第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
反常积分判敛法
1 3 3 ( ) 1 3 ( 1 1) 1 3 1 ( 1 ) 3 . 8 2 2 8 2 2 8 2 2 2 32
20
6.2
反常积分判敛法
（2）
1
xe
x2 2 x
dx
( x ) e t t x 1 dt
∴ I2
1
e t t x 1dt 收敛。
故反常积分 0 e t t x 1dt ，当 x 0 时收敛；当 x 0 时发散。
16
6.2
反常积分判敛法
三、Γ函数
1. 函数的定义
函数 ( x )
0
et t x 1 dt ， x (0,) 称为 Gamma 函数。
0
1
t x 1
dt ， I 2
1
e t t x 1dt ，
先讨论 I1 的敛散性。
①当 x 1 时， I1 是常义积分，收敛的；
15
6.2
反常积分判敛法
1 x t x 1 t t 0) e t lim e 1， ∵ lim( t 0 t 0
②当 0 x 1 时，有 q 1 x 1, l 1,
∴ I1 e t t x 1 dt 收敛。
0
1 0
1
③ x 0 时，有 q 1 x 1 l 1,∴ I1 e t t x 1 dt 发散。
再讨论 I 2 的敛散性。 x 1 t ∵ lim t 2 e t t x 1 lim t 0 ，( p 2 1, l 0) t t e
b a
b
g( x )dx 收敛时， f ( x )dx 也收敛；
同济高等数学第六版-D5_5反常积分审敛法
满足
limxpf(x)l
x
则有: 1) 当 p1,0l 时af(x)dx收敛 ;
2) 当 p1,0l 时af(x)dx发散 .
证: 1) 当p1时, 根据极限定义, 对取定的 0,当 x 充
分大时, 必有 xpf(x)l, 即
0
f
(x)
M xp
2) 当 q1,0l 时,abf(x)dx发散 .
例5. 判别反常积分 13ldnxx的敛散性 .
解: 此处 x1为瑕,利点 用洛必达法则得
lim(x1) 1 lim 1 1
x1
lnx
x 1
1 x
根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .
定理4 目录 上页 下页 返回 结束
(M l)
可见 af(x)dx收敛 ;
目录 上页 下页 返回 结束
2) 当p1时,可取 0,使 l0,(l 时用任意
数 N代l替 ),必有
xpf(x)l
即
f
(x)
l
xp
N x
(Nl)
可见 af(x)dx发散 .
注意: xl im xpf(x)xl im f(1x) 此极限的大小刻画了
1 3 x4
1
4
x3
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .
思考题:
讨论反常积分
13
1 dx x3 1
的收敛性
.
提示: 当 x≥1 时, 利用
1 1 1 3x31 3(x1)3 x1
可知原积分发散 .
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定理4. (极限审敛法1) 若 f( x ) C [ a , ) ,且 f( x ) 0 ,
2016考研数学：反常积分的极限审敛法分析
2016考研数学：反常积分的极限审敛法分析
反常积分(也称广义积分)分为两类：一类是积分区间为无限的积分，另一类是被积函数无界的积分;在考研数学中，关于反常积分常考的题型主要有两种：一是反常积分的计算，另一个是反常积分收敛性的判断;关于反常积分收敛性的判断，一部分题可以利用正常积分的计算方法来判断其收敛性，另一部分题须利用比较审敛法或极限审敛法来判断，有些同学对极限审敛法感到有些困惑，下面我们就来对其中的一些问题做些分析，供大家参考。
一、极限审敛法的基本理论
二、应用极限审敛法的关键
在应用极限审敛法来判断反常积分是否收敛时，要求大家对等价无穷小代换和其它求极限的方法比较熟，另外，如果应用极限审敛法难以判断反常积分的收敛性，则应考虑运用其它方法来判断，如：比较审敛法、通过计算来判断其收敛性，大家在做题时要灵活运用，最后预祝大家在2016考研中取得佳绩。
