应和零状态响应.用变换域法求解例1的基本过程如下. 根据差分方程直接写出2181431 )(--+-=z z z A ,1311 )(-+=z z B .系统函数的极点为41,21. 对激励信号进行z 变换得)43/( )(-=z z z X .激励象函数的极点为3/4. 根据差分方程的初始状态算出102123 )(-+-=z z Y .根据激励信号的初始状态算出 0)(0=z X . 对z 域代数方程求解,得全响应的象函数)323161123/()83243125( )(2323-+-+-=z z z z z z z Y . 进行逆z 变换得全响应为)(])43(213 )41(35)21(317[)(n u n y n n n ⋅+⋅+⋅-= 其中,与系统函数的极点对应的是自由响应;与激励象函数的极点对应的是强迫响应. )(z Y 的极点都在z 平面的单位圆内故都是瞬态响应.零输入响应和零状态响应可按定义参照求解.上述求解过程可借助MATLAB 的符号运算编程实现.实现变换域法求解差分方程的m 程序如下: clc;clear;format compact;syms z n %定义符号对象% 输入差分方程、初始状态和激励信号%a=[1,-3/4,1/8],b=[1,1/3], %输入差分方程系数向量y0=[4,12],x0=[0], %输入初始状态,长度分别比a 、b 短1,长度为0时用[]xn=(3/4)^n, %输入激励信号,自动单边处理,u(n)可用1^n 表示% 下面是变换域法求解差分方程的通用程序，极点为有理数时有解析式输出 %N=length(a)-1;M=length(b)-1;%计算长度Az=poly2sym(a,'z')/z^N;Bz=poly2sym(b,'z')/z^M;%计算A(z)和B(z)Hz=Bz/Az;disp('系统函数H(z):'),sys=filt(b,a),%计算并显示系统函数hn=iztrans(Hz);disp('单位样值响应h(n)='),pretty(hn),%计算并显示单位样值响应Hzp=roots(a);disp('系统极点:');Hzp,%计算并显示系统极点Xz=ztrans(xn);disp('激励象函数X(z)='),pretty(Xz),%激励信号的单边z 变换Y0z=0;%初始化Y0(z),求Y0(z)注意系数标号与变量下标的关系for k=1:N;for l=-k:-1;Y0z = Y0z+a(k+1)*y0(-l)*z^(-k-l);endenddisp('初始Y0(z)'),Y0z,%系统初始状态的z 变换X0z=0;%初始化X0(z),求X0(z)注意系数标号与变量下标的关系for r=1:M;for m=-r:-1;X0z = X0z+b(r+1)*x0(-m)*z^(-r-m);endenddisp('初始X0(z)'),X0z,%激励信号起始状态的z 变换Yz=(Bz*Xz+X0z-Y0z)/Az;disp('全响应的z 变换Y(z)'),pretty(simple(Yz)),yn=iztrans(Yz);disp('全响应y(n)='),pretty(yn),% 计算并显示全响应Yziz=-Y0z/Az;disp('零输入象函数Yzi(z)='),pretty(Yziz),%零激励响应的z 变换yzin=iztrans(Yziz);disp('零输入响应yzi(n)='),pretty(yzin),% 计算并显示零输入响应 Yzsz=(Bz*Xz+X0z)/Az;disp('零状态象函数Yzs(z)='),pretty(Yzsz),%零状态响应的z 变换yzsn=iztrans(Yzsz);disp('零状态响应yzs(n)='),pretty(yzsn),% 计算并显示零状态响应该程序的运行过程与手算过程对应,显示在命令窗的运行结果与手算结果相同.。
差分方程简介
差分方程简介
汇报人：
contents
目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
考研数学重难点之二阶常系数线性非齐次差分方程的通解分析
2018考研数学重难点之二阶常系数线性非齐次差分方程的通解分析
差分方程除了用于对离散变量建立离散数学模型外，也可用于将连续变量及其连续数学模型离散化，换句话说，就是将微分方程离散化为差分方程，这对于难以求出精确解的微分方程来说具有重要的作用，事实上微分方程的数值解法就是如此，它通过差分方程来求出微分方程的近似解。
下面本文对二阶常系数线性非齐次差分方程的求解方法做些分析总结，供有兴趣的2018考研的同学拓展思路参考。
一、二阶常系数线性非齐次差分方程的通解
从前面的分析我们看到，二阶常系数线性非齐次差分方程的通解与二阶常系数线性非齐次微分方程的通解有非常相似的结论，比如其通解都是其特解与对应齐次方程的通解之和，而齐次方程的通解可以通过特征根求出，对于几类常见的自由项blob.png类型，包括：多项式、指数函数及二者乘积，其相应差分方程的特解也与微分方程的情形很类似，当然，二者还是有有些差别的，这一点希望大家注意。
Z3.3 差分方程的经典解法
N
10.1(1 0.01)9 101(1 0.01)9 100
1.06(万元)
9
