高考数学一轮复习精品教学案7.4 简单的线性规划问题(学生版) 新人教版
【高考A计划】高考数学第一轮复习 第47课时 简单的线性规划学案
【高考A 计划】2014高考数学第一轮复习 第47课时 简单的线性规划学案 新人教A 版课题一：简单的线性规划 一．复习目标：1．了解用二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用； 2．通过以线性规划为内容的研究课题与实习作业，提高解决实际问题的能力． 二．知识要点：已知直线0Ax By C ++=，坐标平面内的点00(,)P x y ．1．①若0B >，000Ax By C ++>，则点00(,)P x y 在直线的 方； ②若0B >，000Ax By C ++<2．①若0B >，0Ax By C ++>②若0B <，0Ax By C ++>三．课前预习：1．不等式240xy -->()A 左上方 ()B 右上方2()A 220102x y x y -+≤⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩()B 210x y x y -⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩()C 2201002x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩()D 210x y x y -⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩3．给出平面区域（包括边界）如图所示，若使目标函数(0)z ax y a =+>取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ）()A 14 ()B 35 ()C 4 ()D 534．原点和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧， 则a 的取值范围是 ．2)5.由|1|1y x ≥+-及||1y x ≤-+表示平面区域的面积是 .四．例题分析：例1．某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/时（420v ≤≤）从A 港到相距50海里的B 港去，然后乘汽车以ω千米/时（30100ω≤≤）自B 港到相距300千米的C 市去，计划在当天下午4至9时到达C 市.设乘船和汽车的时间分别为x 和y 小时，如果已知所要的经费（单位：元）1003(5)(8)P x y =+⋅-+-，那么v ，ω分别是多少时所需费用最少？此时需要花费多少元？ 小结：例2．某运输公司有10辆载重量为6吨的A 型卡车与载重量为8吨的B 型卡车，有11名驾驶员.在建筑某段高速公路中，该公司承包了每天至少搬运480吨沥青的任务.已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车7次；每辆卡车每天的成本费A 型车350元，B 型车400元.问每天派出A 型车与B 型车各多少辆，公司所花的成本费最低，最低为多少？ 小结：小结：五．课后作业： 班级 学号 姓名 1．三个点(1,1)P 、(2,2)Q 、(0,1)R -中，在由方程|1||1|1x y -+-=确定的曲线所围成区域中的个数有 （ ） ()A 3个 ()B 2个 ()C 1个 ()D 0个2．已知集合{(,)||||1}A x y x y =+≤，集合{(,)|()()}0B x y y x y x =-+≤，M A B =，则M 的面积是 ．3．已知整点(,3)P a 在不等式组430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域内，则a 为 ．4．某人有楼房一幢，室内面积共1802m ，拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为182m ，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为152m ，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？5．已知三种食物P 、Q 、R 的维生素含量与成本如下表所示.现在将xkg 的食物和的食物及的食物混合，制成100的混合物.如果这100kg 的混合物中至少含维生素A 44000单位与维生素B 48000单位，那么,,x y z 为何值时，混合物的成本最小？6．设函数2()(,,0)f x ax c a c R a =-∈≠，又4(1)1f -≤-≤，1(2)5f -≤≤，求(3)f 的最小值、最大值以及取得最小值、最大值时,a c 的值．。
高三数学下册《线性规划问题》教案、教学设计
-针对难点，采用分步教学，逐步引学生从简单到复杂的问题解决，增强学生的自信心。
-对于建模能力的培养，设计不同背景的实际问题，指导学生逐步建立和求解模型。
-整合信息技术，如使用Excel或Lingo软件辅助教学，提高学生对线性规划问题求解的效率。
3.教学评价：
-采用多元化的评价方式，包括课堂问答、小组讨论表现、课后作业、实际案例分析报告等。
-关注学生在解决问题时的思维过程和方法选择，鼓励创新和灵活运用。
-定期进行阶段性的检测，及时了解学生的学习情况，针对性地调整教学策略。
4.教学支持：
-提供丰富的教学资源，包括教材、辅导书、在线学习平台等，以满足不同学生的学习需求。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：线性规划问题的建模与求解，特别是图像法和单纯形法的运用。
2.难点：
-理解线性规划问题的数学模型，并将其应用于实际问题。
-掌握图像法中的临界点和最优解的判定方法。
-理解并运用单纯形法求解线性规划问题，包括基本可行解的选取和迭代过程。
（二）教学设想
1.教学方法：
高三数学下册《线性规划问题》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解线性规划问题的基本概念，掌握线性规划问题的数学模型及其应用。
2.学会运用图像法求解线性规划问题，并能结合实际问题进行建模和求解。
3.掌握单纯形法的基本原理和步骤，能够运用单纯形法求解线性规划问题。
4.了解线性规划问题的应用领域，如经济、管理、工程等领域，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
请同学们认真完成作业，及时复习巩固，将所学知识内化为自己的能力。在完成作业过程中，如有任何问题，可通过线上平台、课后辅导等途径寻求帮助。期待大家在下次课堂上展示自己的学习成果！
高三数学一轮复习 简单线性规划教案
本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。
三、教学过程：
（一）组织教学
让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。
（二）引入新课，
通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！
早在5000年以前我们中华民族的祖先就在龟甲、兽骨上刻出了许多用于记载占卜、天文历法、医术的原始文字“甲骨文”；到了夏商周时期，由于生产力的发展，人们掌握了金属的治炼技术，便在金属器皿上铸上当时的一些天文，历法等情况，这就是“钟鼎文”（又名金文）；秦统一全国以后为了方便政治、经济、文化的交流，便将各国纷杂的文字统一为“秦篆”，为了有别于以前的大篆又称小篆。（请学生讨论这几种字体的特点？）古文字是一种以象形为主的字体。
