最新导数与函数的单调性练习题
导数与函数的单调性练习题
导数与函数的单调性练习题2.2.1 导数与函数的单调性基础巩固题：1.已知函数 $f(x)=\frac{ax+1}{x+2}$ 在区间 $(-2,+\infty)$ 上为增函数，求实数 $a$ 的取值范围。
解析：由题意可得 $f(x)$ 在 $(-2,+\infty)$ 上单调递增，因此$a>-\frac{1}{2}$。
又因为$f(x)$ 的定义域为$(-2,+\infty)$，所以 $a$ 的取值范围为 $a\geq -\frac{1}{2}$ 或 $a\leq -2$，即$a\geq -\frac{1}{2}$ 或 $a\leq -2$。
2.已知函数 $f(x)=x^2+2x+a\ln x$ 在区间 $(0,1)$ 上单调，求实数 $a$ 的取值范围。
解析：由题意可得 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调，因此$f'(x)=2x+2+\frac{a}{x}$ 在 $(0,1)$ 上恒大于等于零或恒小于等于零。
化简可得 $a\geq -(2x^2+2x)$ 或 $a\leq -(2x^2+2x)$ 在$(0,1)$ 上恒成立。
记 $g(x)=-(2x^2+2x)$，则 $g(x)$ 在$(0,1)$ 上单调递增，且 $-4<g(x)<0$。
因此，$a\geq -4$ 或$a\leq -4$，即 $a\geq -4$ 或 $a\leq -4$。
3.已知函数$f(x)=\frac{x}{2x-9}$，求$f(x)$ 的单调区间。
解析：求导得 $f'(x)=\frac{9}{(2x-9)^2}$，$f'(x)>0$ 当且仅当 $x\frac{9}{2}$。
因此，$f(x)$ 在 $(-\infty,\frac{9}{2})$ 上单调递减，在 $(\frac{9}{2},+\infty)$ 上单调递增。
所以$f(x)$ 的单调区间为 $(-\infty,\frac{9}{2})$ 和$(\frac{9}{2},+\infty)$。
(完整word版)导数与单调性极值最基础值习题
导数与单调性极值最基础值习题一．选择题1．可导函数y=f（x）在某一点的导数值为0是该函数在这点取极值的（) A．充分条件B．必要条件 C．充要条件 D．必要非充分条件2．函数y=1+3x﹣x3有（)A．极小值﹣1，极大值3 B．极小值﹣2，极大值3C．极小值﹣1，极大值1 D．极小值﹣2，极大值23．函数f（x)=x3+ax2﹣3x﹣9，已知f（x）的两个极值点为x1,x2,则x1•x2=A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣14．函数的最大值为（)A． B．e2C．e D．e﹣15．已知a为函数f(x)=x3﹣12x的极小值点，则a=（)A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．26．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=( ）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或17．设函数f（x）=xe x，则（）A．x=1为f（x）的极大值点 B．x=1为f(x）的极小值点C．x=﹣1为f（x)的极大值点D．x=﹣1为f(x）的极小值点8．函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围是( ）A．（0，3）B．（0，）C．（0，+∞） D．（﹣∞，3）9．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f（2）等于（）A．11或18 B．11 C．18 D．17或1810．设三次函数f（x)的导函数为f′（x）,函数y=x•f′（x）的图象的一部分如图所示,则正确的是（）A．f（x）的极大值为,极小值为B．f(x)的极大值为，极小值为C．f(x）的极大值为f（﹣3），极小值为f（3）D．f(x)的极大值为f（3），极小值为f（﹣3）11．若f（x)=x3+2ax2+3（a+2)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是（）A．﹣a＜a＜2 B．a＞2或a＜﹣1 C．a≥2或a≤﹣1 D．a＞1或a＜﹣212．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间［0，3]上最大值与最小值分别是( ）A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣1613．已知f(x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在[﹣2,2]上有最大值3,那么此函数在［﹣2，2］上的最小值是( )A．﹣37 B．﹣29 C．﹣5 D．以上都不对二．填空题15．函数f（x）=x3﹣3x2+1的极小值点为．16．已知f(x）=x3﹣ax2﹣bx+a2，当x=1时，有极值10，则a+b= ．17．已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则c= ．18．已知函数f(x)=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是．19．已知函数f（x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是．20．已知函数f（x）=4x+（x＞0,a＞0）在x=3时取得最小值，则a= ．21．f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1］上的最大值是．22．已知函数f（x）=x3﹣12x+8在区间[﹣3，3］上的最大值与最小值分别为M，m，则M﹣m= ．23．设f（x）=x3﹣﹣2x+5，当x∈［﹣1,2]时，f（x）＜m恒成立,则实数m的取值范围为．24．f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a= ．三．解答题25．已知函数f（x）=ax3+x2+bx(其中常数a，b∈R），g（x)=f（x）+f′（x）是奇函数．（1)求f（x）的表达式；（2）讨论g（x）的单调性，并求g(x)在区间[1，2]上的最大值和最小值．26．已知函数f（x）=x﹣1﹣lnx(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）对∀x∈（0，+∞），f（x)≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．28．已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值;(Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．29．已知函数f(x）=（x﹣2）e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f(x）在区间［0，2］上的最小值和最大值．30．已知函数f（x）=ax3﹣6ax2+b（x∈[﹣1,2]）的最大值为3,最小值为﹣29，求a、b的值．31．求函数f（x）=x3﹣2x2+5在区间［﹣2，2］的最大值和最小值．32．设函数f（x）=1+(1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时,求f(x）取得最大值和最小值时的x的值．导数与单调性极值最基础值习题参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．可导函数y=f（x）在某一点的导数值为0是该函数在这点取极值的( ）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．必要非充分条件【分析】结合极值的定义可知必要性成立，而充分性中除了要求f′（x）=0外，还的要求在两侧有单调性的改变(或导函数有正负变化）,通过反例可知充分性不成立．【解答】解：如y=x3，y′=3x2，y′｜x=0=0,但x=0不是函数的极值点．若函数在x0取得极值，由定义可知f′(x)=0，所以f′（x)=0是x为函数y=f(x）的极值点的必要不充分条件故选：D．【点评】本题主要考查函数取得极值的条件：函数在x0处取得极值⇔f′（x）=0,且f′（x＜x 0）•f′（x＞x）＜02．函数y=1+3x﹣x3有（）A．极小值﹣1，极大值3 B．极小值﹣2，极大值3C．极小值﹣1，极大值1 D．极小值﹣2，极大值2【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案．【解答】解：∵y=1+3x﹣x3，∴y′=3﹣3x2,由y′=3﹣3x2＞0，得﹣1＜x＜1,由y′=3﹣3x2＜0，得x＜﹣1，或x＞1，∴函数y=1+3x﹣x3的增区间是(﹣1，1）,减区间是（﹣∞，﹣1),（1，+∞）．∴函数y=1+3x﹣x3在x=﹣1处有极小值f（﹣1）=1﹣3﹣(﹣1）3=﹣1，函数y=1+3x﹣x3在x=1处有极大值f(1）=1+3﹣13=3．故选：A．【点评】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于0时的实数x 的范围，再讨论出函数的单调区间,根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用3．函数f(x)=x3+ax2﹣3x﹣9,已知f（x）的两个极值点为x1，x2,则x1•x2=（）A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1【分析】本题的函数为三次多项式函数，若三次多项式函数有两个极值点，说明它的导函数有两个不相等的零点，转化为二次函数的根求解，用韦达定理可得x1•x2=﹣1【解答】解：由f（x）=x3+ax2﹣3x﹣9得, f′（x）=3x2+2ax﹣3f′（x）=0的两根为x1，x2就是函数的两个极值点根据韦达定理，得故选：D．【点评】本题主要考查利用导数工具讨论函数的单调性，从而得到函数的极值点．一元二次方程根与系数的关系是解决本题的又一个亮点．4．函数的最大值为（)A． B．e2C．e D．e﹣1【分析】利用导数进行求解，注意函数的定义域,极大值在本题中也是最大值;【解答】解：∵函数,（x＞0）∴y′=，令y′=0，得x=e，当x＞e时，y′＜0，f(x）为减函数，当0＜x＜e时，y′＞0，f（x）为增函数，∴f(x）在x=e处取极大值，也是最大值，∴y最大值为f（e）==e﹣1，故选:D．【点评】此题主要考查函数在某点取极值的条件,利用导数研究函数的最值问题，是一道基础题；5．已知a为函数f(x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2【分析】可求导数得到f′(x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f(x）的极小值点，从而得出a的值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0;∴x=2是f（x）的极小值点；又a为f(x）的极小值点；∴a=2．故选：D．【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．6．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=( ）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x 轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0,可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1)，（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减,∴函数在x=﹣1处取得极大值,在x=1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故选:A．【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．7．设函数f（x）=xe x，则( )A．x=1为f（x)的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x)的极小值点【分析】由题意，可先求出f′(x）=（x+1）e x,利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点【解答】解：由于f（x）=xe x，可得f′（x）=(x+1）e x，令f′(x）=（x+1）e x=0可得x=﹣1令f′（x）=（x+1）e x＞0可得x＞﹣1，即函数在(﹣1，+∞）上是增函数令f′（x）=(x+1）e x＜0可得x＜﹣1，即函数在(﹣∞，﹣1）上是减函数所以x=﹣1为f（x)的极小值点故选：D．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题,8．函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，3）B．(0,）C．(0，+∞） D．（﹣∞，3）【分析】先对函数求导，函数在（0，1）内有极小值，得到导函数等于0时,求出x的值,这个值就是函数的极小值点,使得这个点在（0，1）上,求出a的值．【解答】解：根据题意，y’=3x2﹣2a=0有极小值则方程有解a＞0x=±所以x=是极小值点所以0＜＜10＜＜10＜a＜故选：B．【点评】本题考查函数在某一点取得极值点条件，本题解题的关键是在一个区间上有极值相当于函数的导函数在这一个区间上有解．9．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f（2)等于（）A．11或18 B．11 C．18 D．17或18【分析】根据函数在x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0，又因为f′（x）=3x2+2ax+b，所以得到：f′（1）=3+2a+b=0，又因为f（1）=10,所以可求出a与b的值确定解析式，最终将x=2代入求出答案．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，∴或①当时，f′（x）=3(x﹣1）2≥0，∴在x=1处不存在极值;②当时，f′（x）=3x2+8x﹣11=(3x+11)（x﹣1）∴x∈（，1），f′(x)＜0，x∈（1,+∞）,f′（x）＞0，符合题意．∴，∴f(2）=8+16﹣22+16=18．故选：C．【点评】本题主要考查导数为0时取到函数的极值的问题，这里多注意联立方程组求未知数的思想，本题要注意f′（x0）=0是x=x是极值点的必要不充分条件，因此对于解得的结果要检验．10．