数学：131《函数的单调性》2课件新人教A版必修
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新教材人教A版必修第一册 3.2.1 第1课时 函数的单调性 课件(48张)
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
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7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
随堂水平达标
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2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数 f(x)＝x 的图象如图 1 所示，从左至右图象是上升的还是下降 的：________. (2)已知函数 y＝f(x)的图象如图 2 所示，则该函数的单调递增区间是 ________，单调递减区间是________．
核心概念掌握
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答案
金版点睛 定义法证明单调性的步骤
判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格 按照单调性的定义操作．
利用定义法判断函数的单调性的步骤为：
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注意：对单调递增的判断，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，也可以用一个 不等式来替代：
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核心素养形成
随堂水平达标
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3．单调区间 (1)这个区间可以是整个定义域．如 y＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单 调递增， y＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减； (2)这个区间也可以是定义域的真子集．如 y＝x2 在定义域(－∞，＋∞) 上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． 4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单 调递增(减)．如函数 y＝1x(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减， 但是在整个定义域上不具有单调性．
函数的单调性(2)课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
1
解得 x＞ .所以函数 f(x)＝2x2－ln x 的递增区间是 2
2
课后练习
4.（2020·天津·高考真题20）已知函数 f ( x) x3 k ln x(k R)
， f ( x)
为 f(x) 的导函数．
（Ⅰ）当k=6时，
（i）求曲线在点（1，f（1））处的切线方程；
9
g ( x) f ( x) f ( x)
+/-
单调性
巩固练习
判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1） f(x)=3x-x3
（2）f(x)=x－2ln x
巩固练习
判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1） f(x)=3x-x3
解：（1）函数f(x)=3x-x3 定义域为 R .
对f(x)求导，得f ′(x)=3-3x2 ,
令f ′(x)=0，得x=-1,或x=1。
() = − − 2 + 1
3
2
′() = 2 − − 2
不熟悉的、复杂的函数
熟悉的、简单的函数
算法思想
判断函数的单调性的复杂问题
步骤明确的运算问题
因此，导数是研究函数单调性的基本工具，
利用导数研究函数单调性的方法具有“普适性”。
总结规律
小结：一般情况下，判断函数 = ()的单调性的步骤：
引入新课
3 + 2 + + ( ≠ 0)的函数
形如()
=
问题2
应用广泛，如何利用导数研究这种函数的单调性？
思
路：
定义
域
导
函
数
原
函数
求导
导函数
解得 x＞ .所以函数 f(x)＝2x2－ln x 的递增区间是 2
2
课后练习
4.（2020·天津·高考真题20）已知函数 f ( x) x3 k ln x(k R)
， f ( x)
为 f(x) 的导函数．
（Ⅰ）当k=6时，
（i）求曲线在点（1，f（1））处的切线方程；
9
g ( x) f ( x) f ( x)
+/-
单调性
巩固练习
判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1） f(x)=3x-x3
（2）f(x)=x－2ln x
巩固练习
判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（1） f(x)=3x-x3
解：（1）函数f(x)=3x-x3 定义域为 R .
对f(x)求导，得f ′(x)=3-3x2 ,
令f ′(x)=0，得x=-1,或x=1。
() = − − 2 + 1
3
2
′() = 2 − − 2
不熟悉的、复杂的函数
熟悉的、简单的函数
算法思想
判断函数的单调性的复杂问题
步骤明确的运算问题
因此，导数是研究函数单调性的基本工具，
利用导数研究函数单调性的方法具有“普适性”。
总结规律
小结：一般情况下，判断函数 = ()的单调性的步骤：
引入新课
3 + 2 + + ( ≠ 0)的函数
形如()
=
问题2
应用广泛，如何利用导数研究这种函数的单调性？
思
路：
定义
域
导
函
数
原
函数
求导
导函数
5.函数的单调性公开课PPT全文课件-【新】人教A版高中数学选择性必修第二册PPT全文课件
追问2：如果函数f(பைடு நூலகம்)的图象在区间I是从左到右上升的，且x0∈I，那么我们说 函数f(x)在 x=x0 处是单调递增的，这种说法正确吗？
函数的单调性不是函数在某个点处的性质，而是在一定范围的性质。
问题2:判断函数单调性的方法有哪些?
1.定义法： 2.图像法： 3.性质法: 增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异减
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
例2 已知导函数 f ' x 的下列信息，试画出函数 f x 的图象的大致形状.
