数学概念的划分和命题
第05讲 命题、定理、定义(原卷版)新高一数学暑假衔接课(苏教版2019必修第一册)
第05讲 命题、定理、定义知识点一 命题1．命题的定义：可判断真假的陈述句叫作命题．2．命题的条件和结论：数学中，许多命题可表示为“如果p ，那么q ”或“若p ，则q ”的形式，其中__p __叫作命题的条件，__q __叫作命题的结论．3．命题的分类：判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题．知识点二 定理定义1．定理：在数学中，有些已经被证明为真 的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理． 2．定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．考点一：命题的概念例1 判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)π3 是有理数； (2)3x 2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)一个数的算术平方根一定是负数． 【总结】判断语句是否是命题的策略(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．变式 下列语句中是命题的有________；是真命题的有________(填序号).①这里真热闹啊！②求证2 是无理数；③一个数不是正数就是负数；④并非所有的人都喜欢苹果；⑤若x ＝2，则x 2－1＞0.考点二：判断命题的真假例2 判断下列命题的真假，并说明理由． (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当x ＝4时，2x ＋1＜0；(3)若x ＝3或x ＝7，则(x －3)(x －7)＝0.命题真假的判定方法(1)真命题的判定方法：要判定一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证；(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判定一个命题为假命题的常用方法．变式下列命题是真命题的是()A．若xy＝1，则x，y互为倒数B．平面内，四条边相等的四边形是正方形C．平行四边形是梯形D．若ac3＞bc3，则a＞b考点三：命题的结构形式例3 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)6是12和18的公约数；(2)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.【总结】将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则[注意]若命题不是以“若p，则q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件p和结论q，进而改写成“若p，则q”的形式．变式把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(3)两个相似三角形是全等三角形．考点四：由命题的真假求参数的范围例4 已知集合A＝[－3，6)，B＝(－∞，a)，若A∩B＝∅是假命题，则实数a的取值范围是________．【总结】由命题的真假求参数的取值范围的基本步骤第一步，明确命题的条件和结论；第二步，根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件； 第三步，化简相应的条件，求出参数的取值范围．[注意] 若求命题为假时参数的取值范围，可求命题为真时参数取值范围对应的补集．变式 若A ＝{1，2}，B ＝{x |ax －2＝0}，则B ⊆A 成立是真命题，求实数a 的值．考点五：新定义题例4 对于a ，b ∈N ，规定a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ，a 与b 的奇偶性相同，a ×b ，a 与b 的奇偶性不同， 集合M ＝{(a ，b )|a *b ＝12，a ，b ∈N *}，则M 中元素的个数为( )A ．6B ．8C ．15D ．16【总结】数学中的新定义题时常会出现，它是数学理论的基础，是进行判断、推理、论证的重要依据．在解题中充分利用新定义，挖掘内涵，才能抓住问题的实质，从而找到解决问题的途径．变式 若X 是一个集合， 是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于 ，∅属于 ；② 中任意多个元素的并集属于 ；③ 中任意多个元素的交集属于 ，则称 是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合 ：① ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}； ② ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}； ③ ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；④ ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}．其中是集合X 上的一个拓扑的集合 的所有序号是________.1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a ＞4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D ．“x ＝2时，x 2－3x ＋2＝0”是真命题2．下列四个命题中，其中真命题的个数为( )①与0非常接近的全体实数能构成集合； ②{－1，(－1)2}表示一个集合； ③空集是任何一个集合的真子集； ④任何一个非空集合至少有两个子集． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3．命题p ：存在实数x ，使得x ，3，4能成为三角形的三边长．若命题p 为假命题，则x 的取值范围是________．4．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，给出以下四个命题：①[－x ]＝－[x ]；②⎣⎡⎦⎤x ＋12 ＝[x ]；③[2x ]＝2[x ]；④[x ]＋⎣⎡⎦⎤x ＋12 ＝[2x ]. 则假命题是________(填上所有假命题的序号).5．将下列命题改写为“若p ，则q ”的形式，并判断真假．(1)当a ＞b 时，有ac 2＞bc 2； (2)实数的平方是非负实数；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除．6．下列语句为真命题的是( )A ．a >bB ．四条边都相等的四边形为矩形C ．1＋2＝3D ．今天是星期天7．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )A ．这个四边形的对角线互相平分B ．