广告费用与销售量关系
线性回归分析实验报告
线性回归分析实验报告实验报告：线性回归分析一、引言线性回归是一种基本的统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的线性关系。
此实验旨在通过一个实际案例对线性回归进行分析，并解释如何使用该方法进行预测和解释。
二、实验方法1.数据收集：从电商网站收集了一份销售量与广告费用的数据集，其中包括了十个月的数据。
该数据集包括两个变量：广告费用（自变量）和销售量（因变量）。
2.数据处理：首先对数据进行清洗，包括处理缺失值和异常值等。
然后进行数据转换，对广告费用进行对数转换，以适应线性回归的假设。
3.构建模型：使用线性回归模型，将广告费用作为自变量，销售量作为因变量，构建一个简单的线性回归模型。
模型的公式为：销售量=β0+β1*广告费用+ε，其中β0和β1是回归系数，ε是误差项。
4.模型评估：通过计算回归系数的置信区间和检验假设以评估模型的拟合程度和相关性。
此外，还使用残差分析来检验模型的合理性和独立性。
5.模型预测：根据模型的回归系数和新的广告费用数据，预测销售量。
三、实验结果1.数据描述：首先对数据进行描述性统计。
数据集的平均广告费用为1000元，标准差为200元。
平均销售量为1000件，标准差为150件。
广告费用和销售量之间的相关系数为0.8，说明两者存在一定的正相关关系。
2. 模型拟合：通过拟合线性回归模型，得到回归系数的估计值。
估计值的标准误差很小，R-square值为0.64，说明模型可以解释63%的销售量变异。
3.置信区间和假设检验：通过计算回归系数的置信区间，发现β1的置信区间不包含零，说明广告费用对销售量有显著影响。
假设检验结果也支持这一结论。
4.残差分析：通过残差分析，发现残差的分布基本符合正态性假设，没有明显的模式或趋势。
这表明模型的合理性和独立性。
四、结论与讨论通过线性回归分析，我们得出以下结论：1.广告费用对销售量有显著影响，且为正相关关系。
随着广告费用的增加，销售量也呈现增加的趋势。
2.线性回归模型可以解释63%的销售量变异，说明模型的拟合程度较好。
我国广告费用与销售额关系的实证研究
ｅａ ｔ ｉ ｆａ ｖ ｒｉｉ ｇ ｆ ｅ ｔ ａｅ ．Ｔｈ ｏ ｃ ｕ ｉｎ ｉ ｃ ｎ ｉｔ ｎ ｔ ｈ ａ ｉ ｐ ｉ ｃｐ ｅ ｆｒ ｌ 一 ｌｓ ｉ ｔ ｏ ｄ ｅ ｔ ｎ ｅ Ｏ ｓ ｌｓ ｃｙ ｓ ｅ ｃ ｎ ｌ ｓｏ ｓ ｏ ｓｓ ｅ ｔｗｉ ｔ ｅ ｂ ｓｃ ｒ ｉ ｌ ｓｏ ｅ ａ ｈ ｎ
一
司，提高产 品的质量 ，达到公 司业绩不 断提升 的 目
的。除了产 品质量 外 ，公 司广 告投入对产 品 的销售 额 提高 的影响 不可 缺少 ，例如 １ ９ ９ ９年 刚成立 的蒙
牛乳业 首次投入 ３ ５万 元 包 揽 了 央 视 ６套 两 个 月 的
阶段广 告 ，当 年 蒙 牛 乳 业 销 售 额 为 ４ ３ ０万 元 。 ０ ２０ ０ ２年蒙牛乳 业的广告 花销为 ６０ ０万元 左右 ，其 ０ 销售 额已突破 ２ １亿 元 。蒙 牛 乳业 每年 的 广告 费 用 在 ３ 的增长 ，而广告 的投 入绝 对是 与销 售额 的上 升成 正 比的 。２ ０ 年 ，伊 利全年广告 额为 ４０ ０万 ０１ ０ 元左右 ，其 销售额 为 ２ ． ２亿元 。今年伊 利乳 品销 ７Ｏ 售额突破 ４ ２亿元 ，其广告 投放增 至 ６０ ０多万元 。 ０ 伊利 的销 售 年增 长 幅度 基 本保 持 在 ５ ％ 。伊 利 的 Ｏ 广告年投放量也 基本保持 ５ ％的增幅 。 ３ Ｏ ［ １
在 学 术 界 ，普 遍 认 为 广 告 费 用 投 入 和 销 售 额 关
公 司想 在市场 上长期保持存 在 ，为投 资者提供 持续 的利益 回报 ，就 需 要 管理 者 管 理 好 自己的 公
了资源 的巨大浪 费 ，提 出企业合理 支 出广告 费用 的 针 对性措施 ，以求能 够 获得 最 大 可能 的经 济 回报 。 本 文主要针 对 １ ２家上市公 司不 同年 份 的广 告投入 ， 运 用协 整和误差修 正模 型计 算 出历 年来广告 费用对 各行业上 市公 司销售额 的影 响程度 ，为公 司历 年广 告 费用 的投 入提供 依据 。 ３ ［ ３
广告费用对销售收入影响的分析