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
例3 某人向银行贷款M=10万元，月利率β=1%，他定 期于每月初还款数为f(k)，尚未还清的款数为y(k)，列 出y(k)的方程。如果他从贷款后第一个月(可设为k=0) 还款N，则有f(k)=Nε(k)万元和y(-1)=M=10万元。
(1) 如每月还款N=0.5万元，求y(k)。
(2) 他还清贷款需要几个月？
3.齐次解的常用函数形式(p.74)
表3-1 不同特征根所对应的齐次解
特征根 单实根 2重实根 一对共轭复根
1，2＝a jb e j
齐次解yh (k) Ck
(C1k C0 ) k k[C cos( k) D sin( k)]或A k cos( k )
其中Ae j C jD
4.特解的常用函数形式(p.74)
已知y(0)=0，y(1)= –1；f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。
解：特征根： λ1=λ2= –2
（how？）
设齐次解：yh(k)=(C1k+C2) (–2)k
设特解为：yp(k)=P (2)k , k≥0，代入得：P =1/4
故全解为：y(k)= yh+yp = (C1k+C2) (–2)k+2k–2, k≥0
特征根为1+an-1λ–1 + … +a0λ–n=0 的根λi(i=1，2，…， n)，由特征根可以设定齐次解的函数形式。
特解的函数形式与激励的函数形式有关。
3
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
差分方程及其稳定性分析
差分方程及其稳定性分析随着科技的不断发展和应用，数学作为一门基础学科，得到了越来越广泛的应用。
其中，差分方程作为一种离散化的微积分，被广泛地运用于电子、天文、生物、经济等领域中的模型计算和分析。
本文将介绍差分方程的基本概念和常见类型，以及如何对其进行稳定性分析。
一、差分方程的基本概念差分方程是指在内插点上的函数值之间的关系方程，其通常形式为：$$x_{n+1} = f(x_n)$$其中，$x_{n}$ 表示第 $n$ 个内插点的函数值，$f$ 是描述$x$ 的随时间变化关系的任意函数。
当然，差分方程还可以有更多的变量和函数，形式也可以更加复杂。
二、差分方程的类型根据差分方程的形式和特征，可将其分为以下几种类型：1、线性差分方程线性差分方程的一般形式为：$$x_{n+1} = ax_n+b$$其中，$a,b$ 为常数，$x_n$ 为第 $n$ 个内插点的函数值。
线性差分方程的求解可以采用常数变易法、特征方程法、生成函数法等多种方法。
2、非线性差分方程非线性差分方程是指其中的关系函数 $f$ 不是线性函数。
一般来说，非线性差分方程更难于求解。
3、线性递推方程线性递推方程是指卷积和形式的一类差分方程。
其形式为：$$x_{n+k} = a_1x_{n+k-1} + a_2x_{n+k-2} + \cdots + a_kx_n$$其中，$a_1,a_2,\cdots,a_k$ 为常数。
三、稳定性分析差分方程作为一种离散化的微积分，常常代表系统的动态演化过程。
因此，判断差分方程的解在过程中是否保持稳定性非常重要。
下面将介绍两种常见的差分方程稳定性分析方法。
1、线性稳定性分析法线性稳定性分析法是指对线性差分方程的解进行稳定性分析。
对于一般型的线性差分方程：$$\Delta x_{n+1} = a\Delta x_n$$其中，$\Delta x_n = x_{n+1} - x_n$，$a$ 为常数。
通过求解特征方程 $r-1=ar$，求得 $a$ 的值，便可判断差分方程解的稳定性。
差分方程的解法分析及MATLAB实现
差分方程的解法分析及MATLAB实现差分方程是描述离散时序系统行为的数学工具。
在离散时间点上，系统的行为由差分方程给出，这是一个递归方程，其中当前时间点的状态取决于之前的状态和其他外部因素。
解差分方程的方法可以分为两类：直接解法和转化为代数方程的解法。
直接解法通过求解差分方程的递归形式来得到解析或数值解。
转化为代数方程的解法则将差分方程转化为代数方程进行求解。
一、直接解法的步骤如下：1.将差分方程表示为递归形式，即将当前时间点的状态表示为之前时间点的状态和其他外部因素的函数。
2.根据初始条件，确定初始时间点的状态。
3.根据递归形式，计算出后续时间点的状态。
以下是一个简单的差分方程的例子：y(n)=2y(n-1)+1，其中n为时间点。
按照上述步骤求解该差分方程：1.将差分方程表示为递归形式：y(n)=2y(n-1)+12.根据初始条件，假设y(0)=1，确定初始时间点的状态。
3.根据递归形式，计算出后续时间点的状态：y(1)=2y(0)+1=2*1+1=3y(2)=2y(1)+1=2*3+1=7y(3)=2y(2)+1=2*7+1=15...依此类推计算出所有时间点的状态。
二、转化为代数方程的解法的步骤如下：1.假设差分方程的解具有指数形式，即y=r^n，其中r为待定参数。
2.将差分方程代入上述假设中，得到r的方程。
3.解得r的值后，再根据初始条件求解出常数值。
4.得到差分方程的解析解。