注意： (1)一般可令 f’(x)>0，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常 值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步 骤）。 (2)若 f’(x)>0 的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若 f’(x)>0 的解集 为空集，那么 f(x)是定义域上的减函数。
f
(x)
x
1
,
x
(-
,0)
(
0,
)
x
所以
f
(x)
1 x2
0
因此, 函数 f (x) x 1 在区间 (- ,0)和 ( 0, ) 上单调递增.
x
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
判断函数单调性的一般步骤：
(1)求函数的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x) 的单调增（或减）区间;
函数的单调性不是函数在某个点处的性质，而是在一定范围的性质。
问题2:判断函数单调性的方法有哪些?
1.定义法： 2.图像法： 3.性质法: 增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异减
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
例2 已知导函数 f ' x 的下列信息，试画出函数 f x 的图象的大致形状.
注意： (1)一般可令 f’(x)>0，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常 值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步 骤）。 (2)若 f’(x)>0 的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若 f’(x)>0 的解集 为空集，那么 f(x)是定义域上的减函数。
f
(x)
x
1
,
x
(-
,0)
(
0,
)
x
所以
f
(x)
1 x2
0
因此, 函数 f (x) x 1 在区间 (- ,0)和 ( 0, ) 上单调递增.
x
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
判断函数单调性的一般步骤：
(1)求函数的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x) 的单调增（或减）区间;
函数的单调性-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
这个问题.
我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.
问题导入
思考1：下图(1)是跳水运动员的重心相对于水面的高度ℎ随时间变化的函数
l
ℎ() = −4.9 2 + l4.8
+ 11的图象，图(2)是跳水运动员的速度随时间变化的函数
’
() = ℎ () = −9.8 + 4.8的图象. =
令 ’ ()
=
2 2 −1
.
2
，
2
< 0，得0 < <
∴()在(0,
= 2
1
−
2
，
2
2
2
)上单调递减，在( , +∞)上单调递增，
2
2
∴函数()的单调递减区间为(0,
2
2
)，单调递增区间为( , +∞).
2
2
练习
例2.求下列函数的单调区间.
(2)() =
；
−2
’
解(2)：函数()的定义域为(−∞, 2) ∪ (2, +∞)， () =
当 = 1，或 = 4时， ’ () = 0.
O
1
4
x
试画出函数()图象的大致形状.
解：当1 < < 4时， ’ () > 0，可知()在区间(1,4)内单调递增；
当 < 1，或 > 4时， ’ () < 0，可知()在区间(−∞, 1)和(4, +∞)上都单调递减；
2
.
当 > 0时，若 ∈ (−∞, 0)，则 ’ () > 0.
若 ∈
2
(0, )，则 ’ ()
我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.
问题导入
思考1：下图(1)是跳水运动员的重心相对于水面的高度ℎ随时间变化的函数
l
ℎ() = −4.9 2 + l4.8
+ 11的图象，图(2)是跳水运动员的速度随时间变化的函数
’
() = ℎ () = −9.8 + 4.8的图象. =
令 ’ ()
=
2 2 −1
.
2
，
2
< 0，得0 < <
∴()在(0,
= 2
1
−
2
，
2
2
2
)上单调递减，在( , +∞)上单调递增，
2
2
∴函数()的单调递减区间为(0,
2
2
)，单调递增区间为( , +∞).
2
2
练习
例2.求下列函数的单调区间.
(2)() =
；
−2
’
解(2)：函数()的定义域为(−∞, 2) ∪ (2, +∞)， () =
当 = 1，或 = 4时， ’ () = 0.
O
1
4
x
试画出函数()图象的大致形状.
解：当1 < < 4时， ’ () > 0，可知()在区间(1,4)内单调递增；
当 < 1，或 > 4时， ’ () < 0，可知()在区间(−∞, 1)和(4, +∞)上都单调递减；
2
.
当 > 0时，若 ∈ (−∞, 0)，则 ’ () > 0.
