艺术生高考数学专题讲义：考点27 平面向量的数量积
高考数学一轮复习讲义平面向量数量积
变式训练 1
(1)若向量 a 的方向是正南方向，向量 b 的方向是正东方向，且|a|
＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝______.
(1)如图所示，由已知，作O→A＝a， O→B＝b，O→A、O→B的方向分别是正南、正东方 向，且|a|＝|b|＝1，则O→C＝－3a 的方向是正北 方向，|O→C|＝|－3a|＝3|a|＝3，O→D＝O→A＋O→B＝ a＋b 的方向是东南方向，|a＋b|＝ 2(四边形 OADB 是正方形)， 且O→C与O→D的夹角是∠COD＝135°，所以(－3a)·(a＋b)＝3× 2 ×cos 135°＝3 2×－ 22＝－3.
探究提高
方法一的难点是如何利用条件建立|c|的表达式，突破这一难点的 方法就是结合条件利用向量的数量积将|c|用|a＋b|cos θ＝ 2cos θ 来表示即可．方法二的难点是如何建立 c 坐标的关系式，要突 破这一难点就要先设向量 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，再由 条件建立 c 的坐标的关系式x－122＋y－122＝12即可．方法三的 难点是对向量几何意义的挖掘，突破这一难点，要由条件得出向 量 c 是向量 a，b，a－c，b－c 构成的圆内接四边形的对角线．
答案 (1)－3 (2) 3
向量的夹角与向量的模
例 2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求 a 与 b 的夹角 θ； (2)求|a＋b|； (3)若A→B＝a，B→C＝b，求△ABC 的面积．
运用数量积的定义和|a|＝ a·a. 解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6. ∴cos θ＝|aa|·|bb|＝4－×63＝－12.
平面向量的数量积与应用知识点总结
平面向量的数量积与应用知识点总结平面向量是数学中一个重要的概念，涉及到许多与力学、几何等学科相关的应用。
其中，数量积是平面向量运算中的一种重要操作，具有广泛的应用价值。
本文将对平面向量的数量积以及其应用知识点进行总结。
一、平面向量的数量积数量积，又称点积或内积，是平面向量运算中的一种形式。
对于平面内的两个向量a = (a1, a2) 和 b = (b1, b2)，它们的数量积定义为：a·b = a1*b1 + a2*b2其中，a1 和 b1 是向量 a 和 b 在同一方向上的投影长度，a2 和 b2 是它们在另一方向上的投影长度。
数量积具有以下特性：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积为0的判定：如果 a·b = 0，则两个向量 a 和 b 垂直。
4. 数量积为正负的判定：如果 a·b > 0，则两个向量 a 和 b 的夹角小于 90 度；如果 a·b < 0，则两个向量 a 和 b 的夹角大于 90 度。
二、数量积的应用知识点1. 向量的模长根据数量积的定义，可以得到两个向量 a 和 b 的数量积可以表示为：a·a = ||a||^2其中，||a|| 表示向量 a 的模长，也称为向量 a 的长度。
因此，根据以上公式可以计算向量的模长。
2. 向量夹角的计算利用数量积的特性，可以计算两个向量 a 和 b 之间的夹角θ，公式如下：cosθ = (a·b) / (||a|| * ||b||)利用这个公式，可以计算任意两个向量之间的夹角。
3. 向量投影考虑一个向量 a 在另一个向量 b 上的投影，可以根据数量积得到投影的长度：proj_b(a) = (a·b) / ||b||这个投影长度表示了向量 a 在向量 b 上的投影长度，可以用于求解各种问题。
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
知识讲解 平面向量的数量积 基础
平面向量的数量积【学习目标】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；【要点梳理】要点一：平面向量的数量积1. 平面向量数量积(内积)的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角是?，则数量cosab?叫a与b的数量积，记作ab?，即有??cos 0a bab???????.并规定0与任何向量的数量积为0. 2.一向量在另一向量方向上的投影：cosb?叫做向量b在a方向上的投影. 要点诠释：1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符由cos?的符所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成ab?；今后要学到两个向量的外积ab?，而ab?是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符“·”在向量运算中不是乘，既不能省略，也不能用“×”代替. (3)在实数中，若0a?，且0a b??，则0b?；但是在数量积中，若0a?，且0ab??，不能推出0b?.因为其中cos?有可能为0.2. 投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当?=0?时投影为b；当?=180?时投影为b ?.要点二：平面向量数量积的几何意义数量积ab?表示a的长度||a与b在a方向上的投影cosb?