高考数学一轮复习 34 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件 理 新人教A版
高三数学一轮复习 4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
π 3
的图象. ( × )
(3)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0)的最大值为 A,最小值为-A.( × )
(4)如果 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 T,那么函数图象的两个
相邻对称中心之间的距离为���2���. ( √ )
(5)若函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数,则 φ=2kπ+π2(k∈Z). ( × )
3.函数 f(x)=2sin(ωx+φ)
������>0,-Fra bibliotekπ 2
<
������
<
π 2
的部分图象如图所
示,则 ω,φ 的值分别是( A )
A.2,-π3 B.2,-π6 C.4,-π6 D.4,π3
解析 ∵34T=51π2 −
-
π 3
,∴T=π,∴ω=2.
∴2×51π2+φ=2kπ+π2,k∈Z,∴φ=2kπ-π3,k∈Z.
-9-
知识梳理 双基自测 自测点评
12345
2.将函数 y=2sin
2������
+
π 3
的图象向左平移14个周期后,所得图象
对应的函数解析式为( B )
A.y=2sin
2������-
π 6
C.y=2sin
2������
+
π 12
B.y=2sin
2������
+
5π 6
D.y=2sin
2������
高三数学一轮复习课件
第四章 三角函数、解三角形
4.4 函数y=Asin(ωx+φ) 的图象及应用
-4-
高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
/目录
01
目录
1.函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念
y＝Asin（ωx＋φ）
（A＞0，ω＞0）
振幅
周期
频率
A
2
T＝
ω
1
ω
f＝ ＝
T 2
相位
初相
ωx＋φ
φ
目录
2.用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图
用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图时，要找
区间.如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解.
目录
1.如图，函数y＝ 3tan 2 +
△DEF的面积为
（
π
A.
4
π
B.
2
C.π
D.2π
π
6
的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则
）
解析：A 在y＝ 3tan 2 +
π
6
中，令x＝0，可得y＝1，所以D（0，1）；令y＝
π
π
0，解得x＝ － （k∈Z），故E
,0
6
2
12
12
D. −
5π
,0
12
.
A.8π
π
−
2 6
1
图象上所有点的横坐标缩小到原来的 ，则所得函数的最
2
）
B.4π
C.2π
解析：C 所得函数解析式为y＝sin
π
−
6
D.π
，周期为2π.
目录
1
3
4.函数y＝ sin
3
2
1
答案：
2020版高考数学一轮复习 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用讲义理(含解析)
第4讲函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用1.“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示．(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象．2．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤1．概念辨析(1)将函数y ＝3sin2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( ) (2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( )(3)将函数y ＝2sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得函数y＝2sin x2的图象．( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．小题热身(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4 C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8答案 A解析 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅是2，周期T ＝2π2＝π，频率f ＝1T ＝1π，初相是π4，故选A.(2)用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、__________、________、________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，0解析 列表：五个点依次是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0、⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1、⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0、⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1、⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，0.(3)将函数f (x )＝－12cos2x 的图象向右平移π6个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝________.答案32解析 函数f (x )＝－12cos2x 的图象向右平移π6个单位长度后得函数y ＝－12cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π3＝sin π3＝32.(4)(2018·长春模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 解析 由图象可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以2πω＝π，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x＋φ)，又f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝－2，所以2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.题型 一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2答案 D解析 由C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋π2＝cos ( 2x ＋π6 )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12. 根据三角函数图象变换的规律，可得D 正确．2．(2018·蚌埠一模)已知ω>0，顺次连接函数y ＝sin ωx 与y ＝cos ωx 的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则ω＝( )A ．π B.6π2 C.4π3D.3π 答案 B解析 当正弦值等于余弦值时，函数值为±22，故等边三角形的高为2，由此得到边长为2×33×2＝263，边长即为函数的周期，故2πω＝263，ω＝6π2.3．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上单调递增，求ω的最大值．解 函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω上单调递增，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4.解得0<ω≤32，所以ω的最大值为32.4．已知函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在区间[0，π]内的图象；(3)说明y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象可由y ＝cos x 的图象经过怎样的变换而得到．解 (1)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的振幅为1，周期T ＝2π2＝π，初相是－π3. (2)列表：描点，连线．