这个四边形的对角线互相垂直C ．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D ．这个四边形是平行四边形8．下列命题是真命题的为( )A ．若a >b ，则1a <1bB．若b2＝ac，则b2>a或b2>cC．若|x|<y，则x2<y2D．若a＝b，则a＝b9．命题“对顶角相等”中的条件为________，结论为________．10．菱形的对角线互相垂直的真假性为________(用“真”“假”填空)．1．以下语句：①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2＞x；④{x|x2＋1＝0}，其中命题的个数是() A．0 B．1C．2 D．32．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．43．下列命题中真命题有()①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列命题为真命题的是()A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等B．方程x2－x＋2＝0有两个不相等的实数根C．面积之比为1∶4的两个相似三角形的周长之比是1∶4D．在平面内，顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形5．关于区间I＝(a，＋∞)，有下列四个命题：甲：小于1的数都不在区间I内；乙：区间I内不存在两个数互为倒数；丙：区间I内存在小于1的数；丁：区间I内每个数的平方都大于它本身．如果只有一个假命题，则该命题是()A.甲B．乙C．丙D．丁6．(多选)给出命题“方程x2＋ax＋1＝0有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是() A．4 B．2C．0 D．－37．(多选)(2021·山师大附中高一月考)给定下列命题，其中真命题为()A．若xy＝0，则|x|＋|y|＝0B．若a＞b，则a＋c＞b＋cC．矩形的对角线互相垂直D．∀x∈R，不等式x2＋2x＞4x－3恒成立8．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).9．若x∈[2，5]和x∈{x|x＜1或x＞4}都是假命题，则x的取值范围是________．10．若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是________________．11．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当m ＞14时，mx 2－x ＋1＝0无实根；(2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除．12．关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0，有下列四个命题：甲：x ＝1是该方程的根；乙：x ＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁13．(多选)下列四个命题中，假命题的是( )A ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D ．从直线外一点作直线的垂线段叫做点到直线的距离14．能够说明“若a ，b ，c 是实数，a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．15．定义：若对非空数集P 中任意两个元素a ，b ，实施“加减乘除”运算(如a ＋b ，a －b ，a ×b ，a ÷b (b ≠0))，其结果仍然是P 中的元素，则称数集P 是一个“数域”．下列四个命题：①有理数集Q 是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 是数域；③数域必是无限集；④存在无穷多个数域．上述命题错误的序号是________.16．A ，B ，C ，D ，E 五名学生参加某次数学单元检测，在未公布成绩前他们对自己的数学成绩进行了猜测．A 说：“如果我得优，那么B 也得优”； B 说：“如果我得优，那么C 也得优”； C 说：“如果我得优，那么D 也得优”； D 说：“如果我得优，那么E 也得优”．成绩揭晓后，发现他们都没说错，但只有三个人得优．请问：得优的是哪三位同学？17．判断下列各命题的真假，并简要说明理由．(1)方程ax ＋1＝x ＋2有唯一的解；(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根同号，则ca＞0；(3)如果A⊆B，那么A B或A＝B；(4)合数一定是偶数．18．已知m∈Z，关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0有整数解是真命题，x2－4mx＋4m2－4m－5＝0有整数解也是真命题，求m的值．。
高中数学命题的基本概念
高中数学命题的基本概念一、命题的基本概念命题：可以判断真假的陈述句叫做命题。
也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。
真命题：判断为真的语句叫做真命题。
假命题：判断为假的语句叫做假命题。
命题的否定：就是对命题的结论加以否定。
原命题逆命题否命题逆否命题若，则若，则若，则若，则另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题。
一般地，对于是互逆命题的两个命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的的条件和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题。
四种命题的相互关系图三、充分条件和必要条件的概念1、若，我们就说是的充分条件，是的必要条件。
2、一般地，如果既有，又有，就记作。
此时，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。
3、一般地，若p⇒q，但q ≠＞p，则称p是q的充分但不必要条件；若p≠＞q，但q ⇒ p，则称p是q的必要但不充分条件；若p≠＞q，且q ≠＞p，则称p是q的既不充分也不必要条件。
四、重要结论1、互为逆否命题的两个命题真值相同：原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价。
2、对于充分条件、必要条件的判定，我们需要将命题转化为集合，充分利用集合的关系进行判定，可以更加直观形象。
3、命题的否定和否命题是两个不同的概念。
典型例题知识点一：命题的基本概念以及四种命题的相互关系例1、判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数是素数，则是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？（5）；（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨。