的乘积，这是a b?的几何意义．图（1）（2）（3）所示分别是两向量,ab 夹角为锐角、钝角、直角时向量b在向量a方向上的投影的情形，其中1||cosOBb??，它的意义是，向量b在向量a方向上的投影是向量1OB的数量，即11||aOBOBa??．事实上，当?为锐角时，由于cos0??，所以10OB?；当?为钝角时，由于cos0??，所以10OB?；当090??时，由于cos0??，所以10OB?，此时O与1B重合；当00??时，由于cos1??，所以1．||OBb?；当0180??时，由于cos1???，所以1||OBb??．要点三：平面向量数量积的性质设a与b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1.cos eaaea?????2.0ab ab????3.当a与b同向时，a bab??；当a与b反向时，abab???. 特别的2aaa??或aaa??4.cos abab???5.abab??要点四：向量数量积的运算律1.交换律：abba???2.数乘结合律：??????ababab????????3.分配律：??abcacbc??????要点诠释：1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc?a=c.但是abbc????ac?；2.在实数中，有(a?b)c=a(b?c)，但是????abcabc???显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线. 要点五：向量数量积的坐标表示1.已知两个非零向量11(,)a xy?，22(,)bxy?，1212abxxyy???2.设(,)ax y?，则222||axy??或22||ax y??3.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，那么221212||()()axxyy????(平面内两点间的距离公式).要点六：向量在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件1122//(0)(,)(,)ababbx yxy?????????????(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件1．21200ababxxyy???????(3)求夹角问题．由向量a，b数量积可知，若它们的夹角为?，则||||cosabab???，利用121222221122cos xxyyabab xyxy?????????(4)求线段的长度，可以利用2aa?或22122121()()PPxxy y????【典型例题】类型一：平面向量数量积的概念例1．已知a、b、c是三个非零向量，则下列命题中正确的个数为（）①a·b=±|a|·|b|?a∥b；②a、b反向?a·b=－|a|·|b|；③a⊥b?|a+b|=|a－b|；④|a|=|b|?|a·c|=|b·c|．A．1个B．2个 C3个 D 4个【答案】C【解析】（1）∵a·b=|a| |b|cos?，∴由a·b=±|a| |b|及a、b为非零向量可得cos?=±1，∴?=0或π，∴a∥b，且以上各步均可逆，故叙述①是正确的．（2）若a、b反向，则a、b的夹角为π，∴a·b=|a| |b|cosπ=―|a| |b|且以上各步均可逆，故叙述②是正确的．（3）当a⊥b时，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a、b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|a+b|=|a―b|．反过来，若|a+ b|=|a―b|，则以a、b为邻边的四边形为矩形，∴a⊥b，故叙述③是正确的．（4）当|a|=|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来的由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|．故叙述④是不正确的．综上所述，在四个叙述中，前3个是正确的，而第4个是不正确的．【总结升华】需对以上四个叙述逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则．举一反三：【变式1】如果a·b=a·c，且a≠0，那么（）A．b=c B．b=?c C．b⊥c D．b、c在a方向上的投影相等【答案】D类型二：平面向量数量积的运算例2．已知|a|=4，|b|=5，当（1）a∥b，（2）a⊥b，（3）a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．【思路点拨】已知向量|a|与|b|，求a·b，只需确定其夹角?．【解析】（1）当a∥b时，有?=0°和?=180°两种可能．若a与b同向，则?=0°，a·b=|a||b|cos0°=4×5×1=20；若a与b反向，则?=180°，a·b=|a| |b|cos180°=4×5×(―1)=―20．（2）当a⊥b时，?=90°，a·b=|a| |b|cos90°=0．（3）当a与b的夹角为30°时，a·b=|a| |b|cos30°=4×5×31032?．【总结升华】（1）在表示向量的数量积时，a与b之间必须用实心圆“·”来连接，而不能用“×”连接，也不能省略．（2）求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角?，?∈[0°，180°]．②分别求|a|和|b|．③求它们的数量积，即a·b=|a| |b|·cos?．