若 ∈
2
(0, )，则 ’ ()
人教A版高中数学必修一第一章：函数的单调性课件
例3 、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4)上是减函数,求实数a的取值范围。
扩展作业：
已知函数f(x)在定义域(-1，1)上是 增函数，且f(m+1)-f(-m)＞0，求 实数m的取值范围。
m ( 1 ,0) 2
三、例题讲解 [例1]下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f(x)的 图象,根据图象说出y＝f(x)的单调区间,以及在每 一单调区间上, y＝ f(x)是增函数还是减函数.
y3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-1
-2
• 书写单调区间时，注意区间端点的写法。
对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的 常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以 包括端点，也可以不包括端点。
着x的增大而 ________ ．
思考2：函数
的单调区间是什么？
取数:任取 ，且 ；
例3 、若函数f(x)=x +2(a-1)x+2在区间 利用定义确定或证明函数 在给定的
连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，
2
(-∞,4)上是减函数,求实数a的取值范围。 4.
思考2：函数
的单调区间是什么？
单调性.
练习：课本P32第4题
练习：
证明函数f (x) x 1在（1，+∞）
上为增函数。
x
作业布置： 课本P39 A组第1、2、3题 课本P44，A组第9题。
补充例题：
作差: ； 例1、讨论函数 f(x)x22ax3
连接，但千万不能用“∪”连接，也不能用“或”，
在(-2,2)内的单调性 思考2：函数
的单调区间是什么？
人教版高中数学必修1(A版) 函数的单调性 PPT课件
p(V1) p(V2 ) 第三步：判断符号 k 所以,函数p ,V (0, )是减函数. V 也就是说,当体积V 减小时, 压强p增大. 第四步 ：得结论 即
思考：用单调性的定义证明函数单调性的步骤是什 么？需注意哪些问题？
第一步：设区间上任意两点
x1 , x2 ，且 x1 < x2 。
自变量的值x1 , x2 ,当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ),
你能类比地给出减函数的定义吗?
一般地, 设函数的定义域为I : 如果对于定义域内的某个区间D上的任意两个 自变量的值x1 , x2 ,当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么就说函数f ( x)在区间D上是
其中y f ( x)在区间[5, 2),[1,3)上是减函数, 在区间[2,1),[3,5]上是增函数. 函数y f ( x)的增区间是[2,1),[3,5]; 减区间是[5, 2),[1,3).
思考：
函数y f ( x)的增区间能写成"[2,1) [3,5]"吗? 增区间能写成"[2,1)或[3,5]"吗?
第二步：作差 f ( x1 ) f ( x2 ) 整理化简。 第三步：判断 f ( x1 ) f ( x2 ) 的符号。 第四步：根据 f ( x1 )与 f ( x2 )的大小关系下结论。Βιβλιοθήκη 判断并证明函数 f ( x)
x 在定义域内的单调性。
小 结
2.利用定义证明函数单调性的步骤.
1.函数的单调性. (局部概念、应首先确定函数的定义域）
第一章 集合与函数概念
1.3.1函数的单调性
问题：下图是某地一天内的气温变化图,观察图形,你能指出该 天的气温是如何变化的吗?
思考：用单调性的定义证明函数单调性的步骤是什 么？需注意哪些问题？
第一步：设区间上任意两点
x1 , x2 ，且 x1 < x2 。
自变量的值x1 , x2 ,当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ),
你能类比地给出减函数的定义吗?
一般地, 设函数的定义域为I : 如果对于定义域内的某个区间D上的任意两个 自变量的值x1 , x2 ,当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么就说函数f ( x)在区间D上是
其中y f ( x)在区间[5, 2),[1,3)上是减函数, 在区间[2,1),[3,5]上是增函数. 函数y f ( x)的增区间是[2,1),[3,5]; 减区间是[5, 2),[1,3).
思考：
函数y f ( x)的增区间能写成"[2,1) [3,5]"吗? 增区间能写成"[2,1)或[3,5]"吗?
第二步：作差 f ( x1 ) f ( x2 ) 整理化简。 第三步：判断 f ( x1 ) f ( x2 ) 的符号。 第四步：根据 f ( x1 )与 f ( x2 )的大小关系下结论。Βιβλιοθήκη 判断并证明函数 f ( x)
x 在定义域内的单调性。
小 结
2.利用定义证明函数单调性的步骤.
1.函数的单调性. (局部概念、应首先确定函数的定义域）
第一章 集合与函数概念
1.3.1函数的单调性
问题：下图是某地一天内的气温变化图,观察图形,你能指出该 天的气温是如何变化的吗?