题目：广告费用对销售收入影响的分析学生姓名：X X学院：理学院专业：统计学班级：2008级指导教师：X X X教授二〇一二年五月摘要广告业近年来得到广泛应用，尤其在产品推广中发挥了巨大作用，与其他行业相比，广告的投入较大的提高了销售收入，因此建立广告投入策略模型尤为重要。
本文通过建立回归分析模型与最小二乘法相结合，充分体现出广告费用对销售收入的影响。
本文首先综合参考的文献资料，了解关于广告和销售收入的概念、分类及其管理要求，通过对回归分析和最小二乘法各方面知识的学习，在文中详细的介绍了基本解题思路和步骤，研究在不确定的环境下为获得最大利润的最优广告投入量，建立广告费用投入策略模型，利用回归分析研究广告费用与销售收入变量间的统计关系，再结合文中给出的四个具体实例，通过建立统计模型研究广告费用与销售收入之间的相互关系的密切程度、结构状态、模型预测，从而得到结果。
再通过统计检验，并用最小二乘法进行应用实例分析得到的结果。
从而得到模型参数的变化对最优策略的影响，使销售收入达到最优化。
关键词：广告费用；回归分析；销售收入；最小二乘法.AbstractThe advertising industry in recent years has been widely used, especially in the promotion of products has played a huge role, compared with other industries, investment in advertising greatly improved sales revenue, so the establishment of the advertising investment strategy model is particularly important. This article through by establishing regression analysis model with the least squares method which fully reflects the impact of the advertising costs to sales revenue.This article first comprehensive reference documentation to understand the requirements, concepts, classification and management of advertising and sales revenue. By learning all aspects of knowledge of regression analysis and least squares method, detailed in the text introduces the basic problem-solving ideas and steps, study inputs in the uncertain environment the optimal advertising to get the most out of profits, to create an ad cost investment strategy model. The use of regression analysis of the statistical relationship between the variables of advertising costs and sales revenue, combined with the four specific examples given in the text, to study the close degree, structural state, the model predicts of the interrelationship between research and advertising costs and sales revenue through by the establishment of the statistical model to get results. Through the statistical testing, and using the least