圆的一般方程基础过关训练
高中数学 第四章4.1.2圆的一般方程基础过关训练 新人
4.1.2 圆的一般方程一、基础过关1．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( )A ．m ≤2B ．m ＜12C ．m ＜2D ．m ≤122．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |等于 ( )A ．1B. 2C. 3 D ．23．M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －y －3＝0 C ．2x －y －6＝0D ．2x ＋y －6＝04．已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( )A ．圆内B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外5．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________． 6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.7．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0，求过点A (－3，－5)的直线交圆的弦PQ 的中点M 的轨迹方程．8．求经过两点A (4,2)、B (－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程． 二、能力提升9．若圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是 ( )A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x 2＋y 2＝0D ．x 2－y 2＝010．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝011． 已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．12．求一个动点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程． 三、探究与拓展13．已知一圆过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．答案1．B 2.D 3．B 4．B 5．(0，－1) 6．－27．解 设所求轨迹上任一点M (x ，y )，圆的方程可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4.圆心C (3,3)． ∵CM ⊥AM ，∴k CM ·k AM ＝－1， 即y －3x －3·y ＋5x ＋3＝－1， 即x 2＋(y ＋1)2＝25.∴所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2＝25(已知圆内的部分)． 8．解 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ； 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；由题设，得x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，所以D ＋E ＝－2.① 又A (4,2)、B (－1,3)两点在圆上， 所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0，③由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12， 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0. 9．D 10．A12．解 设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)．由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点，所以x ＝x 0＋32，y ＝y 02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y . 因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 20＝1，则(2x －3)2＋4y 2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝14.所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝14.13．解 设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，①将P 、Q 的坐标分别代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根． ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝E 2－4F ＝48.⑤解②③⑤联立成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝0F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10E ＝－8F ＝4.故所求方程为：x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0.。
第二章 直线和圆的方程(基础过关)(原卷版)附答案.pdf
第二章直线和圆的方程基础过关卷班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：（本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
）1.过三点A（1,﹣1）,B（1,4）,C（4,﹣2）的圆的方程是（ ）A．x2+y2﹣7x﹣3y+2＝0B．x2+y2+7x﹣3y+2＝0C．x2+y2+7x+3y+2＝0D．x2+y2﹣7x+3y+2＝02.点P,Q在圆x2+y2+kx﹣4y+3＝0上（k∈R）,且点P,Q关于直线2x+y＝0对称,则该圆的半径为（ ）A．B．C．1D．23.在圆M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1＝0中,过点E（0,1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为（ ）A．6B．12C．24D．364.圆心为M（1,3）,且与直线3x﹣4y﹣6＝0相切的圆的方程是（ ）A．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝9B．（x﹣1）2+（y﹣3）2＝3C．（x+1）2+（y+3）2＝9D．（x+1）2+（y+3）2＝35.直线y＝kx+3被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4截得的弦长为2,则直线的倾斜角为（ ）A．B．或C．或D．或6.直线l：mx﹣y+1﹣4m＝0（m∈R）与圆C：x2+（y﹣1）2＝25交于两点P、Q,则弦长|PQ|的取值范围是（ ）A．[6,10]B．[6,10）C．（6,10]D．（6,10）7.已知点M为直线x+y﹣3＝0上的动点,过点M引圆x2+y2＝1的两条切线,切点分别为A,B,则点P（0,﹣1）到直线AB的距离的最大值为（ ）A．B．C．D．8. 已知点P（x,y）是直线kx+y+2＝0（k＞0）上一动点,PA、PB是圆C：x2+y2﹣2x＝0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为（ ）A．2B．C．D．二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分,共20分。
(完整版)圆的一般方程练习题