高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值 第2课时 函数的最值课件 新人教A版必修1
(1)令 x 为年产量，y 表示利润，求 y＝f(x)的表达式； (2)当年产量为何值时，工厂的利润最大？其最大值是多 少？
第三十四页，共48页。
(3)求解：选择合适的数学方法求解函数． (4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后 将结果应用于现实，做出解释或预测． 也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步
第三十三页，共48页。
3
某工厂生产一种机器的固定成本为 5 000 元，且每生产 1 部，需要增加投入 25 元，对销售市场进行调查后得知，市场对 此产品的需求量为每年 500 部，已知销售收入的函数为 N(x)＝ 500x－12x2，其中 x 是产品售出的数量(0≤x≤500)．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个 实数(shìshù)满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至 少有一个交点．
第十一页，共48页。
2．最值 定义 函数的__最__大__值__和__最__小_值___统称为函数的最值 几何 函数y＝f(x)的最值是图象_最__高__点___或_最__低__点___的 意义 纵坐标 说明 函数的最值是在整个定义域内的性质
第二十三页，共48页。
②由①知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以若函数 f(x)的 定义域与值域都是[12，2]，则ff122＝＝122，，
即1a1a－－212＝＝122，， 解得 a＝25.
第二十四页，共48页。
规律总结：1.利用单调性求最值 的一般步骤
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值． 2．利用单调性求最值的三个常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间 [a，b]的左、右端点(duān diǎn)处分别取得最小(大)值和最大 (小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上 是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上 是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
第三十四页，共48页。
(3)求解：选择合适的数学方法求解函数． (4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后 将结果应用于现实，做出解释或预测． 也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步
第三十三页，共48页。
3
某工厂生产一种机器的固定成本为 5 000 元，且每生产 1 部，需要增加投入 25 元，对销售市场进行调查后得知，市场对 此产品的需求量为每年 500 部，已知销售收入的函数为 N(x)＝ 500x－12x2，其中 x 是产品售出的数量(0≤x≤500)．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个 实数(shìshù)满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至 少有一个交点．
第十一页，共48页。
2．最值 定义 函数的__最__大__值__和__最__小_值___统称为函数的最值 几何 函数y＝f(x)的最值是图象_最__高__点___或_最__低__点___的 意义 纵坐标 说明 函数的最值是在整个定义域内的性质
第二十三页，共48页。
②由①知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以若函数 f(x)的 定义域与值域都是[12，2]，则ff122＝＝122，，
即1a1a－－212＝＝122，， 解得 a＝25.
第二十四页，共48页。
规律总结：1.利用单调性求最值 的一般步骤
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值． 2．利用单调性求最值的三个常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间 [a，b]的左、右端点(duān diǎn)处分别取得最小(大)值和最大 (小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上 是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上 是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
函数的单调性-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课用PPT
探索点三 函数单调性的应用 【例 3】 【例 3】 (1)已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]
上是减函数,则实数 a 的取值范围为 (-∞,-3] .
解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a -1)2+2, 所以此二次函数的对称轴为直线x=1-a . 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]. 因为f(x)在(-∞,4]上是减函数, 所以直线x=1-a必须在直线x=4的右侧 或与其 重合, 所以1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范 围为(- ∞,-3].
(2) 已 知 y=f(x) 在 定 义 域 (-1,1) 上 是 减 函 数 , 且
f(1-a)<f(2a-1),则 a 的取值范围是
.
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共28张 PPT)
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
[基础测试] 1.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)已知 f(x)= ,因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)是增函数.
() 解析:由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是 增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大, 函数值也越大,而不是个别的自变量. 答案:×
解析:观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2], [2,1],[1,3],[3,5]. 其 中 y=f(x) 在 区 间 [-5,-2],[1,3] 上 是 增 函 数,在区间[-2,1],[3,5]上是减函数.
上是减函数,则实数 a 的取值范围为 (-∞,-3] .
解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a -1)2+2, 所以此二次函数的对称轴为直线x=1-a . 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]. 因为f(x)在(-∞,4]上是减函数, 所以直线x=1-a必须在直线x=4的右侧 或与其 重合, 所以1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范 围为(- ∞,-3].
(2) 已 知 y=f(x) 在 定 义 域 (-1,1) 上 是 减 函 数 , 且
f(1-a)<f(2a-1),则 a 的取值范围是
.
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函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
[基础测试] 1.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)已知 f(x)= ,因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)是增函数.
() 解析:由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是 增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大, 函数值也越大,而不是个别的自变量. 答案:×
解析:观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2], [2,1],[1,3],[3,5]. 其 中 y=f(x) 在 区 间 [-5,-2],[1,3] 上 是 增 函 数,在区间[-2,1],[3,5]上是减函数.