(3)解法一：把y ＝cos x 的图象上所有的点向右平移π3个单位长度，得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象；再把y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．解法二：将y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝cos2x 的图象；再将y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象常用的两种方法(1)五点法作图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象的变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.1.要想得到函数y ＝sin2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( ) A.向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度答案 B解析 先将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin2x ＋1的图象，故选B.2.(2018·青岛模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g (x )的图象，在g (x )图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为( )A.x ＝－π24B ．x ＝π4C.x ＝5π24D ．x ＝π12答案 A解析 当函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变时，此时函数解析式可表示为f 1(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )可以表示为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.则函数g (x )的图象的对称轴可表示为4x ＋2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝－π24＋k π4，k∈Z .则g (x )的图象离原点最近的对称轴，即g (x )的图象离y 轴最近的对称轴为x ＝－π24.题型 二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式1.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A ．2 2 B. 2 C ．－22 D ．－24答案 D解析 依题意得f ′(x )＝Aωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象，则T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A ＝12.因为0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，即φ＝π4，所以f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－24. 2.设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，其图象上最高点M 的坐标是(2，2)，曲线上的点P 由点M 运动到相邻的最低点N 时，在点Q (6,0)处越过x 轴．(1)求A ，ω，φ的值；(2)函数f (x )的图象能否通过平移变换得到一个奇函数的图象？若能，写出变换方法；若不能，说明理由．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝(6－2)×4＝16，所以ω＝2πT ＝π8.又因为Q (6,0)是零值点，且|φ|<π，所以π8×6＋φ＝π，所以φ＝π4，经验证，符合题意．所以A ＝2，ω＝π8，φ＝π4.(2)f (x )的图象经过平移变换能得到一个奇函数的图象．由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4，当f (x )的图象向右平移2个单位长度后，所得图象的函数解析式为g (x )＝2sin π8x ，是奇函数.确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)中参数的方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：1．(2018·四川绵阳诊断)如图是函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象，则f (3x 0)＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 D解析 ∵f (x )＝cos(πx ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴32＝cos φ，结合0<φ<π2，可得φ＝π6.∴由图象可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，πx 0＋π6＝2π－π6，解得x 0＝53. ∴f (3x 0)＝f (5)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π＋π6＝－32.2.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24等于________．答案3解析 观察图象可知T 2＝3π8－π8，所以π2ω＝π4，ω＝2，所以f (x )＝A tan(2x ＋φ)．又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ，所以3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝π4.又图象过点(0,1)，所以A ＝1.综上知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝ 3.题型 三 三角函数图象性质的应用角度1 三角函数模型的应用1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5 B ．6 C ．8 D ．10答案 C解析 由图象可知，y min ＝2，因为y min ＝－3＋k ，所以－3＋k ＝2，解得k ＝5，所以这段时间水深的最大值是y max ＝3＋k ＝3＋5＝8.角度2 函数零点(方程根)问题2.已知关于x 的方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上存在两个根，则实数a的取值范围是________．答案 [2,3)解析 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a －12，令t ＝x ＋π6，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3得，t ＝x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，画出函数y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象和直线y ＝a －12，当12≤a －12<1，即2≤a <3时，函数y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象和直线y ＝a －12有两个公共点，原方程有两个根.角度3 三角函数图象性质的综合3.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则( )A ．函数f (x )的对称轴方程为x ＝4k π＋π4(k ∈Z )B.函数f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k π＋π4，8k π＋5π4(k ∈Z )C.函数f (x )的递增区间为[8k ＋1,8k ＋5](k ∈Z )D.f (x )≥1的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k －13，8k ＋73(k ∈Z )答案 D解析 由题图知，A ＝2，函数f (x )的最小正周期T ＝4×(3－1)＝8，故ω＝2π8＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ，因为点(1,2)在图象上，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝2，因为|φ|<π2，所以φ＝π4，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，由π4x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝4k ＋1，即函数f (x )的对称轴方程为x ＝4k ＋1(k ∈Z )，所以A 项错误；由2k π＋π2≤π4x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )得8k ＋1≤x ≤8k ＋5，即函数f (x )的单调减区间为[8k ＋1,8k ＋5](k ∈Z )，所以B ，C两项错误；由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4≥1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4≥12，所以2k π＋π6≤π4x ＋π4≤2k π＋5π6(k ∈Z )，解得8k －13≤x ≤8k ＋73(k ∈Z )，即不等式f (x )≥1的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k －13，8k ＋73(k ∈Z )，故选D.