设三次函数f（x）的导函数为f′（x）,函数y=x•f′（x）的图象的一部分如图所示，则正确的是（）A．f（x）的极大值为，极小值为B．f（x）的极大值为，极小值为C．f（x）的极大值为f（﹣3)，极小值为f(3)D．f（x）的极大值为f（3），极小值为f（﹣3)【分析】观察图象知，x＜﹣3时，f′（x)＜0．﹣3＜x＜0时，f′(x）＞0．由此知极小值为f （﹣3）．0＜x＜3时，yf′（x）＞0．x＞3时，f′（x）＜0．由此知极大值为f（3)．【解答】解:观察图象知,x＜﹣3时，y=x•f′（x）＞0，∴f′（x)＜0．﹣3＜x＜0时,y=x•f′（x)＜0，∴f′（x）＞0．由此知极小值为f（﹣3）．0＜x＜3时，y=x•f′（x）＞0，∴f′（x）＞0．x＞3时，y=x•f′(x）＜0，∴f′(x）＜0．由此知极大值为f（3）．故选:D．【点评】本题考查极值的性质和应用，解题时要仔细图象，注意数形结合思想的合理运用．11．若f（x）=x3+2ax2+3（a+2)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是（）A．﹣a＜a＜2 B．a＞2或a＜﹣1 C．a≥2或a≤﹣1 D．a＞1或a＜﹣2【分析】求出函数的导函数，根据函数的极值是导函数的根，且根左右两边的导函数符号不同得到△＞0；解出a的范围．【解答】解:f′（x）=3x2+4ax+3(a+2）∵f（x）有极大值和极小值∴△=16a2﹣36(a+2）＞0解得a＞2或a＜﹣1故选：B．【点评】本题考查函数的极值点是导函数的根,且根左右两边的导函数符号需不同．12．函数y=xe﹣x，x∈[0，4］的最小值为（）A．0 B．C． D．【分析】先求出导函数f′（x)，由f′（x）＞0和f′（x）＜0,求出x的取值范围，得出函数f（x）的单调区间，从而求出函数的最值．【解答】解：，当x∈[0，1）时，f′（x)＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，4]时，f′（x）＜0，f(x）单调递减，∵f（0）=0,，∴当x=0时，f（x）有最小值，且f（0)=0．故选：A．【点评】本题考查的是利用导数，判断函数的单调性,从而求出最值，属于基础题．13．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0,3］上最大值与最小值分别是（）A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣16【分析】对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间[0,3]上的单调性,根据函数的变化规律确定函数在区间[0，3］上最大值与最小值位置，求值即可【解答】解：由题意y'=6x2﹣6x﹣12令y’＞0,解得x＞2或x＜﹣1故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）减，在（2，3）上增又y(0)=5，y(2）=﹣15，y（3）=﹣4故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间［0，3]上最大值与最小值分别是5，﹣15故选:A．【点评】本题考查用导数判断函数的单调性,利用单调性求函数的最值，利用单调性研究函数的最值,是导数的重要运用，注意上类题的解题规律与解题步骤．14．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在［﹣2，2］上有最大值3,那么此函数在［﹣2，2]上的最小值是（）A．﹣37 B．﹣29 C．﹣5 D．以上都不对【分析】先求导数,根据单调性研究函数的极值点，在开区间（﹣2，2)上只有一极大值则就是最大值，从而求出m，通过比较两个端点﹣2和2的函数值的大小从而确定出最小值,得到结论．【解答】解：∵f′（x）=6x2﹣12x=6x(x﹣2)，∵f（x)在（﹣2，0)上为增函数，在（0，2）上为减函数，∴当x=0时,f(x）=m最大，∴m=3,从而f（﹣2）=﹣37，f（2)=﹣5．∴最小值为﹣37．故选：A．【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值,求函数在闭区间[a,b]上的最大值与最小值是通过比较函数在(a，b）内所有极值与端点函数f(a），f（b) 比较而得到的,属于基础题．二．填空题（共10小题)15．函数f（x）=x3﹣3x2+1的极小值点为 2 ．【分析】首先求导可得f′（x）=3x2﹣6x，解3x2﹣6x=0可得其根,再判断导函数的符号分析函数的单调性，即可得到极小值点．【解答】解：f′(x)=3x2﹣6x令f′（x）=3x2﹣6x=0得x1=0,x2=2且x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0；x∈(0，2）时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）时，f′(x)＞0故f(x）在x=2出取得极小值．故答案为2．【点评】本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查．熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．16．已知f(x）=x3﹣ax2﹣bx+a2，当x=1时,有极值10，则a+b= 7 ．【分析】求导函数，利用函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2，当x=1时，有极值10,建立方程组，求得a，b的值，再验证，即可得到结论．【解答】解:∵函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2∴f'（x）=3x2﹣2ax﹣b,又∵函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2,当x=1时，有极值10,∴，∴或时，f’（x）=3x2﹣2ax﹣b=(x﹣1）（3x+11）=0有不等的实根，满足题意;时，f'（x）=3x2﹣2ax﹣b=3（x﹣1)2=0有两个相等的实根,不满足题意；∴a+b=7故答案为：7【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的极值，考查学生的计算能力,属于基础题．17．已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则c= 6 ．【分析】由已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值,则必有f′（2)=0，且在x=2的两侧异号即可得出．【解答】解：∵f′（x)=（x﹣c)2+2x(x﹣c）=3x2﹣4cx+c2，且函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，∴f′（2）=0，即c2﹣8c+12=0，解得c=6或2．经检验c=2时，函数f(x)在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去．故c=6．故答案为6．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值的方法是解题的关键．18．已知函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2)x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪(2,+∞）．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，可以得到△＞0，进而可解出a的范围．【解答】解：∵f(x)=x3+3ax2+3(a+2）x+1∴f'(x）=3x2+6ax+3（a+2）∵函数f（x)=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值∴△=（6a）2﹣4×3×3（a+2)＞0∴a＞2或a＜﹣1故答案为：（﹣∞，﹣1）∪(2，+∞)【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．19．已知函数f(x)=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是m ＜﹣3或m＞6 ．【分析】求出函数f（x）的导函数，根据已知条件，导函数必有两个不相等的实数根,只须令导函数的判别式大于0，求出m的范围即可．【解答】解：∵函数f（x）=x3+mx2+(m+6）x+1既存在极大值，又存在极小值f′（x)=3x2+2mx+m+6=0，它有两个不相等的实根，∴△=4m2﹣12（m+6）＞0解得m＜﹣3或m＞6故答案为：m＜﹣3或m＞6．【点评】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件．导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．20．已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a= 36 ．【分析】由题设函数在x=3时取得最小值,可得f′（3)=0，解此方程即可得出a的值．【解答】解：由题设函数在x=3时取得最小值,∵x∈（0，+∞），∴得x=3必定是函数的极值点，∴f′(3)=0，f′（x）=4﹣,即4﹣=0，解得a=36．故答案为：36．【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解“函数在x=3时取得最小值”，将其转化为x=3处的导数为0等量关系．21．f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1,1]上的最大值是 2 ．【分析】求出函数的导函数，令导函数为0,求出根，判断根是否在定义域内,判断根左右两边的导函数符号，求出最值．【解答】解：f′（x)=3x2﹣6x=3x（x﹣2）令f′（x）=0得x=0或x=2（舍)当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′(x）＜0所以当x=0时，函数取得极大值即最大值所以f（x)的最大值为2故答案为2【点评】求函数的最值，一般先求出函数的极值,再求出区间的端点值，选出最值．22．已知函数f（x）=x3﹣12x+8在区间［﹣3,3］上的最大值与最小值分别为M，m,则M﹣m= 32 ．【分析】先对函数f(x）进行求导,令导函数等于0求出x，然后根据导函数的正负判断函数f （x）的单调性，列出在区间[﹣3,3］上f（x）的单调性、导函数f’（x）的正负的表格，从而可确定最值得到答案．【解答】解：令f′（x)=3x2﹣12=0，得x=﹣2或x=2，列表得：x﹣3（﹣3，﹣﹣2（﹣2，2）2（2,3）32）f′（x）+0﹣0+f(x）17极值24极值﹣8﹣1可知M=24,m=﹣8,∴M﹣m=32．故答案为：32【点评】本题主要考查函数的求导运算、函数的单调性与其导函数的正负之间的关系和函数在闭区间上的最值．导数是由高等数学下放到高中的内容，每年必考，要引起重视．23．设f(x）=x3﹣﹣2x+5，当x∈［﹣1，2］时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为（7，+∞）．【分析】先求导数，然后根据函数单调性研究函数的极值点,通过比较极值与端点的大小从而确定出最大值，进而求出变量m的范围．【解答】解：f′（x）=3x2﹣x﹣2=0解得：x=1或﹣当x∈时，f'（x）＞0，当x∈时，f'（x）＜0，当x∈（1，2)时,f'（x)＞0，∴f(x）max ={f（﹣），f（2）｝max=7由f（x）＜m恒成立，所以m＞fmax（x）=7．故答案为：（7，+∞）【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间［a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在(a，b）内所有极值与端点函数f(a），f(b）比较而得到的，属于基础题．24．f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1,1］总有f(x)≥0成立，则a= 4 ．【分析】这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①x=0，②x＞0,③x＜0等三种情形．当x=0时，不论a取何值，f（x）≥0都成立;当x＞0时,有a≥,可构造函数g(x)=，然后利用导数求g（x)的最大值，只需要使a≥g(x）max 同理可得x＜0时的a的范围,从而可得a的值．【解答】解：①若x=0，则不论a取何值，f(x）≥0都成立；②当x＞0，即x∈(0，1］时，f（x)=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≥设g（x）=，则g′（x）=，所以g（x）在区间（0，]上单调递增，在区间［,1]上单调递减,=g(）=4，从而a≥4；因此g(x)max③当x＜0，即x∈［﹣1,0）时,f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≤，g（x）=在区间[﹣1，0）上单调递增，=g（﹣1）=4,从而a≤4，综上a=4．因此g（x）min答案为：4．【点评】本题考查的是含参数不等式的恒成立问题,考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法．在讨论时，容易漏掉x=0的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解答．三．解答题（共10小题）25．已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f′（x)是奇函数．（1）求f(x）的表达式;(2）讨论g（x)的单调性，并求g(x）在区间[1，2］上的最大值和最小值．【分析】(Ⅰ）由f'(x)=3ax2+2x+b得g（x）=fax2+(3a+1）x2+（b+2）x+b，再由函数g（x）是奇函数，由g（﹣x)=﹣g（x），利用待系数法求解．（2）由（1）知,再求导g’（x)=﹣x2+2，由g’(x)≥0求得增区间，由g’（x）≤0求得减区间;求最值时从极值和端点值中取．【解答】解：（1）由题意得f’（x）=3ax2+2x+b因此g(x）=f（x)+f’（x)=ax3+(3a+1）x2+（b+2)x+b因为函数g（x）是奇函数，所以g（﹣x）=﹣g（x），即对任意实数x,有a（﹣x）3+(3a+1）(﹣x）2+（b+2）（﹣x）+b=﹣[ax3+（3a+1)x2+（b+2）x+b]从而3a+1=0，b=0，解得，因此f（x）的解析表达式为．（2）由(Ⅰ）知，所以g’(x）=﹣x2+2，令g'（x)=0解得则当时,g'(x)＜0从而g（x）在区间,上是减函数，当,从而g（x）在区间上是增函数,由前面讨论知,g（x）在区间［1，2]上的最大值与最小值只能在时取得,而,因此g（x）在区间[1，2]上的最大值为,最小值为．