差分方程方法
第四章 差分方程方法
在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。
下面就不同类型的差分方程进行讨论。所谓的差分方程是指：对于一个数列{}n x ，把数列中的前1+n 项()n i x i ,2,1,0=关联起来所得到的方程。
4．1常系数线性差分方程
4.1.1 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为
02211=+?+++---k n k n n n x a x a x a x (4.1)
其中k 为差分方程的阶数，()k i a i ,,2,1 =为差分方程的系数，且()n k a k ≤≠0。对应的代数方程
02
211=++++--k k k k a a a λ
λλ （4.2） 称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。
常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。 1. 特征根为单根
设差分方程（4.1）有k 个单特征根 k λλλλ,,,,321 ，则差分方程（4.1）的通解为
n
k k n n n c c c x λλλ+++= 2211，
其中k c c c ,,,21 为任意常数，且当给定初始条件
()
0 i i x λ= ()k i ,,2,1 = (4.3)
时，可以唯一确定一个特解。
2. 特征根为重根
设差分方程（4.1）有l 个相异的特征根()k l l ≤≤1,,,,321λλλλ 重数分别为
l m m m ,,,21 且k m l
i i =∑=1
则差分方程（4.1）的通解为
n l i m i li n i m i i n i m i i n n c n c n c x l
λλλ11
2
1
1
21
1
1
121-=-=-=∑∑∑+++=
同样的，由给定的初始条件（4.3）可以唯一确定一个特解。
3. 特征根为复根
设差分方程（4.1）的特征根为一对共轭复根βαλλi ±=21,和相异的2k -个单根
k λλλ,,43 ,则差分方程的通解为
n
k k n n n n n c c c n c n c x λλλθρθρ+++++= 443321sin cos ,
其中22βαρ+=, α
β
θarctan
= . 同样由给定的初始条件（4.3）可以惟一确定一个特解。
另外，对于有多个共轭复根和相异实根，或共轭复根和重根的情况，都可以类似地给出差分方程解的形式。
4．1．2 常系数线性非齐次差分方程 常系数线性非齐次差分方程的一般形式为
()
n f x a x a x a x k n k n n n =++++--- 2211 (4.4)
其中k 为差分方程的阶数，()
k i a i ,,2,1 =为差分方程的系数，
()n k a k ≤≠0,
)
(n f 为已知函数。
在差分方程（4.4）中，令0)(=n f , 所得方程
02211=++++---k n k n n n x a x a x a x (4.5) 称为非齐次差分方程（4.4）对应的齐次差分方程，即与差分方程（4.1）的形式相同。
求解非齐次差分方程通解的一般方法为
首先求对应的齐次差分方程（4.5）的通解*
n x ，然后求非齐次差分方程（4.4）的一个特解()
0n x ，则
()0*
n n n x x x +=
为非齐次差分方程（4.4）的特解。
关于求*
n x 的方法同求差分方程（4.1）的方法相同。对于求非齐次方程（4.4）的特解
()
0n x 的方法，可以用观察法确定，也可以根据()f n 的特性用待定系数法确定，具体方法可
参照常系数线性非齐次微分方程求特解的方法。
4.2 差分方程的平衡点及其稳定性
一般来说，差分方程的求解是困难，实际中往往不需要求出差分方程的一般解，而只需要研究它的平衡点及其稳定性即可。
4.2.1 一阶线性常系数差分方程
一阶线性常系数差分方程的一般形式为
，?==++,2,1,0,1k b ax x k k
其中b a ,为常数，它的平衡点由代数方程b ax x =+求解得到，不妨记为*
x . 如果*
lim x x k k =∞
→，则称平衡点*
x 是稳定的，否则是不稳定的。
为了便于研究平衡点*
x 的稳定性问题，一般将其转化为求方程01=++k k ax x 的平衡点
0*=x 的稳定性问题。事实上，由
01=++k k ax x
可以解得
()0x a x k
k -=，
于是0*
=x 是稳定的平衡点的充要条件是：1 a . 4.2.2一阶线性常系数差分方程组
一阶线性常系数齐次差分方程组的一般形式为
()() ,2,1,0,1==++k B k Ax k x
其中()k x 为n 维向量，A 为n n ?阶常数矩阵。
它的平衡点0*
=x 是稳定的充要条件是A 的所有特征根都有1
对于一阶线性常系数非齐次差分方程组
B k Ax k x =++)()1(， ?=,2,1,0k
的情况同样给出
4.2.3 二阶线性常系数差分方程
二阶线性常系数齐次差分方程的一般形式为
,2,1,0,02112==++++k x a x a x k k k
其中21,a a 为常数，其平衡点0*
=x 是稳定的充要条件是特征方程0212
=++a a λλ，
的根21,λλ满足11<λ，12<λ。
对于一般的02112=++++k k k x a x a x 的平衡点的稳定性问题同样给出。类似地，也可直接推广到n 阶线性差分方程的情况。
4.2.4 一阶非线性差分方程 一阶非线性方程的一般形式为
()k k x f x =+1 ， ,2,1,0=k ，
其中f 为已知函数，其平衡点定义为方程()x f x =的解*
x 。
事实上，将()k x f 在*
x 处作一阶的泰勒展开有
()()()
***'1x f x x x f x k k +-≈+，
则*x 也是一阶线性方程()()()
***'1x f x x x f x k k +-=+的平衡点，故此，平稳衡点*
x 稳定
的充要条件是|1)(*<'x f 。
4.3 连续模型的差分方法
4.3.1 微分的差分方程 已知
)(x f 在点k x 处的函数值)(k x f )1,...,1,0+=n k ，且
b x x x a n =<<<=+110...，试求函数的导数值(),'k x f ),...2,1(n k =。
根据导数的定义，用差商代替微商，则有下面的差分公式。 向前差：
k
k k k k x x x f x f x f --≈
++11'
)
()()( ),,...,2,1(n k =
向后差：
1
1'
)
()()(----≈k k k k k x x x f x f x f
),,...,2,1(n k =
中心差：
111'1)
()()(--+-+-≈k k k k k x x x f x f x f
),,...,2,1(n k =
4.3.2定积分的差分方法
已知函数)(x f 在点k x 处的函数值)(k x f ，),,...,2,1(n k =且在],[b a 上可积，试求函数在],[b a 上的积分值
?
b
a
dx x f )(。
根据定积分的定义，则有一般的求积公式
?