4．由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的
5. 填表：线性规划中的基本概念
二、基础练习
1．满足如图所示的平面区域(阴影部分)的不等式是___________．
2．不等式组 所表示的平面区域的
面积为________．
3．画出下列不等式(组)表示的平面区域．
(1)2x＋y－10＜0；
四、课堂练习
如图，△ABC中，A(0,1)，B(－2,2)，C(2,6)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．
高三 一轮复习 线性规划 教案
教学内容二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C＞0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．[试一试]1．如图所示的平面区域(阴影部分)满足的不等式是______．2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是________．1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧． 2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值的方法将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(1)当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；(2)当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．[练一练](2014·南京一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ≥0，x ≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．解析：作出可行域，如图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点(－1,1)时，z 取得最小值－1. 答案：－1考点一二元一次不等式(组)表示平面区域1.由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，y ≥0，y ≤x －1所确定的平面区域的面积等于________.2．(2014·苏锡常镇调研)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，0＜x ≤3，y ＞1x所表示的平面区域内的所有格点(横、纵坐标均为整数的点称为格点)中任取3个点，则该3点恰能作为一个三角形的三个顶点的概率为________．3．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．[类题通法]二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．考点二求目标函数的最值线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有： (1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标的最值； (3)求线性规划中的参数. 角度一 求线性目标函数的最值1．(1)(2014·徐州摸底)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝2x －y 的最大值是________．的最大值是113，则实数k ＝________.(2)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －8≤0，x ≤3.若点⎝⎛⎭⎫3，52是使ax －y 取得最小值的唯一的可行解，则实数a 的取值范围为________．[类题通法]1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a .注意：转化的等价性及几何意义．考点三线性规划的实际应用[典例] 某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为________元．[类题通法]求解线性规划应用题的注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式． [针对训练]某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元．[课堂练通考点]1．(2014·扬州期末)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥4，2x ＋y ≤5，则z ＝2x －y 的最大值是________．OA·OP的最大值。
高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明1二元一次不等式与简单的线性规划问题课件新人教A版22
标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得
最值.
-27考点1
考点2
考点3
对点训练 2(1)(2020 河北唐山二模)已知 x,y 满足约束条件
- + 2 ≥ 0,
-2 + 1 ≤ 0,则 z=x-y 的最大值为( B )
包括
标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应_____
实线
边界直线,则把边界直线画成
.
(2)因为对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)
代入Ax+By+C,所得的符号都 相同
,所以只需在此直线的同
一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的 符号 即
-1 ≤ 0,
- + 1 ≥ 0
为( D )
A.-5
B.1
C.2
D.3
(2)如图,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示
+ -1 ≥ 0,
为 -2 + 2 ≥. 0
-17考点1
考点2
考点3
+ -1 ≥ 0,
解析: (1)不等式组 -1 ≤ 0,
所围成的平面区域如图所示.
3
3
7
A.1
B.
C.
D.
2
4
4
- ≥ 0,
2 + ≤ 2,
(2)若不等式组
表示的平面区域是一个三角形,则
≥ 0,
+ ≤
a 的取值范围是( D )
2022届高考数学统考一轮复习第七章7.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题课件文新人教版
2．二元一次不等式表示平面区域的判断方法 直线l：Ax＋By＋C＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分， 当点在直线l的同一侧时，点的坐标使式子Ax＋By＋C的值具有相同的 符号，当点在直线l的两侧时，点的坐标使Ax＋By＋C的值具有相反的
符号．
3．线性规划中的基本概念
4.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域 (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成
3
解析：作出可行域如图中阴影部分所示， 作出直线x＋3y＝0并平移，可知当直线过 点A(0，1)时，z取得最小值，最小值为3.
