第四章 运输问题(Transportation Problem)
第四章 运输问题(Transportation Problem)
2020/6/14
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第三步：按σij=cij-(ui+vj), i,j∈N计算所有空格的检验数。如 σ11=c11-(u1+v1)=3-(0+2)=1， σ12=c12-(u1+v2)=11-(0+9)=2 这些计算可直接在上表中进行。 为了方便，特设计计算表，如下表所示
销地
B1
B2
B3
加工厂
B4
1.闭回路法； 2.位势法
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1 闭回路法
在给出调运方案的计算表上，如上例表，从每一空格出发找一条闭回路。
它是以某空格为起点，用水平或垂直线向前划，当碰到一数字格时可以
转90°后，继续前进，直到回到起始空格为止。闭回路如图(a),(b),(c)
等所示。
销 地 B1 B2 B3 B4 产
沃格尔法的步骤是：
第一步：在原表中分别计算出各行和各列的最 小运费和次小运费的差额，并填入该表的最右列 和最下行，见表4-1
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表4-1
销 地 B1 B2 B3 B4 行差额 产地
A1
3 11 3 10
0
A2
19 2 8
1
A3
7 4 10 5
1
列差额
25 1 3
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所 在行或列中的最小元素。在表4-1中B2列是最大 差额所在列。B2列中最小元素为4，可确定A3 的产品先供应B2的需要。得表4-2：
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运输问题数学模型的一般形式
若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的条件下，要求得总
运费最小的调运方案，其数学模型为
运筹学 04 运输问题
x23
2,12 2 a2’’=0 b3’=10 第2行
x13
16,10 10 a1’=6 b3’’=0 第3列
产量 16 10 22
新产量 新销量 划去
14
销量
8
14
12
14
西北角法步骤 运价表中找出西北角(左上角)运价cij 在该处确定运量xij=min(ai,bj) 计算剩余产量ai’=ai-xij和剩余销量bj’=bj-xij，则出现 (1)ai’=0，bj’≠0——划去第i行运价； (2)ai’≠0，bj’=0——划去第j列运价； (3)ai’=0，bj’=0——划去第i行或第j列运价 重复上述，直到获得(m+n-1)个运输数量
例2：某部门三个工厂生产同一产品的产量、四个销售点的 销量及单位运价如下表。求最低运输费的运输方案。
产地 A1 A2 A3 销量
B1 4 2 8 4
B2 12 10 5 3
B3 4 3 11 5
B4 11 9 6 6
产量 8 5 9
解答
由于总产量=8+5+9=22，总销量=4+3+5+6=18，总产量>总销 量，属于产大于销的产销不平衡运输问题。增加一个销地， 销量b5=22-18=4；运价为0。得到产销平衡表如左表。表上作 业法结果见右表。 产地 B1 B2 B3 A1 4 12 4 A2 2 10 3 A3 8 5 11 销量 4 3 5 B4 11 9 6 6 B5 产量 0 8 0 5 0 9 4 产地 B1 A1 1 A2 4 A3 10 销量 4 B2 3 3 B3 4 1 9 5 B4 0 6 6 B5 产量 4 8 1 5 5 9 4
设xij为从Ai运输到Bj的产品数量，若Σai=Σbj，则称为产销平衡 的运输规划问题，数学模型为 min f=c11x11+…+c1nx1n+c21x21+…+cmnxmn xi1+xi2+…+xin=ai (i=1,2,…,m) x1j+x2j+…+xmj=bj (j=1,2,…,n) xij≥0 (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
线性规划运输问题
第四章 运输问题Chapter 4Transportation Problem§4.1 运输问题的定义设有同一种货物从m 个发地1，2，…，m 运往n 个收地1，2，…，n 。
