大连理工大学矩阵与数值分析2017年考题
大连理工大学《矩阵与数值分析》学习指导与课后参考答案第三章、逐次逼近法
第三章 逐次逼近法1.1内容提要1、一元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x ∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b] 2）压缩性∣φ(x) -φ(y)∣≤L ∣x-y ∣其中L ＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L ＜1，显然它一定满足压缩性条件。
2、多元迭代法x n+1=φ(x n )收敛条件为：1）映内性x n ∈Ω，φ(x n ) ∈Ω 2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为x n 处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。
3、当φ(x )= Bx+f 时，收敛条件为，ρ（B ）＜1，此时x n+1= Bx n +f ，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。
4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换 U L D A --= Jacobi 迭代公式的矩阵形式 f Bx b D x U L D x n n n +=++=--+111)(Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式 f Bx b L D Ux L D x n n n +=-+-=--+111)()( 超松弛迭代法公式的矩阵形式f Bx b L D x U D L D x k k k +=-++--=--+ωωωωω111)(])1[()(三种迭代方法当1)(<B ρ时都收敛。
5、线性方程组的迭代解法，如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
6、线性方程组的迭代解法，如果A 不可约对角占优，则Gauss-Seidel 法收敛。
7、Newton 迭代法，单根为二阶收敛 2211'''21lim)(2)(lim---∞→+∞→--=-==--k k k k k k k k x x x x f f c x x ξξαα8、Newton 法迭代时，遇到重根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m ， )()('1k k k k x f x f m x x -=+仍为二阶收敛 9、弦割法)()())((111--+---=k k k k k k k x f x f x x x f x x 的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a ）/2n-110、Aitken 加速公式11211112)(),(),(+----+-+--+---+---===k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x ϕϕ1.2 典型例题分析1、证明如果A 严格对角占优，则Jacob 法和Gauss-Seidel 法都收敛。
大连理工大学 矩阵与数值分析 第4章-4.2非线性方程的迭代解法
敛呢？不管非线性方程 f (x) = 0 的形式如何，总可以构造
ϕ(x) = x − k(x)
x
(k(x) ≠ 0)
（4-25）
作为方程（4-17）求解的迭代函数。 因为
ϕ′(x) = 1− k′(x) f (x) − k(x) f ′(x)
可知 | ϕ ′(x) | 在根 α 附近越小时 ,其局部收敛速度越快，
则迭代法 xk+1 = ϕ (xk ) 是 p 阶收敛。
练习1 取迭代函数
ϕ (x) = x + a(x2 −5)
要使迭代法收敛到 x* = 5, 则a应取何值？
且其收敛阶是多少？
解： ϕ′( x) = 1+ 2a x , 令
( ) ϕ′ 5 = 1+ 2a 5 < 1, 即有
−1 < 1+ 2a
x = x − f (x) = ϕ(x)
f ′(x)
（4-24）
建立的迭代格式至少是平方收敛。
证 根据定理4.6, 只需证明 ϕ′(α ) = 0 。 因为
ϕ′(α
)
=
⎡ ⎢
x
−
⎣
f f
(x) ′( x)
⎤ ⎥ ⎦
' x=α
=
⎡ ⎢1 ⎣
−
(
f
′(
x))2 − ( f ′(
f (x) x))2
f
′′( x)
x1 = 2× 0 −1 = −1 , x2 = 2(−1)3 −1 = −3 , x3 = 2(−3)3 −1 = −55 , L
显然, 当 k → ∞时, xk → −∞ ,故迭代法发散。 上述例子表明，迭代法的收敛与发散，依赖于迭代
大连理工大学2017年研究生矩阵与数值分析考试
大连理工大学2017年研究生矩阵与数值分析考试大连理工大学2017年研究生矩阵与数值分析考试考试日期：2017年6月5日一、填空题（50分，每空2分）1.a=0.3000经过四舍五入具有4位有效数字，则，2.已知X=(1,5,12)T，Y=(1,0,a)T，则由X映射到Y的Householder矩阵为：，计算||H||2=，cond2(H)=3.根据3次样条函数的性质（后面-前面=a（x-x0）3），一个求其中的参数b==4.，写出隐式Euler格式：梯形法格式：5.已知A=XXT，其中X为n维列向量，则||A||2=，||A||F=，矩阵序列的极限：=6.A=LU，其解为，写出一步迭代后的改善格式：7.，请问通过幂法与反幂法计算出的特征值分别是，8.，=，=，=，=，=9.是Newton-cotes公式，则=，具有代数精度=10.f(x)=7x7+6x6+…+x，f[20,21,22….,28]=11.，=12.f(0)=1,f(1)=-1,f(2)=1,f(3)=19,请问对该节点进行插值后最高次的系数=还有2空没有回忆出来，但是比上面题目还简单，因此不用担心。