2019年数学新同步湘教版必修2第1章 1.1.1 命题的概念和例子
1．1命题及其关系1．1.1命题的概念和例子[读教材·填要点]1．命题的概念可以判断成立或不成立的语句叫作命题．2．命题的分类(1)真命题：成立的命题叫作真命题．(2)假命题：不成立的命题叫作假命题．(3)猜想：暂时不知道真假的命题可以叫作猜想．[小问题·大思维]1．如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？提示：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立．2．数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？提示：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题．判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证π是无理数；(2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；(3)一个数的算术平方根一定是负数；(4)梯形是不是平面图形呢？[自主解答](1)是祈使句，不是命题；(2)可以判断其是否成立，故为命题；(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；(4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是．1．判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；(2)空集是任何非空集合的真子集；(3)对顶角相等吗？(4)x>3.解：(1)能判断其是否成立，是命题；(2)能判断其是否成立，是命题；(3)是疑问句，不是命题；(4)不能判断其是否成立，不是命题．判断下列命题的真假，并说明理由．(1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(3)正方形既是矩形又是菱形；(4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数．[自主解答](1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题．(2)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形．(4)是真命题，令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数，故ab是奇数．若将本例(4)中的“奇数”改为“无理数”，判断该命题的真假．解：当a ＝5，b ＝－5时，a ，b 都是无理数，但 5×(－5)＝－5是有理数，故该命题为假命题．判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可．2．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)形如a ＋6b 的数是无理数；(2)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列； (3)奇函数的图象关于原点对称； (4)能被2整除的数一定能被4整除．解：(1)假命题，反例：a 是有理数且b ＝0，则a ＋6b 是有理数．(2)假命题．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝－1，q ＝2，则该数列为递减数列． (3)真命题．根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称． (4)假命题．反例：如2,6能被2整除，但不能被4整除．试探究命题“方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解”为真命题时，a ，b 满足的条件．[自主解答] 方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：当a ＝0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为bx ＋1＝0，只有当b ≠0时，方程有实数解x ＝－1b ；当a ≠0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0. 综上知，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解．(1)并不是任何语句都是命题．要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立或不成立．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．(2)一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一．3．下面的命题中是真命题的是( ) A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则ca >0C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB ―→·BC ―→>0，则B 为锐角 解析：选B y ＝sin 2x ＝1－cos 2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；在三角形ABC 中，当AB ―→·BC ―→>0时，向量AB ―→与BC ―→的夹角为锐角，B 应为钝角，故D 为假命题．故选B.解题高手 妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路若命题“如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，求实数a 的取值范围．[巧思] “如果5x －1>a ，那么x >1”是真命题，则不等式5x －1>a 的解集是x >1的子集．[妙解] 由5x －1>a ，得x >15(1＋a )．∵命题“如果5x －1>a 那么x >1”是真命题， ∴⎝⎛⎭⎫1＋a 5，＋∞⊆(1，＋∞)． ∴1＋a5≥1，即a ≥4. 即a 的取值范围是[4，＋∞)．1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.答案：A2．下列命题中的真命题是( )A．互余的两个角不相等B．相等的两个角是同位角C．若a2＝b2，则|a|＝|b|D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角解析：由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的．答案：C3．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3解析：方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．