【点评】本题主要考查构造新函数，用导数研究函数的单调性和求函数的最值．26．已知函数f（x)=ln（1+x）﹣x，g(x)=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x)的最大值；（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a)+g（b)﹣2g（)＜（b﹣a）ln2．【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数进行求导运算，令导函数等于0求出x的值，再判断函数的单调性，进而可求出最大值．（2）先将a,b代入函数g(x）得到g(a）+g（b)﹣2g（）的表达式后进行整理，根据(1）可得到lnx＜x，将、放缩变形为、代入即可得到左边不等式成立,再用根据y=lnx的单调性进行放缩＜．然后整理即可证明不等式右边成立．【解答】（Ⅰ）解：函数f(x)的定义域为(﹣1，+∞)．．令f′（x）=0,解得x=0．当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′(x）＜0．又f(0)=0，故当且仅当x=0时,f（x）取得最大值，最大值为0．(Ⅱ）证明：=．由(Ⅰ）结论知ln（1+x）﹣x＜0（x＞﹣1，且x≠0)，由题设,因此ln=﹣ln（1+）＞﹣，,所以．又，＜．=（b﹣a）ln＜（b﹣a)ln2综上．【点评】本题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力．27．已知函数f（x）=x﹣1﹣lnx（Ⅰ）求曲线y=f(x）在点（2，f（2)）处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）对∀x∈（0，+∞），f（x)≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出f（2），再根据导数的几何意义，求出该点的导数值,即得曲线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可（Ⅱ)令导数大于0解出增区间，令导数小于0，解出函数的减区间，然后由极值判断规则确定出极值即可．（Ⅲ）由于f(x）≥bx﹣2恒成立，得到在（0,+∞）上恒成立，构造函数g(x）=，b≤g（x）即可．min【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0,+∞），,则，f（2)=1﹣ln2，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2）)处的切线方程为，即x﹣2y﹣2ln2=0；（Ⅱ)，令f′（x）＞0，得x＞1,列表:x（0，1）1（1，+∞）f′（x)﹣0+f（x)↘0↗∴函数y=f（x）的极小值为f(1）=0；（Ⅲ）依题意对∀x∈（0,+∞），f(x）≥bx﹣2恒成立等价于x﹣1﹣lnx≥bx﹣2在(0,+∞）上恒成立可得在（0，+∞)上恒成立，令g（x）=,令g′（x）=0，得x=e2列表:x(0，e2）e2（e2，+∞）g’(x）﹣0+g（x）↘↗∴函数y=g（x）的最小值为，根据题意，．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用,体现综合分析问题与解决问题能力，属于中档题．28．已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ)若对所有x≥1都有f(x）≥ax﹣1,求实数a的取值范围．【分析】（1）先求出函数的定义域,然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．（2）将f(x）≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立转化为不等式对于x∈［1,+∞）恒成立，然后令，对函数g（x）进行求导，根据导函数的正负可判断其单调性进而求出最小值，使得a小于等于这个最小值即可．【解答】解:（Ⅰ）f（x）的定义域为(0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．令f'（x）＞0，解得；令f'(x）＜0，解得．从而f(x）在单调递减，在单调递增．所以,当时，f（x）取得最小值．(Ⅱ)依题意，得f（x)≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立,即不等式对于x∈[1，+∞）恒成立．令，则．当x＞1时，因为，故g（x)是［1,+∞）上的增函数，所以g（x）的最小值是g（1）=1,从而a的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、根据导数求函数的最值．导数是高等数学下放到高中的内容,是每年必考的热点问题,要给予重视．29．已知函数f(x）=（x﹣2）e x．(1）求f（x）的单调区间;（2）求f（x）在区间[0，2]上的最小值和最大值．【分析】（1）求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间;(2）由（1）可得f(x）在［0，1]递减，在（1,2］递增,即有f（x）在x=1处取得极小值,且为最小值，求得端点的函数值，比较即可得到最大值．【解答】解:（1）函数f（x)的导数为f′（x)=（x﹣1）e x，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1．则f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为(﹣∞,1）;（2）由（1）可得f(x）在[0，1]递减,在(1，2］递增，即有f（x）在x=1处取得极小值,且为最小值,且为f（1)=﹣e,由f（0）=﹣2，f（2）=0，可得f（x)的最大值为f(2）=0．则f(x）的最小值为﹣e，最大值为0．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，正确求导是解题的关键．30．已知函数f（x）=ax3﹣6ax2+b（x∈［﹣1,2]）的最大值为3，最小值为﹣29，求a、b的值．【分析】求出f′(x）=0在[﹣1，2]上的解,研究函数f（x）的增减性，函数的最值应该在极值点或者区间端点取，已知最大值为3，最小值为﹣29代入即可．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣6ax2+b∴f′（x）=3ax2﹣12ax=3a（x2﹣4x）令f′（x）=3ax2﹣12ax=3a（x2﹣4x）=0，显然a≠0，否则f（x）=b为常数，矛盾，∴x=0，若a＞0，列表如下:由表可知，当x=0时f(x）取得最大值∴b=3又f′(0）=﹣29，则f（2）＜f（0),这不可能，∴f(2）=8a﹣24a+3=﹣16a+3=﹣29，∴a=2若a＜0,同理可得a=﹣2,b=﹣29故答案为：a=2,b=3或a=﹣2,b=﹣29【点评】本题考查函数的导数在求最大值、最小值中的应用，关键是对于闭区间上的最值要注意函数的端点函数值，注意区别理解函数的极值点一定不在函数端点，而最值点可能在函数端点，属于基础题．31．求函数f（x）=x3﹣2x2+5在区间［﹣2，2］的最大值和最小值．【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数f(x）=x3﹣2x2+5在区间［﹣2，2]的单调性，再由单调性求函数在区间上的最值．【解答】解:函数f(x）=x3﹣2x2+5的导函数是f'（x）=x（3x﹣4）,令f’(x）=0得x=0或，如下表：∴ymax =5，ymin=﹣11【点评】本题考点是利用导数求闭区间上的函数的最值，考查用导数研究函数的单调性并利用单调性确定函数的最值，并求出．此是导数的一个很重要的运用．32．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x)的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1;（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈(1，x）时,恒有f（x)＞k（x﹣1）．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数大于0，可求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）令F （x ）=f （x ）﹣（x ﹣1）,证明F （x)在[1，+∞）上单调递减，可得结论；(Ⅲ)分类讨论，令G （x ）=f （x ）﹣k （x ﹣1)（x ＞0），利用函数的单调性,可得实数k 的所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）∵f(x)=lnx ﹣，∴f′（x)=＞0（x ＞0)，∴0＜x ＜，∴函数f （x)的单调增区间是（0，)；（Ⅱ)令F （x ）=f （x ）﹣（x ﹣1），则F′(x)=当x ＞1时，F′(x）＜0,∴F(x ）在［1,+∞）上单调递减, ∴x ＞1时，F(x ）＜F （1）=0， 即当x ＞1时,f （x)＜x ﹣1；（Ⅲ）由（Ⅱ)知，k=1时，不存在x 0＞1满足题意；当k ＞1时,对于x ＞1，有f （x ）＜x ﹣1＜k （x ﹣1)，则f （x ）＜k(x ﹣1）， 从而不存在x 0＞1满足题意；当k ＜1时,令G(x)=f(x)﹣k （x ﹣1）(x ＞0)，则 G′（x)==0,可得x 1=＜0，x 2=＞1，当x ∈（1，x 2)时，G′(x)＞0，故G （x ）在（1，x 2）上单调递增, 从而x ∈（1，x 2）时，G （x ）＞G （1）=0,即f （x ）＞k （x ﹣1), 综上，k 的取值范围为(﹣∞，1)．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．33．设函数f（x)=1+(1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．（Ⅰ)讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈［0，1］时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1］时的单调性，得出取最值时的x的取值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞）,f′（x)=1+a﹣2x﹣3x2,由f′(x)=0，得x1=,x2=,x1＜x2，∴由f′（x）＜0得x＜，x＞;由f′（x)＞0得＜x＜;故f(x）在（﹣∞，)和（,+∞）单调递减，在（，）上单调递增；（Ⅱ）∵a＞0,∴x1＜0，x2＞0,∵x∈[0,1]，当时,即a≥4①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知,f（x）在[0,1]上单调递增，∴f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x)在［0，x2]单调递增，在［x2，1］上单调递减，因此f(x）在x=x2=处取得最大值，又f（0）=1，f（1)=a，∴当0＜a＜1时,f（x）在x=1处取得最小值；当a=1时,f(x）在x=0和x=1处取得最小值；当1＜a＜4时，f(x）在x=0处取得最小值．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力,属中档题．34．已知函数f（x)满足f(x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1)求f(x）的解析式及单调区间；（2）若，求(a+1）b的最大值．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2)由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究(a+1）b的最大值【解答】解：（1）f（x）=f’(1）e x﹣1﹣f（0)x+⇒f’(x）=f’（1）e x﹣1﹣f（0)+x令x=1得：f（0)=1∴f（x）=f'（1）e x﹣1﹣x+令x=0，得f（0）=f'（1)e﹣1=1解得f’(1）=e故函数的解析式为f（x)=e x﹣x+令g（x）=f'（x)=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g(x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'(x）＞f’(0）=0；当x＜0时，有f’（x）＜f'（0）=0得:函数f（x）=e x﹣x+的单调递增区间为(0,+∞），单调递减区间为（﹣∞,0）（2)f（x）≥﹣（a+1)x﹣b≥0得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h(x)在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h(x)≥0矛盾②当a+1＞0时,h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1）,h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x)=（a+1）﹣（a+1）ln(a+1)﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1)ln（a+1）min(完整word 版)导数与单调性极值最基础值习题第31页（共31页）≥b∴（a+1)b ≤（a+1)2﹣（a+1)2ln （a+1)，（a+1＞0）令F （x ）=x 2﹣x 2lnx （x ＞0),则F’（x ）=x （1﹣2lnx)∴F'（x ）＞0⇔0＜x ＜当x=时,F(x ）max = 即当a=时,（a+1)b 的最大值为 【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（1)，易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题,本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型,计算量大,易马虎出错．。
导数10 大题(单调性)中下4-2022年全国一卷新高考数学题型细分汇编