二、，（1）计算LU分解（2）利用LU求逆矩阵（3）写出G-S格式（12分）三、给出，计算该迭代式收敛到某个值，收敛阶（8分）答案：收敛到，且收敛阶为3，因为，，而四、y=ae-bx，利用最小二乘法计算。
（8分）x-1012ye-11ee2数据可能有错，但是不影响计算思路。
五、计算权函数为1，区间[-1,1]的二次正交多项式，并且据此计算的具有三次代数精度求积公式（8分）六、已知线性2步3阶法（14分）（1）写出局部截断误差（必须含有主项）（2）判断收敛性（3）写出绝对稳定区间答：提示：上面公式的与书上的不是同一个，注意计算的时候区分。
大连理工大学(已有10试题)
大连理工大学应用数学系数学分析2001——2005，2009（2005有答案）高等代数2000——2005、2007（2005有答案）物理系数学物理方法2000——2005量子力学2000，2002——2005热力学与统计物理2000，2002——2005电动力学2000，2002——2005普通物理2000——2005光学（几何光学与波动光学）2000晶体管原理2000半导体材料2004——2005半导体器件2004——2005半导体物理2001——2002，2004——2005神经科学基础2004——2005生物统计学2004——2005生物物理学2004——2005工程光学2005微电子技术2003——2005离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005模拟电子技术2001——2005工程力学系材料力学1999——2001，2003——2005，2010（2010为回忆版）理论力学1995，1999——2001，2003——2005理论力学（土）2000土力学1999——2005自动控制原理(含现代20%) 1999——2005杆系结构静力学1998，2000弹性力学（不含板壳）1999——2004流体力学1999——2005流体力学（土）2004——2005流体力学基础2002——2005岩石力学1999——2000钢筋混凝土结构1999——2000工程流体力学2001，2004——2005水力学1999——2000，2002，2004——2005机械工程学院机械设计2001——2005（2001——2005有答案）机械原理1999——2000，2003——2005画法几何及机械制图2003——2005控制工程基础2001，2003——2005微机原理及应用（8086）1999——2000微机原理及应用（机）2004——2005微机接口与通讯及程序设计1999——2000模拟电子技术2001——2005离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005过程控制（含计算机控制）2000杆系结构静力学1998，2000微电子技术2003——2005系统工程概论1999——2002晶体管原理2000系统工程概论1999——2005管理基础知识1999——2001，2003——2005（2003——2005有答案）计算机组成原理（软）2005管理学基础2004——2005（2004——2005有答案）管理学2010（回忆版）材料力学1999——2001，2003——2005，2010（2010为回忆版）自动控制原理(含现代20%) 1999——2005材料科学与工程学院材料科学基础2003——2005，2010（2010为回忆版）机械设计2001——2005（2001——2005有答案）模拟电子技术2001——2005微电子技术2003——2005物理化学2004物理化学及物理化学实验1991——1993，2000，2002——2005（2002——2004有答案）胶凝材料学2001——2005硅酸盐物理化学2001——2002，2005杆系结构静力学1998，2000金属学2000金属热处理原理2000金属材料学2000钢筋混凝土结构1999——2000晶体管原理2000土木水利学院材料力学（土）2000，2003——2005材料力学1999——2001，2003——2005，2010（2010为回忆版）土力学1999——2005结构力学2000——2001，2003——2005水力学1999——2000，2002，2004——2005杆系结构静力学1998，2000理论力学（土）2000弹性力学（不含板壳）1999——2004流体力学1999——2005流体力学（土）2004——2005流体力学基础2002——2005岩石力学1999——2000钢筋混凝土结构1999——2000工程流体力学2001，2004——2005系统工程概论1999——2005工程经济学2004——2005无机化学2003——2005传热学2002，2004——2005工程力学2004——2005工程项目管理2004——2005建筑材料2005工程热力学2001——2002，2004——2005热工基础（含工程热力学和传热学）2003化工学院无机化学2003——2005物理化学2004物理化学及物理化学实验1991——1993，2000，2002——2005（2002——2004有答案）有机化学及实验2001，2003——2005高分子化学及物理2002——2005化工原理及化工原理实验2001——2005材料力学1999——2001，2003——2005，2010（2010为回忆版）工程流体力学2001，2004——2005硅酸盐物理化学2001——2002，2005热力学基础2005天然药物化学2005药剂学2005生物化学及生物化学实验1999——2005船舶工程学院船舶动力装置2002——2005船舶设计原理2001——2005水声学原理2002——2005船舶静力学2001——2005杆系结构静力学1998，2000电子与信息工程学院模拟电子技术2001——2005信号与系统（含随机信号20%）1999——2005 