∑=≈b
a
n
k k k x f A dx x f 0
)()(
其中k A 为求积系数，它与k x 的选取方法有关。取不同的求积系数，可以得不同的求积公式。
对于等距节点kh a x k += ),...,1,0(n k =，其中步长n
a
b h -=为很小的数，则有如下的求积公式。
（1）复化矩阵公式；
?
∑-=???
?????? ?
?++≈b
a
n k h k a f h dx x f 1
021)(。
（2）复化梯形矩阵；
)]()(2)([2)]()([2)(1
1
101b f x f a f h
x f x f h dx x f n k k b
a
n k k k ++=+≈∑?
∑-=-=+
（3）复化辛普森(Simpson)矩阵公式；
?
∑-=++++≈b
a
n k k k k x f x f x f h dx x f 1
12
1)]
()(4)([6)(
)]()(2)(4)([1
1
1
02
1b f x f x
f a f n k k n k k +++=∑∑-=-=+
其中)(2
1
12
1++
+=
k k k x x x
为子区间],[1+k k x x )1,...,1,0(-=n k 的中点。 （4）复化柯特斯(Cotes)公式；
)]
(7)(12)(32)(12)(32)(7[90)(1
1104
310211041b f x f x f x f x f a f h
dx x f n k k n k k n k k n k k b
a
+++++≈∑∑∑∑?
-=-=+-=+-=+
其中4
34
12
1,,+
+
+
k k k x
x
x 为子空间)1,...,1,0](,[1-=+n k x x k k 中的四等分点。
4.3.3常微分方程的差分方法 1. 一阶常微分方程的差分方法 设一阶常微分方程的定解问题为
???==,
)(),
,(00'y x y y x f y
其中函数),(y x f 关于 y 满足李普希兹条件，即保证问题解的存在唯一性。
现在的问题是求方程在一系列节点.......21<<< ,...,...,,21n y y y 不妨假设步长为 n n x x h -=+1 为常数。在此，我们根据微分的差分方法， 即用差商来近似代替微商，再利用“步进式”方法，可以给出求解问题(4-6)的差分方法。 （1）单步欧拉(Euler)公式 用差商 h x y x y n n )()(1-+近似代替))(,()(' n n n x y x f x y =中的导数，则可以得差分公式 ,....2,1,0),,(1=+=+n y x hf y y n n n n 其精度为)(2 h O 阶的。 （2）两步欧拉公式 用差商 h x y x y n n 2)()(11-+- 近似代替))(,()(' n n n x y x f x y =中的导数，则可得差分公式 ,....2,1,0),,(211=+=-+n y x hf y y n n n n 两步法需要用到前两步的方信息，一般不能自行起步，需先用单步方法求出1y ，其精度是 )(2h O 阶的。 （3）梯形公式 对于方程),(' y x f y =的两边在],[1+n n x x 上求积分得 ? ++==+1 .))(,()()()(1n n x x n n n dx x y x f x y x y x y 利用积分的差分方法中梯形公式求解积分 ))](,())(,([2 ))(,(111 +++≈? +n n n n x x x y x f x y x f h dx x y x f n n 则 ))](,())(,([2 )()(111+++++≈n n n n n n x y x f x y x f h x y x y 离散化即可得到微分方程的梯形差分公式 ,.....2,1,0)],,(),([2 111=++=+++N y x f y x f h y y N n N n N n 这是一个隐式格式，计算量大，一般不单独使用。其镜的也是)(3 h O 阶的。 （4) 改进的欧拉公式 由于单步欧拉公式色精度低，但计算量小；矩形公式精度高，但是计算量大，为此，我们综合运用这两种方法舅老爷得到改进的欧拉公式，其精度为() 3 h O 阶的。 预报： () ,1,0,,1=+=+- n y x hf y y n n n n 校正： () ,1,0,,,2111=?? ? ??? ??? ??+ +=+- ++n y x f y x f h y y n n n n n n 或写成平均化形式； ()()??? ? ? ???? =+=+=+=++.,2,1,0 ),(21, ,,,11 n y y y y x hf y y y x hf y y c p n p n n c n n n p （5）龙格—库塔法 龙格—库塔方法的基本思想： 对于微分方程的定解问题（4.6），考虑差商h x y x y n n ) ()(1-+，根据阿格朗日微分中值 定理可得 ()()()()()ξξξy hf x y hy x y x y n n n ,)('1+=+=+， 1+< 记()()ξξy f Y ,* = ，称为 []1,+n n x x 上的平均变化率，则 ()*1)(hY x y x y n n +=+。现在 的问题只要找到寻找一种好的计算* Y 的近似方法。 如果取()1* ,Y y x f Y n n =≈，则就是欧拉公式。 如果取()()[]211* ,,2 1 Y y x f y x f Y n n n n =+≈ ++，则相应的就是改进的欧拉公式。 现在，我们取m 个点()[]1,,+∈++n n i n i n x x h y h x βα ()m i ,,2,1 =，用f 在这m 个点的函数值的加权平均作为* Y 的近似值，即 ()h y h x f Y i n i n m i i βαω++≈∑=,1 * 其中i ω为权系数。则有 ()h y h x f h y y i n i n m i i n n βαω+++=∑=+,1 1 （4.7） 其中 i α，i β，i ω为待定系数。 实际上，适当选择i α，i β，i ω，使得公式有更高的精度，这是龙格---库塔方法的思想。 二阶龙格---库塔公式： 在[]1,+n n x x 内取中点h x x n n 212 1+ =+ ，则可取01=ω，12=ω，2 1==βα代人（4.7）式得到二阶龙格-库塔公式，其精度为() 3 h O 阶。 ()???? ? ???? =??? ??++==+=+ ,2,1,0,2,2,,,12121n Y h y h x f y y x f Y hY y y n n n n n n 三阶龙格-库塔公式： 在[]1,+n n x x 内任取二点ph x x n p n +=+，qh x x n q n +=+，()10<< ()()()() ? ????? ?? ? +-++==??? ??++==+++=+2131213211 2,,2,1,0,2,2, ,,46 Y Y h y h x f Y n Y h y h x f Y y x f Y Y Y Y h y y n n n n n n n n 其精度是()4 h O 阶的常用的是三阶的情况。 四阶龙格----库塔公式： 类似的方法可以得到四阶龙格---库塔公式，其精度是()5 h O 阶的 ()()?? ??? ? ?? ?? ???+=??? ??++==??? ?? ++==++++=++),(2,2,2,1,0,2,2,,, 2263142312143211hY y x f Y Y h y h x f Y n Y h y h x f Y y x f Y Y Y Y Y h y y n n n n n n n n n n 2. 