(1)三角函数模型在实际应用中体现的两个方面①已知三角函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；②把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．(2)三角函数的零点、不等式问题的求解思路①把函数表达式转化为正弦型函数形式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)； ②画出一个周期上的函数图象；③利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题.1.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 A解析 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )的图象如图所示，由图象可知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数．故选A.2.一个大风车的半径为8 m,12 min 旋转一周，它的最低点P 0离地面2 m ，风车翼片的一个端点P 从P 0开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系式是( )A ．h (t )＝－8sin π6t ＋10B.h (t )＝－cos π6t ＋10C.h (t )＝－8sin π6t ＋8D.h (t )＝－8cos π6t ＋10答案 D解析 设h (t )＝A cos ωt ＋B ，因为12 min 旋转一周， 所以2πω＝12，所以ω＝π6，由于最大值与最小值分别为18,2.所以⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋B ＝18，A ＋B ＝2，解得A ＝－8，B ＝10.所以h (t )＝－8cos π6t ＋10.3.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)满足f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，则f (x )的最小正周期为( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 答案 B解析 依题意，函数f (x )图象的一条对称轴为x ＝0＋π32＝π6，又因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，所以π6－0≤T 4≤π2－π6，所以2π3≤T ≤4π3.根据选项可得，f (x )的最小正周期为π.。
2024版高考数学总复习：函数y=Asin(ωx φ)的图象及简单应用课件
π
3
的图象，只需
(
)
π
A．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移 个
6
单位长度
1
π
B．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的 ，再向右平移 个单
2
6
位长度
π
C．先将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度，再将所有点的横坐标变为
6
1
原来的
2
π
D．先将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度，再将所有点的横坐标变为
ωx＋φ
π
__
0
__
2π
___
x
y＝A sin (ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
1．五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凹凸方向．
1
2．相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的 .
4
3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图
象的两种途径：
由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩，
考点3 三角函数模型及其应用——应用性
考点4 三角函数图象与性质的综合问题——综合性
考点1
由图象确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式——基础性
1．(2022·银川模拟)已知函数y＝sin (ωx＋φ) > 0， <
象如图所示，则此函数的解析式可以是(
A．y＝sin
1
2
C．y＝sin 2
π
(3)若函数y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋ (k∈Z)．
高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用完整文ppt课件
.
2
基考课础点堂诊突总断破结
知识梳理 1．“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点 及与 x 轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：
.
3
基考课础点堂诊突总断破结
• (1)定点：如下表所示.
x
－ωφ
π2－φ ω
π－φ ω
32π－φ ω
为A，最小值为－A.
×
•( )
.(3)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为 一个周期．
(×) (4)函数 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 T，那么函数图象的两 个相邻对称中心之间的距离为T2.
(√ )
.
9
基考课础点堂诊突总断破结
• 2．(2014·四川卷)为了得到函数y＝sin(x＋1) 的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有 的点
叫做周期，f＝T1叫做频率，
ωx＋φ 叫做相位，φ 叫做初相.
.
7
基考课础点堂诊突总断破结
• 诊断自测
• 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
• (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸
缩”与“先伸缩，后平移”中向左或向右
平移的长度一样．
×
•( )
• (2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值
.
16
基考课础点堂诊突总断破结
考点一 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 【例 1】 设函数 f(x)＝sin ωx＋ 3cos ωx(ω＞0)的周期为 π.
(1)求它的振幅、初相； (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (3)说明函数 f(x)的图象可由 y＝sin x 的图象经过怎样的变换 而得到．
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第五章 第六节 函数y=Asin(ω+φ)的图象及三角函数的应用
Z,所以函数 g(x)的图象关于点
π
,0
3
,g(x)的图象的对称轴为直线 2x-
A 项错误;令
中心对称,故
π
2π π
5π
<-2 +2kπ,k∈Z,得- +kπ≤x≤12 +kπ,k∈Z,在区间
3
12
间为
π
0,12
,故 C 项正确;f
项错误.故选 BC.
π
x+ 6
+1=2cos
π
2x+
3
2π
2x- =kπ,得
有的点(
π
x+ 5
的图象,只要把函数 y=3sin
)
4
A.横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变
3
B.横坐标缩短到原来的4,纵坐标不变
4
C.纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变
3
D.纵坐标缩短到原来的 ,横坐标不变
4
π
x+5
的图象上所
答案 C
解析 依题意,应把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的
4
倍,横坐标不变.