自动控制原理(含现代20%) 1999——2005工程光学2005通信原理2004——2005离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005离散数学与计算机组成原理2005离散数学与数据库原理2004——2005数据结构与计算机组成原理2004——2005计算机组成原理与计算机体系结构2004——2005 计算机组成原理与数字逻辑2000计算机组成原理（软）2005编译方法1999——2000操作系统1999——2001高等代数2000——2005过程控制（含计算机控制）2000微电子技术2003——2005微机接口与通讯及程序设计1999——2000系统工程概论1999——2005晶体管原理2000能源与动力学院汽车理论2000——2005机械原理1999——2000，2003——2005自动控制原理(含现代20%) 1999——2005化工原理及化工原理实验2001——2005普通物理2000高等代数2000——2005离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005运筹学基础及应用2004——2005计算机信息管理1999——2001，2004——2005 微电子技术2003——2005杆系结构静力学1998，2000系统工程概论1999——2005晶体管原理2000信息管理与信息系统2010（回忆版）管理学院计算机信息管理1999——2001，2004——2005 运筹学基础及应用2004——2005离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005公共经济学基础2004——2005，2010（2010为回忆版）过程控制（含计算机控制）2000微电子技术2003——2005系统工程概论1999——2002政治学原理2004——2005行政管理学2004——2005，2010（2010为回忆版）经济学基础2001——2005（2001——2005有答案）运筹学基础及应用2004——2005公共管理学2005社会保障学2004——2005管理学2010（回忆版）信息管理与信息系统2010（回忆版）人文社会科学学院经济学基础2001——2005（2001——2005有答案）管理基础知识1999——2001，2003——2005（2003——2005有答案）管理学基础2004——2005（2004——2005有答案）管理学2010（回忆版）系统工程概论1999——2002现代科学技术基础知识1999——2000，2004——2005思想政治教育学2004——2005马克思主义哲学原理2004——2005马克思主义哲学2001——2002西方哲学史2005哲学概论2004——2005科学技术史（含命题作文）2004——2005科学史、技术史、命题作文2001——2003政治学原理2004——2005行政管理学2004——2005，2010（2010为回忆版）传播学2004——2005新闻传播实务2004——2005民法学2004——2005法理学与商法总论2004——2005政治学2004——2005中外教育史2004——2005教育学2005中国近现代史2004——2005世界近现代史2004——2005电气工程及应用电子技术系电路理论2002——2005自动控制原理(含现代20%) 1999——2005过程控制（含计算机控制）2000微电子技术2003——2005系统工程概论1999——2005晶体管原理2000外国语学院二外德语2002，2004二外俄语2002——2004二外法语2004——2005二外日语2002——2004专业基础英语2003英汉翻译2003，2005英汉翻译与写作2004英语水平测试2004——2005二外英语2002——2005日语水平测试2004——2005翻译与写作（日）2004——2005专业基础日语2002——2003外国语言学与应用语言学（日语）专业综合能力测试2002——2003体育教学部运动生物力学2005人体测量与评价2004——2005生物学基础2005体质学2004——2005建筑艺术学院建筑设计（8小时）2000，2004——2005建筑设计原理1999——2000，2003建筑设计理论综合2004——2005城市建设史2002——2003中国与外国建筑史2000建筑构造与建筑结构1999——2000城市规划历史与理论2004——2005城市规划原理2003城市设计2002规划设计(8小时)2004-2005素描(8小时)2005泥塑(8小时)2005色彩(4小时)2005软件学院离散数学及应用2000——2001（2000有答案）离散数学与数据结构2002——2005离散数学与计算机组成原理2005离散数学与数据库原理2004——2005数据结构与计算机组成原理2004——2005计算机组成原理与计算机体系结构2004——2005计算机组成原理与数字逻辑2000计算机组成原理（软）2005编译方法1999——2000操作系统1999——2001环境与生命学院物理化学2004物理化学及物理化学实验1991——1993，2000，2002——2005（2002——2004有答案）化工原理及化工原理实验2001——2005硅酸盐物理化学2001——2002，2005基因工程原理2004——2005微生物学2004——2005细胞生物学2005环境化学2004——2005环境工程原理2004——2005，2010（2010为回忆版）分子遗传学2004——2005环境微生物2002经济系经济学基础2001——2005（2001——2005有答案）公共经济学基础2004——2005，2010（2010为回忆版）高科技研究院数学分析2001——2005，2009（2005有答案）高等代数2000——2005数学物理方法2000——2005量子力学2000，2002——2005热力学与统计物理2000，2002——2005电动力学2000，2002——2005物理化学2004物理化学及物理化学实验1991——1993，2000，2002——2005（2002——2004有答案）硅酸盐物理化学2001——2002，2005微电子技术2003——2005。
