高斯函数_常见题型
高斯函数的性质和应用
高斯函数的性质和应用1、对x∈R，[x]表示不超过x 的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数.人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2，[1]=1，且有性质（1)任意x∈R,0≤x-[x]＜1,性质（2）[x+1]-[x]=1，性质（3）[x]＋[-x]=-1（x∈Z），定义域为R,值域为Z;不单调，无最值，无奇偶性对任意实数x，都有[x]≤x<[x]+1,x-1<[x]≤x；2、g(x)=x-[x]定义域为R,值域：[0,1)无单调性，最小值0，周期为1.例1、（多选题）高斯函数也称取整函数，记作[x]，是指不超过实数x 的最大整数，例如[6.8]=6，[-4.1]=-5，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.下列关于高斯函数y=[x]的性质叙述正确的是（ABC）A.y=[x]值域为Z B.y=[x]不是奇函数C.y=x-[x]为周期函数 D.y=[x]在R 上单调递增例2、设{x}=x-[x]，则函数f(x)=2x{x}-x-1的所有零点之和为？由f(x)=01,由图像可知，两函数除以交点（-1,0)之外，其余的交点关于点（0，1)对称，所以，函数y=f(x)的所有零点之和为-1；故答案为：-1；例3、已知函数f(x)=|x-1|(3-[x])，x∈[0,2),若f(x)=52，则x=；不等式f(x)≤x 的解集为__。
【解析】由题意，得f(x)=3−3s 0≤<12−2s 1≤<1,当0≤x<1时,3-3x=52,当1≤x<252,即x=9/4(舍),综上x=16;当0≤x<134≤x<1,当1≤x＜2时,2x-2≤x,即1≤x＜2,综上，答案为：34≤x<2；例4、高斯函数()[]f x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），若函数()2x xg x e e -=--的零点为0x ，则()0g f x =⎡⎤⎣⎦（B ）A．12e e--B．2-C．12e e--D．2212e e --例5、.设x∈R，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.已知函数f(x)=22+1，则函数y=[f(x)）]的值域为(D )A.{0,-1} B.{-1,1} C.{0,1} D.{-1,0,1}小练习：条件同上已知函数f(x)=12x 2-x+1(0<x<3)，则函数y=[f(x)]的值域为(?){0,1,2}例6、定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a 的最大整数．加强练习一、选择题1、已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点，则()0g x =()A.4 B.5 C.2D.32、函数y=[]x 叫做“取整函数”，][][][2222log 1log 2log 3log 64⎡⎤+++⋯+⎣⎦的值为()A.21B.76C.264D.6423、某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）4、我们定义函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）为“下整函数”，定义函数{}y x =（{}x 表示不小于x 的最小整数）为“上整函数”，例如[4.3]4=，[5]5=；{4.3}5=，{5}5=.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费（单位：元）()A.2[1]x + B.2([]1)x + C.2{}x D.{2}x6、已知[]y x =为高斯函数，令函数()[]f x x x =-，以下结论正确的有()A.()2.30.7f -= B.()f x 为奇函数 C.()()1f x f x += D.()f x 的值域为[]0,17、[]y x =高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”.则下列命题中正确的是()A.[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B.x ∃∈R ，[]1x x ≥+C.,x y ∀∈R ，[][][]x y x y +≤+ D.函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)8、对x ∀∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数.十八世纪,[]y x =被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数,人们更习惯称为“取整函数”,则下列命题中的真命题是()A.x ∃∈R ,[]1x x ≥+B.x ∀,y ∈R ,[][][]x y x y +≤+ C.函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[)0,1D.