高二数学选修2-2练习题(二)
(北师大版)上海市高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试(含答案解析)
一、选择题1．如图，()y f x =是可导函数，直线l ：2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令2()()g x x f x =，()g x '是()g x 的导函数，则()3g '等于（ ）A ．3B ．0C ．2D ．42．已知a ，b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11ab+的最小值是( ) A ．2B ．42C ．4D ．223．若曲线()xf x mx e n =⋅+在点()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +的值为（ ） A ．12e + B ．12e - C ．12D ．2e 4．函数()2221sin cos 622x xf x x =+-的导函数()y f x '=的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知()ln f x x =，217()(0)22g x x mx m =++<，直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，且与()f x 图象的切点为(1,(1))f ，则m 的值为( ) A ．2-B ．3-C ．4-D ．1-6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 014x 1＋log 2014x 2＋…＋log 2 014x 2 013的值为()A ．－log 2 0142 013B ．－1C ．(log 2 0142 013)－1D ．17．已知直线:l y m =，若l 与直线23y x =+和曲线ln(2)y x =分别交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为A ．1B ．2C ．455D ．2558．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．[0，π)C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[0，4π]∪[2π，34π]9．函数为R 上的可导函数，其导函数为()f x '，且()3sin cos 6f x f x x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭'，在ABC ∆中，()()1f A f B ='=，则ABC ∆的形状为 A ．等腰锐角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰钝角三角形10．已知函数()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '<，则有（ ） A ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f < B ．2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f > C ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f > D ．2019(2019)(0)e f f ->，2019(2019)(0)f e f <11．设函数sin cos y x x x =+的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，记()0k g x =，则函数()k g x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．函数f （x ）=﹣12x 2+12在x=1处的切线的斜率为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1二、填空题13．设点P 是曲线3233y x x =-+上的任意一点，P 点处的切线倾斜角为σ，则σ的取值范围为____________. 14．已知函数4()ln 2f x x x xλλ=+-≥，，曲线()y f x =上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，则x 1+x 2的取值范围为_______． 15．在曲线3211333y x x x =-+-的所有切线中，斜率最小的切线方程为______． 16．若直线y kx b =+是曲线ln 3y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =______17．函数在处的切线与直线垂直，则a 的值为______．18．若以曲线()y f x =上任意一点(,)M x y 为切点作切线l ，曲线上总存在异于M 的点11(,)N x y ，以点N 为切点作线1l ，且1//l l ，则称曲线()y f x =具有“可平行性”，下列曲线具有可平行性的编号为__________．（写出所有的满足条件的函数的编号） ①1y x=②3y x x =- ③cos y x = ④2(2)ln y x x =-+ 19．设()()()sin 2',''32f x x xf f x f x f ππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是的导函数，则___________. 20．过点()1,1-与曲线()32f x x x =-相切的直线方程是__________．三、解答题21．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C . (1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．22．已知函数()mf x mx x=-，()2ln g x x =. （1）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）当1m =时，判断方程()()f x g x =在区间(1)+∞，上有无实根；（3）若(1]x e ∈，时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围. 23．求下列函数的导数： （1）()(1sin )(14)f x x x =+-； （2）()21x xf x x =-+. 24．设函数()bf x ax x=-，曲线y =f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为7x -4y -（1）求y =f （x ）的解析式；（2）证明：曲线y =f （x ）上任一点处的切线与直线x =0和直线y =x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．25．（1）函数()(1sin )f x x x =+的导数为()'f x ，求2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭； （2）设l 是函数1y x=图象的一条切线，证明：l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．26．已知函数()()1ln 1x f x x++=和()()1ln 1g x x x =--+（1）若()f x '是()f x 的导函数，求(1)f '的值 （2）当0x >时，不等式()()0g x f x kx'->恒成立，其中()g x '是()g x 导函数,求正整数k 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线求出=(3)k f ，由图(3)=1f ，对2()()g x x f x =求导取值可得.【详解】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线,所以切点(3,1)代入切线方程得1=(3)=3k f ，又(3)=1f 2()()g x x f x =，2()2()+()g x xf x x f x ''=，(3)6(3)+9(3)=3g f f ''∴=故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义.根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点00)(P x y ，既在曲线上又在切线上构造方程组求解．2．C【分析】求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得1a b +=，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值． 【详解】解：()y ln x b =+的导数为1y x b'=+， 由切线的方程y x a =-可得切线的斜率为1， 可得切点的横坐标为1b -，所以切点为(1,0)b -， 代入y x a =-，得1a b +=，a 、b 为正实数，则111()()22241b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++=． 当且仅当12a b ==时，11a b+取得最小值4． 故选：C 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题．3．A解析：A 【分析】求导得到()()'1xf x m x e =+⋅，由已知得()1f e =，()1f e '=，解得答案.【详解】()x f x mx e n =⋅+，则()()'1x f x m x e =+⋅，故()1f e =，()1f e '=，()11me n e m e e +=⎧∴⎨+=⎩，解得122m en ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12e m n ++=. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.4．C解析：C 【分析】将函数()y f x =的解析式化简，求出其导数()1sin 3f x x x '=+，，然后结合导函数的符号排除错误选项即可确定导函数的图像.因为()222211sin cos cos 6226x x f x x x x =+-=-，()1sin 3f x x x '∴=+. 当03x <≤时，103x >，sin 0x >，则()1sin 03f x x x '=+>； 当3x >时，113x >，1sin 1x -≤≤，则()1sin 03f x x x '=+>. 所以，当0x >时，()1sin 03f x x x '=+>，排除ABD 选项， 故选：C. 【点睛】本题考查函数图象的识别，给定函数解析式，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性（导数）、特殊值符号、零点等知识进行逐一排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．A解析：A 【分析】先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果. 【详解】 1()f x x'=， 直线l 是函数()f x lnx =的图象在点(1,0)处的切线，∴其斜率为k f ='（1）1=， ∴直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图象相切，∴211722y x y x mx =-⎧⎪⎨=++⎪⎩，消去y ，可得219(1)022x m x +-+=，得△2(1)902(4m m m =--=⇒=-=不合题意，舍去）， 故选A 【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识 的理解掌握水平和分析推理能力.6．B解析：B 【解析】 【分析】由题意，求出y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线方程，取0y =，求得n x ，再利用对数的运算性质可得答案. 【详解】由y ＝x n ＋1，可得(1)n y n x =+'，即11x y n ='=+即曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-令0y =，得1n n x n =+ log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013=20141220132014122013log ()log ()1232014x x x =⋅=- 故选B 【点睛】本题考查了曲线的切线方程和对数的运算，细心计算是解题的关键，属于中档题.7．B解析：B 【分析】利用导数求出与直线23y x =+平行的曲线的切线的切点，利用点到直线的距离可得. 【详解】1y x '=,令12x =可得12x =，所以切点为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭. 根据题意可知1,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭且0m =，所以3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时2AB =.故选B. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义.已知切线的斜率，结合导数可得切点.8．A解析：A 【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则，3tan cos 1tan 1[0,][,)44k x ππαααπ==∴-≤≤∴∈⋃，故选A.9．D解析：D 【解析】 【分析】求函数的导数，先求出'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后利用辅助角公式进行化简，求出A ，B 的大小即可判断三角形的形状． 【详解】函数的导数()''cos sin 6f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则131''cos sin ''666662262f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11'262f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()'sin 2cos 6f x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭， ()cos 2cos 3f x x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()'1f A f B ==，()'2cos 16f B B π⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，即1cos 62B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则63B ππ+=，得6B π=，()2cos 13f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1cos 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则33A ππ-=，则23A π=， 则2366C ππππ=--=， 则B C =，即ABC 是等腰钝角三角形， 故选D ． 【点睛】本题考查三角形形状的判断，根据导数的运算法则求出函数()f x 和()'f x 的解析式是解决本题的关键．10．B解析：B 【分析】 令()()xf xg x e=，x ∈R ．()()()x f x f x g x e '-'=，根据x R ∀∈，均有()()f x f x '<，可得函数()g x 的单调性，进而得出结论． 【详解】 解：令()()x f x g x e=，x ∈R ．()()()xf x f xg x e '-'=， x R ∀∈，均有()()f x f x '<， ()g x ∴在R 上单调递增，(2019)(0)(2019)g g g ∴-<<，可得：2019(2019)(0)e f f -<，2019(2019)(0)f e f >． 故选B ． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．A解析：A 【详解】因为sin cos ,sin cos sin cos y x x x y x x x x x x '=+=+-=， 则()cos g x x x =，该函数为奇函数，排除B 、C ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0>g x ，排除D. 故选:A12．B解析：B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可知(1)k f '=，求导后计算即可. 【详解】 因为()f x x '=-,所以 (1)1k f '==- ，故选B. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于容易题.二、填空题13．【分析】设点根据导数的几何意义求得即可得到答案【详解】设点由函数可得可得即又由所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及其应用其中解答中熟记导数的几何意义准确计算是解答的关键着重考查推理与解析：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】设点00(,)P x y ，根据导数的几何意义，求得tan σ≥.【详解】设点00(,)P x y，由函数323y x =+，可得23y x '=可得020|3x x y x ='=，即tan σ≥ 又由[)0,σπ∈，所以20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭. 故答案为：20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【分析】求出导函数根据题意转化为对恒成立即可得解【详解】曲线上总存在两点M （x1y1）N （x2y2）使曲线在MN 两点处的切线互相平行即所以对恒成立所以x1+x2的取值范围为故答案为：【点睛】此题考查解析：()8+∞，【分析】求出导函数24()1f x x x λ'=--，根据题意转化为()()212121244x x x x x x λλ++=<对2λ≥恒成立，即可得解.【详解】4()ln 2f x x x x λλ=+-≥，，24()1f x x xλ'=--，曲线()y f x =上总存在两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）使曲线()y f x =在M 、N 两点处的切线互相平行，即121212()(),,0,0f x f x x x x x ''=≠>>，2211224411x x x x λλ--=--， 22121244x x x x λλ-=-，()()212121244x x x x x x λλ++=<所以1216x x λ+>对2λ≥恒成立所以x 1+x 2的取值范围为()8+∞，. 故答案为：()8+∞，【点睛】此题考查导数的几何意义，根据导数的几何意义解决切线斜率相等的问题，求切点横坐标之和的取值范围，利用基本不等式构造不等关系求解.15．【解析】【分析】根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率先求出导函数利用配方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率再用点斜式写出化简【详解】曲线时切线最小斜率为2此时切线方程为即故答案为：【点 解析：20x y -=【解析】 【分析】根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率，先求出导函数()f x '，利用配方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率，再用点斜式写出化简． 【详解】曲线3211333y x x x =-+-，223y x x ∴'=-+，1x ∴=时，切线最小斜率为2，此时，32111131233y =⨯-+⨯-=．∴切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=．故答案为：20x y -=． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及二次函数的最值等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题．16．【分析】对两条曲线对应的函数求导设出两个切点的横坐标令它们的导数相等求出两条曲线在切点处的切线方程对比系数求得的值【详解】依题意设直线与相切切点的横坐标为即切点为设直线与相切切点的横坐标为即切点为令 解析：2ln 3-【分析】对两条曲线对应的函数求导，设出两个切点的横坐标，令它们的导数相等，求出两条曲线在切点处的切线方程，对比系数求得b 的值. 