差分方程方法
第三章差分方程方式
第三章 差分方程方式差分方程的平稳点及其稳固性设有未知序列{}n x ，称0),,,;(1=++k n n n x x x n F为k 阶差分方程。
假设有)(n x x n =，知足0))(,),1(),(;(=++k n x n x n x n F那么称)(n x x n =是差分方程的解，包括k 个任意常数的解称为的通解，110,,,-k x x x 为已知时，称其为的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确信后的解称为的特解。
形如)()()(11n f x n a x n a x n k k n k n =+++-++的差分方程，称为k 阶线性差分方程。
)(n a i 为已知系数，且0)(≠n a k 。
假设差分方程中的0)(=n f ，那么称差分方程为k 阶齐次线性差分方程，不然称为k 阶非齐次线性差分方程。
假设有常数α是差分方程的解，即0),,,;(=ααα n F ，那么称α是差分方程的平稳点，又对差分方程的任意由初始条件确信的解)(n x x n =，都有)(∞→→n x n α，那么称那个平稳点α是稳固的。
若110,,,-k x x x 已知，那么形如),,,;(11-+++=k n n n k n x x x n g x 的差分方程的解能够在运算机上实现。
下面给出理论上需要的一些特殊差分方程的解。
一阶常系数线性差分方程b x x n n =++α1，（其中b ,α为常数，且0,1-≠α）的通解为)1()(++-=a b C x n n α易知)1(+αb 是方程的平稳点，由式知，当且仅当1<α时，)1(+αb 是稳固的平稳点。
二阶常系数线性差分方程r bx x x n n n =++++12α，其中r b a ,,为常数，当0=r 时，它有一特解0*=x ；当0≠r ，且01≠++b a 时，它有一特解)1(*++=b a r x 。
不管是哪一种情形，*x 是方程的平稳点。
差分方程解法及其在离散系统中的应用
差分方程解法及其在离散系统中的应用差分方程是数学中一类重要的离散数学方程，广泛应用于动态系统建模和离散事件系统的分析。
本文将介绍差分方程的解法以及它在离散系统中的应用。
一、差分方程的定义和基本概念差分方程是一种以离散形式描述系统变化的数学方程。
其基本形式为：Δyₙ = f(n, yₙ₋₁)其中，Δyₙ为相邻两个时刻n和n-1之间y的变化量，f(n, yₙ₋₁)为给定时刻n和n-1之间的函数关系。
二、差分方程求解的方法对于简单的差分方程，可以直接通过迭代求解。
例如，对于一阶线性差分方程：Δyₙ = k其中，k为常数。
可以通过重复应用这一关系求解，即：yₙ = y₀ + kₙ其中，y₀为初始条件，kₙ为Δyₙ在不同时刻的取值。
对于更复杂的差分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法可以通过将差分方程转化为递推方程，并利用数值计算得到近似解。
三、离散系统中差分方程的应用1. 经济学中的应用差分方程可以用来描述经济系统中的离散变化。
例如，经济增长模型中的劳动力增长率、资本积累速度等，都可以通过差分方程来建模和分析。
2. 自然科学中的应用差分方程在物理学、生态学等自然科学领域中也有广泛的应用。
例如，天体运动、人口增长、物种竞争等系统的演化过程都可以用差分方程来描述和预测。
3. 计算机科学中的应用差分方程在计算机科学中的应用也是十分重要的。
例如，计算机网络中数据包的传输、媒体数据的压缩等问题，都可以通过差分方程来建模和解决。
四、差分方程解法的局限性和改进方法虽然差分方程是一种有效的数学工具，但其在一些特殊情况下存在局限性。
例如，对于非线性和高阶差分方程，常常难以求得解析解。
此时，可以利用数值方法进行近似求解，或者采用数值优化算法寻找最佳解。
总结：差分方程是一种重要的离散数学工具，广泛用于动态系统建模和离散事件系统的分析。
通过合适的差分方程求解方法，可以有效地描述和预测各种离散变化的系统。
差分方程方法总结
a1
k
k 1
a2
k 2
ak 0
称为差分方程(1)的特征方程，其特征方程的根 称为特征根。
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一 .常系数线性差分方程
2.常系数线性非齐次差分方程
常系数线性非齐次差分方程的一般形式:
xn a1 xn1 a2 xn2 ak xnk f (n) (2) 其中 k 为差分方程的阶数，ai (i 1,2,, k ) 为差分