9
考点三 线性规划的实际应用[互动讲练型] [例5] [2016·全国卷Ⅰ]某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙 两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5 个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工 时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时 的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
实线． (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，
则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证．
5．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域 对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有 (1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方． (2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
7
悟·技法 1.求目标函数的最值3步骤 (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平 行直线系中过原点的那一条直线； (2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置； (3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目5)
高三一轮复习教学案二元一次方程与线性规划
高三一轮复习教学案二元一次方程与线性规划§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域例1(1)若不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则k的值是() A.73 B.37C.43 D.34(2)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．答案(1)A(2)x＋y－1≥0，x－2y＋2≥0解析(1)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y＝kx＋43过定点?0，43.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋43能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D12，52.当y＝kx＋43过点?12，52时，52＝k2＋43，所以k＝73.(2)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0，又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即?x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域．思维升华二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．(1)在平面直角坐标系中，若不等式组x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a 的值为( ) A ．－5 B ．3 C ．5 D ．7(2)如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式____．答案 (1)D (2)x ＋y －1>0 解析 (1)直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)，且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.(2)边界对应直线方程为x ＋y －1＝0，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足x ＋y －1>0.题型二求线性目标函数的最值例2 (1)(2014·广东)若变量x ，y 满足约束条件y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8(2)(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 (1)B (2)12解析 (1)画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由 y ＝x ，y ＝－1，得x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)．由x ＋y ＝1，y ＝－1，得x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由 x ＝1，y ＝a (x －3)，得?x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a＝1，解得a ＝12.思维升华线性规划问题的解题步骤：(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线； (2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．(1)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组0≤x ≤2，y≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2(2)(2014·北京)若x ，y 满足x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y－x 的最小值为－4，则k 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－1 2答案 (1)B (2)D 解析 (1)由线性约束条件0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A (－2k，0)．∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D.题型三线性规划的实际应用例3 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．思维升华解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．答案 27解析设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，则获得的利润为z ＝5x ＋3y . 由题意得x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．题型四求非线性目标函数的最值例4 (1)设实数x ，y 满足x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx的最大值为________．(2)已知O 是坐标原点，点A (1,0)，若点M (x ，y )为平面区域x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则|OA →＋OM →|的最小值是________．答案 (1)32 (2)322解析 (1)yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率，在点(1，32)处取到最大值．(2)依题意得，OA →＋OM →＝(x ＋1，y )，|OA →＋OM →|＝(x ＋1)2＋y 2可视为点(x ，y )与点(－1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1,0)向直线x ＋y ＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(－1,0)的距离最小，因此|OA →＋OM →|的最小值是|－1＋0－2|2＝322.思维升华常见代数式的几何意义有 (1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离； (2)(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )之间的距离；(3)yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率； (4)y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．跟踪训练4 (1)设不等式组x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2是与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称的区域，对于Ω1中的任意一点A 与Ω2中的任意一点B ，|AB |的最小值等于( ) A.285 B ．