(限时：10分钟)1 .若圆x2 + y 2— 2x — 4y = 0的圆心到直线x — y + a = 0的距离为 誓，则a 的值为()1 3A . — 2 或 2 B.2或2C . 2 或 0D . — 2 或 0解析：圆的标准方程为(x — 1)2 + (y — 2)2 = 5,圆心为(1,2)，圆心2. 若圆x 2+ y 2 — 2ax + 3by = 0的圆心位于第三象限，那么直线x + ay + b = 0 一定不经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析：圆心为a ,— 2b ，则有a<0, b>0.直线x +ay + b = 0变为1 b 1 by = — ?—二由于斜率—a>0,在y 轴上截距—b >0,故直线不经过第 a a aa四象限.答案：D3. 直线y = 2x + b 恰好平分圆x 2 + y 2 + 2x —4y = 0,则b 的值为()A . 0B . 2C . 4D . 1解析：由题意可知，直线y = 2x + b 过圆心(—1,2),••• 2=2X (— 1)+ b , b = 4.答案：C4. M(3,0)是圆x 2+ y 2 — 8x — 2y + 10=0内一点，过M 点最长的弦到直线的距离 答案：C解得a = 0或2.课时作业23圆的一般方程所在的直线方程为 ________ ,最短的弦所在的直线方程是 ________ .解析：由圆的几何性质可知，过圆内一点M的最长的弦是直径，最短的弦是与该点和圆心的连线CM垂直的弦.易求出圆心为C(4,1),1 — 0k cM = = 1,二最短的弦所在的直线的斜率为—1,由点斜式，分 4-3别得到方程：y = x — 3 和 y = — (x — 3)，即 x —y — 3= 0 和 x + y —3= 0.答案：x — y — 3= 0 x + y — 3= 05. 求经过两点A(4,7), B(— 3,6),且圆心在直线2x + y — 5= 0上 的圆的方程.解析：设圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,其圆心为D E-2，- 2，42+ 72 + 4D +7E + F = 0,由题意得—3 2 + 62 — 3D + 6E + F = 0，D E2 • — 2 + —㊁—5 = 0.4D + 7E + F = —65,即 3D — 6E — F = 45,2D + E =— 10,D = — 2, 解得E = — 6,F =— 15.x 2 + y 2— 2x — 6y —课后练|小和沖课时作婕曰日洁KEHOULI^ I(限时：30分钟)1. 圆x2+ y2+ 4x—6y—3 = 0的圆心和半径分别为()A . (2, —3); 16 B. (—2,3); 4C. (4, —6); 16D. (2, —3); 4解析：配方，得(x+ 2)2+ (y—3)2= 16,所以，圆心为(—2,3), 半径为4.答案：B2. 方程x2+ y2+ 4x—2y+ 5m= 0表示圆的条件是()1A. 4<m<1B. m>11C. m<4D. m<1解析：由42+ (—2)2—4X5m>0解得m<1.答案：D3. 过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的 方程为()A . x 2+ y 2 — 2x — 3y = 0B . x 2 + y 2 + 2x — 3y = 0C . x 2 + y 2 — 2x + 3y = 0D . x 2+ y 2 + 2x + 3y = 0解析：解法一(排除法)：由题意知，圆过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3)，分别把A , B 两点坐标代入四个选项，只有 A 完全符合，故 选A.解法二(待定系数法)：设方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0,F = 0,则 2D + F = — 4,3E + F = — 9, 故方程为 x 2 + y 2 — 2x — 3y = 0.解法三(几何法):由题意知，直线过三点 0(0,0), A(2,0), B(0,3),由弦AB 所对的圆心角为90 °知线段AB 为圆的直径，即所求的 圆是以AB 中点1, 2为圆心，2|AB 匸乎为半径的圆，其方程为(x —1)2 + y — |2 =于2，化为一般式得 x 2 + y 2— 2x — 3y = 0.答案：A4. 设圆的方程是 x 2*? + 2ax + 2y +(a — 1)2 = 0,若 0<a<1,则原 点()A .在圆上B. 在圆外C. 在圆内D .与圆的位置关系不确定解析：圆的标准方程是(x + a)2 + (y +1)2= 2a ,因为0<a<1，所以 (0 + a)2 + (0+ 1)2— 2a = (a — 1)2>0，即 0+a 2+ 0+ 1 2> 2a ,所以D = — 2, 解得E = — 3,F = 0,原点在圆外.答案：B5. 已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍, 那么点M的轨迹方程是()A . x2+ y2= 32B . x2+ y2= 16C. (x- 1)2+ y2= 16D. x2+ (y-1)2= 16解析：设M(x, y)，贝S M 满足：x—8 2+ y2= 2 x —22+ y2，整理得x2+ y2= 16.答案：B6. 已知圆C: x2+ y2+2x+ ay—3= 0(a为实数)上任意一点关于直线I: x—y+ 2 = 0的对称点都在圆C上，贝S a= _______a解析：由题意可得圆C的圆心一1,—2在直线x—y+ 2= 0上, aa将—1,—2代入直线方程得—1——2+ 2 = 0,解得a= —2.答案：—2 ____7. 若实数x, y满足x2+ y2+ 4x—2y—4= 0,则寸x2+ y2的最大值是 ________ .关键是搞清式子寸x2+ y2的意义.实数x, y满足方程x2+ y2+ 4x —2y— 4 = 0,所以(x, y)为方程所表示的曲线上的动点，x2+ y2=.x—02+ y —02,表示动点(x, y)到原点(0,0)的距离.对方程进行配方，得(x+ 2)2+ (y—1)2= 9,它表示以C( —2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内.连接CO交圆于点M, N,由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值.|CO|= — 2 2+ 12= . 5, |MO|=, 5 + 3.答案：5 + 38. _____________________ 设圆x2+ y2—4x + 2y—11 = 0的圆心为A,点P在圆上，则FA 的中心M的轨迹方程是.解析：设M的坐标为(x, y),由题意可知圆心A为(2,—1), P(2x—2,2y+1)在圆上，故(2x —2)2+ (2y + 1)2—4(2x—2) + 2(2 y + 1)—11 = 0,即x2+ y2—4x+2y+ 1 = 0.答案：x2+ y2—4x + 2y + 1 = 09. 设圆的方程为x2+ y2—4x—5= 0,(1)求该圆的圆心坐标及半径；⑵若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1),求直线AB的方程.解析：(1)将x2+ y2—4x— 5 = 0 配方得：(x—2)2+ y2= 9.二圆心坐标为C(2,0),半径为r = 3.⑵设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知，CP丄AB,二k cp •=—1.1 —0二k cp= = 1,3—2二k=— 1.直线AB的方程为y— 1 = —(x—3),即x+y —4= 0.10. 已知定点0(0,0), A(3,0),动点P到定点O的距离与到定点1A的距离的比值是入,求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线.解析：设动点P的坐标为(x, y),则由.?|PO| = |PA|,得X x2+ y2) = (x—3)2+ y2,整理得：(X- 1)x2+ ( —1)y2+ 6x—9= 0.•/ X0,•••当后1时，方程可化为2x —3= 0,故方程表示的曲线是线段当X1时，方程可化为即方程表示的曲线是以3—X_ 1, 0为圆X—：i为半径的圆. OA的垂直平分线;x+ 2。
高中数学选择性必修一：2.4.2圆的一般方程精选考点提升训练
第二章 2.4.2圆的一般方程A 级——基础过关练1．已知圆C 过点M (1,1)，N (5,1)，且圆心在直线y ＝x －2上，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0 B ．x 2＋y 2＋6x －2y ＋6＝0 C ．x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋6＝0D ．x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝0【答案】A 【解析】MN 的垂直平分线方程为x ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2，x ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，所以圆心坐标为(3,1)．又r ＝3－12＋1－12＝2，所以圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0.2．方程x 2＋y 2＋2ax －2y ＋a 2＋a ＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a <1 C ．a >1D ．0<a <1【答案】B 【解析】由D 2＋E 2－4F >0，得(2a )2＋(－2)2－4(a 2＋a )>0，即4－4a >0，解得a <1.3．已知圆的圆心为(－2,1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋4x －2y －5＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋2y －5＝0C ．x 2＋y 2＋4x －2y ＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0【答案】C 【解析】设直径的两个端点分别A (a,0)，B (0，b )，圆心C 为(－2,1)，由中点坐标公式得a ＋02＝－2，0＋b2＝1，解得a ＝－4，b ＝2，∴半径r ＝－2＋42＋1－02＝ 5.∴圆的方程是(x ＋2)2＋(y －1)2＝5，即x 2＋y 2＋4x －2y ＝0.4．