导数——大题——单调性4：1. （2022年山东临沂J15）已知函数ln ()(exx kf x k +=为常数，e 2.71828=…是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1)f )处的切线与x 轴平行．2. （1）求k 的值；3. （2）求()f x 的单调区间；（①）（单调性，易；第三问，未；）4. （3）设2()()()g x x x f x =+'，其中()f x '为()f x 的导函数．证明：对任意0x >，2()1e g x -<+．5. （2022年山东威海三模J27）已知函数()2ln a f x x x x=-+． 6. （1）当34a =时，求()f x 的单调区间；（②）（单调性，中下；第二问，未；） 7. （2）若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，从下面两个结论中选一个证明．8. ①()()21212f x f x x x a-<--； ②()222ln 223f x a <+-．9. （2022年山东济宁三模J42）已知函数()()2ln e 1ln 1f x x a x a x =-----，a ∈R .10. （1（当0a =时，证明：()()()e 21f x x ≥--；（③）11. （2（若函数()f x 在()1,e 内有零点，求实数a 的取值范围.12. （单调性，最值，中下；第二问，未；）13. （2022年山东实验中学J46）已知函数()e sin xf x x =⋅.14. (1)求函数()f x 的单调区间；（④）15. (2)如果对于任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x kx ≥恒成立，求实数k 的取值范围；16. (3)设函数()()20152017e cos ,,22xF x f x x x ππ⎡⎤=+⋅∈-⎢⎥⎣⎦.过点1,02M π-⎛⎫ ⎪⎝⎭作函数()F x 的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{}n x ，求数列{}n x 的所有项之和S 的值. 17. （单调性，中下；第二问，未；）1.（2022年广东韶关二模J06）(本小题满分12分) 已知f(x)=e x．;（⑤）2.(1)求证：当x>0时，f(x)>1+x+x223.(2)若不等式f(x)≥2x ln x+mx+1，（其中m∈R）恒成立时，实数m的取值范围为(-∞，t]，4.求证：t>23．（单调性，最值，切线放缩，中下；第二问，未；）20①【答案】（1）1k =；（2）()f x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减； （3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）由题设求导函数()f x '，再由(1)0f '=求参数k 值. （2）由（1）得1ln ()e xx x xf x x --'=且,()0x ∈+∞，构造函数()1ln h x x x x =--，结合导数研究()h x 的符号，进而求()f x 的单调区间.（3）由题设只需证2e 1ln (1e )1xx x x x ---<++在(0,)+∞上恒成立，由（2）易得21ln 1e x x x ---≤+，再构造()e (1)x m x x =-+并应用导数判断e ),(1xx +的大小关系，即可证结论. 【小问1详解】 由题设，1ln ()e xkx x xf x x --'=，,()0x ∈+∞，又()y f x =在(1,(1)f )处的切线与x 轴平行，即1(1)0ekf -'==， 1k ∴=.【小问2详解】 由（1）得：1ln ()e xx x xf x x --'=，,()0x ∈+∞，令()1ln h x x x x =--，,()0x ∈+∞，当(0,1)x ∈时，()0h x >，当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，又e 0x >，(0,1)x ∴∈时，()0f x '>，(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x ∴在(0,1)递增，在(1,)+∞递减；【小问3详解】由2()()()g x x x f x =+'，即1()(1ln )e xx g x x x x +=--，,()0x ∈+∞， 0x ∴∀>，22e ()1e 1ln (1e )1xg x x x x x --<+⇔--<++， 由（2），对于()1ln h x x x x =--，,()0x ∈+∞， ()ln 2h x x ∴'=--，,()0x ∈+∞，2(0,e )x -∴∈时()0h x '>，()h x 递增，2(e x -∈,)∞+时()0h x <，()h x 递减，22max ()(e )1e h x h --∴==+，即21ln 1e x x x ---≤+，设()e (1)xm x x =-+，则0()e 1e x x m x e '=-=-，(0,)x ∴∈+∞时()0m x '>，()m x 递增，即()(0)0m x m >=，则e 11x x >+， 综上，22e 1ln 1e (1e )1x x x x x----≤+<++，故0x ∀>，()21e g x -<+，得证． 【点睛】关键点点睛：第三问，应用分析法转化为证明2e 1ln (1e )1xx x x x ---<++在(0,)+∞上恒成立，结合（2）中()h x 的单调性得到21ln 1e x x x ---≤+，再判断e ),(1x x +的大小关系.②【答案】（1）()f x 的单增区间为13,22⎛⎫⎪⎝⎭；单减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解；（2）若选①，不等式转化为证明212121ln ln x x x x ax x -<=-，变形为证明2212111212lnx x x x x x x x <=1()2ln ,1h t t t t t=-+>，即可证明； 若选②，首先根据函数有两个极值点，证得212x <<，()2222222ln 33a f x a x x a x -=-+-，再变换为()2222222102ln 2333f x a x x x -=+-+，通过构造函数，利用导数，即可证明. 【小问1详解】22222()1(0)a x x af x x x x x-+-'=--=>， 当34a =时，2222232483(21)(23)4()44x x x x x x f x x x x -+--+--==--'=， 令()0f x '>，解得1322x <<；令()0f x '<，解得102x <<或32x >， 所以()f x 的单增区间为13,22⎛⎫⎪⎝⎭；单减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】证明①：由题意知，12,x x 是220x x a -+=的两根，则12122x x x x a +=⎧⎨=⎩，()()()()()122121211221212ln ln a x x x x x x f x f x x x x x x x ----+-=--， 将12x x a =代入得，()()()212121212ln ln 2f x f x x x x x x x --=---，要证明()()21212f x f x x x a -<--，只需证明()21212ln ln 22x x x x a--<--，即212121ln ln x x x x ax x -<=-， 因为120x x <<，所以210x x ->， 只需证明2212111212lnx x x x x x x x <= 21x t x =，则1t >，只需证明21ln t t t <-，即12ln 0(1)t t t t-+<>， 令1()2ln ,1h t t t t t=-+>，22221(1)()10t h t t t t--=--=<'， 所以()h t 在(1,)+∞上单调递减，可得()(1)0h t h <=， 所以12ln 0(1)t t t t-+<>， 综上可知，()()21212f x f x x x a-<--．证明②：22222()1(0)a x x af x x x x x -+-'=--=>设2()2g x x x a =-+-，因为()f x 有两个极值点，所以Δ440(0)0a g =->⎧⎨<⎩，解得01a <<，因为(2)0,(1)10g a g a =-<=->， 所以212x <<，()2222222ln 33a f x a x x a x -=-+-，由题意可知22220x x a -+-=， 可得2222a x x =-+代入得，()2222222102ln 2333f x a x x x -=+-+， 令2210()2ln 2(12)33h x x x x x =+-+<<， 24102(1)(23)()333x x h x x x x--=+-='， 当31,,()02x h x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭'，所以()h x 在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当3,2,()02x h x ⎛⎫∈>⎪⎝⎭'，所以()h x 在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调速增，因为212x <<，所以()2max{(1),(2)}h x h h <， 由2(1),(2)2ln 223h h =-=-，可得()22ln8ln (2)(1)03e h h --=>，所以(2)(1)h h >，所以()2(2)h x h <， 所以()222ln 223f x a -<-，即()222ln 223f x a <+-．③【答案】（1）证明见解析；（2）e 21a -<< 【解析】【分析】（1）构造函数()()()()=e 21g x f x x ---，证得min ()0g x ≥即可； （2）根据零点存在性定理结合导函数与单调性、最值等关系进行判定. 小问1详解】证明：当0a =时，设()()()()=e 21(e 1)(ln 1)g x f x x x x ---=---，1()(e 1)x g x x-'=-，由()001g x x '<⇒<<，()01g x x '>⇒>，可得()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以min ()(1)0g x g ==，则()0g x ≥，即()()()e 21f x x ≥--； 【小问2详解】函数()()2ln e 1ln 1f x x a x a x =-----，(1)0,(e)0f f ==，若函数()f x 在()1,e 内有零点，则函数()f x 在()1,e 内至少有两个极值点，即()f x '在()1,e 内至少有两个变号零点.2ln e 12ln e 1()1a x a x a x a f x x x x----++'=--=，等价于()2ln e 1h x x a x a =--++在()1,e 内至少有两个变号零点，22()1a x ah x x x-'=-=，()1,e x ∈，当12a ≤或e 2a ≥时，()0h x '≥或()0h x '≤恒成立，则()h x 在()1,e 上单调，不合题意；当122ea <<时，由()012h x x a '<⇒<<，()02e h x a x '>⇒<<，可得()h x 在(1,2)a 单调递减，在(2,e)a 上单调递增，所以当(1)0)(e)0(2)0h h h a >⎧⎪>⎨⎪<⎩时，()h x 在()1,e 内有两个变号零点且最多两个，即2e 01032ln 2e 10a a a a a -+>⎧⎪->⎨⎪--+<⎩，令2t a =，()1,e t ∈，设31()ln e 1()ln 0e 22F t t t t F t t t '=--+⇒=-=⇒=(e t ∈时，()0F t '>，()F t 单调递增，当)e,e t ∈时，()0F t '<，()F t 单调递减，所以max 3()(e)e e e e 1e e 102F t F ==+=+<，即32ln 2e 10a a a --+<在122ea <<上恒成立，所以e 21a -<<.此时()0h x =即()0f x '=有两个零点，设为121e x x <<<，当()11,x x ∈和()2,e x 时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()12,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以1()(1)0f x f >=，2()(e)0f x f <=，则()f x 在()12,x x 上有零点，综上可得：e 21a -<<. 【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．④【答案】(1)()3π7π2π,2π44k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)(],1-∞ (3)1008π【分析】（1）对函数求导()π2sin 4xf x e x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，求增区间需要导函数大于等于0，求减区间需要导函数小于等于0，分别解不等式即可；（2）令()()sin xg x f x kx e x kx =-=-，要使()f x kx ≥恒成立，只需当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()min 0g x ≥，对该函数求导，分类讨论研究函数单调性，进而得到结果；（3）求出函数()F x 过点1,02M π-⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程，各切点的横坐标满足00πtan 22x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0x 为函数1tan y x =和2π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点的横坐标，这两个函数图像均关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则它们交点的横坐标也关于π2x =对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{}n x 的项也关于π2x =成对出现，从而根据对称性得出结果. (1)（()()πsin cos 2sin 4x xf x e x x e x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，增区间应满足：()0f x '>，22,4k x k k z ππππ≤+≤+∈减区间应该满足：()0f x '<，222,4k x k k z πππππ+≤+≤+∈（()f x 的增区间为()π3π2π,2π44k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；减区间为()3π7π2π,2π44k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.