答案：C4．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：①(a·b)c＝(c·a)b；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的有________(只填序号)．解析：因为a，b，c相互不共线，所以(a·b)c与(c·a)b不一定相等．又因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以①③为假命题，易证②④为真命题．答案：②④5．下列命题：①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0＜x＜12}是无限集；④如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．解析：①为真命题，②③④为假命题．答案：①6．若命题p(x)：x2＋2>3x为真命题，求x的取值范围．解：∵x2＋2>3x，∴x2－3x＋2>0.解得x>2或x<1，∴x的取值范围是(2，＋∞)∪(－∞，1)．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 0°＝0C．求x2－2x＋1>0的解集D．作△ABC∽△EFG解析：A选项是疑问句，不是命题，C、D选项中的语句显然不是．答案：B2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1B．2C．3 D．4解析：①③错误；②④正确．答案：B3．下列命题中，为真命题的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．若一个球的半径变为原来的2倍，则其体积变为原来的8倍C．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝1相切解析：等腰梯形对角形相等，不是矩形，故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B中命题为真命题；C中命题为假命题，如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等，但标准差显然不相等；圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝22<1，故直线与圆相交，所以D中命题为假命题．答案：B4．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a，b都是正实数，则a＋b≥2ab；③若x2>x，则x>1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：①中，显然l∥m或l与m重合，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中，函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，所以④是假命题．故选C.答案：C二、填空题5．下列语句：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程吗？②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④若m＞0，a＞b＞0，则b＋ma＋m＞ba.其中真命题的序号为________．解析：①不是命题；②错，可能没交点；③正确，若A⊆B，B⊆A，则A＝B；④显然正确，可以证明．答案：③④6．给出下列命题：①方程x2－x＋1＝0有两个实根；②对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；③若p＞0，则p2＞p；④正方形不是菱形．其中真命题是________，假命题是________．解析：①假，因Δ＜0；②真；③假，p＝12时，p2＜p；④假，正方形是菱形，也是矩形．答案：②①③④7．函数f(x)的定义域为A，若当x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时，总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是________．(填序号)解析：由x21＝x22，未必有x1＝x2，故①为假命题；对于f(x)＝2x，当f(x1)＝f(x2)时一定有x1＝x2，故②为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若f(x1)＝f(x2)，则x1＝x2”，故③为真命题．故真命题是②③.答案：②③8．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立，∴ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时，－3≤0恒成立；当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0. 综上，－3≤a ≤0. 答案：[－3,0] 三、解答题9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由． (1)一个数不是合数就是质数． (2)大角所对的边大于小角所对的边． (3)x ＋y 是有理数，则x ，y 也都是有理数． (4)求证x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实根． 解：(1)是假命题，1不是合数，也不是质数． (2)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中． (3)是假命题，如x ＝2，y ＝－ 2. (4)祈使句，不是命题．10．判断命题：“若a ＋b ＝2，则直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的真假． 解：由已知a ＋b ＝2，圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝22＝2＝r ， 所以直线与圆相切，即命题为真.。
新教材高中数学第2章常用逻辑用语1命题定理定义2
判断下列各命题中p是q的什么条件: (1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0; (2)p:t≠2,q:t2≠4; (3)p:0<x<3,q:|x-1|<2.
解析 (1)x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0, (x-2)(x-3)=0⇒x-2=0或x-3=0. ∴“x-2=0”是“(x-2)(x-3)=0”的充分不必要条件. (2)t≠2 t2≠4(当t=-2时,t2=4), t2≠4⇒t≠2且t≠-2. ∴“t≠2”是“t2≠4”的必要不充分条件. (3)令A={x|0<x<3},B={x||x-1|<2}={x|-1<x<3}. 易知A⫋B,∴p是q的充分不必要条件.