大连理工大学矩阵与数值分析上机作业
end
case2%2-范数
fori=1:n
s=s+x(i)^2;
end
s=sqrt(s);
caseinf%无穷-范数
s=max(abs(x));
end
计算向量x，y的范数
Test1.m
clearall;
clc;
n1=10;n2=100;n3=1000;
x1=1./[1:n1]';x2=1./[1:n2]';x3=1./[1:n3]';
xlabel('x');ylabel('p(x)');
运行结果：
x=2的邻域：
x =
1.6000 1.8000 2.0000 2.2000 2.4000
相应多项式p值：
p =
1.0e-003 *
-0.2621 -0.0005 0 0.0005 0.2621
p(x)在 [1.95,20.5]上的图像
程序：
[L,U]=LUDe.(A);%LU分解
xLU=U\(L\b)
disp('利用PLU分解方程组的解:');
[P,L,U] =PLUDe.(A);%PLU分解
xPLU=U\(L\(P\b))
%求解A的逆矩阵
disp('A的准确逆矩阵:');
InvA=inv(A)
InvAL=zeros(n);%利用LU分解求A的逆矩阵
0 0 0.5000 -0.2500 -0.1250 -0.0625 -0.0625
0 0 0 0.5000 -0.2500 -0.1250 -0.1250
0 0 0 0 0.5000 -0.2500 -0.2500
大连理工大学【精品】2016-2017学年第2学期高等数学A期末考试试卷
装订线大连理工大学2016-2017学年第2 学期高等数学A期末考试试卷2016~2017学年第2 学期考试科目：高等数学A考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．二元函数2ln(21)z y x=-+的定义域为。
2. . 设向量设向量(2,1,2)a=，(4,1,10)b=-，c b al=-，且a c^，则l=。
3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x轴的平面方程为。
4．设yzu x=，则du=。
5．级数11(1)npnn¥=-å，当p满足条件时级数条件收敛。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．微分方程2()'xy x y y+=的通解是（）A．2xy Ce=B．22xy Ce=C．22yy e Cx=D．2ye Cxy=2．求极限(,)(0,0)24limx yxyxy®-+=（）A．14B．12-C．14-D．12得分得分1 2 3．直线:327x y z L ==-和平面:32780x y z p -+-=的位置关系是的位置关系是 （ ）A ．直线L 平行于平面pB ．直线L 在平面p 上C ．直线L 垂直于平面pD ．直线L 与平面p 斜交斜交4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b £+£，则22Dx y d s +=òò （ ）A ．33()2b a p - B ．332()3b a p - C ．334()3b a p - D ．333()2b a p - 5．下列级数收敛的是下列级数收敛的是 （（ ））A ．11(1)(4)n n n ¥=++å B ．2111n nn¥=++å C ．1121n n ¥=-å D ．311(1)n n n ¥=+å三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'xy y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。
大连理工大学数值分析历年真题与答案(研究生期末卷)
位
. ,
A 2＝
4 2 （3）设 A 2 4 , 则 A 1＝ 谱半径 ( A) ＝
,
A ＝
,
A F＝
, .
, 2-条件数 cond 2 ( A) ＝
, 奇异值为
线
（4）设 A C 44 ,特征值 1 2 2, 3 4 3 ,特征值 2 是半单的，而特征值 3 是 亏损的，则 A 的 Jordan 标准型 J
x 3 ( x [1,1]) 的二次最佳平方逼近多项式, 构造 Gauss 型求积公式 f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) , 并验证
1
1
其代数精度.
A－3
大
连
理 工
计算方法 数学系
大
学 2006 年试题
试卷： A 考试形式： 闭卷 试卷共 8 页
A－5
1 3 四、 （4 分）求 Householder 变换矩阵将向量 x 2 化为向量 y 0 . 2 0
五、 （12 分）写出解线性方程组的 Jacobi 法，G-S 法和超松弛（SOR）法的矩阵表示形式， 并根据迭代法 x ( k 1) Bx ( k ) f 对任意 x ( 0) 和 f 均收敛的充要条件为 ( B) 1 , 证明若线性方 程组 Ax b 中的 A 为严格对角占优矩阵, 则超松弛（SOR）法当松弛因子 (0,1] 时收敛.