若t ∃∈R ,使得31t ⎡⎤=⎣⎦,42t ⎡⎤=⎣⎦,53t ⎡⎤=⋯⎣⎦,2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立,则正整数n 的最大值是5三、填空题9、由“不超过x 的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常记为[]y x =，例如[][]1.210.31=-=-，，则函数[][)21,1,3y x x =+∈-的值域为_________________.10、取整函数y=[x]，x∈R 称为高斯函数，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]=1，[-1.1]=-2.则点集P={（x，y）|[x]2+[y]2=1]所表示的平面区域的面积是?4四、解答题10、已知[]x 表示不超过x 的最大整数，称为高斯取整函数，例如[3.4]3=，[ 4.2]5-=-，不等式213x ≤+<的解集为A ，不等式2230x x -≤的解集为B .(1)求A B ；(2)已知x A ∈，正数a ，b 满足[]a b x +=，求11a b+的最小值.11、已知函数()[]f x x =.(1)记()()2h x f x x =-，[)0,3x ∈，求()h x 的解析式，并在坐标系中作出函数()h x 的图像.(2)结合(1)中的图象，解不等式()1524h x <≤直接写出结果.(3)设()3131x x g x -=+，判断()g x 的奇偶性，并求函数()()()()2y f g x f g x =+-的值域.。
高斯求和法
高斯求和法
若干个数按一定顺序规律排列起来就是一个数列。
如果这个数列中任意两个相邻的数之间的差都相等，我们就把这个数列称为等差数列。
其中第一个数称为首项，最后一个数称为末项。
相邻两个数之间的差称为公差，这数列中数的个数称为项数。
求和公式为：
等差数列的和=（首项+末项）项数2
项数=(末项-首项) 公差+1
末项=首项+公差（项数-1 ）
首项=末项-公差（项数-1）
例题（1）1+2+3+4+5+……+19+20
(2)2+4+6+8+……+48+50
(3)第一行放了一颗糖，二行放了2颗糖，三行放了2颗糖，以此类推，四十行放了2颗糖，第一到四十行一共放了多少颗糖？
（4）有一列数按如下规律排列：10、17、24、31……..这列数中前80个数的和是多少？
（5）有一列数按如下规律排列：5、9、13、17……..这列数中前24个数的和是多少？
(6)(2+4+6+.........+2012)-(1+3+5+ (2011)
(7)(7+9+11+.......+25)-(5+7+9+. (23)
(8)1+2-3+4+5-6+7+8-9+…….58+59-60。
高斯函数_常见题型
高斯函数_常见题型一、常见题型与相关例题 1、 整数问题例1、 在项数为1987的数列222121987,,,198719871987⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦中有多少个不同的整数？2、 方程问题方程问题主要有解方程与讨论方程的根两种题型。
例2、 解方程33[]3x x -=。
例3、 证明方程2345[][2][2][2][2][2]12345x x x x x x +++++=无实数解。
3、 恒等问题这类问题主要是证明一些由[x]构成的恒等式。
例如1().22n n n n N *+⎡⎤⎡⎤+=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 例4、（Hermite 恒等式）若n 是正整数，x R ∈，则10[]n k k x nx n -=⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦∑. 例5、已知,n N *∈求证：[1]41[42][43]n n n n n ++=+=+=+ 4、 不等问题不等问题主要涉及含[x]的不等式分析。
此类问题一般难度较大。
例6、设,x y R ∈，试证：（1）、[2][2][][][];x y x y x y +≥+++ （2）、[3][3][][]2[]x y x y x y +≥+++.注：与上面不等式相类似地还有（3）、[4][4][][][2][2].x y x y x y y x +≥+++++ （4）、[5][5][][][3][3].x y x y x y y x +≥+++++例7、设,,x R n N *∈∈试证：1[][][].nk kx n x nx k=≤≤∑ 例8、证明不等式[][][][2][2]ααββαβ+++≥+对任意不小于1的实数,αβ立。
例9、求所有正整数n 使得22min()1991.k N n k k *∈⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦5、 求值问题例10、若实数x 满足192091[][][]546,100100100x x x ++++⋅⋅⋅++=求[100]x 的值。
高斯电磁场定律练习题经典习题汇总
高斯电磁场定律练习题经典习题汇总
本文档汇总了一些经典的高斯电磁场定律练题，帮助读者巩固
和应用相关概念。
以下是一些题示例：
1. 问题描述：一个半径为R的闭合球面，球心位于电荷密度为ρ的均匀充电球体内，求球面上的电场强度。
解答提示：利用高斯定律，通过球面上的电通量计算电场强度。
2. 问题描述：一个位于原点的点电荷Q在真空中产生的电场强度为E，求通过一个半径为r的闭合球面上的电通量。
解答提示：由于球面是闭合的，电通量等于通过球面的总电荷。
3. 问题描述：一个长度为L的带电线性电荷在空间中产生的电
场强度为E，求通过一个长为d的闭合柱面的电通量。