一阶常微方程组的差分方法 将前面的单个方程中的变量和函数视为向量，相应的差分方法即可用于由多个方程组的一阶方程组的情形。 对于二个方程的方程组 ()()()()?????====, ,,,, ,,.00'00'z x z z y x g z y x y z y x f y (4.8) 设以n n z y , 表示函数在节点 ,2,1,0=+=n nh x x n 上的近似解，则有改进的欧拉公式： 预报: ()() ??+=+=++- n n n n n n n n n n z y x hf z z z y x hf y y ,,,,1' 1 校正: ()() ? ????????? ???? ??+++=???????? ??????? ??+-+++=-+-++-++1,,,,211,,,211111,n x g z y x g h z z n n x f z y x f h y y z y z y n n n n n n n n n n n n n 四阶龙格---库塔公式 ()(),,2,1,0,226,226 4321143211 =??? ??? ? ++++=++++=++n Z Z Z Z h z z Y Y Y Y h y y n n n n 其中 ()()()()??? ??? ???? ??? ????? ?++=++=??? ??+++=??? ??+++=? ?? ?? +++=? ?? ?? +++===++3314 33142232 231121121 1,,,,2,2,22,2,22,2,22,2,2; ,,;,,hZ z hY y x g Z hZ z hY y x f Y Z h z Y h y h x g Z Z h z Y h y h x f Y Z h z Y h y h x g Z Z h z Y h y h x f Y z y x g Z z y x f Y n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 其他的公式也都可以类似得到，即相当于同时求解多个一阶方程，从方法上没有本质的差别。 3. 高阶常微分方程的差分方法 对于某些高阶方法的定解问题，原则上可以转化为一阶方程组来求解。譬如，对于如下的二阶微分方程的定解问题 () ()?????===' 0'00''',)(,,y x y y x y y y x f y 若令' y z =，则可以化为一阶方程组的定解问题 ()()?????====' 00'00 ' ',)(, ,,y x y y x y z y z y x f z (4.9) 实际上,(4.9)式可以视为(4.8)式的特例，类似地可以得到相应的求解差分公式。 4.4最优捕鱼问题 4.3.1问题的提出 假设鯷鱼可分为4个年龄组：称1、2、3、4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（g ）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，产卵孵化期为每年的最后4个月，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109*5 10（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄和1龄鱼不产卵。卵孵化并成活为 1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵量n 之比）为n +??11111022.1022.1。 渔业部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力固定不变，即固定努力量捕捞，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称为捕捞强度系数。通常使用mm 13网眼的拉网，这种网只能捕捞3、4龄鱼，其两个捕捞系数之比为0.42：1. 要解决的问题是： 建立数学模型，分析如何实现可持续性捕捞（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（总质量）。 4.3.2 模型的假设与符号说明 1. 模型的假设 （1）只考虑鱼的繁殖和捕捞的变化，不考虑鱼群迁入与迁出； （2）各龄鱼在一年的任何时间都会发生自然死亡； （3）所有鱼都在每年最后四个月内（后1/3年）完成产卵孵化的过程，成活的幼鱼在下一年初成为1龄鱼； （4）产卵发生于后四个月之初，产卵鱼的自然死亡发生与产卵之后； （5）相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间变化是连续的，即第k 年底i 龄鱼的条数等于第 1+k 年初1+i 龄鱼的条数； （6）4龄以上的鱼全部死亡； （7）采用固定努力量捕捞意味着捕捞的速率正比于捕捞时各龄鱼群的条数，比例系数为捕捞强度系数。 2. 符号的说明 用)(t x i 表示t 时刻（年）i 龄鱼的条数；r 表示鱼的平均自然死亡率，即8.0=r ；i f 表示龄i 鱼的产卵数，即),2 , 0,0(),,,(4321A A f f f f =，510109.1?=A ；i w 表示龄i 鱼群的捕捞强度系数，即)99.22,86.17,55.11,07.5(),,,(4321=w w w w ；i q 表示i 龄鱼群的捕捞强度系数，即),42.0,0,0(),,,(4321E E q q q q =，E 为捕捞努力量；3 2 =t 表示产卵开始的月份；i Y 表示i 龄鱼的捕捞量；i C 表示i 龄鱼的捕捞率，即i i i x Y C = 。 4.4.3 模型的建立与求解 1. 无捕捞时鱼群的自然增长模型 由假设（1）和（2）得 () ()t rx dt t dx i i -=， 4,3,2,1=i ；1+≤≤k t k ， ,2,1,0=k 。 又由假设（3）和（4）得 ()??? ??+??? ??++=+-- t k x t k x k x 001111110*22.110*22.11， ?? ? ??++??? ??+=??? ??+- --t k Ax t k x A t k x 4302 由假设（5）和（6）得 ()10x x i =， ()())(lim 111 1t x k x k x i k t i i +→++=+=+ ),1,0;3,2,1( ==k i 2。固定努力量捕捞鱼群的增长和捕捞模型 由假设知，捕捞期为 t k t k +≤≤，则有 () ()()()t x E q t rx dt t dx i i i i --=,-+≤≤t k t k ， (4.10) () ()t rx dt t dx i i -= ，1+≤≤+-k t t k ， (4.11) ()10x x i = ，()()111+=+++k x k x i i ，3,2,1=i ， (4.12) ()??? ??+?? ? ??++=+-- t k x t k x k x 001111110*22.110*22.11 (4.13) 则有 ?? ? ??++??? ??+=??? ??+- --t k Ax t k x A t k x 4302, ,2,1,0=k (1) 鱼群的增长规律 求解方程（4.10）和（4.11），并利用连续条件（4.12）式可得 ()()()k X E sl k x i i i =++11 , 3,2,1=i , (4.15) () ()k x k x b b k x 001)1(+= +, (4.16) ()()()?? ? ??++??? ??