反常积分审敛万能公式
反常积分审敛万能公式在咱们学习数学的过程中，有个叫反常积分审敛的东西，这玩意儿可不简单，不过别担心，今天咱就来聊聊所谓的反常积分审敛万能公式。
先给大家举个例子哈。
有一次我去超市买零食，看到巧克力在打折，那种巧克力平时卖得挺贵，这次居然降价了。
我就想，这降价是不是有个“极限”呢？就像反常积分，积分区间无限延伸，那这个巧克力价格的变化是不是也能找到一个类似的规律？说回反常积分审敛万能公式。
这个公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开判断反常积分收敛还是发散的大门。
比如说，对于形如∫[a,+∞) f(x)dx 的反常积分，我们通过一些特定的计算和判断，就能知道它到底是收敛还是发散。
那这个万能公式具体是啥样呢？其实它涉及到一些复杂的数学运算和条件判断。
比如说，我们得看看被积函数的形式，是多项式啊，还是指数函数啊，或者是其他更复杂的形式。
然后根据不同的形式，运用不同的方法和定理来判断。
我还记得有个学生，他在做反常积分审敛的题目时，总是搞不清楚那些条件和公式的运用。
我就跟他说，你别把这当成特别难的东西，就像你玩游戏，每个关卡都有规则，咱们只要熟悉了规则，就能通关。
后来他慢慢地掌握了，那高兴劲儿，就像终于在游戏里打败了大 boss 一样。
在实际应用中，反常积分审敛万能公式能帮我们解决很多问题。
比如说在物理中，计算一些无限过程的能量或者功的时候，就能用这个公式来判断结果是否合理。
而且，大家别觉得这个公式只是为了考试才学的。
其实在很多实际的科学研究和工程计算中，都能用到它。
就像建筑师在设计高楼的时候，需要考虑各种力的作用，这里面可能就涉及到反常积分的计算和审敛。
总之，反常积分审敛万能公式虽然看起来有点复杂，但只要我们耐心去理解、多做练习，就一定能掌握它。
就像我当初学会挑选巧克力一样，只要掌握了方法，就能买到最实惠的美味。
希望大家在学习反常积分审敛万能公式的时候，都能充满信心，加油！。
反常积分极限审敛法
反常积分极限审敛法
反常积分极限审敛法（FFTLL）是一种有效的用于快速求解非线性和复杂问题的工程数学方法。
有着持续发展的历史，它被广泛应用于解决各种复杂问题，在工程上取得了巨大的成功。
一、FFTLL的历史
反常积分极限审敛法（FFTLL）最初由1960年代的S.U.N.E.T.公司开发。
它被认为是最早应用于快速求解复杂问题的方法之一。
此方法依靠积分来解决复杂系统和分析，使积分理论可以应用于工程设计和操作。
在此方法完成之前，快速求解复杂问题的能力基本上依赖于分析和研究者的计算能力。
二、FFTLL的工作原理
反常积分极限审敛法（FFTLL）所采用的基本原理是“逆特征转换”，这是一种用于复杂系统的仿真的数学技术。
在这种方法中，采样的系统被模拟出来，并从系统的控制前提进行分析，比如函数，极限和求解问题。
该方法用于求解复杂问题，尤其是非线性系统，使用简单的算法，通过反运算来求解问题。
三、FFTLL的应用
FFTLL由于其计算简单及计算效率高的特点，已经被广泛应用于各种领域上，如机械设计、精密加工、控制系统、飞行器设计、太空探索等领域。
此外，它的应用也不断拓展，其中最有趣的应用是在惯性导航系统中，它可以被普遍应用于求解非线性控制系统相关问题。
四、FFTLL的优缺点
FFTLL技术被认为是求解一些复杂问题最有效的方法之一，它可以快速准确的求解一些复杂的问题。
另一方面，它也有一些优点，比如操作简单，程序实用，计算效率高，是一种经济高效的解决方法。
而FFTLL存在的一个缺点就是由于其反特征转换的机制，它往往只能进行有限数量的反复积分来模拟系统，这在一定程度上会限制它的模拟精度。
反常积分审敛法-精品文档
则
a
f ( x)dx 收 敛 ；
x
如 果limxf ( x) d 0 (或 limxf ( x) ), 则
x
af ( x)dx 发Fra bibliotek散 ．
证明
dx 的收敛性 . 例２ 判别反常积分 2 1 x1 x 1 2 解 lim x 1 , p21 2 x x1 x
F (x )在 [a , )上是单调增加的 .