解答提示：利用高斯定律，根据柱体上的电通量计算电场强度。
4. 问题描述：一个球形电荷分布体半径为R，并在球心产生电
场强度E，求通过一个半径为r（r<R）的闭合球面上的电通量。
解答提示：由于球体不均匀带电，需要考虑球体内不同位置的电荷量。
以上仅为几个经典题示例，读者可以通过解答这些题来加深对高斯电磁场定律的理解和应用。
注意：本文档仅提供习题示例，不提供具体解答。
读者可以根据自己的理解和知识进行思考和解答。
高斯函数基础练习题(基础有梯度)
高斯函数基础练习题(基础有梯度)高斯函数是一种常见的数学函数，它在统计学和机器研究中经常被使用。
本文将提供一些基础的练题，帮助您巩固对高斯函数及其梯度的理解。
练题一已知高斯函数的定义如下：高斯函数: f(x) = exp(-0.5 * (x - μ)² / σ²)请计算以下问题：1. 当x = 0, μ = 1, σ = 2 时，高斯函数的值是多少？2. 当x = 2, μ = 1, σ = 2 时，高斯函数的值是多少？练题二已知高斯函数的梯度计算公式如下：高斯函数梯度: ∇f(x) = -((x - μ) / σ²) * f(x)请计算以下问题：1. 当x = 0, μ = 1, σ = 2 时，高斯函数的梯度是多少？2. 当x = 2, μ = 1, σ = 2 时，高斯函数的梯度是多少？练题三给定一个数据集X，其中包含多个样本，每个样本有多个特征。
我们希望使用高斯函数来拟合这些样本。
请编写一个函数，该函数接受参数X, μ, σ，返回一个概率向量，表示每个样本属于高斯分布的概率。
函数签名为：def gaussian_prob(X, μ, σ):"""计算每个样本属于高斯分布的概率参数:X: 样本数据集，形状为 (样本数, 特征数)μ: 高斯分布的均值参数，形状为 (特征数,)σ: 高斯分布的标准差参数，形状为 (特征数,)返回:概率向量，形状为 (样本数,)"""在此实现函数体return prob_vector请根据给定的函数签名，完成函数的编写。
以上是关于高斯函数基础练习题的内容，希望对您的学习有所帮助。
如有疑问，请随时提问。
高斯函数基本练习题(基本有梯度)
高斯函数基本练习题(基本有梯度)
高斯函数是数学中常用的一种函数形式，它在统计学、信号处理和机器研究等领域中广泛应用。
本练题旨在帮助你熟练掌握高斯函数的基本概念和使用。
1. 高斯函数的定义
高斯函数，也称为正态分布函数，是指形如以下公式的函数：
$$
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-
\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
其中，$x$ 是自变量，$\mu$ 是分布的均值，$\sigma$ 是分布的标准差。
2. 计算高斯函数的值
下面是一个高斯函数的计算例子：
import math
def gaussian(x, mu, sigma):
return (1 / (sigma * math.sqrt(2 * math.pi))) * math.exp(-((x - mu)2) / (2 * sigma2))2) / (2 * sigma2))
result = gaussian(2, 0, 1)
print(result)
运行以上代码，即可计算出 $x$ 等于 2，$\mu$ 等于 0，
$\sigma$ 等于 1 时的高斯函数值。
3. 高斯函数的应用
高斯函数在实际应用中有很多用途，例如：
- 统计学中的正态分布模型
- 信号处理中的滤波器设计
- 机器研究中的概率密度估计
通过掌握高斯函数的基本概念和计算方法，你可以更好地理解
和应用这一重要数学工具。
以上是高斯函数基本练习题的内容，希望对你的学习有所帮助。
初中数学竞赛代数专题讲义之高斯函数例题习题及详解
初中数学竞赛之高斯函数对于任意实数x ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，称为取整数。
符号[]叫做取整符号，或者叫做高斯记号。
一般地，[]x y =叫做取整函数，也叫做高斯函数或数论函数，自变量x 的取值范围是一切实数。
一、专题知识1.R ∈x ,[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数[]x y =称为高斯函数。
记{}[]x x x -=称为x 的小数部分，{}10≤≤x 。
2.设R ∈y x ，，高斯函数[]x y =有如下性质：（1）[][]1+≤≤x x x .（2）若y x ≤，则[][]y x ≤.（3）[][]x n x n +≤+.（4）[][][]⎩⎨⎧∉--∈-=-)Z (1)Z (x x x x x （5）[][][]y x y x +≤+.（6）[][][]y x y x -≤-或[]1+-y x .（7）[][][][][]y y x x y x +++≥+22.二、例题分析例题1若[]a 表示实数a 的整数部分，求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-76161的值。
【解】27379176161+=-=-，而372<<，从而327325<+<，从而276161=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-例题2[]x ，[]y ，[]z 分别不大于z y x ，，的最大整数。
若[]5=x ，[]3-=y ，[]1-=z ，求[]z y x --的值。
