第12章电磁感应资料
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第12章节 电磁感应
法拉第（Michael Faraday,1791-1867)
法拉第于1791年出生在英国伦敦附近的 一个小村里，父亲是铁匠，自幼家贫，无 钱上学。13岁时到一家书店里当报童，次 年转为装订工。法拉第利用书店的条件， 业余时间贪婪地阅读了许多科学著作，例 如《化学对话》、《大英百科全书》的 《电学》条目等，这些著作开拓了他的视 野，激发了他对科学的浓厚兴趣. 1813年，到皇家研究院实验室当助理研究员。1821年任实验 室主任直到1865年。1824年，被推为皇家学会会员。次年正式 成为皇家学院教授。1851年，曾被一致推选为英国皇家学会会 长。1833年，法拉第发现了电解定律，1837年发现了电解质对 电容的影响，引入了电容率概念。1845年发现了磁光效应，后 又发现物质可分为顺磁质和抗磁质等。1867年8月25日，他坐在 书房的椅子上安祥地离开了人世。遵照他的遗言，在他的墓碑 上只刻了名字和生死年月。
电容器放电
+
+ + + + A + +
结论：电容器不能作为电源
VA VB
+ FK - B -
+
在回路中要出现稳恒电流必须存在稳恒电场。 外电路：电流从高电势向低电势运动。 内电路：电荷将克服静电场力作功，从低电势向高电势运动。
+ + +
+ E k + + + + A + FK + 电源
（1） 法拉第电磁感应定律的内容：导体回路中的感应电动势 的大小与穿过导体回路的磁通量的变化率成正比.
d m 写成等式： k 在 SI 制中 k =1 dt d m 负号表示感应电动势总 是反抗磁通量的变化 dt
第12章-电磁感应 电磁场和电磁波
0n1I1
则穿过半径为 r2 的线圈
的磁通匝数为
N2Φ21 N2B1(π r12 )
n2lB1(πr12 )
代入 B1 计算得 2 N2Φ21 0n1n2l(πr12 )I1
则
M 21
N 2Φ21 I1
0n1n2l(πr12 )
33
12-3 自感和互感
例3 上题中，若通过长度为 l2 的线圈 N2 的电流为 I2 ， 且 I2 是随时间而变化的，那么，因互感的作用，在线 圈 N1 中激起的感应电动势是多少呢？ 解 通过线圈 N1 的磁通匝数为
dV
V 2
36
12-4 磁场的能量 磁场能量密度
例1 有一长为 l 0.20m 、截面积 S 5.0cm2 的长直 螺线管。按设计要求，当螺线管通以电流 I 450mA 时，螺线管可储存磁场能量 Wm 0.10J . 试问此长直螺
线管需绕多少匝线圈？
解 由上一节可知，长直螺线管的自感为
L 0N 2S / l
i
OP Ek dl
(v
B)
dl
OP
l
p
i
设杆长为 l
i
vBdl vBl
0
o
16
12-2 动生电动势和感生电动势
例1 一长为 L 的铜棒在磁感强度为 B 的均匀磁场中,
以角速度 在与磁场方向垂直的平面上绕棒的一端转
动，求铜棒两端的感应电动势.