方程的系数， ak 0(k n) ， f (n) 为已知函数。
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二 差分方程的平衡点及其稳定性
1. 一阶线性常系数差分方程的平衡点
一阶线性常系数差分方程的一般形式:
xk 1 axk b, k 0,1,2, * 它的平衡点为 x ax b 的解，不妨记为 x 。
f ( xk 1 ) f ( xk 1 ) 中心差： f ( xk ) (k 1, 2, xk 1 xk 1
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, n)
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三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
问题：已知 f ( x) 在点 xk 处的函数值 f ( xk )(k 0,1,, n) ， 且在 [a, b] 上可积，试求 f ( x) 在 [a, b] 上的积分值
根据定义，则有一般的求积公式:
b
a
f ( x)dx 。
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
求解差分方程的三种基本方法
求解差分方程的三种基本方法一、引言差分方程是数学中的一种重要的方程类型，它描述了随时间变化的某一物理量的变化规律。
求解差分方程是数学中的一个重要问题，本文将介绍求解差分方程的三种基本方法。
二、递推法递推法是求解差分方程最常用的方法之一。
递推法的基本思想是从已知条件开始，通过不断地递推求出未知条件。
具体步骤如下：1. 将差分方程转化为递推关系式。
2. 根据已知条件确定初始值。
3. 通过递推关系式不断计算出后续值，直到得到所需的未知条件。
4. 验证得到的结果是否符合原来的差分方程。
三、特征根法特征根法也称为特征值法或本征值法，它是求解线性齐次差分方程最常用的方法之一。
特征根法的基本思想是通过求解差分方程对应齐次线性常系数微分方程所对应的特征方程来得到其通解。
具体步骤如下：1. 将差分方程转化为对应齐次线性常系数微分方程。
2. 求出该微分方程对应的特征方程。
3. 求解特征方程得到其特征根。
4. 根据特征根求出微分方程的通解。
5. 将通解转化为差分方程的通解。
四、拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是求解非齐次差分方程最常用的方法之一。
拉普拉斯变换法的基本思想是将差分方程转化为对应的积分方程，并通过求解积分方程来得到其通解。
具体步骤如下：1. 对差分方程进行拉普拉斯变换，将其转化为对应的积分方程。
2. 求解积分方程得到其通解。
3. 对通解进行反变换，得到差分方程的通解。
五、总结本文介绍了求解差分方程的三种基本方法：递推法、特征根法和拉普拉斯变换法。
其中递推法适用于求解线性或非线性齐次或非齐次差分方程；特征根法适用于求解线性齐次差分方程；而拉普拉斯变换法则适用于求解非齐次差分方程。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。
(完整版)差分方程的常见解法
(完整版)差分方程的常见解法差分方程的常见解法差分方程是数学中的一种重要方程类型，常用于描述离散事件系统的发展规律。
在求解差分方程时，我们可以采用以下几种常见的解法。
1. 直接求解法直接求解法是最简单且常用的差分方程求解方法之一。
它的基本思想是通过观察差分方程的规律，找到解的形式，并通过代入验证得到确切的解。
举例来说，对于一阶线性差分方程$y_{n+1} = ay_n + b$，我们可以猜测解的形式为$y_n = c\lambda^n$，其中$c$和$\lambda$为待定常数。
将此解代入方程，再通过已知条件解得$c$和$\lambda$的值，从而得到原差分方程的解。
2. 特征方程法特征方程法是一种常用于求解线性齐次差分方程的方法。
对于形如$y_{n+2} = ay_{n+1} + by_n$的差分方程，我们可以通过构造特征方程来求解。
具体步骤是，我们将差分方程中的项移动到一边，得到$y_{n+2} - ay_{n+1} - by_n = 0$。
然后，假设解的形式为$y_n =\lambda^n$，将其代入方程，得到特征方程$\lambda^2 - a\lambda - b = 0$。