+=+----t k x E l As t k x E l s A k x t t 4433021, (4.17) 其中4993.0==-r e s ,()()121==E l E l ,()- -=tE e E l 42.03,510109.1?=A ,111022.1?=b 。 (2) 捕捞量 单位时间第 i 龄鱼的捕捞量（条数）为 ()()()t x E q t y i i i =， - +<≤t k t k ， 第k 年全年（8个月）第i 龄鱼的捕捞量（条数）为 ()()()()() ()()()k x E l s E q r E q dt t x E q dt t y k Y i i t i i t i i t i i )1() 1(00 - - - -+===?? 于是，第k 年总捕捞量（质量）为 )()()(4433k Y w k Y w k W += （3）可持续性捕捞模型 可持续捕捞，即意味着由于自然死亡和捕捞使鱼群减少，而通过产卵繁殖补充，使得鱼 群能够在每年初开始捕捞时保持平衡不变，这样的捕捞策略就可以年复一年地一直持续下去。因此，可持续捕捞的鱼群数应是（4.15）、（4.16）、（4.17）式的平衡解，即模型不依赖 于时间t 的解)4,3,2,1,0(* =i x i 。求解（4.15）、（4.16）、（4.17）得 ()**1i i i x E sl x =+， 3,2,1=i ， 即 ()??? ??????+=+======- -* 4 4*33* 0* 0*0* 1* 133*33*4*12*2*3*1*2 )()(5.0,)(,,x E l As x E l As x bx b bx x x E l s x E sl x x s sx x slx x t t 将（4.18）式代入（4.20）式得 * 133 84* )()](5.0[x E l As E sl x += 代入（4.19）式有 * 1 33 84* 133 84*1 )()](5.0[)()](5.0[x E l As E sl b x E l As E sl b x +++= ， 求解可得 ()??? ? ??-=E B b x 11* 1， 代入（4.18）式得到 ()??? ? ??-=E B sb x 11* 2 ， ()???? ??-=E B sb x 11* 3， ()()??? ? ??-=E B b E l s x 1133* 4， 其中())()](5.0[33 8 4E l As E sl E B +=. 当1)(≤E B 时, 0* 1≤x 即意味着捕捞过度，致使鱼群灭绝。当1)(=E B 时, 4.310=E 称之为过度捕捞力量，因此，可以在0E E <的范围内找最优捕捞策略。 在可持续性捕捞的条件下，第i 龄鱼的年捕捞量（条数）为 ()()() E q r x E l s E q Y i i i t i i +??? ??-=- *1, 4,3=i 。 整个鱼群的年捕捞量（重量）为 ()4433y w y w E Y += ()()()()???? ??-???? ? ? ??+??? ??-++??? ??-=- -E B b Es E r E sl E l s E r E l s w t i t 11142.0142.02343 即得到了年捕捞与努力量的关系，由计算机求解可得在可持续性捕捞的前提下有最大捕捞量 为 36.17* ≈E ，最大年捕捞量为87.38)(* * ≈=E Y Y 万吨。 各龄鱼的数量为 84025418,42414709473,55374034763,721196013431*4*3*2*1====x x x x 各龄鱼的捕捞率为 () ()() * *** *1E q r x E l s E q X Y c i i i t i i I i +??? ??-= =- ， 4,3=i ， 即%59.95%,70.89,0,443211=====c c c c c 。 4.4.4 模型的结果分析 （1）如果没有假设（6），或改为4龄以上的鱼仍算4龄鱼，则（4.2）式改为 ()()()114314+++=+++k x k x x k ，其讨论相同，但要复杂一些； （2）假设（4）关于产卵时间的分布问题，题中未给出这方面的信息，完全是为了简化， 入股假设产卵是在后4个月内均匀分布，则问题会复杂些，而且不大符合实际。 4.5 参考案例与参考文献 1. 参考案例 （1）人口的预测与控制问题——文献【1】：290-295 （2）最优捕鱼问题——文献【3】：106-108 （3）人口增长问题——文献【4】：28-36 （4）动物种群的管理问题——文献【4】：36-40 2. 参考文献 【1】姜启源.数学模型.第二版.北京：高等教育出版社，1993 【2】叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材（二）.长沙：湖南教育出版社，1997 【3】赵静，但琦等。数学建模与数学实验.北京：高等教育出版社，2002 【4】南京地区工科院校数学建模与工业数学讨论班.数学建模与实验.南京：河海大学出版社，1976 【5】王能超.数值分析简明教程.北京：高等教育出版社，2000 【6】刘承平.数学建模方法.北京：高等教育出版社，2002 【7】唐焕文，贺明峰.数学模型引论.第二版.北京：高等教育出版社，2001 【8】全国大学生数学建模竞赛组委会.全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编.北京：中国物价出版社，2002 习题10-1 1. 指出下列方程的阶数： (1)4620x y y x y '''''-+=． (2)2 2 d d 0d d Q Q Q L R t c t ++=． (3)2d cos d ρ ρθθ +=． (4)2()d 2d 0y x y x x y -+=． 解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶 2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)2x y y '=, 2y Cx =． (2)2(+1)d d x y y x =, +1y x =． (3)20y y y '''++=， x y x e -=． (4)22d 0.4d s t =-， 2120.2s t c t c =-++． 解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可； (3)是，因为 ,2x x x x y e xe y e xe ----'''=-=-+，满足20y y y '''++=； (4)是，代入，2 12d d 0.4,0.4d d s s t C t t =-+=-，显然满足. 3. 验证:函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程 222d 0d x k x t += 的通解. 解：221212()sin cos ,()cos sin ,x t C k kt C k kt x t C k kt C k kt '''=-+=--满足2 22 d 0d x k x t +=，所以是解，又因为含有两个任意常数12,C C ，且方程是二阶的，故是通解. 4. 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程222d 0d x k x t +=的通解,求满足初始条件 x | t 2 x | t 的特解. 解：上题可知是微分方程通解，且12()sin cos ,x t C k kt C k kt '=-+代入初值条件0|02,|0t t x x ='===，得122,0C C ==，所以特解为2cos (0).x kt k =≠ 习题10-2 1. 