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－43B ．－34C ．3D ．2【答案】A 【解析】圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，故圆心为(1,4)，d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.5．已知点E (1,0)在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0的外部，则k 的取值范围是________． 【答案】⎝⎛⎭⎫35，1 【解析】方程表示圆的条件是(－4)2＋22－4×5k >0，即k <1；点E 在圆的外部的条件为12＋02－4×1＋2×0＋5k >0，解得k >35，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫35，1. 6．动点P 到点A (8,0)的距离是到点B (2,0)的距离的2倍，则动点P 的轨迹方程为________．【答案】x 2＋y 2＝16 【解析】设P (x ，y )，则由题意可知2x －22＋y 2＝x －82＋y 2，化简整理，得x 2＋y 2＝16.7．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A (0,1)，则点B 的坐标为________．【答案】(2，－3) 【解析】由x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，得(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，所以圆心为C (1，－1)．设B (x 0，y 0)，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋0＝2，y 0＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝－3，所以点B 的坐标为(2，－3)．8．若点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部(不含边界)，则a 的取值范围是________．【答案】a <1 【解析】点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部(不含边界)，则(a ＋1)2＋(a －1)2－2a (a －1)－4<0，解得a <1.9．求经过三点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)的圆的一般方程． 解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将A ，B ，C 三点的坐标代入方程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2，故所求的圆的一般方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.10．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．解：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因为圆经过点(4,2)和(－2，－6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0①，2D ＋6E －F －40＝0②.设圆与x 轴的交点横坐标为x 1，x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D ．设圆与y 轴的交点纵坐标为y 1，y 2，它们是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E .由已知，得－D ＋(－E )＝－2，即D ＋E －2＝0③. 联立①②③，解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20. 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.B 级——能力提升练11．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1B ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1C ．(x －2)2＋(y －2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －1)2＝1【答案】A 【解析】圆C 1的圆心为C 1(－1,1)，设圆C 2的圆心为C 2(a ，b )，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.又圆C 2的半径与圆C 1的半径相等，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.12．(多选)已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆，则实数m 可能的取值为( )A ．－1B ．0C ．12D ．75【答案】BC 【解析】由题意可得4(m ＋3)2＋4×(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)>0，所以(7m ＋1)(m －1)<0，解得－17<m <1.故选BC ．13．设A 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是____________．【答案】(x －1)2＋y 2＝2 【解析】如图，设P (x ，y )，则|PC |＝x －12＋y 2＝|AC |2＋|P A |2＝2，即(x －1)2＋y 2＝2.14．若点M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －4y ＋10＝0内一点，则过点M (3,0)的最长的弦所在的直线方程是________．【答案】2x －y －6＝0 【解析】圆x 2＋y 2－8x －4y ＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M (3,0)且过圆心(4,2)的弦最长．由k ＝2－04－3＝2，所以所求方程为y ＝2(x －3)，即2x －y －6＝0.15．已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 中点M 的轨迹方程． 解：(1)方法一，设顶点C (x ，y )． 因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.所以直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)． 方法二，同方法一得x ≠3且x ≠－1. 由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2， 即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.所以直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)． 方法三，设AB 中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)． 由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)． 设C (x ，y )，则直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)． (2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)， 因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式，得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动， 将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4， 即(x －2)2＋y 2＝1.所以动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．16．等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解：设另一端点C 的坐标为(x ，y )． 依题意，得|AC |＝|AB |， 所以x －42＋y －22＝4－32＋2－52，整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.此为以点A (4,2)为圆心、10为半径的圆，如图所示．又因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线， 即点B ，C 不能重合且B ，C 不能为圆A 的一直径的两个端点． 因为B ，C 不能重合，所以点C 不能为(3,5)． 又因为B ，C 不能为一直径的两个端点，所以x ＋32≠4，或y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1)．