第i 个发地的供应量（Supply ）为s i （s i ≥0），第j 个收地的需求量（Demand ）为d j （d j ≥0）。
每单位货物从发地i 运到收地j 的运价为c ij 。
求一个使总运费最小的运输方案。
我们假定从任一发地到任一收地都有道路通行。
如果总供应量等于总需求量，这样的运输问题称为供求平衡的运输问题。
我们先只考虑这一类问题。
图4.1.1是运输问题的网络表示形式。
运输问题也可以用线性规划表示。
设x ij 为从发地i 运往收地j 的运量，则总运费最小的线性规划问题如下页所示。
运输问题线性规划变量个数为nm 个，每个变量与运输网络的一条边对应，所有的变量都是非负的。
约束个数为m+n 个，全部为等式约束。
前m 个约束是发地的供应量约束，后n 个约束是收地的需求量约束。
运输问题约束的特点是约束左边所有的系数都是0或1，而且每一列中恰有两个系数是1，其他都是0。
运输问题是一种线性规划问题，当然可以用第一章中的单纯形法求解。
但由于它有特殊的结构，因而有特殊的算法。
在本章中，我们将在单纯形法原理的基础上，根据运输问题的特点，给出特殊的算法。
图4.1x x x x x x x x x d x x x d x x x d x x x s x x x s x x x s x x x .t .s x c x c x c x c x c x c x c x c x c z min mn2m 1m n22221n11211n mnn 2n122m 221211m 2111m mn2m 1m 2n222211n11211mn mn 2m 2m 1m 1m n 2n 222222121n 1n 112121111≥=++=++=++=++=+++=++=+++++++++++++=在运输问题线性规划模型中，令X =（x 11，x 12，…，x 1n ，x 21，x 22，…，x 2n ，……，x m1，x m2，…，x mn ）TC =（c 11，c 12，…，c 1n ，c 21，c 22，…，c 2n ，……，c m1，c m2，…，c mn ）T A =[a 11，a 12，…，a 1n ，a 21，a 22，…，a 2n ，……，a m1，a m2，…，a mn ]T=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡行行n m 111111111111111111b =（s 1，s 2，…，s m ，d 1，d 2，…，d n ）T则运输问题的线性规划可以写成：min z=C TX s.t. AX =b X ≥0其中A 矩阵的列向量a ij =e i +e m+je i 和e m+j 是m+n 维单位向量，元素1分别在在第i 个分量和第m+j 个分量的位置上。
最新第四章-运输问题课件PPT
产量 B4
A1
18
14
17
12
100
A2
5
8
13
15
100
A3
17
7
12
9
150
销量
50
70
60
80
❖ 请问，应如何调运产品，使得总运费最少？
❖ 总销量>总产量
❖ 某公司有从三个产地A1，A2，A3，将物品运送到五个销地B1， B2，B3，B4， B5，各产地的产量、各销地的销量、各产地到各 销地的单位运价如下表所示：
20
A3
80
销量
80
B2
B3
120
40
100
30
50
110
140
120
B4 110 90 60 140
产量
160 100 220
❖ 请问，应如何调运产品，使得总运费最少？
闭回路法检验解的最优性
从每一个非基变量的空格出发，构造闭回路。若非基
变量所对应的检验数 ij 0 ，则当前解即为最优解。
其中：
3
6
5
6
❖ 请用最小元素法确定初始基本可行解，并用闭回路法检验初始基 本可行解是否为最优解。
2.表上作业法（产销不平衡的运输问题）
❖ 总产量>总销量
某公司有从三个产地A1，A2，A3，将物品运送到三个销地B1 ，B2，B3，各产地的产量、各销地的销量、各产地到各销地的单 位运价如下表所示：
销地
产地
销地 产地
A1 A2 销量
B1 7 10 300
B2 6 4 350
B3 8 5 250
产量
400 200
管理运筹学-02-7运输问题
运输问题及其数学模型
•运输问题约束矩阵的性质
1 1 1
分别将A的前m行和后n行相加，得到两个
A=
1
1
=5 ①
x21+x22+x23+x24
=2 ②
x31+x32+x33+x34 = 3 ③
x11
s.t.