求下列微分方程的通解： (1)()2 310y y x '++=； (2) 2 +'=x y y ； (3) d d sin xcos y y sin y cos x x =； (4) 2 d d d d x xy y y x y y +=+； (5) 22 d d d d y y y x xy x x +=； (6) d d y x y x x y -= +； (7) 22 d d y y x xy x =+； (8) )2(tan 21 2y x y +='． 解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得 () 2 31d =d y y x x +- 两端分别积分： 上海交通大学致远学院 《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法 课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时 适用专业：致远学院与数学系相关专业 先修课程：偏微分方程，数值分析 后续课程：相关课程 开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务 本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。 三、教学内容和基本要求 第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理 分类号 学号密题 目 （中、英文） 作者姓名 指导教师 学科门类 提交论文日期专业名称 成绩评定 数学与应用数学 理 学 咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文） 摘要 微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。 关键字：差分方程；差分方程模型；平衡点；稳定性 差分方程模型的稳定性分析 Abstract Difference equation is also called recursive equation, it is to describe the relationship between the number of objective things of a kind of important mathematical model. And the use of the differential equation model of the solution can be found everywhere in life. Such as cobweb model in the free market economy is to use the difference equation analysis when the economic stability, and as the financial problem of pension insurance breed difference equation is used to analysis the actual investment value. This paper gives the judge the stability of difference equation to judge method, then in the same group of sheep and grass under the environment of interaction analysis for the model a process, the number of the population change, in turn, study the stability of the linear difference equation. In the end, one practical model to better explain the stability of difference equation. Key words:Difference equation;Difference equation model ; Balance point; Stability 差分方程模型 一. 引言 数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。 1. 确定性连续模型 1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。 2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。 3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。 4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。 2. 确定性离散模型 1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。 2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。 3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。 4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。 随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。 在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。 二. 差分方程简介 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 1. 差分方程的定义 给定一个数列{}n x , 把数列中的前1+n 项i x ),,2,1,0(n i Λ=关联起来得到的方程，则称这个方程为差分方程。 2. 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=++++---k n k n n n x a x a x a x Λ， (1) 或者表示为 0),,,,(1=++k n n n x x x n F Λ (1’) 其中k 为差分方程的阶数，其中k a a a ,,,21Λ为差分方程的系数，且0≠k a )(n k ≤。 对应的代数方程 02211=++++--k k k k a a a Λλλλ (2) 称为差分方程(1)的对应的特征方程。(2)式中的k 个根k λλλ,,,21Λ称为(1)式的特征根。 2.1 差分方程的解 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式。 2.1.1 特征根为单根(互不相同的根) 设差分方程(1)有k 个单特征根(互不相同的根)k λλλ,,,21Λ，则 第４期 随着科学技术的发展，差分方程在各个领域得到越来越多的应用，本文将介绍差分方程的一个简单的应用，即如何利用差分方程来求概率问题，虽然差分方程及其解法在很多方面类似于微分方程，但由于很少书籍介绍差分方程的内容，现在先了解一下差分方程的基本概念。 １．