大连理工大学

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《高等代数下》试卷及答案二
一、填空题（每小题4分，共32分）。
1. 判断下面所定义的变换, 哪些是线性变换, 哪些不是线性变换:
1) 在P[x] 中, ),1())((xfxf ];[)(xPxf

2) 在P[x] 中, ,1)())((xfxf ][)(xPxf.

2. 设2222:RR的线性变换，，XdcbaX)( 其中R是实数域，
求在基1000,0100,0010,000122211211EEEE下的矩阵

3．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则EAAA21*相似于对角矩阵
4．设四级矩阵A的最小多项式为)2()1()(2m，写出A的所有可能的Jordan标准形
5．已知矩阵2121A，则A初等因子组, ，
不变因子组为 ，各阶行列式因子组为
6. 在欧氏空间4R中（内积按通常定义），向量)0,1,1,0(),1,1,0,0(之间的夹角

7．设321,,是三维欧式空间的一组标准正交基，
),22(3211k),22(3212k )22(3213k
也是一组标准正交基，

则k= 。
8．设),(f是数域P上三维线性空间V上的一个双线性函数，321,,是V的一组基，矩
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阵012120101A是),(f在321,,下的度量矩阵，设
21321
,2
，则),(f=
二．计算
1．（6分）已知三级实对称矩阵A的三个特征值为3,2,1321，对应21,的特征向量

分别为)0,1,0(),1,0,1(21pp，求3对应的特征向量.
2．（10分）设V是数域P上的一个线性空间，321,,是它的一组基，f是V上的一个线性
函数，已知3)(,1)2(,1)(213221fff，求)(332211xxxf.
三．（12分）在nxP][中)1(n，微分变换)('))((:xfxfDD是nxP][上的线性变换
1. 求D的特征多项式；
2. 证明D在任何一组基下都不可能是对角矩阵;
3. 求D的核及值域.

四．（10分）设A是数域P上一个n级矩阵，证明A与A的转置矩阵'A相似.
五．设323121232221321666222),,(xxxxxxxxxxxxf
1．(8分) 用正交线性替换化下列二次型为标准形（要有过程）；
2．(2分) 在空间直角坐标系321XXXO中, 1),,(321xxxf表示何种曲面.
六．（10分）设V是n维欧氏空间，证明对于任意n级正定矩阵A，都存在V的一组基，使
得关于这组基的度量矩阵是A.

七．（10分）设21,是n维线性空间V上线性变换，且
v121（v
1
是V上的恒等变换），且 秩21秩n，证明：
1．)()(21VVV；
2．01221；2,1,2iii.
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参考答案
一、填空题（每小题4分，共32分）。
1.1）是线性变换 2)不是线性变换

2. 00000000ababcdcd 3． 9001700237003 4． 1000110000100002 1000110000200002
5． 22,1 ，21,1,12， 21,1,12
6. 3 7． k= 13。8． -1
二．计算
1．解：设),,(321xxxp是3对应的特征向量，则p与21,pp皆正交，
即

13
0xx

2
0x
可得 1,0,1p

于是 33的所有特征向量为 kp，
0k

2．
解：由题意可知

122313()()1()2()1()()2ffffff  1
2
3

()2()1()0fff










所以 )()()()(332211332211fxfxfxxxxf=
12
2xx

三．解：1. 取nxP][的一组基 1，x，2x，，1nx，则有
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212101000020(1,,)(1,,)00010000nnDxxxxxxn













，

即D在基12,,,,1nxxx下的矩阵为D=0000100002000010n，所以D的特征多项式
()nfED
.

2．由1知D只有一个特征值0（n重），唯一的一个特征子空间是一维的，维数小于n，所以D在任
何一组基下的矩阵都不是对角矩阵。

3．D的核1(0)()[](())0nDfxPxDfx 所以 ()fxp，pP 即1(0)DP，

D的值域121][),,,1())(,),(),1(()][(nnnnxPxxLxDxDDLxPD

四．
证明：由于
EA与'EA

互为转置矩阵，所以具有相同的各级行列式因子，因此具有相同的不变因

子，故A相似于A’

五．
解：由题意可知此二次型对应的矩阵为

A=233323332

A的特征多项式为
2
)5)(4(||)(AEf
，因此A的特征值5,421

对应41的特征向量为 1111'p，
对应52线性无关的特征向量为2(110)'p，3(101)'p，将其正交化、单位化后得正交
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矩阵
111
326
111
326
12
036Q




即经正交替换X=QY，f化成标准形222123455fyyy，
当1),,(321xxxf时，其为单叶双曲面。

六．证明：设
12,n为V的一组标准正交基，关于12,n


的度量矩阵为E，又由于A正定，所

以存在可逆矩阵C，使得'ACEC，令11(,)(,)nnC，关于基1,n的度量矩阵'CECA。

七．
证明：1，
V

，则有12()()，

111()()s为1()V的基，212()()sn为2
()V

的基，可由111()()s，

212()()sn
表出，又dimVn，故为一组基，
则)()(21VVV
2．V，由于 12()()
则有11112()(())()，且又有 11121()(())(()) 所以有
1221
()()


12
()()VV=0

，从而12210，且有 211()()得211，

同理222，