【详解】依题意，()()''11ln 3,ln 11x x x x +=+=⎡⎤⎣⎦+，设直线y kx b =+与ln 3y x =+相切切点的横坐标为0x ，即切点为()00,ln 3x x +，设直线y kx b =+与()ln 1y x =+相切切点的横坐标为1x ，即切点为()()11,ln 1x x +，令01111x x =+，解得101x x =-，故直线y kx b =+与()ln 1y x =+相切切点为()001,ln x x -.由此求出两条切线方程为()()0001ln 3y x x x x -+=-和()0001ln 1y x x x x -=-+；即001ln 2y x x x =++和000111ln y x x x x =-++，故0001ln 21ln x x x +=-++，013x =，故0ln 22ln3b x =+=-.【点睛】本小题主要考查两条曲线共切线方程的问题，考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于中档题.17．0【解析】【分析】求函数的导数根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果【详解】因为函数y=(x+a)ex 在x=0处的切线与直线x+y+1=0垂直所以函数y=(x+ 解析：【解析】 【分析】求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直时直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可得结果. 【详解】 因为函数在处的切线与直线垂直，所以函数在处的切线斜率，因为，所以，解得，故答案是0. 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究曲线上某点处的切线的问题，涉及到的知识点有两直线垂直的条件，导数的几何意义，以及函数的求导公式，属于中档题目.18．①③【解析】因为；因为不存在异于的点；因为总存在异于的点满足条件；因为不存在异于的点；所以选①③解析：①③ 【解析】 因为122111y x x x x x =-=-∴=-'≠取 ； 因为231,0y x x =-='时不存在异于M 的点N ；因为1sin sin y x x =-=-'∴总存在异于M 的点N 满足条件；因为212412(2)x x y x x x ='-+=-+，22x =不存在异于M 的点N ；所以选①③19．-1【解析】∵令可得：解得则解析：-1 【解析】∵()2(),()2()33f x sinx xf f x cosx f ππ=+'∴'=+'，令3x π=,可得：()2()333f cos f πππ'=+' ,解得1()32f π'=- ， 则1()2()1222f cosππ'=+⨯-=- 20．或【解析】由题意可得：设曲线上点的坐标为切线的斜率为切线方程为：(*)切线过点则：解得：或将其代入(*)式整理可得切线方程为：或点睛：曲线y ＝f(x)在点P(x0y0)处的切线与过点P(x0y0)的解析：20x y --=或5410x y +-= 【解析】由题意可得：()2'32f x x =-，设曲线上点的坐标为()3000,2x x x -，切线的斜率为2032k x =-，切线方程为：()()()320000232y x x x x x --=--，(*)切线过点()1,1-，则：()()()32012321x x x x ---=--，解得：01x =或012x =-将其代入(*)式整理可得，切线方程为：20x y --=或5410x y +-=.点睛：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．三、解答题21．（1）[－1，＋∞)；（2）(－∞，2∪(1,3)∪[2∞). 【解析】试题分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k 与﹣1k的取值范围，从而可求出k 的取值范围，然后解不等式可求出曲线C 的切点的横坐标取值范围. (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1， 即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，111k k≥-⎧⎪⎨-≥-⎪⎩解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2∪(1,3)∪[2∞) 22．(1) 44y x =-；(2) 内无实数根；（3）241e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，. 【解析】试题分析：（2）把m 的值代入后，求出f （1），求出x=1时函数的导数，由点斜式写出曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）代入m 的值，把判断方程f （x ）=g （x ）在区间（1，+∞）上有无实根转化为判断函数h （x ）=f （x ）﹣g （x ）在（1，+∞）上有无零点问题，求导后利用函数的单调性即可得到答案；（Ⅲ）把f （x ）和g （x ）的解析式代入不等式，整理变形后把参数m 分离出来，x ∈（1，e]时，不等式f （x ）﹣g （x ）＜2恒成立，转化为实数m 小于一个函数在（1，e]上的最小值，然后利用导数分析函数在（1，e]上的最小值． 试题（1）2m =时，()22f x x x =-，()222f x x='+，()14f '=，切点坐标为()10，， ∴切线方程为44y x =-（2）1m =时，令()()()12ln h x f x g x x x x=-=--， ()()22211210x h x x x x-=+-=≥'，∴()h x 在()0+∞，上为增函数， 又()10h =，所以()()f x g x =在()1+∞，内无实数根. （3）2ln 2mmx x x--<恒成立，即()2122ln m x x x x -<+恒成立. 又210x ->，则当(]1x e ，∈时，222ln 1x x xm x +<-恒成立，令()222ln 1x x xG x x +=-，只需m 小于()G x 的最小值. ()()()2222ln ln 21x x x G x x-++-'=，∵1x e <≤，∴ln 0x >，∴(]1x e ，∈时，()0G x '<， ∴()G x 在(]1e ，上单调递减，∴()G x 在(]1e ，的最小值为()241eG e e =-， 则m 的取值范围是241e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭，. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >. 23．（1）'()4cos 4sin 4cos f x x x x x ==-+--；（2）21'()2ln 2(1)x f x x =-+. 【分析】(1)利用积的导数和和差的导数法则求导.(2)利用商的导数和积的导数的法则求导. 【详解】(1)f'(x)=(1+sin x)'(1-4x)+(1+sin x)(1-4x)'=cos x(1-4x)-4(1+sin x)=cos x-4xcos x-4-4sin x.(2)f(x)=1x x +-2x =1-11x +-2x ,则f'(x)=21(1)x +-2xln 2. 【点睛】本题主要考查对函数求导，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 24．(1)3()f x x x=-；(2)证明见解析. 【解析】解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3， 当x ＝2时，y ＝12． 又f′(x)＝a ＋2b x ， 于是1222{744b a b a -=+=，解得13a b ==⎧⎨⎩故f(x)＝x －3x． (2)证明：设P(x 0，y 0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋23x知，曲线在点P(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋203x )·(x －x 0)，即y －(x 0－03x )＝(1＋203x )(x －x 0)． 令x ＝0得，y ＝－06x ，从而得切线与直线x ＝0，交点坐标为(0，－06x )． 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)． 所以点P(x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－06x ||2x 0|＝6．曲线y ＝f(x)上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6．25．（1）2；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出()cos 1sin f x x x x '=++，即得2f π⎛⎫'⎪⎝⎭的值； （2）设切点为001,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，先求出切线l 的方程为：()020011y x x x x -=--，再求出l 与坐标轴所围成的三角形的面积2S =，即得证. 【详解】（1）()(1sin )f x x x =+，则()[(1sin )](1sin )(1sin )cos 1sin f x x x x x x x x x x ''''=+=+++=++， 所以cos 1sin 22222f ππππ'⎛⎫=++=⎪⎝⎭； （2）设切点为001,x x ⎛⎫⎪⎝⎭， ∵1y x =，21y x'∴=-，∴切线l 的斜率201k x =-， ∴切线l 的方程为：()020011y x x x x -=--， 令0x =，得02y x =， 令0y =，得02x x =，所以l 与坐标轴所围成的三角形的面积0012222S x x =⋅⋅=， 因此l 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关． 【点睛】本题主要考查导数的运算，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 26．（1）1ln 22--；（2）3 【分析】（1）求出导函数，代入x 的值即可得到结果； （2）不等式()()0g x f x k x-'>恒成立等价于[](1)1ln(1)x x k x+++<对于0x >恒成立.【详解】（1）由题意可得()()2ln 111xx x f x x +='--+ ∴()11ln 22f '=--；（2）当0x >时，不等式()()0g x f x k x'->恒成立 即[](1)1ln(1)x x k x+++<对于0x >恒成立设[](1)1ln(1)()x x h x x+++=，则21ln(1)()x x h x x --+'=1()1011x g x x x '=-=>++，()1ln(1)g x x x =--+在区间()0,∞+上是增函数， 且()0g x =存在唯一实数根a ,满足(2,3)a ∈，即1ln(1)a a =++ 由x a >时，()0,()0g x h x '>>；0x a <<时，()0,()0g x h x '<< 知()(0)h x x >的最小值为[](1)1ln(1)()1(3,4)a a h a a a+++==+∈故正整数k 的最大值为3. 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．。
高二理科数学选修2-2测试题及答案
高二理科数学选修2-2测试题及答案高二选修2-2理科数学试卷第I卷选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.下列复数中，与5-2i共轭的是（）。
A。
5+2i B。
5-2i C。
-5+2i D。
-5-2i2.已知f(x)=3x·sinx，则f'(1)=（）。
A。
1/3+cos1 B。
11/3sin1+cos1 C。
3sin1-cos1 D。
sin1+cos13.设a∈R，函数f(x)=ex-ae-x的导函数为f'(x)，且f'(x)是奇函数，则a为（）。
A。
0 B。
1 C。
2 D。
-14.定积分∫1x(2x-e)dx的值为（）。
A。
2-e B。
-e C。
e D。
2+e5.利用数学归纳法证明不等式1+1/2+1/3+…+1/(2n-1)<f(n)(n≥2，n∈N*)的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）项。
A。
1项 B。
k项 C。
2k-1项 D。
2k项6.由直线y=x-4，曲线y=2x以及x轴所围成的图形面积为（）。
A。
40/3 B。
13 C。
25/2 D。
157.函数f(x)=x^3-ax^2-bx+a^2在x=1处有极值10，则点(a,b)为（）。
A。
(3,-3) B。
(-4,11) C。
(3,-3)或(-4,11) D。
不存在8.函数f(x)=x^2-2lnx的单调减区间是（）。
A。
(0,1] B。
[1,+∞) C。
(-∞,-1]∪(0,1] D。
[-1,0)∪(0,1]9.已知f(x+1)=2f(x)/(f(x)+2)，f(1)=1（x∈N*），猜想f(x）的表达式是（）。
A。
f(x)=4/(2x+2) B。
f(x)=2^(12/(x+1)) C。
f(x)=(x+1)/2 D。
f(x)=(2x+1)/210.若f(x)=-1/(2x^2+bln(x+2))在(-1,+∞)上是减函数，则b的取值范围是（）。
A。
[-1,+∞) B。
(-1,+∞) C。
日照实验高中高二下学期期末复习数学练习二(选修2-2和2-3)
日照实验高中高二下学期期末复习数学练习二（选修2-2和2-3）1.已知i i Z+=+-21，则复数Z=A 、i 31+-B 、i 31-C 、i +3D 、i -32.大熊猫活到十岁的概率是0.8，活到十五岁的概率是0.6，若现有一只大熊猫已经十岁了，则他活到十五岁的概率是 A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.483.若5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-，则0a ＝BA.1B.32C.－1D.－324.已知随机变量ξ服从正态分布()22N ，a ，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜ξ＜2）＝Ａ.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.25.有A 、B 两个口袋，A 袋装有4个白球，2个黑球；B 袋装有3个白球，4个黑球，从A 袋、B 袋各取2个球交换之后，则A 袋中装有4个白球的概率为（A ）352（B ）10532（C ）1052（D ）2186.设函数,)21()(10x x f -=则导函数)(x f '的展开式中2x 项的系数为 A ．1440 B.－1440 C.2880 D.－28807.已知函数f(x)＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x 2－aln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于 A ．1 B ．2 C ．0 D. 2则根据表中的数据,计算随机变量2K 的值，并参考有关公式，你认为性别与是否喜爱打篮球之间有关系的把握有 A ．97.5% B.99% C . 99.5％ D.99.9%9.已知函数f(x)在R 上满足f(x)＝2f(2－x)－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是 A ．y ＝2x －1 B ．y ＝x C ．y ＝3x －2 D ．y ＝－2x ＋310.某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》检测卷(含答案解析)(2)
一、选择题1．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．22．若连续可导函数()F x 的导函数()()'F x f x =，则称()F x 为()f x 的一个原函数.现给出以下函数()F x 与其导函数()f x ：①()2cos F x x x =+， ()2sin f x x x =-；②()3sin F x x x =+， ()23cos f x x x =+，则以下说法不正确．．．的是（ ） A ．奇函数的导函数一定是偶函数 B ．偶函数的导函数一定是奇函数 C ．奇函数的原函数一定是偶函数 D ．偶函数的原函数一定是奇函数 3．如图，矩形ABCD 的四个顶点()(0,1),(,1),(,1),0,1A B C D ππ--，正弦曲线f xsinx 和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．4．曲线xy e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3 5．已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．26．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为3230S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-7．11)x dx -=⎰（ ）A ．1π+B ．1π-C ．πD ．2π 8．定积分()1e2xx dx -⎰的值为（ ）A ．e 2-B ．e 1-C ．eD ．e 1+9．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ） A ．()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()1201x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()101x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰10．20ln 1()231mx x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，，，且()()10f f e =，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2-11．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln3- B ．4ln3+C ．4ln3-D ．32912．定积分()22xex dx +⎰的值为（ ）A ．1B ．2eC ．23e +D ．24e +二、填空题13．由曲线sin .cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形的面积是______.14．若二项式621x x ⎫+⎪⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，则21mx dx =⎰__________． 15．计算由曲线22,4y x y x ==-所围成的封闭图形的面积S =__________．16．设函数2()f x ax b =+（0a ≠），若300()3()f x dx f x =⎰，00x >，则0x =__________．17．计算()2224x x dx -+-⎰得__________．18．二项式33()6a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______．19．ππ(sin )d x x x -+=⎰________.20．设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若2()2ln 2g x x bx kx =--在[1,)+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是__________． 三、解答题21．设点P 在曲线y ＝x 2上，从原点向A (2,4)移动，如果直线OP ，曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1、S 2.(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值．22．已知函数()21ln ,2f x x ax a R =-∈.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值. 23．已知函数()()322,f x x ax bx aa b =+++∈R .（1）若函数()f x 在1x =处有极值为10，求b 的值； （2）若()4,a f x =-在[]0,2x ∈上单调递增，求b 的最小值. 24．如图，函数()sin()f x x ωϕ=+（其中π0,2ωϕ>≤）的图象与坐标轴的三个交点为,,P Q R ，且π(,0)6P ,2π(,0)3Q ，M 为QR 的中点，且M 的纵坐标为34-.（1）求()f x 的解析式；（2）求线段QR 与函数()f x 图象围成的图中阴影部分的面积.25．已知函数()1x f x e ex =--，其中e 为自然对数的底数，函数()(2)g x e x =-. （1）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间； （2）若函数(),,()(),f x x m F x g x x m ≤⎧=⎨>⎩的值域为R ，求实数m 的取值范围.26．设函数()()1xf x ae x =+（其中 2.71828e =⋅⋅⋅），()22g x x bx =++，已知它们在0x =处有相同的切线.（1）求函数()f x ，()g x 的解析式； （2）若函数()f x 在[],1t t +上的最小值为22e-，求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+ 2．D解析：D【解析】由①,()()()(),,F x F x f x f x -=-=-∴B,C正确; 由②,()(),F x F x -=- ()(),f x f x -=∴A 正确,D 项,偶函数的原函数不一定是奇函数,比如()()233cos sin 1f x x x F x x x =+=++的原函数可以为,此时F(x)为非奇非偶函数,所以D错误,故选D.3．B解析：B 【解析】试题分析：阴影部分的面积()044sin cos (cos sin )|12S x x dx x x ππππ=-=--=+⎰ 由几何概型可知：向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是01+2=2ABCDS P S π=矩形 ，故选B ． 考点：几何概型．4．A解析：A 【解析】试题分析：'0x x y e y e x =∴=∴=时'11y k =∴=，直线方程为1y x =+，与两坐标轴交点为()()1,0,0,1-，所以三角形面积为12考点：导数的几何意义及直线方程5．C解析：C 【解析】 由函数的图像可知，需满足或，所以点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是边长为2的正方形，其面积为4.6．C解析：C 【分析】先由微积分基本定理得到327S =，再由等比数列的求和公式以及通项公式，即可求出结果. 【详解】23312333133|2727003S x dx x a a a =⎰=⋅=∴++=，，即333227a a a q q ++=，解得1q =或1-2q =．【点睛】本题主要考查定积分的就算，以及等比数列的公比，熟记微积分基本定理，以及等比数列的通项公式及前n 项和公式即可，属于常考题型.7．D解析：D 【解析】因1112221211111[1]1|12x x dx x dx x x dx -----+=-+=-⎰⎰⎰，故设sin ,[,]22x ππθθ=∈-，则122221221cos 211cos sin cos (2)2sin 2|442x dx d d d ππππππππθπθθθθθπθ-----+-====⨯+=⎰⎰⎰⎰，应选答案D 。
