高考数学复习专题14计数原理与概率统计古典概型考点剖析
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。
对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。
下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。
一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。
它的特点是试验结果有限且等可能。
例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。
答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。
然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。
2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。
常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。
比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。
答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。
例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。
然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。
3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。
答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。
4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。
二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
§14.4 古典概型与几何概型
“围棋”社团被抽取的同学中有 2 名女生,求至少有 1 名女同学被选担任监督职务
的概率.
解析
【解析】(1)设抽样比为 x,则由分层抽样可知,从“街舞”“围棋”“武术”三个社团 抽取的人数分别为 320x,240x,200x,则由题意得 320x-240x=2,解得 x=410,
故从“街舞”“围棋”“武术”三个社团抽取的人数分别为 320×410=8,240×410=6, 200×410=5.
.
答案
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、几何概型 1.定义:若每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度 (面积或体积) 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.几何概型的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有 无限多个 . (2)等可能性:每个结果的发生具有 等可能性 .
构成事件������的区域长度(面积或体积) 3.几何概型的概率公式 P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度(面积. 或体积)
������
2.利用古典概型求概率的关键是要正确求出基本事件的总数和随机事件包 含的基本事件的个数,对于较复杂的题目,计数时要正确分类,分类时应不重不漏, 要正确选择列举法、列表法、树状图法等.
【追踪训练 1】(2020 届天津高考模拟)根据调查,某学校开设了“街舞”“围
棋”“武术”三个社团,三个社团参加的人数如下表所示:
(2)从抽出的 6 人中,任选 2 人参加一对一的对抗比赛,基本事件总数为 n=C62=15, 这 2 人来自同一年龄组包含的基本事件个数为 m=C32+C22=4, ∴这 2 人来自同一年龄组的概率 P=������������=145.
解析
点拨：1.求古典概型概率的步骤 (1)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件 A; (2)分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m; (3)利用公式 P(A)=������,求出事件 A 的概率.
高考数学复习专题14计数原理与概率统计古典概型考点剖析
高考数学复习专题14计数原理与概率统计古典概型考点剖析古典概型主标题：古典概型副标题：为学生详细的分析古典概型的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：古典概型，古典概型公式难度：2重要程度：4考点剖析：1．理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.命题方向：1．古典概型与统计的综合应用，是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对古典概型与统计的综合应用的考查主要有以下几个命题角度：(1)由频率来估计概率；(2)由频率估计部分事件发生的概率；(3)求方差(或均值)等．规律总结：4种方法——基本事件个数的确定方法(1)列举法：(见本节考点一[方法规律])；(2)列表法：(见本节考点一[方法规律])；(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求；(4)计数原理法：如果基本事件的个数较多，列举有一定困难时，可借助于两个计数原理及排列组合知识直接计算出m，n，再运用公式求概率．