x12
+x21 +x22
+x31 +x32
=2 ④ =3 ⑤
x13 x14
+x23 +x24
+x33 = 1 ⑥ +x34 = 4 ⑦
xij≥0
( i =1, 2, 3; j =1, 2, 3, 4 )
• 1. 确定初始基础可行解 • （1）最小元素法 • 最小元素法的基本思想是就近供应，即从
单位运价表中最小的运价处开始确定供销 关系，依次类推，一直到给出全部方案为 止。
表上作业法求解运输问题
例 给出运输表如右。
1
2
3
4
最小运价为c33=7， 供应地3的供应量
1
10
11
9
15
30
为50，需求地3的 需求量为31，安排
x 2 32
3
B3 x 2
13
x 8 23
x 9 33
1
(百元/百吨 )
B4 x 5
14
产量
5
运输问题
萨克拉门托 盐湖城
奥尔巴古
赖皮特城 供 应
至
量
从
贝林翰 464 +20 -15 513 20 - 867
654
75
尤基尼 352 8600 - 416 4655 + 791
690
125
艾尔贝 995
682
685
388
100
需求量
80
65
70
85
知识点 运输问题的标准化技术
虚拟产地、产量▽、单位运价0
至
量
从
贝林翰 尤基尼
464
- 352
513
- 15 + 416
867
+ 654
791
690
75 125
+ 995
艾尔贝
682
728
685
- 388
100
需求量
80
65
70
85
995-685+867-513+416-352=728
知识点 判断当前方案是否最优
萨克拉门托 盐湖城
奥尔巴古
赖皮特城 供 应
（Transportation Problem ）
知识点 运输问题
问题2：P&T公司是一家族公司。它收购生菜并在食品罐头厂 中把它们加工成罐头，然后再把这些罐头食品分销到各地卖出。 豌豆罐头是公司的一个主要产品，这些豌豆罐头在三个罐头厂 加工，然后用卡车把他们运送到四个分销仓库。如何运输最省？
知识点 运输问题
知识点 案例讨论
Texago Corporation新炼油厂选址问题
至
量
从
贝林翰 尤基尼 艾尔贝 需求量
运筹学：运输问题
运输问题运输问题（transportation problem）一般是研究把某种商品从若干个产地运至若干个销地而使总运费最小的一类问题。
然而从更广义上讲，运输问题是具有一定模型特征的线性规划问题。
它不仅可以用来求解商品的调运问题，还可以解决诸多非商品调运问题。
运输问题是一种特殊的线性规划问题，由于其技术系数矩阵具有特殊的结构，这就有可能找到比一般单纯形法更简便高效的求解方法，这正是单独研究运输问题的目的所在。
§1运输问题的数学模型[例4-1] 某公司经营某种产品，该公司下设A、B、C三个生产厂，甲、乙、丙、丁四个销售点。
公司每天把三个工厂生产的产品分别运往四个销售点，由于各工厂到各销售点的路程不同，所以单位产品的运费也就不同案。
各工厂每日的产量、各销售点每日的销量，以及从各工厂到各销售点单位产品的运价如表4-1所示。
问该公司应如何调运产品，在满足各销售点需要的前提下，使总运费最小。
表4-1设代表从第个产地到第个销地的运输量（；），用代表从第个产地到第个销地的运价，于是可构造如下数学模型：（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）通过该引例的数学模型，我们可以得出运输问题是一种特殊的线性规划问题的结论，其特殊性就在于技术系数矩阵是由“1”和“0”两个元素构成的。
将该引例的数学模型做一般性推广，即可得到有个产地、个销地的运输问题的一般模型。
注意：在此仅限于探讨总产量等于总销量的产销平衡运输问题，而产销不平衡运输问题将在本章的后续内容中探讨。
（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）供应约束确保从任何一个产地运出的商品等于其产量，需求约束保证运至任何一个销地的商品等于其需求。
除非负约束外，运输问题约束条件的个数是产地与销地的数量和，即；而决策变量个数是二者的积，即。
由于在这个约束条件中，隐含着一个总产量等于总销量的关系式，所以相互独立的约束条件的个数是个。
2019年第四部分运输问题.ppt
举例说明表上作业法
例1、某部门三个工厂生产同一产品的产量、 四个销售点的销量及单位运价如下表：
B1 B2 B3 B4 产量
A1
4 12
4 11 16
A2
2 10
3 9 10
A3
8
5 11 6 22
销量 8 14 12 14 48
运输问题
第一步：确定初始基可行解 ——最小元素法、伏格尔法
最小元素法思路：
第四章 运输问题
4.1 运输问题 4.2 运输问题的表上作业法 4.3 运输问题的进一步讨论
第一节 运输问题 及其数学模型
运输问题是一类特殊的线性规划 问题，本节介绍运输问题的数学模型 及其约束方程组的系数矩阵结构的特 殊性，运输问题的对偶问题及其对偶 变量与原问题检验数的关系。
典型背景——单一物资运输调度问题 设某种物品有:
A x x 1
11 c21 12 c22
A2 x21 x22
cm1
cm 2
Am xm1 xm2
b 销量
1
b2
运输问题
B 产量 n c1n
x a 1n c2n 1 x2n a2
cmn
xmn am bn
产销平衡问题——总产量=总销量
即
m
n
Hale Waihona Puke ai bji 1i 1
产销不平衡问题——总产量=总销量
m个产地：A1, A2 ,, Am
产量：a1, a2 ,, am
n个销地：B1, B2 ,, Bn
销量：b1, b2 ,, bn
从产地 Ai到销地 Bi 的单位运价是cij 。
求总运费最小的调度方案。
运输问题
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B1