解这个特征方程，得到特征根$\lambda_1$和$\lambda_2$，然后通解的形式为$y_n = c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n$，其中$c_1$和$c_2$为待定常数。
3. Z 变换法Z 变换法是一种广泛应用于差分方程求解的方法，特别适用于线性时不变差分方程。
该方法的基本思想是将差分方程转化为代数方程，并利用 Z 变换的性质求解。
对于差分方程$y_{n+1} = ay_n + b$，通过取 Z 变换，我们可以得到转化后的方程$Y(z) = azY(z) + b \frac{1}{1 - z^{-1}}$，其中$Y(z)$代表$y_n$的Z 变换。
然后，将方程整理，求解得到$Y(z)$，再通过反 Z 变换将其转换为差分方程的解$y_n$。
第3章差分方程方法
第三章差分方程方法在实质问题中，很多事物所研究的变量都是失散的形式，所成立的数学模型也是失散的，比方政治、经济和社会等领域中的实质问题。
好多时候，即便所建立的数学模型是连续形式，比如象常有的微分方程模型、积分方程模型等，可是常常因为不可以求分析解，而需要用计算机求数值解。
这要求将连续变量在必定的条件下进行失散化，进而将连续模型转变为失散模型，最后归纳为求失散形式的差分方程的问题。
对于差分方程研究和求解方法在成立数学模型、解决实质问题的过程中起侧重要的作用。
3.1 差分方程和常系数线性差分方程3.1.1 差分和差分方程的观点定义 3.1 设函数y f (x) ,记为 y x.当 x 取遍所有的非负整数时, 函数值能够排成一个数列 :y0 , y1 , y2 , , y x ,. 则差y x 1y x称为函数 y x的差分, 也称为一阶差分 , 记为y x,即y x y x 1y x.简单考证差分拥有以下性质:(1) (cy x ) c y x;(2) ( y x z x ) y x z x.又( y x )yx 1 y x ( y x 2 y x 1 ) ( y x 1 y x ) yx 2 2 y x 1 y x : 2 y x称为函数 y x的二价差分,近似地, 能够定义三阶、四阶差分 .定义 2.2 含有未知函数差分或表示未知函数几个期间值的符号的方程称为差分方程 , 如F ( x, y x , y x 1 , y x 2 , , y x n ) 0;G( x, y x , y x 1 , y x 2 , , y x n ) 0;H ( x, y x , y x , 2 y x , , n y x ) 0.差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为此差分方程的阶.假如差分方程中对于未知函数及未知函数的各阶差分都是线性函数 , 就称此方程为线性的 . 假如一个函数代入差分方程后 , 方程恒成立 , 则这个函数称为该差分方程的解 .3.1.2 常系数齐次线性差分方程考虑常系数 k 阶线性差分方程y n a 1 y n 1 a 2 y n 2 a k y n k0 . (3.1)称代数方程k k 1 a k 1a k 0 . (3.2)a 1为方程 (3.1) 的特点方程 , 特点方程的根称为特点根 .常系数线性差分方程的解可依据相应的特点根的状况给出 . 下边分别由特点根为单根、重根和复根的状况写出差分方程的解的状况。
差分方程的求解方法及其应用
差分方程的求解方法及其应用差分方程是数学中一个比较重要的分支，用于描述离散化的动态系统和过程，广泛应用于物理、工程、生态、经济、金融等领域。
通过离散化，可以将连续的问题转化为离散的数值计算问题，从而可以用计算机进行求解。
本文将介绍差分方程的求解方法及其应用，希望能够对读者有所帮助。
一、差分方程的定义差分方程是指包含有未知函数的离散变量的函数方程。
通俗的说，就是说差分方程用来描述离散的数学模型。
一般的差分方程可以写成如下形式：$$y_{n+1} = f(y_n, y_{n-1}, \cdots, y_{n-k+1}, n)$$其中，$y_n$ 是未知函数在 $n$ 时刻的值，$f$ 是一个给定的函数，$k$ 是差分方程中自变量的个数。
当 $k=1$ 时，常常称为一阶差分方程，如下所示：$$y_{n+1} = f(y_n, n)$$此外还有二阶、三阶等高阶差分方程。
差分方程与微分方程相似，都是用来描述某种动态系统的变化规律，只是微分方程是描述连续变化的模型，而差分方程是描述离散变化的模型。
二、差分方程的求解方法差分方程的求解方法可以分为两类，一类是解析解法，即用数学公式直接求解；另一类是数值解法，即用计算机进行数值计算求解。
1. 解析解法对于一些特殊的差分方程，可以用解析解法求出解析解。