解 di (v B) dl
vBdl
螺线管储存的磁场能量为
Wm
1 2
LI 2
1 2
0 N 2S
l
I2
N 1 ( 2Wml )1/ 2 1.8104匝
当 dL 0 dt
大学物理电磁学 第12章 电磁感应
设 ab L 求：导线ab中的电动势
z
B
b
a
a
利用
d
v
B
dl
解：规定a到b为正方向，取线元dl
v
B
vB
rB
lB sin
B
z
d (v B)dl vBdl sin
b
r
B sin2 ldl L
d B sin2 ldl
a
l
dl v
B
BL2 sin2
2
0
>0 方向从 a 到 b
由于无漏磁 m21 m1
N1m1
NI21m2
m12
I
2 m2
线圈
L1
L2
1
M 2 N2m1
I1
N1m2
I2
L1L2
M L1L2
一般情况下 M k L1L2 0 k 1
N2 m2
B21
I2
线圈2
例题1：在通有电流I的长直导线附近有一半径为a，质 量为m的细小线圈，线圈可绕通过中心与直导线平行的 轴转动，直导线与细小线圈中心相距为d，设d》a，通
E感生
R2 2r
dB dt
r
O
若 dB 0 dt
E感生 〈 0
若 dB 0 dt
E感生 0
例2 如图中均匀磁场，且B以不变速率变化，求其中 线段ab内的感生电动势
L E感 dl
B dS S t
解：楞次定律
ob
ba
ao
dm
dt
a
因为 ao E感生 dl =0
O
b
ob E感生 dl 0
i
d i
b
a
z
B
b
a
a
利用
d
v
B
dl
解：规定a到b为正方向，取线元dl
v
B
vB
rB
lB sin
B
z
d (v B)dl vBdl sin
b
r
B sin2 ldl L
d B sin2 ldl
a
l
dl v
B
BL2 sin2
2
0
>0 方向从 a 到 b
由于无漏磁 m21 m1
N1m1
NI21m2
m12
I
2 m2
线圈
L1
L2
1
M 2 N2m1
I1
N1m2
I2
L1L2
M L1L2
一般情况下 M k L1L2 0 k 1
N2 m2
B21
I2
线圈2
例题1：在通有电流I的长直导线附近有一半径为a，质 量为m的细小线圈，线圈可绕通过中心与直导线平行的 轴转动，直导线与细小线圈中心相距为d，设d》a，通
E感生
R2 2r
dB dt
r
O
若 dB 0 dt
E感生 〈 0
若 dB 0 dt
E感生 0
例2 如图中均匀磁场，且B以不变速率变化，求其中 线段ab内的感生电动势
L E感 dl
B dS S t
解：楞次定律
ob
ba
ao
dm
dt
a
因为 ao E感生 dl =0
O
b
ob E感生 dl 0
i
d i
b
a
第12章电磁感应定律
第12章 电磁感应
(electromagnetic induction)
电源、电动势
负载
1.电源: 将其它形式的能量转变
为电能的装置。
Ek
在电源内部存在一非静电场 Ek 。
电源
2.电动势: 等于电源把单位正电荷从负极板经电源内部
移动到正极时所作的功。单位:伏特(V)。
i Ek dl
Ek ：是非静电场场强
度 B( x,t ) B0 sint sinkx，式中，k为已知常数。一
边长a,b的矩形导体回路置于其中，如图。 求回路中感应电动势对时间的关系。
解：回路不动，磁场随时间变化而， 即产生感生电动势。
建立坐标如图，取回路顺时针为正，
不论何种原因使通过回路的磁通量发生变化时，回路 中产生的感应电动势与磁通量对时间的变化率成正比。
SI制中表达式为：
i
d m
dt
式中的负号反映了感应电动势的方向（楞次定律
的数学表现）。
2.几点说明：
i
d m
dt
------单匝线圈
N匝线圈:
i
N k 1
ik
N k 1
d mk dt
dN
dt
B 变化
b
一、电磁感应现象
S
N
G
a
B 变化
b
一、电磁感应现象