以下是一个复杂一些的差分方程的例子：y(n)=2y(n-1)+3y(n-2)，其中y(0)=1，y(1)=2按照上述步骤求解该差分方程：1.假设差分方程的解具有指数形式：y=r^n。
2.代入差分方程得到：r^n=2r^(n-1)+3r^(n-2)。
3.整理得到：r^2-2r-3=0。
4.解得r的值为：r1=-1，r2=35.根据初始条件求解出常数值：y(0)=c1+c2=1，y(1)=c1-c2=2、解得c1=1.5，c2=-0.56.得到差分方程的解析解：y(n)=1.5*(-1)^n+-0.5*3^n。
差分运算方法[003]
![差分运算方法[003]](https://img.taocdn.com/s3/m/b9c32b9db1717fd5360cba1aa8114431b90d8e2b.png)
差分运算方法差分运算方法是一种常用的数学工具，可用于求解差分方程或对数据序列进行分析和预测。
本文将详细介绍差分运算方法的原理、步骤以及应用范围。
通过学习本文，读者将能够掌握差分运算方法的基本概念和使用技巧。
差分运算方法是通过计算数据序列的差分值来实现的。
一阶差分表示相邻两个数据之间的差值，二阶差分表示一阶差分的差值。
差分运算方法可以将原始数据转化为差分序列，从而揭示数据序列的变化趋势和规律。
1. 收集数据：首先，我们需要收集相关的原始数据。
这些数据可以是时间序列数据、统计数据或其他有规律的数据。
2. 计算一阶差分：将收集到的原始数据按照时间先后顺序排列，然后计算相邻两个数据之间的差值。
具体计算方法为当前数据减去前一个数据。
得到一阶差分序列。
3. 计算二阶差分：将一阶差分序列按照相同的方法计算得到二阶差分序列。
4. 分析差分序列：通过对差分序列的统计分析、图表展示等方法，可以识别出其中的规律、趋势和异常点。
5. 预测或还原原始数据：根据对差分序列的分析结果，可以进行数据的预测或还原。
预测时可以使用差分序列的规律进行推断，还原时则利用差分序列与原始数据之间的关系进行计算。
三、差分运算方法的应用范围差分运算方法广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：1. 经济学：差分运算方法可用于经济数据的趋势分析和预测，如GDP增速、股票价格变化等。
2. 自然科学：差分运算方法可用于分析自然现象，如气象数据的周期性变化、地震活动的趋势等。
3. 信号处理：差分运算方法可用于信号处理领域，如音频、视频的差分编码等。
4. 金融工程：差分运算方法可用于金融数据的建模和预测，如股票收益率的变化趋势、利率曲线的形态等。
5. 数据挖掘：差分运算方法可用于数据挖掘中的特征提取和异常检测，如时间序列数据的周期性分析、离群点识别等。
差分运算方法是一种实用的数学工具，能够帮助我们从数据中找到有用的信息和规律。
通过计算一阶差分和二阶差分，我们可以获得差分序列，进而进行数据的分析和预测。
差分方程模型的稳定性分析
摘要I
AbstractII
目录III
引言1
1、差分方程的定义及其分类1
（1）差分算子：1
2.差分方程的求解与稳定性判断方法:2
（1）差分方程的求解：2
摘 要
微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。
（2)差分方程：
定义2：含有未知函数及未知函数差分的等式，我们称为差分方程，它的一般表达形式为：
由（1）与（2）的关系，可以将阶数为 的差分方程写为
或者
我们称 不显含 时的方程为自治差分方程。形如 表示一阶差分方程； 表示n阶差分方程。
（2）差分方程的分类：
差分方程可以分为两大类：其一为线性差分方程，它是指当 是 的线性函数时，称 为线性差分方程；也就是说 的次数都为 ，其二为非线性差分方程，它是指当 是 的非线性函数时，称 为非线性差分方程。显而易见，非线性差分方程求解比线性差分方程求解复杂，因此它的解的性态也比较难分析，本文我们只研究线性差分方程解的性态。
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常系数线性差分方程； 差分方程的平衡点及其稳定性；
连续模型的差分方法； 案例分析
2
2017 9月 2017 年年 9月 1919 日日
一 .常系数线性差分方程
1.常系数线性齐次差分方程
常系数线性齐次差分方程的一般形式为
xn a1 xn1 a2 xn2 ak xnk 0 (1) 其中 k 为差分方程的阶数， ai (i 1,2,, k ) 为差分方 程的系数，且 ak 0(k n) 。
1. 微分的差分方法
问题：已知 f ( x) 在点 xk 处的函数值 f ( xk )(k 0,1,, n 1) ，且
a x0 x1 xn1 b ，试求函数的导数值 f ( xk )(k 1,2,, n) 。
用差商代替微商，则有
f ( xk 1 ) f ( xk ) 向前差： f ( xk ) (k 1,2,, n) xk 1 xk f ( xk ) f ( xk 1 ) 向后差： f ( xk ) (k 1,2,, n) xk xk 1
b
a
n 1 h n1 h f ( x)dx f ( x k ) f ( x k 1) f (a) 2 f ( x k ) f (b) 2 k 0 2 k 1