解析解法就是通过数学公式直接求解，得到函数在论域上的解析表达式，从而可以对解析表达式进行分析求得有关该函数的很多重要信息。
以一阶线性差分方程为例，即：$$y_{n+1} = ay_n + b, \ \ (n=0,1,2,\cdots)$$其中 $y_0$ 是已知值， $a$ 和 $b$ 是常数。
可以通过数学公式得到该差分方程的解析解：$$y_n = a^ny_0 + b\frac{a^n-1}{a-1}, \ \ (n=0,1,2,\cdots)$$其它的高阶差分方程可以运用代数学、矩阵论、微积分等方法求解。
2. 数值解法数值解法是一种通过数值计算来求解差分方程的方法。
差分方程方法
第四章 差分方程方法在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。
这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。
关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。
下面就不同类型的差分方程进行讨论。
所谓的差分方程是指：对于一个数列{}n x ，把数列中的前1+n 项()n i x i ,2,1,0=关联起来所得到的方程。
4．1常系数线性差分方程4.1.1 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为02211=+⋯+++---k n k n n n x a x a x a x (4.1)其中k 为差分方程的阶数，()k i a i ,,2,1 =为差分方程的系数，且()n k a k ≤≠0。
对应的代数方程02211=++++--k k k k a a a λλλ （4.2） 称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。
常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。
下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。
1. 特征根为单根设差分方程（4.1）有k 个单特征根 k λλλλ,,,,321 ，则差分方程（4.1）的通解为nk k n n n c c c x λλλ+++= 2211，其中k c c c ,,,21 为任意常数，且当给定初始条件()0 i i x λ= ()k i ,,2,1 = (4.3)时，可以唯一确定一个特解。
2. 特征根为重根设差分方程（4.1）有l 个相异的特征根()k l l ≤≤1,,,,321λλλλ 重数分别为l m m m ,,,21 且k m li i =∑=1则差分方程（4.1）的通解为n l i m i li n i m i i n i m i i n n c n c n c x lλλλ112112111121-=-=-=∑∑∑+++=同样的，由给定的初始条件（4.3）可以唯一确定一个特解。
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第三章 差分方程方法3.1 差分方程的平衡点及其稳定性设有未知序列{}n x ，称0),,,;(1=++k n n n x x x n F(3.1)为k 阶差分方程。
若有)(n x x n =，满足0))(,),1(),(;(=++k n x n x n x n F则称)(n x x n =是差分方程(3.1)的解，包含k 个任意常数的解称为(3.1)的通解，110,,,-k x x x 为已知时，称其为(3.1)的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(3.1)的特解。
形如)()()(11n f x n a x n a x n k k n k n =+++-++(3.2)的差分方程，称为k 阶线性差分方程。
)(n a i 为已知系数，且0)(≠n a k 。
若差分方程(3.2)中的0)(=n f ，则称差分方程(3.2)为k 阶齐次线性差分方程，否则称为k 阶非齐次线性差分方程。
若有常数α是差分方程(3.1)的解，即0),,,;(=ααα n F ，则称α是差分方程(3.1)的平衡点，又对差分方程(3.1)的任意由初始条件确定的解)(n x x n =，都有)(∞→→n x n α，则称这个平衡点α是稳定的。
若110,,,-k x x x 已知，则形如),,,;(11-+++=k n n n k n x x x n g x 的差分方程的解可以在计算机上实现。