2个技巧——求解古典概型问题概率的技巧(1)较为简单问题可直接使用古典概型的概率公式计算；(2)较为复杂的概率问题的处理方法：一是转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式进行求解；二是采用间接法，先求事件A的对立事件A的概率，再由P(A)＝1－P(A)求事件A的概率．1个构建——构建不同的概率模型解决问题(1)原则：建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”，这就要求选择恰当的观察角度，把问题转化为易解决的古典概型问题；(2)作用：一方面，对于同一个实际问题，我们有时可以通过建立不同“模型”来解决，即“一题多解”，在这“多解”的方法中，再寻求较为“简捷”的解法；另一方面，我们又可以用同一种“模型”去解决很多“不同”的问题，即“多题一解”.知识梳理1．古典概型的两个特征(1)试验的所有可能结果只有有限个．每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个试验结果出现的可能性都相同．2．古典概型的概率公式对于古典概型，通常试验中的某一事件A 是由几个基本事件组成，如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n ，随机事件A 包含的基本事件数为m ，那么事件A 的概率规定为P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝m n. 3．建立古典概率模型时对基本事件的要求(1)每次试验有且只有一个基本事件出现；(2)基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的．。
高考数学复习专题14计数原理与概率统计古典概型备考策略
古典概型备考策略主标题：古典概型备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
关键词：古典概型，古典概型公式，备考策略难度：2重要程度：4考点一 简单古典概型的概率【例1】 现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．解 从6道题中任取2道有n ＝C 26＝15(种)取法．(1)记“所取的2道题都是甲类题”为事件A ，则A 发生共有m ＝C 24＝6种结果． ∴所求事件概率P (A )＝m n ＝615＝25. (2)记“所取的2道题不是同一类题”事件为B ，事件B 包含的基本事件有C 14C 12＝8(种)，则事件B 的概率为P (B )＝815. 【备考策略】 有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.考点二 复杂的古典概型的概率【例2】 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15的外部或圆上的概率．解 由题意，先后掷2次，向上的点数(x ，y )共有n ＝6×6＝36种等可能结果，为古典概型．(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B ，则事件B 与“两数均为偶数”为对立事件，记为B .∵事件B 包含的基本事件数m ＝C 13C 13＝9.∴P (B )＝936＝14，则P (B )＝1－P (B )＝34，因此，两数中至少有一个奇数的概率为34. (2)点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15的内部记为事件C ，则C 表示“点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15上或圆的外部”．又事件C 包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共有8个．∴P (C )＝836＝29，从而P (C )＝1－P (C )＝1－29＝79.∴点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝15上或圆外部的概率为79.【备考策略】 (1)一是本题易把(2,4)和(4,2)，(1,2)和(2,1)看成同一个基本事件，造成计算错误．二是当所求事件情况较复杂时，一般要分类计算，即用互斥事件的概率加法公式或考虑用对立事件求解．(2)当所求事件含有“至少”“至多”或分类情况较多时，通常考虑用对立事件的概率公式P (A )＝1－P (A )求解．考点三 古典概型与统计的综合问题【例3】 某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．审题路线 (1)阅读茎叶图得出样本数据，利用平均数公式计算出样本均值．(2)根据样本算出优秀工人的比例，再估计12人中优秀工人的个数．(3)用组合数公式求出所有可能的组合的个数和符合条件的组合的个数，利用古典概型概率公式计算．解 (1)由茎叶图可知：样本数据为17,19,20,21,25,30.则x ＝16(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，故样本均值为22.(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名，故优秀工人的频率为26＝13.该车间12名工人中优秀工人大约有12×13＝4(名)，故该车间约有4名优秀工人．(3)记“恰有1名优秀工人”为事件A ，其包含的基本事件总数为C 14C 18＝32，所有基本事件的总数为C 212＝66.由古典概型概率公式，得P (A )＝3266＝1633. 所以恰有1名优秀工人的概率为1633. 【备考策略】 (1)本题求解的关键在于从茎叶图准确提炼数据信息，进行统计与概率的正确计算．(2)一是题目考查茎叶图、样本均值、古典概型等基础知识，考查样本估计总体的思想方法，以及数据处理能力．二是求解时要设出所求事件，进行必要的说明，规范表达，这 都是得分的重点．。
