差分方程方法
第三章差分方程方式
第三章 差分方程方式差分方程的平稳点及其稳固性设有未知序列{}n x ，称0),,,;(1=++k n n n x x x n F为k 阶差分方程。
假设有)(n x x n =，知足0))(,),1(),(;(=++k n x n x n x n F那么称)(n x x n =是差分方程的解，包括k 个任意常数的解称为的通解，110,,,-k x x x 为已知时，称其为的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确信后的解称为的特解。
形如)()()(11n f x n a x n a x n k k n k n =+++-++的差分方程，称为k 阶线性差分方程。
)(n a i 为已知系数，且0)(≠n a k 。
假设差分方程中的0)(=n f ，那么称差分方程为k 阶齐次线性差分方程，不然称为k 阶非齐次线性差分方程。
假设有常数α是差分方程的解，即0),,,;(=ααα n F ，那么称α是差分方程的平稳点，又对差分方程的任意由初始条件确信的解)(n x x n =，都有)(∞→→n x n α，那么称那个平稳点α是稳固的。
若110,,,-k x x x 已知，那么形如),,,;(11-+++=k n n n k n x x x n g x 的差分方程的解能够在运算机上实现。
下面给出理论上需要的一些特殊差分方程的解。
一阶常系数线性差分方程b x x n n =++α1，（其中b ,α为常数，且0,1-≠α）的通解为)1()(++-=a b C x n n α易知)1(+αb 是方程的平稳点，由式知，当且仅当1<α时，)1(+αb 是稳固的平稳点。
二阶常系数线性差分方程r bx x x n n n =++++12α，其中r b a ,,为常数，当0=r 时，它有一特解0*=x ；当0≠r ，且01≠++b a 时，它有一特解)1(*++=b a r x 。
不管是哪一种情形，*x 是方程的平稳点。
差分方程解法及其在离散系统中的应用
差分方程解法及其在离散系统中的应用差分方程是数学中一类重要的离散数学方程，广泛应用于动态系统建模和离散事件系统的分析。
本文将介绍差分方程的解法以及它在离散系统中的应用。
一、差分方程的定义和基本概念差分方程是一种以离散形式描述系统变化的数学方程。
其基本形式为：Δyₙ = f(n, yₙ₋₁)其中，Δyₙ为相邻两个时刻n和n-1之间y的变化量，f(n, yₙ₋₁)为给定时刻n和n-1之间的函数关系。
二、差分方程求解的方法对于简单的差分方程，可以直接通过迭代求解。
例如，对于一阶线性差分方程：Δyₙ = k其中，k为常数。
可以通过重复应用这一关系求解，即：yₙ = y₀ + kₙ其中，y₀为初始条件，kₙ为Δyₙ在不同时刻的取值。
对于更复杂的差分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法可以通过将差分方程转化为递推方程，并利用数值计算得到近似解。
三、离散系统中差分方程的应用1. 经济学中的应用差分方程可以用来描述经济系统中的离散变化。
例如，经济增长模型中的劳动力增长率、资本积累速度等，都可以通过差分方程来建模和分析。
2. 自然科学中的应用差分方程在物理学、生态学等自然科学领域中也有广泛的应用。
例如，天体运动、人口增长、物种竞争等系统的演化过程都可以用差分方程来描述和预测。
3. 计算机科学中的应用差分方程在计算机科学中的应用也是十分重要的。
例如，计算机网络中数据包的传输、媒体数据的压缩等问题，都可以通过差分方程来建模和解决。
四、差分方程解法的局限性和改进方法虽然差分方程是一种有效的数学工具，但其在一些特殊情况下存在局限性。
例如，对于非线性和高阶差分方程，常常难以求得解析解。
此时，可以利用数值方法进行近似求解，或者采用数值优化算法寻找最佳解。
总结：差分方程是一种重要的离散数学工具，广泛用于动态系统建模和离散事件系统的分析。
通过合适的差分方程求解方法，可以有效地描述和预测各种离散变化的系统。
差分方程方法总结
a1
k
k 1
a2
k 2
ak 0
称为差分方程(1)的特征方程，其特征方程的根 称为特征根。
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一 .常系数线性差分方程
2.常系数线性非齐次差分方程
常系数线性非齐次差分方程的一般形式:
xn a1 xn1 a2 xn2 ak xnk f (n) (2) 其中 k 为差分方程的阶数，ai (i 1,2,, k ) 为差分