举一反三：【变式1】已知|a|=5，|b|=4，〈a，b〉=3?，求（a+b）·a.【答案】35 【解析】（a+b）·a=2||||||cos3aaabaab??????=35例3．（1）若|a|=4，a·b=6，求b在a方向上的投影；（2）已知|a|=6，e为单位向量，当它们之间的夹角?分别等于60°、90°、120°时，求出a在e方向上的正投影，并画图说明．【答案】（1）32（2）略【解析】（1）∵a·b=|a| |b|cos?=6，又|a|=4，∴4|b|cos?=6，∴3||cos2b??．（2）a在e方向上的投影为|a|·cos?．如上图所示，当?=60°时，a在e方向上的正投影的数量为|a|·cos60°=3；当?=90°时，a在e方向上的投影的数量为|a|·cos90°=0；当?=120°时，a在e方向上的正投影的数量为|a|·cos120°=－3．【总结升华】要注意a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是不同的．类型三：平面向量模的问题例4．（2015春甘肃临夏州期末）已知向量a，b的夹角为60°，且||2a ?，||1b?，（1）求ab?；（2）求||ab?．【答案】（1）1；（2）||7ab??【解析】（1）1||||cos602112abab???????（2）2222||()2ababaabb???????=4+2×1+1=7 所以||7ab??举一反三：【高清课堂：平面向量的数量积395485 例4】【变式1】已知||2,||5,3aba b?????，求||,||abab??．【答案】3523【解析】222()2425635abaabb????????，||35ab???同理，||23ab??【变式2】已知向量,ab满足6,4ab??，且ab与的夹角为60°，求2a bab??和. 【答案】219213【解析】6,4ab??，且ab与的夹角为60°12ab???22276219abaabb????????；2224452213.abaabb???????【总结升华】要根据实际问题选取恰当的公式．类型四：向量垂直（或夹角）问题例5．已知,ab是两个非零向量，同时满足abab ???，求a ab?与的夹角. 【思路点拨】利用121222221122cos xxyyababxyxy?????????求出两个向量的夹角．【解析】法一：将abab???两边平方得221122abab???，2223a baabba???????则2221()32cos23aaaa baabaabaabaa?????????????，故aab?与的夹角为30°. 法二：数形结合法如图，,,aba b?构成一个等边三角形，向量ab?是向量a与向量b夹角的角平分线，所以向量a与向量ab?所成的夹角为30°．【总结升华】注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法.举一反三：【变式1】（2015 山东高密市月考）已知||4a?，||3b?，(23) (2)61abab????，（1）求a与b的夹角?；（2）若(1,2)c?，且ac?，试求a．【答案】（1）?=120°；（2）8545(,)55a??或8545(,)55?．【解析】（1）∵22(23)(2)443ababaabb???????416443cos3961??????????，∴1cos2???，∴?=120°．（2）设(,)axy?，则222420xyxy???????，解得855455xy??????????或855455xy??????????．所以，8545(,)55a??或8545(,)55?．例6．已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a―5b垂直，a―4b与7a―2b垂直．求a与b的夹角?．【思路点拨】由题意知，????3750abab????，????472ab ab???=0，解得| a|=|b|．【解析】∵a+3b与7a―5b垂直，∴(a+3b)·(7a－5b)=0．∵a―4b与7a―2b垂直，∴(a―4b)·(7a―2b)=0．于是有2222716150 73080 aabbaabb?????????????①②由①－②得 2a·b=b2．③将③代入①得a2=b2，∴|a|=|b|．∴22||1cos2||||2||abbabb?????．∵0°≤?≤180°，∴?=60°．【总结升华】正确理解和把握向量数量积性质的运用，以及向量夹角的范围，由2a ·b=b2，不能得出2a=b，同样由a2=b2，也不能得出a=b或a=－b．举一反三：【变式1】已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向a+b与向量k a－b垂直，则k=________．．【答案】1【变式2】设非零向量,,,a b cd，满足()()dacbabc??，求证：ad?【证明】[()()]()()()adaacbabcacababca???? ()()()()0acabacab???ad??类型五：平面向量数量积的坐标表示及运算例7．已知向量a与b同向，b=（1，2），a·b=10．（1）求向量a的坐标；（2）若c=（2，－1）．求（b·c）·a．【解析】（1）∵a与b同向，又b=（1，2），∴设a=?b，则a=（?，2?）．又∵a·b=10，∴1·?+2·2?=10，解得?=2＞0．∵?=2符合a与b同向的条件，∴a=（2，4）．（2）∵b·c=1×2+2×(－1)=0，∴（b·c）·a=0．