高考数学热点问题专题练习——古典概型知识归纳及例题讲解
古典概型一、基础知识：1、基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。
例如：在扔骰子的试验中，向上的点数1点，2点，……，6点分别构成一个基本事件2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该试验的基本事件空间，用Ω表示。
3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为12,,,n A A A（1）基本事件两两互斥（2）此项试验所产生的事件必由基本事件构成，例如在扔骰子的试验中，设i A 为“出现i 点”，事件A 为“点数大于3”，则事件456A A A A =（3）所有基本事件的并事件为必然事件 由加法公式可得：()()()()()1212n n P P A A A P A P A P A Ω==+++因为()1P Ω=，所以()()()121n P A P A P A +++=4、等可能事件：如果一项试验由n 个基本事件组成，而且每个基本事件出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件。
5、等可能事件的概率：如果一项试验由n 个基本事件组成，且基本事件为等可证明：设基本事件为12,,,n A A A ，可知()()()12n P A P A P A ===()()()121n P A P A P A +++= 6、古典概型的适用条件：（1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个 （2）每个基本事件出现的可能性相等当满足这两个条件时，事件A 发生的概率就可以用事件A 所包含的基本事件个7、运用古典概型解题的步骤：① 确定基本事件，一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件，一般来说，试验中的具体结果可作为基本事件，例如扔骰子，就以每个具体点数作为基本事件；在排队时就以每种排队情况作为基本事件等，以保证基本事件为等可能事件 ② ()(),n A n Ω可通过计数原理（排列，组合）进行计算③ 要保证A 中所含的基本事件，均在Ω之中，即A 事件应在Ω所包含的基本事件中选择符合条件的 二、典型例题：例1：从16-这6个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另外两个数的和的概率为________思路：事件Ω为“6个自然数中取三个”，所以()3620n C Ω==，事件A 为“一个数是另外两个数的和”，不妨设a b c =+，则可根据a 的取值进行分类讨论，列举出可能的情况：{}{}{}{}{}{}3,2,1,4,3,1,5,4,1,5,3,2,6,5,1,6,4,2，所以()6n A =。
古典概型知识点总结
古典概型知识点总结关键信息项：1、古典概型的定义2、古典概型的特点3、古典概型的概率计算公式4、基本事件的概念5、基本事件的特点6、古典概型的常见例题7、古典概型与其他概率类型的区别11 古典概型的定义古典概型是一种概率模型，它具有以下两个特点：试验中所有可能出现的基本结果是有限的。
每个基本结果出现的可能性相等。
111 有限性意味着试验的结果是可以一一列举出来的，不是无穷无尽的。
112 等可能性表明每个基本结果发生的概率相同，不存在某些结果更容易发生的情况。
12 古典概型的特点确定性：试验的条件和结果都是明确的。
互斥性：不同的基本事件之间是相互排斥的，不会同时发生。
121 可重复性相同的条件下，重复进行试验，结果具有稳定性。
122 规范性符合概率的基本定义和性质，能够通过计算得出准确的概率值。
13 古典概型的概率计算公式假设试验的基本事件总数为 n，事件 A 包含的基本事件数为 m，则事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
131 计算步骤确定基本事件的总数 n 。
确定事件 A 包含的基本事件数 m 。
代入公式计算 P(A) 。
132 注意事项计算要准确，避免遗漏或重复计算基本事件。
确保对基本事件的界定清晰无误。
14 基本事件的概念基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以由基本事件组合而成。
141 基本事件的性质独立性：每个基本事件的发生与否互不影响。
完整性：所有基本事件的集合构成了试验的全部可能结果。
15 基本事件的特点最小性：不能再分解为更小的随机事件。
明确性：能够清晰地定义和区分。
151 基本事件的表示通常用简单的符号或数字来表示。
152 基本事件的数量确定根据试验的具体情况，通过分析得出。
16 古典概型的常见例题掷骰子问题：计算掷出特定点数的概率。
抽奖问题：在有限数量的抽奖券中计算中奖的概率。
摸球问题：从装有不同颜色球的容器中摸出特定颜色球的概率。
161 例题分析详细阐述如何确定基本事件和所求事件包含的基本事件数。
高考数学复习专题14计数原理与概率统计几何概型考点剖析
几何概型
主标题：几何概型
副标题：为学生详细的分析几何概型的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：几何概型，几何概型公式
难度：2
重要程度：4
考点剖析：
1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
2．了解几何概型的意义.
命题方向：
以选择题或填空题形式考查几何概型，可与二元一次不等式组所表示的平面区域、定积分、向量等知识交汇考查基本概念，基本运算、难度中等.