square method for application example analysis results. In order to obtain model parameters on the optimal strategy, sales revenue achieves optimization.Key words: advertising costs; regression analysis; sales revenue; least square method目录引言 (4)第一章广告及其销售收入的概述 (5)1.1 广告效果 (5)1.2 广告特性 (5)1.3 销售收入的概念 (6)1.4 销售收入的分类 (7)1.5 销售收入的管理要求 (7)第二章广告对消费者、生产者和社会的影响 (9)2.1 广告对生产者的影响 (9)2.2 广告对消费者的影响 (9)2.3 广告对社会资源配置的影响 (10)第三章对销售收入影响的具体分析 (11)3.1 变量的选择分析 (11)3.2 利用Excel软件对模型进行回归分析 (12)3.3 用最小二乘法对数据模型进行分析 (15)结论 (20)参考文献 (21)辞 (22)引言在当今的信息社会，广告无处不有，无时不在，过去那种“酒香不怕巷子深”的旧观念已经被抛弃，广告的重要性越来越被人们所关注。
广告投放与销售关系模型
广告投放与销售关系模型摘要商品公司通过广告的有效投放来达到促进销售，扩大市场占有率，提升品牌宣传率的目的。
正确预估广告投放时机和方式能有效提升销售和产品品牌，利于企业发展与扩充。
本文利用微分模型与回归方程，有效探索了这一问题。
首先，利用某家电广告支出与销售量的数据，做其Pearson相关性分析，得出其在1%的显著性范围内，说明其变量密切相关。
利用数据做散点图，观察并做回归假设，检验其随机误差 呈正态分布，说明回归模型吻合，广告投放与销售长期呈线性关系。
而又由于广告本金与广告效率的限制，在短期内，可建立微分模型。
参照边际效益递减效应以及阻滞增长模型—logistic，引入“波因素”这一概念，得出短期内广告支出与销售的关系。
之后，利用时间序列的混合模型，将微分模型与回归模型混合，得出涵盖一段时期的广告支出与销售量的关系。
其次，任何产品都会有四个可预测的生命阶段：引入，成长，成熟，衰亡。
其不同阶段由于销量，知名度，市场占有率不同，广告的作用不同。
引入与成长期由于销量少，成本高，须得借助广告打开销量，辅以提升知名度。
成熟期已然有稳定的销量，衰退期销量下降，此时广告的作用在于提升品牌。
据此，广告的投放方式也不同。
最后，宣传方案的制定须得根据广告的不同周期进行，宣传的主体也会发生相应的变化。
关键字：回归方程阻滞增长微分模型混合模型1.问题重述随着媒体的普及，人们对于产品的购买力度也随着信息获取渠道而有所影响，好的广告能吸引更多的消费者，对产品销量起着不可忽视的作用。
为使投放的广告取得预期的广告效应，现需建立模型，解决以下三个问题：1、广告投放与销售间有怎样的必然联系？2、商品经营周期的不同时期投放广告的效果如何？是否一致？3、为商品策划不同时间段的广告宣传方案，分析结论。
2.问题分析产品的销售受到多种方面的影响，包括市场经济，产品成本，服务人群，政治方向，时代潮流，广告运营甚至天气情况。
在本文中，主要探究广告投入与商品销售的联系。
广告投入与销售量的关系
ｌ ２
１ ３
６ ． ５
７
４ ０
４ ２
ｌ ４ １ ５ １ ６ ｌ ７ １ ８ １ ９
２ ０
７ ． ５ ８ ８ ． ５ ８ ． ９ ９ ． ５ ｌ ０
１ Ｏ ． ５
４ ３ ４ ６ ４ ８ ５ ０ ５ ３ ５ ４
５ ６
图１广 告支 出和销售 收入离散 图
结 论： 广告费用和销售收入之间存在线形相关关系 。 由于销 售额 与广告费的线性关 系。 所 以我们 建立线性 回归模型对广告 费用和销售收入 问题进行分析研究 。 我们 在估 计因变 量Ｙ（ 销售额 ） 的值 ， 就 要求做 出如 下
函数 ：
几 个因素：
一
随着经济的发展 ， 行业与行业间 的横 向竞 争越 来越激 烈， 为 了占有 市场和最 高利润 ， 广 告逐步成 为 了现在 市场 营销中一个重要宣传工具 。同时广 告也是企业培育市场 、 培养品牌的一个重要方式和途 径。不同的行业 、 不同的产