探求充分条件、必要条件的步骤 (1)分清“条件”和“结论”,明确探求的方向; (2)分析题目中的已知条件和隐含条件,进行等价转化,即可得到使结论成立的充要条 件; (3)将得出的充要条件对应的范围扩大或缩小,即可得到结论成立的必要不充分条件 或充分不必要条件.
求方程x2+kx+1=0与x2+x+k=0有一个公共实数根的充要条件. 思路点拨 设两个方程的公共实数根为x0,列方程组求出k的值,再检验k取此值时两个方程是否有 一个公共实数根,从而解决问题.
1 | 命题、定理、定义的概念 1.命题 在数学中,我们将① 可判断真假 的陈述句叫作命题.许多命题可表示为“如果p, 那么q”或“若p,则q”的形式,其中p叫作命题的② 条件 ,q叫作命题的③ 结论 . 2.定理 在数学中,有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用,一般称之为 定理. 3.定义 定义是对某些对象标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的内涵.
2 | 充分条件、必要条件的证明与探求
高中数学 1.1.1命题的概念和例子课件 湘教版选修1-1
2．判断下列命题的真假： (1)形如 a＋ 6b 的数都是无理数； (2)正项等差数列的公差大于 0； 1 (3)当 m>4时，方程 mx2－x＋1＝0 无实根； (4)能被 2 整除的数一定能被 4 整除．
解 (1)假命题．当 a＝b＝0 时，a＋ 6b＝0 为有理数． (2)假命题．如数列 20，17，14，11，8，5，2，它的公差为 －3. 1 (3)真命题．当 m> 时，由于方程 mx2－x＋1＝0 的Δ ＝1－ 4 4m<0，因此方程无实数根. (4)假命题．如数 6，能被 2 整数，但不能被 4 整除．
解
(1)负数都是小于零的，因此“任何负数都大于零”是不
正确的，所以它能构成命题，而且这个命题是个假命题． (2) 两个三角形为全等三角形是有条件的 ， 本题无法判定 △ABC 与△A1B1C1 是否为全等三角形，所以它不是命题． (3)因为 x 是未知数，无法判断 x2＋x 是否大于零，所以“x2 ＋x>0”这一语句不是命题． (4)6 确实是所给方程的解，所以它是命题，是真命题．
答案 D
3．有下列命题：①若ac2>bc2，则a>b；②x2＋1>0(x∈R)；
③梯形对角线相等．其中假命题有________．
答案 ③
4．下列语句：①
2是无限循环小数；②x2－3x＋2＝0；③
当 x＝4 时，2x>0；④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑤ 一个数不是合数就是质数；⑥难道菱形的对角线不互相平分吗？ ⑦把门关上．其中不是命题的序号是________．
解 (1)“f(x)＝3x(x∈R)是指数函数”是陈述句并且它是真的， 因此它是命题． (2)因为无法判断“x－2>0”的真假，所以它不是命题． (3)“集合{a，b，c}有 3 个子集”是假的，所以它是命题． (4)“这盆花长得太好了！”是感叹句，它不是命题．
初中数学课件定义与命题1
初中数学课件定义与命题1一、教学内容本课件基于初中数学教材第七章第一节“定义与命题”，详细内容包括：定义的概念及其重要性，命题的构成要素，真命题与假命题的辨识，以及通过实例来理解数学的定义和命题。
二、教学目标1. 理解定义在数学学习中的基础作用，能够正确运用定义来解释数学概念。
2. 学会分析命题的结构，区分真命题与假命题，增强逻辑思维能力。
3. 通过实例掌握如何运用定义和命题来解决问题。
三、教学难点与重点重点：定义的形成与应用，命题的判断与分析。