【总结升华】（1）注意本题由a与b共线且同向的设法及验证；（2）通过本题可以看出（b·c）·a=0，（a·b）·c=10×（2，―1）=（20，―10），显然（b·c）·a≠（a·b）·c，即向量运算结合律一般不成立．举一反三：【变式1】已知向量(3,1)a??和(1,3)b?，若a·c=b·c，试求模为2的向量c的坐标．【解析】设c=（x，y），则(3,1)(,)3acxy xy??????，(1,3)(,)3bcx yxy?????，由a·c=b·c及||2c?，得22332x y xyxy??????????，解得312312xy???????????或312312xy?????????????．所以3131,22c???????????或3131,22c?????????????．【总结升华】涉及向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式以及相关的模长公式和夹角公式，在这个过程中还要熟练运用方程的思想；值得注意的是，对于一些向量数量积坐标运算的问题，有时考虑其几何意义可使问题快速获解．例8．已知三个点A（2，1），B（3，2），D（―1，4）．（1）求证：AB⊥AD；（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．【思路点拨】（1）先用坐标把两条直线用向量表示来，然后利用向量数量积等于零证明．（2）利用向量相等求出C点的坐标，利用121222221122cos xxyyababxyxy?????????求出两条对角线的夹角．【答案】（1）略（2）45【解析】（1）∵A（2，1），B（3，2），D（－1，4），∴(1,1)AB?，(3,3)AD??．又∵1(3)130ABAD???????，∴ABAD?，即AB⊥AD．（2）∵ABAD?，四边形ABCD为矩形，∴ABDC?．设C点坐标为（x，y），则由(1,1)AB?，(1,4)DCxy???，得1141xy???????，即05xy?????．∴C点坐标为（0，5）．从而(2,4)AC??，(4,2)BD??，且||25AC?，||25BD?．8816ACBD????，设AC与BD的夹角为?，则164cos205||||ACBDACBD??????，∴求得矩形的两条对角线所夹锐角的余弦值为45．【总结升华】在求两向量夹角的余弦值时，要注意根据题意选取向量的方向．举一反三：【变式1】已知a=（1，1），b=（0，―2）当k为何值时，（1）k a―b与a+b共线；（2）k a―b与a+b的夹角为120°．【解析】∵a=（1，1），b=（0，―2），k a―b=k（1，1）―（0，―2）=（k，k+2）．a+b=（1，1）+（0，―2）=（1，―1）．（1）∵k a－b与a+b共线，∴k+2―(―k)=0．∴k=－1．（2）∵22||(2)kabkk????，22||1(1)2ab?????，(ka―b)·(a+b)=(k，k+2)·(1，―1)=k―k―2=―2，而ka―b与a+b的夹角为120°，∴()()cos120||||kababkabab???????，即221222(2)kk??????．化简，整理得k2+2k―2=0，解之得13k???．。
平面向量的数量积
平面向量的数量积可以用于判 断两条直线是否平行或垂直
平面向量的数量积可以用于计 算平面上点的坐标和轨迹
04
平面向量的数量积 与向量的模的关系
数量积与向量模的关系
数量积的定义：两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积之和 的平方根
数量积的性质：两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦 值的乘积
值
投影：向量a 在向量b上的 投影长度等于 向量a的数量 积除以向量b
的长度
方向：向量a 与向量b的数 量积的正负号 表示两向量的 夹角是锐角还
是钝角
数量积的性质
非零向量的数量积为实数
向量的数量积满足交换律和分配律
向量的数量积为0的充分必要条件是两个向量垂直 向量的数量积与向量的模长和夹角有关，可以用来描述两个向量的 相似程度
05
平面向量的数量积 的运算技巧
代数法计算数量积
定义：两个向量的数量积定义为它们的对应坐标的乘积之和 性质：数量积满足交换律和分配律 坐标法：利用向量的坐标进行计算，公式为：a·b=x1x2+y1y2 几何意义：数量积表示两个向量在垂直方向上的投影长度之积
几何法计算数量积
定义：两个非零向量的夹角余弦值乘以两个向量模的乘积
数量积的运算方法
定义：两个向量的数量积定义为 它们的模长和夹角的余弦值的乘 积
几何意义：表示两个向量在垂直 方向上的投影长度
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
性质：数量积满足交换律和分配 律
计算公式：a · b = |a||b|cosθ， 其中θ为两向量的夹角
03
平面向量的数量积 的应用
在三角形中的应用
平面向量的数量积
高三复习课平面向量的数量积课件
忽视向量夹角
总结词
在计算平面向量的数量积时，学生常常会忽视向量夹角的影响。
详细描述
向量夹角是计算数量积的重要因素之一，夹角余弦值直接影响着数量积的结果。 如果学生忽视了夹角，就会导致计算结果不准确。因此，在计算数量积时，学生 需要特别注意夹角的取值范围和符号。
忽视向量模长的影响
总结词
在计算平面向量的数量积时，学生常常会忽视向量模长的影响。
公式
数量积的公式为 $|vec{a} cdot vec{b}| = |vec{a}| times |vec{b}| times |cos theta|$，其中 $theta$ 是向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 之间的夹角。