品、 甚至 同一 产 品的不 同周 期， 广告 的投 放 时间、 投放 程
确定参数 Ｘ、Ｂ。最 小二乘法是最重要的统计估计方法之
一
，
观 察值与估计值 的偏差 平方后 ， 较 大的偏差权重加 大 ， 广告支 出与销售收入 的回归计算
：
从而避免 了正负偏差相互抵消 。
圈２ 广告 支出 和 锖 售收 入 残插 图
５ ． ７ ３ ５ ｙ ＝ ３ ７ ． １ ∑ ｙ ９ ６・
广旨ｊ ｔ 用
＇
ｃ ＝ 辛 、 ， ｌ ｔ ， （ 一 ２ ） １ ． １ ８ ８ １ ５ ０ ８ ＋ １ ２ ． ８ ８ ５ ８ ６ ４ ｘ ２ ． １ ０ １ － ０ ． １ ９ ３ ７ ２ ４ 卜 ｉ
广告费用预算确定方法
大多数企业在新产品上市初期都会遇到一个比较难决策的问题，那就是：如果投入广告费用过多，将会造成广告费用无端浪费，如果投入广告费用太低，市场销售过程中广告就无法有效拉动市场销售，市场反应将会出现不冷不热的尴尬状态。
更多的企业则是凭借所谓的经验、直觉来投放广告。
那么，在一个具体市场投入多少广告费才恰到好处呢？要回答这个问题，首先，先让我们来了解关于广告投入的“有效临界值”的概念，以便让我们更清楚广告费用科学使用的重要性。
从上图可以看出，当广告费用投入达到一定的额度时，销售额便达到峰值，而在此时若继续追加广告费用投入势必无法继续拉动销量，反而会无端加大销售成本，使销售利润降低，收益受损。
正所谓“物极必反”。
因此，要科学合理地投放广告费用，事先需较准确地预计出合理的广告投放量和广告费用的有效临界值。
只有这样才能有效避免广告费用的盲目投放，做到决胜千里之外！根据多年的市场实际操作经验，本人为大家提供一种在新市场开发期经常使用的广告投放估算方法。
但是，不同企业，不同市场，不同产品，不同市场时期所运用的方法不尽相同，因此，本方法仅供读者参考，辨证对待。
对于新品种、新市场，广告投入的估算大体可以分为七个步骤来进行。
下面结合某治疗儿童遗尿症的药品为例对这七个步骤进行分解讲述。
第一步，计算目标市场目标人群数量大小。
相应公式：市场总人口数×发病率＝目标人群数举例：黑龙江市场的总人口数为３６００万人，而准目标人群（４～１４岁儿童）约占总人口比例的１５％，这样，准目标人群总人数为５４０万人，而在此年龄段位的孩子中，尿床患者发病率约为５％，这样，目标人群数量为２７万人。
第二步，计算该品种的市场容量大小。
相应公式：目标人群数×平均购买金额＝市场容量举例：目标人群数量为２７万人，若目标人群１００％购买该药品，每位患者购买一疗程（４５０元／疗程），那么，该产品的黑龙江省市场容量约为１．２亿元人民币。
第三步，计算该品种的总市场份额大小。
(整理)广告费用与销售量关系
广告费用与销售量的关系1.摘要一种随着经济的发展，行业之间的竞争越来越激烈，为了提高利润，广告成为了重要的竞争工具，也是企业培育市场、培养品牌的重要方式。
不同的行业、不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期，广告的投放时间、投放程度、投放市场的选择都是千差万别的。
今天我们从数学角度结合数学知识研究广告投入策略对销售量的影响，试图得到一些局部使用的广告模型。
本文从广告与销售速度的关系着眼，利用微分方程建立了基本模型而来，并选择两个不同的广告策略来进行求解，然后结合实际，通过实例检验，说明了模型的可行性。
在模型的分析中，通过对初始销售速度s与利润Q的关系，利用线性规划求解得出不同产品的初始销售速度对应不同的最优开始广告宣传时间。
本文还进一步考虑了模型的优缺点，并根据提出的缺点，对模型进行了进一步改进，并提供了一些相关的评估方法。
关键字微分方程最佳广告宣传时间线性规划广告策略2问题重述目前，随着经济的迅速发展，行业间竞争越来越激烈，为了提高销售量，获得最大的利润，广告成为了一个很重要的竞争工具，也是企业培训市场和品牌的重要方式。
然而不同的行业、不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期，广告的效果都是千差万别的。
本题给出某公司的产品销售价、同类产品其他厂家平均价格从而得到价格差数据，还有该企业的广告投入费用和销售量数据，提出了如下两个问题：（1）利用网络等收集有关信息和数据，建立综合或某个侧面的营销数学模型帮助企业获得较大的利润。
由于广告投入与销售量的内在关系，所以在这里我们就研究产品营销策略有对公司产品销售量的影响。