【同步测控 优化设计】高二人教A版数学选修2-2练习：2章测评A Word版含答案[ 高考]
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第二章测评A(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.命题“有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是()A.使用了归纳推理B.使用了类比推理C.使用了“三段论”,但大前提错误D.使用了“三段论”,但小前提错误答案:C2.观察下面图形的规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为()A.■B.△C.□D.○解析:由每一行中图形的形状及黑色图形的个数,则知A正确.答案:A3.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面()A.各正三角形内任一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点解析:正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的侧面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心.答案:C4.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=()A.28B.76C.123D.199解析:记a n+b n=f(n),则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以a10+b10=123.答案:C5.数列{a n}满足a1=,a n+1=1-,则a2 015等于()A.B.-1 C.2 D.3解析:∵a1=,a n+1=1-,∴a2=1-=-1,a3=1-=2,a4=1-,a5=1-=-1,a6=1-=2,∴a n+3k=a n(n∈N*,k∈N*).∴a2 015=a2+3×671=a2=-1.答案:B6.已知f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=2,则f(1)+f(2)+…+f(n)不能等于()A.f(1)+2f(1)+…+nf(1)B.fC.D.f(1)解析:f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=1,得f(2)=2f(1),令x=1,y=2,f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)︙f(n)=nf(1),所以f(1)+f(2)+…+f(n)=(1+2+…+n)f(1)=f(1).所以A,D正确.又f(1)+f(2)+…+f(n)=f(1+2+…+n)=f,所以B也正确.故选C.答案:C7.对于奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组有1个数{1},第二组有2个数{3,5},第三组有3个数{7,9,11},……,依此类推,则每组内奇数之和S n与其组的编号数n的关系是() A.S n=n2 B.S n=n3C.S n=n4D.S n=n(n+1)解析:∵当n=1时,S1=1;当n=2时,S2=8=23;当n=3时,S3=27=33;∴归纳猜想S n=n3,故选B.答案:B8.在等差数列{a n}中,若a n>0,公差d>0,则有a4a6>a3a7,类比上述性质,在等比数列{b n}中,若b n>0,公比q>1,则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是()A.b4+b8>b5+b7B.b4+b8<b5+b7C.b4+b7>b5+b8D.b4+b7<b5+b8解析:b5+b7-b4-b8=b4(q+q3-1-q4)=b4(q-1)(1-q3)=-b4(q-1)2(1+q+q2)=-b4(q-1)2.∵b n>0,q>1,∴-b4(q-1)·<0,∴b4+b8>b5+b7.答案:A9.已知x>0,不等式x+≥2,x+≥3,x+≥4,…,可推广为x+≥n+1,则a的值为()A.2nB.n2C.22n-2D.n n解析:由x+≥2,x+=x+≥3,x+=x+≥4,…,可推广为x+≥n+1,故a=n n.答案:D10.将石子摆成如图的梯形形状.称数列5,9,14,20,…为“梯形数”.根据图形的构成,此数列的第2 012项与5的差,即a2 012-5=()A.2 018×2 012B.2 018×2 011C.1 009×2 012D.1 009×2 011解析:由已知可得a2-a1=4a3-a2=5a4-a3=6……a2 012-a2 011=2 014.以上各式相加得a2 012-a1==1 009×2 011.∵a1=5,∴a2 012-5=1 009×2 011.答案:D第Ⅱ卷(非选择题共60分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中的横线上)11.在△ABC中,D为BC的中点,则),将命题类比到三棱锥中得到的命题为.答案:在三棱锥A-BCD中,G为△BCD的重心,则)12.用数学归纳法证明+…+(n>1且n∈N*),第一步要证明的不等式是.解析:∵n>1,∴第一步应证明当n=2时不等式成立,即.答案:13.f(n)=1++…+(n∈N*),经计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,推测当n≥2时,有.解析:观测f(n)中n的规律为2k(k=1,2,…),不等式右侧分别为,k=1,2,…,所以f(2n)>(n≥2).答案:f(2n)>(n≥2)14.若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1,x2,…,x n,总满足[f(x1)+f(x2)+…+f(x n)]≤f,称函数f(x)为D上的凸函数;现已知f(x)=sin x在(0,π)上是凸函数,则△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是.解析:因为f(x)=sin x在(0,π)上是凸函数(小前提),所以(sin A+sin B+sin C)≤sin(结论),即sin A+sin B+sin C≤3sin.因此,sin A+sin B+sin C的最大值是.答案:15.观察下图:则第行的各数之和等于2 0112.解析:经观察知,图中的第n行的各数构成一个首项为n,公差为1,共(2n-1)项的等差数列,其各项和为:S n=(2n-1)n+=(2n-1)n+(2n-1)(n-1)=(2n-1)2.令(2n-1)2=2 0112,得2n-1=2 011,故n=1 006.答案:1 006三、解答题(本大题共5小题,共40分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题6分)已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:.证明:因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0.要证明原不等式成立,只需证明a,即证b2-ac<3a2,从而只需证明(a+c)2-ac<3a2,即(a-c)(2a+c)>0,因为a-c>0,2a+c=a+c+a=a-b>0,所以(a-c)(2a+c)>0成立,故原不等式成立.17.(本小题6分)已知实数x,且有a=x2+,b=2-x,c=x2-x+1,求证:a,b,c中至少有一个不小于1.证明:假设a,b,c都小于1,即a<1,b<1,c<1,则a+b+c<3.∵a+b+c=+(2-x)+(x2-x+1)=2x2-2x+=2+3,且x为实数,∴2+3≥3,即a+b+c≥3,这与a+b+c<3矛盾.∴假设不成立,原命题成立.∴a,b,c中至少有一个不小于1.18.(本小题8分)先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:已知a1,a2∈R,且a1+a2=1,求证:.证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+.因为对一切x∈R,恒有f(x)≥0,所以Δ=4-8()≤0,从而得.(1)若a1,a2,…,a n∈R,且a1+a2+…+a n=1,请写出上述结论的推广式;(2)参考上述证法,对你推广的结论加以证明.(1)解:若a1,a2,…,a n∈R,a1+a2+…+a n=1,则+…+.(2)证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2=nx2-2(a1+a2+…+a n)x++…+=nx2-2x++…+.因为对一切x∈R,都有f(x)≥0,所以Δ=4-4n(+…+)≤0,从而证得+…+.19.(本小题10分)已知等差数列{a n}的公差大于0,且a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,数列{b n}的前n项和为S n,且S n=1-b n.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)记c n=a n·b n,求证:c n+1≤c n.(1)解:∵a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,且数列{a n}的公差d>0,∴a3=5,a5=9,公差d==2.∴a n=a5+(n-5)d=2n-1.由题意得,当n=1时,b1=S1=1-,∴b1=.当n≥2时,b n=S n-S n-1=(b n-1-b n),∴b n=b n-1(n≥2).∴数列{b n}是以为首项,为公比的等比数列.∴b n=.(2)证明:由(1)知,c n=a n·b n=,c n+1=,∴c n+1-c n=≤0.∴c n+1≤c n.20.(本小题10分)用数学归纳法证明12+32+52+…+(2n-1)2=n(4n2-1)(n∈N*).证明:(1)当n=1时,左边=12,右边=×1×(4×1-1)=1,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k时,等式成立,即12+32+52+…+(2k-1)2=k(4k2-1),则当n=k+1时,12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2=k(4k2-1)+(2k+1)2=k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)2=(2k+1)[k(2k-1)+3(2k+1)]=(2k+1)(2k2+5k+3)=(2k+1)(k+1)(2k+3)=(k+1)(4k2+8k+3)=(k+1)[4(k+1)2-1],即当n=k+1时,等式成立.由(1)(2)可知,对一切n∈N*等式成立.。
高二数学选修2-2练习题.doc.docx
0.3
0.4
⑶P(2
x＜4)
P( x
2)
P( x
3)
0.20.3
0.5
B组答案
13—17. BABDD 18.
16
19. 15
21
22、解：（1）由题知，总得分X的概率分布列为：
2
3
21. 0.135
X-300-100100300
P
0.23
C320.220.8 C320.2 0.82
0.83
∴EX=3000.23( 100) C320.220.8100 C320.2 0.82300 0.83
X的数学期望EX
6
X
0
1
2
3
P
a
1
1
b
3
6
则a=_____
___．
9、一个袋中有
10个大小相同的小球，其中
6个红球，4个白球，现从中摸
3个，至少摸到2
个白球的概率是__________________.
三．解答题：本大题共
3小题，共
41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
10、（本题
12分）有品，其中
21、已知Y～N（3，1），P（4＜Y＜5）=_____________．
六、解答 ：本大 共3小 ，共41分，解答 写出文字 明、 明 程或演算步 。
22、某考生参加一种 ，需回答三个 ， 定：每 回答正确得
100分，回答不正确得
-100
分。已知 考生每 回答正确的概率都是
0.8，且各 回答正确与否相互之 没有
∴所求概率P（A）=19
36
（2）由 分析知，X的可能取0,1,2,
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试题(答案解析)(2)
一、选择题1．函数()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知函数()x f x e ex a =-+与1()ln g x x x=+的图象上存在关于x 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,]e -∞-B ．(,1] -∞-C ．[1,) -+∞D ．[,)e3．已知函数()3f x x ax =-在(1,1)-上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．[)3,+∞C ．(],1-∞D ．(],3-∞4．已知函数322()f x =x ax bx a +++在1x =处的极值为10，则a b -=（ ）． A ．6-B ．15-C ．15D ．6-或155．若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b 的取值范围是（ ） A ．(),8-∞- B ．()8,-+∞ C ．(),8-∞ D ．()8,+∞6．若函数()()sin xf x e x a =+在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．)+∞ B ．[)1,+∞C ．()1,+∞D ．()+∞7．已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ）A ．(1)(1,)-∞-⋃+∞，B ．(1,+)∞C ．1(,)(1,+)3-∞-⋃∞D ．(,2)(1,)-∞-+∞8．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足()'()f x f x >，且(0)1f =，则不等式()x e f x >（e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．(1,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(,0)-∞9．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x ∈R ，有()()2f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()f x x '>.若()()222f k f k k --≥-，则k 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．(],1-∞C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为（ ）A ．3R B ．3R C ．2R D ．2R 11．设函数()'f x 是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，3()()0f x f x x'+<，则函数31()()g x f x x =-的零点个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1D ．012．若对于任意的120x x a <<<，都有211212ln ln 1x x x x x x ->-，则a 的最大值为（ ） A ．2eB ．eC ．1D ．12二、填空题13．函数()f x 定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，26f π⎛⎫=⎪⎝⎭，其导函数是()f x '，且()()cos sinx f x x f x '⋅<⋅恒成立，则不等式()22sinx f x >的解集为_____________.14．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是圆O 的直径，上底C 、D 的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大值为_______________.15．已知函数()ln 1f x x x =--，()ln g x x =，()()F x f g x =⎡⎤⎣⎦，()()G x g f x =⎡⎤⎣⎦，给出以下四个命题：（1）()y F x =是偶函数；（2）()y G x =是偶函数；（3）()y F x =的最小值为0；（4）()y G x =有两个零点；其中真命题的是______.16．已知函数()2xe f x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为________. 17．已知函数()321213f x x x ax =+-+，若函数()f x 在()2,2-上有极值，则实数a 的取值范围为______. 18．函数()ln xf x x=在(),1a a +上单调递增，则实数a 的取值范围为______. 19．已知在正四棱锥P ABCD -中，4PA =，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高h 等于______.20．已知()2sin cos f x x x x x =++，则不等式()()1lg lg 22f x f x f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>的解集为______.三、解答题21．已知函数()cos x f x e x x =-，()(sin 1)g x x x =-. （1）讨论()f x 在区间(,0)2π-上的单调性；（2）判断()()f x g x -在区间[,]22ππ-上零点的个数，并给出证明. 22．已知函数()()3exf x xx a =-+，a R ∈.（1）当2a =-时，求()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值； （2）若()f x 在()1,+∞上单调，求a 的取值范围.23．