几何意义
几何意义
平面向量的数量积表示向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 在垂直方向上 的投影的模长之积。
02
平面向量的数量积运算
线性运算
线性运算包括加法、 数乘和向量的线性组 合等基本运算。
线性运算的性质包括 向量共线定理、向量 模的性质等。
向量加法满足交换律 和结合律，数乘满足 分配律。
数量积的坐标表示
数量积的坐标表示是通过向量的坐标来计算两个向量的数量积。
设向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1},y_{1})$，$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。
高三复习课平面向量的数量积课 件
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目录
平面向量的数量积
平面向量的数量积平面向量的数量积，也叫点积或内积，是向量运算中的一种重要操作。
它与向量的夹角以及向量的长度有着密切的关系。
在本文中，我们将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方法以及一些应用。
一、概念平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘，并将所得乘积相加而得到的数值。
设有两个平面向量A和A，它们的数量积记作A·A，计算公式为：A·A = AAAA + AAAA其中，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量。
二、计算方法要计算平面向量的数量积，需要先求出两个向量在A轴和A轴上的分量，然后按照数量积的计算公式进行计算。
假设有两个向量A = (A, A)和A = (A, A)，它们的数量积为A·A，计算步骤如下：1. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；2. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；3. 将AA和AA、AA和AA进行相乘得到AA和AA；4. 将AA和AA相加，得到平面向量的数量积A·A。
三、性质平面向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：A·A = A·A2. 数乘结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)3. 分配律：(A + A)·A = A·A + A·A其中，A为任意实数，A、A和A为任意向量。
四、夹角与数量积的关系两个非零向量A和A的数量积A·A与它们夹角A的余弦函数之间存在着如下关系：A·A = ‖A‖‖A‖cosA其中，‖A‖和‖A‖分别为向量A和A的长度。
五、应用平面向量的数量积在几何和物理学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 判断两个向量是否垂直：如果两个向量的数量积为零，即A·A = 0，那么它们是垂直的。
2. 计算向量的模：根据数量积的性质，向量的模可以通过向量与自身的数量积来计算。
平面向量的数量积知识点整理
平面向量的数量积知识点整理1.定义与性质：-向量的数量积定义为：设有两个向量A=(A₁,A₂)和A=(A₁,A₂)，则它们的数量积定义为A·A=A₁A₁+A₂A₂。
-数量积的结果是一个实数。
2.计算方法：-垂直坐标法：直接计算坐标相乘再相加。
-几何解释法：通过几何图形来计算，利用向量的长度和夹角的三角函数关系。
-运算律：满足交换律、分配律和结合律。
3.辅助定理：-平行四边形法则（平行四边形法则）：设有向量A、A和A，则有A·A+A·A=A·(A+A)。
-向量延长线法则：设有向量A和向量A，则有A·A=A·A。
4.性质：-零向量性质：零向量与任何向量的数量积都等于0，即A·A=A。
-等量向量性质：等量向量的数量积等于它们的模长的乘积，即A·A=∣A∣∣A∣。
-单位向量性质：单位向量与任意向量的数量积等于原向量的模长乘以单位向量的模长，即A·A=∣A∣，其中A为单位向量。
-归一型：对于任何非零向量A，总是可以找到一个单位向量A，使得A=∣A∣A。
5.夹角与正交性：- 夹角余弦定理：设有向量A和向量A，则有A·A =∣A∣∣A∣cosθ，其中θ为A与A之间的夹角。
-夹角性质：若A·A=0，则A与A垂直，称为正交向量或垂直向量。
-垂直定理：当且仅当A·A=0时，A与A垂直。
6.平面向量能否为0？-若A·A=0，则向量A与向量A相互垂直。
-反之，若向量A与向量A相互垂直，则A·A=0。
7.一些常用公式的推导：- 向量投影：设有向量A和向量A，A为向量A在向量A上的投影，则有A = (∣A∣cosθ)A，其中θ为两向量之间的夹角，A为单位向量。
- 向量投影的计算公式：向量A在向量A上的投影A的大小为∣A∣cosθ，其中A为两向量之间的夹角。
8.应用：-判断两向量是否垂直。