（2）如何评价不同时期的广告效果，确定最佳的广告投入使销售量达到最大。
3问题分析在当今社会,企业在保证商品质量的前提下,如何来提高商品销量成为重中之重的问题。
现实之中的实例说明，广告投入可以明显有效地相对提高销售量，从而实现企业利润更大化。
所以，首先，建立广告投入与销售量的数学模型，建立广告投入与销售量的关系，明确广告投入对销售量的影响，其次，利用该模型结果，也就是营销数学的一个侧面—广告投入，利用其关系，帮助企业获得更大利润。
中学数学建模经典例题
中学数学建模经典例题中学数学建模经典例题包括：1.最大利润问题：某公司生产一种产品，每件成本为3元，售价为10元，年销售量为10万件。
为了扩大销售量，公司计划通过广告宣传来增加销售量。
经调查发现，广告费用与年销售量之间的关系可以近似地用函数y=−0.2x+10来表示，其中x为广告费用（单位：万元）。
问：广告费用为多少时，公司可获得最大年利润？2.最小费用问题：某公司需要将货物从甲地运往乙地，由于路途遥远，需要采用飞机、火车、汽车三种运输方式来完成。
运输方式的费用分别为x万元、y万元、z万元。
三种运输方式的单程运输能力分别为10万吨、15万吨、5万吨，而货物的总重量为35万吨。
为确保运输过程顺利进行，单程运输能力不能超过总重量。
请为该公司设计一个总费用最少的运输方案，并求出最少的总费用。
3.最小路径问题：某城市有若干个居民小区，每个小区有一定数量的居民。
为了方便居民出行，市政府计划修建地铁连接这些小区。
已知任意两个小区之间的距离可以近似地用欧几里得距离来表示，而修建地铁的费用与小区之间的距离成正比。
问：市政府应该如何规划地铁线路，使得总费用最低？4.人口预测问题：某城市的人口数量在过去几年里呈现出指数增长的趋势。
已知该城市的人口数量在过去的几年中每年以10%的速度增长，并且目前该城市的人口数量为50万。
我们要预测未来5年该城市的人口数量。
5.资源分配问题：某公司拥有一定的资源，需要将其分配给若干个项目以获得最大的收益。
每个项目的收益与分配到的资源数量成正比，而不同项目之间的收益增加率是不同的。
问：公司应该如何分配资源，使得总收益最大？这些例题涵盖了中学数学建模的多个方面，包括函数模型、最优化问题、线性规划等。
通过这些例题的解答，可以帮助学生提高数学建模的能力和解题技巧。
向供应商收取的与销售数量或销售额挂钩的广告促销费如何处理(老会计人的经验)
向供应商收取的与销售数量或销售额挂钩的广告促销费如何处理（老会计人的经验）案情概况w百货连锁有限公司成立于2012年9月29日，主营化妆品、服装鞋帽、皮革制品、黄金首饰、家用电器、日用百货等商品的零售。
2013年至2015年W公司在销售过程中向供应商收取与销售额挂钩的广告促销费，全部作为广告费收入按6%的增值税税率缴纳了增值税。
稽查人员发现了该问题，认为与销售额挂钩的广告营销费用应当按照平销返利行为的有关规定冲减当期增值税进项税额。
A公司被追缴相应的增值税及附加。
案情分析W公司财务人员解释：该公司因为营销需要确实向供应商按销售额的一定比例收取了广告促销费用，按照营改增后“现代服务业广告服务”的适用税率6%申报缴纳了增值税。
稽查人员解释：根据相关政策法规，向供应商收取的与销售数量或销售额挂钩的营销费用应当按照平销返利行为依照所购货物适用增值税税率冲减当期增值税进项税额。
理由如下：一、根据《国家税务总局关于商业企业向货物供应方收取的部分费用征收流转税问题的通知》（国税发〔2004〕136号）第一条第二款及第三条规定，一、（二）对商业企业向供货方收取的与商品销售量、销售额挂钩（如以一定比例、金额、数量计算）的各种返还收入，均应按照平销返利行为的有关规定冲减当期增值税进项税金，不征收营业税。
三、应冲减进项税金的计算公式调整为：当期应冲减进项税金=当期取得的返还资金/（1+所购货物适用增值税税率）×所购货物适用增值税税率。
二、根据《交通运输业和部分现代服务业营业税改征增值税试点实施办法》（财税〔2011〕111号附件）（应税服务范围注释）中规定：广告服务，是指利用图书、报纸、杂志、广播、电视、电影、幻灯、路牌、招贴、橱窗、霓虹灯、灯箱、互联网等各种形式为客户的商品、经营服务项目、文体节目或者通告、声明等委托事项进行宣传和提供服务的业务活动。