4 C.125D ．2 (2)设变量x ，y 满足5x ＋2y －18≤0，2x －y ≥0，x ＋y －3≥0，若直线kx －y ＋2＝0经过该可行域，则k 的最大值为________．答案(1)B (2)1解析 (1)由题意知，所求的|AB |的最小值，即为区域Ω1中的点到直线3x －4y －9＝0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，可看出点(1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离最小，故|AB |的最小值为2×|3×1－4×1－9| 5＝4，选B.(2)画出可行域如图，k 为直线y ＝kx ＋2的斜率，直线过定点(0,2)，并且直线过可行域，要使k 最大，此直线需过B (2,4)点，所以k ＝4－22－0＝1.利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值典例：(12分)变量x 、y 满足x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．思维点拨点(x ，y )在不等式组表示的平面区域内，y x ＝y －0x －0表示点(x ，y )和原点连线的斜率；x 2＋y 2表示点(x ，y )和原点距离的平方；x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y )和点(－3,2)的距离的平方．规范解答解 (1)由约束条件x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ?1，225. 由?x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由?x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．[4分] ∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.[6分](2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. ∴2≤z ≤29.[9分](3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8. ∴16≤z ≤64.[12分]温馨提醒(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．(3)本题错误率较高．出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题.方法与技巧1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．2．求最值：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x＋z b ，通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．4．利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题．失误与防范1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值.。
2020年高三一轮复习数学教案第24讲《简单线性规划》(学生版)
个性化教学辅导教案1、函数的函数值恒小于零，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2、已知不等式的解集为,则的值为（____）A．-14 B．-10 C．14 D．101、若实数，满足则的最大值是（）A．-1 B．1 C．2 D．32、设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．6 B．3 C．D．1 3、设实数满足，则的最小值为（）A．4 B．C．D．0 4、若x，y满足约束条件目标函数z＝ax+2y仅在点(1，0)处取得最小值，则a的取值范围是__________．5、为迎接2017年“双”，“双”购物狂欢节的来临，某青花瓷生产厂家计划每天生产汤碗、花瓶、茶杯这三种瓷器共个，生产一个汤碗需分钟，生产一个花瓶需分钟，生产一个茶杯需分钟，已知总生产时间不超过小时．若生产一个汤碗可获利润元，生产一个花瓶可获利润元，生产一个茶杯可获利润元．（1）使用每天生产的汤碗个数与花瓶个数表示每天的利润（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？学科分析：从教材内容来看，《简单的线性规划问题》是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识，再理解，它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中比较抽象，对学生要求较高，有时必须予以掌握的内容。
简单的线性规划问题频繁地再近几年高考中出现，不仅考查学生的作图，识图能力，还对学生的观察能力，联想能力以及推理能力提出了较高的要求，培养学生学习数学的兴趣，应用数学意识和解决实际问题的能力。
学生分析：1、学习风格（动觉型、视觉型、听觉型）2、知识点分析：（1）掌握简单线性规划求最值问题；（2）掌握非线性规划求最值问题；（3）掌握含参数的简单线性规划问题；【精准突破一】学习目标：掌握简单线性规划求最值问题目标分解：（1）掌握可行域的作图；（2）掌握简单线性规划分析最值；（3）简单线性规划在实际应用；【目标1：掌握可行域的作图】1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面内的点P（x0，y0）.B＞0时，①Ax+By0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的上方；②Ax0+By0+C＜0，则点P（x0，y）在直线的下方.对于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数.当B＞0时，①Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；②Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0下方的区域.【例1】在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是( ) A．B． C．D．【目标2：掌握简单线性规划分析最值】应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.【例2】设实数满足约束条件，则的最大值为（）A．-3 B．-2 C．1 D．2【目标3：简单线性规划在实际应用】解线性规划应用问题的一般步骤：（1）分析题意，设出未知量，列出线性约束条件和目标函数；（2）作出可行域；（3）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形，并利用数形结合求最优解；（4）将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值（5）作答．【例3】某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在两种设备上加工，生产一件甲产品需用设备2小时，设备6小时；生产一件乙产品需用设备3小时，设备1小时. 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（）A．320千元B．360千元C．400千元D．440千元【精准突破二】学习目标：掌握非线性规划求最值问题目标分解：（1）掌握目标函数为“斜率型”的解法；（2）掌握目标函数为“距离型”的解法；【目标1：掌握目标函数为“斜率型”的解法】【例4】设，满足约束条件则的取值范围是（）A．B．C．D．【目标2：掌握目标函数为“距离型”的解法】【例5】设 P点在圆上移动，点满足条件，则的最大值是_____________.【精准突破三】学习目标：掌握含参数的简单线性规划问题目标分解：（1）掌握“动可行域”的解法；（2）掌握“动目标函数”的解法；【目标1：掌握“动可行域”的解法】【例6】已知满足（为常数），若最大值为，则=( ) A．B．C．D．【目标2：掌握“动目标函数”的解法】解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.【例7】已知变量满足约束条件，若目标函数仅在点（5,3）处取得最小值，则实数的取值范围为_______________。
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2013年高考数学一轮复习精品教学案7.4 简单的线性规划问题（新课标人教版，学生版）【考纲解读】1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.不等式是历年来高考重点内容之一, 在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度中低高都有，在解答题中，经常与数列、三角函数、解析几何等知识相结合，在考查不等式知识的同时，又考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查不等式的基本知识或与其他知识相结合，命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.已知直线l ：0=++C By Ax 把坐标平面分成两部分，在直线l 同侧的点，将其坐标带入C By Ax ++得到的实数符号都相同，在直线l 异侧的点，使将其坐标带入C By Ax ++得到的实数符号都相反.2．二元一次不等式所表示平面区域的判断方法可概括为直线定界,特殊点定域.3.二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.4.图解法解决简单线性规划问题时关键是找出约束条件和目标函数，步骤：（1）把题目中的量分类分清，（2）设出变量，寻求约束条件列出不等式组，找出目标函数，（3）准确作图，利用平移直线法求最优解，（4）回归实际问题。