规律总结：
1．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．
2．转化思想的应用
对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．
知识梳理
几何概型
(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
(2)特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
(3)公式：
P(A)＝
构成事件A的区域长度面积或体积
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
.。
(完整word)古典概型知识点总结,推荐文档
知识点：古典概型目录知识点总结常见考法误区提醒知识点难易度 (中)知识点总结本节主要包括古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等主要知识点。
其中主要是理解和掌握古典概型的概率计算公式，这个并不难。
1、古典概型（1）定义：如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，并且每个基本事件出现的可能性相等，则称此概率为古典概型。
（2）特点：①试验结果的有限性②所有结果的等可能性（3）古典概型的解题步骤；①求出试验的总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数；2、基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）。
常见考法本节在段考中，一般以选择题、填空题和解答题的形式考查古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等知识点，属于中档题。
在高考中多融合在离散型随机变量的分布列中考查古典概型的概率计算公式，属于中档题，先求出各个基本量再代入即可解答。
误区提醒在求试验的基本事件时，有时容易计算出错。
基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）。
【典型例题】例1 如图，四边形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，若每个小三角形用4种不同颜色中的任一种涂染，求出现相邻三角形均不同色的概率．解：若不考虑相邻三角形不同色的要求，则有44＝256(种)涂法，下面求相邻三角形不同色的涂法种数：①若△AOB与△COD同色，它们共有4种涂法，对每一种涂法，△BOC与△AOD各有3种涂法，所以此时共有4×3×3＝36(种)涂法．②若△AOB与△COD不同色，它们共有4×3＝12(种)涂法，对每一种涂法△BOC与△AOD各有2种涂法，所以此时有4×3×2×2＝48(种)涂法．故相邻三角形均不同色的概率例2 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取2次，每次只取1只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各1只；(3)取到的2只中至少有1只正品．解：从6只灯泡中有放回地任取2次，每次只取1只，共有62＝36(种)不同取法．。
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古典概型
主标题：古典概型
副标题：为学生详细的分析古典概型的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：古典概型，古典概型公式
难度：2
重要程度：4
考点剖析：
1．理解古典概型及其概率计算公式．
2．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.
命题方向：
1．古典概型与统计的综合应用，是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．
2．高考对古典概型与统计的综合应用的考查主要有以下几个命题角度：
(1)由频率来估计概率；
(2)由频率估计部分事件发生的概率；
(3)求方差(或均值)等．
规律总结：
种方法——基本事件个数的确定方法
(1)列举法：(见本节考点一[方法规律])；
(2)列表法：(见本节考点一[方法规律])；
(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求；
(4)计数原理法：如果基本事件的个数较多，列举有一定困难时，可借助于两个计数原理及排列组合知识直接计算出m，n，再运用公式求概率．
个技巧——求解古典概型问题概率的技巧
(1)较为简单问题可直接使用古典概型的概率公式计算；
(2)较为复杂的概率问题的处理方法：一是转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式进行求解；二是采用间接法，先求事件A的对立事件A的概率，再由P(A)＝1－P(A)求事件A的概率．
个构建——构建不同的概率模型解决问题
(1)原则：建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”，这就要求选择恰当的观察角
度，把问题转化为易解决的古典概型问题；
(2)作用：一方面，对于同一个实际问题，我们有时可以通过建立不同“模型”来解决，即“一题多解”，在这“多解”的方法中，再寻求较为“简捷”的解法；另一方面，我们又可以用同一种“模型”去解决很多“不同”的问题，即“多题一解”.
知 识 梳 理
1．古典概型的两个特征
(1)试验的所有可能结果只有有限个．每次试验只出现其中的一个结果；
(2)每一个试验结果出现的可能性都相同．
2．古典概型的概率公式
对于古典概型，通常试验中的某一事件A 是由几个基本事件组成，如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n ，随机事件A 包含的基本事件数为m ，那么事件A 的概率规定为
P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝m n
. 3．建立古典概率模型时对基本事件的要求 (1)每次试验有且只有一个基本事件出现；
(2)基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的．。