S
N
G
a
B 变化
b
一、电磁感应现象
S
N
G
a
B 变化
b
一、电磁感应现象
S
N
G
a
B 变化
b
一、电磁感应现象
S
N
G
a
(electromagnetic induction)
电源、电动势
负载
1.电源: 将其它形式的能量转变
为电能的装置。
Ek
在电源内部存在一非静电场 Ek 。
电源
2.电动势: 等于电源把单位正电荷从负极板经电源内部
移动到正极时所作的功。单位:伏特(V)。
i Ek dl
Ek ：是非静电场场强
度 B( x,t ) B0 sint sinkx，式中，k为已知常数。一
边长a,b的矩形导体回路置于其中，如图。 求回路中感应电动势对时间的关系。
解：回路不动，磁场随时间变化而， 即产生感生电动势。
建立坐标如图，取回路顺时针为正，
不论何种原因使通过回路的磁通量发生变化时，回路 中产生的感应电动势与磁通量对时间的变化率成正比。
SI制中表达式为：
i
d m
dt
式中的负号反映了感应电动势的方向（楞次定律
的数学表现）。
2.几点说明：
i
d m
dt
------单匝线圈
N匝线圈:
i
N k 1
ik
N k 1
d mk dt
dN
dt
B 变化
b
一、电磁感应现象
S
N
G
a
B 变化
b
一、电磁感应现象
S
N
G
a
B 变化
b
一、电磁感应现象
S
N
G
a
B 变化
b
一、电磁感应现象
S
N
G
a
B 变化
b
一、电磁感应现象
S
N
G
a
大学物理-第12章--电磁感应
∴取以 r 为半径的圆周为绕行回路L ，绕行方向为逆时针,面元法线如图。
× × × ×
× ×××
r n ×L × × × ×
× × ××× × R
×××××
×
B
×× ×× ×× ××
当r < R
时： L E感 dl
S
B
dS
t
等式左边 L E感 dl L E感dl cos 00
× × × ×
导线内每个自由电子
受到的洛仑兹力为：
fm e(v B)
非静电力
?++ + ++
B
v
fm
在导线内部产生的静电场方向
ab
E
a
++ + ++
电子 受的静电力
fe
fe eE
平衡时： fe fm
此时电荷积累停止，
fm
ab 两端形成稳定的电势差。 b
★ 洛仑兹力是产生动生电动势的根本原因.
B
v
2、动生电动势的表达式
S 1 hL 2
磁通
m
1 hLB 2
B
t
0
o B h
C D
i
dm dt
1 hL dB 1 hL B 2 dt 2 t
L
讨论 只有CD导体存在时，
电动势的方向由C指向D
加圆弧连成闭合回路，
由楞次定理知：感生电流的
方向是逆时针方向……..
1 B hL
1 2 t
B SOCD t
？
铁芯
磁场 B
线圈
电 子束
环形 真空室
五、感生电场计算举例
例 12-5. 半径为R的长直螺线管内的磁场，以dB/dt 速
× × × ×
× ×××
r n ×L × × × ×
× × ××× × R
×××××
×
B
×× ×× ×× ××
当r < R
时： L E感 dl
S
B
dS
t
等式左边 L E感 dl L E感dl cos 00
× × × ×
导线内每个自由电子
受到的洛仑兹力为：
fm e(v B)
非静电力
?++ + ++
B
v
fm
在导线内部产生的静电场方向
ab
E
a
++ + ++
电子 受的静电力
fe
fe eE
平衡时： fe fm
此时电荷积累停止，
fm
ab 两端形成稳定的电势差。 b
★ 洛仑兹力是产生动生电动势的根本原因.
B
v
2、动生电动势的表达式
S 1 hL 2
磁通
m
1 hLB 2
B
t
0
o B h
C D
i
dm dt
1 hL dB 1 hL B 2 dt 2 t
L
讨论 只有CD导体存在时，
电动势的方向由C指向D
加圆弧连成闭合回路，
由楞次定理知：感生电流的
方向是逆时针方向……..