差分的概念［１］ 定义１ 设ｙ（ｔ）为定义在整数集上的函数，则称△ｙ（ｔ）＝ｙ（ｔ＋１）－ｙ（ｔ）为函数ｙ（ｔ）的一阶差分， △（△ｙ（ｔ））＝△２ｙ（ｔ）称为ｙ（ｔ）的二阶差分，△ｎｙ（ｔ）＝△（△ｎ－１ｙ（ｔ））称为ｙ（ｔ）的ｎ阶差分。 对于连续函数ｙ（ｔ），可以在区间［ａ，ｂ］内插入ｎ－１个分点：ａ＜ｔ０＜ｔ１＜…＜ｔｎ＝ｂ（为方便计算，可取等距离点），得函数值ｙ（ｔ０），ｙ（ｔ１），…，ｙ（ｔｎ），同样定义ｙ（ｔ）的各阶差分。 上述定义也可以称为向前差分，还可以用不同的形式定义向后差分与中心差分，三者实质是相同的，可以互相转换。差分具有线性运算及类似微分的运算性质。 ２．差分方程的概念［１］ 定义２差分方程的一般形式为：Ｆ（ｙ（ｔ）；△ｙ（ｔ），…，△ｎｙ（ｔ））＝０，方程中的最大足标ｉ＋ｎ与最小足标 ｉ之差为ｎ时，称之为ｎ阶的差分方程，其一般形式为：ａ０（ｔ）ｙ（ｔ）＋ａ１（ｔ）ｙ（ｔ）＋…＋ａｎ（ｔ）ｙ（ｔ）＝ｂ（ｔ），当ｂ（ｔ）＝０ 时，称为其次的，否则称为非其次的。 在求概率中应用到的一类差分方程，是一类简单的特殊形式，常用到的只有一阶常系数线性差分方程和二阶常系数线性差分方程，其一般形式为：ｘｎ＋１＝ａｘｎ＋ｂ （１）；ｘｎ＋２＝ａｘｎ＋１＋ｂｘｎ（２） ３．一阶、二阶常系数线性差分方程的解［２］引理１ 对于一阶常系数线性差分方程ｘｎ＋１＝ａｘｎ＋ｂｘｎ，ａ，ｂ为常数，若已知ｘ１＝ｃ（ｃ为常数）， 则ｘｎ＋１＝ａｎ ｃ＋（１－ａｎ ） １－ａ 引理２［３］ 对于二阶常系数线性差分方程ｘｎ＋２＝ａｘｎ＋１＋ｂｘ，ａ，ｂ为常数，若ｘ１＝ｍ１，ｘ２＝ｍ２（ｍ１，ｍ２为常数）， 则ｘｎ＋１＝λ１ｎ （ｍ１λ２－ｍ２）λ２－λ１＋λ２ｎ （ｍ２－ｍ１λ２）λ２－λ１ ，其中λ１、λ２是方程λ ２ －ａλ－ｂ＝０的两根。证明令ｘｎ＝Ａλｎ代入（２）得：Ａλｎ（λ２－ａλ－ｂ）＝０，称方程λ２ －ａλ－ｂ＝０为差分方程（２）的特征方程，且（２） 的解与特征方程的解有关系式：ｘｎ＋１＝ｃ１λ１ｎ＋１ ＋ｃ２λ２ｎ＋２ ， 因给定初值ｘ１＝ｍ１ｘ２＝ｍ２" ， 代入上式得：ｍ１＝ｃ１λ１＋ｃ２λ２ ｍ２＝ｃ１λ１２＋ｃ２λ２ ２ " 差分方程与概率计算 唐燕玉 （安庆师范学院学报编辑部，安徽安庆２４６０１１） 摘要：全文介绍了差分方程的概念，并给出了一阶差分方程ｘｎ＋１＝ａｘｎ＋ｂ的通解与给定初始条件ｘ１＝ｃ的特解，同时又给出了二阶差分方程ｘｎ＋２＝ａｘｎ＋１＋ｂｘｎ的通解与给定初始条件ｘ１＝ｍ１，ｘ２＝ｍ２的特解，并详细讨论了这两种差分方程在概率论中的应用。 关键词：概率；差分；差分方程；试验；全概公式中图分类号：Ｏ２１１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７－４２６０（２００６）０４－００９１－０３ 收稿日期：２００６－０１－２８ 作者简介：唐燕玉（１９５１－），女，安徽枞阳人，安庆师范学院学报（自然科学版）主编。 安庆师范学院学报（自然科学版） ＪｏｕｒｎａｌｏｆＡｎｑｉｎｇＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ） ２００６年１１月 Ｎｏｖ．２００６第１２卷第４期 Ｖｏｌ．１２Ｎｏ．４ 差分方程的解法分析及MATLAB 实现（程序） 摘自：张登奇,彭仕玉.差分方程的解法分析及其MATLAB 实现[J]. 湖南理工学院学报.2014(03) 引言 线性常系数差分方程是描述线性时不变离散时间系统的数学模型,求解差分方程是分析离散时间系统的重要内容.在《信号与系统》课程中介绍的求解方法主要有迭代法、时域经典法、双零法和变换域 法[1]. 1 迭代法 例1 已知离散系统的差分方程为)1(3 1)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y ,激励信号为)()4 3()(n u n x n =,初始状态为21)2(4)1(=-=-y y ，.求系统响应. 根据激励信号和初始状态,手工依次迭代可算出24 59)1(,25)0(==y y . 利用MATLAB 中的filter 函数实现迭代过程的m 程序如下: clc;clear;format compact; a=[1,-3/4,1/8],b=[1,1/3,0], %输入差分方程系数向量,不足补0对齐 n=0:10;xn=(3/4).^n, %输入激励信号 zx=[0,0],zy=[4,12], %输入初始状态 zi=filtic(b,a,zy,zx),%计算等效初始条件 [yn,zf]=filter(b,a,xn,zi),%迭代计算输出和后段等效初始条件 2 时域经典法 用时域经典法求解差分方程:先求齐次解；再将激励信号代入方程右端化简得自由项,根据自由项形 式求特解；然后根据边界条件求完全解[3].用时域经典法求解例1的基本步骤如下. （1）求齐次解.特征方程为081432=+-αα,可算出4 1 , 2121==αα.高阶特征根可用MATLAB 的roots 函数计算.齐次解为. 0 , )4 1()21()(21≥+=n C C n y n n h （2）求方程的特解.将)()4 3()(n u n x n =代入差分方程右端得自由项为 ?????≥?==-?+-1,)4 3(9130 ,1)1()43(31)()43(1n n n u n u n n n 当1≥n 时,特解可设为n p D n y )4 3()(=,代入差分方程求得213=D . （3）利用边界条件求完全解.当n =0时迭代求出25)0(=y ,当n ≥1时,完全解的形式为 ,)4 3(213 )41()21()(21n n n C C n y ?++=选择求完全解系数的边界条件可参考文[4]选)1(),0(-y y .根据边界条件求得35,31721=-=C C .注意完全解的表达式只适于特解成立的n 取值范围,其他点要用 )(n δ及其延迟表示,如果其值符合表达式则可合并处理.差分方程的完全解为 第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)； (3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=< 第一章 差分方程 差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。 §1.1 一阶差分方程 假设利用变量t y 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则t y 便是在时间t 可以观测到的数据。假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的影响，并满足下述方程： t t t w y y ++=-110φφ (1.1) 在上述方程当中，由于t y 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量t w 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量t w 是随机变量，则此方程是随机差分方程。在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。 例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，则可以估计出美国货币需求函数为： ct bt t t t r r I m m 019.0045.019.072.027.01--++=- 上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。 1.1.1 差分方程求解：递归替代法 差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。 