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考点二十七 平面向量的数量积知识梳理1．两个向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角，记作< a ，b >．当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；当θ＝90°时，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .2．平面向量的数量积已知两个向量a 和b ，它们的夹角为θ，我们把|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.3．平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的射影|b |cos θ的乘积或b 的长度|b |与a 在b 方向上的射影|a |cos θ的乘积．注意：b 在a 方向上的投影为|b |cos θ＝a·b |a|，而a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a·b |b|，投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.4．平面向量数量积的重要性质(1)e ·a ＝a·e ＝|a |cos θ；(2) a ⊥b ⇔a·b ＝0；(3)当a 和b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 和b 反向时，a ·b ＝﹣|a ||b |；特别地，a ·a ＝|a |2，|a |＝a·a ；(4)cos θ＝a·b |a||b|； (5)|a·b |≤|a||b|.5．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )；(3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .6．平面向量数量积的坐标运算设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1) a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2(2) |a |2＝x 12＋y 12或|a |＝x 12＋y 12.(3) a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4) cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12 ·x 22＋y 22典例剖析题型一 平面向量数量积的计算例1 已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝____. 答案 3解析 a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×3×cos30°＝2×3×32＝3. 变式训练 在△ABC 中，三边长均为1，设AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，求a·b ＋b·c ＋c·a 的值．解析 ∵|a|＝|b|＝|c|＝1，∴<a ，b>＝120°，<b ，c>＝120°，<c ，a>＝120°，∴a·b ＝|a||b|cos120°＝－12， b·c ＝|b||c|cos120°＝－12， c·a ＝|c||a|cos120°＝－12， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32. 解题要点 在用定义求解两向量数量积时，要特别注意两向量的夹角，求夹角时，应将两向量平移至同一起点，再观察其夹角的大小.题型二 利用数量积求射影例2 若|a|＝4，|b|＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为________.答案 2 3解析 a 在b 方向上的投影为|a |cos<a ，b >＝4×cos30°＝2 3.变式训练 已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________.答案 322解析 由已知得AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322. 题型三 利用数量积求模长例3 已知向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b|＝________．答案 3解析 |a －b |＝（a －b ）2＝a 2＋b 2－2a·b ＝12＋22－2×1×2cos60°＝ 3.变式训练 已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________． 答案 3解析 |a |2＝a ·a ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－2e 2)＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9－12×1×1×13＋4＝9.∴|a |＝3. 解题要点 一般来说，求模长，通常要平方，即利用公式：|a |2＝a 2＝a ·a ，常见利用数量积求解模长的处理方法：(1)|a |2＝a 2＝a ·a ；(2)|a ±b |2＝a 2±2a ·b ＋b 2；(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.题型四 利用数量积求夹角例4 若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，(a ＋b )·b ＝32，则向量a ，b 的夹角为________. 