难点：如何让学生理解定义的抽象性，并灵活运用于具体的数学问题中。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，如“一个正方形的四边相等”，引导学生理解定义的重要性。
展示实例，提问学生：“这些句子为什么能帮助我们理解和描述事物？”2. 新课讲解：a. 讲解定义的形成与作用。
b. 通过具体数学命题，讲解命题的构成要素。
c. 分析真命题与假命题，举例说明。
3. 例题讲解：展示例题，如“若一个三角形的两边相等，那么这两边所对的角也相等”。
分步骤讲解解题过程，强调定义和命题在解题中的应用。
4. 随堂练习：发放练习题，要求学生独立完成。
教师巡回指导，解答学生疑问。
强调定义与命题在数学学习中的重要性。
六、板书设计1. 定义的概念与作用。
2. 命题的构成要素。
3. 真命题与假命题的辨识。
七、作业设计1. 作业题目：a. 请列举生活中的三个定义，并说明其作用。
一个四边形有四个角。
一个四边形的四个角都相等。
2. 答案：a. 学生自行完成，教师批改时注意学生是否理解定义的作用。
b. 真命题：一个四边形有四个角。
假命题：一个四边形的四个角都相等。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对定义和命题的理解程度，以及解题过程中的困难。
2. 拓展延伸：引入更复杂的命题，如含有一个或多个条件的复合命题，提高学生的逻辑思维能力。
《定义与命题》证明
归纳法
定义：归纳法是一种通过观察和总结 一些特殊情况，然后得出一般结论的 推理方法。
在归纳法中，我们首先观察一些特殊 情况，然后通过总结这些情况，得出 一个一般结论。这种方法通常用于得 出一些规律性的结论，例如数学中的 公式和定理。
例子：假设我们要证明“1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6”。 我们可以从一些特殊情况开始，例如 当n=1时，结论成立；当n=2时，结 论也成立。然后我们通过观察和总结 这些情况，得出一个一般结论：对于 任何正整数n，结论都成立。
06
定义与命题证明的应用
在数学中的应用
定理证明
在数学中，定义与命题的证明常用于定理证明， 以确认数学结论的正确性。
逻辑推理
数学中的定义与命题证明涉及到逻辑推理，通过 已知条件推导出新的结论。
反例构造
当数学中的某个命题无法证明时，可以通过构造 反例来否定该命题。
在物理学中的应用
实验验证
物理学中的定义与命题证明通常需要通过实验来验证，以确认物 理规律的正确性。
命题在数学中的应用
命题是数学体系的核心，通过命题的证明和验证，可以确定其真假并应用于解决 问题。同时，命题还可以帮助人们更好地理解和掌握数学知识。
03
逻辑推理证明方法
直接证明法
定义：直接证明法是一种从已知事实 或前提出发，通过一步步的逻辑推理 ，最终得出结论的证明方法。
在直接证明法中，我们需要根据已知 事实或前提，通过逻辑推理，逐步推 导出结论。这种方法是最常用的证明 方法之一，因为它简单、直观，而且 容易理解。
定义与命题的关系
定义和命题都是语言表述的基本单位，它们之间存在着密切的联系。定义是命题的基础，命 题是定义的运用。
关于数学的知识点归纳总结
关于数学的知识点归纳总结一、基本概念1.数与运算：数是用来计数、度量和表达数量关系的概念，运算是对数进行加、减、乘、除等操作。
数的类型包括自然数、整数、有理数、无理数和实数，运算包括加法、减法、乘法、除法和幂等运算。
2.代数：代数是研究数字之间的关系和量的符号表示的学科，其基本概念包括变量、常数、系数、代数式、代数方程和代数不等式等。
3.几何：几何是研究空间形状、位置、大小关系的学科，其基本概念包括点、线、面、体、角、三角形、四边形、多边形、圆等。