【解】由已知条件知65<≤x ，23-<≤-y ，01<≤-z ，32≤-<y ，10≤-<z ，107<--<z y x []z y x --的值为7，8，9。
例题3已知n 为正整数，证明：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 。
【证明】由于[][][]1+⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，变形得[][][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n 对于任意实数x ，有[][]1-<≤x x x 或[]x x x ≤<-1，由于[]⎪⎭⎫⎝⎛n x n 和[]⎪⎭⎫⎝⎛+1n x n 都是整数，且[][]1-<≤x x x ，所以[][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n x n x n x n ，故[][][]1+<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡n x n x n x ，所以[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎦⎤⎢⎣⎡n x n x 例题4解方程4)12(3534+=⎦⎤⎢⎣⎡+x x .【解】设m x =+4)12(3，则634-=m x ，则原方程化为m m =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-⋅536344，化简得m m =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1538因为[]10<-≤x x ，所以115380<-+≤m m ，解得73712≤<-m ，由于Z ∈m ，所以0=m 或1-=m ，代入634-=m x 得，21-=x 或67-=x 原方程的解为21-=x 或67-=x三、专题训练1.已知n 为正整数，222131211nS n ++++= ，求[]n S 的值。
高斯函数有关的高考压轴题
高斯函数有关的高考压轴题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN与高斯函数有关的高考压轴题董永春(成都戴氏高考中考肖家河总校数学组, 四川成都，611000)1 高斯函数问题的提出早年，数学王子高斯在闲暇时发现并定义了取整函数，即设x ∈R ，用 [x ]或int (x )表示不超过x 的最大整数，并用"{}x "表示x 的非负纯小数,则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。
高斯函数[x ]的定义域是R ,值域为Z ,其图象是不连续的水平线段。
在初中、高中数学竞赛中经常出现含有取整函数的问题。
笔者在高三复习时发现欧拉常数问题[1]在高考中频繁出现，同样的，高斯函数已渗透到高考，多以信息出现在压轴题的位置，高斯函数在数论中也有非常重要的作用。
下面从一些考题去体会高斯函数。
2 高斯函数有关的准备我们只提出本文需要的一些性质[]{}x x x =+，[]1x x x -<≤[]1x <+， 1101010n n x x -⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦表示取x 的各分位小数。
3 高斯函数有关问题的解决例1 （2012四川16）记[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如，[2]2=，[1.5]1=，[0.3]1-=-。
设a 为正整数，数列{}n x 满足1x a =，1[][]()2n n n a x x x n N *++=∈，现有下列命题：①当5a =时，数列{}n x 的前3项依次为5,3,2；②对数列{}n x 都存在正整数k ，当n k ≥时总有n k x x =；③当1n ≥时，1n x >；④对某个正整数k ，若1k k x x +≥，则n x =。
其中的真命题有_①__③___④______。
（写出所有真命题的编号） 分析：①显然成立，对于②，取3a =，12343,1,3,1,...x x x x ====为摆动数列，②错。
例析与高斯函数有关问题的常考题型
例析与高斯函数有关问题的常考题型与备考建议刘海涛(安徽省芜湖市第一中学㊀２４１０００)摘㊀要:文章介绍了高斯函数的定义及其性质ꎬ例析高斯函数与其他知识的交汇问题的处理策略ꎬ最后给出复习备考的建议.关键词:高斯函数ꎻ高考备考ꎻ核心素养中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０１－００２７－０５收稿日期:２０２２－１０－０５作者简介:刘海涛(１９８８－)ꎬ男ꎬ安徽省滁州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.１问题的提出«高考评价体系»指出:高考要从 知识立意 转向 能力立意 ꎬ考查学生的 关键能力 和 核心素养 .这就要求学生在学习中ꎬ学会灵活运用所学知识分析㊁解决问题ꎬ达到从 解题 向 解决问题 的转变.笔者在一轮复习的教学中ꎬ发现高斯函数频频出现在一些数学题中ꎬ学生面对此类问题常因方法不当ꎬ或运算过程繁杂ꎬ导致虽做对但耗时太多ꎬ或做错丢分ꎬ成绩不理想ꎬ而若能熟练掌握高斯函数的定义与性质ꎬ将其运用到解题中ꎬ定会事半功倍ꎬ提高解题正确率与效率.