1 B hL
1 2 t
B SOCD t
？
铁芯
磁场 B
线圈
电 子束
环形 真空室
五、感生电场计算举例
例 12-5. 半径为R的长直螺线管内的磁场，以dB/dt 速
第十二章电磁感应电磁场
bA cb 0
bA cb bc
a
a
vBdy v
0I
dy
b
b 2y
0Iv ln b 2 a
O
I
a
C
v
B
A
v
b
y
bc
bA
讨论：（1）在磁场中旋转的导体棒
（a）棒顺时针旋转
v
L
S
0 (v B) dl
L
0 Bvdl
ω
L Bl dl 1 BL2
0
2
动生电动势的方向由 O指向A 。
回路中产生的感应电动势 的大小与磁通量对时
间的变化率成正比。
k dΦm
dt
dm
dt
负号表示感应电动势总是反抗磁通的变化
国际单位制中 k =1
单位: 1V=1Wb/s
若有N匝线圈，每匝磁通量相同，它们彼此串联，总电动 势等于各匝线圈所产生的电动势之和。令每匝的磁通量为 m
磁链数: Ψ NΦm
(2) 在磁场中旋转的线圈
在匀强磁场B 中， 面积为S 的N 匝矩形线
圈以角速度为 绕固定
的轴线作匀速转动。
在任意时刻 t，线圈平面法 线与磁场的夹角为，这时
通过线圈平面的磁链数
Nm NBS cos
ωn
d(Nm )
dt
NBS d sin NBS sin t
dt
max sin t ——交变电动势
能量的转换和守恒
外力做正功输入机械能，安培力做负功吸收 了它，同时感应电流以电能的形式在回路中输出 这份能量。
发电机的工作原理： 靠洛仑兹力将机械能转换为电能
3、动生电动势的计算
计算动生电动势的一般方法是：
第12章 电磁感应要点
二、电动势
电动势的定义：单位正电荷绕闭合回路运 动一周，非静电力所做的功. 电动势：
W q
l
qEk dl q
I
R +E -
+ + +Ek -
电源电动势大小等于将单位正电荷从负极 经电源内部移至正极时非静电力所作的功.
* +
_ Ri
*
正极 电源的电动势
负极 电源
和内阻 Ri
B
12－2 动生电动势 和感生电动势
一、动生电动势
二、感生电动势
法拉第电磁感应定律：
dΦ i dt
i 是回路中的
感应电动势
Φ B d变化方式：
导体回路不动，B变化~~感生电动势 导体回路运动，B不变~~动生电动势
12－1
电磁感应定律
一、电磁感应现象
二、楞次定律
三、电磁感应定律
一、电磁感应现象
当穿过闭合回 路所包围面积的 磁通量变化时， 回路中就会产生 电流，这种现象 称为电磁感应现 象。 电磁感应现象中产生的电流称为感应电流。
二、楞次定律
(判断感应电流方向)
闭合的导线回路中 所出现的感应电流，总 是使它自己所激发的磁 场反抗任何引发电磁感 应的原因（反抗相对运 动、磁场变化或线圈变 形等）。
v
d B d S Bl d x
由法拉第电磁感应定律， 可得感应电动势的大小：
d dx i Bl Bl v dt dt
由楞次定律，可得感应电流的方向：逆时针
例2 均匀磁场如图垂直纸面向里. 在垂直磁场的 平面内有一个边长为 l 的正方形金属细线框，在周长 固定的条件下，正方形变为一个圆，则图形回路中感 应电流方向为 （A）顺时针 （B）逆时针 （C）无电流 （D）无法判定
第12章 电磁感应(法拉第电磁感应定律)
解一： 取线元 dl
(v B) 与 dl 同向
L
v l
d (v Байду номын сангаасB) dl v Bdl Bldl
1 2 B L d Bldl 2 o
o dl v B
L
B dΦ m d Ek dl B dS dS l t dt dt
B l Ek dl t dS
涡旋电场是非保守场 不能引入电势概念！
变化的均匀磁场
B B(t )
b a
Ek外
B Ek dl dS t L
dΦ m 其数学表达式为： ε dt
dΦ m ε dt
式中“－”
d m 0, 则＜０ 如图 (a) dt d m 0, 则 ０ 如图 (b) dt
若线圈是Ｎ 匝串联而成 , 则 :
d m d m N dt dt m＝N m 单位：韦伯