方程的系数， ak 0(k n) ， f (n) 为已知函数。
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二 差分方程的平衡点及其稳定性
1. 一阶线性常系数差分方程的平衡点
一阶线性常系数差分方程的一般形式:
xk 1 axk b, k 0,1,2, * 它的平衡点为 x ax b 的解，不妨记为 x 。
f ( xk 1 ) f ( xk 1 ) 中心差： f ( xk ) (k 1, 2, xk 1 xk 1
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, n)
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三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
问题：已知 f ( x) 在点 xk 处的函数值 f ( xk )(k 0,1,, n) ， 且在 [a, b] 上可积，试求 f ( x) 在 [a, b] 上的积分值
根据定义，则有一般的求积公式:
b
a
f ( x)dx 。
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
求解差分方程的三种基本方法
求解差分方程的三种基本方法一、引言差分方程是数学中的一种重要的方程类型，它描述了随时间变化的某一物理量的变化规律。
求解差分方程是数学中的一个重要问题，本文将介绍求解差分方程的三种基本方法。
二、递推法递推法是求解差分方程最常用的方法之一。
递推法的基本思想是从已知条件开始，通过不断地递推求出未知条件。
具体步骤如下：1. 将差分方程转化为递推关系式。
2. 根据已知条件确定初始值。
3. 通过递推关系式不断计算出后续值，直到得到所需的未知条件。
4. 验证得到的结果是否符合原来的差分方程。
三、特征根法特征根法也称为特征值法或本征值法，它是求解线性齐次差分方程最常用的方法之一。
特征根法的基本思想是通过求解差分方程对应齐次线性常系数微分方程所对应的特征方程来得到其通解。
具体步骤如下：1. 将差分方程转化为对应齐次线性常系数微分方程。
2. 求出该微分方程对应的特征方程。
3. 求解特征方程得到其特征根。
4. 根据特征根求出微分方程的通解。
5. 将通解转化为差分方程的通解。
四、拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是求解非齐次差分方程最常用的方法之一。
拉普拉斯变换法的基本思想是将差分方程转化为对应的积分方程，并通过求解积分方程来得到其通解。
具体步骤如下：1. 对差分方程进行拉普拉斯变换，将其转化为对应的积分方程。
2. 求解积分方程得到其通解。
3. 对通解进行反变换，得到差分方程的通解。
五、总结本文介绍了求解差分方程的三种基本方法：递推法、特征根法和拉普拉斯变换法。
其中递推法适用于求解线性或非线性齐次或非齐次差分方程；特征根法适用于求解线性齐次差分方程；而拉普拉斯变换法则适用于求解非齐次差分方程。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行求解。
(完整版)差分方程的常见解法
(完整版)差分方程的常见解法差分方程的常见解法差分方程是数学中的一种重要方程类型，常用于描述离散事件系统的发展规律。
在求解差分方程时，我们可以采用以下几种常见的解法。
1. 直接求解法直接求解法是最简单且常用的差分方程求解方法之一。
它的基本思想是通过观察差分方程的规律，找到解的形式，并通过代入验证得到确切的解。
举例来说，对于一阶线性差分方程$y_{n+1} = ay_n + b$，我们可以猜测解的形式为$y_n = c\lambda^n$，其中$c$和$\lambda$为待定常数。
将此解代入方程，再通过已知条件解得$c$和$\lambda$的值，从而得到原差分方程的解。
2. 特征方程法特征方程法是一种常用于求解线性齐次差分方程的方法。
对于形如$y_{n+2} = ay_{n+1} + by_n$的差分方程，我们可以通过构造特征方程来求解。
具体步骤是，我们将差分方程中的项移动到一边，得到$y_{n+2} - ay_{n+1} - by_n = 0$。
然后，假设解的形式为$y_n =\lambda^n$，将其代入方程，得到特征方程$\lambda^2 - a\lambda - b = 0$。