如何帮助学生在高考复习备考中ꎬ遇到与高斯函数有关的问题时ꎬ能够准确㊁快速㊁高效地解答呢?笔者通过梳理ꎬ现将该类问题整理成文ꎬ与读者交流ꎬ以期抛砖引玉.２高斯函数的介绍２.１高斯函数的定义设ｘɪＲꎬ用[ｘ]表示不超过ｘ的最大整数ꎬ则称ｙ＝[ｘ]为高斯函数ꎬ也叫取整函数.显然ꎬ其定义域为Ｒꎬ值域为Ｚ.高斯函数的定义域是连续的ꎬ但值域是离散的.我们把一个数的小数部分记作ｘ{}ꎬ则有ｘ＝[ｘ]＋ｘ{}ꎬ显然０ɤｘ{}<１.一般地ꎬ我们称ｙ＝ｘ{}为小数函数.２.２高斯函数的性质(１)若ｘɤｙꎬ则[ｘ]ɤ[ｙ]ꎻ(２)[ｎ＋ｘ]＝ｎ＋[ｘ]ꎬ其中ｎɪＺꎻ(３)ｘ－１<[ｘ]ɤｘ<[ｘ]＋１ꎻ(４)[ｘ]＋[ｙ]ɤ[ｘ＋ｙ]ꎻ(５)若ｘꎬｙȡ０ꎬ则[ｘｙ]ȡ[ｘ][ｙ]ꎻ(６)[－ｘ]＝－[ｘ]－１(ｘ不是整数)ꎬ－[ｘ](ｘ是整数)ꎻ{(７)若ｘ>０ꎬｎɪＮ∗ꎬ则在不超过ｘ的正整数中ꎬｎ的倍数共有[ｘｎ]个.３例析高斯函数与其他知识的交汇问题３.１利用高斯函数解函数问题３.１.１求函数解析式例１㊀某学校要召开学生代表大会ꎬ规定各班每１０人推选一名代表ꎬ当各班人数除以１０的余数大于６时再增选一名代表.那么ꎬ各班可推选代表人数ｙ与该班人数ｘ之间的函数关系用高斯函数ｙ＝[ｘ]可以表示为(㊀㊀).Ａ.ｙ＝[ｘ１０]㊀㊀㊀Ｂ.ｙ＝[ｘ＋３１０]Ｃ.ｙ＝[ｘ＋４１０]Ｄ.ｙ＝[ｘ＋５１０]解析㊀根据规定ꎬ当班级人数除以１０的余数分别为７ꎬ８ꎬ９时可增选一名代表ꎬ因此用取整函数可以表示为ｙ＝[ｘ＋３１０]ꎬ故选Ｂ.评注㊀该题主要考查学生的逻辑推理能力和综合运用数学知识的能力ꎬ另外该题可以用特殊值验证法.３.１.２求函数值例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ３ｌｎｘꎬ当ｆ(ｘ)的值域为(２ｅ６ꎬ＋¥)时ꎬ[ｌｏｇｘｆ(ｘ)]的值为.解析㊀求导得ｆᶄ(ｘ)＝ｘ２(３ｌｎｘ＋１).当０<ｘ<ｅ－１３时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ当ｘ>ｅ－１３时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ所以函数ｆ(ｘ)在(０ꎬｅ－１３)上单调递减且ｆ(ｘ)<０ꎬ在(ｅ－１３ꎬ＋¥)上单调递增.又因为ｆ(ｅ２)＝２ｅ６ꎬ所以ｘ>ｅ２.由ｌｏｇｘｆ(ｘ)＝ｌｏｇｘ(ｘ３ｌｎｘ)＝６＋２ｌｎ(ｌｎｘ)ｌｎｘꎬ设ｔ＝ｌｎｘꎬｈ(ｔ)＝６＋２ｌｎｔｔ(ｔ>２)ꎬ求导得ｈᶄ(ｔ)＝２(１－ｌｎｔ)ｔ２ꎬ当２<ｔ<ｅ时ｈᶄ(ｔ)>０ꎬ当ｔ>ｅ时ｈᶄ(ｔ)<０ꎬ所以函数ｈ(ｔ)在(２ꎬｅ)上单调递增ꎬ在(ｅꎬ＋¥)上单调递减.则６<ｈ(ｔ)ɤｈ(ｅ)＝６＋２ｅ.即６<ｌｏｇｘｆ(ｘ)ɤ６＋２ｅ.所以[ｌｏｇｘｆ(ｘ)]＝６.评注㊀该题的难度较大ꎬ主要考查利用导数研究函数的单调性与值域ꎬ换元法求复合函数值域等ꎬ体现了逻辑推理㊁直观想象㊁数学运算等数学核心素养.３.１.３求函数的值域(或最值)例３㊀对于给定的ｎɪＮ∗ꎬ定义Ｃｘｎ＝ｎ(ｎ－１) (ｎ－[ｘ]＋１)ｘ(ｘ－１) (ｘ－[ｘ]＋１)(ｘȡ１)ꎬ则当ｘɪ[３２ꎬ３)时ꎬ函数Ｃｘ８的值域是.解析㊀当ｘɪ[３２ꎬ２)时ꎬ[ｘ]＝１ꎬＣｘ８＝８ｘ单调递减ꎬ则Ｃｘ８ɪ(４ꎬ１６３]ꎻ当ｘɪ[２ꎬ３)时ꎬ[ｘ]＝２ꎬ所以Ｃｘ８＝５６ｘ(ｘ－１)单调递减ꎬ则Ｃｘ８ɪ(２８３ꎬ２８].综上ꎬ函数Ｃｘ８的值域为(４ꎬ１６３]ɣ(２８３ꎬ２８].评注㊀该题属于新定义题ꎬ解答的关键在于对定义的理解及变量的分段讨论ꎬ这也体现了高斯函数是一种分段函数的属性ꎬ考查了学生逻辑推理㊁数学运算的核心素养.例４㊀定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ)＝[２ｘ]＋[４ｘ]＋[８ｘ]ꎬ若Ａ＝ｙ｜ｙ＝ｆ(ｘ)ꎬ０ɤｘ<１{}ꎬ则Ａ中元素的最大值和最小值之和为.解析㊀记Ｍｎ＝[ｎ８ꎬｎ＋１８)(ｎɪＮ且ｎɤ７)ꎬ则ɣ７ｎ＝０Ｍｎ＝[０ꎬ１).当ｘɪＭｎ时ꎬｆ(ｘ)＝[２ｘ]＋[４ｘ]＋[８ｘ]＝[ｎ４]＋[ｎ２]＋[ｎ]ꎬＡ中元素的最大值和最小值分别为函数ｆ(ｘ)的最大值和最小值ꎬ易知ｎ＝０时ｆ(ｘ)取最小值０ꎬｎ＝７时ｆ(ｘ)取最大值１１.故最大值和最小值之和为１１.评注㊀集合Ａ为函数ｙ＝ｆ(ｘ)(０ɤｘ<１)的值域ꎬ由此问题转化为求函数的最大值与最小值的和ꎬ求该函数最值的关键在于ꎬ根据高斯函数的定义恰当地分段讨论ꎬ该题很好地考查了分类讨论思想.３.１.４判断函数的性质例５㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ[ｃｏｓｘ]＋ｃｏｓ[ｓｉｎｘ]ꎬ关于ｆ(ｘ)有下列四个结论:①ｆ(ｘ)的一个周期为２πꎻ②ｆ(ｘ)是非奇非偶函数ꎻ③ｆ(ｘ)在(０ꎬπ)上单调递减ꎻ④ｆ(ｘ)的最大值为２.其中所有结论正确的编号是(㊀㊀).Ａ.①②④㊀Ｂ.②④㊀Ｃ.①③㊀Ｄ.①②解析㊀由ｆ(ｘ＋２π)＝ｓｉｎ[ｃｏｓ(ｘ＋２π)]＋ｃｏｓ[ｓｉｎ(ｘ＋２π)]＝ｓｉｎ[ｃｏｓｘ]＋ｃｏｓ[ｓｉｎｘ]＝ｆ(ｘ)ꎬ得ｆ(ｘ)的一个周期为２πꎬ则编号①正确ꎻ由ｆ(－ｘ)＝ｓｉｎ[ｃｏｓ(－ｘ)]＋ｃｏｓ[ｓｉｎ(－ｘ)]＝ｓｉｎ[ｃｏｓｘ]＋ｃｏｓ[－ｓｉｎｘ]ꎬ知ｆ(－ｘ)＋ｆ(ｘ)＝０与ｆ(－ｘ)＝ｆ(ｘ)两式均不恒成立ꎬ则编号②正确ꎻ当ｘɪ(０ꎬπ２)时ꎬ有０<ｃｏｓｘ<１且０<ｓｉｎｘ<１ꎬ所以ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ０＋ｃｏｓ０＝１为定值ꎬ则编号③错误ꎻ由ｆ(０)＝ｓｉｎ[ｃｏｓ０]＋ｃｏｓ[ｓｉｎ０]＝ｓｉｎ１＋ｃｏｓ０>ｓｉｎπ４＋１>２ꎬ知编号④错误.