广告公司按W公司的要求对其经营的商品进行宣传、展示而提供的相关服务属于广告服务，但W公司在广告发布后另外向供应商收取的广告促销费不属于广告服务，不能按广告服务业收入缴纳增值税。
广告费用对销售收入的影响分析
广告费用对销售收入的影响分析引言广告费用是企业用于宣传推广产品或服务的投入成本，而销售收入是企业通过销售产品或服务所获得的收益。
广告费用对销售收入有着直接的影响。
本文将分析广告费用对销售收入的影响，并探讨如何合理安排广告费用来优化销售收入。
广告费用与销售收入的关系广告费用对销售收入的影响可以从多个角度进行分析。
下面将讨论几个重要的方面。
1. 品牌知名度的提升广告费用的投入可以提高企业的品牌知名度，使消费者更加熟悉并信任企业的产品或服务。
当消费者在购买决策时，他们更有可能选择熟悉并信任的品牌，从而增加企业的销售收入。
2. 市场份额的扩大广告费用的投入可以帮助企业扩大市场份额。
通过广告宣传，企业可以吸引更多的潜在消费者，从而扩大其受众群体。
更广泛的市场覆盖将有助于增加销售量，提升销售收入。
3. 销售促进与激励广告费用的投入可以用于销售促销活动，如优惠券、折扣等。
这些促销手段可以吸引消费者主动购买，增加销售额。
此外，广告费用还可以用于设立销售激励计划，激励销售人员努力推广产品或服务，从而提高销售收入。
广告费用的合理安排为了最大化广告费用对销售收入的影响，企业需要合理安排广告费用的使用。
1. 设立明确的广告目标企业在投入广告费用之前，应确定明确的广告目标。
例如，提升品牌知名度、增加市场份额、促进销售等。
明确的广告目标有助于规划广告策略和评估广告效果，从而更好地实现销售收入的增长。
2. 选择适合的广告媒体和渠道不同的广告媒体和渠道适用于不同的产品或服务。
企业需要根据目标受众和宣传内容选择适合的广告媒体和渠道。
例如，对于年轻人群体，可以选择在社交媒体平台上投放广告；对于专业人士，可以选择在行业刊物或专业网站上投放广告。
选择适合的广告媒体和渠道可以提高广告的曝光率和效果，增加销售收入。
3. 定期评估广告效果企业需要定期评估广告效果，了解广告对销售收入的实际影响。
评估广告效果可以通过市场调研、销售数据分析和消费者反馈等方式进行。
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广告费用与销售量的关系1.摘要一种随着经济的发展，行业之间的竞争越来越激烈，为了提高利润，广告成为了重要的竞争工具，也是企业培育市场、培养品牌的重要方式。
不同的行业、不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期，广告的投放时间、投放程度、投放市场的选择都是千差万别的。
今天我们从数学角度结合数学知识研究广告投入策略对销售量的影响，试图得到一些局部使用的广告模型。
本文从广告与销售速度的关系着眼，利用微分方程建立了基本模型而来，并选择两个不同的广告策略来进行求解，然后结合实际，通过实例检验，说明了模型的可行性。
在模型的分析中，通过对初始销售速度s与利润Q的关系，利用线性规划求解得出不同产品的初始销售速度对应不同的最优开始广告宣传时间。
本文还进一步考虑了模型的优缺点，并根据提出的缺点，对模型进行了进一步改进，并提供了一些相关的评估方法。
关键字微分方程最佳广告宣传时间线性规划广告策略2问题重述目前，随着经济的迅速发展，行业间竞争越来越激烈，为了提高销售量，获得最大的利润，广告成为了一个很重要的竞争工具，也是企业培训市场和品牌的重要方式。
然而不同的行业、不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期，广告的效果都是千差万别的。
本题给出某公司的产品销售价、同类产品其他厂家平均价格从而得到价格差数据，还有该企业的广告投入费用和销售量数据，提出了如下两个问题：（1）利用网络等收集有关信息和数据，建立综合或某个侧面的营销数学模型帮助企业获得较大的利润。
由于广告投入与销售量的内在关系，所以在这里我们就研究产品营销策略有对公司产品销售量的影响。
（2）如何评价不同时期的广告效果，确定最佳的广告投入使销售量达到最大。
3问题分析在当今社会,企业在保证商品质量的前提下,如何来提高商品销量成为重中之重的问题。
现实之中的实例说明，广告投入可以明显有效地相对提高销售量，从而实现企业利润更大化。