解这个特征方程，得到特征根$\lambda_1$和$\lambda_2$，然后通解的形式为$y_n = c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n$，其中$c_1$和$c_2$为待定常数。
3. Z 变换法Z 变换法是一种广泛应用于差分方程求解的方法，特别适用于线性时不变差分方程。
该方法的基本思想是将差分方程转化为代数方程，并利用 Z 变换的性质求解。
对于差分方程$y_{n+1} = ay_n + b$，通过取 Z 变换，我们可以得到转化后的方程$Y(z) = azY(z) + b \frac{1}{1 - z^{-1}}$，其中$Y(z)$代表$y_n$的Z 变换。
然后，将方程整理，求解得到$Y(z)$，再通过反 Z 变换将其转换为差分方程的解$y_n$。
第3章差分方程方法
第三章差分方程方法在实质问题中，很多事物所研究的变量都是失散的形式，所成立的数学模型也是失散的，比方政治、经济和社会等领域中的实质问题。
好多时候，即便所建立的数学模型是连续形式，比如象常有的微分方程模型、积分方程模型等，可是常常因为不可以求分析解，而需要用计算机求数值解。
这要求将连续变量在必定的条件下进行失散化，进而将连续模型转变为失散模型，最后归纳为求失散形式的差分方程的问题。
对于差分方程研究和求解方法在成立数学模型、解决实质问题的过程中起侧重要的作用。
3.1 差分方程和常系数线性差分方程3.1.1 差分和差分方程的观点定义 3.1 设函数y f (x) ,记为 y x.当 x 取遍所有的非负整数时, 函数值能够排成一个数列 :y0 , y1 , y2 , , y x ,. 则差y x 1y x称为函数 y x的差分, 也称为一阶差分 , 记为y x,即y x y x 1y x.简单考证差分拥有以下性质:(1) (cy x ) c y x;(2) ( y x z x ) y x z x.又( y x )yx 1 y x ( y x 2 y x 1 ) ( y x 1 y x ) yx 2 2 y x 1 y x : 2 y x称为函数 y x的二价差分,近似地, 能够定义三阶、四阶差分 .定义 2.2 含有未知函数差分或表示未知函数几个期间值的符号的方程称为差分方程 , 如F ( x, y x , y x 1 , y x 2 , , y x n ) 0;G( x, y x , y x 1 , y x 2 , , y x n ) 0;H ( x, y x , y x , 2 y x , , n y x ) 0.差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为此差分方程的阶.假如差分方程中对于未知函数及未知函数的各阶差分都是线性函数 , 就称此方程为线性的 . 假如一个函数代入差分方程后 , 方程恒成立 , 则这个函数称为该差分方程的解 .3.1.2 常系数齐次线性差分方程考虑常系数 k 阶线性差分方程y n a 1 y n 1 a 2 y n 2 a k y n k0 . (3.1)称代数方程k k 1 a k 1a k 0 . (3.2)a 1为方程 (3.1) 的特点方程 , 特点方程的根称为特点根 .常系数线性差分方程的解可依据相应的特点根的状况给出 . 下边分别由特点根为单根、重根和复根的状况写出差分方程的解的状况。
差分方程的求解方法及其应用
差分方程的求解方法及其应用差分方程是数学中一个比较重要的分支，用于描述离散化的动态系统和过程，广泛应用于物理、工程、生态、经济、金融等领域。
通过离散化，可以将连续的问题转化为离散的数值计算问题，从而可以用计算机进行求解。
本文将介绍差分方程的求解方法及其应用，希望能够对读者有所帮助。
一、差分方程的定义差分方程是指包含有未知函数的离散变量的函数方程。
通俗的说，就是说差分方程用来描述离散的数学模型。
一般的差分方程可以写成如下形式：$$y_{n+1} = f(y_n, y_{n-1}, \cdots, y_{n-k+1}, n)$$其中，$y_n$ 是未知函数在 $n$ 时刻的值，$f$ 是一个给定的函数，$k$ 是差分方程中自变量的个数。
当 $k=1$ 时，常常称为一阶差分方程，如下所示：$$y_{n+1} = f(y_n, n)$$此外还有二阶、三阶等高阶差分方程。
差分方程与微分方程相似，都是用来描述某种动态系统的变化规律，只是微分方程是描述连续变化的模型，而差分方程是描述离散变化的模型。