F (x ) 在 [ a , ) 上有上界
lim F (x ) 存在 （极限的存在准则）
x x
即 lim 存在 f(t)dt
x a
收敛 f(x)dx
a
程序设计 网络课件 教学设计 多媒 体课件 PPT文档
f(x ) dx 发散 a 1 特别地，取 g( x ) p ，即得下面的 x
网络课件 教学设计 多媒 比较审敛法. 程序设计体课件 PPT文档
定理 3 (比较审敛法１ ) 设函数 f ( x) 在区间 [a, ) (a 0) 上连续，且 f ( x) 0. 如果存在常数 M 0 及 p 1 ，使得
arctan x 例４ 判 别 反 常积 dx 分 的收 . 敛性 1 x arctan x x lim arctan x 解 lim 0 x x x 2
定理 2 ( 比较审敛原 ) 理 设函数 f (x)、 g(x) 在 区 间 [a, )上 连 续 、 非 , 负
如果 f (x) g(x),(a x ),并 且 a g(x)dx收 敛 ， 则a f (x)dx也 收 敛 ； 如 f( 果 x) g(x),(a x ), 并且 则 f (x)dx也 发 散 . a g(x)dx发 散 ， a
高等数学第五章第5节反常积分收敛性判别
第 五 章 定 积 分
M M 0 及 q 1，使得 f ( x ) ( a x b ), 则 q ( x a) 瑕积分
b
a
f ( x )dx 收敛；若存在常数N 0 及 q 1，
N 使得 f ( x ) ( a x b ), 则瑕积分 q ( x a) 发散 .
f ( x ) g( x )
(1) 若 g( x )dx 收敛, 则 f ( x )dx 一定收敛; a a (2) 若
b
b
a f ( x )dx 发散, 则 a g( x )dx 一定发散.
- 10 -
b
b
第五节
反常积分收敛性判别法
定理8 (比较审敛法2) 设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b] 上连续，且 f ( x ) 0, lim f ( x ) .如果存在常数
第 五 章 定 积 分
且 0 f ( x ) g( x ) (a x ), 则 [a , ) 连续， 则无穷积分 （1） 如果无穷积分 g( x )dx 收敛，
a
a
f ( x )dx 也收敛； f ( x )dx 也发散。
a
则无穷积分 （2） 如果无穷积分 a g( x )dx 发散，
a
f ( x )dx 2 ( x )dx f ( x ) dx,
a a a
b
b
b
即
a
f ( x )dx 2 ( x )dx
a
-8-
a
f ( x ) dx.
收敛.
第五节
反常积分收敛性判别法
55反常积分审敛法
则对 t a 有
t
t
a f (x)dx a g(x)dx
故
t a
f (x) dx 是 t 的单调递增有上界函数,
因此
《高 等 数 学》
t
lim f (x) dx
t a
a
f (x)dx
极限存在,
说明: 已知
得下列比较审敛法.
定理3. (比较审敛法 1)
p 1,
f
(x)
M xp
p 1,
*第五节
《高 等 数 学》 第五章
反常积分的审敛法
函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法
《高 等 数 学》
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1. 证:
若函数
x
F (x) a f (t) d t
则反常积分
a
f
(x) d x收敛 .
根据极限收敛准则知
x
lim F (x) lim f (t) d t
x
x a
存在,
即反常积分
a
f (x) d x收敛 .
《高 等 数 学》
定理2 . (比较审敛原理) 设 f (x) C [a , ), 且对充
分大的 x 有 0 f (x) g(x), 则
a
g
(
x)
dx
收敛
a
g
(
x)
dx
发散
证: 不失一般性,
q 1,
有
f
(
x)
(
x
M a)q
有 f (x) N xa
定理7. (极限审敛法2)
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第五节* 反常积分的审敛法 函数
二、无界函数的反常积分的审敛法
第五节* 反常积分的审敛法 函数
由上节
当
例6 证明知反，常反积常分积分b
q
1
时发散b .
a(
x
dx a)q
a
,
(
x
dx a)
q
当 0< q <1 时收敛
当 0< q <1证时明收敛当，当q =q1时1 ，时发散. 于是有下面两个
b
f (x)dx 发散.
a
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理7(极限审敛法2) 设函数 f (x) 在区间(a , b] 上
连续，且 f (x) 0，x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 0 < q < 1，使得 lim (x a)q f (x) xa
连续，且 f (x) 0 , x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 M > 0 及 q < 1，使得
f
(x)
(x
M a)q
(a x b) ,
则反常积分 b f (x)dx 收敛；
a
(2) 如果存在常数 N > 0 ，使得 f (x)
N
(a x b) ,
xa
则反常积分
aa
gg
((
xx))ddxx
收收敛敛，，则则
aa
gg
((
xx))ddxx
发发散散，，则则
证明
设 0< t < +，由 0 g (x) f (x) 及
g ( x)dx
a
收敛，得
t
t
f (x)dx g(x)dx g(x)dx .
a
a
a
t
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理3(比较审敛法1) 设函数 f (x) 在区间[a , +)
第五节* 反常积分的审敛法 函数
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数的反常积分的审敛法 三、 函数
第五节* 反常积分的审敛法 函数
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1 第设五函节数*f反(x)常在积区分间的[审a ,敛+法) 上 连函续数，且 f (x)
0定. 理若函1 数设函数 f (x) 在区间 [a , +) 上连续，且 f (x)
例3
判定反x常2 积分1
x 33 22 11 1 x22
dx
的敛1 散性.1.