评注㊀该题是一道高斯函数与三角函数结合的判断函数性质的问题ꎬ考查了学生的数学运算㊁逻辑推理等数学核心素养.３.１.５函数的零点问题例６㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ｘｘ{}－ｘ－１ꎬ则函数的的所有零点之和为(㊀㊀).Ａ.－１㊀Ｂ.０㊀㊀Ｃ.１㊀㊀Ｄ.２解析㊀由ｆ(０)ʂ０ꎬ知函数ｆ(ｘ)的零点即为方程２ｘ{}＝１＋１ｘ的根ꎬ作出函数ｙ＝２ｘ{}与ｙ＝１＋１ｘ的图象ꎬ两函数图象的交点除点(－１ꎬ０)外ꎬ其余交点均关于点(０ꎬ１)中心对称ꎬ则函数ｆ(ｘ)的所有零点和为－１ꎬ故选Ａ.评注㊀该题是一道与小数函数有关的函数零点问题ꎬ蕴含了函数与方程㊁数形结合等数学思想ꎬ考查的知识点较多ꎬ难度较大ꎬ尤其是对于函数ｙ＝２ｘ{}与ｙ＝１＋１ｘ的图象交点ꎬ除点(－１ꎬ０)外其余点关于点(０ꎬ１)对称这一性质的发现.３.２高斯函数与方程交汇问题例７㊀设ｘɪＲꎬ关于ｘ的方程[３ｘ＋１]＝２ｘ－１２的全部实根之和为.解法１㊀设２ｘ－１２＝ｋ(ｋɪＺ)ꎬ则ｘ＝２ｋ＋１４.有３ｘ＋１＝ｋ＋１＋２ｋ＋３４.所以原方程等价于[２ｋ＋３４]＝－１.即－１ɤ２ｋ＋３４<０.即－７２ɤｋ<－３２.则ｋ＝－３或－２ꎬ相应的ｘ＝－５４或－３４ꎬ于是全部实根之和为－２.解法２㊀由３ｘ<[３ｘ＋１]ɤ３ｘ＋１ꎬ得３ｘ<２ｘ－１２ɤ３ｘ＋１.解得－３２ɤｘ<－１２.则－７２ɤ３ｘ＋１<－１２ꎬ[３ｘ＋１]＝－１ꎬ－２ꎬ－３ꎬ－４.当２ｘ－１２＝－１时ꎬｘ＝－１４(舍)ꎻ当２ｘ－１２＝－２时ꎬｘ＝－３４ꎻ当２ｘ－１２＝－３时ꎬｘ＝－５４ꎻ当２ｘ－１２＝－４时ꎬｘ＝－７４(舍).综上ꎬ方程全部实根和为－２.评注㊀解答该题的关键在于对高斯函数定义和性质的理解ꎬ是一道较简单的方程题ꎬ考查了学生的逻辑推理㊁数学运算核心素养.３.３高斯函数与不等式交汇问题例８㊀已知ｘ>０ꎬ不等式[ｘ]ｘ{}<ｘ－１的解集为.解析㊀由ｘ＝[ｘ]＋ｘ{}ꎬ不等式[ｘ]ｘ{}<ｘ－１变形为([ｘ]－１)(ｘ－[ｘ]－１)<０ꎬ有ｘ<[ｘ]＋１恒成立.所以不等式等价于[ｘ]－１>０.即[ｘ]>１ꎬ即ｘȡ２.所以不等式解集为[２ꎬ＋¥).评注㊀解答该题的关键在于对不等式的合理变形ꎬ及高斯函数性质ｘ<[ｘ]＋１的运用ꎬ考查了逻辑推理㊁数学运算的数学核心素养.３.４高斯函数与数列交汇问题３.４.１数列通项问题例９㊀已知函数ｆ(ｘ)＝[ｘ[ｘ]]ꎬ当ｘɪ[０ꎬｎ)(ｎɪＮ∗)时ꎬ设函数ｆ(ｘ)的值域为Ａꎬ记集合Ａ中的元素个数为ａｎꎬ则式子ａｎ＋９０ｎ的最小值为.解析㊀当ｘɪ[０ꎬ１)时ꎬｆ(ｘ)＝[ｘ[ｘ]]＝０ꎻ当ｘɪ[ｋꎬｋ＋１)(ｋɪＮ∗且ｋɤｎ－１)时ꎬｘ[ｘ]＝ｋｘɪ[ｋ２ꎬｋ２＋ｋ)ꎬ则ｆ(ｘ)＝ｋ２ꎬｋ２＋１ꎬ ꎬｋ２＋ｋ－１ꎬ共有ｋ个取值.所以ａｎ＝１＋１＋２＋ ＋(ｎ－１)＝１２ｎ(ｎ－１)＋１.则ａｎ＋９０ｎ＝１２(ｎ＋１８２ｎ)－１２.易知当ｎ＝１３或１４时取得最小值为１３.评注㊀解答该题的关键在于抓住高斯函数的定义ꎬ将区间进行分段讨论.３.４.２数列求和问题例１０㊀数列ａｎ{}满足ａ１＝３ꎬａｎ＋１－ａｎ＝２ｎ＋２ꎬ则数列[ａｎ]的前２０２２项和为.解析㊀当ｎȡ２时ꎬａｎ＝(ａｎ－ａｎ－１)＋(ａｎ－１－ａｎ－２)＋ ＋(ａ２－ａ１)＋ａ１＝２ｎ＋２(ｎ－１)＋ ＋４＋３＝ｎ２＋ｎ＋１.又ａ１＝３满足ａｎ＝ｎ２＋ｎ＋１ꎬ所以ａｎ＝ｎ２＋ｎ＋１.由ｎ２<ｎ２＋ｎ＋１<(ｎ＋１)２ꎬ得[ａｎ]＝ｎ.则数列[ａｎ]的前２０２２项和为１＋２＋ ＋２０２２＝２０２３ˑ１０１１.评注㊀累加法求出数列通项后ꎬ根据ｎ２<ａｎ<(ｎ＋１)２ꎬ结合高斯函数定义得到[ａｎ]＝ｎꎬ从而解决问题.３.５高斯函数与平面几何交汇问题例１１㊀已知点集Ｐ＝{(ｘꎬｙ)｜[ｘ]２＋[ｙ]２＝１}ꎬ则点集Ｐ表示的平面区域的面积是.解析㊀[ｘ]２＋[ｙ]２＝１等价于[ｘ]＝０ꎬ[ｙ]＝－１{或[ｘ]＝０ꎬ[ｙ]＝１{或[ｘ]＝－１ꎬ[ｙ]＝０{或[ｘ]＝１ꎬ[ｙ]＝０.{即０ɤｘ<１ꎬ－１ɤｙ<０{或０ɤｘ<１ꎬ１ɤｙ<２{或－１ɤｘ<０ꎬ０ɤｙ<１{或１ɤｘ<２ꎬ０ɤｙ<１.{易知相应的平面区域为四个边长为１的正方形ꎬ故面积和为４.评注㊀根据高斯函数的定义ꎬ逐一表示出平面区域对应的不等式组ꎬ便可发现平面区域为４个正方形.３.６高斯函数与二项式定理交汇问题例１２㊀已知ｃｎ＝[(２＋１)ｎ](ｎɪＮ∗)ꎬ则ｃ２０２２除以４的余数为.解析㊀由题意ꎬ设ａ＝(２＋１)２０２２ꎬｂ＝(２－１)２０２２.显然０<ｂ<１ꎬ则ａ＋ｂ＝２[１＋Ｃ２２０２２(２)２＋Ｃ４２０２２(２)４＋ ＋Ｃ２０２２２０２２(２)２０２２].显然Ｃ２２０２２(２)２＋Ｃ４２０２２(２)４＋ ＋Ｃ２０２２２０２２(２)２０２２为偶数ꎬ记作２ｋ(ｋɪＮ∗).则ａ＋ｂ＝２(２ｋ＋１)＝４ｋ＋２.所以ｃ２０２２＝[ａ]＝[４ｋ＋２－ｂ]＝４ｋ＋１＋[１－ｂ]＝４ｋ＋１.故ｃ２０２２除以４的余数为１.评注㊀解答该题的关键在于理解二项式定理展开式的结构和高斯函数的定义ꎬ通过构造对偶式法找出(２＋１)２０２２的整数部分值ꎬ该题属于难题.４有关高考复习备考的两点建议«普通高中数学课程标准(２０１７年版)»指出:在数学高考命题中ꎬ考查内容应围绕数学内容主线ꎬ聚焦学生对重要数学概念㊁性质㊁方法的理解和应用ꎬ强调基础性ꎬ注重数学本质和通性通法.在高考备考教学中ꎬ教师应加强基础知识㊁基本技能和基本数学思想方法的训练ꎬ以达到提高学生数学关键能力和数学核心素养的目的.基于此ꎬ笔者提出以下高考备考建议.４.