二、差分方程的求解方法差分方程的求解方法可以分为两类，一类是解析解法，即用数学公式直接求解；另一类是数值解法，即用计算机进行数值计算求解。
1. 解析解法对于一些特殊的差分方程，可以用解析解法求出解析解。
解析解法就是通过数学公式直接求解，得到函数在论域上的解析表达式，从而可以对解析表达式进行分析求得有关该函数的很多重要信息。
以一阶线性差分方程为例，即：$$y_{n+1} = ay_n + b, \ \ (n=0,1,2,\cdots)$$其中 $y_0$ 是已知值， $a$ 和 $b$ 是常数。
可以通过数学公式得到该差分方程的解析解：$$y_n = a^ny_0 + b\frac{a^n-1}{a-1}, \ \ (n=0,1,2,\cdots)$$其它的高阶差分方程可以运用代数学、矩阵论、微积分等方法求解。
2. 数值解法数值解法是一种通过数值计算来求解差分方程的方法。
差分方程的解法
差分方程的解法1. 引言差分方程是描述离散系统的一种数学工具。
在许多科学领域和工程应用中，差分方程被广泛使用，例如物理学、经济学和计算机科学等。
对于一个给定的差分方程，寻找其解法是非常重要的，因为解法可以帮助我们理解系统的演化和预测其行为。
2. 常用的差分方程解法下面介绍几种常用的差分方程解法：2.1. 递推法递推法是差分方程解法中最常见和最简单的一种方法。
该方法基于差分方程的递推关系，通过迭代计算不同时间步长下的解，并逐步逼近真实解。
递推法适用于一些简单的线性差分方程，例如一阶和二阶差分方程等。
2.2. 特征方程法特征方程法主要用于解线性恒定系数差分方程。
通过将差分方程转化为代数方程，然后求解特征方程的根，可以得到差分方程的通解。
特征方程法适用于一些具有周期性和稳定性的差分方程。
2.3. 变换法变换法是一种将差分方程转化为其他类型方程然后求解的方法。
常见的变换方法有Z变换、拉普拉斯变换和离散傅里叶变换等。
通过变换法，我们可以将差分方程转化为易于求解的形式，从而得到解析解或近似解。
2.4. 迭代法迭代法是一种通过迭代计算逼近差分方程解的方法。
常见的迭代方法有欧拉法、龙格-库塔法和蒙特卡洛方法等。
迭代法适合于解决非线性、复杂或高阶的差分方程，并能够提供数值解。
3. 解法选择的依据在选择差分方程的解法时，我们需要根据差分方程的特性和给定问题的要求来确定一个最合适的解法。
以下是一些选择解法的依据：- 差分方程的类型和形式：不同类型和形式的差分方程可能适用于不同的解法。
- 解的精确性要求：如果需要求得解的精确值，可以选择特征方程法或变换法；如果只需要求得近似解，可以选择递推法或迭代法。
- 计算效率和速度要求：某些解法可能更加高效和快速，适合在大规模计算中使用。
- 可行性和实际性要求：选择对于给定问题实现可行并且实际可行的解法。
4. 结论差分方程的解法多种多样，每种解法都各具特点和适用范围。
在实际应用中，我们需要根据问题的要求和特点选择最合适的解法。
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第四章 差分方程方法在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。
这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。
关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。
下面就不同类型的差分方程进行讨论。
所谓的差分方程是指：对于一个数列{}n x ，把数列中的前1+n 项()n i x i ,2,1,0=关联起来所得到的方程。
4．1常系数线性差分方程4.1.1 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为02211=+⋯+++---k n k n n n x a x a x a x (4.1)其中k 为差分方程的阶数，()k i a i ,,2,1 =为差分方程的系数，且()n k a k ≤≠0。
对应的代数方程02211=++++--k k k k a a a λλλ （4.2） 称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。
常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。
下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。