下面给出理论上需要的一些特殊差分方程的解。
一阶常系数线性差分方程b x x n n =++α1，(3.3)（其中b ,α为常数，且0,1-≠α）的通解为)1()(++-=a b C x n n α(3.4)易知)1(+αb 是方程(3.3)的平衡点，由(3.4)式知，当且仅当1<α时，)1(+αb 是稳定的平衡点。
二阶常系数线性差分方程r bx x x n n n =++++12α，(3.5)其中r b a ,,为常数，当0=r 时，它有一特解0*=x ；当0≠r ，且01≠++b a 时，它有一特解)1(*++=b a r x 。
不管是哪种情形，*x 是方程(3.5)的平衡点。
设方程(3.5)的特征方程02=++b a λλ的两个根分别为1λλ=，2λλ=，则①当1λ，2λ是两个不同实根时，方程(3.5)的通解为n n n C C x x )()(2211*λλ++=； ②当λλ=2,1是两个相同实根时，方程(3.5)的通解为n n n C C x x λ)(21*++=； ③当)sin (cos 2,1θθρλi +=是一对共轭复根时，方程(3.5)的通解为)sin cos (21*θθρn C n C x x n n ++=易知，当且仅当特征方程的任一特征根1<i λ时，平衡点*x 是稳定的。
二阶方程的上述结果可以推广到k 阶线性方程，即k 阶线性方程平衡点稳定的条件是特征方程的根),,2,1(k i i =λ均满足：1<i λ，即均在复平面上的单位圆内。
下面讨论一阶非线性差分方程)(1n n x f x =+(3.6)的平衡点的稳定性。
其平衡点*x 由代数方程)(x f x =解出，为分析平衡点*x 的稳定性，将方程(3.6)的右端)(n x f 在*x 点作泰勒展开，只取一次项，(3.6)近似为)())((***'1x f x x x f x n n +-=+(3.7)(3.7)是(3.6)的近似线性方程，*x 也是(3.7)的平衡点。
关于线性方程平衡点稳定的条件上面已给出，而当1)(*'≠x f 时，方程(3.6)与(3.7)平衡点的稳定性相同。
于是得到，当1)(*'<x f 时，对于非线性方程(3.6)，*x 是稳定的；当1)(*'>x f 时，对于方程(3.6)，*x 是不稳定的。
3.2 市场经济中的蛛网模型在自由贸易的集市上你注意过这样的现象吗？一个时期由于猪肉的上市量远大于需求，销售不畅导致价格下降，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其它农副业。
过一段时间后猪肉上市量大减，供不应求导致价格上涨，原来的饲养户看到有利可图，又重操旧业。
这样下一个时期会重视供大于求、价格下降的局面，在没有外界干扰的情况下，这种现象将如此循环下去。
在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的，因为商品的价格是由消费者的需求关系决定的，商品数量越多价格越低。
而下一时段商品的数量由生产者的供应关系决定，商品价格越低生产的数量就越小。
这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。
这种振荡越小越好，如果振荡太大就会影响人们群众的正常生活。
现在我们用差分方程建模，讨论市场经济趋于稳定的条件，再用图形方法建立“蛛网模型”对上述现象进行分析，对结果进行解释，然后作适当推广。
记第n 时段商品数量为n x ，价格为n y ， ,2,1=n 。
这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果可以是一年，肉类则是1个饲养周期。
在n 时段商品的价格n y 取决于数量n x ，设)(n n x f y =。
它反映消费者对这种商品的需求关系，称需求函数。
因为商品的数量越多价格越低，所以在图3-1中用一条下降曲线f 表示它，f 为需求曲线。
在1+n 时段商品的数量1+n x 由上一时段价格n y 决定，用)(1n n y g x =+表示，它反映生产者的供应关系，称为供应函数。
因为价格越高生产量才越大，所以在图3-1中供应曲线g 是一条上升曲线。
设图3-1中两条曲线f 和g 相交于),(000y x P 点，在0P 点附近取函数f 和g 的线性近似，即需求函数)(f ：)(00x x y y n n --=-α，0>α (3.8)供应函数)(g ：)(001y y x x n n -=-+β，0>β(3.9)由式(3.8)，(3.9)消去n y 得一阶线性差分方程01)1(x x x n n αβαβ++-=+，.,2,1 =n(3.10)因此0x 是其平衡点，即0P 是平衡点，对n 递推不难得到011])(1[)(x x x n n n αβαβ--+-=+，.,2,1 =n图4-1 需求函数和供应函数由此可得，平衡点0P 稳定的条件是：1<αβ；不稳定的条件是：1>αβ。