m : 穿过整个线圈的磁通匝
Ek Ek
c
Ek外
dB (t ) 2 Ek 内 2π r π r dt dB (t ) Ek外 2π r π R2 dt
例：同一时刻 b、c 两点间 感生电场沿不同的路径的积 分值不同。
1 dB (t ) Ek 内 r 2 dt 1 dB(t ) 2 1 Ek外 R 2 dt r
o
交变的 电动势
x
i
0 r NI 0l
2π
π
da cos t ln d
取两个特殊的时间点来讨论
t
t
i 0
i i
L
(v B) 与 dl 同向
L
v l
d (v Байду номын сангаасB) dl v Bdl Bldl
1 2 B L d Bldl 2 o
o dl v B
L
B dΦ m d Ek dl B dS dS l t dt dt
B l Ek dl t dS
涡旋电场是非保守场 不能引入电势概念！
变化的均匀磁场
B B(t )
b a
Ek外
B Ek dl dS t L
dΦ m 其数学表达式为： ε dt
dΦ m ε dt
式中“－”
d m 0, 则＜０ 如图 (a) dt d m 0, 则 ０ 如图 (b) dt
若线圈是Ｎ 匝串联而成 , 则 :
d m d m N dt dt m＝N m 单位：韦伯
m : 穿过整个线圈的磁通匝
Ek Ek
c
Ek外
dB (t ) 2 Ek 内 2π r π r dt dB (t ) Ek外 2π r π R2 dt
例：同一时刻 b、c 两点间 感生电场沿不同的路径的积 分值不同。
1 dB (t ) Ek 内 r 2 dt 1 dB(t ) 2 1 Ek外 R 2 dt r
o
交变的 电动势
x
i
0 r NI 0l
2π
π
da cos t ln d
取两个特殊的时间点来讨论
t
t
i 0
i i
L
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d1 d2 d 1 2
dt dt
dt
N d dt
若1 2
而回路中的感应电流还与回路的电阻有关：
Ii
i
R
1 R
d dt
则通过回路中某一截面的电荷量为：
q
t2 t1
I i dt
1 R
2 d 1
1
R
1 2
楞次定律：感应电流的方向总是企图使感应电流本身
所产生的通过回路面积的磁通量，去补偿或反抗引起
第十二章 电磁感应
主要内容：
1、法拉第电磁感应定律
2、动生电动势的计算、方向的判定 3、自感系数的求解 4、磁场能量的计算
§1 电磁感应及其基本规律
一、电磁感应现象
1、磁场相对于线圈或导体回路改变大小和方向引起的电磁感应现象
2、线圈或导体回路相对于磁场改变面积和取向所引起的电磁感应现象
两类实验
只要穿过导体回路的磁通量发生变化，该导体回 路中就会产生电流，称为感应电流，由磁通量变化所 产生的电动势称为感应电动势。
当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中必 然产生感应电动势，由磁通量变化产生感应电动势的 现象，称为电磁感应现象。
二、法拉第电磁感应定律
1、法拉第电磁感应定律： 回路中的感应电动势与通过回路的磁通量对时
d
a
动生电动势是由洛伦兹力作用
所产生的。
c
Ii
F电
v
F洛
b
可见：整个导线L上的动生电动势等于整个导线在
单位时间内所切割的磁力线数目。
（1）由
v B dl计算注意：意义，1、 只0有表首示先取的定方d向l 与的所方取向，dl（的由正整负个才回有路方的向绕行
方向定）一致。反之则反。显然 dl 的方向有两种取法。
...
若绕行方向取如图所示的回路方向L
.
.L.
.
按约定 磁通量为正 即 BS
由
i
d
dt
dB S < 0 dt
负号 电动势的方向
S i
说明 与所设的绕行方向相反
若绕行方向取如图所示的方向L. . 均. 匀. 磁.场. B.
按约定 磁通量取负
. . S. . . . .
BS
. . .L. . . .