类似地： 复化辛甫生（Simpson）公式; 复化柯特斯（Cotes）公式等。 （详见教材）
f ( xk 1 ) f ( xk 1 ) 中心差： f ( xk ) (k 1, 2,, n) xk 1 xk 1
13 2017 年 9 月 19日 2017 年9 月 19 日
三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
问题：已知 f ( x) 在点 xk 处的函数值 f ( xk )(k 0,1,, n) ， 且在 [a, b] 上可积，试求 f ( x) 在 [a, b] 上的积分值
四、案例:市场经济中的蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格.
消费者的需求关系
生产者的供应关系
y y0 0
需求函数 yk f ( xk )
减函数
供应函数 xk 1 h( yk ) 增函数
yk g ( xk 1 )
f g P0 x0
f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0,
P0是稳定平衡点
y y2 f P3 P2 P0 g P4 y
P0是不稳定平衡点
P3 f g P4
曲线斜率
y0 y3 y1 0
K f Kg
P1 x1 x
y0
0
P2 x0
P0
P1
K f Kg
x
x2 x0 x3
19
2017年9月19日
四、案例:市场经济中的蛛网模型
方程模型
在P0点附近用直线近似曲线
x
xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
18 2017年9月19日
四、案例:市场经济中的蛛网模型
蛛网模型
设x1偏离x0
yk f ( xk ) xk 1 h( yk )
yk g ( xk 1 )
x1 y1 x2 y2 x3 xk x0 , yk y0 xk x0 , yk y0 P P P P P P P P0 1 2 3 1 2 3 0
ba h 为很小的数，则有常用的求积公式： n
(1)复化的梯形公式：
n 1
b
a
f ( x ) dx h
k 0
1 f a (k )h 2
15 2017 年 9 月 19日 2017 年9 月 19 日
三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
（2）复化梯形公式：
如果 lim xk x ，则称平衡点
* k
x
*
是稳定的，否则是不稳定的。
研究平衡点 x 的稳定性问题，只需要研究 xk 1 axk
*
0
的平衡点 x ＝０的稳定性问题。则 x 要条件是：
*
*
a 1。
0 是稳定的平衡点的充
2017 9月 2017 年年 9月 1919 日日
9
三 连续模型的差分方法
对应代数方程:
a1
k
k 1
a2
k 2
ak 0
称为差分方程(1)的特征方程，其特征方程的根 称为特征根。
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2017年9月19日
2017年9月19日
一 .常系数线性差分方程
2.常系数线性非齐次差分方程
常系数线性非齐次差分方程的一般形式 :
xn a1 xn1 a2 xn2 ak xnk f (n) (2) 其中 k 为差分方程的阶数，ai (i 1,2,, k ) 为差分
yk f ( xk )
yk y0 ( xk x0 ) ( 0) xk 1 x0 ( yk y0 ) ( 0)
16 2017 年 月 19 日 2017 年 99 月 19 日四、案例:市场经济中的蛛网模型供大于求价格下降
数量与价格在振荡
减少产量
现 象
增加产量
价格上涨
供不应求
问 题 • 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定?
• 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?
17 2017年9月19日
• 描述商品数量与价格的变化规律.
根据定义，则有一般的求积公式:
b
a
f ( x)dx 。
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
其中 Ak 为求积系数，它与 xk 的选取方法有关。
14 2017 9月 2017 年年 9月 1919 日日
三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
一般取等距节点 xk a kh(k 0,1,, n) ，其中
方程的系数， ak 0(k n) ， f (n) 为已知函数。
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2017 年 9 月 19日 2017 年9 月 19 日
二 差分方程的平衡点及其稳定性
1. 一阶线性常系数差分方程的平衡点
一阶线性常系数差分方程的一般形式 :
xk 1 axk b, k 0,1,2, * 它的平衡点为 x ax b 的解，不妨记为 x 。