(2)令()()sin xg x f x kx e x kx =-=-要使()f x kx ≥恒成立，只需当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()min 0g x ≥，（()()sin cos xg x e x x k '=+-令()()sin cos x h x e x x =+，则()2cos 0xh x e x '=≥对π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，（()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则()π21,h x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（当1k ≤时，()0g x '≥恒成立，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，（()()min 00g x g ==，（1k ≤满足题意；（当π21k e <<时，()0g x '=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实根0x ，()h x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则当[)00,x x ∈时，()0g x '<，（()0(0)0g x g <=不符合题意； （当π2k e ≥时，()0g x '≤恒成立，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，（()()00g x g <=不符合题意，（1k ≤，即(],1k ∈-∞. (3)（()()()cos sin cos x x F x f x e x e x x =+=+（()2cos xF x e x '=，设切点坐标为()()0000,sin cos x x e x x +，则切线斜率为()0002cos xF x e x '=，从而切线方程为()()000000sin cos 2cos xxy e x x e x x x -+=-，（()0000000π1πsin cos 2cos tan 222x xex x e x x x x -⎛⎫⎛⎫-+=-⇔=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1tan y x =，2π22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，这两个函数的图象均关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，则它们交点的横坐标也关于π2x =对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{}n x 的项也关于π2x =成对出现，又在2015π2017π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦共有1008对，每对和为π. （1008πS =.⑤第11页共11页。
(完整版)导数与单调性习题
导数与单调性习题1、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是（ ）A ．)2,(-∞B ．(0,3)C ．(1,4)D ．),2(+∞2、设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）3函数x x y 142+=的单调递增区间是（ ）A ．),0(+∞ B ．),21(+∞ C ．)1,(--∞ D ．)21,(--∞ 4.求函数2()2ln f x x x =-的单调区间．5. 已知函数2()ln 3,f x x x x a R =+-∈．求()f x 的单调区间6．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2，则该函数的单调递减区间为( )A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，2] C ．(－∞，－1)和(1,2) D ．[2，＋∞)7．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图(1)所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )8．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2B.⎝⎛⎭⎫－π2，0和⎝⎛⎭⎫0，π2C.⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫π2，πD.⎝⎛⎭⎫－π2，0和⎝⎛⎭⎫π2，π 9．x y O 图1x y O A x y O B x y O C y OD x10．已知函数()2ln ()f x x ax a a R =-+∈.讨论()f x 的单调性11．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有( )A ．af (a )≤f (b )B ．bf (b )≤f (a )C ．af (b )≤bf (a )D ．bf (a )≤af (b )12．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)<2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)13.已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<014．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数，则b 的范围为________． 15．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a 的取值范围为________．16．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________．17．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．18．设函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2. 求f (x )的单调区间；19、函数3()f x ax x =-在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是______________．20. 已知函数()22ln f x x a x x=++在区间[2,3]上单调递增，求实数a 的取值范围21.已知函数32()f x x ax bx c =+++，()124g x x =-，若(1)0f -=，且()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为()y g x =．（1）求实数a ，b ，c 的值；（2）求单调区间。
导数与函数的单调性训练题
导数与函数的单调性训练题一、题点全面练1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．f (x )＝x e xC ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )＝x e x在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＞0，得x ＞33或x ＜－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.2．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的大致图象是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，则g ′(x )2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，结合选项知选A.3．若函数f (x )＝(x 2－cx ＋5)e x在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．(－∞，8]D ．[－2,4]解析：选B f ′(x )＝[x 2＋(2－c )x －c ＋5]e x，∵函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，∴x 2＋(2－c )x －c ＋5≥0对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，即(x ＋1)c ≤x 2＋2x ＋5对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，∴c ≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c ≤4.4．(2019·咸宁联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(4，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(0,3]解析：选A ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x ＞0)，由x －9x ≤0，得0＜x ≤3，∴f (x )在(0,3]上是减函数，则[a －1，a ＋1]⊆(0,3]，∴a －1＞0且a ＋1≤3，解得1＜a ≤2.5．(2019·南昌联考)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sinx －x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (3)，c ＝f (0)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选A ∵函数f (x ＋1)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，b ＝f (3)，c ＝f (0)＝f (2)．又∵当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，∴当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝cos x －1≤0，即f (x )＝sin x －x 在(1，＋∞)上为减函数，∴b ＜a ＜c .6．已知函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________________．解析：由f (x )图象特征可得，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12和[2，＋∞)上f ′(x )≥0, 在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上f ′(x )＜0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，f x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，f x ⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 7．(2019·岳阳模拟)若函数f (x )＝x 2－e x－ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝x 2－e x－ax 在R 上存在单调递增区间， ∴f ′(x )＝2x －e x－a ＞0，即a ＜2x －e x有解． 设g (x )＝2x －e x，则g ′(x )＝2－e x， 令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，则当x ＜ln 2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ＞ln 2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2. 答案：(－∞，2ln 2－2)8．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)， 由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，解得a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x＝x －x －x.令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝3. 当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0； 当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故函数f (x )的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2,3)．9．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x－ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性． 解：(1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x－e x －1， ∴f ′(x )＝e x－e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1. (2)∵f (x )＝e x－ax －1，∴f ′(x )＝e x－a . 易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞1时，由f ′(x )＝e x－a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(2019·南昌模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且f (x 1)＜f (x 2)，那么( )A ．x 1－x 2＞0B ．x 1＋x 2＞0C ．x 21－x 22＞0D ．