１夯实基本知识ꎬ以不变应万变通过文中对与高斯函数有关问题的整理发现ꎬ该类问题主要考查高斯函数的概念与基本性质ꎬ考查的形式主要以选择㊁填空为主ꎬ难度也以中等㊁容易题为主.因此ꎬ我们在复习备考的过程中ꎬ要通过对该类试题的研究ꎬ归纳总结出高考考查的典型题型及其解题方法ꎬ构建完整的知识脉络和方法体系ꎬ熟练掌握与高斯函数有关的典型问题的通性通法ꎬ形成解题模型.只有扎实掌握了这些通性通法ꎬ才能在高考中游刃有余地处理该类问题.４.２渗透思想方法ꎬ提高核心素养数学思想是对数学知识的本质认识ꎬ是数学的精髓ꎬ是数学基础知识和数学能力之间的一座 桥梁 .通过上文的梳理ꎬ我们发现与高斯函数有关的问题主要考查分类讨论㊁数形结合㊁转化与化归等数学思想方法ꎬ如文中的例４考查了分类讨论的思想ꎬ例６将函数的零点个数转化为两个函数图象的交点个数ꎬ考查了转化与化归㊁数形结合的数学思想.笔者认为复习备考的教学中注重数学思想的渗透ꎬ可以帮助学生优化认知结构ꎬ学会用数学的眼光观察世界ꎬ用数学的思维思考世界ꎬ用数学的语言表达世界.数学学科核心素养的内涵包括数学核心知识㊁核心能力㊁核心品质ꎬ主要由数学抽象㊁逻辑推理㊁数学建模㊁直观想象㊁数学运算㊁数据分析等六个方面组成ꎬ这些数学核心素养既有独立性ꎬ又相互交融ꎬ形成一个有机整体.数学核心素养不是具体的知识和技能ꎬ也不是一般意义上的数学能力ꎬ它基于数学知识技能ꎬ但高于具体的数学知识技能.因此ꎬ笔者认为在高考复习备考中ꎬ我们广大一线教师不仅要重视解题方法的指导ꎬ更要重视对学生核心素养的提高ꎬ 授之以鱼不如授之以渔 ꎬ学生的数学素养提高了ꎬ解题能力和解题效率自然提高ꎬ无论高考题型如何变化ꎬ也定能在高考中 以不变应万变 ꎬ顺利取得高考的胜利.参考文献:[１]教育部考试中心.中国高考评价体系[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１９.[２]刘海涛.例析构造对偶式在解题中的应用[Ｊ].数理化学习(高中版)ꎬ２０２１(０４):１４－１７. [３]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１８.㊀[４]刘海涛.设计逻辑连贯的问题链追求自然流畅的数学教学 以 数系的扩充和复数的概念 教学为例[Ｊ].课程教材教学研究(中教研究)ꎬ２０２１(Ｚ２):７９－８３.[５]刘海涛.基于核心素养的 问题链 课堂教学实践研究 以 基本不等式 第一课时教学为例[Ｊ].中小学教学研究ꎬ２０２１ꎬ２２(０３):２１－２７.[责任编辑:李㊀璟]。
《高斯定理习题》课件
理解问题
仔细阅读题目，理解定义和要求。
计算与推导
进行计算和推导，注意细节和推理过 程。
常见错误与解析
错误1
没有正确选择适用的高斯定理公式。
错误3
忽略了边界条件或特殊情况。
错误2
计算中出现代数错误或计算错误。
错误4
对结果的解析和讨论不够清晰和准确。
总结和复习
通过这份PPT课件，我们深入学习了高斯定理的概念、公式、应用，解题思 路和常见错误。希望你能够掌握高斯定理，并在实际问题中灵活运用。
2 习题2
根据给定的散度值计算矢量场在某个区域 内的通量。
3 习题3
4 习题4
求解给定区域内的散度，并根据高斯定理 计算通过曲面的通量。
应用高斯定理证明某个等式成立。
解题思路与步骤
1
选择合适的公式
2
根据问题特点，选择适用的高斯定理
公式。
3
检查与解析
4
检查计算结果的合理性，并解析问题 的意义和结果。
《高斯定理习题》PPT课 件
让我们一起探索《高斯定理习题》吧！这个PPT课件将帮助你理解高斯定理 的概念、公式、应用，提供习题示称为散度定理，是向量分析中的重要定理之一。它描述了一个有界区域内的矢量场通过边 界的通量与该区域内的散度之间的关系。
高斯定理的公式
高斯定理的数学表达式是∬_S F • dS = ∭_V div(F) dV，其中S为区域的边界曲面，F为矢量场，div(F) 为F的散度。
高斯定理的应用
高斯定理在物理学和工程学中有广泛应用。它可以用于计算电场、磁场、流体力学和热传导等领域中的 通量和散度。
高斯定理习题示例
1 习题1
计算给定矢量场通过某个曲面的通量。
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高斯函数_常见题型
一、常见题型与相关例题 1、 整数问题
例1、 在项数为1987的数列222121987,,,198719871987⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
中有多少个不同的整数？
2、 方程问题
方程问题主要有解方程与讨论方程的根两种题型。
例2、 解方程33[]3x x -=。
例3、 证明方程2345[][2][2][2][2][2]12345x x x x x x +++++=无实数解。
3、 恒等问题
这类问题主要是证明一些由[x]构成的恒等式。
例如1().22n n n n N *
+⎡⎤⎡⎤
+=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 例4、（Hermite 恒等式）若n 是正整数，x R ∈，则
1
0[]n k k x nx n -=⎡
⎤+=⎢⎥⎣
⎦∑. 例5、已知,n N *∈求证：[1]41[42][43]n n n n n ++=+=+=+ 4、 不等问题
不等问题主要涉及含[x]的不等式分析。
此类问题一般难度较大。
例6、设,x y R ∈，试证：
（1）、[2][2][][][];x y x y x y +≥+++ （2）、[3]
[3][][]2[]x y x y x y +≥+++.