下面用图形解释此模型。
若对某一个k 有0x x k =，递推可得，当k n ≥时0x x n =，从而0y y n =，即商品的数量和价格将永远保持在),(000y x P 点。
但是实际生活中的种种干扰使得n x ，n y 不可能停止在0P 点上。
不妨设1x 偏离0x ，我们分析随着n 的增加n x ，n y 的变化。
数量1x 给定后，价格1y 由曲线f 上的1P 点决定，下一时段的数量2x 由曲线g 上的2P 点 决定，这样得到一系列的点),(111y x P ，),(122y x P ，),(223y x P ， ),(234y x P ，…，在图3-2上这些点将按箭头所示方向趋向),(000y x P ，表明0P 是稳定平衡点，意味着市场经济（商品的数量和价格）将趋向稳定。
但是如果需求函数和供应函数由图3-3的曲线所示，则类似的分析发现，市场经济将按照1P ，2P ，3P ，4P ，…，的规律变化而远离0P ，即0P 是不稳定平衡点，市场经济趋向不稳定。
由此可见，需求曲线越平，供应曲线越陡，越有利于经济稳定。
图3-2和图3-3中折线 4321P P P P 形似蛛网，于是这种用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中被称为蛛网模型。
实际上，需求曲线f 和供应曲线g 的具体形式通常是根据各个时段商品的数量和价格的一系列统计资料得到的。
一般地说，f 取决于消费者对这种商品的需要程度和他们的消费水平，g 则与生产者的生产能力，经营水平等因素有关。
下面再来解释此模型的实际意义。
首先考察参数α，β的含义，需求函数f 的斜率α（取绝对值）表示商品供应量减少1个单位时价格的上涨幅度；供应函数g 的斜率β表示价格上涨1个单位时（下一时期）商品供应增加量。
所以α的数值反映消费者对商品需求的敏感程度。
如果这种商品是生活必需品，消费者处于持币待购状态，商品数量稍缺，人们立即蜂拥抢购，那么α会比较大；图3-2 稳定的0P 图3-3 不稳定的0P反之，若这种商品非必需品，消费者购物心理稳定，或者消费水平低下，则α较小。
β的数值反映生产经营者对商品价格的敏感程度，如果他们目光短浅，热衷于追逐一时的高利润，价格稍有上涨立即大量增加生产，那么β会比较大；反之，若他们素质较高，有长远的计划，则β较小。
根据α，β的意义很容易对市场经济稳定与否的条件作出解释。
当供应函数g ，即β固定时，α越小，需求曲线越平，表明消费者对商品需求的敏感程度越小，越利于经济稳定。
当需求函数f ，即α固定时，β越小，供应曲线越陡，表明生产者对价格的敏感程度越小，越利于经济稳定。
反之，当α，β较大，表明消费者对商品的需求和生产者对商品的价格都很敏感，则会导致经济不稳定。
当市场经济趋向不稳定时，政府有两种干预办法：一种办法是控制价格，无论商品数量多少，命令价格不得改变，于是0=α，不管曲线g 如何，总是稳定的；另一种办法是控制市场上的商品数量，当上市量小于需求时，政府从外地收购或调拨，投入市场，当上市量多于需求时，政府收购过乘部分，于是0=β，不管曲线f 如何，也总是稳定的。
最后我们将模型稍加推广。
如果生产者的管理水平更高一些，他们在决定商品生产数量时，不是仅根据前一时期的价格，而是根据前两个时期的价格，为简单起见不妨设根据二者的平均值2)(1-+n n y y ，于是供应函数为[])2(11-++=n n n y y g x 。
在0P 点附近取线性近似时，(3.9)表示为：供应函数)(g ：[])2(0101y y y x x n n n -+=--+β，0>β。
(3.11) 又设需求函数仍由（3.8）式表示，则由(3.8)，(3.11)式得到012)1(2x x x x n n n αβαβαβ+=++++，.,2,1 =n(3.12)(3.12)式是二阶线性差分方程。
0P 点稳定的条件可由其特征方程022=++αβαβλλ的根48)(22,1αβαβαβλ-±-=确定。
当8>αβ时，显然有()244822-<-<---=αβαβαβαβλ，从而22>λ，0P 是不稳定的。
当8<αβ时，可以算出22,1αβλ=，由12,1<λ得到0P 点稳定的条件为2<αβ。
这与原有模型中的0P 点稳定的条件1<αβ相比，保持经济稳定的参数α，β的范围放大了（α，β的含义未变）。