x 21－x 22＜0解析：选D 由f (x )＝x sin x ，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＝cos x (tan x ＋x )，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )＞0，即f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，又∵f (－x )＝－x sin(－x )＝x sinx ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∴当f (x 1)＜f (x 2)时，有f (|x 1|)＜f (|x 2|)，∴|x 1|＜|x 2|，x 21－x 22＜0，故选D.2．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝x －1x＜0，得0＜x ＜1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1)．答案：(0,1)3．(2019·郴州模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－x －x －x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案：(0,1)∪(2,3) (二)素养专练——学会更学通4.[直观想象]已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，∴f ′(x )＜0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，∴f ′(x )＞0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此排除A 、B 、D ，故选C.5．[逻辑推理]已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号，所以f (x )在其定义域内单调递增． 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)， 所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，126．[逻辑推理、数学运算]已知f (x )＝ax －1x，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数．(1)求函数y ＝g (x )的图象在点P (1，g (1))处的切线方程； (2)设F (x )＝f (x )－g (x )，讨论函数F (x )的单调性． 解：(1)因为g (x )＝ln x (x ＞0)，所以g (1)＝0，g ′(x )＝1x，g ′(1)＝1，故函数g (x )的图象在P (1，g (1))处的切线方程是y ＝x －1. (2)因为F (x )＝f (x )－g (x )＝ax －1x－ln x (x ＞0)，所以F ′(x )＝a ＋1x 2－1x ＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122－14.①当a ≥14时，F ′(x )≥0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＝0时，F ′(x )＝1－xx2，F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；③当0＜a ＜14时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a2a＞0，且x 2＞x 1， 故F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，1＋1－4a 2a 上单调递减；④当a ＜0时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a2a＜0， F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，＋∞上单调递减． (三)难点专练——适情自主选7．已知函数f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝e ax＋2x ，其中a ∈R. (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值；(2)若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x －ln x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝2－1x，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝12处取得极小值，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1＋ln 2，无极大值．(2)由题意知，f ′(x )＝a －1x，g ′(x )＝a e ax＋2，①当a ＞0时，g ′(x )＞0，即g (x )在R 上单调递增，而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递增，故必存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上单调递增；②当a ＝0时，f ′(x )＝－1x＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故不存在满足条件的区间D ；③当a ＜0时，f ′(x )＝a －1x＜0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ，＋∞上单调递增，若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上有相同的单调性，则有1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＞0，解得a ＜－2.综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．。
高中数学函数的单调性与导数综合测试题(含答案)
高中数学函数的单调性与导数综合测试题(含答案)选修2-2 1.3.1 函数的单调性与导数一、选择题1．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是()A．b2－4ac0 B．b0，c0C．b＝0，c D．b2－3ac0[答案] D[解析]∵a0，f(x)为增函数，f(x)＝3ax2＋2bx＋c0恒成立，＝(2b)2－43ac＝4b2－12ac0，b2－3ac0.2．(2009广东文，8)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是() A．(－，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋)[答案] D[解析]考查导数的简单应用．f(x)＝(x－3)ex＋(x－3)(ex)＝(x－2)ex，令f(x)0，解得x2，故选D.3．已知函数y＝f(x)(xR)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k ＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的单调递减区间为()A．[－1，＋) B．(－，2]C．(－，－1)和(1,2) D．[2，＋)[答案] B[解析]令k0得x02，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(－，2]．4．已知函数y＝xf(x)的图象如图(1)所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()[答案] C[解析]当01时xf(x)0f(x)0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数当x1时xf(x)0，f(x)0，故y＝f(x)在(1，＋)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.5．函数y＝xsinx＋cosx，x(－)的单调增区间是()A.－，－2和0，2B.－2，0和0，2C.－，－2，D.－2，0和[答案] A[解析]y＝xcosx，当－x2时，cosx0，y＝xcosx0，当02时，cosx0，y＝xcosx0.6．下列命题成立的是()A．若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0B．若在(a，b)内对任何x都有f(x)0，则f(x)在(a，b)上是增函数C．若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f(x)必存在D．若f(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数[答案] B[解析]若f(x)在(a，b)内是增函数，则f(x)0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．7．(2019福建理，11)已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时()A．f(x)0，g(x) B．f(x)0，g(x)0C．f(x)0，g(x) D．f(x)0，g(x)0[答案] B[解析]f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，x0时，f(x)0，g(x)0. 8．f(x)是定义在(0，＋)上的非负可导函数，且满足xf(x)＋f(x)0，对任意正数a、b，若ab，则必有()A．af(a)f(b) B．bf(b)f(a)C．af(b)bf(a) D．bf(a)af(b)[答案] C[解析]∵xf(x)＋f(x)0，且x0，f(x)0，f(x)－f(x)x，即f(x)在(0，＋)上是减函数，又0＜a＜b，af(b)bf(a)．9．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f(x)0，则必有()A．f(0)＋f(2)2f(1) B．f(0)＋f(2)2f(1)C．f(0)＋f(2)2f(1) D．f(0)＋f(2)2f(1)[答案] C[解析]由(x－1)f(x)0得f(x)在[1，＋)上单调递增，在(－，1]上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)＋f(2)2f(1)．故应选C.10．(2019江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S(t)的图像大致为[答案] A[解析]由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增减增减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.二、填空题11．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．[答案]b－1或b2[解析]若y＝x2＋2bx＋b＋20恒成立，则＝4b2－4(b＋2)0，－12，由题意b＜－1或b＞2.12．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋)内恒成立，实数a的取值范围为________．[答案]a1[解析]由已知a＞1＋lnxx在区间(1，＋)内恒成立．设g(x)＝1＋lnxx，则g(x)＝－lnxx2＜0(x＞1)，g(x)＝1＋lnxx在区间(1，＋)内单调递减，g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，1＋lnxx＜1在区间(1，＋)内恒成立，a1.13．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．[答案](－，－1)[解析]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋)(－，－1)，令f(x)＝x2－x－2，f(x)＝2x－10，得x12，函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－，－1)．14．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．[答案][3，＋)[解析]y＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax0在区间(0,2)内恒成立，即a32x在区间(0,2)上恒成立，a3.三、解答题15．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．[解析](1)求导得f(x)＝3x2－6ax＋3b.由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f(1)＝－12，即1－3a＋3b＝－113－6a＋3b＝－12，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得f(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)．令f(x)0，解得x－1或x3；又令f(x)0，解得－13.所以当x(－，－1)时，f(x)是增函数；当x(3，＋)时，f(x)也是增函数；当x(－1,3)时，f(x)是减函数．16．求证：方程x－12sinx＝0只有一个根x＝0.[证明]设f(x)＝x－12sinx，x(－，＋)，则f(x)＝1－12cosx＞0，f(x)在(－，＋)上是单调递增函数．而当x＝0时，f(x)＝0，方程x－12sinx＝0有唯一的根x＝0.17．已知函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．[分析]可先由函数y＝ax与y＝－bx的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．[解析]∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋)上都是减函数，a ＜0，b＜0.由y＝ax3＋bx2＋5得y＝3ax2＋2bx.令y＞0，得3ax2＋2bx＞0，－2b3a＜x＜0.当x－2b3a，0时，函数为增函数．令y＜0，即3ax2＋2bx＜0，x＜－2b3a，或x＞0.在－，－2b3a，(0，＋)上时，函数为减函数．18．(2019新课标全国文，21)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围．[解析](1)a＝12时，f(x)＝x(ex－1)－12x2，f(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x(－，－1)时，f(x)0；当x(－1,0)时，f(x)0；当x(0，＋)时，f(x)0.故f(x)在(－，－1]，[0，＋)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．令g(x)＝ex－1－ax，则g(x)＝ex－a.“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