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1
1.增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变
量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说 f(x)在区间D上是增函数
思考：类比增函数的定义说出减函数的定义
2.函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单 调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
(1)求f(x)的表达式；
(2)求出函数f(x)的单调区间；
(3)证明函数f(x)在（2，+∞）是增函数。
判断函数单调性的方法步骤 1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2 2 .作差f(x1)－f(x2)； 3 .变形（通常是因式分解和配方） 4 .定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5 .下结论（即指出函数f(x编)辑在ppt 给定的区间D上的单调性5）
（2）若x∈(0，+∞)时f(x) 是增函数，a的范围___
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6
2 例3：判断函数y= x 1 在区间(1,+∞)的增减性;
2
变式1：求出函数y=
在[2，6]的最大和最小值。
x1
变式2：指出函数y= 2 的其他单调区间。 x1
变式3：指出函数y= 3 x 1 的单调区间。 x 2
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7
例4：讨论f(x)= 调性。
ax 1 x2
(a≠0,a∈R)在区间(-1,1)上的单
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8
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2
y
yf(x)
在 给 定 区 间 D 上 任 取 x 1 ,x 2 ,
f (x1) f(x2)
x1 x2
f(1x)f(2 x)
函数f (x)在区间D上
为增函数。
O
x1
x2 x
用
用
图y
象
yf(x)
在 给 定 区 间 D 上 任 取 x 1 ,x 2 ,
定 义
判
断
单
f (x1) f(x2)
例2：已知函数y= -x2+4x-2,x∈R （1）求函数的单调区间； （2）若x∈[0，3]，求函数的最大值，最小值 （3）若x∈[3，5]，求函数的最大值，最小值 （4）若f(x)在（0，a）上增函数，则a的范围。
练习：已知函数f(x)= 2;∞)时是增函数，当x∈(-∞,-2]时是减函 数，则f(1)=__________.
调
O
性
x1 x2
x1 x2
f(1x)f(2x) 判
函数f (x)在区间D上
断
为减函数。
单
x
调
性
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3
1.函数y=│x-2│的单调减区间是______
1
2.函数y= 的单调区间是______
x
3.
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4
例1：设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)=0的 的两根的平方和为10，图象经过（0，3）。
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1.增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变
量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说 f(x)在区间D上是增函数
思考：类比增函数的定义说出减函数的定义
2.函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单 调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
(1)求f(x)的表达式；
(2)求出函数f(x)的单调区间；
(3)证明函数f(x)在（2，+∞）是增函数。
判断函数单调性的方法步骤 1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2 2 .作差f(x1)－f(x2)； 3 .变形（通常是因式分解和配方） 4 .定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5 .下结论（即指出函数f(x编)辑在ppt 给定的区间D上的单调性5）
（2）若x∈(0，+∞)时f(x) 是增函数，a的范围___
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2 例3：判断函数y= x 1 在区间(1,+∞)的增减性;
2
变式1：求出函数y=
在[2，6]的最大和最小值。
x1
变式2：指出函数y= 2 的其他单调区间。 x1
变式3：指出函数y= 3 x 1 的单调区间。 x 2
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例4：讨论f(x)= 调性。
ax 1 x2
(a≠0,a∈R)在区间(-1,1)上的单
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y
yf(x)
在 给 定 区 间 D 上 任 取 x 1 ,x 2 ,
f (x1) f(x2)
x1 x2
f(1x)f(2 x)
函数f (x)在区间D上
为增函数。
O
x1
x2 x
用
用
图y
象
yf(x)
在 给 定 区 间 D 上 任 取 x 1 ,x 2 ,
定 义
判
断
单
f (x1) f(x2)
例2：已知函数y= -x2+4x-2,x∈R （1）求函数的单调区间； （2）若x∈[0，3]，求函数的最大值，最小值 （3）若x∈[3，5]，求函数的最大值，最小值 （4）若f(x)在（0，a）上增函数，则a的范围。
练习：已知函数f(x)= 2;∞)时是增函数，当x∈(-∞,-2]时是减函 数，则f(1)=__________.
调
O
性
x1 x2
x1 x2
f(1x)f(2x) 判
函数f (x)在区间D上
断
为减函数。
单
x
调
性
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1.函数y=│x-2│的单调减区间是______
1
2.函数y= 的单调区间是______
x
3.
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例1：设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)=0的 的两根的平方和为10，图象经过（0，3）。