AB=L,求 D
2、感生电动势 感生电场
由于磁场的时间变化而产生的电场
B
Br,t
B dS
i
d
dt
i
S
B t
dS
S
a、感生电场的性质
L
E感生
dl
S
B t
dS
法拉第电磁感应定律 非保守场
L
S
E感生 dS 0
无源场 涡旋场
S
S是以L为边界的任意面积
b、感生电场的计算
自感现象
对于N匝有 Ψ NΦ NlI LI
L Nl Ψ I
自感系数
L是由回路形状、大小、匝数、周围介质情况决定的。 与I无关。
L
dΦ dt
d dt
LI
L
dI dt
负号表示：自感应的作用是反抗原来回路电流的变化。
可见自感系数的计算方法是：
1、设回路电流为I，写出B的表达式
2、计算Φ B dS,Ψ NΦ
dx
I
x
b
解 : 令无限长导线上的电流 为 I
da
则
B 0I
d
B
dS
BdS
0I
bdx
0bI
dx
2x
2x
2 x
ad
d
0bI 2
dx x
0bI 2
ln
a
d
d
M 0b ln a d I 2 d
*电容C，自感L，互感M的计算原理基本一样。
如图有 I 等式 lI
I的变化 的变化 感应电动势
角。2由、速计度算与中磁，场要而明定确；两二个是夹角v： B一是与
v与
B
的夹
dl 的夹角，它
与速度、磁场方向及dl 方向均有关。
Eg:在通有电流I的长直导线旁有一长为L的金属棒，以速度 v 平行于导
线运动，棒的近导线一端距导线为a，求棒中的 D 。
Eg:教材例题12—1
Eg:如图，回路ABC在匀强磁场 B 中以角速度 绕AC边旋转，BC=a
且有
dB c dt
求：E感生 分布
B
L
0•
r
解：设场点距轴心为r ,根据对称性，取以o
为心，过场点的圆周环路 L
E感生 dl E感生 2 r
由法拉第电 磁感应定律
S dB dt
L
E感生
S
2 r
dB dt
r< R
S
r2
E感生
r 2
dB dt
r>R
S R2
E感生
R2 2r
dB dt
dB> 0 dt
间的变化率成正比。即：
k d
dt
取合适的单位制，则有：
d
dt
2、感应电动势方向判定
约定
d i dt
首先任定回路的绕行方向 规定电动势方向与绕行方向一致时为正
当磁力线方向与绕行方向成右螺时 规定磁通量为正
如均匀磁场 B
dB >0
dt
.均.匀.磁.场. B. .
S
求：面积S边界回路中的电动势 . . . . . . .
1、原则
B
E感生 dl
L
S
t
dS
2、特殊
E感生 具有某种对 称性才有可能计 算出来
空间均匀的磁场被限制在圆柱体内，磁感强度
方向平行柱轴，如长直螺线管内部的场 。
磁场随时间变化
B t
感生电场具有柱对称分布
3、特殊情况下感生电场的计算
空间均匀的磁场限制在半径为 R
的圆柱内， B 的方向平行柱轴
由
i
d
dt
dB S >0 dt
正号 电动势的方向
S i
说明 与所设绕行方向一致
两种绕行方向得到的结果相同
用电磁感应定律分析下面四图中的电动势方向
n
n
i
绕行方向
(a) 0, 增加
n
i
绕行方向
(c) 0, 减少
i
绕行方向
(b) 0, 增加
n
i
绕行方向
(d ) 0, 减少
对于多匝线圈有
3、L Ψ I
Eg:教材例题12—3
Eg:求长直导线与共面等边三角形线圈间的互感系数，设三角形高为h， 平行于直导线的一边到直导线的距离为b。
Eg:一横截面为正方形的木质圆环，内半径为10cm，外半径为12cm，木 环上密绕一层直径为0.1cm的绝缘导线线圈，求该线圈的自感系数L。
i <0
dB < 0 dt
i> 0
一、互感现象
I2 I1
21 I1 即 21 M 21I1 MI1 12 I 2 即 12 M12 I 2 MI 2
M 21 12 I1 I2
则
21
d 21 dt
M
dI1 dt
12
d12 dt
M
dI 2 dt
例1. 如图，计算无限长直导线与 一矩形线圈之间的互感系数。
感应电流的磁通量的改变。
楞次定律的 实质是能量 转化与守恒 定律在电磁 感应现象中 的具体体现
i
a(增加）
i
b(增加）
i
c(减少）
d (减i 少）
1、动生电动势
F洛
ev
B
d
v
对由应于的导体非在静磁电场中场运：动E所K产生F的洛e感应v电动B势。 B dl
ab
v
B
dl