1. 特征根为单根设差分方程（4.1）有k 个单特征根 k λλλλ,,,,321 ，则差分方程（4.1）的通解为nk k n n n c c c x λλλ+++= 2211，其中k c c c ,,,21 为任意常数，且当给定初始条件()0 i i x λ= ()k i ,,2,1 = (4.3)时，可以唯一确定一个特解。
2. 特征根为重根设差分方程（4.1）有l 个相异的特征根()k l l ≤≤1,,,,321λλλλ 重数分别为l m m m ,,,21 且k m li i =∑=1则差分方程（4.1）的通解为n l i m i li n i m i i n i m i i n n c n c n c x lλλλ112112111121-=-=-=∑∑∑+++=同样的，由给定的初始条件（4.3）可以唯一确定一个特解。
3. 特征根为复根设差分方程（4.1）的特征根为一对共轭复根βαλλi ±=21,和相异的2k -个单根k λλλ,,43 ,则差分方程的通解为nk k n n n n n c c c n c n c x λλλθρθρ+++++= 443321sin cos ,其中22βαρ+=, αβθarctan= . 同样由给定的初始条件（4.3）可以惟一确定一个特解。
另外，对于有多个共轭复根和相异实根，或共轭复根和重根的情况，都可以类似地给出差分方程解的形式。
4．1．2 常系数线性非齐次差分方程 常系数线性非齐次差分方程的一般形式为()n f x a x a x a x k n k n n n =++++--- 2211 (4.4)其中k 为差分方程的阶数，()k i a i ,,2,1 =为差分方程的系数，()n k a k ≤≠0,)(n f 为已知函数。
在差分方程（4.4）中，令0)(=n f , 所得方程02211=++++---k n k n n n x a x a x a x (4.5) 称为非齐次差分方程（4.4）对应的齐次差分方程，即与差分方程（4.1）的形式相同。
求解非齐次差分方程通解的一般方法为首先求对应的齐次差分方程（4.5）的通解*n x ，然后求非齐次差分方程（4.4）的一个特解()0n x ，则()0*n n n x x x +=为非齐次差分方程（4.4）的特解。
关于求*n x 的方法同求差分方程（4.1）的方法相同。
对于求非齐次方程（4.4）的特解()0n x 的方法，可以用观察法确定，也可以根据()f n 的特性用待定系数法确定，具体方法可参照常系数线性非齐次微分方程求特解的方法。
4.2 差分方程的平衡点及其稳定性一般来说，差分方程的求解是困难，实际中往往不需要求出差分方程的一般解，而只需要研究它的平衡点及其稳定性即可。
4.2.1 一阶线性常系数差分方程一阶线性常系数差分方程的一般形式为，⋯==++,2,1,0,1k b ax x k k其中b a ,为常数，它的平衡点由代数方程b ax x =+求解得到，不妨记为*x . 如果*lim x x k k =∞→，则称平衡点*x 是稳定的，否则是不稳定的。
为了便于研究平衡点*x 的稳定性问题，一般将其转化为求方程01=++k k ax x 的平衡点0*=x 的稳定性问题。
事实上，由01=++k k ax x可以解得()0x a x kk -=，于是0*=x 是稳定的平衡点的充要条件是：1 a . 4.2.2一阶线性常系数差分方程组一阶线性常系数齐次差分方程组的一般形式为()() ,2,1,0,1==++k B k Ax k x其中()k x 为n 维向量，A 为n n ⨯阶常数矩阵。
它的平衡点0*=x 是稳定的充要条件是A 的所有特征根都有1<i λ (i=1,2,…,n).对于一阶线性常系数非齐次差分方程组B k Ax k x =++)()1(， ⋯=,2,1,0k的情况同样给出4.2.3 二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数齐次差分方程的一般形式为,2,1,0,02112==++++k x a x a x k k k其中21,a a 为常数，其平衡点0*=x 是稳定的充要条件是特征方程0212=++a a λλ，的根21,λλ满足11<λ，12<λ。
对于一般的02112=++++k k k x a x a x 的平衡点的稳定性问题同样给出。
类似地，也可直接推广到n 阶线性差分方程的情况。
4.2.4 一阶非线性差分方程 一阶非线性方程的一般形式为()k k x f x =+1 ， ,2,1,0=k ，其中f 为已知函数，其平衡点定义为方程()x f x =的解*x 。