【例题精析】考点一 求目标函数的最值例1.（2012年高考辽宁卷文科9）设变量x ，y 满足10,020,015,x y x y y -⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩…则2x+3y 的最大值为( )(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55 【变式训练】1. (2012年高考山东卷文科6)设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是( )(A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3[6,]2- 考点二 线性规划的实际应用例2. (2012年高考江西卷理科8)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜6吨0.9万元0.3万元位：亩）分别为（ ）A ．50，0B ．30，20C ．20，30D ．0，50 【变式训练】2. (2012年高考四川卷理科9)某公司生产甲、乙两种桶装产品。
已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。
每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。
公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。
通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A 、1800元B 、2400元C 、2800元D 、3100元 【易错专区】问题：求目标函数最值时,约束条件或目标函数中含有字母例. （2009年高考山东卷理科第12题） 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值为12，则其的最小值为（ ）A.625B. 38C. 311D. 4【课时作业】1. (2012年高考天津卷文科2)设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数z=3x-2y 的最小值为 ( )（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）32．（2011年高考湖北卷文科8)直线与不等式组0,0,2,4320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎨-≥-⎪+≤⎩表示平面区域的公共点有( )A.0个B.1个C.2个D.无数个3. (2010年高考宁夏卷文科11)已知Y ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在Y ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是( )（A）（-14，16）（B）（-14，20）（C）（-12，18）（D）（-12，20）4. (2012年高考上海卷文科10)满足约束条件22x y+≤的目标函数z y x=-的最小值是.5. （2009年高考山东卷文科第16题）某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为元.6.（2011年高考陕西卷文科12)如图，点(,)x y在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x y-的最小值为.7．（2011年高考湖南卷文科14)设1,m>在约束条件1y xy mxx y≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数5z x y=+的最大值为4，则m的值为．8. (2010年高考安徽卷理科13)设,x y满足约束条件2208400 ,0x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z abx y a b=+>>的最大值为8，则a b+的最小值为________。
【考题回放】1.(2012年高考广东卷文科5)已知变量x,y满足约束条件1110x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的最小值为( )A.3B.1C.-5D.-62. (2012年高考辽宁卷理科8)设变量x，y满足,152010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-yyxyx则yx32+的最大值为( )(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 553.（2012年高考新课标全国卷文科5）已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是( )（A）(1－3，2) （B）(0，2) （C）(3－1，2) （D）(0，1+3)4.(2012年高考四川卷文科8)若变量,x y满足约束条件3,212,212x yx yx yxy-≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，则34z x y=+的最大值是（）A、12B、26C、28D、335. (2012年高考福建卷文科10)若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件则实数m 的最大值为( )A.-1B.1C. 32 D.26. （2011年高考山东卷文科7)设变量x，y满足约束条件25020x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数231z x y=++的最大值为( ) (A)11 (B)10 (C)9 (D)8.57.（2011年高考浙江卷文科3)若实数x y、满足不等式组2502700,0x yx yx y+-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩,则3x y+4的最小值是( )(A)13 (B)15 (C)20 (D)288. (2011年高考安徽卷文科6)设变量x,y满足,x y1x y1x+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥0⎩,则x y+2的最大值和最小值分别为( )（A）1，-1 (B) 2，-2 (C ) 1，-2 (D)2，-19.（2012年高考安徽卷文科8）若x ，y满足约束条件2323xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y=-的最小值是（）（A）-3 （B）0 （C）32（D）310．(2011年高考广东卷文科6)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0222xyx y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定，若(),M x y为D上的动点，点A的坐标为()2,1，则z OM OA=⋅u u u u r u u u r的最大值为（）A．3 B．4 C．32D．4211. （2011年高考四川卷文科10)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润( )（A）4650元（B）4700元(C) 4900元（D）5000元12. (2011年高考湖南卷理科7)设,1>m在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥1yxmxyxy下，目标函数myxz+=的最大值小于2，则m的取值范围为( )A.()21,1+ B. ()+∞+,21 C. ()3,1 D. ()+∞,313．(北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)已知点(,)P x y的坐标满足条件1,2,220,xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y+的取值范围是（）（A）[1,4]（B）[1,5]（C）4[,4]5（D）4[,5]514. (2012年高考湖北卷文科14)若变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值是________.15. (2012年高考浙江卷文科14) 设z=x+2y，其中实数x，y满足1020x yx yxy-+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则z的取值范围是_________。