导数单调性同步练习题及答案
导数单调性一、单选题1．函数的递增区间为（）A．B．C．D．2．已知，，且成立，则下列不等式不可能成立的是（）A．B．C．D．3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A．B．C．D．4．函数的图象大致为（）A．B．C．D．5．已知函数，若在上的最大值为4，则在上的最小值为（）A．-4B．C．-1D．26．已知函数，则的最大值的最小值是（）A．B．C．1D．27．已知各项均为正数的数列满足，，其前n项和为，则下列关于数列的叙述错误的是()A．B．C．D．二、多选题8．已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确的是（）A．点是函数的零点B．，，使C．是的极大值点D．的取值范围是9．已知函数，则（）A．是偶函数B．存在实数使得，C．在上单调递增D．存在极值点三、填空题10．已知定义在R上的函数的导函数，且，则实数的取值范围为__________. 11．函数的最大值为______．四、解答题12．已知函数，.(1)若，求的单调区间；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.13．己知函数.(1)当时，求的单调区间.(2)存在，使得成立，求整数的最小值.14．已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．15．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝x＋(b＞0)．16．用导数证明：(1)在区间上是增函数；(2)在区间上是减函数．17．证明：(1)函数在定义域上是减函数；(2)函数在区间上是增函数．18．确定下列函数的单调区间：(1)；(2)．19．设函数．(1)若，求函数的单调区间；(2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．20．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，设，求函数的单调区间. 21．试确定函数的单调区间．22．已知函数．(1)若，求证：函数在R上单调递增；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的最小值．23．已知函数，，均为不足近似值.(1)当时，判断函数的单调性；(2)证明：当时，不等式恒成立.24．已知函数其中.(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，函数有两个零点，，满足，证明.25．已知函数.(1)若，讨论的单调性；(2)若，是函数的两个不同的零点，证明：.26．已知函数，．(1)求的单调区间；(2)证明：；(3)若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数）．求的最大值．27．已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若，求证：.参考数据：.28．已知函数，.(1)若，求函数的单调区间；(2)若，且，证明：.29．已知函数的图象曲线C满足以下两个特性：①过点存在两条直线与曲线C相切；②曲线C上有A，B两点，其横坐标分别为，，且满足两点在曲线C上等高.请完成以下两个问题.(1)求实数t的取值范围；(2)若，且，求k值.30．已知函数，其中.(1)当时，求函数的单调性；(2)若对，不等式在上恒成立，求的取值范围.参考答案1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．21．22．23．24．25．26．27．28．29．30．第11页共11页。
(完整版)导数与函数的单调性练习题
2.2.1导数与函数的单调性基础巩固题：1.函数f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0<a<21 B.a<-1或a>21 C.a>21D.a>-2答案：C 解析：∵f(x)=a+221+-x a 在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即a>21.2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0,1)上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a <－4C ．a ≥0或a ≤－4D ．a >0或a <－4答案：C 解析：∵f ′(x )＝2x ＋2＋ax ，f (x )在(0,1)上单调， ∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立，即2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在(0,1)上恒成立， 所以a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋2x ),0<x <1，可知－4<g (x )<0， ∴a ≥0或a ≤－4，故选C.3．函数f (x )＝x ＋9x 的单调区间为________．答案：(－3,0)，(0,3) 解析：f ′(x )＝1－9x 2＝x 2－9x2，令f ′(x )<0，解得－3<x <0或0<x <3，故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．4 函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________答案：2(0,)3 ； 2(,0),(,)3-∞+∞ 解析： '22320,0,3y x x x x =-+===或 5．确定下列函数的单调区间:(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3 (1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1) 令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1. ∴y =3x －x 3的单调增区间是(－1，1).令－3(x +1)(x －1)＜0，解得x ＞1或x ＜－1.∴y =3x －x 3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞) 6．函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________．[答案] (－∞，－1) [解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得x <12，∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)7．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数，则b 的范围为________．[答案] b <－1或b >2 [解析] 若y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，则Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0，∴－1≤b ≤2，由题意b ＜－1或b ＞2.8.已知x ∈R,求证：e x ≥x +1．证明:设f （x ）=e x －x －1,则f ′（x ）=e x －1．∴当x =0时，f ′（x ）=0,f （x ）=0．当x ＞0时，f ′（x ）＞0,∴f （x ）在（0,+∞）上是增函数．∴f （x ）＞f （0）=0． 当x ＜0时，f ′（x ）＜0,f （x ）在（－∞,0）上是减函数，∴f （x ）＞f （0）=0．9．已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间. 解：y ′=(x +x 1)′=1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=- 令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1.∴y =x +x 1的单调增区间;是(－∞，－1)和(1，+∞).令2)1)(1(xx x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y =x +x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)10．已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x ．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间． 解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P （0，2），知d=2， 所以,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++=' 由在M(-1,f(-1))处的切线方程是76=+-y x ， 知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即{{326,23,12 1.0,3.b c b c b c b c b c -+=-=-∴-+-+=-===-即解得 故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （Ⅱ）22()36 3.3630,f x x x x x '=----=令2210.x x --=即 解得 .21,2121+=-=x x当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或 当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,()(--∞在x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数． 点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．11.已知函数f(x)=x 3-21x 2+bx+c.(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b 的取值范围;解 （1）)(x f '=3x 2-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则)(x f '≥0.即3x 2-x+b≥0,∴b≥x -3x 2在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x 2.当x=61时，g(x)max =121,∴b≥121. 12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a 的取值范围.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x 3-(a+1)x 2+ax ∴)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 在（2，+∞）上满足)(x f '≥0即可.∵)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 的对称轴是x=31+a ,∴a 的取值应满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥'≤+0(2)231f a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+'>+0)31(231a f a 解得:a≤38.∴a 的取值范围是a≤38.13．已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．14.已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，)1(-f ）处的切线方程076=+-y x ，（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）求函数)(x f y =的单调区间。