注：与上面不等式相类似地还有
（3）、[4][4][][][2][2].x y x y x y y x +≥+++++ （4）、[5]
[5][][][3][3].x y x y x y y x +≥+++++
例7、设,,x R n N *
∈∈试证：1[]
[][].n
k kx n x nx k
=≤
≤∑ 例8、证明不等式[
][][][2][2]ααββαβ+++≥+对任意不小于1的实数,αβ
立。
例9、求所有正整数n 使得2
2min()1991.k N n k k *
∈⎡⎤
+=⎢⎥⎣⎦
5、 求值问题
例10、若实数x 满足192091[][][]546,100100100
x x x +
+++⋅⋅⋅++=求[100]x 的值。
例11、计算和式100
1
23[
]101
n n
=∑的值。
6、 格点问题
平面区域内的格点计数问题，往往与[]x 有关，而且通过格点计数，还可以证明一些恒等式。
例12、设,2,n N n *
∈≥求证：
2
2
[
][log ].n
n
k
k k k n n ===∑∑
证明：构造平面区域D={(,),2,2},x
x y y n x y ≤≥≥并考虑D 中整点的个数：
（1） 如果一列一列的数，x =2时有[]n 个，3x =时有3[]n 个，…，x n =时有[]n n 个，
故共有
2
[
]n
k
k n =∑个。
（2） 如果一行一行的数，2y =时有2[log ]n 个，3y =时有3[log ]n 个，…，y n =时有
[log ]n n 个，故共有2
[log ]n
k k n =∑个。
综合（1）、（2），问题获证。
一般地，设函数()y f x =在[,]a b 上连续且非负，则[()]a t b
f t <≤∑（t 为[,]a b 内的整数）
表示平面区域,0()a x b y f x <≤<≤的格点数。
特别地，有
（ⅰ）位于三角形：0,y ax b c x d =+><≤内的格点个数等于0[]x d
ax b <≤+∑（x 为整
数）。
（ⅱ）设,p q 为正奇数，(,)1,p q =矩形域(0,](0,]22
q
p
⨯
内的格点数等于002
2
11[][]22q p x y p q p q x y q p
<<<<
--+=⋅∑∑。
（ⅲ）
0,r >圆域222
x y r +≤内的格点个数等于222
02
14[]8[]4[
]2
r
x r r r x <≤
++--∑。
（ⅳ）0,n >区域：0,0,x y xy n >>≤内的格点个数等于202
[][]x n
n n x <≤-∑。
对于以上结论，可通过画示意图来证明。
例如，位于由直线21
032
y x =
->和010x <≤围成的三角形内的格点个数等于 3
104
21212121
[
][1][2][10]00122344562732323232
x x <≤-=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-=+++++++++=∑
高斯函数在数列和数论中也有极为广泛的应用，在数列和数论部分可以再得到补充。
二、练习 1、计算和式
502
305[
]503
n n
=∑的值。
2、求函数12.5()[
][](010)12.5x f x x x =⋅-<<的值域。
3、解方程2721
[]34
x x +-=。
4、试证对任意实数x ，有10
2[][]2k
k k x x ∞
+=+=∑。
5、求方程[][
][]10011!2!10!
x
x x
++⋅⋅⋅+=的整数解。
6、设215
,,2
αβα+=
=证明：对一切*,n N ∈都有[[]][][]n n n αβαβ=+。
7、求所有的实数α，使得11[][]2
2
n n α++=+对一切正整数n 都成立。
8、设(1,2,,).i x R i n ∈=⋅⋅⋅求证：x R ∃∈使下列不等式成立：1
1
{}2
n
k k n x x =--≤
∑。
9、若对任何整数,,,n a b c 都满足[][][]na nb nc +=。
证明：,,a b c 中至少有一个是整数。
10、证明：对任意正整数n 都有1
{2}22n n
>。
11、证明*
,R λ∃∈使得对*
,[]N
n N λ∀∈与n 的奇偶性相同，并给出一个如此的正实数。
12、在数列{}n a 中，1a 是正整数，且215
3
[12]44
n n n a a a +=+-。
试求出所有的1a 使得当2n ≥时有1(mod10)n a ≡。