故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))， 它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．C 级——探究创新练17．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则圆心为________，半径为________．【答案】(－1,1)5 【解析】由题意可得圆C 的圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝⎛⎭⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝⎛⎭⎫－a2＋2＝0，解得a ＝－2.故圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －2y －3＝0，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝5，因此圆心为(－1,1)，半径为 5.18．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，及点Q (－2,3)． (1)P (a ，a ＋1)在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率； (2)若M 为圆C 上任一点，求|MQ |的最大值和最小值． 解：(1)因为点P (a ，a ＋1)在圆上， 所以a 2＋(a ＋1)2－4a －14(a ＋1)＋45＝0， 解得a ＝4，所以P (4,5)． 所以|PQ |＝4＋22＋5－32＝210，k PQ ＝3－5－2－4＝13.(2)因为圆心C 坐标为(2,7)， 所以|QC |＝2＋22＋7－32＝42，圆的半径是22，点Q 在圆外， 所以|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2.。
专题06 圆的方程(知识梳理+专题过关)(原卷版)
专题06圆的方程【知识梳理】1、圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中(),a b 为圆心，r 为半径．2、点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为(),C a b ，半径为r ，则有（1）若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=（2）若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->（3）若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<3、圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程．,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径．诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D Ex y =-=-．它表示一个点(,)22D E--．（2）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆．4、用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．（2）根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组．（3）解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．5、轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．（1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．（2）求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．（3）求轨迹方程的步骤：①建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标；②列出关于,x y 的方程；③把方程化为最简形式；④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；⑤作答．【专题过关】【考点目录】考点1：圆的标准方程考点2：圆的一般方程考点3：点与圆的位置关系考点4：二元二次方程表示的曲线与圆的关系考点5：定点问题考点6：轨迹问题【典型例题】考点1：圆的标准方程1．（2021·广东·深圳市南山区华侨城中学高二期中）已知以点()2,,0C t t R t t ⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ､B ，其中O 为坐标原点.(1)试写出圆C 的标准方程；(2)求证：OAB 的面积为定值；(3)设直线24y x =-+与圆C 交于M ，N 两点，若=OM ON ，求圆C 的标准方程.2．（2020·内蒙古·包头市第四中学高二期中）已知点(4,2)A 和(0,2)B -(1)求直线AB 的方程；(2)若圆C 经过,A B 两点，且圆心在直线23x y -=上，求圆C 的方程3．（2021·河北唐山·高二期中）圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A （1，0）、B （3，0）两点，则圆的方程为________．4．（2022·上海金山·高二期中）过直线2x y +=与直线0x y -=的交点，圆心为(1,1)C -的圆的标准方程是_____.5．（2022·全国·高二期中）已知点()6,8C ，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程是______．6．（2021·江西省铜鼓中学高二期中（文））与圆224670x y x y +-++=同圆心且过点(1,1)P -的圆的方程是_____________．7．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））圆22(1)(2)4x y -++=关于直线y x =对称的圆的方程为______________.8．（2021·云南·楚雄师范学院附属中学高二期中）已知ABC 顶点的坐标为43(5,2),()1,(,0)A B C ，，则其外接圆的标准方程为_________．9．（2021·福建宁德·高二期中）某圆经过()()010610A B ，，，两点，圆心在直线21x y -=上，则该圆的标准方程为（）A ．()()223534x y +++=B ．()()223534x y -++=C ．()()223534x y ++-=D ．()()223534x y -+-=考点2：圆的一般方程10．（2021·福建·厦门大学附属科技中学高二期中）已知ABC 的三个顶点分别为()()()4,0,0,2,2,2A B C --，求：(1)AB 边中线所在的直线方程(2)ABC 的外接圆的方程11．（2020·安徽·六安市城南中学高二期中（理））一圆经过A (4，2)，B (－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．12．（2021·四川成都·高二期中（理））在平面直角坐标系中，有()0,1A ，()2,1B ，()3,4C ，()1,D a -四点，若它们在同一个圆周上，则=a ________．13．（2020·上海·华师大二附中高二期中）已知三角形的三边所在直线为1x y +=-，21x y -=，23x y +=，则三角形的外接圆方程为________14．（2021·江苏无锡·高二期中）直线142xy+=与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直径的圆的方程为（）A ．22420x y x y +--=B ．224210x y x y +---=C ．224210x y x y +--+=D ．22240x y x y +--=15．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）已知圆22620x y x y ++-=，则该圆的圆心和半径分别是（）．A ．()3,1--B ．()3,1-，10C ．()3,1-D ．()3,1-，1016．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）过点(2,1)M -，且经过圆224440x y x y +--+=与圆2240x y +-=的交点的圆的方程为（）A ．2260x y x y +++-=B ．2280x y x y ++--=C ．2220x y x y +-+-=D ．2240x y x y +---=考点3：点与圆的位置关系17．（2021·湖北宜昌·高二期中）若点()1,1A -在圆2220x y x y a +---=外，则实数a 的取值范围为（）A ．3a <B ．3a <-C ．534a <<D ．534a -<<考点4：二元二次方程表示的曲线与圆的关系18．（2021·全国·高二期中）已知关于x ，y 的二元二次方程()()2224232141690x y t x t y t +-++-++=．（1）当t 在什么范围内取值时，方程表示圆？（2）当t 为何值时，方程表示的圆的半径最大？求出半径最大时圆的方程．