所以，首先，建立广告投入与销售量的数学模型，建立广告投入与销售量的关系，明确广告投入对销售量的影响，其次，利用该模型结果，也就是营销数学的一个侧面—广告投入，利用其关系，帮助企业获得更大利润。
4模型假设1 商品的销售速度是因作广告而增加，但是这种增加有一定的限度。
广告只能影响该产品在市场上尚未达到饱和的部分，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度也趋于它的上限值。
2 自然衰减是销售速度的一种性质，即商品销售速度随销售率的增加而减小。
3 不考虑市场环境的突变及同类产品的竞争，产品的销售过程和宣传力度均为连续过程；4 产品量是充足的，广告的宣传力度和宣传时间相对固定；5 商家的信誉度和产品质量是良好的；6 广告具有立时性，一旦宣传就起效应；7 假设停止广告宣传后，销售速度不会达到饱和速度；5符号说明6模型的建立与求解6.1模型一根据广告与销售速度的关系利用微分方程建立模型，通过对初始速度0s 和利润Q 的关系利用规划求解出不同产品的初始销售速度0s 对应不同的最优开始广告宣传时间。
由假设已知销售速度的变化率与广告宣传力度成正比，但广告只能影响该商品尚未饱和的部分。
且自然衰减是销售速度的一种性质，即是销售速度随商品速率增加而减少。
故建立以下的微分方程： )())(1)((t s M t s t PA dt ds λ--= （1） 当0)(=t A 或 M t s =)(时都有：)(t s dtdsλ-= （2） 为了求解（1）式，我们引入下面不同广告的宣传力度进行求解。
我们选择一个广告策略⎩⎨⎧≥-------=ττt t A t A 00)( 其中A 为常量。
在（0，τ）时间段内，用于广告的总费用为a ，则τaA =，代入模型方程(1)有ττλaP s a M P dt ds .).(=++ （3）令 d a M P =+τλ.m aP =τ. 则有m ds dt ds =+ 其解为 dmce t s dt +=-)( 若令0)0(s s =，则 dt dt e s e dmt s --+-=.)1()(0 （4） 当τ≥t 时，模型为)(t s dtdsλ-= 其通解为t ce s λ-= 而τ=t 时，)()(τs t s =故)().()(t e s t s -=τλτ （5）故 ⎪⎩⎪⎨⎧≥---------------+-=---ττττλt e s t e s e d m t s t dtdt )(0)(0)1()( （6）)(t A 和)(t s 的图形如下图所示结果的模型的分析：（1）生产企业若保持稳定销售，即ds/dt=0，那么我们可以根据模型估计采用广告费用0)())(1)((=--t s M t s t PA λ可得到)1()(MsP st A -=λ（2）在销售水平比较低的情况下，每增加单位广告产生的效果比销售速度s接近极限速度M的水平时，增加广告所取得的效果更显著。
下面是某产品投入的广告费与销售量的调查表;29 5.8 7.93 -45.994 -7.93 1.33 306.89.26-62.968 -9.26下面我们用上述数据来进行参数估计，为便于估计，我们将（1）式离散化，得：)())(1)(()()1(n s M n s n PA n s n s λ--=-+=)()()()(n s n s n A MPn PA λ--))(())()(()()()1(n s n A n s b n PA n s n s -+-+=-+λ上式是关于M ，λ，P 的方程，根据数据利用最小二乘法可以求得6.2模型二下面选择另外的一种广告策略;111100()0t t A t At t t T t t T≤≤⎧⎪=<<+⎨⎪≥+⎩在(1t , T t +1)时间内，用于做广告花费a ，则有：aA T=代入（１）式有：TaP s T a M P dt ds =++).(λ (7)因λ,a ,M ,P ,T 均为常数，令：b T a M P =+.λ k Ta=则(3)式可变为Pk bs dt ds=+ (8)则： b kce t s b +=)(若令:11)(s t s = 则：bt bt e s bke t s --+-=1)1()( (9) 当T t t t t +≥≤≤11,0时，有：s dtdsλ-= 其通解为：t ce s λ-= 而0=t 时,0)0(s s = 所以1.)