B2 11 3
B3
B4 10
产量
A1
A2 A3
3
7
4
1 9 2 8
3
4 9
3
7 4 10
1
5
6
销量 3 6 5 6
3
总的运输费用＝（3×1）＋（6×4） ＋（4×3）＋（1×2）＋（3×10）＋（3×5）＝86元
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2.西北角法（或左上角法）： 此法是纯粹的人为规定，没有理论依据和实际背景， 但它易操作，特别适合在计算机上编程计算，因而受 欢迎。方法如下： 3 4 2 6 6 2 0 0 0 2 3 5 5 5 5 3 0 7 4 0 0 0 0 4 4 4 2 0 0 6 9 9 9 9 9 0 6 6 3 4 0 0 6 0 2 2 0 6 0 0 3 6 6 总的运费＝(3×3)＋(4×11)＋(2×9) 0 ＋(2×2)＋(3×10)＋(6×5)＝135元
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表4-1
销 地 产地 A1 A2 A3 列差额 3 1 7 2 11 9 4 5 3 2 10 1 10 8 5 3 0 1 1 B1 B2 B3 B4 行差额
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所 在行或列中的最小元素。在表4-1中B2列是最大 差额所在列。B2列中最小元素为4，可确定A3 的产品先供应B2的需要。得表4-2：
⑵.位势法
运输问题的约束条件共有m+n个，其中：m 是产地产量的限制；n是销地销量的限制。 其对偶问题也应有m+n个变量，据此： σij=cij －(ui+vj) ,其中前m个计为ui（i=1.2…m）,前n个 计为vj （j=1.2…n） 由单纯形法可知，基变量的σij＝ 0 ∴ cij－(ui+vj) ＝0 因此ui ,vj可以求出。
6
4 9
产销平 衡
13
一 初始基可行解的确定
确定初始基可行解的方法很多，有西北角法， 最小元素法和沃格尔(Vogel)法等，一般希望的 方法是既简便，又尽可能接近最优解。下面分别 予以介绍： 1. 最小元素法 此方法的基本思想是就近供应，即从单位运价 表中最小的运价开始确定供销关系，然后次 小，…，一直到给出初始基可行解为止。以上例 进行讨论得下表：
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8
运输问题数学模型的特点
该系数矩阵中对应于某一变量的系数向量， 其分量中除第i个和第m+j个为1以外，其余的都为零， 在约束条件中，前m个约束条件的含义是：由某一产地 运往各销地的产品数量之和等于该产地的产量；后n 个约束条件的含义是：由各产地运往某一销地的产品 数量之和等于该销地的销量。
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例题
例：某食品公司下属的A1、A2、A3 ，3个厂生产方便食品，要运输到B1、 B2、B3、B4 ，4个销售点，数据如下： 求最优运输方案。
单位 产地 销地 运价
B1 B2 B3 B4
3 11 3 10
产量
A1 A2 A3
销量
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7
1 7
3
9 4
6
2 10
5
8 5
6 6
产 量 7 4 9
5
20
说明
由以上可见：沃格尔法同最小元素法除在确定 供求关系的原则上不同外，其余步骤相同。沃 格尔法给出的初始解比用最小元素法给出的初 始解更接近最优解。
本例用沃格尔法给出的初始解就是最优解。
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21
二 最优解的判别
最优性检验就是检查所得到的方案是不是
19
第三步：对表4-3中未划去的元素再分别计算出各行、 各列的最小运费和次小运费的差额，并填入该表的最 右列和最下行，重复第一、二步，直到给出初始解为 止。用此法给出上例的初始解列于表4-4（下表）。
销 地 B1 加工厂 A1 A2 3 A3 销量 3
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B2
B3 5
B4 2 1 3 6
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运输问题数学模型的一般形式
若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的条件下，要求得总 运费最小的调运方案，其数学模型为 m n
m inZ cij xij
i 1 j 1
xij ai xij b j x 0 ij
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16
3 0 0 0 0 0
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3. 沃格尔法
最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用， 有时造成在其他处要多花几倍的运费。沃格尔法 考虑到，一产地的产品假如不能按最小运费就近 供应，就考虑次小运费，这就有一个差额。差额 越大，说明不能按最小运费调运时，运费增加越 多。因而对差额最大处，就应当采用最小运费调 运。 沃格尔法的步骤是： 第一步：在原表中分别计算出各行和各列的最 小运费和次小运费的差额，并填入该表的最右列 和最下行，见表4-1
( ai b j )