19．（2021·四川巴中·高二期中）已知方程[)()2222cos 4sin 4sin sin 100,2x y x y αααααπ+-⋅-⋅+-+=∈表示圆.(1)求α的取值范围.(2)求该圆半径的最大值.20．（2021·福建宁德·高二期中）已知方程222450x y mx y +-++=表示圆，则m 的取值范围是____________.21．（2021·山东省实验中学高二期中）若曲线222:245160C x y ax ay a +-++-=上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围是______．22．（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外，则实数m 的取值范围为（）A ．()()3,22,--+∞B ．()()3,23,--⋃+∞C ．()2,-+∞D ．()3,-+∞23．（2021·广东·湛江市第四中学高二期中）已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是（）A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．3(,)2-+∞24．（2020·四川巴中·高二期中（文））若方程2222210x y ax a a +++-+=表示圆，则a 的取值范围为（）A ．0a ≠B ．0a >C ．1a >D ．12a >25．（2021·湖南·高二期中）若方程22210x y y m +-+-=表示圆，则实数m 的取值范围为（）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．(),0∞-D ．()0,∞+26．（2021·重庆·高二期中）若方程2220x y kx k ++-+=表示圆，则k 的取值范围是（）A ．(1,7)B ．[1,7]C ．(,1)(7,)-∞+∞D ．(,1][7,)-∞⋃+∞考点5：定点问题27．（2021·全国·高二期中）已知动圆C 经过坐标原点O ，且圆心C 在直线:24l x y +=上.（1）求半径最小时的圆C 的方程；（2）求证：动圆C 恒过一个异于点O 的定点.28．（2020·湖南娄底·高二期中）已知曲线C ：()()2211480a x a y x ay +++-+=．（1）当a 取何值时，方程表示圆？（2）求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点．（3）当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值．29．（2021·浙江省东阳市第二高级中学高二期中）点(),P x y 是直线250x y +-=上任意一点，O 是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（）A ．()0,0和()1,1B ．()0,0和()2,2C ．()0,0和()1,2D ．()0,0和()2,1考点6：轨迹问题30．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线223y x x =--与两坐标轴的交点都在圆C 上.(1)求圆C 的方程；(2)已知O 为坐标原点，点A 在圆C 上运动，求线段OA 的中点M 的轨迹方程.31．（2020·四川巴中·高二期中（文））已知圆C 经过点A （3，1）、B （－1，3），且它的圆心在直线320x y --=上.(1)求圆C 的标准方程；(2)若点D 为圆C 上任意一点，且点E （3，0），求线段ED 中点M 的轨迹方程.32．（2021·四川巴中·高二期中）已知圆C 经过（-1，3），（5，3），（2，0）三点.(1)求圆C 的方程；(2)设点A 在圆C 上运动，点158,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，且点M 满足2AM MB =，求点M 的轨迹方程.33．（2021·云南·楚雄师范学院附属中学高二期中）已知圆22:4O x y +=上的一定点()2,0A ，点()1,1B 为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若90PBQ ∠=︒，求线段PQ 中点的轨迹方程．34．（2021·四川省江油市第一中学高二期中（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线223y x x =--与两条坐标轴的三个交点都在圆C 上.(1)求圆C 的方程；(2)若过点T （2，0）的直线l 与圆C 交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，求M 的轨迹方程.35．（2021·广东·广州奥林匹克中学高二期中）1.已知圆C 过点(2,3)-，(0,3)-，(0,1)-.(1)求圆C 的标准方程；(2)已知点P 是直线210x y +-=与直线210x y ++=的交点，过点P 作直线与圆C 交于点A ，B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.36．（2021·广东·珠海市第二中学高二期中）在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC 的顶点(3,0)B -，(3,0)C ，且||2||AB AC =，(1)设ABC 的外接圆为M ，请写出M 周长最小时的M 标准方程．(2)设顶点(,)A x y ，求顶点A 的轨迹方程及ABC 面积的最大值．37．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高二期中）已知等腰三角形ABC 的一个顶点为()4,2A ，底边的一个端点为()3,5B ，求底边的另一个端点C 的轨迹方程，并说明它是什么图形．38．（2021·山西·侯马市第一中学校高二期中）已知圆C :()()22119x y -+-=，过点A (2，3)作圆C 的任意弦，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________________.39．（2021·四川·树德中学高二期中（文））若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足2MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π40．（2021·北京·牛栏山一中高二期中）已知点A 的坐标是（-1，0），点M 满足|MA |=2，那么M 点的轨迹方程是（）A ．x 2+y 2+2x -3=0B ．x 2+y 2-2x -3=0C ．x 2+y 2+2y -3=0D ．x 2+y 2-2y -3=0。
2020高中数学必修2同步练习：4.1.2 圆的一般方程含解析
4.1.2 圆的一般方程课时过关·能力提升一、基础巩固1.圆(x+1)2+(y-3)2=2化为一般方程是()A.x2+y2=6B.x2+y2+8=0C.x2+y2-2x+8y+6=0D.x2+y2+2x-6y+8=02.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是()A.RB.(-∞,1)C.(-∞,1]D.[1,+∞)+4-4×5k>0,解得k<1.3.过A(0,0),B(1,1),C(4,2)三点的圆的一般方程是()A.x2+y2+8x+6y=0B.x2+y2-8x-6y=0C.x2+y2+8x-6y=0D.x2+y2-8x+6y=0x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为A(0,0),B(1,1),C(4,2)三点在圆上,则{,D+E+F+2=0,4D+2E+F+20=0,解得{D=-8,E=6,F=0,故所求圆的一般方程是x2+y2-8x+6y=04.若点P(1,1)在圆x2+y2+2x+4y+a=0外,则a的取值范围是()A.a<-8B.a>-8C.-8<a<5D.a<-8或a>5{20-4a >0,8+a >0,解得-8<a<5.5.在△ABC 中,若顶点B ,C 的坐标分别是(-2,0)和(2,0),中线AD 的长度是3,则点A 的轨迹方程是( )A .x 2+y 2=3B .x 2+y 2=4C .x 2+y 2=9(y ≠0)D .x 2+y 2=9(x ≠0)BC 的中点为D (0,0),由于|AD|为定长3,所以点A 在以D 为圆心,3为半径的圆上.由于点A 为△ABC 的一个顶点,所以点A 与点B ,C 不共线.故选C .6.若方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则F= .{-D2=2,-E 2=-4, ∴D=-4,E=8.∵r 2=D 2+E 2-4F4=(-4)2+82-4F4=16,∴F=4.7.圆x 2+4x+y 2=0关于y 轴对称的圆的一般方程是 .C (-2,0),半径r=2,点C 关于y 轴的对称点为C'(2,0),则已知圆关于y 轴对称的圆的方程为(x-2)2+y 2=4,即x 2+y 2-4x=0.2+y 2-4x=08.已知动点M 到点A (-4,0)的距离是它到点B (2,0)的距离的2倍,则动点M 的轨迹方程是 .M 的坐标为(x ,y ),则|MA|=2|MB|,即√(x +4)2+y 2=2√(x -2)2+y 2,整理得x 2+y 2-8x=0.故所求动点M 的轨迹方程为x 2+y 2-8x=0.2+y 2-8x=09.