由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程： 0=t ：01100w y y ++=-φφ 1=t ：10101w y y ++=φφ t t =：t t t w y y ++=-110φφ 依次进行叠代可以得到： 1011211010110101)()1()(w w y w w y y ++++=++++=--φφφφφφφφ 0111122113121102)1(w w w y y φφφφφφφ++++++=- i t i i t t i i t w y y ∑∑=-=++=0 111 1 0φφφφ (1.2) 上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将 t y 表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出t y 对这些变量取值的依赖性和动态变化 过程。 1.1. 2. 差分方程的动态分析：动态乘子(dynamic multiplier) 在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如0w 的变化对t 阶段以后的t y 的影响。假设初始值1-y 和t w w ,,1 不受到影响，则有： 第四章 差分方程方法 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 下面就不同类型的差分方程进行讨论。所谓的差分方程是指：对于一个数列{}n x ，把数列中的前1+n 项()n i x i ,2,1,0=关联起来所得到的方程。 4．1常系数线性差分方程 4.1.1 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=+?+++---k n k n n n x a x a x a x (4.1) 其中k 为差分方程的阶数，()k i a i ,,2,1 =为差分方程的系数，且()n k a k ≤≠0。对应的代数方程 02 211=++++--k k k k a a a λ λλ （4.2） 称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。 1. 特征根为单根 设差分方程（4.1）有k 个单特征根 k λλλλ,,,,321 ，则差分方程（4.1）的通解为 n k k n n n c c c x λλλ+++= 2211， 其中k c c c ,,,21 为任意常数，且当给定初始条件 () 0 i i x λ= ()k i ,,2,1 = (4.3) 时，可以唯一确定一个特解。 2. 特征根为重根 设差分方程（4.1）有l 个相异的特征根()k l l ≤≤1,,,,321λλλλ 重数分别为 l m m m ,,,21 且k m l i i =∑=1 则差分方程（4.1）的通解为 第三章 差分方程方法 3.1 差分方程的平衡点及其稳定性 设有未知序列{}n x ，称 0),,,;(1=++k n n n x x x n F (3.1) 为k 阶差分方程。若有)(n x x n =，满足 0))(,),1(),(;(=++k n x n x n x n F 则称)(n x x n =是差分方程(3.1)的解，包含k 个任意常数的解称为(3.1)的通解， 110,,,-k x x x 为已知时，称其为(3.1)的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后 的解称为(3.1)的特解。 形如 )()()(11n f x n a x n a x n k k n k n =+++-++ (3.2) 的差分方程，称为k 阶线性差分方程。)(n a i 为已知系数，且0)(≠n a k 。 若差分方程(3.2)中的0)(=n f ，则称差分方程(3.2)为k 阶齐次线性差分方程，否则称为k 阶非齐次线性差分方程。 若有常数α是差分方程(3.1)的解，即0),,,;(=ααα n F ，则称α是差分方程(3.1)的平衡点，又对差分方程(3.1)的任意由初始条件确定的解)(n x x n =，都有 )(∞→→n x n α，则称这个平衡点α是稳定的。 若110,,,-k x x x 已知，则形如),,,;(11-+++=k n n n k n x x x n g x 的差分方程的解可以在计算机上实现。下面给出理论上需要的一些特殊差分方程的解。 一阶常系数线性差分方程 b x x n n =++α1， (3.3) （其中b ,α为常数，且0,1-≠α）的通解为 )1()(++-=a b C x n n α (3.4) 易知)1(+αb 是方程(3.3)的平衡点，由(3.4)式知，当且仅当1<α时，)1(+αb 是稳定的平衡点。 第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【数学一大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【数学二大纲容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+?? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。 第九章 差分方程模型的理论和方法 引言 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模： 在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而 建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。 差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。 第一节 差分方程的基本知识 一、 基本概念 1、 差分算子 设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=??+1:为n x 在n 处的向前差分。 而1--=?n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。 以后我们都是指向前差分。 可见n x ?是n 的函数。从而可以进一步定义n x ?的差分： n n x x 2)(?=?? 称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在n 处的k 阶差分为： 第七章 常微分方程与差分方程 常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。 【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。 【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。 【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。 【考点分析】本章包括三个重点内容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。 【考点八十三】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序： 当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=? =时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+? ? 