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运输问题数学模型的特点
1.运输问题有有限个最优解 2.运输问题约束条件的特点：运输问题的数学模型包含 m×n个变量，(m+n)个约束方程，其系数矩阵的结构比 较松散且特殊。
x11 x12 x1n x21 x22 x2 n xm1 xm 2 xmn u1 1 1 1 u2 1 1 1 um v1 1 1 v2 1 1 vn 1 1 1 1 1 1 1 1 m行 n行
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4
表4-1 产销平衡表
销地 产地
A1 A2 B1 B2
┉ Bn
产量
┆
Am
a1 a2 ┆ am b1 b2 ┈ bn
销量
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5
表4-2 单位运价表
销地 产地 A1 A2 ┆ Am c11 c12 ┈ c1n c21 c22 ┈ c2n ┇ cm1 cm2 ┈ cmn B1 B2 ┉ Bn
仍以上面的例子说明。 第一步：按最小元素法给出表的初始解，然后做 下表：即在对应表的数字格处填入单位运价：
销 地 加工厂 A1 A2 A3
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B1
B2
B3 3 2
B4 10 5
28
1 4
第二步：在上表中增加一行一列，在列中填 入ui，在行中填入vj，得下表：
销 地 加工厂 A1 A2 A3 vj B1 B2 B3 3 2 4 9 3 B4 10 5 10 ui 0 -1 -5
加工厂 A1 A2 A3 销量 5 3 3 6 6 5 2 1 3 6 量 7 4 9
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闭回路法计算检验数的经济解释为：在已给出初始解的表中， 可从任一空格出 发，如(A1，B1)，若让A1的产品调运1吨给B1。为了保持产销平衡，就要依次 作调整： 在(A1，B3)处减少1吨，(A2，B3)处增加1吨，(A2，B1)处减少1吨，即 构成了以(A1，B1)空格为起点，其他为数字格的闭回路，如下表虚线所示。在 这表中闭回路各顶点所在格的右上角数字是单位运价
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表4-2
销 地 B1 产地 A1 A2 A3 销量
销 地 加工厂 A1 A2 A3 列差额
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B2
B3
B4
3
B1 3 1 7 2
6 6
B2 11 9 4
产 量 7 4 9
5
B3 3 2 10 1
6
B4 10 8 5 3 行差额 0 1 2
同时将运价表中的B2列数字划去。如表4-3所示（表4-3）：
最优方案。检查的方法与单纯形方法中的 原理相同，即计算检验数。由于目标要求 极小，因此，当所有的检验数都大于或等 于零时该调运方案就是最优方案；否则就 不是最优，需要进行调整。下面介绍两种 求检验数的方法：
1.闭回路法； 2.位势法
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1 闭回路法
在给出调运方案的计算表上，如上例表，从每一空格出发找一条闭回路。 它是以某空格为起点，用水平或垂直线向前划，当碰到一数字格时可以 转90°后，继续前进，直到回到起始空格为止。闭回路如图(a),(b),(c) 等所示。 销 地 B1 B2 B3 B4 产
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第2节 表上作业法
表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法， 其实质是单纯形法,但具体计算和术语有所不同，其步骤 可归纳为： (1) 找出初始基可行解：即在(m×n)产销平衡表上用西北角 法或最小元素法、Vogel法给出m+n-1个数字，称为数 字格，它们就是初始基变量的取值。 (2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格的检验数， 判别是否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否则 转到下一步。 (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解。在表上 用闭回路法调整。 (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。
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9
运输问题的对偶问题
运输问题的对偶问题可按照前面写线性规划问题 的对偶问题的方法给出（略）
2013-8-4
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运输问题的解
运输问题也是一个线性规划问题，其求解时仍然可 以先找一个基可行解，进行解的最优性检验，若 不是最优，就进行迭代，继续检验和调整直到最 优，因此要求每步得到的解都是基可行解，需满 足(1)满足所有约束条件；(2)基变量对应的系数 列向量线性无关；(3)解中非零变量的个数不能大 于m+n-1个，原因是运输问题中虽有m+n个约 束条件，但由于总产量等于总销量，故只有 m+n-1个约束条件是线性独立的；(4)保持基变 量的个数在迭代过程中为m+n-1个。