,
lim lim 解 由x于
x 1 x2
x
1 x2
1
lim lim 根据极限x审敛x法 11x知3x2所2 给x反常 1x积2 分xx2收敛. ,
第五节** 反常积分的审敛法 函数
例4 判定反常积分 arctanx dx 的敛散性..
(a > 0)上连续，并且 f (x) 0 .
(1) 如果存在常数 M > 0 及 p > 1，使得
f
(x)
M xp
(a x ) ,
则反常积分 f (x)dx 收敛； a
(2) 如果存在常数 N > 0 ，使得
f (x) N (a x ) , x
则反常积分 f (x)dx 发散. a
如如果 果存x在常x f数( xp)
>
d1， 0使或得
x
xxfp(fx()x)
存在, ，
则反常积分 f (x)dx 收发敛散；. a
x
证明 设 lim x p f (x) c . 由极限的定义，存在充分 x
大的 x1 (x1 a , x1 > 0)，当 x > x1 时，必有
第第五 五节节** 反反常 常积积分分的的审审敛敛法法 函 函数数
例例11
解
判判定定第反反五常常节积积* 分分反常11积 33分xxdd的44xx审11 敛的的法敛敛散散 函性性数 ..
因为
根据例解 例比22较判判由审定定第于敛反反五法常常0节1积积*知3分分 反，x常14该11积反1 xx分常13的1dd积1xxx审分4xx22敛收的的法x敛14敛敛3.散,散函性性数..
例5 判判定定反反常常积积分分
eeaaxx
ssiinn
bbxxddxx
((aa 00)) 的的敛敛散散性性..
解 由于 | eax sin bx | eax , 而 eaxdx 收敛， 0
根据比较审敛原理知，反常积分 | eax sin bx | dx 收敛. 0
由定理5知所给反常积分收敛，且为绝对收敛.
故F(x)在[a , +) 上是单调有界的函数. 按照“[a , +) 上可知极限
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理2(比较审敛原理) 设函数 f (x) , g (x)在区间
[a , +) 上连第续五.节如* 果反在常区积间分[的a ,审+敛)法上 函数
aa aa
((11)) 00 ff ((xx)) gg ((xx))，，并并且且 ff ((xx))ddxx 也也收收敛敛；； ((22)) 00 gg ((xx)) ff ((xx))，，并并且且 ff ((xx))ddxx 也也发发散散..
x
0 . 若函数 F (x) Fa(xf)(t)dxt f (t)dt 在在区区间间 [[aa ,, ++)) 上上有有上上界界，，则则反反a 常常积积分分
aa
ff
((xx))ddxx
收收敛敛..
证明 因为区间 [a , +) 上 F(x) f (x) 0 , 所以
F(x) 是单调增函数，又因为F(x)在[a , +) 上有上界，
关于瑕积分的ab审(x敛dx法a)：q
b dx a xa
[ln( x a)]ba .
当 q 1 时，
b dx
a (x a)q
(
x a)1q 1 q
b a
(b
a)1q
1q
,
,0q q
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理6(比较审敛法2) 设函数 f (x) 在区间 (a , b] 上
1
x
解 由于
定理5 设函x 数arcf t(axn)x在区间 [aar,c+tan)x上连π续, . 如果反
lim lim 常积分
x|f
(x)
|
dxx
收敛，x则反常积分
2 f (x)dx 也
a
a
收敛. 根据极限审敛法1知所给反常积分发散.
定理5中的这种收敛称为绝对收敛.
第五节** 反常积分的审敛法 函数
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理4(极限审敛法1) 设函数 f (x) 在区间[a , +)
(a > 0)上连续，并且 f (x) 0 .
(1) 如果存在常数 p > 1，使得 lim x p f (x) 存在， x
则反常积分第五a节f (*x)反dx常收积敛分；的审敛法 函数
lim lim lim ((12))