(0t e s t s λ-= 则：011ln 1s s t λ-= T t t +=1时，2)(s t s =所以 )(21.)(t T t e s t s ---=λ 故：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥------+≤≤----+-≤≤-----------=------1)(2111101..)1(0.)(t T t e s t T t t e s b k e t t e s t s t T t bt bt t λλ (10)销售速度曲线图：下面用)(t v 代替)(t s 来表示销售速度，0v 代替0s7模型的检验和参数估计时间12345678910111213 (周)销售量5604794004855728371123166719341821177316831612 (台)由数据拟合可以画出：下面我用上述数据来进行参数估计，为便于估计，我们将（1）式离散化，得：)())(1)(()()1(n s Mn s n PA n s n s λ--=-+上式是关于M ，λ，P 的方程，根据数据利用最小二乘法可以求得 P =1.412, M =1934， λ= 0.357 . 由此可解得：b=0.357 k=0.064 . 则该产品的广告模型为： )(357.0)1934)(1)((412.1t s t s t A dt ds --= T t t t +≤≤11 (11) 由数据检验模型的精度，用（11）式对12周销售量进行预测，结果为1516。
而实际结果是1612。
相对误差是5.96%。
说明模型是可行的。
8模型分析设在产品刚上市后销售量为V 0,则不同产品将对应不同的V 0 。
可通过对不同的V 0进行讨论，求得最佳开始广告宣传时间t 1。
我们以从产品上市到广告完毕这段时间内的平均利润达到最大为目标，构成以下最优函数：Max ]1110101(1)()t t Ttbt btt k V e dt e V e dt a bQ t t Tβωω+---⎡+-+-⎢⎣=+⎰⎰（8）即：Max1000121()(1)()t btV V VVke T e ab b bQ tt Tβωωωωωββ---⋅++----=+8.1模型一：若V很小，这为商家不可接受的销售速度，由(7)式可知V(t)越小广告效果越明显,则由平均利润函数可得，当t1=0时开始做广告将对商家最有利，此时平均利润为：0002()(1)()btV V VkT e ab b bQ tTωωωωβ-+----=（9）另外，我们也可以根据对应的图象进行分析得出结论：当t1=0时开始做广告为最佳时间。
8.2模型二：若V比较大，为商家可以接受的销售速度（随着人们对它的拥有量的增加，销售速度将减慢），此时做广告效益不大。
为节省广告空间，商家将选择过一段时间再作广告。
设V1为商家开始作广告时的销售速度（V1必大于商家所能承受的最低销售速度）。
由利润函数可得V1与Q(t)、t1的关系：Max1000121()(1)()t btV V VVke T e ab b bQ tt Tβωωωωωββ---⋅++----=+（10）其中111lnVtVβ≤-,在（10）式中β，b， k，ω为已知系数，由不同产品和市场因素确定。
而V1,a,T,V由商家根据实际情况而定。
因此可由规划求解，给定不同的V，V1，a,T,可求出相应的t1及相应利润Q(t)。
从数据对比中可知Q(t)最大时取得的t为最优开始做广告的时间。
1=0时。
另外，我们也可由相应的图象分析得出最优时间不是在t19模型应用我们建立的模型可以广泛应用到实际生产中去，下面两个实例可充分说明模型的可行性：时间1-23-45-67-89-1011-12（月）销售量（辆）452049605320517049304660广告前广告中时间1-23-45-67-89-1011-1213-1415-1617-18（周）销售量27.126.524.220.928.339.543.644.344.1（万瓶）10模型评价及改进模型有以下优点：1、易于推广，模型构思巧妙，能准确得出最佳开始广告宣传时间；2、应用范围广，可应用各种新产品的市场销售计划；3、基本模型对问题的描述精确、合理，推导严谨，理论性强。
模型的缺点：1、商家难以确定产品刚上市时的销售速度V，须经过一定时间的试销才能确定；2、没考虑产品需求量的动态变化。