已知函数432()f x ax x bx =++(),a b ∈R ，()()()g x f x f x '=+是偶函数． （1）求函数()g x 的极值以及对应的极值点． （2）若函数43221()()(1)4h x f x x c x x cx c =++--++，且()h x 在[]2,5上单调递增，求实数c 的取值范围． 24．设函数()()21xf x ea x =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x >对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.25．已知函数21(),()ln 2f x xg x a x ==. （1）若曲线()()y f x g x =-在2x =处的切线与直线370x y +-=垂直，求实数a 的值；（2）若[]1,e 上存在一点x ，使得()()()()00001f xg x g x f x ''+<-'成立，求实数a 的取值范围.26．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为CDP ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性即可得解； 【详解】 解：因为()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--，定义域关于原点对称，又()()()sin sin x x f x f x x x x x --===----，所以()[)(](),00,sin x f x x x xππ=∈--为偶函数，函数图象关于y 轴对称，所以排除A 、D ； ()()()()()22sin sin cos sin sin sin x x x x x xx x xf x x x x x ''----'==--令()cos sin g x x x x =-，则()sin g x x x '=-，所以当(]0,x π∈时()0g x '≤，所以()cos sin g x x x x =-在(]0,x π∈上单调递减，又()00g =，所以()0g x <在(]0,x π∈上恒成立，所以()0f x '<在(]0,x π∈上恒成立，即函数()sin xf x x x=-在(]0,π上单调递减，故排除C ，故选：B 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2．B解析：B 【分析】根据题中条件，得到方程1ln xa e ex x x ⎛⎫=--++⎪⎝⎭有解，令1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是()(0)y h x x =>的值域，对函数()h x 求导，判定其单调性，研究其值域，即可得出结果. 【详解】函数()x f x e ex a =-+与1()ln g x x x=+的图象上存在关于x 轴对称的点， 即方程1ln 0xe ex a x x -+++=有解，即方程1ln x a e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭有解，令1()ln xh x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是()(0)y h x x =>的值域， 因为()22111()xx x h x e e e e x x x -⎛⎫⎡⎤'=--+-=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以当1x =时，()0h x '=； 当01x <<时，0x e e -<，210x x -<，所以()21()0xx h x e e x -⎡⎤'=--+>⎢⎥⎣⎦，则函数1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭单调递增；当1x >时，0x e e ->，210x x ->，所以()21()0xx h x e e x -⎡⎤'=--+<⎢⎥⎣⎦，则函数1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭单调递减；所以max ()(1)1h x h ==-， 画出函数()h x 的大致图像如下，由图像可得，()(],1h x ∈-∞-， 所以a 的取值范围(],1-∞-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究方程根的问题，考查函数与方程的应用，将问题转化为两函数交点的问题是解题的关键，属于常考题型.3．B解析：B 【分析】根据'()0f x ≤在(1,1)-上恒成立求解． 【详解】∵3()f x x ax =-，∴2'()3f x x a =-．又函数()f x 在()1,1-上单调递减，∴2'()30f x x a =-≤在(1,1)-上恒成立，即23a x ≥在(1,1)-上恒成立．∵当(1,1)x ∈-时，3033x ≤<，∴3a ≥． 所以实数a 的取值范围是[3,)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当'()0()f x x D <∈时，则函数()f x 在区间D 上单调递减；而当函数()f x 在区间D 上单调递减时，则有'()0f x ≤在区间D 上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．4．C解析：C 【分析】由题，可得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩，通过求方程组的解，即可得到本题答案，记得要检验.【详解】因为322()f x =x ax bx a +++，所以2()32f x x ax b '=++，由题，得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩，即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩，解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩，因为当3,3a b =-=时，2()3(1)0f x x '=-≥恒成立，()f x 在R 上递增，无极值，故舍去，所以4(11)15a b -=--=.故选：C 【点睛】本题主要考查含参函数的极值问题，得到两组解后检验，是解决此题的关键.5．B解析：B 【分析】对函数()f x 求导，得到()f x '，然后根据题意得到()0f x '>恒成立，得到 【详解】因为函数()22ln 45f x x x bx =+++，定义域()0,∞+所以()28f x x b x'=++， 因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0， 所以()280f x x b x'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 所以28b x x>--， 设()28g x x x=--，则()max b g x > ()228g x x'=- 令()0g x '=，得到12x =，舍去负根， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以12x =时，()g x 取最大值，为()max 182g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以8b >-，故选B. 【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.6．B解析：B 【分析】将问题转化为()0f x '≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭，则只需10a -+≥即可，解不等式求得结果. 【详解】由题意得：()()sin cos 4xx x f x ex a e x e x a π⎫⎛⎫'=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 ()0f x '∴≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立又0x e >04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立 当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3,444πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭xsin 4x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.7．D解析：D 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，由此列不等式组，解不等式组求得x 的取值范围. 【详解】由210x ->解得1x <-或1x >，故函数的定义域为{|1x x <-或}1x >，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，且当1x >时，令22x x y -=+，'1412ln 2ln 2022x x x x y -⎛⎫=-=⨯> ⎪⎝⎭，所以22x x y -=+在1x >时递增，根据复合函数单调性可知()2ln 1y x =-在1x >时递增，所以函数()f x 在1x >时递增，故在1x <-时递减.由(1)(2)f x f x +<可知121121x x x x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，解得(,2)(1,)x -∞-∈+∞.故选D. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数不等式的解法，属于中档题.8．B解析：B 【解析】令()()()()()0,(0)1x xf x f x f xg x g x g e e-=∴=<'=' 所以()xe f x >()1(0)0g x g x ⇒=⇒ ,选B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等9．B解析：B 【分析】构造函数()()212g x f x x =-，可得()g x 在[)0,+∞上单调递增，利用奇偶性的定义知()g x 是奇函数，进而求解不等式即可.【详解】由题意当0x ≥时，()f x x '>，构造函数()()212g x f x x =-， 则()()'0g x f x x '=->，得()g x 在[)0,+∞上单调递增， 又由条件()()2f x f x x +-=得()()0g x g x +-=.所以()g x 是奇函数，又()g x 在[)0,+∞上单调递增且()00g =，所以()g x 在R 上单调递增，由()()222f k f k k --≥-，得()()20k g k g --≥，即()()2g k g k -≥， 根据函数()g x 在R 上单调递增，可得2k k -≥，解得1k ≤. 故选：B 【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用，考查函数的奇偶性，属于中档题．10．A解析：A 【分析】根据圆柱的高，底面半径以及球半径之间的关系，建立圆柱的高与圆柱体积之间的函数关系，利用导数求体积取得最大值时对应的自变量即可. 【详解】根据题意，设圆柱底面半径为r ，圆柱的高为h ，作出示意图如下所示：显然满足2224h r R =-， 故圆柱的体积()23214h r h h R h πππ=⨯=-+， 故可得()223,(02)4V h h R h R ππ<'=-+<， 令()0V h '>，解得230h <<，故此时()V h 单调递增， 令()0V h '<232h R <<，故此时()V h 单调递减. 故()23max V h V ⎫=⎪⎪⎝⎭. 即当23h =时，圆柱的体积最大. 故选：A .【点睛】 本题考查圆柱的外接球以及利用导数求体积的最大值，属综合中档题.11．D解析：D【分析】构造函数3()()1F x x f x =-，可得出3()()F x g x x=，利用导数研究函数()y F x =的单调性，得出该函数的最大值为负数，从而可判断出函数()y F x =无零点，从而得出函数3()()F x g x x =的零点个数. 【详解】设3()()1F x x f x =-，则3233()()()3()()f x F x x f x x f x x f x x '''⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦. 当0x ≠时，3()()0f x f x x'+<， 当0x >时，30x >，故()0F x '<，所以，函数()y F x =在(0,)+∞上单调递减； 当0x <时，30x <，故()0F x '>，所以，函数()y F x =在(,0)-∞上单调递增. 所以max ()(0)10F x F ==-<，所以，函数()y F x =没有零点， 故331()()()F x g x f x x x=-=也没有零点. 故选：D .【点睛】本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 12．C解析：C【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性，即可求得结果.【详解】解：由已知可得，211212ln ln x x x x x x -<-，两边同时除以12x x ， 则121221ln ln 11x x x x x x -<-，化简有1212ln 1ln 1x x x x ++<， 而120x x <<，构造函数()ln 1x f x x+=，()2ln x f x x -'=， 令()0f x '>，则01x <<；令()0f x '<，则1x > ，所以函数()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 由1212ln 1ln 1x x x x ++<对于120x x a <<<恒成立， 即()f x 在()0,a 为增函数，则01a <≤，故a 的最大值为1.故选：C.【点睛】本题考查导数研究函数的单调性，考查分析问题能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】构造函数再利用函数的单调性解不等式即可【详解】解：构造函数则当时在单调递增不等式即即故不等式的解集为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点构造一个适当的函数利用它的单调 解析：,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】构造函数()()sin f x g x x =，再利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】解：()()cos sin f x x f x x '<()()sin cos 0f x x x f x '∴->，构造函数()()sin f x g x x =， 则()()()2sin cos f x x f x x g x sin x '-'=， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>， ()g x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， ∴不等式()f x x >，即()61sin sin 26f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>== 即()6xg g π⎛>⎫ ⎪⎝⎭， 26x ππ∴<< 故不等式的解集为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题.14．【分析】连过作垂足为设则则等腰梯形的面积令利用导数求其最值【详解】连过作垂足为如图：设则所以等腰梯形的面积令单调递增单调递减所以时取得极大值也是最大值即的最大值故答案为：【点睛】本题考查了函数的实际 解析：33 【分析】连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，设(02),OE x x CE y =<<=，则224x y +=，则等腰梯形ABCD 的面积1(24)(2)2S x y x y =+=+3(2)(2)x x =+-，令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<，利用导数求其最值.【详解】连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，如图：设,OE x CE y ==，则224x y +=，所以等腰梯形ABCD 的面积1(24)(2)2S x y x y =+=+2(2)4x x =+-3(2)(2),02x x x =+-<<令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<232()3(2)(2)(2)4(1)(2)h x x x x x x '=+--+=-+，(0,1),()0,()x h x h x ∈'>单调递增，(1,2),()0,()x h x h x ∈'<单调递减，所以1x =时，()h x 取得极大值，也是最大值，max ()(1)27h x h ==，即S 的最大值33故答案为：33【点睛】本题考查了函数的实际应用，运用导数求最值时解题的关键，属于中档题.15．（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数的最小值可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数的零点个数可判断（4）的正误综合可得出结论 解析：（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）、（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数()y F x =的最小值，可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数()y G x =的零点个数，可判断（4）的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题（1），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，即1x >，解得1x <-或1x >，所以，函数()y F x =的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，定义域关于原点对称，()()ln ln g x x x g x -=-==，则()()()()F x f g x f g x F x ⎡⎤⎡⎤-=-==⎣⎦⎣⎦， 所以，函数()y F x =为偶函数，命题（1）正确；对于命题（2），对于函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 10f x x x =--≠，()111x f x x x'-=-=，令()0f x '=，得1x =，且函数()y f x =的定义域为()0,+∞，当01x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当1x >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，()()min 10f x f ==，则函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为()()0,11,⋃+∞，定义域不关于原点对称，所以，函数()y G x =是非奇非偶函数，命题（2）错误；对于命题（3），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，由（2）知，函数()y f x =的最小值为0，则函数()y F x =的最小值为0，命题（3）正确；对于命题（4），令()()0G x g f x ⎡⎤==⎣⎦，可得()1f x =，则()1f x =或()1f x =-， 由（2）知，()()10f x f ≥=，所以方程()1f x =-无解；令()()1ln 2h x f x x x =-=--，由（2）可知，函数()y h x =在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 22110h e e⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()110h =-<，()42ln422ln20h =-=->， 由零点存在定理可知，函数()y h x =在区间21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,4上各有一个零点， 所以，方程()1f x =有两个实根，即函数()y G x =有两个零点，命题（4）正确. 故答案为：（1）（3）（4）.