判断下列方程是否表示圆,若是,将其化成标准方程:(1)x 2+y 2+2x+1=0;(2)x 2+y 2+2ay-1=0;(3)x 2+y 2+20x+121=0;(4)x 2+y 2+2ax=0.原方程可化为(x+1)2+y 2=0,它表示点(-1,0),不表示圆.(2)原方程可化为x 2+(y+a )2=a 2+1,它表示圆心为(0,-a ),半径为√a 2+1的圆,标准方程为x 2+(y+a )2=a 2+1.(3)原方程可化为(x+10)2+y 2=-21<0,即方程不表示任何曲线,故不能表示圆.(4)原方程可化为(x+a )2+y 2=a 2.①当a=0时,方程表示点(-a ,0),不表示圆;②当a ≠0时,方程表示以(-a ,0)为圆心,半径为|a|的圆,标准方程为(x+a )2+y 2=a 2.10.求过三点A (0,5),B (1,-2),C (-3,-4)的圆的方程.x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.因为点A ,B ,C 在圆上,把它们的坐标依次代入上面的方程,整理得到关于D ,E ,F 的三元一次方程组{5E +F +25=0,D -2E +F +5=0,3D +4E -F -25=0,解这个方程组,得{D =6,E =-2,F =-15.于是得到所求圆的方程为x 2+y 2+6x-2y-15=0二、能力提升1.已知直线3x+4y-24=0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上,则该圆的半径为( )A.3B.4C.5D.62.当a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C ,则以C 为圆心,半径为√5的圆的方程为( )A.x 2+y 2-2x+4y=0B.x 2+y 2+2x+4y=0C.x 2+y 2+2x-4y=0D.x 2+y 2-2x-4y=0a=0,a=1,得方程组{-x -y +1=0,-y +2=0,解得{x =-1,y =2,所以定点C 的坐标为(-1,2).则圆C 的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,即x 2+y 2+2x-4y=0.★3.若直线l :ax+by+1=0始终平分圆M :x 2+y 2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为 ( )A .√5B.5C.2√5D.10l 过圆心M (-2,-1),则-2a-b+1=0,即b=-2a+1.所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a 2+5≥5,所以(a-2)2+(b-2)2的最小值为5.4.已知点A (1,2)在圆x 2+y 2+2x+3y+m=0内,则m 的取值范围是 .{12+22+2×1+3×2+m <0,22+32-4m >0,解得m<-13.-∞,-13)5.若使圆x 2+y 2+2x+ay-a-12=0(a 为实数)的面积最小,则a= .:r =12√22+a 2-4(-a -12)=12√4+a 2+4a +48=12√(a +2)2+48,所以当a=-2时,r min =12√48=2√3,即此时圆的面积最小.26.点P 是圆C :x 2+y 2-4x+2y-11=0上的任一点,PC 的中点是M ,试求动点M 的轨迹方程.M (x ,y ),由已知得圆心C (2,-1),则P (2x-2,2y+1).又点P 在圆C :x 2+y 2-4x+2y-11=0上,所以动点M 的轨迹方程为(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1)-11=0,即x 2+y 2-4x+2y+1=0. ★7.一个等腰三角形底边上的高等于5,底边两端点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),求它的外接圆的方程.(0,±5).当顶点坐标为(0,5)时,设三角形外接圆的方程是x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,则{25+5E +F =0,16-4D +F =0,16+4D +F =0,解之,得{D =0,E =-95,F =-16.所以外接圆的方程是x 2+y 2−95y −16=0.当顶点坐标为(0,-5)时,同理可得外接圆的方程x 2+y 2+95y −16=0.故所求外接圆的方程为x 2+y 2−95y −16=0或x 2+y 2+95y −16=0.。
高中数学 课时分层作业20 圆的一般方程(含解析)苏教版必修2-苏教版高一必修2数学试题
课时分层作业(二十)(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ A [方程可化为(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时表示圆．] 2．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0C [要将圆平分，只要直线经过圆心即可，圆心坐标为(1，2)．经验证只有C 中直线过点(1，2)．]3．已知动点M 到点(8，0)的距离等于点M 到点(2，0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16B [设M (x ，y )，则（x －8）2＋y 2＝2（x －2）2＋y 2，整理得x 2＋y 2＝16.]4．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0C [(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0，得C (－1，2)． ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5. 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.]5．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个C [∵圆心(－1，－2)，r ＝22， 又圆心到直线的距离d ＝2， ∴共有3个点．] 二、填空题6．动圆x 2＋y 2－2x －k 2＋2k －2＝0的半径的取值X 围是____________． [2，＋∞) [圆的半径r ＝124＋4（k 2－2k ＋2）＝k 2－2k ＋3＝（k －1）2＋2≥ 2.]7．圆x 2＋y 2－4x －5＝0的弦AB 的中点为P (3，1)，则直线AB 的方程为________．x ＋y －4＝0 [圆(x －2)2＋y 2＝9，圆心C (2，0)，半径为3.AB ⊥CP ，k CP ＝1－03－2＝1， ∴k AB ＝－1，∴直线AB 的方程为y －1＝－1(x －3)，即x ＋y －4＝0.]8．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为__________．4 [∵l 1，l 2过圆心，∴⎩⎪⎨⎪⎧－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＋4＝0，－D 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，∴D ＋E ＝4.] 三、解答题9．设A (－c ，0)，B (c ，0)(c >0)为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a (a >0)，求P 点的轨迹．[解] 设动点P 的坐标为(x ，y )，由PA PB ＝a (a >0)，得（x ＋c ）2＋y 2（x －c ）2＋y2＝a 2， 化简得(1－a 2)x 2＋2c (1＋a 2)x ＋(1－a 2)c 2＋(1－a 2)·y 2＝0. 当a ＝1时，方程化为x ＝0；当a ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋a 2a 2－1c 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2ac a 2－12.所以当a ＝1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2－1c ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2ac a 2－1为半径的圆． 10．已知过点A (0，1)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点．(1)某某数k 的取值X 围；(2)若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值．[解] (1)∵直线l 过点A (0，1)且方向向量a ＝(1，k )，∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 由|2k －3＋1|k 2＋1<1，得4－73<k <4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0， ∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1. ∴4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12， ∴4k （1＋k ）1＋k2＝4，解得k ＝1. [等级过关练]1．