事实上，将()k x f 在*x 处作一阶的泰勒展开有()()()***'1x f x x x f x k k +-≈+，则*x 也是一阶线性方程()()()***'1x f x x x f x k k +-=+的平衡点，故此，平稳衡点*x 稳定的充要条件是|1)(*<'x f 。
4.3 连续模型的差分方法4.3.1 微分的差分方程 已知)(x f 在点k x 处的函数值)(k x f )1,...,1,0+=n k ，且b x x x a n =<<<=+110...，试求函数的导数值(),'k x f ),...2,1(n k =。
根据导数的定义，用差商代替微商，则有下面的差分公式。
向前差：kk k k k x x x f x f x f --≈++11')()()( ),,...,2,1(n k =向后差：11')()()(----≈k k k k k x x x f x f x f),,...,2,1(n k =中心差：111'1)()()(--+-+-≈k k k k k x x x f x f x f),,...,2,1(n k =4.3.2定积分的差分方法已知函数)(x f 在点k x 处的函数值)(k x f ，),,...,2,1(n k =且在],[b a 上可积，试求函数在],[b a 上的积分值⎰badx x f )(。
根据定积分的定义，则有一般的求积公式⎰∑=≈bank k k x f A dx x f 0)()(其中k A 为求积系数，它与k x 的选取方法有关。
取不同的求积系数，可以得不同的求积公式。
对于等距节点kh a x k += ),...,1,0(n k =，其中步长nab h -=为很小的数，则有如下的求积公式。
（1）复化矩阵公式；⎰∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++≈ban k h k a f h dx x f 1021)(。
（2）复化梯形矩阵；)]()(2)([2)]()([2)(11101b f x f a f hx f x f h dx x f n k k ban k k k ++=+≈∑⎰∑-=-=+（3）复化辛普森(Simpson)矩阵公式；⎰∑-=++++≈ban k k k k x f x f x f h dx x f 1121)]()(4)([6)()]()(2)(4)([111021b f x f xf a f n k k n k k +++=∑∑-=-=+其中)(21121+++=k k k x x x为子区间],[1+k k x x )1,...,1,0(-=n k 的中点。
（4）复化柯特斯(Cotes)公式；)](7)(12)(32)(12)(32)(7[90)(11104310211041b f x f x f x f x f a f hdx x f n k k n k k n k k n k k ba+++++≈∑∑∑∑⎰-=-=+-=+-=+其中434121,,+++k k k xxx 为子空间)1,...,1,0](,[1-=+n k x x k k 中的四等分点。
4.3.3常微分方程的差分方法 1. 一阶常微分方程的差分方法 设一阶常微分方程的定解问题为⎩⎨⎧==,)(),,(00'y x y y x f y其中函数),(y x f 关于 y 满足李普希兹条件，即保证问题解的存在唯一性。
现在的问题是求方程在一系列节点.......21<<<<n x x x 处的近似数值解,...,...,,21n y y y 不妨假设步长为 n n x x h -=+1 为常数。
在此，我们根据微分的差分方法，即用差商来近似代替微商，再利用“步进式”方法，可以给出求解问题(4-6)的差分方法。
（1）单步欧拉(Euler)公式用差商hx y x y n n )()(1-+近似代替))(,()('n n n x y x f x y =中的导数，则可以得差分公式,....2,1,0),,(1=+=+n y x hf y y n n n n其精度为)(2h O 阶的。
（2）两步欧拉公式 用差商hx y x y n n 2)()(11-+- 近似代替))(,()('n n n x y x f x y =中的导数，则可得差分公式,....2,1,0),,(211=+=-+n y x hf y y n n n n两步法需要用到前两步的方信息，一般不能自行起步，需先用单步方法求出1y ，其精度是)(2h O 阶的。