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，复合函数最值以及零点个数的判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16．【分析】由当时不等式恒成立变形得到当时不等式恒成立即在上是增函数然后由在上是恒成立求解【详解】因为当时不等式恒成立即当时不等式恒成立所以在上是增函数所以在上是恒成立即在上是恒成立令所以当时当时所以当 解析：2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】由当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，变形得到当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，即()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数，然后由()0g x '≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立求解.【详解】因为当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，即当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，所以()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数，所以()230x g x e ax '=-≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立， 即23xe a x≤，在()0,x ∈+∞上是恒成立， 令2()3xe h x x=， 所以()32()3x e x h x x-'=， 当02x <<时，()0h x '<，当2x >时，()0h x '>，所以当2x =时，()h x 取得最小值，最小值为212e ， 所以实数a 的取值范围为2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故答案为：2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】求出函数的导数利用函数的极值点转化列出不等式求解即可【详解】解：可得导函数的对称轴为x ＝﹣1f （x ）在（﹣22）上有极值可得或可得或解得故答案为：【点睛】本题考查函数的导数的应用函数的极值的 解析：1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】求出函数的导数，利用函数的极值点，转化列出不等式求解即可.【详解】解：()321213f x x x ax =+-+， 可得()'222f x x x a =+-，导函数的对称轴为x ＝﹣1，f （x ）在（﹣2，2）上有极值，可得(2)0(1)0f f >⎧⎨-<''⎩或(2)0(1)0f f ->⎧⎨-<''⎩， 可得44201220a a +->⎧⎨--<⎩或44201220a a -->⎧⎨--<⎩， 解得1,42a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 故答案为：1,42⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力. 18．【分析】先求出得到在上单调递增要使得在上单调递增则从而得到答案【详解】由函数有由得得所以在上单调递增在上单调递减又函数在上单调递增则则解得：故答案为：【点睛】本题考查函数在某区间上的单调性求参数的范 解析：[]0,1e -【分析】先求出()21ln x f x x-'=，得到()f x 在()0e ，上单调递增，要使得在(),1a a +上单调递增，则()(),10a a e +⊆，，从而得到答案.【详解】由函数()ln x f x x =有()()2ln 1ln 0x x f x x x x -'==> 由()0f x '>得0x e <<，()0f x '<得x e >.所以()f x 在()0e ，上单调递增，在(),e +∞上单调递减，又函数()ln x f x x =在(),1a a +上单调递增，则()(),10a a e +⊆， 则01a a e≥⎧⎨+≤⎩ ，解得：01a e ≤≤-.故答案为：[]0,1e -【点睛】本题考查函数在某区间上的单调性，求参数的范围，属于基础题.19．【分析】设正四棱锥的底面边长为即可由表示出和的等量关系进而表示出正四棱锥的体积利用导函数判断单调性由单调性即可求得最值并求得取最值时的高的值【详解】设正四棱锥的底面边长为因为所以即所以正四棱锥的体积【分析】设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ，即可由4PA =表示出a 和h 的等量关系，进而表示出正四棱锥P ABCD -的体积.利用导函数，判断单调性，由单调性即可求得最值，并求得取最值时的高h 的值.【详解】设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ，因为4PA =，所以22162a h +=， 即22322a h =-，所以正四棱锥P ABCD -的体积()2313220333V a h h h h ==->， 可得232'23V h =-，令'0V =，解得h =当03h <<，可得'0V >，可知V 在03h <<内单调递增，当h >'0V <，可知V 在h >所以当h =P ABCD -的体积取得最大值，即16322313V ⎛⎫-⨯ =⎪⎝⎭=【点睛】本题考查了正四棱锥的性质与应用，四棱锥的体积公式，利用导数求函数的最值及取最值时的自变量，属于中档题.20．【分析】先判断函数为偶函数再利用导数判断函数在递增从而将不等式转化为进一步可得不等式解对数不等式即可得答案【详解】的定义域为且即有即为偶函数；又时则在递增不等式即为即有可得即有即或解得或则解集为故答 解析：()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】先判断函数为偶函数，再利用导数判断函数在0x >递增，从而将不等式转化为()()lg 2f x f >，进一步可得不等式lg 2x >，解对数不等式即可得答案.【详解】()2sin cos f x x x x x =++的定义域为R ，且()()()()()22sin cos sin cos f x x x x x x x x x -=--+-+-=++， 即有()()f x f x -=，即()f x 为偶函数；又0x >时，()()sin cos sin 22cos 0f x x x x x x x x '=+-+=+>，则()f x 在0x >递增，不等式()()1lg lg 22f x f x f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>， 即为()()()lg lg 22f x f x f +->， 即有()()lg 2f x f >， 可得()()lg 2f x f >， 即有lg 2x >，即lg 2x >或lg 2x <-，解得100x >或10100x <<， 则解集为()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为：()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】 本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意偶函数(||)()f x f x =这一性质的应用.三、解答题21．（1）()f x 在(,0)2π-上单调递减；（2）有且仅有2个零点. 证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，根据导函数的单调性判断即可；（2）令()()()cos sin x F x f x g x e x x x =-=-，求出函数的导数，通过讨论x 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的零点个数即可证明结论成立.【详解】（1）()cos sin 1cos()14x x x f x e x e x x π⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭'，()cos sin 44x x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝'⎝⎭ 2cos()2sin 2x x e x e x π=+=-.(,0)2x π∈-，sin 0x ∴<，()0f x ''∴>，所以()'f x 在(,0)2π-上单调递增，()(0)0f x f ''<=， ()f x ∴在(,0)2π-上单调递减.（2）()()f x g x -在区间[,]22ππ-上有且仅有2个零点. 证明：令()()()cos sin x F x f x g x e x x x =-=-，所以()()()cos sin cos sin x F x ex x x x x '=--+， ①当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时， 因为()()cos sin 0,cos sin 0x x x x x ->-+>，()()0,F x F x '∴>在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递增， 又()010,022F F ππ⎛⎫=>-=-< ⎪⎝⎭. ()F x ∴在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上有一个零点； ②当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos sin 0,0x x x e x ≥>>>，()cos sin sin sin sin ()0x x x F x e x x x e x x x x e x ∴=-≥-=->恒成立.()F x ∴在04π⎛⎤ ⎥⎝⎦，上无零点；③当,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时， 0cos sin x x <<， ()()()cos sin cos sin 0x F x e x x x x x '∴=--+<，()F x ∴在42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减；又40,022424F F e πππππ⎫⎛⎫⎛⎫=-<=->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()F x ∴在42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上必存在一个零点； 综上，()()f x g x -在区间[,]22ππ-上有且仅有2个零点. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.22．（1）最大值为24e ，最小值为2e -；（2）[)2,-+∞.【分析】（1）2a =-代入()f x ，对函数求导，利用导数正负确定单调性即可；（2）先利用极限思想进行估值x →+∞时()0f x '>，来确定()f x 在()1,+∞上单增，()0f x '≥，再对32310x x a x -++-≥分离参数，研究值得分布即得结果.【详解】（1）()()3231x f x e x x a x '=-++-当2a =-时，()()()()()3233311x x f x e x x x e x x x '=+--=+-+∴()f x '在()3,1--和()1,+∞上为正，在(),3-∞-和()1,1-上为负，∴()f x 在()3,1--和()1,+∞上单增，在(),3-∞-和()1,1-上单减，有()21f e-=-，()224f e =，()12f e =-，故()f x 在[]1,2-上的最大值为24e ，最小值为2e -；（2）由()()3231x f x e x x x a '=+-+-知，当x →+∞时，()0f x '>，若()f x 在()1,+∞上单调则只能是单增，∴()0f x '≥在()1,+∞恒成立，即32310x x a x -++-≥∴3231a x x x ≥--++，令()3231g x x x x =--++，1x >，则()23610g x x x '=--+<，∴()g x 在()1,+∞递减，()()12g x g <=-，∴[)2,a ∈-+∞.【点睛】（1）利用导数研究函数()f x 的最值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性；③利用单调性判断极值点，比较极值和端点值得到最值即可.（2）函数()f x 在区间I 上递增，则()0f x '≥恒成立；函数()f x 在区间I 上递减，则()0f x '≤恒成立.（3）解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.23．（1）函数()g x的一个极大值点为，对应的极大值为9，另一个极大值点为9；函数()g x 极小值点为0，对应的极小值为0；（2）4,13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【分析】(1)求出()g x 的表达式，结合函数的奇偶性即可求出140a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，从而可确定()g x 的解析式，求出导数即可求出函数的极值点和极值.(2)结合第一问可得()h x 的解析式，从而可求出2()32h x cx x c '=-+，由()h x 的单调性可得213c x x ≥+在[]2,5上恒成立，设()13m x x x =+，利用导数求出()m x 在[]2,5上的最小值，从而可求出实数c 的取值范围.【详解】解：（1）∵432()f x ax x bx =++，∴32()432f x ax x bx '=++，∴432()()()(41)(3)2g x f x f x ax a x b x bx '=+=+++++，因为()g x 为偶函数，∴41020a b +=⎧⎨=⎩，解得140a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴431()4f x x x =-+，则421()34g x x x =-+，∴3()6(g x x x x x x '=-+=-，由()0g x '>，解得x <或0x <<()0g x '<，解得>x0x <<； ∴()g x在(,-∞，(单调递增；在()，)+∞单调递减．∴函数()g x的一个极大值点为(9g =，9g =； 函数()g x 极小值点为0，对应的极小值为()00g =.（2）由（1）知431()4f x x x =-+，∴43221()()(1)4h x f x x c x x cx c =++--++322cx x cx c =-++，∴2()32h x cx x c '=-+，因为函数()h x 在[]2,5上单调递增，∴2320cx x c -+≥在[]2,5上恒成立，即 2221313x c x x x≥=++在[]2,5上恒成立，设()13m x x x =+，令()22213130x m x x x -'=-==，解得[]2,5x =， 当[]2,5x ∈时，()0m x '>，所以()13m x x x=+在[]2,5上单调递增， 则()()1322m x m ≥=，所以24=13132c ≥. 【点睛】方法点睛：已知奇偶性求函数解析式时，常用方法有：一、结合奇偶性的定义，若已知偶函数，则()()f x f x -=，若已知奇函数，则()()f x f x -=-，从而可求出函数解析式；二、由奇偶性的性质，即偶函数加偶函数结果也是偶函数，奇函数加奇函数结果也是奇函数. 24．（1）当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，在1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）20,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）分别在0a ≤和0a >两种情况下，根据()f x '的正负可确定()f x 的单调性；（2）根据（1）的结论可确定0a <不合题意；当0a =时，根据指数函数值域可知满足题意；当0a >时，令()min 0f x >，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）由题意得：()22xf x e a '=-， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在R 上单调递增；当0a >时，令()0f x '=得：1ln 22a x =. 当1ln 22a x <时，()0f x '<，()f x ∴在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 当1ln 22a x >时，()0f x '>，()f x ∴在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）由（1）可知：当0a <时，()f x 在R 上单调递增，当x →-∞时，20x e →，()1a x +→+∞，此时()0f x <，不合题意；当0a =时，2()0x f x e =>恒成立，满足题意.当0a >时，()f x 在1ln 22a x =处取最小值，且1ln ln 22222a a a a f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 令ln 0222a a a -->，解得：20a e <<，此时()0f x >恒成立. 综上所述：a 的取值范围为20,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论，将问题转化为函数最小值大于零的问题，由此构造不等式求得结果.25．（1）2a =-（2）21(,2),1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭【分析】（1）将(),()f x g x 的解析式代入曲线()()y f x g x =-，根据导数几何意义及垂直直线的斜率关系即可求得a 的值；（2）将0x 代入导函数(),()f x g x ''，并代入不等式中化简变形，构造函数1()ln a m x x a x x+=-+，求得()m x '并令()0m x '=，对a 分类讨论即可确定满足题意的a 的取值范围.【详解】（1）由21()()ln 2y f x g x x a x =-=-， 得()a y x x x'=-.在2x =处的切线斜率为22a -， 直线370x y +-=的斜率为13-， 由垂直直线的斜率关系可知232a -=， 解得2a =-.（2）21(),()ln 2f x xg x a x ==， 则(),()a f x x g x x '='=， 不等式()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'等价于00001ln a x a x x x +<-. 整理得0001ln 0a x a x x +-+<. 构造函数1()ln a m x x a x x +=-+， 由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <.22221(1)(1)(1)()1a a x ax a x a x m x x x x x+--+--+'=--==. 因为0x >，所以10x +>，令0mx '=（），得1x a =+. ①当11a +≤，即0a ≤时，()m x 在[]1,e 上单调递增.只需()120m a =+<，解得2a <-.②当11a e <+≤即01a e <≤-时，()m x 在1x a =+处取最小值.令(1)1ln(1)10m a a a a +=+-++<即11ln(1)a a a ++<+， 可得11ln(1)(*)a a a++<+. 令1t a =+，即1t e <≤，不等式（*）可化为1ln 1t t t +<-： 因为1t e <≤，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立. ③当1a e +>，即1a e >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减， 只需1()0a m e e a e +=-+<，解得211e a >e +-.综上所述，实数的取值范围是21(,2),1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的几何意义及由垂直关系求参数，导函数在解不等式中的应用，构造函数法分析函数的单调性、最值的综合应用，属于中档题.26．（1）()8004cos cos sin θθθ+， ()1600cos cos ,sin θθθ- 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）6π． 【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定sin θ的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ），△CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）． 当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[14，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ）=8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2），则()()()()222'sin sin 2sin 1211f cos sin sin sin θθθθθθθθ=--=-+-=--+． 令()'=0f θ，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()'>0f θ，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（π6，π2）时，()'<0f θ，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.。