若圆C ：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，则实数m 的值为( )A ．2或1B ．－2或－1C ．2D ．1C [∵x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0表示圆，∴[－2(m －1)]2＋[2(m －1)]2－4(2m 2－6m ＋4)>0，∴m >1.又圆C 过原点，∴2m 2－6m ＋4＝0，∴m ＝2或m ＝1(舍去)，∴m ＝2.]2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线关于直线y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝FA [由D 2＋E 2－4F >0知，方程表示的曲线是圆，其圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x 上，故D＝E .]3．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值X 围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 [方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.]4．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝__________．2 [如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则|OD |＝532＋（－4）2＝1.∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠OBD ＝30°，∴|OB |＝2|OD |＝2，即r ＝2.]5．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆． (1)求t 的取值X 围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3，4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值X 围．[解] (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9，∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0，由二次函数的图象解得－17<t <1.(2)由(1)知，r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167，∴当t ＝37∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1时，r max ＝477，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167.(3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·(4t 2)＋16t 4＋9<0时， 点P 恒在圆内，∴8t 2－6t <0，∴0<t <34.∴t 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34.。
圆的一般方程小册子带答案
基础过关1.方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( )A.以(a ，b )为圆心的圆B.以(－a ，－b )为圆心的圆C.点(a ，b )D.点(－a ，－b )解析 原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ＝0，y ＋b ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a ，y ＝－b .∴表示点(－a ，－b ).答案 D2.若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5 B.5 C.2 5 D.10解析 直线l 过圆心C (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.答案 B3.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A.x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B.x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C.x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D.x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0得C (－1，2). ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.答案C4.已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6.若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________________.解析设圆心为M(x，y).由|AB|＝6，知圆M的半径长r＝3，则|MC|＝3，即（x－1）2＋（y＋1）2＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.答案(x－1)2＋(y＋1)2＝95.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________.解析由题意知直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1，2)，代入直线方程得b＝4，圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a<5，由此得a－b<1.答案(－∞，1)6.已知圆的方程为x2＋y2－2x＝0，点P(x，y)在圆上运动，求2x2＋y2的最值.解由x2＋y2－2x＝0，得y2＝－x2＋2x≥0.所以0≤x≤2.又因为2x2＋y2＝2x2－x2＋2x＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，所以0≤2x2＋y2≤8.所以当x＝0，y＝0时，2x2＋y2有最小值0，当x＝2，y＝0时，2x2＋y2有最大值8.故2x2＋y2的最小值是0，最大值是8.7.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹.解 设B 点坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点C 的坐标是(4，3)且点C 是线段AB 的中点，所以4＝x 0＋x 2，3＝y 0＋y 2，于是有x 0＝8－x ，y 0＝6－y .①因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4，即(x 0＋1)2＋y 20＝4，②把①代入②得(8－x ＋1)2＋(6－y )2＝4，整理得(x －9)2＋(y －6)2＝4.所以点B 的轨迹是以(9，6)为圆心，半径长为2的圆.能力提升8.已知两点A (－2，0)，B (0，2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积最小值是( )A.3－ 2B.3＋ 2C.3－22D.3－22解析 直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322，所以圆到直线AB 的最小距离为322－1，S △ABC ＝12×|AB |×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1 ＝3－ 2.答案 A9.已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14 解析 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14，故选A. 答案 A10.若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________.解析 r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2. 当k ＝0时，r 最大，此时圆面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1).答案 (0，－1)11.一光线从点A (1，1)出发，经y 轴反射到圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4的最短路程等于________.解析 ∵A (1，1)关于y 轴对称点A ′(－1，1)，∴所求的最短路程为|A ′C |－2，|A ′C |＝62＋62＝6 2.∴所求的最短路程为62－2.答案 62－212.