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2.2.1导数与函数的单调性基础巩固题：1.函数f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0<a<21 B.a<-1或a>21 C.a>21D.a>-2答案：C 解析：∵f(x)=a+221+-x a 在(-2,+∞)递增，∴1-2a<0,即a>21.2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0,1)上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a <－4C ．a ≥0或a ≤－4D ．a >0或a <－4答案：C 解析：∵f ′(x )＝2x ＋2＋ax，f (x )在(0,1)上单调， ∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立，即2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在(0,1)上恒成立， 所以a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋2x ),0<x <1，可知－4<g (x )<0， ∴a ≥0或a ≤－4，故选C.3．函数f (x )＝x ＋9x的单调区间为________．答案：(－3,0)，(0,3) 解析：f ′(x )＝1－9x 2＝x 2－9x2，令f ′(x )<0，解得－3<x <0或0<x <3，故单调减区间为(－3,0)和(0,3)．4 函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________答案：2(0,)3 ； 2(,0),(,)3-∞+∞ 解析： '22320,0,3y x x x x =-+===或 5．确定下列函数的单调区间:(1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3 (1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1) 令－3(x +1)(x －1)＞0，解得－1＜x ＜1. ∴y =3x －x 3的单调增区间是(－1，1).令－3(x +1)(x －1)＜0，解得x ＞1或x ＜－1.∴y =3x －x 3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞) 6．函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________．[答案] (－∞，－1) [解析] 函数y ＝ln(x 2－x －2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f (x )＝x 2－x －2，f ′(x )＝2x －1<0，得x <12，∴函数y ＝ln(x 2－x －2)的单调减区间为(－∞，－1)7．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3在R 上不是单调增函数，则b 的范围为________．[答案] b <－1或b >2 [解析] 若y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0恒成立，则Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0，∴－1≤b ≤2，由题意b ＜－1或b ＞2.8.已知x ∈R ,求证：e x ≥x +1．证明:设f （x ）=e x －x －1,则f ′（x ）=e x －1．∴当x =0时，f ′（x ）=0,f （x ）=0．当x ＞0时，f ′（x ）＞0,∴f （x ）在（0,+∞）上是增函数．∴f （x ）＞f （0）=0． 当x ＜0时，f ′（x ）＜0,f （x ）在（－∞,0）上是减函数，∴f （x ）＞f （0）=0．9．已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间. 解：y ′=(x +x 1)′=1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=- 令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1.∴y =x +x 1的单调增区间;是(－∞，－1)和(1，+∞).令2)1)(1(xx x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y =x +x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)10．已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x ．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间． 解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P （0，2），知d=2， 所以,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++=' 由在M(-1,f(-1))处的切线方程是76=+-y x ， 知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即{{326,23,12 1.0,3.b c b c b c b c b c -+=-=-∴-+-+=-===-即解得 故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （Ⅱ）22()36 3.3630,f x x x x x '=----=令2210.x x --=即 解得 .21,2121+=-=x x当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或 当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,()(--∞在x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数． 点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．11.已知函数f(x)=x 3-21x 2+bx+c.(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b 的取值范围; 解 （1）)(x f '=3x 2-x+b,因f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，则)(x f '≥0.即3x 2-x+b≥0,∴b≥x -3x 2在（-∞，+∞）恒成立.设g(x)=x-3x 2.当x=61时，g(x)max =121,∴b≥121. 12.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a 的取值范围.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x 3-(a+1)x 2+ax ∴)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在（2,+∞)上是增函数，只需)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 在（2，+∞）上满足)(x f '≥0即可.∵)(x f '=3x 2-2(a+1)x+a 的对称轴是x=31+a ,∴a 的取值应满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥'≤+0(2)231f a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+'>+0)31(231a f a 解得:a≤38.∴a 的取值范围是a≤38.13．已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．点拨：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．14.已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，)1(-f ）处的切线方程076=+-y x ，（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）求函数)(x f y =的单调区间。
解：（1）由)(x f 的图象经过P （0，2），知2=d ，所以2)(23+++=cx bx x x f ，c bx x x f ++='23)(2 由在点M （)1(,1--f ）处的切线方程为076=+-y x∴ 6)1(,1)1(=-'=-f f 即 ∴ ⎩⎨⎧=+-+-=+-121623c b c b 解得3-==c b故所求的解析式是233)(23+--=x x x x f（2）363)(2--='x x x f 令03632=--x x ，解得21,2121+=--x x当21-<x 或21+>x 时，0)(>'x f当2121+<<-x 时，0)(<'x f 故23)(23+-=x x x f 在)21,(--∞内是增函数，在)21,21(+-内是减函数在),21(+∞+内是增函数点拨：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．15．已知函数f (x )＝2x －b(x －1)2，求导函数f ′(x )，并确定f (x )的单调区间．解析：f ′(x )＝2(x －1)2－(2x －b )·2(x －1)(x －1)4＝－2x ＋2b －2(x －1)3＝－2[x －(b －1)](x －1)3令f ′(x )＝0，得x ＝b －1且x ≠1.当b －1x(－∞，b －1)b －1(b －1,1)(1，＋∞)当b －1(1，＋∞)上单调递减．当b ＞2时，函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，b －1)上单调递增，在(b －1，＋∞)上单调递减．当b －1＝1，即b ＝2时，f (x )＝2x －1，所以函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递减．强化提高题：16．设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( ) A ．f (x )g (b )>f (b )g (x ) B ．f (x )g (a )>f (a )g (x ) C ．f (x )g (x )>f (b )g (b ) D ．f (x )g (x )>f (b )g (a )答案：C 解析：令y ＝f (x )·g (x )，则y ′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )，由于f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，所以y 在R 上单调递减，又x <b ，故f (x )g (x )>f (b )g (b )．17．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________．[答案] [3，＋∞)[解析] y ′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax <0在区间(0,2)内恒成立， 即a >32x 在区间(0,2)上恒成立，∴a ≥3.18．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a 的取值范围为________．[答案] a ≥1[解析] 由已知a ＞1＋ln xx在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln xx 2＜0 (x ＞1)，∴g (x )＝1＋ln x x 在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g (x )＜g (1)， ∵g (1)＝1， ∴1＋ln xx ＜1在区间(1，＋∞)内恒成立， ∴a ≥1.19．函数y ＝x 2e －x 的单调递增区间是________．答案：(0,2)解析：y ′＝(2x －x 2)e －x ＞0⇔0＜x ＜2，故选填(0,2)．20 若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是答案：0,3a b ac >≤且 解析： '2()320f x ax bx c =++>恒成立，则220,0,34120a ab ac b ac >⎧><⎨∆=-<⎩且 21．若函数y =－34x 3+bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________． 答案：b >0 解析： y ′=－4x 2+b ，若y ′值有正、有负，则b >0．22.定义在R 上的奇函数f(x)在［-a,-b ］(a>b>0)上是减函数且f(-b)>0,判断F （x ）=［f(x)］2在［b,a ］上的单调性并证明你的结论.解析：设b ≤x 1<x 2≤a,则 -b ≥-x 1>-x 2≥-a.∵f(x)在［-a,-b ］上是减函数,∴0<f(-b)≤f(-x 1)<f(-x 2)≤f(-a),∵f(x)是奇函数,∴0<-f(x 1)<-f(x 2)，则f(x 2)<f(x 1)<0,［f(x 1)］2<［f(x 2)］2,即F(x 1)<F(x 2). ∴F(x)在［b,a ］上为增函数.23．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性． [解析] (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3 得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)． 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.所以当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数；当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数；当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数．24．若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围．解：2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---， 令()0f x '=得1x =或1x a =-，∴当(1,4)x ∈时，()0f x '≤，当(6,)x ∈+∞时，()0f x '≥， ∴416a ≤-≤，∴57a ≤≤．25.设函数f(x)=x+xa(a>0).(1)求函数在（0，+∞）上的单调区间，并证明之；（2）若函数f(x)在［a-2,+∞］上递增，求a 的取值范围.解析：（1）f(x)在(0,+∞)上的增区间为［a ,+∞］，减区间为（0，a ）. 证明：∵f ′(x)=1-2xa,当x ∈［a ,+∞］时，∴f ′(x)>0,当x ∈（0，a ）时，f ′(x)<0.即f(x)在［a +∞］上单调递增，在（0，a ）上单调递减.（或者用定义证） （2）［a-2,+∞］为［a ，+∞］的子区间，所以a-2≥a ⇒a-a -2≥0⇒(a +1)( a -2)≥0⇒a -2≥0⇒a ≥4.26．已知函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．解析： 可先由函数y ＝ax 与y ＝－bx 的单调性确定a 、b 的取值范围，再根据a 、b 的取值范围去确定y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．[解] ∵函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a ＜0，b ＜0.由y ＝ax 3＋bx 2＋5得y ′＝3ax 2＋2bx . 令y ′＞0，得3ax 2＋2bx ＞0，∴－2b3a ＜x ＜0.∴当x ∈⎝⎛⎭⎫－2b3a ，0时，函数为增函数． 令y ′＜0，即3ax 2＋2bx ＜0， ∴x ＜－2b3a，或x ＞0.∴在⎝⎛⎭⎫－∞，－2b3a ，(0，＋∞)上时，函数为减函数． 27 设xx e aa e x f a +=>)(,0是R 上的偶函数，（1）求a 的值；（2）证明)(x f 在（0，+∞）上是增函数。