答案 60°解析 ∵(a ＋b )·b ＝b 2＋a·b ＝1＋a·b ＝32， ∴a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝12，cos 〈a ，b 〉＝12，〈a ，b 〉＝60°. 变式训练 若e 1，e 2是平面内夹角为60°的两个单位向量，则向量a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2的夹角为________.答案 120°解析 a ·b ＝－6e 21＋2e 22＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72， 又|a |＝(2e 1＋e 2)2＝ 5＋4×12＝7， |b |＝ (－3e 1＋2e 2)2＝ 13－12×12＝7， ∴a 与b 的夹角θ满足：cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－727×7＝－12， 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.解题要点 求两个非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两个向量的夹角为直角；数量积小于0且两个向量不能共线时两个向量的夹角就是钝角．题型五 利用数量积求解垂直问题例5 (1)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝________.(2) 已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝________.答案 (1) －3 (2) 3解析 (1)∵m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，又(m ＋n )⊥(m －n )，∴－2λ－3－3＝0，得λ＝－3.(2) 因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3， 变式训练 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ； 解析 证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝2.又∵a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，∴2－2a·b ＝2，即a·b ＝0.故a ⊥b .解题要点 两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |.对于给出向量的坐标的垂直问题，既可以利用坐标运算，即利用公式a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0求解，也可以利用数量积的定义求解，即利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ求解.当堂练习1．(2015新课标II 文)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于________.答案 1解析 因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，得(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.2．(2015重庆文)已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为________. 答案 2π3解析 因为a ⊥(2a ＋b )，所以a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，又|b |＝4|a |，则上式可化为2|a |2＋|a |×4|a |·cos 〈a ，b 〉＝0即2＋4cos 〈a ，b 〉＝0，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，即a ，b 夹角为2π3. 3. 若向量a ＝(x ＋1,2)和向量b ＝(1，－1)平行，则|a ＋b |＝________.答案 2解析 依题意得，－(x ＋1)－2×1＝0，得x ＝－3，故a ＋b ＝(－2,2)＋(1，－1)＝(－1,1)，所以|a ＋b |＝(－1)2＋12＝ 2.4．在△ABC 中，AB →＝(3，－1)，BC →＝(1，－3)，则cos B ＝________.答案 －32解析 ∵在△ABC 中，AB →＝(3，－1)，BC →＝(1，－3)，∴|AB →|＝2，|BC →|＝2，BA →＝(－3，1)，∴cos B ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝－232×2＝－32.5．(2015湖北文)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.答案 9解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.课后作业一、 填空题1．在边长为2的正△ABC 中，AB →·BC →等于________.答案 －2解析 AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－∠ABC )＝2×2×cos120°＝－2.2．