高中数学选修2-2分章节测试卷(含答案)
第一章 综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．函数y ＝sin(π4－x )的导数为( )A ．－cos(π4＋x )B ．cos(π4－x )C ．－sin(π4－x )D ．－sin(x ＋π4)2．(2009·广东三校联考)函数f (x )＝a ln x ＋x 在x ＝1处取得极值，则a 的值为( ) A.12B ．－1C ．0D ．－123．如果f (x )为定义在R 上的偶函数，且导数f ′(x )存在，则f ′(0)的值为( ) A ．2B ．1C ．0D ．－14．(2009·全国卷Ⅰ)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1B ．2C ．－1D ．－25．已知f (x )＝(x －1)2＋2，g (x )＝x 2－1，则f [g (x )]( ) A ．在(－2,0)上递增 B ．在(0,2)上递增 C ．在(－2，0)上递增 D ．在(0，2)上递增6．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．2≤m ≤47．(2009·江西高考)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或78．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1) 9．由y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π所围成图形的面积可表示为( ) A.⎠⎛0π(sin x －cos x )dxC.⎠⎛0π(cos x －sin x )dx10．已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )dx ，则f (a )的最大值为( )A ．－12B.19C.29D ．不存在11．(2009·青岛模拟)如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，由曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π412．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a ) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.⎠⎛02(2x －e x )dx ＝________.14．(2009·海淀区模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的导函数y＝f ′(x )的部分图象如右图所示，且导函数f ′(x )有最小值－2，则ω＝________，φ＝________.15．若函数y ＝a (x 3－x )的单调递减区间为(－33，33)，则a 的取值范围是________． 16．物体A 以速度v ＝3t 2＋1在一直线上运动，在此直线上物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t 的速度与A 同向运动，当t ＝________ s 时，两物体相遇，相遇时物体A 走过________m.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2009·浙江高考)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．18．(本小题满分12分)已知F(x)＝⎠⎛x－1t(t－4)dt，x∈(0，＋∞)．(1)求F(x)的单调区间；(2)求函数F(x)在[1,5]上的最值．19．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．20．(本小题满分12分)求函数y＝x3－3ax＋2的极值，并说明方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根？(其中a>0)21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝13ax3－bx2＋(2－b)x＋1，在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0<x1<1<x2<2.(1)证明a>0；(2)求z＝a＋2b的取值范围．22．(本小题满分12分)(2009·湖北黄冈模拟)已知函数f(x)＝12x2－a ln x(a∈R)．(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x>1时，12x2＋ln x<23x3.第二章 综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．所有自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段推理( ) A ．正确 B ．推理形式不正确 C ．两个“自然数”概念不一致 D ．两个“整数”概念不一致 2．若a >0，b >0，则有( )A.b 2a >2b －aB.b 2a <2b －aC.b 2a ≥2b －a D.b 2a≤2b －a 3．设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n 2，则( )A ．S (n )共有n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13B ．S (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14C ．S (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14D ．S (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋144．F (n )是一个关于自然数n 的命题，若F (k )(k ∈N *)真，则F (k ＋1)真，现已知F (7)不真，则有：①F (8)不真；②F (8)真；③F (6)不真；④F (6)真；⑤F (5)不真；⑥F (5)真．其中为真命题的是( )A ．③⑤B ．①②C ．④⑥D ．③④5．若x ，y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( ) A ．14B ．15C ．16D ．176．设f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( )A ．0B ．1 C.52D ．57．若O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心8．如图所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A 到H 有几条不同的旅游路线可走( )A ．15B ．16C ．17D ．189．对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)定义它们之间的一种“距离”：||AB ||＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|.给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则||AC ||＋||CB ||＝||AB ||； ②在△ABC 中，若∠C ＝90°，则||AC ||2＋||CB ||2＝||AB ||2； ③在△ABC 中，||AC ||＋||CB ||>||AB ||. 其中真命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．310．已知a ，b ，c ，d 是正实数，P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋d c ＋d ＋b ，则有( )A ．0<P <1B ．1<P <2C ．2<P <3D ．3<P <411．一个等差数列{a n }，其中a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (1≤n ≤19)．一个等比数列{b n }，其中b 15＝1.类比等差数列{a n }有下列结论，正确的是( )A ．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)B ．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－nC ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)D ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 29－n 12．观察数表1 2 3 4 …第一行 2 3 4 5 …第二行 3 4 5 6 …第三行 4 5 6 7 …第四行 … … … …第一列 第二列 第三列 第四列根据数表中所反映的规律，第n 行与第n 列的交叉点上的数应该是( ) A ．2n －1 B ．2n ＋1 C ．n 2－1D ．n 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若三角形内切圆的半径为r ，三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积V ＝________.14．若符号“*”表示求实数a 与b 的算术平均数的运算，即a *b ＝a ＋b2，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且对于任意3个实数a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是________．15．把数列{2n ＋1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环下去，如：(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，…，则第104个括号内各数字之和为________．16．已知n 次多项式P n (x )＝a 0x n ＋a 1x n －1＋…＋a n －2x 2＋a n －1x ＋a n .如果在一种算法中，计算x k 0(k ＝2,3,4，…，n )的值需要k －1次乘法，计算P 3(x 0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P n (x 0)的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P 0(x )＝a 0，P k ＋1(x )＝xP k (x )＋a k ＋1(k ＝0,1,2，…，n －1)．利用该算法，计算P 3(x 0)的值共需要6次运算，计算P n (x 0)的值共需要________次运算．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)证明对于任意实数x ，y 都有x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2.18．(本小题满分12分)(2009·江苏高考)如右图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .19．(本小题满分12分)求证：y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b (a ，b ，c 是互不相等的实数)这三条抛物线中，至少有一条与x 轴有两个交点．20．(本小题满分12分)已知函数f(n)(n∈N*)，满足条件：①f(2)＝2，②f(xy)＝f(x)·f(y)，③f(n)∈N*，④当x>y时，有f(x)>f(y)．(1)求f(1)，f(3)的值；(2)由f(1)，f(2)，f(3)的值，猜想f(n)的解析式；(3)证明你猜想的f(n)的解析式的正确性．21．(本小题满分12分)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…a30是公差为d2的等差数列(d≠0)．(1)若a20＝40，求d；(2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；(3)续写已知数列，使得a30，a31，a40是公差为d3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？22．(本小题满分12分)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．如果函数f(x)＝x2＋abx－c(b，c∈N)有且只有两个不动点0,2，且f(－2)<－12.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知各项均不为零的数列{a n}满足4S n·f(1a n)＝1，求数列的通项a n；(3)如果数列{a n}满足a1＝4，a n＋1＝f(a n)，求证当n≥2时，恒有a n<3成立．第三章 综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．一个实数x 与一个虚数y 的和x ＋y 必为( )A ．实数B ．虚数C ．可能实数也可能是虚数D ．纯虚数 2．复数4＋3i1＋2i 的实部是( )A ．－2B ．2C ．3D ．43．复数z ＝m －2i1＋2i (m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上的对应点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．4C ．－6D ．65．若3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个根，则q 的值是( ) A ．26B ．13C ．6D ．56．已知z 1＝2－5i ，z 2＝－3＋i ，z 1，z 2的对应点分别为P 1，P 2，则向量P 2P 1→对应的复数为( ) A ．－5＋6iB ．5－6iC ．5＋6iD ．－1－4i7．已知m1＋i ＝1＋n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 的值为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i8．复数z 满足|3z ＋1|＝|z －i|，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．直线B ．正方形C ．圆D ．椭圆9．“复数z ＝12＋32i ”是“z ＋1z ∈R ”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件10．复数－35＋2i 2＋35i ＋(21＋i )2008的虚部为( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i11．设f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i )n(n ∈N *)，则集合{x |x ＝f (n )}中的元素有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个12．若复数z ，a ，x 满足x ＝a －z 1－a z，且|z |＝1，则|x |等于( )A ．0B ．1C ．|a |D.12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝________. 14．复数z 满足|z ＋2＋2i|＝|z |，那么|z －1＋i|的最小值是________． 15．i 是虚数单位，若1＋7i 2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则乘积ab ＝________.16．对于n 个复数z 1，z 1，…，z n ，如果存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得k 1z 1＋k 2z 2＋…＋k n z n ＝0，就称z 1，z 2，…，z n 线性相关．若要说明复数z 1＝1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2线性相关，那么可取{k 1，k 2，k 3}＝________.(只要写出满足条件的一组值即可)三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)(1)设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )．若z 1z 2为实数，求实数x ； (2)计算：(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7－i 11)(4－3i)．18．(本小题满分12分)在复数范围内解方程|z 2|＋(z ＋z )i ＝3－i2＋i .(i 为虚数单位)19．(本小题满分12分)已知z ＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i ，ω＝z ＋a i(a ∈R )，当|ωz |≤2时，求a的取值范围．20．(本小题满分12分)已知z ∈C ，z －1z ＋1是纯虚数，求|z 2－z ＋2|的最小值．21．(本小题满分12分)设虚数z 满足|2z ＋5|＝|z ＋10|. (1)求|z |的值；(2)若z m ＋mz为实数，求实数m 的值；(3)若(1－2i)z 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z .22．(本小题满分12分)对任意一个非零复数α，定义M α＝{ω|ω＝α2n －1，n ∈N *}．(1)设α是方程x ＋1x ＝2的一个根，试用列举法表示集合M α.若在M α中任取两个元素，求其和为零的概率P ；(2)若集合M α中只有三个元素，试写出满足条件的一个α值，并说明理由．第一章 综合能力检测答案一、选择题：1．解析：y ′＝－cos(π4－x )＝－sin[π2－(π4－x )]＝－sin(π4＋x )． 答案：D2．解析：f ′(x )＝ax ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，由题知当a ＝－1时，原函数在x ＝1处取得极值． 答案：B3．解析：偶函数的导数为奇函数，即f ′(x )为奇函数，故f ′(0)＝0. 答案：C4．解析：y ′＝1x ＋a ，设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切的切点为(x 0，x 0＋1)，则1x 0＋a ＝1，∴x 0＝1－a ，∴ln(1－a ＋a )＝2－a ，∴e 2－a ＝1， ∴a ＝2. 答案：B5．解析：F (x )＝f [g (x )]＝x 4－4x 2＋6，F ′(x )＝4x 3－8x .令F ′(x )>0，得－2<x <0或x >2，∴F (x )在(－2，0)上递增． 答案：C6．解析：由题意，得f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋(15m 2－2m －7)，由于f ′(x )≥0恒成立，故Δ≤0，解得2≤m ≤4. 答案：D7．解析：设直线与曲线y ＝x 3的切点为P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 30y 0x 0－1＝3x 20⇒切线斜率k ＝3x 20＝0或k ＝274. 若k ＝0，切线方程为y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝ax 2＋154x －9， 消去y ，得ax 2＋154x －9＝0，其判别式Δ＝0⇒a ＝－2564；若k ＝274，切线方程为y ＝274(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝274(x －1)，y ＝ax 2＋154x －9消去y ，得ax 2－3x －94＝0，其判别式Δ＝0⇒a ＝－1. 