已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C ，D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程.解 (1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2). 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210，∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3，6)或P (5，－2).∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.创新突破13.已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝9，求经过点A (1，2)的圆的弦的中点P 的轨迹. 解 设动点P 的坐标为(x ，y )，当AP 斜率不存在时，中点P 的坐标为(1，0).当AP 的斜率存在时，设过点A 的弦为MN ，且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).∵M ，N 在圆O 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝9， ①x 22＋y 22＝9， ②①－②得(x 1＋x 2)＋y 1－y 2x 1－x 2(y 1＋y 2)＝0(x 1≠x 2). 又∵点P 为中点，∴x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.又∵M ，N ，A ，P 四点共线，∴y 1－y 2x 1－x 2＝y －2x －1(x ≠1).∴2x ＋y －2x －1·2y ＝0，∴中点P的轨迹方程是x2＋y2－x－2y＝0，经检验，点(1，0)适合上式.综上所述，点P的轨迹是以(12，1)为圆心，以52为半径的圆.。
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圆的一般方程
1． 方程x 2
＋y 2
－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是 ( )
A ．m ≤2
B ．m ＜12
C ．m ＜2
D ．m ≤1
2
2．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2
＝1的两个交点，则|AB |等于( )
A ．1 B. 2 C. 3 D ．2
3． M (3,0)是圆x 2＋y －8x －2y ＋10＝0内一点，过M 点最长的弦所在的直线方程是( )
A ．x ＋y －3＝0
B ．x －y －3＝0
C ．2x －y －6＝0
D ．2x ＋y －6＝0
4． 已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2
＝0(0<a <1)，则原点O 在 ( )
A ．圆内
B ．圆外
C ．圆上
D ．圆上或圆外
5． 如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2
＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．
6． 已知圆C ：x 2＋y 2
＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称
点都在圆C 上，则a ＝________.
7． 已知圆的方程为x 2＋y 2
－6x －6y ＋14＝0，求过点A (－3，－5)的直线交圆的弦PQ 的中
点M 的轨迹方程．
8． 求经过两点A (4,2)、B (－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程． 9． 若圆M 在x 轴与y 轴上截得的弦长总相等，则圆心M 的轨迹方程是 ( )
A ．x －y ＝0
B ．x ＋y ＝0
C ．x 2＋y 2＝0
D ．x 2－y 2
＝0
10．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2
≤4}分为两部分，使得这两部分的面积
之差最大，则该直线的方程为 ( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．y －1＝0
C ．x －y ＝0
D ．x ＋3y －4＝0
11．已知圆的方程为x 2＋y 2
－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和
BD ，则四边形ABCD 的面积为________．
12．求一个动点P 在圆x 2＋y 2
＝1上移动时，它与定点A (3,0)连线的中点M 的轨迹方程． 13．已知一圆过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．
答案
1．B 2.D 3．B 4．B 5．(0，－1) 6．－2
7．解 设所求轨迹上任一点M (x ，y )，圆的方程可化为(x －3)2＋(y －3)2
＝4.圆心C (3,3)． ∵CM ⊥AM ，
∴k CM ·k AM ＝－1， 即y －3x －3·y ＋5x ＋3＝－1， 即x 2＋(y ＋1)2
＝25.
∴所求轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2
＝25(已知圆内的部分)．
8．解 设圆的一般方程为x 2＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
令y ＝0，得x 2
＋Dx ＋F ＝0，
所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；
令x ＝0，得y 2
＋Ey ＋F ＝0，
所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ； 由题设，得x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，
所以D ＋E ＝－2. ① 又A (4,2)、B (－1,3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0， ② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0， ③ 由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，
故所求圆的方程为x 2＋y 2
－2x －12＝0. 9．D 10．A 11．20 6
12．解 设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)．
由于点A 的坐标为(3,0)且M 是线段AP 的中点，
所以x ＝x 0＋32，y ＝y 0
2
，
于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .
因为点P 在圆x 2＋y 2
＝1上移动，
所以点P 的坐标满足方程x 20＋y 20＝1，
则(2x －3)2＋4y 2
＝1，整理得⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322＋y 2＝14.
所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322＋y 2＝1
4.
13．解 方法一 设圆的方程为
x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
①
将P 、Q 的坐标分别代入①，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
4D －2E ＋F ＝－20 ②
D －3
E －
F ＝10 ③ 令x ＝0，由①得y 2
＋Ey ＋F ＝0， ④ 由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根．
∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2
－4F ＝48.
⑤
解②③⑤联立成的方程组，
得⎩⎪⎨⎪⎧
D ＝－2
E ＝0
F ＝－12
或⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝－10
E ＝－8
F ＝4
.
故所求方程为x 2
＋y 2
－2x －12＝0或x 2
＋y 2
－10x －8y ＋4＝0.
方法二 求得PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0. ①
∵所求圆的圆心C 在直线①上，故设其坐标为(a ，a －1)， 又圆C 的半径r ＝|CP |＝a －2＋a ＋2 .
②
由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆C 到y 轴的距离为|a |.
r 2＝a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫4322
，
代入②并将两端平方，
得a 2
－6a ＋5＝0，解得a 1＝1，a 2＝5. ∴r 1＝13，r 2＝37.
故所求的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2
＝37.。