已知向量a 和b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|a －b |＝________.答案 13解析 |a －b |2＝(a －b )2＝|a |2＋|b |2－2a·b ＝13，故|a －b |＝13.3．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝________.答案 3解析 ∵AB →·BC →＝1，且AB ＝2，∴1＝|AB →||BC →|cos(π－B )，∴|BC →|cos B ＝－12. 在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即9＝4＋BC 2－2×2×⎝⎛⎭⎫－12. ∴BC ＝ 3.4．在R t △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则 AB →·AC → 等于________.答案 16解析 AB →·AC →＝(CB →－CA →)·(－CA →)＝－CB →·CA →＋CA →2＝16.5．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________.答案 π3解析 设a 与b 的夹角为θ，由|a |＝1，|b |＝2，得(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a·b －2b 2＝1＋1×2×cos θ－2×4＝－6，解得cos θ＝12.再由0≤θ≤π可得θ＝π3. 6．已知向量a 与b 的夹角为π3，|a |＝2，则a 在b 方向上的投影为________. 答案 22解析 ∵a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝2cos π3＝22.7．(2015北京文)设a ，b 是非零向量，“a·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的________条件答案 充分而不必要条件解析 由数量积定义a ·b ＝|a |·|b |·cos θ＝|a |·|b |，(θ为a ，b 夹角)，∴cos θ＝1，θ∈[0°，180°]，∴θ＝0°，∴a ∥b ；反之，当a ∥b 时，a ，b 的夹角θ＝0°或180°，a ·b ＝±|a |·|b |.8．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝________. 答案 3解析 根据平面向量的夹角公式可得1×3＋3m 2×9＋m 2＝32，即3＋3m ＝3×9＋m 2，两边平方并化简得63m ＝18，解得m ＝3．9．(2015浙江文)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.答案 233解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12.所以e 1与e 2的夹角为60°.又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1， 所以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0，所以b ⊥(e 1－e 2)．所以b 与e 1的夹角为30°，所以b ·e 1＝|b |·|e 1|cos 30°＝1.∴|b |＝233. 10．已知a ＝(1，3)，b ＝(－1,0)，则|a ＋2b |＝________.答案 2解析 ∵a ＋2b ＝(－1，3)，∴|a ＋2b |＝(－1)2＋(3)2＝2.11．若|a |＝2，|b |＝4，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角是_______．答案 2π3解析 设向量a ，b 的夹角为θ.由(a ＋b )⊥a 得(a ＋b )·a ＝0，即|a |2＋a ·b ＝0，∵|a |＝2，∴a ·b ＝－4，∴|a |·|b |·cos θ＝－4，又|b |＝4，∴cos θ＝－12，即θ＝2π3. ∴向量a ，b 的夹角为2π3. 二、解答题12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)．(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ；(2)求向量a 在b 方向上的投影．解析 (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b ·c ＝2×6－2×6＝0，∴(b ·c )a ＝0a ＝0.(2)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. ∴|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋2×(－2)22＋(－2)2＝－222＝－22. 13．(2015广东理)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． 解析 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12， 即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.。