π 3π
0, ,π, ,2π.
2
2
微思考 如图所示为函数y=sin(ωx+φ)的部分图象.利用零点代入求φ时,
ωx1+φ,ωx2+φ取哪些值?
提示 若利用x1这样的零点(图象经过(x1,0)时函数单调递减)代入求φ的值,
应令ωx1+φ=π+2kπ(k∈Z);而如果利用x2这样的零点(图象经过(x2,0)时函数
2
移 φ(φ>0)个单位长度,所得的图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小值为(
高三数学(理)一轮复习课件3.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象ppt版本
解析：由题图可知T2＝158π－38π＝32π，∴T＝3π，又 T＝2ωπ，
∴
ω
＝
2 3
，
∴
f(x)
＝
2sin
23x＋φ
，
∵
f(x)
的
图
象
过
点
38π，2
，
∴
2sinπ4＋φ＝2，∴π4＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋π4(k∈Z)．
又∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f(x)＝2sin23x＋π4.由23x＋π4＝kπ(k∈Z)，
利用 y＝sinx 的对称轴为 x＝kπ＋π2(k∈Z)求解，令 ωx＋φ＝kπ ＋π2(k∈Z)得其对称轴．
—[通·一类]—
[同类练]——(着眼于触类旁通) 3．(2016·课标全国Ⅱ，7)若将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平 移1π2个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A．x＝k2π－π6(k∈Z) B．x＝k2π＋π6(k∈Z) C．x＝k2π－1π2(k∈Z) D．x＝k2π＋1π2(k∈Z)
6．函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω>0，－π2<φ<π2 的部分图象如图所示，则 ω＝________.
解析：∵T2＝1112π－152π，∴T＝π. 又 T＝2ωπ(ω>0)，∴2ωπ＝π， ∴ω＝2. 答案：2
一、必记 3●个知识点 1．函数 y＝sinx 的图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω ＞0)的图象的步骤
轴，且 f(x)在1π8，53π6上单调，则 ω 的最大值为( )
A．11
B．9
C．7
D．5
[解析]
依题意，有ωω··π4－＋π4φ＝＋nφπ＝＋mπ2π，
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第5章三角函数、解三角形 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
6
6
π
(0,)是
g(x)的一个单调递增区间,所以
π
π
π
g(0)=-1,即- 6 − 6=2kπ-2,k∈Z,解得
ω=-12k+2,k∈Z,因为 0<ω<6,所以 ω=2,故
2π
T= 2 =π,故
A 正确;令
π
2kπ-2
π
≤2x-6
π
f(x)=sin(2x-6).f(x)的最小正周期
π
≤2kπ+2,k∈Z,解得
1 π
C.y=sin(2x-2 )
π
D.y=sin(2x- )
6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
解析 将函数
y=sin(x-3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
不变),得到图象对应的函数解析式为
1
y=sin(2x-3),将
移3个单位长度,得到的图象对应的函数解析式为
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
(2)将函数y=f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度,得到函数y=g(x)
的图象.若函数y=g(x)图象的一个对称中心为(
5π
12
,0),求θ的最小值;
(3)作出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
f(x)的图象,不但要由 y=2sin 2x 进行平移变
换,而且还要进行对称变换,故③错误;将
中,f(x)≠±1,故②错误;当 f(x)≤
π
+3
π
x= 代入
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A．T＝6，φ＝π6
B．T＝6，φ＝π3
C．T＝6π，φ＝π6
D．T＝6π，φ＝3π
解析：由题意知 f(0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝12，又|φ|<π2，∴φ＝π6，又
T＝6，故选 A.
答案：A
2．函数 y＝sin2x－3π在区间－π2，π上的简图是下列选项中的(
)
解析：当 x＝π6时，y＝sin2×π6－π3＝0；当 x＝π 时，y＝sin2π－π3＝ － 23，从而排除 B、C、D，选 A.