答案：A8． 解析：∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，由题知，f ′(x )<0在(－1，＋∞)上恒成立，即－x ＋bx ＋2<0，∴b <x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1. ∴b <－1.又当b ＝－1时，f ′(x )＝－x －1x ＋2＝－x (x ＋2)＋1x ＋2＝－(x ＋1)2x ＋2<0，∴b ≤－1. 答案：C9．解析：由y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π所围成的图形，如下图的阴影部分．答案：B10．解析：⎠⎛01(2ax 2－a 2x )dx＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12(a 2－43a ＋49)＋29＝－12(a －23)2＋29，∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 答案：C11．解析：根据几何概型的意义，所投的点落在阴影部分的概率是S 阴影S 矩形，由S 阴影＝⎠⎛0πsin xdx ＝(－cos x )|π0＝2，所求概率为S 阴影S 矩形＝22π＝1π. 答案：A 12．解析：设函数F (x )＝xf (x )，∴F ′(x )＝[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )≤0，∴F (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵a <b ，∴F (a )≥F (b )，即af (a )≥bf (b )．又∵0<a <b ，f (b )≥0，∴af (a )≤bf (a )，bf (b )≥af (b )．∴bf (a )≥af (b )． 答案：A二、填空题：13.解析：⎠⎛02(2x －e x )dx ＝(x 2－e x )|20＝4－e 2＋1＝5－e 2. 答案：5－e 214．解析：f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)， 依题意，得ω＝2,2cos(π3＋φ)＝－1，解得φ＝π3.答案：2 π315．解析：∵y ′＝a (3x 2－1)，令y ′<0，当a >0时，不等式的解集为(－33，33)； 当a <0时，不等式的解集为(－∞，－33)∪(33，＋∞)．∵已知函数y ＝a (x 3－x )在(－33，33)上单调递减， ∴a >0. 答案：a >016．解析：设A 追上B 时，所用的时间为t 0，依题意有s A ＝s B ＋5，即10tdt＋5，t 30＋t 0＝5t 20＋5，即t 0(t 20＋1)＝5(t 20＋1)，解得t 0＝5 s ．所以s A ＝5t 20＋5＝130(m)． 答案：130三、解答题：17．解：(1)由函数f (x )的图象过原点，得b ＝0， 又f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)， f (x )在原点处的切线斜率是－3， 则－a (a ＋2)＝－3，所以a ＝－3，或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.又f (x )在(－1,1)上不单调，即⎩⎨⎧－1<a <1，a ≠－a ＋23，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，a ≠－12，或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12，所以a 的取值范围是(－5，－12)∪(－12，1)．18．解：F (x )＝⎠⎛x －1(t 2－4t )dt ＝(13t 3－2t 2)|x －1＝13x 3－2x 2－(－13－2)＝13x 3－2x 2＋73(x >－1)． (1)F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )>0，即x 2－4x >0，得－1<x <0或x >4，由F ′(x )<0，即x 2－4x <0，得0<x <4，∴F (x )的单调递增区间为(－1,0)∪(4，＋∞)，单调递减区间为(0,4)．(2)由(1)知F (x )在[1,4]上递减，[4,5]上递增．又∵F (1)＝13－2＋73＝23，F (4)＝13×43－2×42＋73＝－253，F (5)＝13×53－2×52＋73＝－6，∴F (x )在[1,5]上的最大值为23，最小值为－253. 19．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为x ＝±1是函数f (x )的极值点，所以x ＝±1是方程f ′(x )＝0即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1，②又f (1)＝－1，所以a ＋b＋c ＝－1.③ 由①②③，解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)因为f (x )＝12x 3－32x ，所以f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)·(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，当－1<x <1时，f ′(x )<0.所以函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．所以当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1，当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.20．解：函数的定义域为R ，其导函数为y ′＝3x 2－3a .由y ′＝0，得x＝±a ，列表讨论如下：x (－∞，－a ) －a(－a ，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值由此可得，函数x ＝－a 处取得极大值2＋2a 32；在x ＝a 处取得极小值2－2a 32.根据列表讨论，可作出函数的草图(如右图所示)，因为极大值f (－a )＝2＋2a 32>0，故当极小值f (a )＝2－2a 32<0，即a >1时，方程x 3－3ax ＋2＝0有三个不同的实根；当极小值f (a )＝2－2a 32>0，即0<a <1时，方程x 3－3ax ＋2＝0有唯一的实根．21．解：求函数f (x )的导数得 f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .(1)证明：由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根．所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1时，f ′(x )>0，函数为增函数， 由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0. (2)在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎨⎧f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为A (47，67)，B (2,2)，C (4,2)．z 在这三点的值依次为167，6,8.所以z 的取值范围为(167，8)．22．解：(1)f ′(x )＝x －ax ，∵x ＝2是一个极值点，∴2－a2＝0.∴a ＝4.此时f ′(x )＝x －4x ＝x 2－4x ＝(x －2)(x ＋2)x.∵f (x )的定义域是{x |x >0}，∴当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. ∴当a ＝4时，x ＝2是f (x )的极小值点．∴a ＝4. (2)∵f ′(x )＝x －ax，∴当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x －a )(x ＋a )x，令f ′(x )>0有x >a ，∴函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)； 令f ′(x )<0有0<x <a ，∴函数f (x )的单调递减区间为(0，a )． (3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x >0，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数． ∴g (x )>g (1)＝16>0.∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.第二章 综合能力检测答案一、选择题：1．解析：三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的． 答案：A 2．解析：∵b 2a －(2b －a )＝b 2－2ab ＋a 2a ＝(b －a )2a ≥0，∴b 2a≥2b －a . 答案：C 3．解析：从n 到n 2共有n 2－n ＋1个自然数，即S (n )共有n 2－n ＋1项．故选D. 4．解析：若F (k )真，则F (k ＋1)一定真，其逆否命题为F (k ＋1)不真，则F (k )不真． ∴F (7)不真，则F (6)不真；F (6)不真，则F (5)不真． 答案：A5．解析：x 2＋y 2＋2x ＝x 2＋(6x －2x 2)＋2x ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16≤16. 答案：C6．解析：∵f (x ＋2)＝f (x )＋f (2) ∴令x ＝－1则有 f (1)＝f (－1)＋f (2) ∴f (2)＝2f (1)又∵f (1)＝12，∴f (2)＝1∴f (5)＝f (2＋3)＝f (2)＋f (3) ＝f (2)＋f (2)＋f (1) ＝2f (2)＋f (1)＝2＋12＝52. 答案：C7．解析：OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，AP →＝λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)＝λ(e 1＋e 2)，∴AP 是∠A 的内角平分线．答案：B8．解析：这是图论中的一个问题，如果一条一条的去数，由于道路错综复杂，哪些已算过，哪些没有算过就搞不清了，所以我们换一个思路，用分析法来试试．要到H 点，需从F 、E 、G 走过来，F 、E 、G 各点又可由哪些点走过来，……，这样一步步倒推，最后归结到A ，然后再反推过去得到如下的计算法：A 至B 、C 、D 的路数记在B 、C 、D 圆圈内，B 、C 、D 分别到F 、E 、G 的路数亦记在F 、E 、G 圆圈内，最后F 、E 、G 各个路数之和，即得至H 的总路数如答图1所示． 答案：C9．解析：①当点C 在线段AB 上时，可知||AC ||＋||CB ||＝||AB ||，故①是正确的．②取A (0,0)，B (1,1)，C (1,0)，则||AC ||2＝1，||BC ||2＝1，||AB ||2＝(1＋1)2＝4，故②是不正确的．③取A (0,0)，B (1,1)，C (1,0)，证明||AC ||＋||CB ||＝||AB ||，故③不正确．故选B. 10．解析：P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b>a a ＋b ＋c ＋d ＋b a ＋b ＋d ＋c ＋c c ＋d ＋a ＋b ＋d c ＋d ＋b ＋a ＝1， P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b<a a ＋b ＋b a ＋b ＋c c ＋d ＋d c ＋d ＝2， ∴1<P <2. 答案：B11． 解析：在等差数列{a n }中，a 10＝0，知以a 10为等差中项的项和为0，如a 9＋a 11＝a 8＋a 12＝…＝a 2＋a 18＝a 1＋a 19＝0.而在等比数列{b n }中，b 15＝1，类比地有b 1b 29＝b 2b 28＝…＝b 14b 16＝1.从而类似地总结规律应为各项之积．∵等差数列{a n }中a 10＝0，∴a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a 8＋a 12＝a 9＋a 11＝0. 即：a 19－n ＋a n ＋1＝0， a 18－n ＋a n ＋2＝0， a 17－n ＋a n ＋3＝0， …∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n . ∵b 15＝1，∴b 1b 29＝b 2b 28＝…＝b 14b 16＝1. 即b 29－n b n ＋1＝b 28－n b n ＋2＝…＝b 14b 16＝1.∴b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)．故选A.12．解析：根据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，那么，由此可以推导出第n 行第n 列交叉点上的数应该是2n －1. 答案：A二、填空题：13．解析：由平面图形到空间图形的类比过程中，边长→面积，面积→体积． 答案：13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)14．解析：答案不唯一．因为a ＋(b *c )＝a ＋b ＋c 2＝2a ＋b ＋c 2，又(a ＋b )*(a ＋c )＝(a ＋b )＋(a ＋c )2＝2a ＋b ＋c2，因此答案成立．同时：(a *b )＋c ＝(a *c )＋(b *c )；a *(b ＋c )＝(a ＋b )*c ＝(b ＋c )*a ＝(a ＋c )*b ；(a *b )＋c ＝(b *a )＋c 也符合题意． 答案：a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c )15．解析：前面103个括号中共用了256个数，第104个括号有4个数分别是515,517,519,521，其和为2072. 答案：207216．解析：P n (x 0)＝a 0x n －10＋…＋a n －2x 20＋a n －1x 0＋a n ，共需n 次加法运算，每个小因式中所需乘法运算依次为n ，n －1，…，1.故共需计算次数为n ＋n (n ＋1)2＝12n (n ＋3)．第二种运算中，P 0(x 0)＝a 0，不需要运算，P 1(x 0)＝x 0P 0(x 0)＋a 1，需2次运算．P 2(x 0)＝x 0P 1(x 0)＋a 2，需2＋2次运算，依次往下，P n (x 0)需2n 次运算． 答案：12n (n ＋3) 2n三、解答题：17．证明：(分析法)要证x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2，只需证明2(x 4＋y 4)≥xy (x ＋y )2， 即证2(x 4＋y 4)≥x 3y ＋xy 3＋2x 2y 2.只需x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3与x 4＋y 4≥2x 2y 2同时成立即可． 又知x 4＋y 4－2x 2y 2＝(x 2－y 2)2≥0，即x 4＋y 4≥2x 2y 2成立， 只需再有x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3成立即可． 由于x 4＋y 4－x 3y －xy 3＝(x －y )(x 3－y 3)， ∵x －y 与x 3－y 3同号，∴(x －y )(x 3－y 3)≥0，即x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3成立．∴对于任意实数x ，y 都有x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2成立．18．证明：(1)因为E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，所以EF ∥BC ，EF ⊄面ABC ，BC ⊂面ABC .所以EF ∥平面ABC .(2)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以BB 1⊥面A 1B 1C 1，BB 1⊥A 1D ， 又A 1D ⊥B 1C ，所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C ， 又A 1D ⊂平面A 1FD ， 所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .19．证明：假设三条抛物线均与x 轴无两交点，则Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0，Δ3＝4a 2－4bc ≤0，∴a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ≤0，即12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≤0，∴a ＝b ＝c ，与a ，b ，c 是互不相等的实数矛盾．故三条抛物线中，至少有一条与x 轴有两个交点．20．解：(1)∵f (2)＝f (2×1)＝f (2)·f (1)，又f (2)＝2，∴f (1)＝1.又∵f (4)＝f (2·2)＝f (2)·f (2)＝4,2＝f (2)<f (3)<f (4)＝4，且f (3)∈N *.∴f (3)＝3.(2)由f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝3，猜想f (n )＝n (n ∈N *)．(3)用数学归纳法证明：(ⅰ)当n ＝1时，f (1)＝1，函数解析式成立． (ⅱ)假设n ＝k 时，f (k )＝k ，函数解析式成立．①若k ＋1＝2m (m ∈N *)，f (k ＋1)＝f (2m )＝f (2)·f (m )＝2m ＝k ＋1. ②若k ＋1＝2m ＋1(m ∈N *)，f (2m ＋2)＝f [2(m ＋1)]＝f (2)·f (m ＋1)＝2(m ＋1)＝2m ＋2，2m ＝f (2m )<f (2m ＋1)<f (2m ＋2)＝2m ＋2. ∴f (2m ＋1)＝2m ＋1＝k ＋1.即当n ＝k ＋1时，函数解析式成立． 综合(ⅰ)(ⅱ)可知，f (n )＝n (n ∈N *)成立． 21．解：(1)a 10＝10，a 20＝10＋10d ＝40， ∴d ＝3.(2)a 30＝a 20＋10d 2＝10(1＋d ＋d 2)(d ≠0)， a 30＝10[(d ＋12)2＋34]，当d ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a 30∈[7.5，＋∞)；(3)所给数列可推广为无穷数列{a n }，其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列，当n ≥1时，数列a 10n ，a 10n ＋1，…，a 10(n ＋1)是公差为d n 的等差数列．研究的问题可以是：试写出a 10(n ＋1)关于d 的关系式，并求a 10(n ＋1)的取值范围 研究的结论可以是：由a 40＝a 30＋10d 3＝10(1＋d ＋d 2＋d 3)， 依次类推可得a 10(n ＋1)＝10(1＋d ＋…＋d n ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧10×1－d n ＋11－d ，d ≠1，10(n ＋1)，d ＝1.当d >0时，a 10(n ＋1)的取值范围为(10，＋∞)． 22．解：(1)依题意有x 2＋a bx －c＝x ，化简为(1－b )x 2＋cx ＋a ＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2＋0＝－c 1－b，2·0＝a 1－b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1＋c 2，代入表达式得f (x )＝x 2(1＋c 2)x －c ，由f (－2)＝－21＋c <－12，得c <3.又因为c ∈N ，b ∈N ，若c ＝0，b ＝1，f (x )＝x 不止有两个不动点，若c ＝1，b ＝32，则f (x )＝x只有一个不动点，所以c ＝2，b ＝2，故f (x )＝x 22(x －1)(x ≠1)．(2)由题设得4S n ·(1a n)22(1a n－1)＝1，得2S n ＝a n －a 2n ，(*) 且a n ≠1，把n －1代入得2S n －1＝a n －1－a 2n －1.(**)由(*)与(**)两式相减得2a n ＝(a n －a n －1)－(a 2n －a 2n －1)，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1＋1)＝0，所以a n ＝－a n －1或a n －a n －1＝－1，把n ＝1代入(*)得2a 1＝a 1－a 21，解得a 1＝0(舍去)或a 1＝－1.