4.解析几何：解析几何是将代数和几何相结合的学科，其基本概念包括坐标、距离、斜率、直线方程、圆的方程等。
5.概率与统计：概率与统计是研究随机试验、随机变量、概率分布、抽样调查、数据分析等的学科，涉及概率、期望、方差、频率、均值、中位数、相关系数等概念。
6.微积分：微积分是研究变化率和积分运算的学科，包括导数、微分、定积分、不定积分、微分方程等。
7.数理逻辑：数理逻辑是研究命题、推理和结论的学科，包括命题、命题符号、联结词、命题公式、命题的析取、合取、蕴含、等价、否定等。
二、基本原理1.数学归纳法：数学归纳法是一种数学证明方法，通过证明某个命题在自然数集合中成立的方法。
2.数学推理法：数学推理法包括直接证明法、间接证明法、逆反证法等，用于证明数学命题的正确性。
3.数学定理与定律：数学定理是有关数学的命题，经过证明可以被接受为真的命题；数学定律是经过实验、观察和推理证明，已被接受为真的规律。
4.数学公理与定义：数学公理是数学中的基本命题，是不能证明的，只能通过建立在公理上的推理形成的定理来推导；数学定义用来确定数学对象的概念和性质。
5.数学推导与演绎：数学推导是根据已知命题推出新的命题，演绎是根据先验条件推论出结论。
6.数学证明与论证：数学证明是通过逻辑推理来证实数学命题的正确性，论证是用来说明命题的正确性和合理性。
三、基本方法1.数学思维方法：数学思维方法包括归纳法、演绎法、递归法、构造法、反证法、假设法等，用于解决数学问题和推理论证。
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(1)所有的自然数不是无理数。(简单判断、性质判断 )
(2)2小于3。(简单判断、关系判断) (3)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。(复合
判断、充分条件假言判断) (4)一个自然数只有能被3整除，才能被9整除。(复合
判断、必要条件假言判断) (5)当且仅当两直线的斜率相等时，这两直线才平行
。(复合判断、充分必要条件假言判断) (6)平面上的两直线若不平行，则互相垂本运算有否定(非)、合取(与)、析取(或)、
蕴涵(若……则……)、等价(当且仅当)等。 (1)否定。 (2)合取 (3)析取。 (4)蕴涵。 (5)等价。
• 非、与、或、若……则……、当且仅当统称为 逻辑联结词。在一个命题中若没有逻辑联 结词出现，则该命题称为简单命题，否则 叫做复合命题。
• 命题是一种特殊表达形式的语句，“有所 断定”是判断的基本特征。
• 如“4是素数吗？”不是判断，无所断定 的语句不是判断即不是命题，因为它既没 有肯定什么，也没有否定什么。
• 命题具有真、假意义 如“凡直角都相等 ” 是真的，“正三角形是中心对称图形”是 假的，因此可知，命题是具有真假意义的 语句，具有真意义的命题称为真命题，反 之为假命题。
• 划分必须按一定标准进行 。逻辑 学上的划 分是一种专有名词的
• 任何划分包含三部分，它们是划分的母项 （属概念）、划分的子项（各个种概念） 以及划分的标准
划分必须遵守一定的原则（要求）： ①划分必须按照同一标准（定义所规定）； ②划分的各子项间必须是不相容关系（定义 所规定）；
③划分必须相称，即划分的子项的外延之和 必须等于被划分的属概念的外延；
• 逆否命题：若两个角不相等，则这两
个角不是对顶角。
(真)
• 判断的种类 在逻辑学中,判断可按不同的标准进行分类： • 按判断的量分类，有全称判断，特称判断 • 按判断的质分类，有肯定判断，否定判断
• 按判断的关系分类，有直言判断，假言判 断，选言判断
• 按质与量来分，共有4 类