上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1 ()() dy g y g y ? 表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例7.1】微分方程1+++='y x xy y 的通解为____________。 i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。 差 分 方 程 内 容 提 要 一、差分及差分方程 1、差分 设t y 在区间[0,)+∞上定义。记()t y y t =，其中0,1,2,.t =L 称 1(1)()t t t y y y y t y t +?=-=+-，0,1,2,t =L 为()y t 在时刻t 的一阶差分（习惯上把t 以时间计），称21t t t y y y +?=?-? 即一阶差分的差分为()y t 在时刻t 的二阶差分。高于二阶的差分可依此类推。 （由1t t t y y y +?=-，知21212t t t t t t y y y y y y +++?=?-?=-+， 一般1110!(1)!()! k k k k i t t t t k i i k y y y y i k i --++-=?=?-?=--∑，0,1,2,t =L ） 2、差分方程 设t y 在区间[0,)+∞上定义，称包含有自变量t ，未知函数()()t t y y y t =及其一阶差分t y ?的方程(,,t t t y y ??=，0,1,2,t =L （1）为一阶差分方程，或者称包含有,t t y 及1t y +的方程 1(,,)0t t t y y ?+=，0,1,2,t =L （2） 为一阶差分方程。如果把函数()(0,1,2,)y t t =L 代入差分方程（1）或（2），能使方程（1）或（2）对0,1,2,t =L 均为恒等式，称()(0,1,2,)y t t =L 为差分方程（1）或（2）的解。一阶差分方程的一般解包含有一个任意常数，任意常数取特定值的解称为特解，确定特解的条件0(0)y y =称为定解条件 二阶及高于二阶的差分方程、一般解、特解类似定义。 形如 11()()t t y a t y f t ++= 或 2112()()()t t t y a t y a t y f t ++++= 的方程分别称作一阶或二阶线性差分方程，其中12(),,(),0a t a f t C t ∈≥。 线性差分方程（齐次、非齐次）的解的性质与线性微分方程（齐次、非齐次）的解的性质完全一样。 二、一阶常系数线性差分方程 1、齐次方程 10,0,1,2,, t t y ay t a ++==L 为常数 由迭代法易知齐次方程的一般解为(),1,2,3,t t y C a t =-=L 满足条件0(0)y y =的特解为0()t t y y a =-，1,2,3,t =L 2、非齐次方程 1()t t y ay f t ++=，0,1,2,3,t =L ，故非齐次方程的一般解为(),1,2,t t t y C a Y t =-+=L ， 其中()t C a -是对应齐次方程10t t y ay ++=的一般解，t Y 是原非齐次方程的一个特解（取 毕业论文 题目抛物型方程的差分解法学院数学科学学院 专业信息与计算科学 班级计算0802 学生王丹丹 学号20080901045 指导教师王宣欣 二〇一二年五月二十五日 摘要 偏微分方程的数值解法在数值分析中占有重要的地位，很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数值解问题【1】。近三十多年来，数值解法的理论和方法都有了很大的发展，而且在各个科学技术的领域中应用也愈来愈广泛。本文的研究主要集中在依赖于时间的问题，借助于简单的常系数扩散方程，介绍抛物型方程的差分解法。本文以基本概念和基本方法为主，同时结合算例实现算法。 第一部分介绍偏微分方程及差分解法的基本概念，引入本文的研究对象——常系 数扩散方程： 2 2 ,,0 u u a x R t t x ?? =∈>?? 第二部分介绍上述方程的几种差分格式及每种格式的相容性、收敛性与稳定性。 第三部分通过算例检验每种差分格式的可行性。 关键词：偏微分方程；抛物型；差分格式；收敛性；稳定性；算例 ABSTRACT The numerical solution of partial differential equation holds an important role in numerical analysis .Many problems of compution in the field of science and techology include the numerical solution of partial differential equation. For more than 30 years, the theory and method of the numerical computation made a great development and its applications in various fields of science and technology are more and more widely. This paper focuses on the problems based on time. I will use object-constant diffusion equation to introduces the finite difference method of parabolic equation. This paper mainly focus on the basic concept ,basic method and simple numerical example. The first part of this paper introduces partial differential equations and basic concepts of finite difference method.I will introduce the object-constant diffusion equation for the first time. 2 2 ,,0 u u a x R t t x ?? =∈>?? The second part of this paper introduces several difference schemes of the above equation and their compatibility ,convergence and stability. The third part tests the accuracy of each scheme. Key words:partial differential equation；parabolic；difference scheme；convergence；stability；application习题详解-第10章微分方程与差分方程初步
常微分方程和偏微分方程的数值解法教学大纲
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(完整版)差分方程模型(讲义)
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