由a 1＝－1，a n ＝－a n －1，得a 2＝1，这与a n ≠1矛盾，所以a n －a n －1＝－1，即{a n }是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以a n ＝－n .(3)证明：(采用反证法)假设a n ≥3(n ≥2)，则由(1)知a n ＋1＝f (a n )＝a 2n2a n －2，所以a n ＋1a n ＝a n 2(a n －1)＝12·(1＋1a n －1)≤12(1＋12)＝34<1，即a n ＋1<a n (n ≥2，n ∈N )，有a n <a n －1<…<a 2，而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，所以a 2<3.这与假设矛盾，故假设不成立，所以a n <3.第三章 综合能力检测答案一、选择题：1．解析：由复数的概念可知x ＋y 仍是虚数． 答案：B2． 解析：4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i)(1－2i)1＋22＝(4＋6)＋(3－8)i5＝2－i. 答案：B3．解析：m －2i 1＋2i ＝(m －2i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(m －4)－2(m ＋1)i5，对于m 的值，不存在m 使m －4>0且m＋1<0，故对应的点不可能在第一象限． 答案：A4．解析：∵z ＝(a ＋3i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝a ＋65＋(3－2a )i 5.若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝0，3－2a ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，a ≠32.答案：C5．解析：由于实系数一元二次方程的虚根成对出现，是互为共轭复数的，故另一根为3－2i ，则(3＋2i)·(3－2i)＝q2＝13.故选A.6．解析：∵P 2P 1→＝OP 1→－OP 2→，∴P 2P 1→对应的复数为z 1－z 2＝(2－5i)－(－3＋i)＝5－6i. 答案：B7．解析：由m1＋i ＝1＋n i 得m ＝(1＋i)(1－n i)＝(1＋n )＋(1－n )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1＋n ，0＝1－n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，∴m ＋n i ＝2＋i. 答案：C8．解析：设z ＝x ＋y i ，则|3x ＋3y i ＋1|＝|x ＋y i －i|. ∴(3x ＋1)2＋9y 2＝x 2＋(y －1)2， 即4x 2＋4y 2＋3x ＋y ＝0.∴复数z 对应点Z 的轨迹为圆．故选C.9．解析：由z ＝12＋32i 可得，z ＋1z ＝12＋32i ＋12－32i ＝1∈R . ∴z ＝12＋32i 是z ＋1z ∈R 的充分条件．但z ＋1z ∈R ⇒|z |＝1z ＝12＋32i ，所以z ＝12＋32i 是z ＋1z∈R 的充分非必要条件． 答案：A10．解析：－35＋2i 2＋35i ＋(21＋i )2008＝i(35i ＋2)2＋35i ＋1i1004＝i ＋1. 答案：B11．解析：f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i1＋i )n ＝i n ＋(－i)n (n ∈N *)，根据i n 取值的周期性，给n 赋值发现集合{x |x ＝f (n )}＝{0，－2,2}，故应选C.12．解析：由|z |＝1，得|z |2＝1，即z ·z ＝1，所以x ＝a －z z z －a z ＝a －zz (z －a )＝－1z＝－z ，所以|x |＝|－z |＝1. 答案：B二、填空题：13．解析：由已知得z ＝z 0z 0－3＝3＋2i 2i ＝1－32i. 答案：1－32i14．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z ＋2＋2i|＝|z |得(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝x 2＋y 2，即x ＋y ＋2＝0，点(1，－1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|1－1＋2|2＝2，∴|z －1＋i|的最小值为 2. 答案： 215．解析：1＋7i 2－i ＝(1＋7i)(2＋i)4＋1＝－1＋3i由－1＋3i ＝a ＋b i 得a ＝－1，b ＝3 ∴ab ＝－3 答案：－316．解析：由k 1z 1＋k 2z 2＋k 3z 3＝0得k 1(1＋2i)＋k 2(1－i)＋k 2·(－2)＝0， 即(k 1＋k 2－2k 3)＋(2k 1－k 2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2－2k 3＝0，2k 1－k 2＝0.∴k 1∶k 2∶k 3＝1∶2∶32.(答案不唯一，只需满足1∶2∶32的任何一组都行) 答案：{1,2，32}三、解答题：17．解：(1)z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝x ＋2i ＋x i －2＝(x －2)＋(2＋x )i ，因为z 1z 2是实数，所以x ＋2＝0，所以x ＝－2.(2)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)＝2(12－3i －4i 2)＋(28－4i －21i ＋3i 2)＝2(11－7i)＋25(1－i)＝47－39i.18．解：原方程化简为|z |2＋(z ＋z )i ＝1－i ，设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，代入上述方程；得x 2＋y 2＋2x i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，2x ＝－1.解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.所以原方程的解是z ＝－12±32i.19．解：z ＝2＋4i －(1＋3i)i ＝1＋i i ＝－i(1＋i)＝1－i ，ω＝1＋(a －1)i ，ωz ＝1＋(a －1)i1－i＝[1＋(a －1)i](1＋i)2＝2－a ＋a i 2，由|ωz |≤2，得(2－a 2)2＋(a2)2≤2，解得1－3≤a ≤1＋ 3.故a 的取值范围是[1－3，1＋3]．20．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z －1z ＋1＝(x －1)＋y i (x ＋1)＋y i ＝x 2＋y 2－1＋2y i(x ＋1)2＋y 2是纯虚数，∴x2＋y 2＝1且y ≠0，于是－1<x <1.而|z 2－z ＋2|＝|(x ＋y i)2－(x ＋y i)＋2|＝|(x 2－y 2－x ＋2)＋y (2x －1)i|＝(x 2－y 2－x ＋2)2＋y 2(2x －1)2＝8x 2－6x ＋2＝8(x －38)2＋78，∴当x ＝38时，|z 2－z ＋2|取得最小值144. 21．解：(1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则 (2x ＋5)2＋(2y )2＝(x ＋10)2＋y 2. 化简得x 2＋y 2＝25.∴|z |＝5. (2)∵z m ＋m z ＝x ＋y i m ＋m x ＋y i＝(x m ＋mx x 2＋y 2)＋(y m －myx 2＋y2)i 为实数，∴y m －myx 2＋y 2＝0. 又y ≠0，且x 2＋y 2＝25， ∴1m －m25＝0，解得m ＝±5. (3)(1－2i)z ＝(1－2i)(x ＋y i)＝(x ＋2y )＋(y －2x )i ，依据题意，得x ＋2y ＝y －2x . ∴y ＝－3x .①又∵|z |＝5，即x 2＋y 2＝25.② 由①、②得⎩⎨⎧x ＝102，y ＝－3102或⎩⎨⎧x ＝－102，y ＝3102.∴z ＝102－3102i 或z ＝－102＋3102i. 22．解：(1)解方程x ＋1x ＝2，得x ＝22±22i.当α1＝22＋22i 时，ω＝α2n －11＝(α21)nα1＝[(22＋22i)2]n α1＝in α1.由i n 的周期性知，ω有四个值，n ＝1时，ω＝22＋22i ；n ＝2时，ω＝－22＋22i ；n ＝3时，ω＝－22－22i ；n ＝4是，ω＝22－22i. 当α2＝22－22i 时，ω＝α2n －12＝(α22)n α2＝(－i)nα2.当n ＝1时，ω＝22－22i ；n ＝2时，ω＝－22－22i ；n ＝3时，ω＝－22＋22i ；n ＝4时，ω＝22＋22i.∴不论α＝22＋22i 还是α＝22－22i ，都有 M α＝{22＋22i ，22－22i ，－22＋22i ，－22－22i}，P ＝2C 24＝13. (2)取α＝－12＋32i ，则α3＝1，α5＝－12－32i ，于是M α＝{α，α3，α5}＝{－12＋32i,1，－12－32i}．(或取α＝－12－32i ，则α3＝1，α5＝－12＋32i)。
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高二数学选修2-2练习题（二）2.1离散型随机变量及其分布列 2.2二项分布及其应用 2.3离散型随机变量的均值与方差 2.4正态分布A 组题（共100分）一．选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、投掷质地均匀的硬币一次，可作为随机变量的是（ ） A.掷硬币的次数 B.出现正面的次数C. 出现正面或反面的次数D. 出现正面与反面的次数之和2、设随机变量X 的分布为1(),1,2,3()3iP x i a i ==⋅=，则a 的值为（ ）A.1B.913 C. 1113 D. 27133、若随机变量ξ等可能取值1,2,3,,,n 且P(ξ＜4）=0.3，那么n =（ ）A.3B.4C.10D.94、将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现1k +次正面的概率，那么k 的值为（ ）A.0B. 1C. 2D. 3 5、已知3()5P A =，1()2P B A =，则()P AB =（ ） A. 56 B. 910 C. 310 D. 110二．填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分.6、某大学一寝室住有6名大学生，每晚1900∶至2000∶，这6名大学生中任何一位留在寝室的概率都是0.5，则在1900∶至2000∶间至少有3人都在寝室的概率是______ ___． 7、甲射击命中目标的概率是12，乙射击命中目标的概率是23，丙射击命中目标的概率是34，现三人同时射击目标，三人同时击中目标的概率是__ ___；目标被击中的概率是 ． 8、已知某离散型随机变量X 的数学期望76EX =，X 的分布如下：X 0 1 2 3Pa13 16b则a =_____ ___．9、一个袋中有10个大小相同的小球，其中6个红球，4个白球，现从中摸3个，至少摸到2个白球的概率是__________________.三．解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 10、（本题12分）有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件．求：⑴第一次抽到次品的概率；⑵第一次和第二次都抽到次品的概率；⑶在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.11、（本题14分）已知随机变量ξ的分布列为ξ2- 1- 0 1 2 3P112 14 13 112 16 112请分别求出随机变量ξ21=X 和ξ2=Y 的分布列.12、（本题14分）设离散型随机变量X 的所有可能值为,4,3,2,1且(),(1,2,3,4)P x k ak k ===⑴求常数a 的值；⑵求X 的分布列；⑶求(24)P x ≤＜.B 组题（共100分）四、选择题：本大题共5题，每小题7分，共35分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
13、若随机变量X 服从两点分布，且成功概率为0.7；随机变量Y 服从二项分布，且Y ～B （10，0.8），则EX ，DX ，EY ，DY 分别是（ ）A 、0.3, 0.21, 2, 1.6B 、0.7, 0.21, 8, 1.6C 、0.7, 0.3, 8, 6.4D 、0.3, 0.7, 2, 6.414、在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生一次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是（ ） A 、[0.4, 1） B 、(0, 0.6] C 、(0, 0.4] D 、[0.6, 1)15、位于坐标原点的一个质点P ，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是21．质点P 移动5次后位于点（2，3）的概率是（ ）A 、5)21( B 、525)21(C C 、335)21(C D 、53525)21(C C 16、已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差σξ为（ ）ξ 1 3 5 P0．40．1xA 、3．56B 、3. 2C 、2.3D 、56.3 17、若X ～N （10，4）则P （6＜X ≤10）=（ ）A 、0．6826B 、0. 3413C 、0. 9544D 、0. 4772 五、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。
18、已知ξ的分布列为P （ξ=k ）=k c2（k=1，2，…，6），其中c 为常数，则P （ξ≤2）=__________. 19、随机变量ξ的分布列为ξ 1 2 4 P0．40．30．3那么E （5ξ+4）=______________.20、某人参加考试，需从10道题中随机抽3题，规定至少要做对2题才算合格，已知此人会解其中的6道题，则此人能够合格的概率是__________. 21、已知Y ～N （3，1），则P （4＜Y ＜5）=_____________．六、解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22、某考生参加一种测试，需回答三个问题，规定：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分。
已知该考生每题回答正确的概率都是0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（1）求这名同学回答这三个问题的总得分X 的概率分布列和数学期望； （2）求这名同学总得分不低于100分的概率.23、甲、乙、丙三名射击选手，各射击一次，击中目标的概率如下表所示，选手 甲乙 丙 概率21 PP若三人各射击一次，恰有n 名选手击中目标的概率为Pn=P （ξ=n ）（n=0，1，2，3）. (1)求Pn 的分布列；(2)若击中目标的期望值为2，求P 值.24、某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下，发生的概率为0．3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施的费用分别为45万元和30万元，采用相应措施后突发事件不发生的概率分别为0．9和0．85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请你确定预防方案，并使总费用最少．（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值）C 组题（共50分）七、选择或填空题：本大题共2题。
25、口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{}a n ，⎩⎨⎧=次摸到白球第次摸到红球第n 1n 1-a n ，如果S n 为数列{}a n 的前n 项和,那么37=S 的概率为( ) A 、5257)32()31(C B 、5227)31()32(C C 、5257)31()31(C D 、2237)52()31(C26、已知P 随机变量X ～N （μ，σ2），且其正态曲线在（－∞，80）上是增函数，在 （80，+∞）上为减函数，且6826.0)(8872,=⎰dx x σμϕ，则=⎰dx x )(7264,σμϕ________．八、解答题：本大题共2小题，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
27、某陶瓷厂准备烧制三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5, 0.6, 0.4 . 经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6, 0.5, 0.75． （1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．28、设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量X 表示方程02=++c bx x 实根的个数（重根按一个计）．（1）求方程02=++c bx x 有实根的概率； （2）求X 的分布列和数学期望；（3）求在先后两次的点数中有5的条件下，方程02=++c bx x 有实根的概率．A 组答案1～5. BDCCC 6.3221 7.41 , 2423 8.31 9.3110、解：记“第一次抽到次品”的事件为A, “第二次抽到次品”的事件为B,则“第一次和第二次都抽到次品”的事件为AB ，⑴41)(22011915=⋅=A A A A P ⑵191)(22025==A A AB P ⑶19441191)()()(===A P AB P A B P11、解：随机变量ξ21=X 的分布列为：X1- 21- 021 123 P112 141311216112随机变量ξ2=Y 的分布列为：Y 0149P1313 14 11212、解：⑴由条件得：1432=+++a a a a110=∴a 得101=a ⑵由已知可列出X 的分布列如下：X 1 2 3 4 P0.10.20.30.4⑶)3()2()42(=+==≤x P x P x P ＜5.03.02.0=+=B 组答案13—17. BABDD 18.2116 19. 15 20. 3221. 0.13522、解：（1）由题知，总得分X 的概率分布列为：X-300-100100300P32.08.02.0223⋅⋅C 2238.02.0⋅⋅C38.0∴ E X=()322322338.03008.02.01008.02.0)100(2.0300⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-+⋅-C C=180P （X ≥100）= P （X=100）+P （X=300）=32238.08.02.0+⋅⋅C=0.89623、解：（1）设三人各射击一次，击中的人数为X ，则X 的分布列为X 0123P2)1(21P - )1()1(212P P P -+- )1(212P P P -+ 221P （2）由上表知EX=21223)1(2)1()1(21222+=+-++-+-P P P P P P P P ∴ 2P+221= ∴ P=4324、解：（1）若不采取任何预防措施，则总费用为400×0.3=120万元（2）单独采用甲方案，则总费用为45+400×0.1=85万元 （3）单独采用乙方案，则总费用为30+400×0.15=90万元（4）若甲、乙方案同时采用，则总费用为45＋30＋400×0.1×0.15=75.6万元 因此，当联合采用甲、乙两种方案时，总费用最少为75．6万元C 组答案25. B 26. 0.135927、解：分别记甲、乙、丙经过第一次烧制后合格的事件为A 1、A 2、A 3 （1）设E 表示“第一次烧制后恰好有一件合格”的事件∴ P （E ）=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4 =0.38(2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为P =0.3 ∴ ξ～B(3, 0.3) ∴E ξ= np = 3×0.3 = 0.928、解：（1）设基本事件空间为Ω，记“方程02=++c bx x 有实根”为事件A ，则A={（b ，C ）|b 2-4c ≥0，b 、c=1,2,…,6} Ω中的基本事件总数为6×6=36个 A 中的基本事件总数为6+6+4+2+1=19个 ∴所求概率P （A ）=3619（2）由题分析知，X 的可能取值为0,1,2,则P （X=0）=3617 P （X=1）=181362= P （X=2）=3617∴X 的分布列为X 012P3617 181 3617 ∴X 的数学期望EX=1（3）记“先后两次的点数件有5”的事件为B ，则P （B ）=361136251=- P （A ∩B ）=3673616=+ ∴P （A|B ）=1173611367)()(==B P AB P。