• 按判断本身是否还包含有其他判断可分为 简单判断和复合判断。简单判断是不包含 有其他判断的判断，复合判断是包含有至 少一个其他判断的判断。如下列的判断分 别是相应的简单判断和复合判断。
AB＞AC。
(真)
•
否命题：在△ABC中，若AB≯AC，则
∠C≯∠B。
(真)
•
逆否命题：在△ABC中，若∠C≯∠B，则
AB≯AC。
(真)
例3
• 原命题：若两个角是对顶角，则这两
个角相等。
(真)
• 逆命题：若两个角相等，则这两个角
是对顶角。
(假)
• 否命题：若两个角不是对顶角，则这
两个角不相等。
(假)
• 逆命题：若一个四边形的对角线互相
垂直，则它是平行四边形。
(假)
• 否命题：若一个四边形不是平行四边 形，则它的对角线不互相垂直。 (假)
• 逆否命题：若一个四边形的对角线不 互相垂直，则它不是平行四边形。(假)
例2
•
原命题：在△ABC中，若AB＞AC，则
∠C＞∠B。
(真)
•
逆命题：在△ABC中，若∠C＞∠B，则
第四讲 数学概念和命题
数学概念的划分
• 概念的内涵借助于定义来揭示，那么概念 的外延借助于哪种方法来揭示呢？
• 前面讲述的概念间的关系是揭示外延的一 种方法，此外还有借助于概念的划分来揭 示概念外延的方法。
• 概念的划分是把一个属概念，按一定标准 分为若干个不相容的种概念的逻辑方法。
• 划分是一种科学的分类，与通常将某一事 物分成若干种情况的说法，在意义上有较 大差别。
• 以p、q分别表示简单命题，以上五个联结 词结合简单命题形成如下五类复合命题。
• 负命题 • 联言命题 • 选言命题 • 充分条件假言命题 • 充分必要条件假言命题
• 3．命题运算律
•
(1)复合命题的真值。一个复合命题的
真值取决于构成它的各个命题的值，可以
利用真值表来计算。
• (2)命题运算中常用的定律。
• 不符合要求④，直角梯形最邻近的属是梯 形，而不是四边形，按划分的要求，四边 形应划分为：
• 这样的划分是按照标准“四边形的每组对 边的平行关系”其中没有一组对边平行为 一类，只有一组对边平行为一类，有两组 对边平行为一类，共三类，故划分为 个子 项。
• 数学的判断
• 判断同概念一样也是思维的一种形式，它 反映了概念与概念的联系。
数学命题的四种形式及其关系
• 在数学中，为了全面地研究命题中条件和 结论的逻辑联系，往往把一个命题的条件 和结论换位，或者把条件和结论变为它们 的否定，就可以得到三个新的命题。
• 互逆关系。 • 互否关系。 • 互逆否关系。
例1
• 原命题：若一个四边形是平行四边形
，则它的对角线互相垂直。
(假)
④划分不能越级，而被划分的属概念必须是 划分的各子概念的最邻近的属概念。
• ①是保证划分的一致性，不能混乱；要求 ②和③是保证划分“不漏”、“不重”； 要求④是保证划分层次分明、清晰、合理 。
• 不符合要求①和②，划分中没有同一标准，且各 子项关系不是不相容关系
• 不符合要求③，其中只有两边相等的三角 形被漏掉
• 判断表 达人们对思维对象具有某种属性或 不具有某种间的属性的断定
• 判断是对思维对象有所断定的思维形式。
• 判断必须通过语言或符号来表达与用词语 表达概念不同，判断的表达形式是语句。
• 我们将表达判断的语句叫做命题。
• 这3 个语句都是判断，它们都表达了对思维 对象的性质或关系作出了肯定或否定。
垂直。(复合判断、选言判断)
• (7)3既是整数又是实数。(复合判断、联言判 断)
• (8)并非所有实数都是有理数。(复合判断、 负判断)
数学命题
1．数学命题的意义 3＞2，(a+b)2=a2+2ab+b2，△ABC≌△A’B’C’
判断有真假之分，命题也相应地有真假之分 。用A、B、C或者p、q、r表示任意的命题 ，当p是真命题时，记作“p=1”，p是假命 题时，记作“p=0”。1和0称为命题的真值 。