师：张宏伟
一、填空（每一空 2 分，共 42 分） 1．为了减少运算次数，应将表达式.
装
16 x 5 17 x 4 18 x 3 14 x 2 13 x 1 x 4 16 x 2 8 x 1
大连理工大学2000-2017年数学分析真题
大连理工大学2000年数学分析真题 (2)大连理工大学2001年数学分析真题 (4)大连理工大学2002年数学分析真题 (6)大连理工大学2003年数学分析真题 (8)大连理工大学2004年数学分析真题 (10)大连理工大学2005年数学分析真题 (12)大连理工大学2006年数学分析真题 (14)大连理工大学2008年数学分析真题 (16)大连理工大学2009年数学分析真题 (18)大连理工大学2010年数学分析真题 (20)大连理工大学2011年数学分析真题 (22)大连理工大学2013年数学分析真题 (24)大连理工大学2014年数学分析真题 (25)大连理工大学2015年数学分析真题 (28)大连理工大学2016年数学分析真意 (30)大连理工大学2017年数学分析真题 (32)大连理工大学2000年数学分析真题一.从以下的第一到第八题中选取6题解答，每题10分 1.证明：()xx f 1=于区间()10，δ（其中0<0δ<1）一致连续，但是于（0,1）内不一致连续。
2.证明：若()x f 于[a ，b]单调，则()x f 于[a ，b]内Riemann 可积。
3.证明：Dirichlet 函数：()()⎪⎩⎪⎨⎧==有理数为无理数q px q x x f ,1,0在所有无理点连续，在有理点间断。
4.证明：若()()b a C x f ,∈，（指（a ，b ）上的连续函数，且任意()()b a ,,⊂βα，()⎰=βα0dx x f ，那么()()b a x x f ,0∈≡，。
5.证明：∑∞=-1n nx ne 于（0,+∞）不一致收敛，但是对于0>∀δ，于[)+∞,δ一致收敛。
6.证明：()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin 4x x xx x f ，在0=x 处有连续的二阶导数。
7.利用重积分计算三个半长轴分别为a,b,c 的椭球体的体积。
8.计算第二类曲面积分：⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中，∑是三角形()10,,=++>z y x z y x ，，法方向与z y x ,,轴成锐角为正。
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大连理工大学2017年研究生矩阵与数值分析考试
考试日期：2017年6月5日
一、填空题（50分，每空2分）
1.a=0.3000经过四舍五入具有4位有效数字，则x a a
-≤ ，ln ln x a -≤ 2.已知X=(1,5,12)T ，Y=(1,0,a)T ，则由X 映射到Y 的Householder 矩阵为： ，计算||H||2= ，cond 2(H)=
3.根据3次样条函数的性质（后面-前面=a （x -x0）3），一个求其中的参数b==
4. 2'3u u t =，写出隐式Euler 格式： 梯形法格式：
5.已知A=XX T ，其中X 为n 维列向量，则||A||2= ，||A||F = ，矩阵序列的极限：2lim k
k A A →∞⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
= 6.A=LU ，其解为x ，写出一步迭代后的改善格式： 7. 531A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，请问通过幂法与反幂法计算出的特征值分别是 ，
8. 1111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，sin A = ，823A A A +-= ，At e = ，d d At e t = ，2
1
At e dt ⎰=
9. ()()()()2
0120
012f x dx A f A f A f =++⎰是Newton -cotes 公式，则1A = ，具有代数精度=
10. f(x)=7x 7+6x 6+…+x ，f[20, 21,22…., 28]=
11. 0.40.200.5A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1
k k A ∞=∑= 12.f(0)=1, f(1)=-1, f(2)=1, f(3)=19,请问对该节点进行插值后最高次的系数= 还有2空没有回忆出来，但是比上面题目还简单，因此不用担心。
二、121232352A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，121b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
（1）计算LU 分解
（2）利用LU 求逆矩阵
（3）写出G -S 格式（12分）
三、给出()
21233k k k k x x a x x a ++=+，计算该迭代式收敛到某个值，收敛阶（8分）
3，
因为()1k x x φ+=
，
0φφ'''==
，而302a φ'''=-≠
-bx 五、计算权函数为1，区间[-1,1]的二次正交多项式，并且据此计算20
(x)dx f ⎰的具有三次代数精度求积公式（8分）
六、已知线性2步3阶法（14分） ()21102210812
n n n n n n h u u u f f f ααββ++++++=++ （1）写出局部截断误差（必须含有主项）
（2）判断收敛性
（3）写出绝对稳定区间
答：提示：上面公式的2β与书上的2β不是同一个，注意计算的时候区分。