即可． • 答案：A
4．(2013 年高考四川卷)函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－2π<φ<π2)的部 分图象如图所示，则 ω，φ 的值分别是( )
A．2，－π3 C．4，－π6
B．2，－6π D．4，π3
解析：由图象知 T＝2×1112π－152π＝π，ω＝2.又点51π2，2在图象上，
• 画出图象如图所示．
三角函数的图象变换与性质(高频研析)
• 考情分析 三角函数的图象变换与性质在高考中是每年 的必考点之一，在选择题或解答题中出现，常考查基本 的图象变换，稍难的题中是图象变换与三角函数的单调 性、奇偶性、对称性相结合，成为小综合题．
• 角度一 x＋φ)＋B 型
(2)用“五点法”作图应注意四点： ①将原函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)或 y＝Acos(ωx＋φ)(A>0， ω>0)的形式． ②求出周期 T＝2ωπ. ③求出振幅 A. ④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列 出该区间内的特殊点和区间端点．
1．已知函数 f(x)＝sin2x＋π3.画出函数 y＝f(x)在区间[0，π]上的图象． 解析：∵0≤x≤π，∴π3≤2x＋π3≤73π.列表如下：
• 1．(2015年福州质检)已知a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，cos x)，函数f(x)＝a·b.
• (1)求函数f(x)的单调递增区间；
• (2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin x的图象经过怎样的 变换得到？
解析：(1)f(x)＝a·b＝sin xcos x＋cos2x
第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
• 最新考纲展示
• 1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝ Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变 化的影响． 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重 要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题．
• 一、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念及五点法描图 • 1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0；“第二 点”(即图象的“峰点”)为 ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与 x 轴 的交点)为 ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为 ωx＋φ＝32π；“第 五点”为 ωx＋φ＝2π.
1．已知简谐运动 f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|<2π的图象经过点(0,1)，则该简 谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为( )
• 2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
• 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找 五个关键点，如下表所示：
• 二、函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图 象的步骤
1．两种不同变换思路中平移单位的区别： 由 y＝sin x 的图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区 别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期 变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|ωφ|(ω>0)个单位．原因在于相位 变换和周期变换都是针对 x 而言，即 x 本身加减多少值，而不是依赖于 ωx 加减多少值．
角度二 由 y＝Asin(ωx＋φ1)经图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ2)型 2．(2014 年高考浙江卷)为了得到函数 y＝sin 3x＋cos 3x 的图象，可 以将函数 y＝ 2cos 3x 的图象( ) A．向右平移1π2个单位 B．向右平移π4个单位 C．向左平移1π2个单位 D．向左平移π4个单位
所以 sin2×51π2＋φ＝1，56π＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，由－2π<φ<π2得 φ＝
－π3.
• 答案：A
五点法描图(师生共研)
• 例1 已知函数f(x)＝cos2x－2sin xcos x－sin2x.
• (1)将f(x)化为y＝Acos(ωx＋φ)的形式；
• (2)用“五点法”在给定的坐标中，作出函数f(x)在[0， π]上的图象．
＝12sin
2x＋cos
2x＋1 2
＝12sin 2x＋21cos 2x＋12
＝ 22sin2x＋π4＋21. 当 2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，
即 kπ－38π≤x≤kπ＋π8，k∈Z 时，函数 f(x)单调递增，
所以函数 f(x)的单调递增区间为kπ－38π，kπ＋π8，k∈Z.
2．五点法作图中的五点是函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象上五个关键点， 两个最值点，三个零点，在实际作图中，这是首先要考虑的五个点，但 也不能只依赖这五个点，其他的特殊点也应考虑．
3．由 y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定第一个零点的方法： 确定 φ 值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点－ωφ，0作为突 破口．具体如下：
解 析 (1)f(x) ＝ cos2x － sin2x － 2sin xcos x ＝ cos 2x － sin 2x ＝ 2
2 2 cos
2x－
2 2 sin
2x＝
2cos2x＋π4.
• (2)列表：
• 图象为：
规律方法 (1)寻找[0，π]上的特殊点时，可先求出 2x＋4π的范围，在 此范围内找出特殊点，再求出对应的 x 值．
• 答案：A
• 3．(2014年高考四川卷)为了得到函数y＝sin(x＋1)的图 象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点( )
• A．向左平行移动1个单位长度
• B．向右平行移动1个单位长度
• C．向左平行移动π个单位长度
• D．向右平行移动π个单位长度 • 解析：由y＝sin x得y＝sin(x＋1)只需向左平移1个单位